L12-1

Лекция 12
Столкновения частиц, реактивное движение
Абсолютно неупругие, абсолютно упругие, неупругие столкновения
частиц. Экспериментальная проверка релятивистской механики.
Движение тела переменной массы. Уравнение Мещерского. Формулы
Циолковского. Релятивистские ракеты.
Рассмотрим различные явления столкновения и рассеяния частиц, используя
исключительно метод законов сохранения. По ходу мы убедимся, что этот метод дает
возможность получить ряд общих закономерностей для обсуждаемых явлений
независимо от вида и природы сил, действующих между частицами.
Убедимся также, что использование системы отсчета С существенно упрощает
математическое решение ряда задач.
Хотя мы будем говорить о столкновении частиц, однако нужно отметить, что
результаты, полученные в этой главе, применимы также для столкновений любых тел.
Только в этом случае под скоростью нужно понимать скорость центров инерции тел, а
вместо кинетической энергии частицы нужно брать кинетическую энергию движения тела
как целого.
В этой главе мы предположим, что
- система, состоящая из частиц, замкнута,
- лабораторная система отсчета Λ и система С являются инерциальными,
- под импульсом (скоростью) частиц до и после столкновения (рассеяния) мы будем
понимать значения импульсов (скоростей) частиц на таких расстояниях друг от друга,
когда взаимодействия между ними отсутствуют.
Рассмотрим также столкновения и рассеяния частиц, движущихся с релятивистскими
скоростями.
Различаются три вида столкновения частиц: абсолютно неупругие, абсолютно
упругие и неупругие столкновения.
Абсолютно неупругие столкновения.
В результате этого вида столкновений происходит слияние
образование новой частицы. Сначала рассмотрим столкновения
ньютоновской механики.
Пусть в системе отсчета Λ (Λ-система) частицы с массами
и
v2 ,
m1
и
m2
частиц и
в рамках
имеют скорости
v1
которые сталкиваются, после чего двигаются как одно целое (рис. 12.1а). Так как
механическая система замкнута, то ее полный импульс сохраняется (далее величины
после столкновения будем обозначать со штрихами):
m1v1  m2 v2   m1  m2  v .
(12.1)
Рис. 12.1
Заметим, что частица, образованная после столкновения движется в Λ-системе со
скоростью центра инерции частиц
m v  m2 v2
v  1 1
 vc .
m1  m2
(12.2)
Мы знаем, что полная механическая энергия замкнутой системы может меняться за
счет работы внутренних диссипативных сил
дисс
E   E  Aвнут
.
(12.3)
Так как до и после столкновения мы оперируем величинами в тех состояниях, когда
отсутствуют взаимодействия между частицами, то полная механическая энергия системы
до и после столкновения – это ее кинетическая энергия. С другой стороны, внутренние
диссипативные силы совершают отрицательную работу
дисс
K   K  Aвнут
 0,
преобразуя часть кинетической энергии системы в тепло.
m1v12 m2 v22  m1  m2  vc
Q  K  K 



2
2
2
2
m1 m2  v1  v2 

.
m1  m2
2
2
(12.4)
Количество теплоты, выделяющееся во время абсолютно неупругого
столкновения пропорционально квадрату относительной скорости частиц.
Теперь обсудим столкновение тех же частиц в системе отсчета С. Сначала получим
выражения для импульсов и скоростей частиц в системе отсчета С до столкновения (рис.
12.1б).
Для скоростей частиц до столкновения будем иметь:
v1  v1  vc
и
v 2  v2  vc ,
а для импульсов –
p1  m1 v1  m1  v1  vc     v1  v2  ,
p 2  m2 v 2  m2  v2  vc     v2  v1  .
(12.5)
Здесь мы учли выражение для скорости центра инерции (12.2) и ввели обозначение

m1m2
,
m1  m2
(12.6)
называемое приведенной массой системы. Она возникает всегда при переходе к
системе отсчета С.
Как и следовало ожидать, в системе С частицы имеют равные по модулю и
противоположно направленные импульсы:
p1   p 2 .
Заметим, что в системе С импульсы частиц
приведенной массы и их относительной скорости
численно
равны
p1  p2  u  p ,
где
u  v1  v2
произведению
(12.7)
- модуль относительной скорости частиц.
Значит, в системе отсчета С абсолютно неупругое столкновение частиц имеет
наипростейший вид: до столкновения частицы двигаются друг навстречу другу с
равными по величине импульсами, а после столкновения мы получаем находящуюся в
состоянии покоя частицу, возникшую в результате «слияния» частиц.
Для полной кинетической энергии частиц до столкновения имеем
1 1
1  2 p2
u2
K  K1  K 2   
p




2  m1 m2 
2
2
,
(12.8)
где учтены соотношения (12.6) и (12.7). Интересно, что в системе С кинетическая
энергия частиц зависит от их относительной скорости u. Так как частица, образованная
вследствие абсолютно неупругого столкновения, в системе С находится в состоянии
покоя, то полная кинетическая энергия частиц (12.8) в системе С переходит в тепловую
энергию:
m m  v1  v2 
QK  1 2
m1  m2
2
2
.
(12.9)
Следует обратить внимание на полученный важный результат: хотя кинетическая
энергия системы различна в системах отсчета Λ и С до и после столкновения, однако его
изменение, вследствие столкновения,
не зависит от выбора системы отсчета и
определяет величину выделённого количества теплоты. Значит, хотя и кинетическая
энергия величина не инвариантная, ее изменение, тем не менее, инвариантна при
переходе от одной ИСО к другой.
Абсолютно неупругое столкновение релятивистских частиц.
Рассмотрим в системе С абсолютно неупругое столкновение двух релятивистских
частиц с равными массами покоя. До столкновения частицы имеют равные по модулю и
противоположно направленные импульсы, то есть нулевой полный импульс:
p1  p 2  0,
(12.10)
E  2mc 2  T ,
(12.11)
и полную энергию
где T – суммарная кинетическая энергия частиц.
Так как частица, образованная после столкновения, находится в состоянии покоя, то
полная кинетическая энергия частиц до столкновения преобразуется в тепло:
T Q.
(12.12)
В системе отсчета Λ, относительно которой центр инерции частиц движется со
скоростью
vc , для полного импульса и энергии системы до столкновения будем иметь
P
E
Evc c 2
1 vc 2 c 2
E
1 vc 2 c 2


2m  T c 2
1 vc 2 c 2
2mc 2  T
1 vc 2 c 2
vc ,
(12.13)
.
(12.14)
После столкновения вновь образованная частица в системе Λ будет иметь скорость
vc
и импульс
mvc
P 
1 vc 2 c 2
,
(12.15)
где m  – масса покоя образовавшейся частицы. Пользуясь законом сохранения
импульса системы и приравнивая полные импульсы частиц до и после столкновения
(12.13) и (12.15), получим
m  2m  T c 2  2m  Q c 2 .
(12.16)
Заметим, что в релятивистском случае масса не аддитивна: m  2m . Масса
частицы, образовавшейся после столкновения, равна сумме масс покоя частиц до
столкновения плюс равнозначная тепловой энергии релятивистская масса
Q / c2 .
После столкновения для энергии частицы в Λ-системе будем иметь
E 
mc 2
1 vc 2 c 2

2mc 2  T
1 vc 2 c 2
что полностью соответствует закону сохранения энергии ( E  
Рассчитав изменение полной кинетической энергии в
столкновения и учитывая (12.17), получим
T T 
Λ-системе
(12.17)
до


1
2

 2mc  m c 
 1  Q .
 1 v 2 c 2

c2
c


2mc 2  T
1 vc 2
E ).
,
2
и
после
(12.18)
Значит, как в ньютоновской, так и в релятивистской механике, кинетическая
энергия хотя и преобразуется в разных ИСО, но ее изменение – величина
инвариантная.
Рис. 12.2
В ядерных превращениях часто приходится иметь дело с процессом, обратным абсолютно неупругому
столкновению. Это спонтанный распад тяжелых ядер на два ядра. Пусть ядро массой покоя
,
находящейся в системе Λ в состоянии покоя, самопроизвольно распадается на ядра с массами покоя
m1
и
m
m2
(рис. 12.2). Так как до распада импульс ядра равен нулю, то образовавшиеся осколки должны иметь равные по
модулю и противоположно направленные импульсы
p1   p2 ; p1  p2  p .
(12.19)
Очевидно, в данном случае лабораторная система отсчета Λ является также и С-системой. Закон
сохранения энергии дает
mc2  E1  E2 ,
(12.20)
где
E12  m12 c4  p12 c2 ; E22  m22c 4  p22c 2 .
(12.21)
E12  m12 c4  E22  m22c4  p2c2 .
(12.22)
Учитывая (12.19) и (12.21) получим
Из полученных соотношений (12.20) и (12.22) определим энергии осколков:
m 2  m12  m22 2
m 2  m22  m12 2
E1 
c ; E2 
c ,
2m
2m
а из (12.21) – импульсы.
Так как из (12.21)
E1  m1c2
и
E2  m2 c 2 ,
то из (12.20) следует, что спонтанный распад ядра
возможен, если его масса покоя превышает сумму масс покоя осколков:
Пользуясь формулой
(12.23)
m  m1  m2 .
E  mc2  K , получим аналогичную (12.16) связь между массами покоя частиц:
m  m1  m2  K c 2 ,
где K – полная кинетическая энергия осколков.