МАРКОВСКИЕ ЦЕПИ И НЕЭКСТЕНСИВНАЯ ТЕРМОДИНАМИКА

УДК 536.75:537.611.2
Неэкстенсивная термодинамика одномерных систем и марковские цепи
С. С. Апостолов, З. А. Майзелис,
Харьковский национальный университет имени В. Н. Каразина,
пл. Свободы, 4, г. Харьков, 61077, Украина
О. В. Усатенко, В. А. Ямпольский,
Институт радиофизики и электроники имени А. Я. Усикова НАН Украины
ул. Ак. Проскуры 12, г. Харьков, 61085, Украина
PACS : 02.50.Ga, 87.10.+e, 05.40.-а.
Рассматривается одномерная изинговая цепочка спинов с дальним взаимодействием. Предложен
новый подход для нахождения термодинамических величин такой системы, базирующийся на сопоставлении ее с аддитивной марковской цепью. Показана статистическая эквивалентность этих двух систем и
изучены их статистические свойства. Показано, что в общем случае термодинамические потенциалы системы с дальним взаимодействием спинов не являются аддитивными. В качестве примера вычислены
энергия, энтропия и намагниченность неэкстенсивной цепочки спинов.
1.
Введение
Одним из не всегда явно формулируемых постулатов классической статистической термодинамики является предположение о малости радиуса взаимодействия частиц по сравнению с размерами изучаемой системы. Из этого постулата следует свойство аддитивности (экстенсивности) таких термодинамических величин, как энергия, свободная энергия, энтропия и т.д. В то же время в физике и в других
естественных науках, использующих методы статистической термодинамики, известны многочисленные
примеры неэкстенсивных систем. В физике таковыми могут служить мезоскопические системы с размерами порядка дальности взаимодействия между частицами системы. Другими известными примерами
распределений, отличающихся от гиббсовского, являются распределение Ципфа в лингвистике [1,2],
распределения нуклеотидов в ДНК последовательностях и компьютерных кодах [3], распределения землетрясений в сейсмологии [4], а также в финансовых рынках в экономике [5,6] и многих других [7,8].
Таким образом, построение термодинамики неэкстенсивных систем является важной проблемой как современной теоретической физики, так и смежных с ней наук. Известные в настоящее время методы точного решения задачи о построении термодинамики сложных систем пригодны только в небольшом числе
частных случаев, например, для взаимодействия ближайших соседей, или для потенциалов определенного вида. В общем случае разработанные методы либо недостаточно обоснованы, либо носят численный
характер. Примером может служить термодинамика Тсалиса [9-11], где для неэкстенсивной энтропии
аксиоматически вводится выражение:
W 1q  1 .
(1)
S
1 q
Здесь W – статистический вес системы, q – феноменологический параметр неэкстенсивности. При
q  1 из (1) получаем обычное выражение для энтропии Больцмана, S  ln W .
В настоящей работе изучена модель Изинга с учетом дальнего взаимодействия классических
спинов. Наш метод основан на сопоставлении рассматриваемой физической системы с многошаговой
марковской цепью с теми же корреляционными свойствами. Вводится понятие «условных» термодинамических величин. Основываясь на описанных в первой части статистических свойствах бинарных многошаговых аддитивных марковских цепей, мы строим неэкстенсивную термодинамику. Далее мы находим выражение для условной вероятности того, что спин принимает конкретное значение при фиксированных значениях остальных спинов. Затем доказывается эквивалентность изинговой и марковской цепей. И, наконец, статистика марковской цепи применяется для нахождения термодинамических величин.
2. Основные сведения о марковских цепях
Под аддитивной бинарной N-шаговой марковской цепью мы будем понимать однородную случайную последовательность символов, принимающих два значения, 0 и 1, и характеризующуюся условной вероятностью появления символа 1 на i-м месте после символов ai 1 , ai  2 , , ai  N :
P(ai  1| ai 1 , ai  2 ,
N
, ai  N )  a   F (r )(ai  r  a ),
(2)
r 1
Здесь   обозначает усреднение по цепи,
M
1
f (ai ) .

M  2M  1
i  M
Функцию F(r) мы называем функцией памяти. Она характеризует влияние символа ai  r на генерируемый
символ ai , находящийся на расстоянии r от него. Определим бинарный коррелятор последовательности
символов выражением
1 
1

K (r )   ai  r    ai  .
(3)
2 
2

Это определение отличается от общепринятого тем, что в (3) вместо средних значений a фигурирует ½.
Оно совпадает с общепринятым только в случае уравновешенных цепей, содержащих в среднем равное
количество нулей и единиц. Для определенного таким образом коррелятора из выражения для условной
вероятности (2) получаем систему уравнений, связывающую корреляционную функцию и функцию памяти,
f (a)  lim
2
N
N
1


(4)
K (r )   F (r ') K (r  r ')  1   F (r ')   a   , r  1 .
2
r ' 1
 r '1

Это уравнение отличается от полученного ранее в работе [12] наличием дополнительного второго слагаемого в правой части (4), что обусловлено отличием a от 1/2. Уравнения (4) являются рекуррентными
соотношениями, которые должны решаться с начальными условиями,
1
K (r )  K (r ), r  1,..., N , K (0)  ,
(5)
4
непосредственно следующими из определения коррелятора. В общем случае решением задачи (4), (5)
является линейная комбинация показательных функций, основания которых являются корнями характеристического уравнения для системы уравнений (4). Всюду ниже будет рассматриваться случай слабых
корреляции, что соответствует неравенству
N
 F (r )  1 .
(6)
r 1
В этом случае из уравнений (4), (5) нетрудно получить асимптотическое выражение для коррелятора
K (r ) ,
2
1

K (r )    a   a (1  a ) F (r ), r  1,
2

,N .
(7)
Аналогично может быть построен алгоритм нахождения корреляторов более высоких порядков,
однако для наших целей, нахождения энергии и энтропии неэкстенсивной системы, достаточно знания
только бинарных корреляторов.
3. “Условные" термодинамические потенциалы
Рассмотрим изинговую цепочку классических спинов, энергия взаимодействия которых определяется выражением
H{s}  
   i  j  s s  s H,
i j N
i
j
i
(8)
i
где si – спиновая переменная, принимающая два значения, si  1 ,  (i )  0 (i  1, , N ) – обменный
интеграл, H – внешнее однородное магнитное поле.
Мы рассматриваем равновесное состояние цепи, находящейся в тепловом контакте с гиббсовским термостатом с температурой T. Это означает, что взаимодействие цепи с термостатом мало и может
быть описана в рамках обычной термодинамики канонического ансамбля. Поэтому энергия (и энтропия)
всей системы равна сумме энергий (энтропий) цепочки и термостата. Вычислив статистическую сумму,
можно найти различные термодинамические величины для всей цепи. Однако для малых подсистем,
участков цепи с длиной меньше или порядка корреляционной, такой подход реализовать не удается, по-
скольку неясно, как для них определить статистическую сумму. Следовательно, из-за "неэкстенсивности" взаимодействия таких участков с остальной частью цепочки возникают трудности в определении их
термодинамических величин и интенсивных параметров (температуры, в частности). Иными словами,
условие максимума числа состояний всей системы в целом,
 ln W ( E1 )  ln W ( E2 ) 1
(9)

 ,
E1
E2
T
используемое в экстенсивной термодинамике, не отвечает равновесной ситуации.
Для нахождения термодинамических величин в рамках неэкстенсивной термодинамики рассмотрим ансамбль изинговых цепей и найдем условие равновесия между подсистемой A, определяемой
как последовательность некоторого числа L идущих подряд спинов (которую будем называть словом
длины L) и всей остальной частью цепи. Обозначим два слова длины N, окружающие подсистему А
справа и слева символами C1 и C2, а всю остальную цепь кроме A, C1 и C2 символом D. Разобьем весь
ансамбль цепей на подансамбли, в каждом из которых присутствуют определенные и фиксированые слова C1 и C2, общие для всех цепей подансамбля. Рассмотрим условие термодинамического равновесия для
каждого подансамбля. Внутри каждого подансамбля подлежащей уравновешиванию системой являются
фактически только две подсистемы, A и D, поскольку C1 и C2 зафиксированы и не участвуют в распределении энергии между A и D, играют роль "стенок" между А и D. Но теперь система A+D является экстенсивной (точнее, контакт между конкретными подсистемами A и D является "экстенсивным"). А это
означает, что условием равновесия является то же равенство (9), но W(E) теперь означает "условную"
статистическую сумму при фиксированных словах C1 и C2. Тогда можно ввести понятие "условной" энтропии, равной логарифму этой статистической суммы. Для каждого подансамбля выражения (9) равны
обратным температурам A и D. Но эта температура для всех подансамблей одинакова. Действительно,
вся цепь находится в термостате, определяющем температуру любого участка цепи. Поскольку вероятности реализации конкретных А-слов распределены по Гиббсу и зависят только от двух слов C1 и C2, но
не зависят от D, статистика слова A определяется только термостатом. Но тогда очевидно, что температура A равна температуре термостата, поскольку контакт между A и термостатом "экстенсивный".
Итак, для всех подансамблей температура одинакова и равна температуре термостата. Равенство
(9) позволяет вычислить зависимость энергии подсистемы А от температуры при фиксированных «стенках» C1 и C2. Энтропию S, полученную интегрированием равенства dS  dE (T ) / T по температуре, нужно усреднить теперь по всем подансамблям и перейти от “условной” энтропии, зависящей кроме энергии
еще от слов C1 и C2, к средней «условной» энтропии. Именно эту усредненную по C1 и C2 величину мы и
будем называть энтропией неэкстенсивной изинговой цепочки.
Аналогично мы можем ввести любую другую термодинамическую величину F. Для этого необходимо сначала вычислить “условную” величину F для участка в произвольном окружении словами C1 и
C2, а затем усреднить полученные выражения по этим словам. Получить конкретные аналитические результаты нам удалось в предельном случае высоких температур.
4. Эквивалентность изинговой и марковской цепей
Как было отмечено выше, вероятность реализации конкретного слова А при фиксированных
стенках C1 и C2 распределена по Гиббсу. В частности, если рассмотреть в качестве А один символ, то его
условная вероятность определяется двумя окружающими его словами C1  (si  N , , si 1 ) и C2
 (si 1 ,
, si  N ) .
PI ( si  1| si  N ,
, si 1 , si 1 ,
, si  N ) 
H 1 N

1
exp     ( j )  si  j  si  j   .
Z
 T T j 1

(10)
Здесь Z – статистическая сумма, определяемая обычным образом путем нормировки PI . Мы будем рассматривать случай высоких температур, или слабого взаимодействия,
N
  (i)  T .
(11)
i 1
Тогда формула для вероятности (10) с учетом нормирующего множителя Z асимптотически переходит в
следующее выражение:
PI (si  1| si  N ,
, si 1 , si 1 ,
, si  N ) 
2exp  2H / T 
1

1  exp  2H / T  1  exp  2H / T  2
N
 (r )
r 1
T

 si  r  si r .
(12)
Эта формула может быть использована для установления статистической эквивалентности изинговой и марковской цепей, к обсуждению которой мы и переходим. Можно доказать, что в ансамбле реализаций любой N-шаговой марковской цепи условная вероятность того, что символ ai примет определенное значение при заданных окружающих его словах C1 и C2 длины N, определяется только этими словами и не зависит от остальных символов. Иными словами, N-шаговые марковские цепи статистически
эквивалентны «двусторонним» цепям, в ансамбле которых вероятность встречи определенного символа
диктуется N-словами, прилежащими к нему с обеих сторон. Можно доказать и обратное утверждение,
что любой такой двусторонней цепи можно поставить в соответствие, вообще говоря неаддитивную марковскую цепь. Связь между функциями условной вероятности марковской PM и двусторонней PD цепей
определяется формулой:
N
P
PD (ai  1| ai  N ,
, ai 1 , ai 1 ,
, ai  N ) 
r 0
ai 1
N
P
r 0
ai  0
M
M
(ai  r | ai  r  N ,
, ai  r 1 )
.
N
(ai  r | ai  r  N ,
, ai  r 1 )   PM (ai  r | ai  r  N ,
r 0
ai 1
(13)
, ai  r 1 )
Если в (13) в качестве вероятности PD подставить величину PI (10) или (12) с заменой ai  (si  1) / 2 , то
мы получим соотношение, устанавливающее эквивалентность изинговой цепочки с дальностью взаимодействия N, и, вообще говоря неаддитивной, многошаговой марковской цепи с глубиной памяти N.
Выражение (13), являясь сложным нелинейным уравнением относительно вероятностей
PM (ai | ai  N , , ai 1 ) , не позволяет выразить их в явном виде через вероятности PD (или PI ). Однако в
случае слабого взаимодействия спинов,
N
  (i)  T ,
(или эквивалентного ему условия относительно
i 1
слабых корреляций в изинговой цепочке) и слабого магнитного поля, условные вероятности Р оказываются близкими к ½ и могут быть разложены в ряд по малым флуктуационным добавкам. Из сопоставления выражений (2), (12) и (13) находим, что функция памяти марковской цепи, соответствующей рассматриваемой изинговой, пропорциональна энергии взаимодействия спинов,
 (r )
(14)
F (r ) 
, r  1, , N ,
T
а коррелятор равен
H 2  (r )
K (r ) 

.
(15)
4T 2 4T
Теперь для нахождения термодинамических характеристик изинговой цепи мы можем воспользоваться найденной аналогией и известными свойствами марковской цепи.
5. Термодинамические величины при высоких температурах
Для наших целей удобно разбить термодинамические величины на классы следующим образом.
К первому классу отнесем величины, для нахождения которых достаточно знания только среднего значения спиновой переменной. Во втором классе будут содержаться величины, для нахождения которых
необходимо еще и знание бинарных корреляторов. Наконец, последний класс содержит величины, для
определения которых необходимы и корреляторы более высоких порядков. Начнем наше рассмотрение с
величины, принадлежащей первому классу - намагниченности цепочки. Для определения этой характеристики не требуются даже приведенные выше рассуждения об «условной» природе термодинамических
величин неэкстенсивных физических систем. Для получения намагниченности цепочки достаточно
усреднить выражение (12) и воспользоваться тем, что среднее значение
величины
P(si  1| si  N , , si 1 , si 1 , , si  N ) равно s . Таким образом, в приближении слабого взаимодействия получаем удельную намагниченность системы в расчете на один спин:
N

H
2
s  tanh 1 
 (r )  .
(16)

2
T  T cosh ( H / T ) r 1

В случае N=1 это выражение переходит в известное соотношение для намагниченности изинговой цепи
при учете взаимодействия только ближайших соседей.
Следующей характеристикой, принадлежащей ко второму классу термодинамических величин,
является средняя энергия подсистемы длины L. С учетом выражения (15) для коррелятора изинговой цепочки получаем выражение для средней энергии при произвольных значениях L:
A
,
T
 ( 2  H 2 ) L   2 ,
L  N,
N
 2
2
2
2
2
2
A  (  H ) L    (i ) min{i, L}  (2  H ) L    (1) L  / 2, L  N ,
i 1
 (  2  H 2 ) L,
L  M,

E (T )  
N
N
i 1
i 1
(17)
(18)
где  2    2 (i),  2   i 2 (i), а M - полная длина цепочки, замкнутой в кольцо. Видно, что эти формулы дают неаддитивную по длине L энергию. Однако при L  N , когда  2  ( 2  H 2 ) L , энергия становится аддитивной. Зная энергию, нетрудно найти теплоемкость подсистемы длины L: c  A / T 2 .
Более сложным при реализации предлагаемого алгоритма построения термодинамики неэкстенсивных систем является нахождение энтропии, принадлежащей третьему классу величин. Действительно, первым шагом в ее определении является вычисление значений условной энтропии при всех возможных окружающих словах C1 и C2, что представляет собой технически весьма сложную проблему, поскольку для ее реализации необходимо использовать корреляторы более высокого порядка, чем бинарные, и произвести интегрирование равенства dSC1 ,C2  dEC1 ,C2 (T ) / T . Вторым шагом является усреднение
полученного выражения. Было бы просто произвести эти две операции в обратном порядке, однако,
можно показать, что интегрирование и усреднение по C1 и C2 не коммутируют. Тем не менее, в случае
высоких температур, когда вероятности слов зависят от температуры лишь в поправках, действительно
можно сначала проинтегрировать среднюю энергию, а затем найти среднюю "условную" энтропию интегрированием. Для нахождения константы интегрирования учтем, что воспользоваться известным значением для энтропии при нулевой температуре нельзя, так как наше приближение работает только при высоких температурах. Поэтому мы воспользуемся тем, что при стремлении температуры к бесконечности
получается гиббсовское распределение. Действительно, в этом случае все условные вероятности не зависят от энергии взаимодействия, и система является цепочкой невзаимодействующих спинов, для которой
справедливы все обычные выражения для энтропии. То есть, в этом случае статистический вес системы
равен W  2L . Учитывая это начальное условие и интегрируя выражение dS  dE (T ) / T по температуре в
пределах от T до бесконечности, получаем следующее выражение для энтропии:
S (T )  L ln 2  A /(2T 2 ) .
(19)
Видим, что энтропия, из-за наличия второго слагаемого, равно как и энергия (17), неаддитивна.
Используя предложенный алгоритм, можно также найти свободную энергию, давление и другие термодинамические величины изучаемой системы.
6. Выводы
В настоящей работе разработан новый подход к исследованию одномерных неэкстенсивных
термодинамических систем. В отличие от термодинамики Тсалиса, которая описывается феноменологическим выражением (1) и не содержит мезоскопических параметров, то есть, пригодна только для анализа систем с взаимодействием всех элементов, в предложенном подходе используется сопоставление
изинговой цепи с N-шаговой марковской цепью. Это позволило рассмотреть взаимодействие произвольной конечной длины и найти необходимые статистические свойства цепи. Построена неэкстенсивная
термодинамика, основанная на понятии условных термодинамических величин. Известно, что в эксперименте наблюдаются средние значения величин, поэтому введенное нами их определение, как среднего
значения условных величин, является наиболее естественным. На основе построенной термодинамики
вычислены неаддитивные энергия, энтропия и намагниченность.
1. G. K. Zipf, Human Behavior and the Principle of Least Effort (Addison-Wesley, New York, 1949).
2. , K. E. Kechedzhy, O. V. Usatenko, V. A. Yampol'skii, Phys. Rev. E72, 046138 (2005)
3. R. N. Mantegna, S. V. Buldyrev, A. L. Goldberger, S. Havlin,C.-K. Peng, M. Simons, and H. E. Stanley,
Phys. Rev. E52, 2939 (1995).
4. D. Sornette, L. Knopoff, Y. Y. Kagan, and C. Vanneste, J. Geophys. Res. 101, 13883 (1996); e-print arXiv:
cond-mat/9510035.
5. G. Caldarelli, M. Marsili, and Y.-C. Zhang, Europhys. Lett. 40, 479 (1997).
6. V. Pareto, Le Cour d’Economie Politique (Macmillan, London, 1896).
7. http://myhome.hanafos.com/philoint/phd-data/Zipf’s-Law-2.htm.
8. Б. А. Трубников, Природа 11, 3 (1993) .
9. Nonextensive Statistical Mechanics and Its Applications, eds. S. Abe and Yu. Okamoto Springer, Berlin,
2001.
10. C. Tsalis, J. Stat. Phis. 52, 479 (1988).
11. S. Denisov, Phys. Lett. A235, 447 (1997).
12. S. S. Melnyk, O. V. Usatenko, and V. A. Yampol'skii, Physica A
13. O. V. Usatenko, V. A. Yampol'skii, K. E. Kechedzhy and S. S. Mel'nyk, Phys. Rev. E68, 06117 (2003).
Markov chains and non-extensive thermodynamics of 1D systems
S. S. Apostolov, Z.A. Mayzelis, O. V. Usatenko, V. A. Yampol'skii
The one-dimensional Ising chain of spins with long-range interaction is considered. A new approach to
study the thermodynamic quantities of the chain based on its comparison with the Markov chain is developed.
Statistical equivalence of these two chains is shown. Statistical properties of the additive Markov chains are
found. Obtained results are used for finding non-additive energy, entropy and magnetization of non-extensive
system.
Маяковські ланцюги та не екстенсивна термодинаміка одновимірних систем
С. С. Апостолов, З. О. Майзеліс, О. В. Усатенко, В. О. Ямпольський
Розглядається одновимірний ізінговий ланцюг спінів із дальньою взаємодією. Запропоновано
новий підхід до знаходження термодинамічних величин такого ланцюга, що базується на співставленні
його з марківським ланцюгом. Показана статистична еквівалентність цих двох ланцюгів, знайдені статистичні властивості адитивних марківських ланцюгів. Отримані результати використані для знаходження
неадитивних енергії, ентропії та намагніченості неекстенсивної системи.