Параллельность прямых и плоскостей.

34. Параллельность прямых и плоскостей.
Задачи [16,с.56-58], [37,с.21], [5,с.110-111], [6,с.13]. Литература
Задача
1. Проверьте следующий признак параллельности прямых в
пространстве: две прямые параллельны, если любая плоскость,
пересекающая одну из них, пересекает и другую.
Решение.
Если прямые а и b скрещиваются (или пересекаются), то найдется
плоскость, которая пересекает а и параллельна b. Если а||b, то плоскость пересекающая а в точке М, пересекает и плоскость,
проходящую через а и b. Линия пересечения плоскостей не может
быть параллельна b, т.к. через точку М нельзя построить две
прямые параллельные b  плоскость пересекает прямую b.

Задача 2. Даны а и b. Известно, что можно построить только две параллельные
плоскости, одна из которых содержит прямую а, а другая  прямую b.
Докажите, что а и b скрещиваются.
Решение: Если они параллельны, можно построить бесконечно много
параллельных плоскостей, одна из которых содержит прямую a, другая – b.
Если прямые пересекаются, то каждая плоскость, содержащая а, пересекает
плоскость содержащую b  а и b не параллельны и не пересекаются, т.е. они
скрещиваются.
Задача 3. Точка М находится вне плоскости правильного шестиугольника,
периметр которого 48 см. Найдите расстояния между серединами
отрезков, соединяющих точку М с вершинами шестиугольника.
Ответ: 4см, 8см, 4 3 см.
Задача 4. Докажите, что углы с сонаправленными сторонами равны.
Решение. Плоскости углов параллельны. Отметьте на сторонах
одного угла точки В и С, а на сторонах другого  такие точки В1 и
С1, чтобы АВ = А1В1, АС = А1С1. Т.к. АА1В1В и А А1С1С 
параллелограммы, то и ВВ1С1С  параллелограмм; ВС=В1С1.
АВС=А1В1С1 (по третьему признаку равенства треугольников),
ВАС = В1А1С1.
Задача 5. Длина стороны квадрата АВСD равна 6см. Точка М удалена от каждой
его вершины на 17см. Найдите расстояние от середины отрезка МА до
середин всех сторон квадрата.
Решение.
M
Расстояния до середины сторон АВ и АD (по свойству средней
линии треугольника) равны по 8,5см. Постройте КЕ||AD;
KECO  параллелограмм, КО=СЕ (рис.). Поэтому
E
K
D
O
F
A
H
B
C
КО 


1
2 17 2  6 2  17 2  9,5см.
2
Такое же расстояние и до середины стороны СD.
Задача 6. Три плоскости попарно пересекаются. Верно ли, что линии их
пересечения либо пересекаются в одной точке, либо параллельны?
Ответ: Да.
Содержание