Урок – семинар плоскостей»

Урок – семинар по теме «Перпендикулярность прямых и
плоскостей»
Цели урока : Обобщение изученного теоретического материала , систематизация его
установление межпредметных связей этого материала, исторические
начала, расширение сведений по данной теме , воспитание интереса к
данной теме, воспитание интереса и любви к математике.
Оборудование урока: Модели прямых и плоскостей, мультимедийный проектор,
доска.
Ход урока.
1.
2.
3.
4.
Перпендикулярность прямой и плоскости.
Перпендикуляр и наклонная.
Перпендикулярность плоскостей
Расстояние между скрещивающимися прямыми
I. П е р п е н д и к у л я р н о с т ь п р я м о й к п л о с к о с т и
1.Историческая справка о прямой, перпендикулярной плоскости.
2. Демонстрация основных определений и свойств на моделях ( без доказательства).
Определение: Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она
перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости.
Теорема: 1)Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к
Плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости.
2) Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны.
Признак 3) Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости.
3. Устное решение задач:
1) Чтобы распил деревянного бруса был перпендикулярен ребру, через
т.А ребра проводят перпендикулярно ребру прямые АВ и АС .Затем
пилят так, чтобы распил шел по эти прямым. Верно ли это?
Ответ: Да , т.к. плоскость распила содержит две прямые, пересекающиеся перпендикулярно ребру.
2) Три луча ОА,ОВ,ОС попарно перпендикулярны. Как расположен
каждый из лучей по отношению к плоскости, определяемый двумя
другими лучами?
ОА   

Ответ: ОВ    т.к. каждый луч перпендикулярен двум
ОС   
пересекающимся лучам соответствующей плоскости .
Примеры из жизни:
1) В технике часто говорят, что направление перпендикулярно
плоскости. Колонны устанавливают так, что их ось перпендикулярна
плоскости фундамента; гвозди забивают в доску так, что они
перпендикулярны плоскости доски, в цилиндре паровой машины
шток перпендикулярен плоскости поршня.
2) Особенно важно вертикальное направление т.е. направление силы
тяжести, оно перпендикулярно горизонтальной плоскости (моделирует
её участок поверхности земли, пол помещения и т.д. )
Р – груз, подвешенный на шнуре а , закреплённый в т.А, тогда
направление шнура а вертикальное и а   .
3) Колонны выдерживают большую нагрузку, их ставят вертикально,
тогда действующая на них сила тяжести направлена вдоль оси и
поэтому колонна устойчива.
Для определения направления, перпендикулярного плоскости, можно
Использовать следующий прибор
Планки а, в, с скреплены так, что с  а ,с  в .
Если приставить планки а и в к плоскости  , то направление ребра
планки с будет перпендикулярно плоскости.
II. Перпендикуляр и наклонные
1. Основные определения , свойства. Демонстрация их на моделях (без
доказательства.
Понятия перпендикуляра , наклонной , основания перпендикуляра и
наклонной , проекция .
Перпендикуляр , проведённый из данной точки к плоскости, меньше любой
наклонной , проведённой из той же точки к этой плоскости.
Проекция прямой – прямая.
Определение: Углом между прямой и плоскостью, пересекающей эту прямую
и не перпендикулярной к ней, называется угол между прямой и её проекцией на
плоскость.
2. Историческая справка ( о теореме о трёх перпендикулярах)
3. Доказательство теоремы о трёх перпендикулярах
Теорема : Прямая, прведённая в плоскости через основание наклонной
перпендикулярно к её проекции на эту плоскость, перпендикулярна и к самой
наклонной .
4.
Задача : (физического содержания)
Два одинаковых шарика подвешены на нитях, длиной
ℓ=2м к одной точке.
Когда шарикам сообщили одинаковые заряды по q = 2·10-8 они разошлись
на расстояние r = 16 см. Определить натяжение каждой нити.
Решение:
Шарики подвешены на нити одинаковой длины, закреплённые в одной точке. После
сообщения шарикам зарядов они расходятся на некоторое расстояние и нити
1
занимают положение наклонных. Они равны , а значит равны и их проекции, т.е. r
2
r
между шариками.
= 8 см. Это позволяет найти нам sin угла между двумя
2
положениями шарика.
На каждый шарик действуют три силы: сила тяжести mq , сила упругости нити
Fупр. и кулоновская сила F.
Шарик неподвижен, следовательно сумма проекций сил по оси ОХ и ОУ равна 0.
Для суммы проекций сил на оси ОZ это условие имеет вид :
F – F упр. sin  +mqcos900= 0.
Нить натянута с силой приблизительно равной 3,5 · 10-3 Н
5. Почему вода скатывается с крыши по прямой , перпендикулярной её
горизонтальному краю ? ( кратчайшее расстояние)
6. При подъёме на гору можно пойти по двум дорогам, одна из них перпендикулярна
подошве, другая составляет с ней острый угол . По какой дороге легче идти?
По какой дороге путь короче?
7. Над центром стола , имеющим форму квадрата со стороной 10 дм, повешена
лампочка на расстоянии 180 см. Высота стола 72 см. Определить вид тени и её
размер.
8. Прямая МА проходит через
точку А плоскости  и
образует с этой плоскостью
угол  0  900. Докажите, что
 0 является наименьшим из
всех углов, которые прямая
МА образует с прямыми,
проведёнными в плоскости
 через точку А.
III. П е р п е н д и к у л я р н о с т ь п л о с к о с т е й
1. Основные определения, свойства , демонстрация их на моделях.
Определение:
Двугранным углом называется
фигура, образованная
прямой а и двумя
полуплоскостями с общей границей а , не принадлежащими одной плоскости.
Определение:
Две пересекающиеся
плоскости
называются перпендикулярными ( взаимно
перпендикулярными) , если угол между ними равен 900
Признак перпендикулярности двух плоскостей:
Если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную к другой
плоскости, то такие плоскости перпендикулярны.
2. Задача:
При возведении каменной стены иногда проверяют перпендикулярность её
горизонтальной
плоскости при помощи
отвеса. Каким предложением
стереометрии при этом пользуются ?
IV. Р а с с т о я н и е м е ж д у
с к р е щ и в а ю щ и м и с я п р я м ым и
1.Теорема (задача) о расстоянии между
скрещивающимися прямыми. Демонстрация этого
расстояния на моделях ( штатив с двумя
параллельными пластинами.
2.Задача: Две скрещивающиеся прямые расположены на противоположных стенах
классной комнаты. Чему равно расстояние между этими прямыми?
Ответ: Или длине классной комнаты или её ширине.
3. Задача: Как расположены оси железнодорожных вагонов между собой?
Относительно рельса?
Ответ: Между собой параллельны, относительно рельса – скрещиваются.
4..Две скрещивающиеся прямые пересечены третьей. Сколько плоскостей можно
провести так, чтобы каждая плоскость проходила через две прямые из трёх данных
прямых.
Ответ: две плоскости.
V. Итог урока
VI. Задание на дом: домашняя контрольная работа
Вариант
Дано:
АВСDА1В1С1D1 –
прямоугольный параллелепипед .
ВА =
, ВС=
, ВВ1=
Вариант
Дано: АВСDА1В1С1D1 –
прямоугольный параллелепипед .
ВА =
, ВС=
, ВВ1=
Докажите:
Докажите :
1) КР ║ АС , где точка К - середина ребра
1) МN ║ В1D1 , где точка М – середина
А1В1, точка Р –середина ребра В1С1 ;
ребра ВС , точка N – середина ребра DС
2)
КМ ║(А1ВС) . где точка М – середина ребра
;
ВВ1 ;
2) NК ║ (АВ1С1) , где точка К – середина
3)
( КРМ) ║( А1ВС1) ;
ребра СС1;
4) DС  АD1;
3) ( МNК ) ║ (ВDС1) ;
4) А1В1  ВС1 .
Найдите :
Найдите :
5) диагонали параллелепипеда ;
5)диагонали параллелепипеда ;
6) расстояние от точки В1 до прямой СD ;
6)расстояние от точки С1 до прямой АD ;
7) расстояние между прямыми АВ и СС1 ;
7)расстояние между прямыми АВ и В1С1 ;
8) угол наклона диагонали
8)угол наклона диагонали параллелепипеда к
параллелепипеда к плоскости основания
плоскости основания
9) углы наклона диагонали
9)углы наклона диагонали параллелепипеда к
параллелепипеда к его боковым граням;
его боковым граням;
10) острый угол между прямыми А1С1 и ВD
10)острый угол между прямыми АС и В1 D1 ;
;
11)линейный угол двугранного угла А1СDВ ;
11) линейный угол двугранного угла
12)площадь диагонального сечения;
С1АDВ ;
13)боковую поверхность параллелепипеда ;
12) площадь диагонального сечения;
14) полную поверхность параллелепипеда.
13) боковую поверхность параллелепипеда
14) полную поверхность параллелепипеда.