Уравнение Клапейрона

1
Урок № 6
Тема урока: Уравнение Менделеева-Клапейрона
Цель: Установить зависимость между макроскопическими параметрами
(p, V, T), характеризующими состояние газа при постоянной массе, и
научиться решать задачи.
План изучения нового материала
1. Уравнение состояния идеального газа.
2. Универсальная газовая постоянная.
3. Уравнение Клапейрона.
4. Решение задач.
Изучение нового материала
1. Уравнение состояния газа
Уравнение состояния газа связывает эти три параметра
p = f(V,T) при постоянной массе газа (m = const).
𝑵
Из основного уравнения МКТ p = nkT , учитывая, что n = ; N = ν 𝑵𝑨 ;
𝑽
𝒎
ν = ; R = k 𝑵𝑨 следует
𝑴
Уравнение состояния идеального газа или
уравнение Менделеева-Клапейрона
PV =
𝒎
𝑴
RT
m – масса газа,
М – молярная масса газа
2
ν – количество вещества
PV = 𝝂 RT
P=
𝝆
𝑴
ρ=
RT
𝒎
𝑽
– плотность газа
2. Универсальная газовая постоянная
R = k𝑵𝑨 , R = 8, 31
Дж
моль ∙К
– универсальная газовая постоянная, пока-
зывает какая энергия необходима для нагревания 1 моль газа на 1 К.
3. Уравнение Клапейрона
Для газа данной массы (m = const, M = const) при переводе его из 1 состояния (𝑝1 , 𝑉1 , 𝑇1 ) во 2 состояние (𝑝2 , 𝑉2 , 𝑇2 )
𝒑 𝟏 𝑽𝟏
𝑻𝟏
𝒑 𝟏 𝑽𝟏
𝑻𝟏
=
=
𝒎
𝑴
𝒑 𝟐 𝑽𝟐
RT;
𝒑 𝟐 𝑽𝟐
𝑻𝟐
𝑻𝟐
=
𝒎
𝑴
RT;
– уравнение состояния в такой форме называется уравне-
нием Клапейрона.
Уравнение Клапейрона
Для данной массы газа произведение его дав𝒑𝑽
𝑻
= const при m = const ления на объём, делённое на абсолютную температуру, величина постоянная
Уравнение Клапейрона для одного моля газа при нормальных условиях
𝒑𝟎 = 101325 Па; Т𝟎 = 273 К; 𝑽𝟎 = 22,4 ∙ 𝟏𝟎−𝟑 м𝟑 ; R =
𝒑𝟎 𝑽𝟎
𝑻𝟎
= 8, 31
Выводы:
Зная уравнение состояния идеального газа можно определить
Дж
моль ∙К
3
1) один из трёх параметров газа (p, V, T), если заданы два других и количество вещества или известно начальное состояние вещества;
2) протекание в системе разных процессов при определённых внешних
условиях (например, при постоянной температуре будет изменяться
давление газа, если увеличивать объём);
3) изменение состояния системы, если она выполняет работу или получает тепло от окружающих тел.
1. Решение задач
№ 1. После увеличения абсолютной температуры в 1,3 раза давление
газа в закрытом баллоне увеличилось на 150 кПа. Каким было начальное давление в баллоне.
Дано:
Т𝟐 = 1,3 Т𝟏 ; 𝒑𝟐 = 𝒑𝟏 + 150 кПа; 𝑽𝟐 = 𝑽𝟏
𝑝1 - ?
Решение:
Уравнение состояния газа
𝒑 𝟏 𝑽𝟏
𝑻𝟏
=
𝒑𝟏 + 150∙103 Па) 𝑽𝟏
1,3 Т1
;
𝒑𝟏
𝟏
𝒑 𝟏 𝑽𝟏
=
𝑻𝟏
=
𝒑 𝟐 𝑽𝟐
𝑻𝟐
𝒑𝟏 + 150∙103 Па
1,3
; 1,3 𝒑𝟏 = 𝒑𝟏 + 150 ∙ 103 Па;
0,3 𝒑𝟏 = 150 ∙ 103 Па; 𝒑𝟏 = 500 ∙ 103 Па = 500 кПа
Ответ: начальное давление было 500 кПа
№ 2. Два баллона, имеющие объёмы 6 и 14 л, содержат газы под давлениями ответственно 8 и 5 МПа при одинаковой температуре. Баллоны соединили трубкой с краном. Какое давление установится в баллонах, если открыть кран? Температура не изменится, газы в химическую реакцию не вступают.
Дано:
𝑽𝟏 = 6 л = 6 ∙ 10−3 м3 ; 𝑽𝟐 = 14 л = 14 ∙ 10−3 м3 ;
𝒑𝟏 = 8 МПа = 8 ∙ 106 Па; 𝒑𝟐 = 5 МПа = 5∙ 106 Па;
4
Т𝟐 = Т𝟏 = T
p-?
Решение:
Запишем уравнение Менделеева-Клапейрона для первого баллона (1),
второго баллона (2) и для случая, когда открыли кран (3)
(1) 𝒑𝟏 𝑽𝟏 = 𝝂𝟏 R𝑻𝟏 , где 𝝂𝟏 – количество вещества в 1 баллоне.
(2) 𝒑𝟐 𝑽𝟐 = 𝝂𝟐 R𝑻𝟐 , где 𝝂𝟐 – количество вещества во 2 баллоне.
(3) 𝒑(𝑽𝟏 + 𝑽𝟐 ) = 𝝂RT, где 𝝂 = 𝝂𝟏 + 𝝂𝟐 – общее количество вещества.
𝝂𝟏 =
𝒑 𝟏 𝑽𝟏
𝑹𝑻
𝒑(𝑽𝟏 + 𝑽𝟐 )
𝑹𝑻
p=
𝒑 𝟐 𝑽𝟐
; 𝝂𝟐 =
=
𝒑 𝟏 𝑽𝟏
𝑹𝑻
𝑹𝑻
𝒑 𝟐 𝑽𝟐
+
𝑹𝑻
; 𝝂=
𝒑(𝑽𝟏 + 𝑽𝟐 )
𝑹𝑻
; 𝒑(𝑽𝟏 +𝑽𝟐 ) = 𝒑𝟏 𝑽𝟏 +𝒑𝟐 𝑽𝟐; p =
8 ∙ 106 Па ∙ 6 ∙ 10−3 м3 + 5∙ 106 Па ∙ 14 ∙ 10−3 м3
6 ∙ 10−3 м3 + 14 ∙ 10−3 м3
Ответ: 5,9 МПа
;
=
118 ∙ 103 Па
20 ∙ 10−3
𝒑 𝟏 𝑽𝟏 + 𝒑 𝟐 𝑽𝟐
𝑽𝟏 + 𝑽𝟐
= 59 ∙ 103 Па = 5, 9 МПа
С0
№ 3. Чтобы воздушный шар мог поднять Винни Пуха, объём шара
должен быть не меньше V = 25 м3 . Какова масса m Винни Пуха, если воздушный шар наполнен воздухом, температура которого 𝒕𝟏 = 30℃, а температура окружающего воздуха 𝒕𝟐 =7℃?
Давление воздуха в середине шара считать равным атмосферному, массой оболочки воздушного шара можно пренебречь.
Дано:
V = 25 м3 ; 𝒕𝟏 = 30 ℃; Т1 = 303 К; 𝒕𝟎 = 7 ℃; Т0 = 280 К; 𝒑𝟎 = 105 Па
m–?
Решение:
Воздушный шар поднимет Винни Пуха при условии, если вес, вытесненного шаром окружающего воздуха Р𝟎 будет равен суммарному весу Винни Пуха Р и теплого воздуха в воздушном шаре Р𝟏 .
Р𝟎 = Р𝟏 + Р;
𝒎𝟎 g = 𝒎𝟏 g + mg;
5
𝒎𝟎 – масса, вытесненного шаром окружающего воздуха;
𝒎𝟏 – масса, теплого воздуха в воздушном шаре, тогда
𝒎𝟎 = 𝒎𝟏 + m; m = 𝒎𝟎 - 𝒎𝟏 – масса Винни Пуха.
Уравнение Менделеева-Клапейрона
𝒑𝟎 𝑽 =
𝒑𝟎 𝑽 =
𝒎𝟎
𝑴
𝒎𝟏
𝑴
R𝑻𝟎 – для окружающего воздуха, вытесненного шаром;
R𝑻𝟏 – для теплого воздуха, находящегося в воздушном шаре;
М = 29 ∙ 10−3
R = 8, 31
𝒎𝟎 =
m=
m=
кг
моль
Дж
моль ∙ К
– молярная масса воздуха,
– универсальная газовая постоянная.
𝒑𝟎 𝑽 М
𝒑𝟎 𝑽 М
𝑹𝑻𝟎
𝑹𝑻𝟏
𝒑𝟎 𝑽 М
𝑹𝑻𝟎
; 𝒎𝟏 =
–
𝒑𝟎 𝑽 М
𝒑𝟎 𝑽 М
𝑹𝑻𝟏
𝑹
; m=
105 Па ∙ 25 м3 ∙ 29 ∙ 10−3
Дж
8,31
моль ∙ К
кг
моль
(
(
𝟏
𝑻𝟎
𝟏
280 К
–
–
𝟏
𝑻𝟏
).
𝟏
303 К
) = 2,6 кг
Ответ: масса Винни Пуха 2,6 кг.
Домашнее задание
Задания для самостоятельной работы
1.
Прочитать § 5, 10 [1]; § 46 [2]; § 21 п. 2 [3]
2. Ответить на вопросы:
а) Что вы понимаете под параметрами состояния газа?
б) Какие параметры характеризуют состояние газа?
в) Что называется уравнением состояния идеального газа?
г) Какая форма уравнения состояния содержит больше информации:
уравнение Клапейрона или уравнение Менделеева-Клапейрона?
3.
Решить качественные задачи:
6
а) Космический корабль, стартовавший с Земли, вышел на околоземную орбиту. Как изменилось давление воздуха в герметически закрытом отсеке? Температура в отсеке не изменилась.
б) Почему баллон с любым сжатым газом (даже не горючим) опасен во
время пожара?
в) Во время изготовления ламп накаливания их баллоны заполняют
азотом под давлением значительно меньшим атмосферного. Почему
это давление не делают равным атмосферному?
4. Расчётные задачи:
а) Плотность некоторого газа 2,5
кг
м3
при температуре 10 ℃ и нормальном
атмосферном давлении. Найти молярную массу этого вещества.
б) В баллоне объёмом 10 л находится воздух при давлении 1,5 МПа. Каким станет давление газа, если открыть кран, который соединяет этот
баллон с другим, объёмом 40 л, из которого откачан воздух? Температура газа не изменяется.
в) На сколько изменилась масса воздуха в комнате, если в результате неисправности системы отопления температура в комнате уменьшилась
от 20 ℃ до 7 ℃? Объём комнаты 60 м3 .