Глава 8 - Sciyouth.ru

ЧАСТЬ 2. ОПТИМИЗАЦИЯ ФУНКЦИОНАЛОВ
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИОНАЛА
8
8.1 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИОНАЛА ОТ ФУНКЦИИ
Пусть элементами множества допустимых решений Х являются
функции одной переменной t , определенные на отрезке [t 0 t 1 ].
Иначе говоря,
X={x(t)},
x= x ( t ); t  [t 0 t 1 ].
Такое множество Х называется функциональным. Например, множество Х
всех функций, определенных на отрезке [0,1], является функциональным.
Функции x = 2t -5 , x=sin t + 2cos 1  t являются элементами этого
множества, а функции x= 2t  1 , x =ln sin 2  t не являются, так как они не
определены на отрезке [0,1].
Функция f(x), определенная на функциональном множестве X={x(t)},
t  [t 0 ,t 1 ], называется функционалом от функции x(t) и часто обозначается
J[x(t)], U [x(t)] и пр.
Если раскрыть входящие в это определение понятия функционального
множества и функции, то функционалу можно дать следующее
определение: если задано множество Х некоторых функций х(t),
определенных на [t 0 ,t 1 ], и каждой из этих функций однозначно ставится в
соответствие некоторое число, то говорят, что на функциональном
множестве Х определен функционал J[x(t)].
Пример 1. Значение функции x(t) в точке t= 0.4 , х=(0.4) будет
функционалом J от функции x(t), определенной на любом отрезке [t 0 ,t 1 ],
содержащем точку t=0.4, так как каждой такой функции однозначно
соответствует число - ее значение в точке 0.4 . Так,
J [1+2t]=1+2*0.4=1.8,
2
t
J [ t  ] = 5.6325.
Пример 2. Определенный интеграл
1
J   x 2 dt
0
будет функционалом U[x(t)] на множестве всех функций, определенных на
отрезке [0.1], так как каждой из них однозначно соответствует вполне
определенное число - значение интеграла.
Например,
1 (1  2t ) 3 1 13
|= ;
U[1+2t] =  (1  2t ) dt = *
3
2
3
0
0
1
2
111
1
U[ sin t] =  sin tdt =
2
0
1  cos 2t
0 2 dt =
1
t 1
1
  sin 2t  | = 0.273
2 4
0
Пример 3. Рассмотрим вал, установленный на
опоры А и Б (рис.8.1). Поместив в опоре А
начало координат и направив ось OX
вертикально вверх, можно характеризовать
конфигурацию
вала
функцией
x(t),
определенной на отрезке [0.L].
При действии одной и той же нагрузки
каждой
конфигурации
вала
однозначно
соответствует определенный
максимальный
прогиб, следовательно максимальный прогиб
вала можно представить как функционал
Рис. 8.1
U[x(t)], t  [0.l ] .
В зависимости от структуры функционального множества Х и вида
самого функционала возникают различные задачи оптимизации. Элементы
множества Х - функции x(t) - могут быть кусочно-непрерывными (т.е.
допускающими конечное число разрывов I рода ), дифференцируемыми
один и К раз. На их значения могут не налагаться условия - оптимизация
без ограничений, но могут и налагаться условия вида
 j ( x, t )  0; ( 0)
или
 p ( x, t )  0; ( 0) .
Тогда говорят об оптимизации с
Рис. 8.2
ограничениями. Например, (рис.8.2),
ограничения t  x  1 2t , x  2
задают любую функцию x(t), график которой укладывается в
изображенную на рис.8.2 область Q : x(t) Q.
Очень часто накладываются ограничения особого вида:
x(t 0 )=x 0 ; x(t 1 )=x 1 ,
(8.1)
где x0 , x 1 - определенные числа, т.е. требуется, чтобы все функции x(t) X
проходили через заданные начальную и конечную точку. Выражение (8.1)
называют граничными условиями, а задачу оптимизации - задачей с
закрепленными концами. Если не все граничные значения функции
фиксированы - задачей с частично закрепленными концами. Аналогичные
условия могут налагаться и на производные функции x(t) .
Функционал чаще всего задается в одной из следующих форм.
Форма Лагранжа
t1
J[x(t)] =
f
0
dt ,
t0
где
подынтегральная
функция
полагается
непрерывной
дифференцируемой функцией своих аргументов. Она зависит:
и
112
или от аргумента t и элемента x(t): f 0  f 0 (t , x) , - так называемый
вырожденный функционал,
или от аргумента элемента x(t) и его производной x (t): f 0 = f 0 (t,x, x ) - так
называемый простейший функционал,
или от аргумента элемента x(t) и его первой и высших производных:
f 0 = f 0 (t, x, x , x ,..., x k )- так называемый функционал, зависящий от
высших производных.
Форма Майера
J[x(t)] = F(x(t 0 ),x(t 1 )),
где F - некоторая непрерывная и дифференцируемая функция начального и
конечного значений функции x(t).
Форма Больца, объединяющая их,
t1
J [x(t)] =
f
0
dt  F.
t0
Например,
2
вырожденный - J =  (tx 2  2t x)dt ,
0
3
простейший - J =  (tx 2  2 x)dt ,
1
1
зависящий от старших производных J =  (tx  xx  t 2 x 4 )dt ,
0
в форме Майера - J = x (1)+x (0),
2
2
1
в форме Больца - J =  ( xt  x)dt  2 x(1) .
0
8.2 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИОНАЛА
ОТ НЕСКОЛЬКИХ ФУНКЦИЙ
Элементами множества допустимых решений Х являются вектор функции x(t), имеющие n компонентов: функций x 1 (t), x 2 (t),..., x n (t),
определенных на некотором отрезке [t 0 ,t 1 ],
т.е. Х = {x(t)}, x(t) = (x 1 (t),x 2 (t),..., x n (t)), t [t 0 ,t 1 ].
Функция, определенная на таком функциональном множестве Х,
называется функционалом от n функций x 1 (t), x 2 (t),..., x n (t) или
функционалом от n - мерной вектор - функции x(t):
J [x 1 (t),x 2 (t),...,x n (t)]  J[x(t)].
Например,
1
J [x(t)] =  (( x1 ) 2  2 x1 x 2  3 x 2t 2 )dt ;
0
U[x(t)] = x 1 (0.4)*x 2 (1)*x 3 (1).
113
Аналогично п.8.1, структура множества Х определяется характером
функций x i (t), i = 1,2,..., n ( кусочно - непрерывные, непрерывные, один и
К раз дифференцируемые) и накладываемыми на них ограничениями вида
 j (X, t) < 0; (> 0); j = 1,..., 5;
 p (X, t)  0; (  0); p = 1,...,m .
(8.2)
Условия (8.2) условно обозначаются x(t)  Q. Однако, помимо этого, на
функции x i (t), i = 1,..., n и их производные может налагаться и ряд
условий вида
 i (t , x, x, x,...)  0 ; i=1,...,k
(8.3)
(понятно, что число таких уравнений должно быть меньше числа функций
x i (t), i = 1,..., n, т.е. k<n).
Не уменьшая общности, можно считать, что уравнения (8.3)
приводятся к нормальной форме Коши относительно каких - нибудь k из n
функций x 1 (t), x 2 (t),..., x n (t):
x i = f i (t, x); i = 1,...,k.
(8.4)
При этом компоненты вектор - функции x(t) выступают
неравноправно: одни из них входят в уравнения (8.4) вместе с
производной, другие - только сами по себе. Первые принято называть
фазовыми координатами, вторые - управлениями. Вводя k- мерную
вектор - функцию фазовых координат y(t) и n-k- мерную функцию
управлений u(t), можно считать, что элементом x(t) множества Х является
пара вектор - функций (y(t), u(t)), связанных соотношениями (уравнениями
связи)
y = f(t, y, u),
(8.5)
где f = (f , f ,..., f ) k - мерная непрерывная и дифференцируемая вектор
- функция аргументов t, y, u.
Функционал, как и в п.8.1, рассматривается в одной из следующих
форм (заметим, что здесь уже функционал не зависит явно от производных
функции x(t)):
1
2
k
Лагранжа J =
t1
f
0
(t , y, u )dt ;
t0
Майера J = F ( y(t0 ), y(t1 )) ;
Больца J =
t1
f
0
(t , y, u )dt  F ( y (t 0 ), y (t1 )) .
t0
Особо выделим случай, когда фазовые координаты в задаче
отсутствуют, тогда функционал вида
114
J 
t1

f
0
(t ,U ) dt
t0
называется вырожденным функционалом.
Если в задаче дан функционал в ином виде, то его всегда, вводя
новые переменные, можно свести к одной из стандартных форм
функционала.
Пример 1.
1
J   ( y1u  ( w) 2 )dt;
0
.
y  y1wctgu.
Здесь функционал задан не в стандартной форме Лагранжа, так как
помимо фазовой координаты y1 и управления u подынтегральная функция
содержит производную другой переменной w. Вводя вспомогательную
.
функцию v  w , получим функционал
1
J   ( y1u  v 2 )dt
0
в стандартной форме Лагранжа. Он содержит фазовую координату y1 и два
управления U и V; всего в задаче две фазовых координаты y1 и w и два
управления связи:
.1
y  y1wctgU;
.
w V .
Пример 2.
1
J  3  w 2 dt .
0
Это функционал в форме Лагранжа. Переведем его в иную форму.
.
Для этого введем вспомогательную переменную y уравнением y  w 2 и
условием y(0)=0. Тогда функционал будет представлен в стандартной
форме Майера
J  3 y(1) .
.
При этом в задаче появилась фазовая координата y с уравнением y  w 2 и
граничным условием y(0)=0, а исходная переменная w(t) выступает в
качестве управления.
115
8.3 ОПТИМИЗАЦИЯ ВЫРОЖДЕННОГО ФУНКЦИОНАЛА
Пусть требуется найти элемент минимума u (t) = ( u 1(t), u 2(t),…,
u r(t)), функционала
t1
J[u(t)] =

f0 (t,u)dt,
t0
где f (t,u) – кусочно-непрерывная функция своих аргументов на
множестве X r–мерных вектор-функций u(t), допускающих на [t0,t1]
конечное число разрывов 1-го рода и удовлетворяющих ограничениям
 j(u,t)<0; (>0); j=1,…,s,
 p(u,t)  0; (  0); p=1,…,m.
Теорема (достаточное условие минимума). Вектор-функция
u (t)
является элементом минимума, если ее значения при любом значении
t  [t0,t1] доставляют минимум подынтегральной функции f0(t,u), т.е.
0
f0(t, u~ ) = min f0(t,u),  t  [t0,t1].
(8.6)
uQ
Доказательство. Рассмотрим любой элемент u~ (t) X.
J[ u~ (t)] - J[ u (t)] =
t1

f0 (t, u~ )dt -
t0
Ввиду (8.6),
t1

t1
f0 (t, u )dt =
t0

[ f0 (t, u~ )-f0 (t, u )]dt.
t0
f0 (t, u )  f0 (t, u~ )  t  [t0,t1],
f0 (t, u~ )-f0 (t, u )  0,
и, поскольку подынтегральная функция неотрицательна, то
J[ u~ (t)] - J[ u (t)]  0,
откуда
J[ u~ (t)] > J[ u (t)]  u~ (t)  X,
т.е. u (t) есть элемент минимума J[u(t)] на X.
Теорема
полезна
тем,
что
сводит
минимизацию функционала к значительно более
простой
задаче
минимизации
функции
0
1 2
r
1 2
f (t,u ,u ,…,u ) r – переменных по u ,u ,…,ur при
различных
значениях
переменной
t [t0,t1],
выступающей в качестве параметра.
Пример 1. (см.рис.8.3)
1
J=  (tu2 -u)dt, (8.7)
0
Рис. 8.3
|u - 1|  1 .
(8.8)
Найдем минимум функции f0(t,u) = tu2 –u по
переменной u при различных значениях параметра
116
t  [0,1] и ограничениях (8.8) на u. При t = 0 условию (8.8) удовлетворяет
единственное значение u =1, значит, u (0) = 1. Для t > 0 точка u1
относительного минимума f0(t,u) на оси u одна (рис.8.4). Действительно, из
необходимых и достаточных условий относительного минимума
f0 u = f(t,u) = 2tu – 1;
u1=
1
;
2t
f0uu (t, u1(t)) = 2t >0 при всех t (0,1)
f0(t, u1(t))= При 1-t 
1
.
4t
1
 1+t что эквивалентно t  0,365, точка u1 лежит внутри
2t
отрезка (8.8). В его граничных точках значение функции f0(t,u) следующее:
f(t, 1-t) = (1-t)(t-t2-1),
f(t, 1+t) = (1+t)(t+t2-1).
При 0,365 <t<1 точкой
минимума может быть одна
из
граничных
точек.
0
Значения функции f (t,1-t) в
каждой из них показаны на
рис. 8.5. В соответствии с
этим определяем
1 при t=0
u (t) = 1+t при 0< t  0,365
Рис. 8.4
1
при 0,365<t  1.
2t
Эта функция (рис.8.6)
по теореме о достаточном условии минимума есть элемент минимума в
исходной задаче.
Рис. 8.5
Рис. 8.6
117