Классическая логика предикатов

Классическая логика предикатов.
ЯКЛП – язык классической логики предикатов.
Нелогические символы естественного языка делятся на 3 категории:
1) Имена.
2) Предметные функторы.
3) Предикаторы.
Имена – это термин, обозначающий отдельный объект (индивид). Имена бывают простые
и сложные. Простые не содержат никакой информации об обозначаемых индивидах
(имена собственные). Сложные имена не только обозначают предмет, но и указывают на
какие-либо его свойства.
Предметные функторы – это термины, с помощью которых в языке представляются
предметно-предметные функции (область определений и область значений – класс
предметов). Предметные функции различаются по местности (одноместные, двухместные
и т.д. – зависит от количества аргументов). Область определения – парные числа, область
значения – одно число. Имена могут трактоваться как нульместные предметные
функторы.
Предикаторы – это термины, с помощью которых в языке представляются предметноистинностные функции. Высказывания рассматриваются как нульместные предикаторы. В
состав простых высказываний могут входить логические термины (кванторы) – указывают
на количество. Квантор общности (все, всякий, каждый, любой, не один) и квантор
существования (некоторый, существует, имеется).
ЯКЛП:
I.
Алфавит:
 a, b, c, d, a1, … - индивидные константы (параметры простых имен).
 x, y, z, x1, … - индивидные переменные (параметры сложных имен).
 fn, gn, hn, fn1, - предметные функторы.
 Pn, Qn, Rn, Sn, Pn1, - предикаты. Это все нелогические символы.
 , &, V, V, ,  - пропозициональные связки.
 ,  – кванторы.
 (,), , - технические символы.
II.
Определение терма.
1) Всякая индивидная константа является термом.
2) Всякая индивидная переменная является термом.
3) Если Ф – предметный функтор, а t1, t2, …, tn – это термы, то Фn (t1, t2, …, tn) –
это термы.
4) Ничто иное не является термом.
Пример:
«4» - a
«5» - в
«» - f1
«+» - g2
4 – f1(a)
4+5 – g2(a,в)
4 +5 – g2(f1(a),в)
4+5 – f1(g2(a,в))
(4+4)+(5+5) – g2(g2(a,a),g2(в,в))
III.
Определение формулы:
1) Если Пn – предикат, а t1, t2, …, tn – термы, то Пn(t1, t2, …, tn) – формула.
2) Если А – формула, то А – тоже формула.
3) Если А и В – формулы, то (А&В), (АVВ), (AVВ), (АВ), (АВ) – формулы
4) Если А – формула, а  - индивидная переменная, то А(), А() –
формула.
5) Ничто иное не является формулой.
Формулы 1 пункта – атомарные, а 2-4 пунктов – молекулярные.
Пример:
Столица (f) России (a) - f(a)
Москва (в) – столица (R) России (a) – R2(в, a)
Москва (в) – столица (R1) – R1(в)
Синтаксические понятия.
В формулах А(), А(), то что подчеркнуто – область действия квантора по
переменной .
x(yP(x,y)Q(y,z)) то что в скобках – область действия квантора  по х, а то, что
подчеркнуто – область действия квантора  по у.
В производной формуле каждая индивидная переменная встречается некоторое число раз,
т.е. имеет некоторое число вхождений в формулу.
Число вхождений: х-2 (связанное), y-3 (два раза связанное, один раз - свободное), z-1
(свободное).
Вхождение индивидной переменной в некоторую переменную называется связанным,
если оно следует непосредственно за квантором или находится в области действия
квантора по данной переменной. В противном случае вхождение переменной в формулу
называется свободным.
Индивидная переменная называется свободной в некоторой формуле, если существует по
крайней мере одно ее свободное вхождение в эту формулу.
Переменная называется связанной в некоторой формуле, если существует по крайней мере
одно ее связанное вхождение в эту формулу. Переменная может быть и свободной, и
связанной в одной формуле.
Терм называется замкнутым, если он не содержит в своем составе индивидных
переменных. Формула называется замкнутой, если никакая индивидная переменная не
является в ней свободной.
Результатом перевода любого имени естественного языка на ЯКЛП является именно
замкнутый терм, а результатом перевода произвольного высказывания именно замкнутая
формула.