Перпендикуляр и наклонная
Перпендикуляром, опущенным из данной точки на данную плоскость,
называется отрезок, соединяющий данную точку с точкой плоскости и
лежащий на прямой, перпендикулярной плоскости.
Конец этого отрезка, лежащий в плоскости, называется основанием
перпендикуляра.
Наклонной, проведенной из данной точки к данной плоскости, называется
любой отрезок, соединяющий данную точку с точкой плоскости и не
являющийся перпендикуляром к этой плоскости.
Конец отрезка, лежащий в плоскости, называется основанием наклонной.
Отрезок, соединяющий основания перпендикуляра и наклонной,
проведенных из одной и той же точки, называется проекцией наклонной.
АС – перпендикуляр к плоскости α. АВ – наклонная, ВС - проекция
наклонной АВ на плоскость α.
Теорема (о трех перпендикулярах). Прямая, проведенная в плоскости и
перпендикулярная проекции наклонной на эту плоскость, перпендикулярна и
самой наклонной.
Доказательство. Пусть АО и АМ – перпендикуляр и наклонная к
плоскости α, а – прямая, проведенная в плоскости α перпендикулярно проекции
АМ.
Докажем, что прямая а перпендикулярна проекции ОМ.
Прямая а перпендикулярна плоскости ОАМ, так как она перпендикулярна
двум пересекающимся прямым ОА и АМ этой плоскости. Отсюда следует, что
прямая а перпендикулярна каждой прямой, лежащей в плоскости АОМ, т.е.
аОМ.
Теорема доказана.
Теорема. Прямая, проведенная в плоскости перпендикулярно наклонной,
перпендикулярна и ее проекции на эту плоскость.
Доказательство. Пусть АО и АМ – перпендикуляр и наклонная,
проведенные из точки А к плоскости α.
Прямая а перпендикулярна плоскости ОАМ, так как она перпендикулярна
двум пересекающимся прямым ОА и АМ этой плоскости (аАМ по условию,
аОА, так как ОАα).
Отсюда следует, что прямая а перпендикулярна любой прямой, лежащей в
плоскости АОМ, т.е. аОМ.
Теорема доказана.
Теорема. Если из одной точки, взятой вне плоскости, проведены к этой
плоскости перпендикуляр и две наклонные, то:
1) две наклонные, имеющие равные проекции, равны;
2) из двух наклонных больше та, проекция которой больше.
Доказательство. Пусть АО перпендикуляр к плоскости α. АВ и АС –
наклонные к этой плоскости.
По условию АОα, следовательно, АООВ и АООС.
Из прямоугольных треугольников АОВ и АОС находим АВ=√АО2 + ОВ2 ,
АС=√АО2 + ОС2 .
Отсюда: если ОВ=ОС, то АВ=АС; если OB<OC, то AB<AC.
Теорема доказана.
Поскольку перпендикуляр к плоскости, наклонная и ее проекция образуют
прямоугольный треугольник, для них справедливы следующие свойства:
АО=АВsinABO; BO=ABcosABO; AO=BOtgABO.
Расстоянием от точки до плоскости называется длина перпендикуляра,
проведенного из этой точки к данной плоскости
Расстоянием между параллельными плоскостями называется
расстояние от произвольной точки одной из параллельных плоскостей до
другой плоскости.
Расстоянием между прямой и параллельной ей плоскостью называется
расстояние от произвольной точки прямой до плоскости.
Расстоянием между скрещивающимися прямыми называется
расстояние от одной из скрещивающихся прямых до плоскости, проходящей
через другую прямую и параллельной первой прямой.
Расстояние между скрещивающимися прямыми определяется как
кратчайшее расстояние между точками этих прямых – оно равно длине их
общего перпендикуляра. Это расстояние равно расстоянию от одной из
скрещивающейся прямых до плоскости, которая проходит через другую
прямую параллельно первой.
Примеры решения задач
Задача № 1. Точка А принадлежит одной из двух взаимно
перпендикулярных плоскостей, точка В – другой. Расстояния от данных точек
до линии пересечения плоскостей равны соответственно 14 см и 7 см, а
расстояние между точками А и В – 21 см. Найти расстояние между концами
перпендикуляров, проведенных из данных точек на линию пересечения
плоскостей.
Дано: АС=14 см, BD=7 см, АВ=21
см, АСα, BDβ.
Найти: CD
Решение:
Соединим точки С и В и рассмотрим треугольник АСВ.
Он прямоугольный, так как АСα, отсюда АССВ. по теореме Пифагора ВС=
AB2  AC 2 =7 5 см. Из прямоугольного треугольника BDC (BDDC) найдем
CD= CB2  BD 2 =14 см.
Ответ: 14 см
Задача № 2. Прямоугольный треугольник опирается катетом АС на
плоскость α, образуя с ней двугранный угол 30 о. Найти расстояние от вершины
В до плоскости α, если АС=8 см, АВ=3ВС.
Дано: АС=8 см, АВ=3ВС,
BCD=30о
Найти: BD
Решение:
Проведем BDα и соединим точку D с точкой С.
По условию ВСАС, значит, по теореме о трех перпендикулярах и DCАС.
Угол BCD – линейный угол двугранного угла, образованного плоскостью
треугольника и плоскостью α. Значит угол BCD=30о.
Из треугольника АВС про теореме Пифагора имеем АС2=АС2+ВС2 или
9ВС2=64+ВС2, откуда ВС=2 2 см.
Треугольник BDC прямоугольный, так как BDDC. Значит, BD=ВС/2= 2 см
как катет, лежащий против угла в 30о.
Ответ: 2 см
Задача № 3. Стороны треугольника равны 15, 37 и 44 см. Из вершины
большего угла треугольника проведен к его плоскости перпендикуляр, равный
16 см. Найти расстояние от его концов до большей стороны.
Дано: BD=16 см, АВ=15 см, ВС=37
см, АС=44 см.
Найти: KD
Решение:
Проведем ВКАС и соединим точку К с D.
По теореме о трех перпендикулярах DKAC и поэтому является расстоянием
от точки D до стороны АС.
Вычислим полупериметр и площадь треугольника АВС. Р=(15+37+44):2=48 см.
SABC= 48(4815)(4837(4844) =264 см2.
1
С другой стороны, SABC= ВКАС, откуда ВК=2264:44=12 см.
2
Треугольник DBK прямоугольный, так как BD(ABC). Отсюда BDBK.
Значит KD= BD 2  BK 2 =20 см.
Ответ: 20 см
Задача № 4. АВСА1В1С1 – правильная треугольная призма, АВ=4 см,
АА1=2 см. Вычислите расстояние от вершины А до плоскости, проходящей
через вершину А1 и прямую АВ.
Дано: АВСА1В1С1 – правильная
треугольная призма, АВ=4 см, АА1=2
см
Найти: АТ
Решение:
Пусть точка О – середина ребра ВС и отрезок АТ – высота треугольника А1АО.
Тогда отрезок АТ перпендикулярен плоскости А1АВ.
Действительно, АТА1О (так как АТ – высота треугольника А1АО), АТВС
(прямая ВС перпендикулярна плоскости А1АО, а значит, и прямой АТ,
лежащей в этой плоскости).
Таким образом, АТА1О и АТВС, значит, АТ(А1ВС).
Расстояние от точки А до плоскости А1АВ есть длина отрезка АТ.
В треугольнике А1АО (А1АО=90о) SА1АО=АА1АО/2=А1ОАТ/2.
Следовательно АА1АО=А1ОАТ, АТ= АА1АО/А1О.
В треугольнике АОС (АОС=90о, АС=4 см, СО=2 см) АО= AC 2 ОC 2 =2 3 см.
В треугольнике А1АО (А1АО=90о, А1А=2 см, АО=2 3 см) длина гипотенузы
А1О= AA12  AО2 =4 см. Таким образом, АТ= 3 см.
Ответ: 3 см
Задача № 5. SABCD – правильная четырехугольная пирамида, длина
каждого ребра которой равна 2 см. Вычислите расстояние от точки О
пересечения диагоналей основания до плоскости, проходящей через прямую
DC и середину F ребра SA.
Дано: SABCD – правильная
четырехугольная пирамида, АВ=2
см.
Найти: ОТ
Решение:
К=lSB, FL, l║FD. Трапеция DFKC – сечение. Пусть О=BDAC, P=SOKD,
точка Е – середина ребра DC, а отрезок ОТ – высота треугольника РОЕ.
ОТРЕ (так как ОТ высота треугольника РОЕ), ОТDC (DCОТ, так как DC
перпендикулярна плоскости РОЕ, в которой лежит прямая ОТ).
ОТРЕ и ОТDC, следовательно, ОТ(FDC), а длина отрезка ОТ есть
расстояние от точки О до плоскости, в которой лежит сечение DFKC.
В треугольнике РОЕ (РОЕ=90о) SРОЕ=РООЕ/2=РЕОТ/2. Следовательно,
2
1
см, ОЕ=FD/2=1 см.
SC 2 ОC 2 =
3
3
2
11
РЕ= РО2 ОЕ 2 =
см. Таким образом, ОТ=
см.
3
11
РООЕ=РЕОТ, ОТ= РООЕ/РЕ. РО=SO/3=
Ответ:
2
см
11
Задания для самостоятельной работы
Вариант 1
1. Прямая, проведенная в плоскости и перпендикулярная проекции наклонной на эту
плоскость…
1) Параллельна наклонной
2) Равна наклонной
3) Перпендикулярна наклонной
2. Если прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна ее
проекции, то…
1) Она перпендикулярна наклонной
2) Она параллельна наклонной
3) Она скрещивается с наклонной
3. ABCD – квадрат. Отрезок МВ перпендикулярен плоскости ABCD. Расстояние от точки М
до прямой CD – это…
1) Отрезок МК
2) Отрезок МС
3) Отрезок MD
4. Треугольник АВС – прямоугольный. Чему равна длина стороны АC…
1) АВsin
2) АВcos
3) СBsinα
5. Чему равна длина наклонной, если ее проекция на плоскость равна 4 см, а перпендикуляр
равен 3 см?
6. Из точки М к плоскости проведены две наклонные, длины которых 18 см и 2 109 см. Их
проекции на эту плоскость относятся как 3:4. Найдите расстояние от точки М до плоскости.
7. Через вершину В тупого угла параллелограмма ABCD проведен к его плоскости
перпендикуляр МВ, равный 6 см. Площадь параллелограмма 144 см2. АВ=12 см, ВС=18 см.
Найдите расстояние от точки М до прямой AD.
8. Длина бокового ребра правильной треугольной пирамиды SABCD равна 8 см. Вычислите
расстояние от вершины основания АВС, если АВ=12 см.
9. Точка О – середина ребра СС1 куба ABCDA1B1C1D1. Найдите расстояние между прямыми
B1D1 и DO, если ребро куба равно 2 6 см.
10. Дан прямоугольник ABCD, у которого АВ=9 см, AD=12 см. К плоскости прямоугольника
проведены в перпендикуляры ВВ1 и СС1. Определить В1С1, если АС1=39 см, DВ1=25 см.
Вариант 2
1. Две наклонные, имеющие равные проекции…
1) Не равны
2) Равны
3) Зависит от угла наклона
2. Если прямая на плоскости перпендикулярна наклонной, то она…
1) Перпендикулярна и всем прямым плоскости
2) Параллельна проекции наклонной
3) Перпендикулярна проекции наклонной
3. В треугольнике АВС АС=СВ. Отрезок МС перпендикулярен плоскости АВС. Расстояние
от точки М до прямой АВ – это…
1) Отрезок МА
2) Отрезок МВ
3) Отрезок МК
4. Треугольник АВС – прямоугольный. Чему равна длина стороны АC…
1) АВsinβ
2) АВcosβ
3) СBsinβ
5. Из точки А, данной на расстоянии 6 см от плоскости, проведена наклонная длиной 10 см.
Чему равна ее проекция на плоскость?
6. Из точки А к плоскости проведены перпендикуляр АВ и наклонные АС и АМ, проекции
которых образуют прямой угол. Вычислите расстояние от точки С до прямой АМ, если
АВ=15 см, ВС=16 см и ВМ=20 см.
7. Через сторону АВ квадрата ABCD, равную 5 см, проведена плоскость α. Расстояние от
прямой DC до этой плоскости 4 см. Найдите расстояние между прямой АВ и проекцией
прямой DC на плоскость α.
8. Основание треугольной пирамиды SABC – прямоугольный треугольник АВС, в котором
АСВ=90о, САВ=30о. Вычислите длину высоты грани ASB, проведенной из вершины S,
если длина бокового ребра SC, перпендикулярного основанию, равна 4 см, а АС=6 см.
9. Диагональное сечение правильной четырехугольной призмы BCDAA 1B1C1D1 является
квадратом. Точка О – середина ребра СС1. Вычислите расстояние от точки D1 до плоскости
DOB1, если площадь диагонального сечения равна 32 см2.
10. Стороны треугольника относятся как 9:10:11. Определить периметр треугольника, если
известно, что некоторая точка М удалена от плоскости треугольника на 7 см, а от каждой его
стороны на 9 см.
Вариант 3
1. Из двух наклонных больше та…
1) Перпендикуляр которой больше
2) Проекция которой больше
3) Угол наклона которой больше
2. Из любой точки к прямой можно провести…
1) Единственный перпендикуляр
2) Два перпендикуляра
3) Сколько угодно перпендикуляров
3. ABCDA1B1C1D1 – куб. Расстояние от точки D до плоскости АА1В1В – это…
1) Отрезок DB1
2) Отрезок DA
3) Отрезок DA1
4. Треугольник АВС – прямоугольный. Чему равна длина стороны АВ…
1) АC2+ВС2
2)
АС2 ВС2
3) АС2 ВС2
5. Между двумя столбами высотой 3 и 6 м натянут трос. Чему равна длина троса, если
расстояние между столбами 4 м?
6. Из точки М к плоскости проведены две наклонные, которые образуют со своими
проекциями на плоскость углы 30о. Угол между наклонными равен 90о. Найдите расстояние
между основаниями наклонных, если расстояние до точки М до плоскости равно 2 см.
7. К плоскости квадрата ABCD проведен перпендикуляр KD. Сторона квадрата равна 7 см.
Найдите расстояние между прямыми АВ и KD.
8. Боковое ребро ТА четырехугольной пирамиды ТABCD, основание которой –
прямоугольник ABCD, перпендикулярно плоскости основания. Вычислите длину ребра ТА,
если TD=12 см, ТС=18 см, ТВ=14 см.
9. В правильной четырехугольной призме ABCDA1B1C1D1 точка О – середина ребра СС1.
Найдите расстояние от вершины D до прямой А1О, если АВ= 6 см, АА1=2 6 см.
10. Отрезок МА1 длиной 24 см является проекцией отрезка МА на плоскость . Найти длину
отрезка АВ если АА1=18 см, В принадлежит МА и АВ:ВМ=2:3.
Вариант 4
1. Отрезок, соединяющий основания перпендикуляра и наклонной, проведенных из одной и
той же точки, называется…
1) Перпендикуляром
2) Апофемой
3) Проекцией
2. Плоскость и прямая, пересекающая эту плоскость, называются перпендикулярными
если…
1) Прямая пересекает плоскость под углом 90о
2) Прямая перпендикулярна любой прямой плоскости, проходящей через точку
пересечения
3) Прямая перпендикулярна любой прямой плоскости
3. ABCDA1B1C1D1 – прямоугольный параллелепипед. Расстояние от точки С до грани
ADD1A1 – это…
1) Отрезок AC
2) Отрезок CD1
3) Отрезок DC
4. Треугольник АВС – прямоугольный. Чему равна длина стороны ВС…
1) АВsin
2) АВcos
3) АСsinα
5. Чему равна проекция наклонной длинной 12 см, если угол между наклонной и ее
проекцией на плоскость 60о?
6. Дан отрезок АВ, точка А которого принадлежит плоскости, а точка В удалена от
плоскости на 10 см. Найдите расстояние от середины отрезка АВ до плоскости.
7. Из точки А к плоскости α проведены перпендикуляр АВ и наклонные АС и AD, проекции
которых образуют между собой прямой угол. Вычислите длину высоты СК треугольника
ACD, если АВ=15 см, ВС=16 см, BD=20 см.
8. АВСА1В1С1 – прямая призма, в основании которой лежит прямоугольный треугольник
АВС (АСВ=90о). Вычислите расстояние от точки пересечения диагоналей грани АА1В1В до
плоскости в которой лежит грани АА1С1С, если АВ=5 см и АС=3 см.
9. Точки Р и О середины ребер А1В1 и ВС куба ABCDA1B1C1D1. Найдите расстояние от
вершины С1 до прямой РО, если ребро куба равно 4 17 см.
10. В треугольной пирамиде SABC боковое ребро SB перпендикулярно плоскости основания
пирамиды. Вычислите длину высоты SD треугольника SAC, если АВ=10 см, ВС=17 см,
АС=21 см, SB=15 см.
Вариант 5
1. Прямая, проведенная в плоскости перпендикулярно наклонной…
1) Параллельна ее проекции на эту плоскость
2) Равна ее проекции на эту плоскость
3) Перпендикулярна ее проекции на эту плоскость
2. Плоскость и прямая, пересекающая эту плоскость перпендикулярны, если прямая…
1) Перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости
2) Перпендикулярна двум параллельным прямым, лежащим в плоскости
3) Перпендикулярна прямой, лежащей в плоскости
3. ABCD – прямоугольник. АВ принадлежит плоскости α. Точки С1 и D1 – проекции точек C
и D на плоскость α. Расстояние от прямой CD до плоскости α – это…
1) Отрезок AD
2) Отрезок AD1
3) Отрезок DD1
4. Треугольник АВС – прямоугольный. Чему равна длина стороны ВС…
1) АВsinβ
2) АСsinβ
3) АВcosβ
5. Угол между наклонной и ее проекцией 45о. Чему равна длина проекции, если длина
перпендикуляра равна 8 см?
6. В прямоугольном треугольнике АВС, С=90о, В=30о, АС=6 см. Через вершину прямого
угла проведен к плоскости этого треугольника перпендикуляр СМ, равный 3 см. Найдите
расстояния от точки М до гипотенузы.
7. Прямая ОВ перпендикулярна плоскости квадрата ABCD. Вычислите площадь
треугольника OAD, если ОВ=8 см, АВ=6 см.
8. Основание треугольной пирамиды SABCD – равнобедренный треугольник АВС, а боковое
ребро SA перпендикулярно плоскости основания. Найдите длину ребра SA, если АВ=АС=10
см, а площадь грани ABC равно 48 10 см2.
9. АВСА1В1С1 – прямая призма, в основании которой лежит прямоугольный треугольник
АСВ (АСВ=90о). Вычислите расстояние от точки пересечения диагоналей грани АА1В1В до
грани АА1С1С, если АС=5 см и АС=3 см.
10. Диагонали ромба ABCD пересекаются в точке О, отрезок OF перпендикулярен плоскости
ромба. Вычислите длину большей диагонали ромба, если FC=7 см, FD=5 см, а площадь
ромба 10 см2.
Вариант 6
1. Точка пересечения перпендикуляра с плоскостью называется…
1) Секущей точкой
2) Основанием перпендикуляра
3) Ортогональной проекцией
2. Две прямые, перпендикулярные одной и той же плоскости…
1) Всегда скрещиваются
2) Параллельны
3) Могут пересекаться
3. АВСА1В1С1 – прямая треугольная призма. Расстояние от точки А до грани А1В1С1 - это…
1) Отрезок АС
2) Отрезок АС1
3) Отрезок АА1
4. Треугольник АВС – прямоугольный. Чему равна длина стороны АС…
1) АВ2-ВС2
2)
АВ2 ВС 2
3) АВ2 ВС2
5. Чему равна длина перпендикуляра, если длина проекции наклонной длиной 15 см на
плоскость равна 9 см?
6. Из точки М к плоскости проведены две наклонные, длины которых 10 см и 6 5 см. Их
проекции на эту плоскость относятся как 2:3. Найдите расстояние от точки М до плоскости.
7. К плоскости квадрата ABCD проведен перпендикуляр ВМ, равный 4 см. Найдите
расстояние от точки М до диагонали АС квадрата, если АВ=3 2 см.
8. Дан куб ABCDA1B1C1D1. Найдите расстояние между прямыми АВ1 и CD1, если длина куба
равна 8 см.
9. В правильной треугольной призме АВСА1В1С1 каждое ребро равно 4 3 см. Точка О –
середина ребра ВВ1. Найдите расстояние от вершины В до плоскости АСО.
10. В равнобедренном треугольнике АВС основание АС=6 см, а высота DB=9 см. Точка М
равноудалена от всех вершин данного треугольника. Вычислите расстояние от точки М до
плоскости треугольника, если расстояние МС= 34 см.
Вариант 7
1. Может ли перпендикуляр быть равным наклонной…
1) Да
2) Нет
3) Если они перпендикулярны
2. Плоскость, перпендикулярная одной из параллельных прямых…
1) Перпендикулярна и другой
2) Не перпендикулярна другой
3) Не всегда перпендикулярна другой
3. ABCD – квадрат. ВМ=МС. В точку О пересечения диагоналей квадрата проведен
перпендикуляр ОК. Расстояние от точки К до стороны квадрата ВС – это…
1) Отрезок КС
2) Отрезок КМ
3) Отрезок КВ
4. Треугольник АВС – прямоугольный. Чему равна длина стороны ВС…
1) АСsin
2) АСcos
3) АСtgα
5. Чему равно расстояние от точки В до плоскости, если длина наклонной, проведенной из
этой точки к плоскости равна 10 см, а длина проекции – 8 см?
6. Отрезок АВ, равный 10 см, не имеет общих точек с плоскостью α. Его концы удалены от
плоскости на 20 см и 14 см. Найдите периметр четырехугольника, вершинами которого
являются точки А, В и их проекции на плоскость α.
7. К плоскости прямоугольника ABCD, площадь которого равна 180 см 2, проведен
перпендикуляр KD. Найдите расстояние от точки К до стороны ВС прямоугольника, если
KD=12 см, ВС=20 см.
8. Диагональное сечение правильной четырехугольной призмы ABCDA1B1C1D1 является
квадратов. Точка О – середина ребра СС1. Вычислите расстояние от точки D1 до плоскости
DOB1, если площадь диагонального сечения равна 32 см2.
9. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 площадь сечения, проходящего через
вершину С перпендикулярно DC1, равна 2 5 см2. Вычислите площадь боковой поверхности
параллелепипеда, если его боковое ребро в два раза больше стороны основания.
10. В равнобедренном треугольнике АВС основание АВ=6 см, а боковая сторона ВС=5 см.
Отрезок ОК перпендикулярен плоскости треугольника (где точка О – центр окружности,
вписанной в данный треугольник). Найдите длину отрезка ОК, если высота треугольника
АКВ, проведенной из вершины К равна 2,5 см.
Вариант 8
1. Если прямая перпендикулярна плоскости, то она…
1) Лежит в этой плоскости
2) Перпендикулярна единственной прямой этой плоскости
3) Перпендикулярна любой прямой этой плоскости
2. Расстоянием от точки до плоскости называется…
1) Длина перпендикуляра, проведенного из этой точки до плоскости
2) Расстояние от этой точки до любой точки плоскости
3) Перпендикуляр, проведенный из этой точки к плоскости
3. АК – перпендикуляр, проведенный к плоскости треугольника АВС. Угол А=90о. АМ –
высота треугольника АВС. Расстояние от точки К до прямой АВ – это…
1) Отрезок КВ
2) Отрезок КМ
3) Отрезок КС
4. Треугольник АВС – прямоугольный. Чему равна длина стороны ВС…
1) АCctgβ
2) АСtgβ
3) АCcosβ
5. Угол между перпендикуляром и проекцией составляет 30 о. Чему равна длина проекции,
если длина наклонной 14 см?
6. К плоскости прямоугольного треугольника АВС (С=90о) проведен перпендикуляр РВ.
РА=13 см, АВС=30о, АС=5 см. Найдите расстояние от точки Р до прямой АС; плоскости
треугольника АВС.
7. Отрезок АМ, равный 12 см, перпендикулярен плоскости треугольника АВС. Найдите
расстояние от точки М до прямой ВС, если АВ=АС=20 см, ВС=24 см.
8. Отрезок МА1 длиной 24 см является проекцией отрезка МА на плоскость α. Найдите длину
отрезка АВ, если АА1=18 см, точка В принадлежит отрезку МА и АВ:ВМ=2:3.
9. ABCDA1B1C1D1 – прямоугольный параллелепипед, у которого АВ=6 см, ВС=10 см и
АА1=8 см. Вычислите площадь сечения параллелепипеда, которое проходит через вершину С
перпендикулярно диагонали DС1.
10. На плоскости  дан угол, равный 60о. Точка М удалена от каждой стороны угла на 7 см, а
от его вершины на 13 см. Найти расстояние от точки М до плоскости .
Вариант 9
1. Если прямая имеет с плоскость две общие точки, то прямая…
1) Перпендикулярна плоскости
2) Параллельна плоскости
3) Лежит в этой плоскости
2. Прямая, проведенная в плоскости и перпендикулярная проекции наклонной на эту
плоскость…
1) Параллельна наклонной
2) Перпендикулярна наклонной
3) Лежит под углом к наклонной
3. Отрезок КА – перпендикуляр к плоскости прямоугольника ABCD. Расстояние от точки К
до прямой DC – это…
1) Отрезок KD
2) Отрезок КС
3) Отрезок КВ
4. Треугольник АВС – прямоугольный. Чему равна длина стороны ВС…
1) АВ2 АС2
2) АB2-AС2
3) АВ2 АС2
5. Наклонная образует равные углы с перпендикуляром и проекцией. Чему равна длина
проекции наклонной на плоскость, если длина наклонной равна 4 2 см?
6. Дан отрезок АВ, точка А принадлежит плоскости, а точка В находится на некотором
расстоянии от нее. Расстояние от середины отрезка до плоскости равно 5 см. Найдите
расстояние от точки В до плоскости.
7. Прямоугольники ABCD и АВМК лежат в разных плоскостях. Сумма их периметров 46 см.
Найдите расстояние между прямыми АК и ВС, если АК=6 см, ВС=5 см.
8. Через вершину С прямого угла треугольника АВС проведена прямая а, перпендикулярная
его плоскости. Найдите расстояние между прямыми а и АВ, если АС=15 см, ВС=20 см.
9. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD точка О – точка пересечения
диагоналей основания. Отрезок SO равен стороне основания, длина которой 6 см, а точка
Р – середина ребра SC. Найдите расстояние между прямыми АС и DP.
10. Через вершину В тупого угла параллелограмма ABCD проведена прямая ВМ,
перпендикулярная его плоскости. Вычислите длину большей стороны параллелограмма, если
АМ=3 5 см, MD=МС=5 см, АС=2 22 см.
Вариант 10
1.Прямая, пересекающая плоскость, имеет с этой плоскостью…
1) Две общие точки
2) Одну общую точку
3) Много общих точек
2. Каждая точка прямой, параллельной плоскости, находится…
1) На разных расстояниях от этой плоскости
2) На отрезке, перпендикулярном этой плоскости
3) На одном и том же расстоянии от этой плоскости
3. АК – перпендикуляр к плоскости параллелограмма ABCD. АМ – высота параллелограмма.
Расстояние от точки К до прямой DC – это…
1) Отрезок KD
2) Отрезок КМ
3) Отрезок КС
4. Треугольник АВС – прямоугольный. Чему равна длина стороны АС…
1) ВCctgβ
2) ВСtgβ
3) АВtgβ
5. Расстояние от точки С до плоскости – 9 см. Найдите длину отрезка СВ, если расстояние от
конца перпендикуляра до точки В, лежащей в плоскости равно 12 см.
6. Из центра круга радиусом 9 см проведен перпендикуляр к его плоскости. Найти
расстояние от конца этого перпендикуляра до точек окружности, если длина перпендикуляра
40 см.
7. В равнобедренном треугольнике АВС длина основания ВС равна 6 см, а длина бокового
ребра – 5 см. Из вершины А проведен отрезок АК, перпендикулярный плоскости АВС.
Вычислите расстояние от точки К до прямой ВС, если АК=3 см.
8. В равнобедренном треугольнике угол при вершине равен 120 о, а боковые стороны – по 10
см. Вне плоскости треугольника дана точка, удаленная от всех его вершин на 26 см. Найдите
расстояние от этой точки до плоскости треугольника.
9. Длина ребра куба ABCDA1B1C1D1 равна 2 2 см. Найдите расстояние между прямыми
BD1 и ВС.
10. Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке О, а прямая МО
перпендикулярна плоскости данного параллелограмма. Вычислите длину высоты
параллелограмма, проведенной к меньшей его стороне, если длины сторон параллелограмма
равны 20 см и 50 см, а расстояния от точки М до сторон параллелограмма равны 17 и 25 см.
Ответы
Вариант
1
Вариант
2
Вариант
3
Вариант
4
Вариант
5
Вариант
6
Вариант
7
Вариант
8
Вариант
9
Вариант
10
1
3
2
2
3
3
2
2
3
3
2
2
1
3
1
2
1
2
1
1
2
3
3
2
3
2
3
3
3
2
2
1
2
4
2
1
3
1
3
2
3
1
1
2
5
5
8
5
6
8
12
6
7
4
15
6
4
20
4
5
3
4
52
12
10
41
7
10
3
7
20
30
5
15
20
6
5
8
4
5
4
2
24
8
4
12
12
24
9
4
4
2
17
2
3
32
75
1
2
10
20
60
12
17
10
3
2
3
6
16
Скачать

Перпендикуляр и наклонная