Опубликован: Изв. ТулГУ. Сер. «Автомоб. Тран спорт». Вып.9, 2005

1
Опубликован: Изв. ТулГУ. Сер. «Автомоб. Тран спорт». Вып.9, 2005
(Изд.-во ТулГУ, Тула, 2006) – С. 201 – 208. - ISBN 5 – 7679 – 0807 – 9.
УДК 621.436.6/8
М.С. Столбов, В.В. Эфрос (Россия, Владимир, ВлГУ)
ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ ЦИКЛ ДВИГАТЕЛЯ
ВНУТРЕННЕГО СГОРАНИЯ
В настоящее время изучение расчётного цикла двигателя проводится
на основе математической модели Гриневецкого-Мазинга. Положительные
особенности этой модели, обеспечившие её долголетие, общеизвестны,
известны также и её недостатки.
Применяемые в профессиональной практике усложнённые модели
[1], особенно так называемые «тяжёлые», обладают с точки зрения
учебных целей одним недостатком – они не описываются элементарными
функциями. Поэтому они недостаточно наглядны и ограничивают
возможности учащегося применить для анализа цикла полученные им
ранее знания по математическому анализу.
В предлагаемой работе изложены результаты создания
математической модели теоретического цикла ДВС. Политропные
процессы в ней заменены термодинамическими процессами с переменной
теплоёмкостью. Основой таких процессов служит характеристика
теплообмена между внешним источником и рабочим телом, определяющая
направление и интенсивность теплового потока. Основываясь на
указанных свойствах характеристики, авторы назвали полученный процесс
термотропным. Модель цикла математически достаточно проста и
обеспечивает существенно лучшее по сравнению со смешанным циклом
приближение к реальному циклу.
2
Учитывая актуальность вопроса для совершенствования учебного
процесса, авторы считают полезным обмен мнениями специалистов о
целесообразности внедрения предлагаемой модели в учебный процесс и
заранее благодарны за отзывы.
Характеристика теплообмена
Выразим текущее количество теплоты, которой обмениваются
внешний источник и рабочее тело, в виде
Q   Q0  x ,
(1)
где Q0 - общее количество теплоты, участвующей в процессе, х –
характеристика теплообмена.
Рассмотрим задачу определения х в общем виде. Параметры газа
находятся путём решения уравнения первого закона термодинамики,
выраженного в дифференциальной форме:
dQ  Мс v dT  pdV .
(2)
Здесь: dQ, dV и dT – дифференциалы, соответственно, теплоты,
объёма и температуры газа, М – количество молей газа, с v – истинная
мольная теплоёмкость, p – давление.
Введём понятие относительного объёма v и удельной теплоты
процесса q 0 , полученных путём отнесения абсолютных объёма V и
теплоты Q0 к какому-либо базовому объёму Vбаз . За базовый может быть
принят любой объём, например, начальный, конечный или
промежуточный, являющийся характерным для данного процесса.
Достаточным условием для решения (2) в элементарных функциях
является выражение относительной интенсивности теплообмена w = dx/dv
s
в виде функционального ряда w   Ai v mi . Интегрируя выражение w при
1
3
s = 1, получим
v  m 1  v1 m 1
x
.
v 2 m 1  v1 m 1
(3)
Индексы 1 и 2 соответствуют относительным объёмам в начале и
конце процесса, отсутствие индекса - текущему объёму. Тогда
w
 m 1
v 2m1  v1m1
v m .
(4)
Зависимость протекания характеристик х от относительного
объёма для разных значений показателя характеристики m приведена на
рис. 1.
Рис.1
Характеристики
теплообмена в
зависимости от изменения
объёма при разных
значениях m для
расширения (а) и сжатия
Зависимости (3) и (4) справедливы для
(б).
однонаправленных процессов, представляющих собой только сжатие
или только расширение. Между тем у двигателей, как правило, период
видимого сгорания начинается до в.м.т и заканчивается при
расширении. В этом случае удобнее вести расчёт для одного
совмещённого (комбинированного) термодинамического процесса,
состоящего из двух участков – сжатия и расширения и определяемого
одним значением параметра m. Задача решается преобразованием (3),
где в качестве базового объёма принимается минимальный объём в
4
конце первой части процесса и начале второй. Значения характеристики
для участков сжатия и расширения, соответственно, равны:
v m 1  v1m 1
x
,
 m 1
m 1
v2
 v1
(5)
v  m 1  v1m 1
x
.
v 2 m 1  v1m 1
(6)
Интенсивности теплопотока w для участков соответственно равны:
w
w
m 1
v 2m1  v1m1
 m 1
v 2m1  v1m1
v m2 ,
(7)
v m .
(8)
Выражения (3 - 4) и (6 - 9) не являются новыми. К первым может
быть приведена характеристика, предложенная в 1967 году Б.М. Гончаром
[2], ко вторым - опубликованная в 1968 году характеристика процесса
сгорания одним из авторов настоящей статьи [3].
Термотропный процесс при постоянном отношении теплоёмкостей k
Однонаправленный процесс
Подстановка (4) в (2) и интегрирование позволяет получить для
случая постоянного отношения теплоёмкостей (коэффициента адиабаты) k
выражения текущих давления и температуры однонаправленного процесса
k
m

v
 v  
p  p1 1  AT         ,

 v1 
 v1  

где безразмерный параметр AT 
q 0 k  11  m 


 m1


p1v1 k  m  v11v 2
 1


(9)
. (10)
5
Относительные объёмы, при которых наступают максимальные
значения давления и температуры процесса равны:
1
 mk
 mAT
v Pmax  

 k  AT  1
,
(11)
1
 mk
 1  m AT
vTmax  

 k  1 AT  1
.
(12)
Текущая удельная работа процесса, отнесённая к базовому объёму,
находится по уравнению:
1  A

T
l  p1v1 
1 k


 v 1k  A  v 1m  

 
 1  T  
 1  .


 v1 
 1 - m  v1 





(13)
Сопоставление термотропного и политропного процессов
Частным случаем является АТ = 1. Подставив это значение в (10) при
m = n, получим q0, равное количеству теплоты, участвующей в
политропном процессе [5]. Из этого следует, что политропный процесс
является частным случаем термотропного при условии АТ = 1 и m = n. По
физическому смыслу безразмерный параметр АТ равен отношению
количеств теплоты q0 в термотропном и политропном процессах.
Сравним теплоёмкости процессов. Известно, что политропный
процесс является процессом с постоянной теплоёмкостью рабочего тела.
Интегрирование dQ  c  dT с учётом зависимости Т для термотропного
процесса позволяет получить следующую зависимость для текущей
теплоёмкости термотропного процесса:
c  cv
m-k
 1
 v 
m - 1  k - 1
 1 
 AT
 v1 
m- k
.
(14)
Из полученной зависимости видно, что текущая теплоёмкость газа в
термотропном процессе зависит от параметра АТ и текущего объёма.
6
Последнее свидетельствует о том, что термотропный процесс является
процессом с переменной теплоёмкостью.
На рис. 2 приведена зависимость относительной теплоёмкости газа
c1 / cv в начальной точке процесса от показателя m. Жирными линиями на
графике обозначено протекание теплоёмкости при АТ = 1, что
соответствует политропному процессу. Рисунки с этими линиями
общеизвестны из курсов термодинамики.
k
-10
-8
-6
-4
-2
0
k 2
4
6
8
10 m
Рис 2. Зависимость теплоёмкости в начальной точке термотропного
процесса от показателя m при разных значениях параметра АТ.
Из рис.2 также видно: - линии теплоёмкости при значениях АТ ≠ 1
протекают подобно линиям политропного процесса; - при увеличении
абсолютных значений показателя m и параметра АТ все кривые
теплоёмкости приближаются к горизонтальной линии с ординатой c1 / cv =
1 и вертикальной, проходящей через точку разрыва (14); - при m = k линии
теплоёмкостей для любых значений АТ пересекаются в точке с ординатой
c1 / cv = 0, т.е. все процессы в этой точке являются адиабатными.
7
Сопоставление процессов, кроме того, выявило: - точка пересечения
(рис 2) линии теплоёмкости и горизонтальной линии с ординатой c1 / cv =
k, которая в политропном процессе соответствует изобаре, в термотропном
процессе соответствует максимуму давления в начальной точке процесса;
- точка разрыва (14) при АТ =1 соответствует изотермному процессу;
при термотропном в этой точке наступает максимум температуры.
Точки максимумов давлений и температур при осуществлении
термотропного процесса имеют место также и при промежуточных
состояниях процесса.
Совмещённый (комбинированный) процесс
На основании (7) и (8) получим для совмещённого процесса текущие
давления, соответственно, на участке сжатия ( v1  v  1 )
k
m- 2 

 v 
 v 

p  p1 1  AT1    AT1  


 v1 
 v1 


и на участке расширения (1  v  v 2 )


p  p баз 1  АТ2 v -k  AT2 v -m ,
(15)
(16)
CT р1v1-m2
СT
q0 m  1k - 1
где AТ1 
, AT 2 
, CT 
.
1-m
mk 2
рбаз m - k 
p1v1 v1v 2 
1


Здесь индексы величин АТ дополнены обозначениями 1 и 2,
означающими порядковый номер участка совмещённого процесса.
Давление р баз определяется по (15) для точки минимального объёма v баз
= 1.
На графике рис. 3 приведено протекание температурных кривых в
совмещённом процессе для разных значений m. Значения относительных
объёмов, соответствующих максимальным температурам и давлениям на
участке расширения, приведены в таблице 1.
Tаблица 1.
8
m
vP max
0.5
1.5
Располагется
Располагается на
при v > v2
участке
2.5
3,5
1,075
1,092
2,38
1,82
расширения
vT max
Располагается
5,66
при v > v2
Рис. 3. Зависимость температуры газа от объёма при разных
значениях показателя m ( q 0  3.7  10 7 Дж/м 3 ).
В ДВС максимальные температуры и давления при сгорании, как
правило, располагаются на линии расширения, следовательно, для
реальных процессов m > 1,5. Относительные объёмы на участке
расширения, при которых наступают максимальные значения давления и
температуры процесса, определяются по (11) и (12) при АТ = АТ2 .
Текущая удельная работы совмещённого процесса на участке
сжатия, равна Текущая удельная работа на участке сжатия совмещённого
процесса ( v1  v  1), равна
1 - A

T1
l 1  p1v1 
 1 - k
 v  1-k    v  m-1  

 
 1  1  
 1  ,


 v1 
 m - 1  v1 





(17)
9
Текущая удельная работы совмещённого процесса на участке
расширения lT2 находится по (13) при v1 = vбаз = 1. Полная работа
совмещённого процесса равна сумме полных работ на участках сжатия и
расширения.
Теоретический цикл
Цикл отличается от
традиционного цикла
смешанного типа
применением
совмещённого термотропного
процесса подвода теплоты
между точками d - с – f.
Рис. 4. Схема индикаторной
диаграммы термодинамического
цикла.
Процессы a – d и f – b – являются адиабатными (рис.4).
Термический к.п.д. цикла равен
 v k m  1 v m k 2  1 
 f

t  1 
 d

.
k -1 1 m
m 1  m  k
m

k

2


v f  vd



m 1

(17)
Максимальное значение термического к.п.д. при объёме v d  v d
определяется решением неявного уравнения


v dk1 v1fm  v dm1 v dm k 2  1 v kf m  1



 0.
m 1
mk 2
mk
(18)
10
На графике рис. 5 представлены кривые давлений и температур
реального (жирные линии) и теоретического циклов тракторного дизеля Д
– 120Т с наддувом.
Исходные данные для расчёта приняты по результатам исследований
реального двигателя. Среднее давление цикла при показателе m = 5
составило 1,56 МПа, термический КПД – 0,647. Влияние угла опережения
начала подвода теплоты  d на термический к.п.д. при постоянстве
значений остальных параметров показано в таблице 2.
Рис.5. Индикаторные диаграммы реального цикла (жирные линии)
и
теоретического цикла тракторного дизеля Д – 120Т с наддувом.
Таблица 2.
 d , град. п.к.в.
ηt
0
-7
-11
-16
0,636
0,647
0,650
0.643
Преимущества предложенной модели теоретического цикла по
сравнению с традиционными очевидны:
- протекание кривых на теоретической индикаторной диаграмме
подобно их протеканию на реальной диаграмме;
11
- начало и окончание подвода теплоты практически соответствуют
действительным точкам, кинетика подвода определяется одним
параметром m, а не двумя -  и  ;
- расчетные углы п.к.в., соответствующие pmax и Tmax, практически равны
реальным;
- модель позволяет провести анализ влияния параметров  d и m на
протекание параметров газа и показатели цикла.
Для дальнейшего приближения расчётных параметров к реальным
на кафедре ДВС ВлГУ разработана математическая модель расчётного
цикла, учитывающая зависимость коэффициента адибаты k от
температуры, а также влияние тепловых потерь и изменения состава
рабочего тела.
Библиографический список
1. Вибе И.И. Новое о рабочем цикле двигателей. – М. – С.: МАШГИЗ,
1962. –271 с.
2. Гончар Б.М. Теоретический цикл дизеля.зля.//Энергомашиностроение. –
1967. -№11. –С 35 – 38.
3. Столбов М.С.Теплоотдача от газов в стенки цилиндра тракторного
дизеля с воздушным охлаждением. // Тр. НАТИ №198. – М.: ОНТИ НАТИ,
1968. - С39 – 79.
4. Техническая термодинамика. Под ред. В.И.Крутова. - М.: «Высшая
школа», 1971. – 472 с.