Sezd.kopiya
advertisement
НЕУСТОЙЧИВОСТИ И ВОЛНЫ В МАГНИТНЫХ ЖИДКОСТЯХ С ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ РАЗДЕЛА Н.Г. Тактаров, О.А. Рунова Мордовский государственный педагогический институт colonnt@mail.ru XI ВСФПТПМ, 20-24 августа 2015, Казань, Россия Аннотация. Сформулирована и исследована математическая модель неустойчивости и распада струи газа в магнитной жидкости в приложенном магнитном поле, направленном вдоль оси струи. Найдены условия, при которых возмущения поверхности струи становятся неустойчивыми и приводят к ее разрушению на отдельные пузыри газа. Показано, что с увеличением магнитного поля размер образующихся пузырей возрастает, а скорость их роста и частота возникновения уменьшаются. Эта задача представляет интерес в связи с изучением кипения магнитных жидкостей. Исследована неустойчивость цилиндрического фронта вытеснения одной магнитной жидкостью другой жидкости, движущихся в пористой среде в приложенном магнитном поле. НЕУСТОЙЧИВОСТЬ И РАСПАД СТРУИ ГАЗА В МАГНИТНОЙ ЖИДКОСТИ Задача о распаде струи магнитной жидкости решена в [1]. Неустойчивость и распад струи газа в обычной (немагнитной) жидкости исследована в [2]. Рассматривается неустойчивость и распад струи газа в магнитной жидкости. Струя газа имеет форму круглого цилиндра. Учитывается наличие поверхностного натяжения. Сила тяжести предполагается отсутствующей. Однородное приложенное магнитное поле с напряженностью H 0 в невозмущенном состоянии направлено вдоль оси струи с радиусом a . Задача решается в неподвижной цилиндрической системе координат (r , , z) , в которой жидкость покоится. Ось z направлена по оси струи. Плотность газа пренебрежимо мала по сравнению с плотностью жидкости и принимается равной нулю. Величины, относящиеся к струе, обозначаются в необходимых случаях индексом 1, а к жидкости – 2. Магнитная проницаемость жидкости предполагается постоянной. Движение магнитной жидкости описывается обычными уравнениями гидродинамики. Потенциал скорости жидкости ищем в виде (r ) exp[ i(kz n t )] , где k 2 / – волновое число; n = 0, 1, 2,…; – частота, которая может быть комплексной. Уравнение деформированной поверхности струи запишем в виде r a (, z, t ) , где 0 exp[ i(kz n t )] , 0 – малая по сравнению с величина. На поверхности струи нормальная скорость жидкости равна нормальной скорости перемещения поверхности или, в линейном приближении, n r / t при r a . Отсюда, с учетом равенства r / r , находим i 0 K n (kr) exp[ i(kz n t )] . kK n (ka) Здесь Кn – модифицированные функции Бесселя. Магнитное поле, определяется в области струи и жидкости уравнениями Максвелла rot H j 0 , div j H j 0 (j = 1, 2). Потенциал j магнитного поля, удовлетворяющий уравнению Лапласа, запишем в виде j H 0 z jw (j = 1, 2), где H 0 z – потенциал невозмущенного поля, а jw – малое возмущение, связанное с деформацией поверхности струи. Функции jw ищем в виде XI ВСФПТПМ, 20-24 августа 2015, Казань, Россия jw j (r ) exp[ i (kz n t )] . Граничные условия для магнитного поля на поверхности струи: ( n )1 ( n )2 , 1 2 . Здесь n – нормаль к поверхности струи. Подставляя выражения , , 1 , 2 и возмущение давления p w / t в условие баланса сил на поверхности струи, получим дисперсионное уравнение для поверхностных волн, которое, вводя безразмерные величины 2 2 ( / a3 )1 и (ka)1 (2a)1 , можно записать в виде 2 Q(1 2 ) 2 I n (1 ) K n (1 ) 1 K n (1 ) 2 2 1 n . K n (1 ) 42 [1 I n (1 ) K n (1 ) 2 I n (1 ) K n (1 )] (1) Здесь In – модифицированные функции Бесселя, Q H 02 ( / a) 1 – безразмерный параметр, – коэффициент поверхностного натяжения. Из (1) следует, что все возмущения с n 1 устойчивы, так как в силу свойств Бесселевых функций выполняется неравенство 2 0 при любых значениях и n 1 . Рассмотрим случай n = 0. В этом случае возмущения поверхности струи не будут зависеть от угла и она будет иметь осесимметричную форму, имеющую вид последовательных сжатий и расширений. Исследование зависимости величины 2 от ( 0 4 ) проводилось для нескольких значений магнитной проницаемости 2 жидкости. При этом бралось значение Q = 20, которому соответствуют, например, следующие значения: a = 1 см, = 1 г/cм3, H0 = 20 Э, 20 г/с2. Магнитная проницаемость газа во всех расчетах бралась равной 1 ( 1 1 ). При c частота 0 . Длина волны c называется критической. При c 2 0, что соответствует устойчивости струи. Область c соответствует неустойчивости струи, так как при этом 2 0 , и частота будет иметь комплексные значения, что приводит к неустойчивости. Как известно [2], размер пузырей, образующихся при распаде струи будет порядка длины волны m m (2a) , соответствующей величине m , при которой 2 достигает минимума 2m . Показано, что при увеличении что при увеличении Q (a, следовательно, при увеличении магнитного поля) значения c и m возрастают, m – уменьшаются. Это означает, что с ростом магнитного поля размер пузырей увеличивается, а скорость их роста и частота возникновения уменьшаются. Полученные теоретические выводы качественно согласуются с известными экспериментами по изучению кипения магнитных жидкостей. НЕУСТОЙЧИВОСТЬ ЦИЛИНДРИЧЕСКОГО ФРОНТА ВЫТЕСНЕНИЯ МАГНИТНОЙ ЖИДКОСТИ Рассмотрена задача о неустойчивости цилиндрического фронта (поверхности), разделяющего магнитные жидкости 1 и 2, находящиеся в пористой среде. Жидкость 1 заполняет объем цилиндра, поверхность которого расширяется со скоростью V Q /(2R) , где R – радиус цилиндра, Q const– объемная мощность источника жидкости на оси цилиндра. При этом происходит вытеснение жидкости 2, окружающей жидкость 1 в пористой среде. Поверхность раздела двух жидкостей при определенных условиях может стать неустойчивой, в результате чего на этой поверхности появляются увеличивающиеся со временем отростки. Найдено условие неустойчивости фронта вытеснения. Показано, что магнитное поле оказывает стабилизирующее влияние на движение жидкости. Литература 1. 2. Тактаров Н.Г. // Магнитная гидродинамика, 1975, №2, с. 35-38. Chandrasekhar S. Hydrodynamic and Hydromagnetic Stability. Oxford: Clarendon Press, 1961. 690 p.
