Задачи на силлогизм - Сайт цифровых учебно

Ю.П.Попов
ЛОГИКОН
Руководство по овладению принципами
традиционной и символической логики
Учебно-практическое пособие
(практикум)
Владивосток
2005
ББК 87.4
Ю.П. Попов. Логикон. Руководство по овладению принципами традиционной и символической логики: Практикум. Находка: филиал ВГУЭС, 2005.
Содержит краткое изложение основополагающих принципов традиционной и символической логики и набор логических задач. Приводится образец
решения задач.
Для студентов специальности «Документоведение и документационное
обеспечение управления».
Рецензент
А.А. Калмыков канд. филос. наук., доцент кафедры
гуманитарных дисциплин Владивостокского филиала Российской таможенной
академии;
А.Ю. Москвитин канд. филос. наук., доцент кафедры
философии Института истории и философии ДВГУ
2
Оглавление
Введение
Часть I. Традиционная логика
1.1. Понятие
1.2. Суждение
1.3. Умозаключение
1.3.1. Силлогизм
1.3.2. Энтимема
Задачи на силлогизм
1.3.3. Условно-категорические силлогизмы
Задачи на условно-категорические силлогизмы
Образец выполнения задания
Часть II. Символическая логика
2.1. Образование сложных высказываний
2.2. Нуль - единичная проверка истинности высказываний
2.3. Основные эквивалентности
Задачи на символическую логику
Задания по традиционной логике для заочников
3
Предисловие
Данная методическая разработка состоит из двух частей. В первой из них рассматривается традиционная логика. Причем изложение теоретических вопросов имеет подчиненное
значение, так как основная цель работы – научить решать задачи к теме «Умозаключение».
Поэтому в первой части наибольшее внимание уделено именно этой форме мышления. Задачи на силлогизм и набор заданий по логике для студентов-заочников охватывают наиболее
легко усваиваемые вопросы изучаемого материала, которые студент в состоянии проработать самостоятельно по любому учебнику логики. Пояснения теоретического порядка к теме
«Понятие» и «Суждение» в нашей разработке даются очень кратко: они должны не столько
оказать помощь при решении, сколько помочь в отыскании нужных разделов в учебниках.
Среди множества учебников для подготовки по этим разделам можно выделить:
1. Арташкина Т.А. Логика. Владивосток, 1993.
2. Иванов Е.А. Логика. М., 2001 (и другие годы издания).
3. Кириллов В.И., Старченко А.А. Логика. М., 1996 (и другие годы издания).
4. Попов Ю.П. Логика. Владивосток, 1998.
5. Попов Ю.П. Электронный тренажер по логике..
Вторая часть содержит более трудные для понимания принципы символической логики и задачи к ним. Прежде всего, это составление сложных высказываний и определение их
истинностного значения, затем эквивалентные преобразования. Здесь можно найти более
пространные теоретические пояснения.
Для подготовки по этой части разработки могут помочь не все учебники, а только те,
в которых подробно рассматриваются начала символической логики. Эта дисциплина лишь
недавно включена в учебную программу, ее популярная переработка для студентов гуманитарного профиля еще только складывается, поэтому существующие учебники сильно различаются как по объему охвата соответствующего материала, так и по манере изложения. Данное руководство ориентировано на упомянутый выше учебник логики Ю.П. Попова. Рекомендуются также работы В.А. Светлова и учебник Е.К. Войшвилло и М.Г. Дегтярева.
Список литературы для изучения вопросов, рассматриваемых во втором разделе данного руководства:
1. Войшвилло Е.К., Дегтярев М.Г. Логика. М., 1995.
2. Попов Ю.П. Логика. Владивосток, 2003.
3. Попов Ю.П. Электронный тренажер по логике «Тренажер-2003».
4. Светлов В.А. Практическая логика. М., 1995.
4
Часть I. Традиционная логика
Логику называют наукой о формах мышления. Она изучает некоторые мыслительные
стандарты, приложимые к любому материалу, о чем бы ни шла речь в рассуждении. Таких форм
три: понятие, суждение, умозаключение.
1.1. Понятие
Мысли выражаются словами. Идеальные образы и картины, наполняющие наше сознание, при их логическом анализе должны быть выражены в языке, иначе их невозможно
ни зафиксировать для себя, ни передать другим. Слово - посредник в обмене мыслями. В
логике аналогом слова является понятие. Его называют формой мышления, поскольку в него,
как в особую форму, отливается всякое мыслимое содержание. Какой бы предмет, явление
или действие мы ни взяли, если нам предстоит строить о них рассуждения, то они станут для
нас понятиями. «Налог», «хвойное растение», «прибывшие на поезде туристы» – понятия,
когда нам надо проанализировать обозначенные ими явления. В отличие от слова, понятие
может выражаться несколькими словами, иногда даже целыми большими предложениями.
Кроме того, слова обычно имеют шаткий смысл, понятия же должны быть строго заданы
через определения (или дефиниции). Правда, мы не всегда выполняем это условие в своих
рассуждениях, но когда возникает спор, определения обязательны.
У всякого понятия есть содержание и объем (класс). Под объемом имеются в виду
предметы, охваченные понятием, а содержание составляется из признаков, с помощью которых обозначается данный класс предметов. И то и другое задается определением. Возьмем
для примера понятие «столица». Если мы определим ее как «главный город государства», то
тогда «государство», «город», «главный» будут содержанием этого понятия, поскольку именно этими признаками мы отличили столицу от других населенных пунктов. А объем – это все
города, являющиеся столичными: Лондон, Берлин, Москва, Пекин и т.д. Точно так же, определив, например, реку как постоянный водный поток на поверхности Земли, образуемый атмосферными осадками, мы в качестве содержания этого понятия получим осадки, Землю,
воду, поток; объемом же станут сами реки: Амур, Лена, Ангара и пр.
Объемные отношения удобно пояснять круговыми схемами. Так, если взять понятия
1) «преступление» и 2) «контрабанда», то последнее, очевидно, полностью входит в первое,
поэтому круг 2) охватывается кругом 1). Такое отношение называют подчинением (а). А вот
понятия 1) «порт» и 2) «город» находятся в отношении пересечения (б), потому что существуют населенные пункты, имеющие оба эти признака (накладывающаяся часть кругов), и
существуют населенные пункты, обладающие только одним из указанных признаков. В том
случае, когда понятия не имеют в объеме совпадающих частей, говорят об отношении
несовместимости (в). Например, понятия 1) «трамвай» и 2) «треугольник», 1) «лестница» и 2)
«радуга» относятся к числу несовместимых. Их изображают двумя непересекающимися кругами.
а)
1
2
б)
1
в)
2
1
г)
2
1
2
Существует еще отношение соподчинения, когда два понятия входят в объем более
широкого понятия, но не пересекаются между собой (г). Скажем, «дуб» и «береза» входят в
понятие «дерево», но сами остаются несовместимыми. При составлении круговых схем
необходимо отличать разновидности предметов от их составных частей. Например, «шпала»
5
и «рельс», хотя и мыслятся всегда вместе, но только потому, что составляют неотъемлемые
части железной дороги; предметов, которые являлись бы одновременно и шпалой, и рельсом,
не существует. Поэтому изображаться они должны двумя разными кругами. Также «курок» и
«ружье» должны рассматриваться как внеположные понятия, поскольку курок не разновидность ружья, а его составная часть. Помимо названных в логике говорят также о понятиях
противоречащих и противоположных. Как и соподчиненные понятия, они относятся к числу
несовместимых, имеющих некоторые особенности в содержании.
1.2. Суждение
Суждение можно рассматривать как логический аналог предложения. Как и в последнем, в нем имеется логическое подлежащее (предмет, о котором речь; в логике его называют
субъектом и обозначают буквой S) и логическое сказуемое (свойство, которое приписывается
субъекту или отрицается у него, называемое предикатом – P). Так, в суждении «некоторые
дороги являются асфальтированными», «дороги» – S, «асфальтированное» - P. В суждении
“ни один из задержанных за хулиганство не освобожден из-под стражи» субъектом является
понятие «задержанные за хулиганство», предикатом – «освобожденные из-под стражи». А в
суждении «перевозимый через границу груз подвергается таможенному досмотру» S - «перевозимый через границу груз», P – «подвергаемое таможенному досмотру».
Слова «все», «никакой», «некоторые», указывающие на охваченный суждением объем,
называют квантором. Согласно объединенной классификации суждений, все их разновидности получаются по следующей схеме:
Все (некоторые) S есть (не есть) P.
Таким образом, возможны четыре вида суждений, обозначаемых латинскими буквами
a, e, i, o:
Общеутвердительное Общеотрицательное Частноутвердительное Частноотрицательное -
SaP
SeP
SiP
SoP
(читается: все S есть P);
(все (никакое) S не есть P);
(некоторые S есть P);
(некоторые S не есть P).
Надо помнить, что общий квантор в русском языке иногда не произносится, хотя и
подразумевается по смыслу. Так, суждение “студенты, опоздавшие к началу, не допускаются
в аудиторию” является общеотрицательным (S e P). Кроме того, единичные суждения в силлогизме имеют свойства общих суждений, а не частных. Так что высказывание: “Чичиков
начинал как таможенный служащий” будет общеутвердительным (S a P), а высказывание
“этот чиновник не сдержал данного обещания”, хотя оно и говорит о частном лице, надо
считать общеотрицательным (S e P).
Таким образом, с одними и теми же субъектами и предикатами могут получаться четыре различных вида суждений. Их называют суждениями с одинаковой материей, потому
что речь в них идет об одних и тех же предметах и об одних и тех же их свойствах, только в
утвердительных суждениях эти свойства приписываются, а в отрицательных – отрицаются; в
частных говорится о некоторых из предметов, в то время как в общих речь идет обо всех.
Между суждениями этого рода устанавливаются определенные твердые соотношения по их
истинностным значениям. Так, если мы возьмем общеотрицательное суждение "ни один из
киосков в этом квартале не торгует цветами", и если оно истинно, то тогда ни в коем случае
не может быть истинным частноутвердительное суждение о том же: "некоторые из киосков в
этом квартале торгуют цветами". Точно так же, если бы второе было истинным, то первое
было бы ложным обязательно. Имеются также истинностные отношения между другими
парами таких суждений.
Всю систему взаимообусловленности суждений с одинаковой материей называют логическим квадратом, поскольку таких суждений четыре.
Пара общих суждений S a P и S e P образует отношение противоположности. Они не
бывают одновременно истинными, хотя могут оказаться одновременно ложными или иметь
6
разное истинностное значение. Отсюда правило: когда одно из них истинно, другое обязательно ложно, но если нам известно, что одно из них ложно, то выводов в отношении другого сделать нельзя (второе может быть в таком случае как истинным, так и ложным).
Пара частных суждений S i P и S o P образует отношение частичной совместимости.
Они никогда не бывают одновременно ложными, хотя могут оказаться одновременно истинными или иметь разное истинностное значение. Отсюда правило: когда одно из них ложно,
другое обязательно истинно, но если нам известно, что одно из них истинно, то выводов в
отношении другого сделать нельзя (второе может быть в таком случае как истинным, так и
ложным).
Две пары S a P - S i P и S e P - S o P находятся в отношении подчинения. Правило для
них сложнее: когда общее суждение истинно, то тем более истинно суждение частное, и когда частное суждение ложно, то тем более ложно суждение общее; в иных случаях нельзя
сделать выводы от одного из суждений этой пары к другому.
Еще две пары S a P - S o P и S e P - S i P составляют отношение противоречия. Эти пары не могут быть ни вместе истинными, ни вместе ложными; правило для них запомнить
легче всего: когда одно суждение из пары истинно, другое обязательно ложно, и наоборот.
Важную роль в суждении играет также распределенность его терминов, то есть субъекта и предиката. Под распределенностью имеется в виду полнота наших знаний о термине,
открываемая суждением. Так, в частноутвердительном суждении «некоторые цветы – декоративные растения» и субъект и предикат раскрыты не полностью: часть цветов, а не все они
обладают свойством «быть декоративным растением»; и точно так же не является распределенным предикат, поскольку лишь часть декоративных растений является цветами. Но в общеотрицательном суждении «ни одна планета не светит собственным светом» оба термина,
наоборот, распределены, ведь говорится про всякую (никакую) планету; и отсюда можно
сделать вывод, что все, светящееся собственным светом, не является планетой. Распределенность субъекта не вызывает больших затруднений для понимания, так как на нее указывает
квантор: говорится обо всех (никаких) предметах - термин распределен, о части предметов –
нераспределен. Распределенность же предиката надо каждый раз определять. Так, в суждении «некоторые растения – лекарства» субъект, очевидно, нераспределен, ведь сказано о некоторых растениях; что же касается лекарств, то из суждения допустимо сделать вывод, что
лишь некоторые из них являются растениями, следовательно, этот термин в этом суждении
раскрывается не полностью. В общеутвердительном суждении «поэты – литераторы» говорится обо всех поэтах, стало быть, этот термин здесь распределен. Но о литераторах нельзя
сказать, что все они поэты, поэтому термин «литераторы» здесь нераспределен. Труднее всего с распределенностью предиката в частноотрицательном суждении – его надо всегда считать распределенным, хотя иногда это кажется невозможным. Например, в суждении «некоторые члены делегации не поселились в гостинице» предикат (поселившиеся в гостинице)
охвачен полностью, несмотря на то что суждение, как кажется, не позволяет делать вывод,
будто все поселившиеся в гостинице не являются членами делегации.
Вопрос о распределенности не относится к числу простых. Но можно запомнить правило: субъект общего суждения всегда распределен, субъект частного нераспределен; предикат распределен в отрицательных суждениях и, как правило, не распределен в утвердительных.
1.3. Умозаключение
Умозаключение представляет собой вывод из одного или нескольких суждений. Исходные мысли называются посылками, а результат – заключением или выводом. Существует
очень много разновидностей умозаключений. Наиболее сложным и интересным среди них
является силлогизм. Греческое слово sillogismos переводится как сосчитывание.
1.3.1. Силлогизм
Силлогистическое умозаключение составляется из двух категорических суждений, у
которых имеется общий термин. Этот термин, называемый средним, опосредствует отношение между другими, крайними терминами суждений, создает между ними связь, которая
7
отмечается в заключении. Сам же средний термин в заключение не попадает. Он выполняет
роль посредника между крайними терминами. Примером силлогизма может послужить следующее умозаключение:
(1) Фаянсовая посуда покрывается глазурью.
(2) Данная чашка не покрыта глазурью.
(3) Данная чашка - не фаянсовая.
PaM
SeM
SeP
Строки (1) и (2) представляют собой посылки, (3) - заключение. В первой посылке отмечается связь понятия "фаянсовая посуда" и понятия "глазурованное", во второй - какой-то
конкретной (единичной) чашки с тем же "глазурованным". Таким образом, "глазурованное"
выступает средним термином. Из знания отношения к нему двух других терминов можно сделать заключение о том, как они соотносятcя между собой: данная чашка - не фаянсовая.
Субъект заключения (у нас это "данная чашка") принято обозначать буквой S. Его
называют меньшим термином и в соответствии с этим посылку, в которой он содержится, меньшей; она всегда ставится на второе место (во второй строке). Предикат заключения (в
нашем случае это "фаянсовая посуда") обозначают латинской буквой P и называют большим
термином; отсюда посылка, где он содержится, получает название "большой"; ее записывают
первой строкой. Обозначением для среднего термина служит латинская М. Этот термин, как
уже сказано, имеется в обеих посылках.
Обратите внимание на аббревиатуру, помещенную против каждого суждения в силлогизме. Меньшая посылка и заключение обозначены там как общеотрицательные суждения - S e M и
S e P. Под S у нас имеется в виду "данная чашка" - понятие единичное. А поскольку у единичных
понятий, напомним, всегда участвует весь объем (ибо частей у них просто нет), то суждения с
ними на месте субъекта всегда общие и никогда не бывают частными. В теории силлогизма и
практике его использования это имеет принципиальное значение.
Разумеется, силлогизм может составляться также и из суждений с иными качественноколичественными характеристиками, чем в приведенном примере. Тех сочетаний, которые
приводят к обоснованным выводам, всего 19. Все правильные силлогизмы принято разбивать на четыре разновидности, называемые фигурами. Они различаются местом среднего
термина.
В каждой фигуре, в свою очередь, содержится несколько разновидностей силлогизма,
называемых модусами. Их символическое представление показано в таблице модусов силлогизма. Приведенный выше силлогизм относится ко второй фигуре (см. в таблице второй модус второй фигуры); его средний термин стоит на месте предиката в обеих посылках.
Приведем еще несколько силлогизмов других фигур.
Преступник (M) не является законопослушным (P).
Мошенник (S) – преступник (M).
Мошенник (S) не является законопослушным (P).
МеР
SаM
SeP
Этот силлогизм относится к первой фигуре (см. второй модус первой фигуры). В нем
средний термин расположен по диагонали. В следующем силлогизме средний термин находится в обеих посылках на месте субъекта.
Все товары (M) обмениваются на деньги (P).
Некоторые товары (M) – изделия (S).
Некоторые изделия (S) обмениваются на деньги (P).
МаР
МiS
SiP
Это третья фигура. Ее отличает то, что она дает только частные выводы.
Четвертая фигура силлогизма образуется, когда средний термин в большой посылке
стоит на месте предиката, а в меньшей - на месте субъекта.
8
Никакая птица (P) - не млекопитающее (M).
Все млекопитающие (M) – позвоночные (S).
Некоторые позвоночные (S) - не птицы (P).
РеМ
МаS
SоP
Таблица 1
Модусы силлогизма
№ строки
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
1 фигуры
MaP
SaM
SaP
MeP
SaM
SeP
MaP
SiM
SiP
MeP
SiM
SoP
Модусы
2 фигуры
3 фигуры
PeM
MaP
SaM
MaS
SeP
SiP
PaM
MiP
SeM
MaS
SeP
SiP
PeM
MaP
SiM
MiS
SoP
SiP
PaM
MeP
SoM
MaS
SoP
SoP
MoP
MaS
SoP
MeP
MiS
SoP
4 фигуры
PaM
MaS
SiP
PaM
MeS
SeP
PiM
MaS
SiP
PeM
MaS
SoP
PeM
MiS
SoP
При выполнении логических операций по схемам силлогизма надо знать его правила.
Мы приведем только правила, общие для всех фигур (наряду с ними имеются еще и правила
для каждой из фигур в отдельности).
1. В категорическом силлогизме должно быть три и только три термина. Часто изза двусмысленности слов за три термина ошибочно принимаются фактически четыре
термина.
2. Средний термин должен быть распределен по крайней мере в одной из посылок.
3. Термин не может быть распределен в заключении, если он не распределен в посылках.
4. Из двух отрицательных посылок нельзя вывести заключение.
5. Если одна посылка - отрицательное суждение, то и заключение должно быть отрицательным.
6. Из двух частных посылок нельзя вывести заключение.
7. Если одна из посылок является частным суждением, то и заключение должно
быть частным.
Полезно знать наиболее типичные нарушения правил силлогизма. Одно из них представляет собой нарушение первого правила и называется ошибкой учетверения терминов, то
есть вместо трех терминов на деле берется четыре. Причиной этого бывает многозначность
слов. Когда одно слово в одной посылке имеет один смысл, а в другой или в заключении иной, то тогда как раз и получается вместо трех терминов четыре. Вот как это может выглядеть:
9
Черное не есть горькое.
Перец - черный.
Перец не горький.
Слово "черное" в первой посылке означает черноту (которая действительно не является разновидностью вкусового ощущения), а во второй - черный предмет. Вывод получился
нелепый.
Бывают ошибки, связанные с нарушением правил распределенности терминов (правила 2 и 3):
Привлеченные к суду получили повестки.
Участники преступной группы получили повестки.
Участники преступной группы привлечены к суду.
Нарушено правило 2, так как средний термин - предикат двух общеутвердительных
посылок - не распределен ни в одной из них. Это означает, что он не известен нам в полном
объеме, ни как обладающий свойством, ни как не обладающий им. Поэтому на самом деле
заключение не следует из данных посылок.
Всякая фабрика должна платить налоги.
Это предприятие - не фабрика.
Это предприятие не должно платить налоги.
Большой термин не распределен в посылке, но оказался распределенным в заключении (нарушено правило 3). Поэтому вывод вовсе не вытекает из посылок.
Примером ошибки, вызванной нарушением правила 4, является следующий силлогизм:
Благотворительные организации не облагаются налогом.
Данная организация не облагается налогом.
Данная организация - благотворительная.
На деле такое заключение из этих посылок не вытекает.
Могут нарушаться и другие правила. Особую роль при этом играет ошибка, называемая "мнимая общность большой посылки". Она возникает тогда, когда собирательные или
преобладающие характеристики принимают за общеутвердительные или общеотрицательные суждения. Например, могут сказать: "Все люди несут ответственность за свои поступки,
следовательно, и такой-то должен отвечать за свои поступки". В большинстве случаев люди
действительно отвечают за свои дела. Но все-таки не всегда. Поступки, совершенные по
принуждению, в целом ряде случаев не влекут за собой ответственности. Поэтому принимать соответствующее утверждение за общеутвердительное не совсем верно.
1.3.2. Энтимема
Надо сказать, что сам по себе силлогизм в чистом виде в рассуждениях практически
не встречается. Но зато широко распространены его сокращенные формы, так называемые
энтимемы. В переводе с греческого это слово означает "в уме", "в мыслях", потому что в
энтимеме остается невыраженной, остается в мыслях часть всего рассуждения, то есть одна
из посылок или заключение не высказываются прямо, а лишь подразумеваются. Так, приводившиеся выше силлогистические умозаключения в действительности вряд ли кто станет
излагать в полной форме. Скажем, вывод о фаянсовой и глазурованной посуде на практике
мог бы обосновываться, например, так: "Поскольку фаянсовая посуда покрывается глазурью,
то данная чашка - не фаянсовая". Или: "Данная чашка - не фаянсовая, потому что она не покрыта глазурью". Примером энтимемы с пропущенным выводом может быть следую10
щее умозаключение: "Планета не может иметь гиперболическую орбиту, а Меркурий - планета". Хотя прямо это не было выражено, но легко догадаться, что этим желают сказать:
"Меркурий не может иметь гиперболическую орбиту".
Так как в энтимемах воспроизводится лишь часть силлогизма, то в них только два
суждения, но, заметим, одно из понятий повторяется в обоих, так что терминов все равно
три, как это и должно быть в силлогизме. Именно в такой сокращенной форме чаще всего
приходится сталкиваться с данным чрезвычайно распространенным видом умозаключения.
Когда нам надо проверить обоснованность и последовательность рассуждений, построенных в форме энтимемы, необходимо восстановить их невысказанные составные части.
В некоторых случаях такое восстановление очень просто, но часто возникают и трудности,
особенно когда невысказанной осталась одна из посылок.
Так, с энтимемой "я - литератор, следовательно, я тощ и легковесен" (Чехов) разберется каждый, даже если он не знает логики, и сумеет понять, что вывод предполагает невысказанную посылку "все литераторы тощи и легковесны". Так что весь силлогизм выглядит следующим образом:
(1)
(2)
(3)
Все литераторы тощи и легковесны.
Я - литератор.
Я тощ и легковесен.
Не так уж сложно разобраться и с таким утверждением, как: "Собака не может лазать
по портьерам, Ватсон, следовательно, это не собака" (Ш. Холмс). Но все же для точности
лучше воспользоваться теорией силлогизма. Проделаем это в качестве примера. Сначала
надо отделить посылку (она здесь только одна, другая лишь подразумевается) от заключения.
Очевидно, что вывод идет после слова "следовательно". Запишем пока только его на том месте, на котором он должен быть в силлогизме:
(1)
(2)
(3) Это животное (S) - не собака (P).
SeP
Отсюда мы видим, что меньшим термином (S) является "это животное", а большим (P)
- "собака". Значит оставшаяся часть мысли ("собака не может лазать по портьерам") представляет собой большую посылку, так как из двух крайних терминов там упоминается больший. А поскольку каждая посылка связывает один из крайних терминов со средним (M), то
заодно мы узнаем, что в нашем случае средний термин означает все, что способно лазать по
портьерам. Теперь мы можем продвинуться дальше в восстановлении силлогизма:
(1)
Собака (P) не может лазать по портьерам (M).
PeM
(2)
(3)
Это животное (S) - не собака (P).
SeP
После этого можно приступить к восстановлению невысказанной прямо меньшей посылки. Она должна связывать, с одной стороны, "Это животное", с другой - "Все, что может
лазать по портьерам". Причем в принципе возможны как утвердительные суждения, так и
отрицательные и, кроме того, субъектом и предикатом каждого из этих суждений могут быть
и первое, и второе понятия.
SaM MaS
SeM MeS
SiM
MiS
SoM MoS
Но так как в правильном силлогизме не может быть двух отрицательных посылок, то
меньшая должна быть утвердительной (ведь одна отрицательная уже есть). Можно также
исключить и все варианты частных посылок, поскольку, согласно правилам силлогизма, при
наличии хотя бы одной частной посылки заключение тоже выражается частным суж11
дением. У нас же оно общее. Остается лишь два варианта: S a M и M a S. Так как S a M означает общеутвердительное суждение, в котором предмету S (у нас это - "данное животное")
приписывается свойство P (в нашем случае - "способность лазать по портьерам"), то для первого из этих вариантов весь силлогизм запишется в следующем виде:
(1) Собака (P) не может лазать по портьерам (M).
РеМ
(2) Данное животное (S) может лазать по портьерам (M).
SаМ
(3) Данное животное (S) - не собака (P).
SеP
Это один из модусов второй фигуры.
Правда, меньшая посылка могла бы быть и такой: "То, что способно лазать по портьерам, - данное животное" (вариант M a S). Эта неуклюжая фраза в принципе вполне допустима в логике. Но если мы попытаемся образовать с ней силлогизм, то в этом случае образуется
четвертая фигура:
(1) Собака (P) не может лазать по портьерам (M).
РеМ
(2) Способное лазать по портьерам (M), - данное животное (S). М а S
(3) Данное животное (S) - не собака (P).
SеP
Однако в списке вариантов четвертой фигуры такого модуса нет, стало быть, из таких
посылок данный вывод не следует. Можно обратить внимание на то, что в этом неверно
восстановленном силлогизме нарушается правило 3, так как термин S оказывается распределенным в заключении, хотя в посылке он, являясь предикатом общеутвердительного суждения, не распределен.
Восстановление энтимемы путем перебора вариантов всегда возможно, но на практике это чаще всего очень трудно выполнить. Поэтому на первых шагах лучше пользоваться
таблицей модусов силлогизма: после восстановления одной из посылок и заключения записать их в символической форме и затем посмотреть в таблице, имеется ли там полученное
сочетание строк и где оно встречается. Лишь освоившись с решением задач с помощью таблицы, можно приступить к их решению без обращения к ней, используя для наглядности
круговые схемы.
Трудно разобраться с мыслью тогда, когда она выражена длинными предложениями
или когда в ней много отрицаний. Анализ рассуждения затрудняется, когда сбивают с толку
расхожие идеологические штампы.
В процессе восстановления может открыться, что умозаключение построено на ложных посылках. Таким, например, является высказывание "Этот поступок не осуждается общественностью, потому что он не является противоправным". На самом деле, эта мысль состоит из двух суждений. Первое - "Этот поступок не осуждается общественностью", которое, очевидно, является заключением; его символическая запись - S e P. Второе - "Этот поступок не является противоправным" (S e M) - представляет собой аргумент, с помощью которого подкрепляется сделанный вывод. В таблице модусов такое сочетание заключения и
меньшей посылки встречается во второй фигуре и ему соответствует большая посылка: P a
M. Так как в понятие P у нас входит то, что осуждается общественностью, а под M имеется в
виду противоправное, то, значит, невысказанная посылка должна звучать так: "Все осуждаемое общественностью является противоправным".
Следовательно, данное рассуждение представляет собой такой силлогизм:
(1) Осуждаемое общественностью (P) - противоправно (M). Р а М
(2) Этот поступок (S) не является противоправным (M).
SеМ
(3) Этот поступок (S) не осуждается общественностью (P). S е P
Отсюда видно, что все это рассуждение начинается с ложной мысли, потому что на
самом деле далеко не все, что осуждается общественностью, является противоправным.
Особый интерес представляют задачи с какими-нибудь специальными, непонятными
для широкой аудитории терминами. В то же время успешная работа с высказываниями,
смысл которых, возможно, не понятен дан- ному читателю, максимально приближает к
12
тому, чтобы при выполнении упражнений пользовались одним лишь знанием логической
формы мысли, полностью отвлекаясь от содержания.
Попробуем отыскать невысказанную посылку в таком, скорее всего непонятном неспециалистам, высказывании: "Так как некоторые сольпуги относятся к псаммофилам, то и
некоторые фаланги относятся к ним". Здесь два суждения, но в них содержатся не четыре
термина, а только три, поскольку один повторяется дважды. Следовательно, между этими
понятиями возможна логическая связь и надо попытаться ее восстановить. Очевидно, что
заключением всей мысли является ее вторая часть (после слов "то и...") "некоторые фаланги
относятся к псаммофилам". Далее, понятие "фаланга" - S, "относящееся к псаммофилам" - P.
Первая же часть высказывания представляет собой большую посылку, поскольку здесь содержится термин P, и потому эти слова мы поставим для восстановления силлогизма в
первую строку.
(1) Некоторые сольпуги (M) относятся к псаммофилам (P). M i P
(2) .......
(3) Некоторые фаланги (S) относятся к псаммофилам (P).
SiP
Пропущена меньшая посылка, связывающая S и M. С помощью таблицы находим, что
такое сочетание имеется в третьей фигуре (второй модус). Меньшая посылка в ней - M a S.
Значит, пропущена посылка "сольпуги есть фаланги". И действительно, фаланги и сольпуги это названия известной разновидности пауков, обитающих чаще всего в песках. Животных,
приспособленных к существованию в песчаной местности, в зоологии называют псаммофилами, а сами песчаные породы - псаммитами.
Бывает, что одной энтимеме соответствует несколько правильных модусов. Стало
быть, сделанное в энтимеме заключение обосновывается несколькими способами. Какой из
них имеется в виду, можно уточнить лишь с помощью дополнительной информации.
Представьте себе такой диалог агрономов А и В:
А: Поскольку высокоурожайные влаголюбивы, то, значит, некоторые влаголюбивые
морозоустойчивы.
В: По-твоему, все морозоустойчивые высокоурожайны?
А: Нет, я этого не говорил.
В: Прямо ты, конечно, этого не говорил, но ведь с логической точки зрения это как
будто совершенно необходимо для твоего утверждения.
А: Вовсе нет. Такая посылка здесь возможна, но не только она. Я исходил из общего
суждения, но другого.
Чтобы разобраться во всем этом, надо восстановить до полного силлогизма мысль собеседника А, высказанную им в самом начале диалога, и посмотреть, какая предпосылка там
на самом деле должна быть:
(1)
(2) Высокоурожайные (M) влаголюбивы (S).
MaS
(3) Некоторые влаголюбивые (S) морозоустойчивы (P). S i P
Затем, как и в предыдущих примерах, ищем в таблице модусов восстановленное нами
сочетание строк: M a S и S i P. Однако в таблице такая комбинация маленькой посылки и
заключения встречается три раза, в третьей и четвертой фигурах. Им соответствуют четыре
возможные большие посылки: M a P, M i P, P a M, P i M. Любая из них при добавлении к уже
выписанной нами до этого маленькой посылке обеспечивает тот вывод, который звучит в
анализируемом нами высказывании.
(1)
MaP MiP PaM PiM
(2)
MaS MaS MaS MaS
(3)
SoP SoP SoP SoP
13
Оказывается, существует целых четыре возможных способа получить один и тот же
вывод.
(1) Все морозоустойчивые (P) высокоурожайны (M).
(2) Высокоурожайные (M) влаголюбивы (S).
(3) Некоторые влаголюбивые (S) морозоустойчивы (P).
PaM
MaS
SiP
(1) Некоторые морозоустойчивые (P) высокоурожайны (M). P a M
(2) Высокоурожайные(M) влаголюбивы (S).
MaS
(3) Некоторые влаголюбивые (S) морозоустойчивы (P).
SiP
(1) Все высокоурожайные (M) морозоустойчивы (P).
(2) Высокоурожайные (M) влаголюбивы (S).
(3) Некоторые влаголюбивые (S) морозоустойчивы (P).
(1) Некоторые высокоурожайные (M) морозоустойчивы (P).
(2) Высокоурожайные (M) влаголюбивы (S).
(3) Некоторые влаголюбивые (S) морозоустойчивы (P).
PaM
MaS
SiP
PiM
MaS
SiP
Итак, теперь мы можем сказать, что В не ошибся, когда приписал своему собеседнику
утверждение, согласно которому все морозоустойчивые высокоурожайны. Правила силлогизма в самом деле его допускают (первый из восстановленных у нас модусов). Но наряду с другими вариантами. Поэтому и возражения А тоже основательны: он имел в виду другую предпосылку, которая тоже возможна здесь: "Все высокоурожайные морозоустойчивы". Таким образом, после необходимого уточнения наши собеседники быстро поняли друг друга, восстановив
предпосылку, из которой исходит рассуждение.
Задачи на силлогизм
Указания. В задачах 1-11 надо восстановить высказывание до полного силлогизма и
проверить, всегда ли можно согласиться с посылками.
1. Некоторые студенты не спортсмены, поскольку некоторые студенты не участники
спартакиады.
2. Некоторые студенты не участники спартакиады, поскольку некоторые студенты не
спортсмены.
3. Поскольку влаголюбивые сорта высокоурожайны, то, следовательно, некоторые
морозоустойчивые влаголюбивы.
4. Так как самолет - не дирижабль, то поэтому самолет не является аппаратом легче
воздуха.
5. Некоторые юристы не прокуроры, поскольку все прокуроры – государственные
служащие.
6. Раз все руководители больших заводов имеют высшее образование, то, следовательно, некоторые инженеры – руководители больших заводов.
7. Данный поступок не осуждается общественностью, потому что не является противоправным.
8. Целый ряд предприятий сталинского времени работал высокоэффективно, поскольку на них широко применялся принудительный труд.
9. Так как все редкоземельные относятся к редким химическим элементам, то некоторые редкие химические элементы образуют нерастворимые оксиды.
14
10. Сельхозпродукция не приносит доход стране при экспорте, поскольку такая продукция всегда получает дотации.
11. Поскольку все, что приносит доход от экспорта, не может иметь цену ниже себестоимости, то продукция, получающая дотации, не приносит доход стране при экспорте.
Указания. Попробуйте восстановить силлогизмы с наверняка незнакомыми вам терминами. Эти термины обозначают разные виды животных, растений, отчасти они позаимствованы из языкознания, истории, физики и других областей знания. Так, бентос - это водные организмы, живущие на дне, псаммофилы и ксерофилы - организмы, приспособленные к
жизни на песке и, соответственно, в сухом климате.
12. Все фаланги - ксерофилы, потому что псаммофилы - ксерофилы.
13. Никакой нектон не относится к бентосу, потому что пелагические формы не относятся к бентосу.
14. Некоторые геммы не являются инталиями, потому что некоторые геммы не есть
врезанные вглубь изображения на камне.
15. Некоторые последователи Гаутамы отвергают целибат, поскольку некоторые из
отвергающих целибат - представители хинаяны.
16. Некоторые виды оптической анизотропии не являются дихроизмом, так как некоторые виды плеохроизма не являются дихроизмом.
17. Поскольку некоторые плеоназмы называются парегменонами, то поэтому некоторые тавтологии называются парегменонами.
18. Некоторые саркодовые - фораминиферы, поскольку фораминиферы - корненожки.
19. Так как некоторые аркозы не являются грауваками, то по этой причине и некоторые псаммиты не являются грауваками.
Указания. В задачах 20-28 надо восстановить до полного силлогизма первые слова собеседника А, выбрав с помощью последующего диалога из нескольких возможных (пропущенных) посылок нужную.
20.
А: Так как все хвойные имеют иголки, то некоторые вечнозеленые имеют иголки.
В: Разве не предполагается этим рассуждением, что все хвойные - вечнозеленые?
А: Вообще-то предполагается, но не только эта посылка, и я исхожу из знания только
о некоторых вечнозеленых.
Указание. В задачах этого типа надо восстановить самое первое высказывание.
Остальное принимается во внимание лишь тогда, когда доходит до формулирования невысказанной посылки. Их в таких задачах допускается несколько. Последующий диалог позволяет сделать выбор.
21.
А: Так как памятники архитектуры города охраняются государством, то некоторые
городские достопримечательности охраняются государством.
Б: Интересно, означают ли твои слова, что некоторые памятники архитектуры города
- городские достопримечательности?
А: Тут правильнее исходить из общей посылки.
22.
А: Поскольку все, кто носит мундир с погонами, - военнослужащие, то некоторые военнослужащие являются сотрудниками этого учреждения.
В: Означает ли это, что некоторые сотрудники учреждения носят мундир с погонами?
А: Да, носят, но не только некоторые.
23.
А: Поскольку все осужденные во вчерашнем судебном заседании заключены под
15
стражу, то некоторые из участников шайки мошенников теперь находятся под стражей.
Б: А как обосновывается такой вывод: тем, что часть мошенников вчера осуждена,
или тем, что часть вчера осужденных принадлежит шайке мошенников?
А: Тут надо говорить не о части, а обо всех вчера осужденных.
24.
А: Некоторые из этих политиков являются представителями правящей партии, потому
что все участники громкого скандала - это как раз все эти политики.
Б: Следует ли это понимать так, что некоторые участники громкого скандала представляют правящую партию?
А: Нет, не так. Речь идет не о некоторых, а обо всех.
25.
А: Так как все предприятия в этой местности - кооперативы, то некоторые кооперативы не получили доход.
В: Выходит, некоторые предприятия не получили доход?
А: Нет, выходит похуже.
26.
А: Поскольку осужденные по данному делу заключены вчера под стражу, то некоторые из заключенных вчера под стражу являются работниками данной фирмы.
Б: Да ведь это, ни много ни мало, означает, что все работники данной фирмы заключены под стражу? Так что ли?
А: Вообще-то такая предпосылка в моих словах в самом деле возможна, но я берусь
утверждать лишь о некоторых осужденных по этому делу.
27.
А: Некоторые фирмы этого района не уплатили в прошлом году налоги; заключить об
этом можно из того, что у них не было дохода.
Б: Ну понятно, получающие доход платят налоги, отсюда твой вывод...
А: Строго говоря, указанная тобой посылка хотя и является истинной мыслью, но все
же в данном случае в рассуждении фигурирует другая.
28.
А: На некоторых превратившихся в АО крупных предприятиях не улучшилось производство, так как на таких предприятиях не возрастает ответственное отношение к работе.
Б: Предполагаемая твоим утверждением предпосылка, что все, что увеличивает ответственное отношение к работе, улучшает производство...
А: Предпосылка-то верная, но ты ошибаешься, если не видишь, что она не имеет никакого отношения к моей мысли.
29. Переформулируйте высказывания так, чтобы подразумевающийся в них вывод
звучал в виде утвердительного или отрицательного суждения, и восстановите силлогизм.
1) Для работы за границей ему недостает знания иностранного языка.
2) Чтобы работать адвокатом, ему не хватает членства в коллегии адвокатов.
3) Он слишком порывист, чтобы не ошибаться.
4) Иезуит слишком фанатичен, чтобы быть разборчивым в выборе средств.
30. Сначала выделите вывод и подкрепляющий его аргумент, сформулируйте вывод в
виде утверждения или отрицания, затем отыщите невысказанную посылку.
1) Какой он праведник, если не помогает бедным!
2) Спортсмен называется, не может даже на турнике подтянуться!
3) Да разве можно его назвать милиционером, если он не знает, что такое оружие?
4) Какая же может быть на небе Аврора, если сейчас не утро?
1.3.3. Условно-категорические силлогизмы
16
И в науке, и в обиходе приходится часто отмечать зависимость тех или иных явлений, событий, процессов от всякого рода обстоятельств: факторов, способных изменить течение
дел, причинных воздействий, порождающих известные события, внешних влияний, которые
удерживают ход вещей в известных рамках. Короче, речь идет об условиях, определяющих
все, что происходит вокруг нас. Обычно условия задаются с помощью оборота "Если..., то...":
"Если работа окончена, то мы можем идти", "Если орудие железное, то оно не относится к
каменному веку". Суждения, в которых задаются такого рода связи, называют условными, а
в символической логике импликативными, или импликациями.
Условные суждения и вместе с ними умозаключения стали изучаться еще в Древней Греции философами стоической школы. Правила оперирования такими умозаключениями довольно просты и легко устанавливаются.
Выражение "Если..., то..." удобно заменять стрелкой, а сами высказывания - буквами a, b,
c,... Тогда получается простая символическая запись, которая означает: если a, то b
Условно-категорическое умозаключение имеет одну из посылок и заключение, выражаемые категорическими суждениями, и одну – суждением условным. У него два правильных
модуса, которые имеют латинские названия - modus ponens (утверждающий) и modus tollens
(отрицающий). Первый из них выглядит следующим образом:
Если алмаз огранен, то он - бриллиант. a  b
Данный алмаз огранен.
a
Данный алмаз - бриллиант.
b
Modus ponens
В нем от наличия основания условной связи делают вывод о наличии следствия. Название
"утверждающий" происходит от того, что этим модусом условно-категорического силлогизма утверждается то, о чем говорит следствие в его посылке. Но это вовсе не означает, будто
его заключение может быть только утвердительным суждением. В том случае, когда следствие в условной посылке является отрицательным, то тогда и вывод тоже звучит как отрицание. Например, возьмем утверждение, сделанное в виде такой условной посылки: "Если
температура ниже нуля, то лед не тает". Добавим сюда еще одну посылку: "Температура ниже нуля". Тогда нам придется делать такой вывод по схеме утверждающего модуса, который,
однако, выражается отрицательным суждением: "Лед не тает".
При отрицающем модусе вывод делается от отсутствия следствия к отсутствию порождающего его основания:
Если данный материал - стекло, то он хрупкий.
Данный материал не хрупкий.
Данный материал - не стекло.
Modus tollens
a  b
b
a
Надчеркивание над буквами в символической записи умозаключения выражает отрицание, означает то же, что не-a или, точнее, неверно, что a.
И этот модус, подобно предыдущему, в принципе может давать как утвердительный по
логической форме вывод, так и отрицательный. Все зависит от того, каким суждением выражается основание условной посылки. Скажем, рассуждение "Если такси не свободен, то не
горит "зеленый глазок"; но "зеленый глазок" горит" приводит к утвердительному выводу:
"Такси свободен". Хотя получен он по отрицающему модусу.
Суммировать приведенные соображения можно одним простым и коротким правилом:
Вывод в условно-категорическом умозаключении можно делать либо от наличия основания к наличию следствия, либо от отсутствия следствия к отсутствию основания.
Интуитивно здесь напрашиваются еще два возможных модуса, которые, однако, в действительности являются неправильными.
Если у пациента температура, то он болен.
17
a  b
У данного пациента нет температуры.
Данный пациент не болен?
Если у пациента температура, то он болен.
Данный пациент болен.
У данного пациента температура?
Неправильные модусы
a
b?
a  b
b
a?
На самом деле в силу многозначности причинно-следственных связей, в силу того, что
одно и то же следствие может вызываться многими причинами, выводы по таким модусам в
лучшем случае вероятностны, но часто бывают и ложными. Наличие температуры не доказывает, что у больного обязательно ангина, ибо и другие болезни тоже вызывают ее, и отсутствие ангины не гарантирует отсутствие повышенной температуры по тем же причинам.
Только в том случае, когда связь между основанием и следствием взаимно-однозначная, то
есть когда одно не бывает без другого, только тогда выводы по неправильным модусам дают
верный результат. Например, условная посылка "Если год високосный, то в феврале 29 дней"
позволяет строить умозаключения по всем четырем модусам, включая два неправильных.
Как и с обычными силлогизмами, здесь тоже приходится иногда восстанавливать пропущенную посылку. Возьмем для примера такое рассуждение: «Моцарт гений, следовательно,
он не злодей». Перед нами вывод и одна из посылок. Если смотреть на это рассуждение как
на условно-категорический силлогизм, то для восстановления его полной формы можно воспользоваться как утверждающим модусом, так и отрицающим. Допустим, мы изберем для
восстановления первый из них. У нас имеется заключение – третья строка и категорическая
посылка – вторая строка:
(1)
a  b
(2) Моцарт гений.
a
(3) Моцарт не злодей.
b
Из сопоставления с символической записью мы видим, что а в нашем случае означает
«Моцарт гений», b – «Моцарт не злодей». И тогда предполагаемая посылка в нашем рассуждении звучит так: «Если кто-то гений, то он не злодей»
(1) Если кто-то гений, то он не злодей
a  b
(2) Моцарт гений.
a
(3) Моцарт не злодей.
b
При восстановлении по отрицающему модусу:
(1) Если кто-то злодей, то он не гений
a  b
(2) Моцарт гений.
b
(3) Моцарт не злодей.
a
Формально полученная нами на этот раз посылка звучит иначе, однако в действительности одна получается из другой с помощью так называемой контрапозиции и потому они равнозначны. Например, из утверждения, что, если проволока нагрелась, то она расширилась с
помощью операции контрапозиции получается эквивалентное высказывание: «Если проволока не расширилась, то она не нагрелась».
Условно-категорическое умозаключение представляет собой один из самых элементарных
шагов в выводах и доказательствах. Оно имеет чрезвычайно широкое распространение. Несмотря на его кажущуюся простоту, разобраться порой с ним бывает не так уж и легко, особенно когда посылки содержат отрицания и вдобавок выражаются длинными предложениями. Знание условных и условно-категорических силлогизмов настоятельно необходимо всякому, кто хочет овладеть законами правильного мышления.
Задачи на условно-категорические силлогизмы
1. Сделайте вывод, если это допускают правила логики; учтите разницу между причинно18
следственной связью и взаимно-однозначной. В том случае, когда вывод невозможен, объясните, почему.
1) Если банк продолжает деятельность, то он получил лицензию, но банк прекратил (не
продолжает) деятельность. Следовательно,...
2) Если банк продолжает деятельность, то он получил лицензию, но лицензия им получена. Следовательно,...
3) Если банк имеет право на продолжение деятельности, то, значит, он получил лицензию,
но банк не имеет права на продолжение деятельности. Следовательно,...
4) Если банк имеет право на продолжение деятельности, то, значит, он получил лицензию,
но банк получил лицензию. Следовательно,...
5) Если производство не будет остановлено, то оно не является экологически вредным, но
производство остановлено. Следовательно,...
6) Если производство не будет остановлено, то оно не является экологически вредным, но
производство не является экологически вредным. Следовательно,...
7) Если производство не отравляет окружающую среду, то оно не является экологически
вредным, но производство отравляет окружающую среду. Следовательно,...
8) Если производство не отравляет окружающую среду, то оно не является экологически
вредным, но производство экологически вредно. Следовательно,...
9) Если наш мэр - не мздоимец, то он не берет взяток, но наш мэр не берет взяток. Следовательно,...
10) Если наш мэр - не мздоимец, то он не берет взяток борзыми щенками, но наш мэр не
берет взяток борзыми щенками. Следовательно...
2. Образуйте для каждого из следующих двух условных суждений по четыре модуса
условно-категорических силлогизмов (включая два неправильных) и проверьте, в каких случаях вывод возможен и в каких нет, объясните, почему.
1) Если предприятие нерентабельно, то оно прекратит работу.
2) Если предприятие нерентабельно, то оно не получит прибыль.
3. Проанализируйте следующие умозаключения, запишите символами их модус, определите,
вытекает ли сделанный в них вывод из посылок.
а) Если прекратится финансирование из бюджета, то строительство моста не будет завершено.
Финансирование
из
бюджета
не
прекратилось.
Следовательно, строительство моста будет завершено.
б)
Если
не
поступит
телеграмма,
К
тете
Следовательно, поступила телеграмма.
то
нам
придется
мы
поехать
к тете.
поехали.
в) Если не будет принята государственная программа защиты окружающей среды, то экологическая
обстановка
ухудшится.
Государственная
программа
защиты
окружающей
среды
была
принята.
Следовательно, экологическая обстановка не ухудшится.
г) Если будет принята государственная программа охраны материнства и детства, то не хватит
средств
на
строительство
школ.
Средств
на
строительство
школ
не
хватает.
Следовательно, принята государственная программа охраны материнства и детства.
4. Определите вид и модус следующих умозаключений, дайте их символическую запись, решите, правильно ли обоснован вывод.
а) Если нет доказательств, то дело нельзя передавать в суд. Но доказательства теперь есть,
значит, дело можно передавать в суд.
б) Если есть доказательства, то дело можно передавать в суд. Но доказательства теперь есть,
значит, дело можно передавать в суд.
19
в) Если небесное тело имеет замкнутую орбиту, то его траектория не гипербола. Но траектория данного небесного тела - гипербола, следовательно, оно движется не по замкнутой орбите.
г) Если траектория небесного тела гипербола, то оно имеет незамкнутую орбиту. Но траектория данного небесного тела незамкнута, следовательно, оно движется по гиперболе.
д) Если товар продовольственный, то у него ограниченный срок хранения. Но товар не продовольственный, значит, срок его хранения не ограничивается.
е) Если товар продовольственный, то у него ограниченный срок хранения. Но товар не имеет ограничений по срокам хранения, значит, он не продовольственный.
5. Восстановите до полной формы следующие условно-категорические умозаключения, использовав как утверждающий, так и отрицающий модусы.
а) Вода закипела при температуре девяносто градусов, значит, мы уже недалеко от вершины.
б) Раз вода не закипела при температуре девяносто градусов, значит, мы еще далеко от вершины.
в) Избиратели не поддержали депутата, поскольку он не обещал повышение зарплаты.
г) Значит, мы не сможем уплатить налоги, раз лето дождливое.
д) Поскольку товар ненадлежащего качества подлежит возврату, лицам его продавшим, то,
следовательно, правила торговли не нарушаются.
Часть II. Символическая логика
Многим изучающим и изучавшим в вузе гуманитарные науки кажется, будто формулы
и символы уместны лишь в математике и вряд ли операции с ними помогут приобретению
навыков правильного мышления в гуманитарных областях знания. Формулы имели бы здесь
исключительно ограниченное применение. Но на самом деле такое предубеждение давно
пора начать развенчивать.
Символическая логика представляет собой новый шаг в успешном овладении законами правильного мышления, расширяя имеющиеся достижения традиционной логики. Хорошее знание этих, последних, разделов является необходимым предварительным условием
для постижения аппарата новой, оперирующей языком символов, логики.
Что касается возможностей использования этой новой ветви логической науки в гуманитарных науках, то достаточно одного взгляда на раздел, где помещены задачи, чтобы
убедиться, что с ее помощью можно проверять правильность высказываний с самым разнообразным содержанием. Она может помочь специалисту любого профиля избавить свои
суждения от ошибок, непоследовательности, путаницы. Знать символическую логику совершенно необходимо каждому человеку умственного труда.
2.1. Образование сложных высказываний
Символический язык рассматриваемого раздела логики создается прежде всего путем
введения переменных A, B, C, D,... р, q, r,... для высказываний, которые получили название
пропозициональных переменных, и символических обозначений - для так называемых логических союзов или логических связок. Переменные ставятся вместо каких-нибудь повествовательных предложений, каковые могут быть либо истинными, либо ложными.
Пропозициональными переменными пользуются для образования так называемых
сложных суждений. Последние составляются из простых, соединяясь с помощью различных
логических союзов, называемых иногда также логическими операторами. Часть этих союзов
имеет некоторое сходство с грамматическими союзами “и” и “или”, которые объединяют
отдельные предложения, сводя их в сложные формулировки. Hаиболее важными логическими союзами являются шесть: отрицание, конъюнкция, дизъюнкция (строгая и нестрогая),
импликация, эквивалентность.
20
Hам надо не только перебрать и уяснить способы создания сложных суждений, но и
научиться определять их семантические значения в зависимости от значений истинности
каждого из исходных высказываний, ибо они могут быть как истинными, так и ложными
каждое. Возможные простейшие комбинации суждений с разными союзами сведены в таблицу истинности сложных суждений (табл. 2). В символической логике принято обозначать
истинное выражение единицей, а ложное - нулем. Стало быть, в приведенной дальше таблице 2 цифры 1 и 0 заменяют соответственно слова “истинно” и “ложно”.
Отрицание. Этот логический союз образуется за счет добавления к любому высказыванию слов: “Неверно, что...”. Существует много разных способов записывать отрицание в
виде формулы (вообще символика в логике высказываний пока не является устоявшейся).
Мы будем использовать для этих целей черту над переменными или формулами:
p, q , r ... Читается: “Hевеpно, что p”, или просто: “Hе-p”. И если p означает, скажем, “Погода
сегодня холодная”, то p станет высказыванием: “Hевеpно, что погода сегодня холодная”. В
результате приложения к исходной мысли этого логического союза образуется высказывание, истинность которого, как легко догадаться, меняется на противоположную. Так, если
суждение “Погода сегодня холодная” истинно, то тогда высказывание “Неверно, что погода
сегодня холодная”, очевидно, будет ложным. А если бы исходное суждение, наоборот, было
ложным, то тогда после отрицания мы, естественно, получили бы истинное высказывание.
Надо сказать, в наших рассуждениях отрицания имеют много оттенков. Допустим,
кто-нибудь говорит: “X - студент третьего курса философского факультета МГУ”. И предположим, кто-то с ним не соглашается: “Неверно, что X - студент третьего курса...”. Под этим
могут подразумеваться самые разные обстоятельства: X может в самом деле учиться на философском факультете, но не в МГУ, а в пединституте; он может быть студентом этого факультета МГУ, но не третьего курса; может быть и так, что отрицающий хочет сказать, что X
- вообще не студент. Любое из соответствующих высказываний будет отрицанием исходного.
Еще одной особенностью отрицания в символической логике является то, что двойное
отрицание само себя нейтрализует. Так что всегда справедливо выражение
AA
(1)
Знак равенства говорит только о том, что выражения, стоящие по обе стороны знака,
взаимозаменимы. Переменная A означает любое простое или сложное высказывание (любую
формулу). Эта запись говорит о том, что высказывание с двумя отрицаниями равносильно
тому же высказыванию без отрицания. Она представляет собой один из принципов символической логики, и поэтому мы будем отмечать такие формулы, введя для них сплошную нумерацию. В естественных языках повторные отрицания встречаются в виде стилистического
приема, и их число обычно не превышает двух. Можно, например, сказать: “Книга небезынтересная”, “Зима не бесснежная”. Как правило, этим хотят сказать, что признак в какой-то
степени относим к обсуждаемому предмету: зиму нельзя считать полностью бесснежной снег все-таки был, книга все же мало-мальски интересна. Эти оттенки смысла отрицания не
учитываются в символической логике, потому что они сильно зависят от контекста, и подвести их под какое-то общее и в то же время простое правило вряд ли удастся.
Таблица 2
p
(p

q)
(p

q)
(p

q)
(p  q)
(p  q)
p q
1
0
1
0
1
1
0
0
0
1
-
1
0
0
0
1
1
1
0
0
1
1
0
1
1
0
1
1
0
0
1
Конъюнкция. Следующее сложное высказывание – конъюнкция - представляет собой
соединение двух и более высказываний с помощью союза “и”. Ее обозначение чаще всего
такое: p  q; читается: p и q. Допустим, у нас имеется высказывание с союзом “и”: “Поезд
следует до Москвы и отходит через пятна- дцать минут”. Мы можем разбить его на две
21
части, обозначив каждую часть соответственно буквами p и q: “Поезд следует до Москвы”
(p) и “Поезд отходит через пятнадцать минут” (q). И тогда наше первоначальное высказывание может быть записано в виде приведенной формулы. Каждый из отдельных простых компонентов, стоящих по обе стороны от знака конъюнкции, мы будем называть конъюнктами.
Оба простых высказывания могут оказаться как истинными, так и ложными. Как меняется
при этом истинностное значение конъюнкции, показано в табл. 2.
В первой строке берется случай, когда оба простых высказывания истинны. Как это
понимать? Предположим, нам передали вот эту самую информацию о поезде на Москву и
времени его отправления. И если мы затем выясним, что и первая и вторая части этого сообщения соответствуют действительности, то есть высказывания “Поезд следует до Москвы” и
“Поезд отправляется через пятнадцать минут” оба истинны (p=1; q=1), то, очевидно, и всю
информацию в целом мы тоже оценим как истинную. Это и отмечается в колонке для конъюнкции (первая строка) единицей. Теперь разберем другой вариант. Допустим, что истинным является только одно простое высказывание, скажем, второе, первое же ложно (p=0;
q=1). То есть нам сказали, что поезд отходит на Москву через пятнадцать минут, но он отходит, хотя и в самом деле через пятнадцать минут, но не на Москву, как было сказано, а в
ином направлении. Как тогда будет оценено нами полученное сообщение в целом? Очевидно, оно вводит нас в заблуждение, и мы должны отнести его к разряду ложных. Этим объясняется цифра ноль во второй строке в колонке конъюнкции. Понятно, что при обратных значениях компонентов (p=1; q=0) будет то же самое - в целом информация по-прежнему ложна.
Наконец, когда оба простых высказывания являются ложными суждениями, то тем более все
суммарное высказывание представляет собой обман.
Не всегда конъюнктивные высказывания выражаются с помощью явно включенного в
него союза “и”. Иногда вместо него может стоять только запятая или слова вроде: “также”,
“наряду с...”, “ как то, так и другое”, “не только то, но и другое”, “но”, “зато” и пр.
Дизъюнкция (нестрогая). Этот логический оператор используется для отображения
различного рода альтернатив с помощью союза “или” (иногда пишется “или..., или”). Ее
символическая запись - pq; читается: p или q. Ее компоненты мы будем в дальнейшем
называть дизъюнктами. Чтобы разобраться с ее значениями по истинности в табл. 2, приведем какой-нибудь конкретный пример. Возьмем высказывание: “Этот вопрос решается или
через управляющего, или через его заместителя”. В нем указывается на два возможных способа решить какой-то вопрос. Один из них задается высказыванием “Этот вопрос решается
через управляющего” (обозначим его через p), другой - высказыванием “Этот вопрос решается через заместителя” (q). Попробуем перебрать все варианты, как это было с конъюнкцией.
Допустим, данную справку мы получили в каком-нибудь учреждении и после этого
выяснили, что оба начальника в состоянии решить и решают такие вопросы. Стало быть,
истинны как p, так и q (p=1; q=1). Как можно оценить истинность всего полученного указания? Вообще говоря, возможны случаи, когда такие высказывания вводят в заблуждение,
если они означают, что только один из них компетентен заниматься данным делом, но не оба
вместе. Но могут быть и такие обстоятельства, когда нам достаточно знать, где искать нужную инстанцию, остальное пока безразлично, и тогда то же самое указание при тех же значениях истинности простых суждений будет оценено как истинное. В символической логике
предусмотрены оба варианта. Нестрогая дизъюнкция охватывает второй случай - при истинности обоих высказываний она является истинной. Поэтому в таблице истинности, в самой
первой строке, где p=1; q=1, для нестрогой дизъюнкции указано значение 1. Когда же, далее,
одно из простых суждений истинно (один из указанных руководителей занимается этим вопросом, причем все равно кто, а другой не занимается), то у нас нет никаких оснований считать данную нам справку ложной: нам именно это и сказали, что обращаться надо к тому или
другому. Стало быть, в колонке для нестрогой дизъюнкции и во второй, и в третьей строках
(как и в первой) должна стоять 1. Ну а когда оба простых высказывания ложны, то, очевидно,
у нас есть причины считать, что нас просто обманули - в этом случае все дизъюнктивное высказывание надо считать, конечно, ложным.
Дизъюнкция (строгая). Этот логиче- ский оператор представляет собой то же, что
22
и предыдущий, но относится к несоединимым альтернативам. Строгая дизъюнкция - соединение с помощью того же союза двух и более высказываний, которые не могут быть одновременно истинными. Во избежание путаницы мы будем пользоваться для нее словом “либо”. У нас она будет записывается как p  q; читается: p либо q. Иногда эта несовместимость
видна непосредственно из самих обстоятельств. Например: потерпевший был ранен либо
убит, данный автомобиль “Волга” либо “Москвич”, студенту поставили “отлично” либо “хорошо”. Иногда же это надо специально подчеркивать. “Поеду в отпуск поездом либо самолетом”. Вообще-то может оказаться, что ехать придется и тем и другим транспортом - часть на
самолете, часть на поезде. Поэтому в подобных высказываниях надо специально оговаривать, о какой альтернативе идет речь. По истинностным значениям строгая дизъюнкция совпадает с нестрогой во всем за исключением первой строчки. У нее оба простых суждения не
бывают одновременно истинными; если же при каких-то обстоятельствах это все же случается, то значит, отнесение данной альтернативы к разряду строгих дизъюнкций ложно, что и
отмечено цифрой 0 в первой строке колонки для строгой дизъюнкции.
В символической логике нестрогая дизъюнкция используется шире, чем строгая. Поэтому в дальнейшем слово “дизъюнкция” будет означать только нестрогую ее разновидность. Когда же речь пойдет о строгой дизъюнкции, мы будем это специально оговаривать.
Импликация. В ней выражаются различного рода условные зависимости. Импликация - связь высказываний с помощью логического союза “если,... то”. Общепринятое обозначение - p  q - читается: p имплицирует (влечет, вызывает) q.
Поскольку условная зависимость не является симметричной, то полезно условиться
называть левую от стрелки часть формулы антецедентом, а правую - консеквентом. Надо
сказать, в живых языках условные суждения применяются очень широко, и с их помощью
передается чрезвычайно пестрое в оттенках разнообразие содержания и смысла предложений. Исчисление высказываний учитывает только наиболее типические, преобладающие
черты условных связей - прежде всего причинные зависимости. Для более тонкого подхода к
ним создаются специальные логические системы, которые называются релевантными. Их
изучение не входит в нашу задачу.
Чтобы разобраться с картиной распределения значений истинности импликации в зависимости от разных наборов переменных, воспользуемся опять примером. Пусть нам дано
предложение: “Если у Анны сегодня день рожденья, то подарю ей розу”. Здесь логический
союз соединяет два высказывания: “Сегодня у Анны день рождения” (p) и “Подарю Анне
сегодня розу”(q). Каждое из них может быть как истинным, так и ложным. Само собой понятно, что при истинности каждого из простых высказываний (у Анны в самом деле сегодня
день рождения и обещание насчет розы тоже было выполнено) мы посчитаем все сделанное
в условной форме заявление истинным: в первой строке колонки импликации (табл. 2) проставлена 1. Но как быть с оценкой такого обещания, когда первое суждение ложно (p=0), а
роза тем не менее была подарена (q=1), то есть подарена несмотря на то, что никакого дня
рождения Анна сегодня не отмечает? Можно ли считать это отступлением от своих слов?
Если и да, то ведь отступление сделано в сторону превышения, оно не обмануло ожидания,
наоборот, этим поступком верность данному слову подтверждается еще лучше, чем могла
бы. Поэтому при такой комбинации значений переменных правильно будет считать импликативное высказывание истинным. Легко, далее, согласиться, что когда антецедент истинен
(p=1), а консеквент ложен (q=0), высказанное заявление надо признать ложным, ибо это
означает, что в день рождения роза вовсе не была подарена. Что касается ситуации, когда
день рождения еще не наступил (p=0) и роза пока не подарена (q=0), при таких обстоятельствах у нас нет никаких оснований считать, что слова расходятся с делами, поэтому импликация в этом случае истинна.
Правда, последнее обстоятельство порождает некоторые не совсем удобные следствия. Формально получается, что любые два ложных предложения, соединенные импликативной связью, образуют истинное высказывание: если дважды два пять, то Папа Римский –
магометанин; если коровы квакают, то лягушки доятся. С точки зрения таблицы истинности
такие абсурдные утверждения действительно надо признать правильными и истинными
23
высказываниями. Однако в этом не так уж много отступлений от здравого смысла, как это на
первый взгляд кажется. В обычной речи такими сочетаниями довольно часто пользуются:
если вот эту певицу можно считать артисткой, то тогда вон ту надо признать сказочной сиреной. Вообще надо сказать, что предложения, заявленные в условной форме, почти всегда
хотя бы правдоподобны. Обстоятельства, когда они ложны, встречаются сравнительно редко. Скажем, шутливое заявление Виннера: “Если преодолеть технические трудности, то человека можно передавать по проводам”, - будет всегда правильным и бесспорным, хотя и
антецедент и консеквент здесь ложны.
Условные предложения очень широко распространены в естественных языках, и все
их особенности и смысловые оттенки очень трудно уложить в общие рамки. В логике часто
приходится употреблять слово “следовательно”, которое имеет очень много сходства с импликацией, но полностью с ней не совпадает.
Эквивалентность. Она соединяет высказывания логическим союзом “тогда и только
тогда”. Наиболее распространенное обозначение эквивалентности p  q читается: p эквивалентно q. Относится она к таким парам явлений и обстоятельств, которые нерасторжимо связаны: есть одно, есть и другое. Допустим, какой-нибудь начальник в министерстве иностранных дел утверждает, что в его отделе каждый сотрудник переходит в дипломаты тогда и
только тогда, когда в совершенстве овладевает иностранным языком. Подобно другим, это
заявление может быть и истинным и ложным. Давайте посмотрим, как это зависит от значений переменных. Очевидно, что его слова передают то, что есть на самом деле, если их первая и вторая половины - истинные суждения (p=1; q=1). Это значит, что работники, становящиеся дипломатами, знают в совершенстве иностранный язык и каждое из простых высказываний об этом является истинным. И точно так же очевидно, что его утверждение ложно,
если иные из них переходят на дипломатическую службу, не зная иностранного языка (p=1;
q=0), или, наоборот, иностранный язык знают, но в дипломаты попасть не могут (p=0; q=1).
При ложности же обоих простых высказываний - и в дипломаты их не переводят, и языка
они не знают (p=0; q=0) - слова начальника, конечно, надо оценить как истинные, правильно
описывающие сложившуюся в отделе практику.
Надо помнить, что языковые выражения не всегда соответствуют формальным требованиям. Это заметно и на эквивалентности. Скажем, предложение “Если будешь плохо работать, то будешь уволен” сформулировано как импликативное, но на самом деле оно ближе к
эквивалентности. И будет лучше, если мы выразим его именно такой формулой, обозначив
составные части, как и раньше, через p и q: p  q. В этом можно убедиться, перебрав все варианты для значений переменных. Действительно, при истинности антецедента и консеквента (человек плохо работает, и его уволили) сделанное заявление надо, конечно, оценить как
истинное. Далее, при ложном антецеденте и истинном консеквенте импликацию надо было
бы считать истинной. Однако в нашем случае это означало бы признать указанное заявление
правильным, несмотря на то что человек вовсе не работал плохо (высказывание p о его плохой работе ложно), а его все равно уволили (высказывание q о его увольнении истинно).
Точнее поэтому будет признать такое выражение эквивалентностью, которая в таком наборе
значений переменных является ложной. И третий вариант, когда работника не увольняют
(высказывание об увольнении ложно), хотя работает он плохо (высказывание о плохой работе является истинным), тоже подходит к эквивалентности. Наконец, при ложности обоих
простых высказываний эквивалентность и импликация образуют истинные высказывания, и
это соответствует по смыслу той ситуации, которая взята у нас в качестве примера.
Введенный таким образом символический язык позволяет превращать в формулы довольно сложные сообщения, составленные из нескольких простых суждений в их самых разных сочетаниях. Так, известная поговорка “Пока гром не грянет, мужик не перекрестится”
запишется у нас в следующем виде: ( p  q ), где p означает «гром гремит», а q – «мужик
крестится».
Высказывание о том, что матерью можно стать тогда и только тогда, когда родишь
или усыновишь ребенка, потребует трех переменных: p - стать матерью, q - родить ребенка,
r - усыновить ребенка. Тогда соответствую- щая формула будет выглядеть так:
24
( p  (q  r )) .
Возьмем еще несколько выражений, состоящих из трех или четырех простых высказываний, и запишем их формулами.
Неправда, что наше предприятие получает доход тогда и только тогда, когда не платит налоги или не вносит платежи ( r ) : ( p  ( q  r )).
Если его можно назвать преступником (p), то неправда, будто над ним не состоялся
суд ( q ) и он не был на нем изобличен ( r ): ( p  (q  r )).
Если погода окажется нелетной ( p ) и самолет не прилетит ( q ), то нам придется ехать
поездом (r) или плыть пароходом (s): (( p  q )  (r  s )).
2.2. Нуль - единичная проверка истинности высказываний
Любое сложное выражение также может оказаться как истинным, так и ложным, в зависимости от истинностного значения входящих в него простых высказываний. И надо
уметь вычислять истинностное (семантическое) значение сложных высказываний, записанных в виде формулы.
Возьмем какое-нибудь конкретное высказывание, допустим, такое: “Если получу стипендию, то куплю себе учебник по логике, а если не получу стипендию, то учебник по логике
покупать не стану”. Обозначим через p простое высказывание “Получу стипендию” и через q
- “Куплю учебник по логике”. Тогда формула для этого выражения будет выглядеть так:
( p  q)  ( p  q ).
Предположим, далее, что на самом деле учебник не был куплен, хотя стипендия была
получена. На языке символической логики это означает, что высказывание p является истинным (p=1), а высказывание q - ложным (q=0). В данном случае само собой понятно, что сделанное заявление о покупке учебника при получении стипендии не соответствует реальным
делам, следовательно, ложно. Но нам надо получить этот результат с помощью подсчета
(так, чтобы к нему могла бы прийти и машина). Для разрешения данной формулы надо сначала подставить в нее вместо буквенных переменных их цифровые значения. Тогда получим:
(1  0)  (1  0).
Теперь следует поэтапно упрощать выражение. Сначала проведем отрицания внутри
скобок, остальную же часть формулы пока просто перепишем без изменений. Поскольку в
таблице истинности отрицание обозначено как p, то для вычисления выражения 1 надо
найти в столбце для p ту строку, где стоит 1 (первая строка), и найти после этого цифру, которая соответствует ей в столбце p . В этом месте находится нуль: отрицание истинного
высказывания дает высказывание ложное. Значит, отрицание единицы можно заменить на
нуль.
Аналогично отрицание нуля можно заменить на единицу:
(1  0)  (0  1).
Следующим шагом мы должны вычислить две импликации. Левой из них в колонках
для p и q соответствует третья строка, и импликация в этой строке является ложной (там стоит цифра нуль); значит, выражение (1  0) можно заменить на 0. Для правой берем вторую
строку; в колонке импликации на ней стоит цифра 1. Значит, выражение (0  1) можно заменить на 1. Тогда формула сведется к конъюнкции, которая легко вычисляется аналогичным
образом и заменяется на нуль:
(0  1),
0.
Если выразить все преобразование одной строкой, то оно будет выглядеть так:
(1  0)  ( 1  0)  (1  0)  (0  1)  (0  1)  0.
Получается, вся эта формула при данных значениях переменных содержит ложное высказывание. Это надо понимать так: автор высказывания о покупке учебника после получения стипендии
на самом деле не сдержал своего слова. Мы могли бы проверить истинность его намерения и при
25
других значениях переменных. Поскольку их всего две, то возможных наборов четыре - столько же,
сколько и у простых функций. Результаты сведены в таблицу (табл. 3).
Таблица 3
p
1
1
0
1
0
q
2
1
1
0
0
p
3
0
1
0
1
q (p  q)
4
5
0
1
0
1
1
0
1
1
(p  q )
(p  q)  (p  q )
6
1
0
1
1
7
1
0
0
1
Из табл. 3 видно, что если бы высказывание сопровождалось приобретением учебника, несмотря на то что стипендия не была получена (вторая строка), то слова автора высказывания надо было бы признать не соответствующими делам. В то же время его высказывание
является истинным в том случае, если стипендии не было и учебник не был куплен (последняя строка). Тем более его высказывание не является ложным, если после получения стипендии учебник был куплен. Легко увидеть, вникнув в содержание всего заявления, что именно
так мы и сами оценили бы его истинность при всех перечисленных вариантах реальных обстоятельств.
Возьмем в качестве примера следующую ситуацию. Предположим, руководитель
предприятия заверяет своих коллег: «Неправда, будто мы или получим льготный кредит, или
не достроим новое здание». И допустим, далее, что кредит был получен, а здание достроено.
Спрашивается, сказал ли он правду? Обратимся к методу нуля и единицы. Формула, выражающая слова руководителя, должна представлять собой отрицание нестрогой дизъюнкции,
причем с одной ее стороны переменная, с другой – переменная с отрицанием: (p  q ) , где p –
«Получен льготный кредит», q – «Достроено новое здание». Так будет выглядеть записанная
в виде формулы информация. Сами же действительные обстоятельства запишутся в виде
значений пропозициональных переменных: оба простых высказывания истинны (p=1, q=1).
Подставим, как и прежде, в формулу вместо переменных их числовые значения и проведем поэтапное вычисление:
(1  1 )  (1  0)  1  0.
Ноль говорит о том, что слова руководителя не соответствуют тому, что произошло на
самом деле, то есть его слова ошибочны или ложны. Вычисление других возможных значений формулы и их интерпретацию предоставляется выполнить самостоятельно. Результаты
можно сверить по данным табл. 4.
Таблица 4
p q
(p  (p  q))
(p  (p  q))
(p  q)
1
1
0
1
0
2
1
1
0
0
3
0
1
0
0
4
0
1
0
1
5
1
1
0
1
Подобным образом можно вычислять семантические значения любых формул, как бы
сложны они ни были. Причем если переменных больше двух, то, разумеется, и вариантов их
сочетаний больше: при трех - 8, при четырех - 16 и т.д. Исчисление высказываний, как и правила традиционной логики, обеспечивает последовательность в выводах и рассуждениях.
Однако необходимо помнить, что исчисление высказываний - первый шаг в становлении символической логики. В нем пока еще много несовершенного. Раньше уже говорилось
об упрощении действительной мысли в отрицаниях и импликациях. А когда их несколько в
26
одной достаточно большой формуле, то дело может доходить и до нелепостей. Поэтому громоздкие формулы для целей выражения мысли ненадежны.
Одна и та же формула описывает множество разных по содержанию высказываний.
Так, предложение “Если встречу Катю, то пойдем с ней в кино или в театр” запишется в виде
следующего буквенного выражения: (p  (q  r)). Но можно привести и множество других
высказываний, которые запишутся с помощью этой же самой формулы. Например: “Если
дверь открыта, значит, дома брат или сестра”, “Если электросчетчик работает, значит, включена плита или телевизор”, “Если политик выполнит обязательства, то понизятся цены или
возрастет зарплата”. Формула передает только то общее, что характерно для всех приведенных примеров, поскольку, как мы помним, высказывание оставляет от суждения только одно
свойство - быть либо истинным либо ложным. Все остальное выпадает из рассмотрения.
Истинностные значения остаются, разумеется, неизменными при одних и тех же сочетаниях
значений переменных, какое бы содержание в них ни вкладывалось. Причем, заметьте, самое
первое из взятых нами высказываний не допускает, если подумать над его смыслом, чтобы
при ложности p были истинными q и r (p=0, q=1, r=1); между тем формула может быть вычислена и при этих значениях тоже и даже окажется истинным высказыванием. Это значит,
что встреча с Катей не получается, но выход с ней в театр и кино состоится.
Такая несуразица возникла не из-за несовершенства языка символической логики, так
как данный вариант не является ложным (для других высказываний из того же набора полученное сочетание вполне допустимо). Он невыполним вообще. Чтобы его избежать, надо
было воспользоваться более сложным выражением, скажем, таким: “Если встречу Катю, то
пойдем с ней в кино или в театр, и, если не встречу Катю, то не пойдем ни в кино, ни в театр”. Соответствующая формула будет выглядеть так: (p  (q  r))  (p  (q  r )) . При
тех же значениях переменных, которым соответствуют недопустимые по самой сути дела
стечения обстоятельств, она образует ложное высказывание.
Язык символической логики позволяет обнаруживать некоторые трудно уловимые
нюансы в нашей речи. Возьмем высказывание: “Он мухи не обидит, а если и обидит, то прощения попросит”. Формула для него запишется таким образом: (p  (p  q)), а семантические значения можно видеть в помещенной выше таблице 4. Подобными выражениями мы
обычно характеризуем обходительных людей, и если в общении с ними столкнемся со случаем, когда такой человек все же доставил кому-то неприятности (p=1), но тут же принес извинения (q=1), то подумаем, что такое поведение подтверждает данную ему характеристику.
Однако, взявшись просчитать формулу при отмеченных значениях переменных, мы обнаружим, что она, как ни странно, дает ноль (см. табл. 4), т.е. слова о нем не соответствуют его
поступкам. Все станет понятно, стоит лишь переставить местами слова в высказывании: “Если он обидит хотя бы только муху, то попросит прощения, но вообще-то он никого не обидит”. Формула для обновленного выражения остается той же самой, ибо последовательность
изложения не имеет принципиального значения. Просто в такой формулировке меняются
акценты. В высказывании одна половина фразы категорически заверяет, что данный человек
вообще никого не обижает, а другая половина фразы всего лишь усиливает это убеждение.
На деле анализируемая формулировка некорректна. Правильнее использовать вместо союза
«и» союз «или» между скобкой и переменной: “Он или не обидит даже мухи, или, если и
обидит, то попросит прощения” (p  (p  q)) . Таблица 4 показывает, что данная характеристика будет точнее передавать обходительный образ действий, если ее выразить именно таким способом.
Формулами можно выражать и договорные отношения, а затем проверять, были ли
они выполнены в тех или иных обстоятельствах. Скажем, транспортная организация могла
бы заключить такой договор: «Если действует железнодорожное сообщение, а груз задерживается, то фирма уплачивает штраф» ((p  q)  r) , p – «Действует железнодорожное сообщение», q – «Груз задерживается», r – «Фирма уплачивает штраф». Зависимость истинностного
значения такой формулы от набора переменных показана в табл. 5. Из нее видно, что при
функционирующем транспорте, задержанном грузе и уплаченном штрафе (p=1, q=1, r=1)
27
формула дает значение “истинно”, иными словами, договорные обязательства будут соблюдены. А если в тех же условиях штраф не уплачен (p=1, q=1, r=0), то просчет формулы дает
значение “ложно”, стало быть, договор будет нарушен. Это, разумеется, соответствует интуитивным ожиданиям, но обратите внимание, что других нарушений такого договора, оказывается, нет (при всех остальных наборах переменных значение формулы – только единица).
Так что даже если транспорт не действует, груз не задержан, а штраф тем не менее уплачен
(p=0, q=0, r=1), договор все же надо считать соблюденным, хотя это явная нелепость. Дело
здесь в тех особенностях импликации, о которых ранее говорилось. Ее консеквент содержит
следствие, которое может вызываться не только явлением или действием, указанными и в
антецеденте, но и многими другими, совершенно посторонними обстоятельствами. Поэтому
для определения соответствия действий сторон договорным обязательствам надо просчитывать каждый раз два варианта: штраф уплачен и штраф не уплачен. В данном случае окажется, что нести штрафные санкции нет необходимости в том смысле, что договорные обязательства будут выполнены как при уплате штрафа, так и при неуплате. Могут быть также
формулировки, в которых в случае уплаты и неуплаты договор не выполняется. Можно придумать и более корректное выражение: «Если груз задерживается, то фирма платит штраф
тогда и только тогда, когда действует железнодорожное сообщение» (q  (p  r)) . Это выражение точнее предыдущего (см. табл. 5), но и здесь в отдельных сочетаниях обстоятельств
(например, транспорт не действовал, но груз не задержан (p=0, q=0)), недвусмысленная
оценка выполнения или невыполнения обязательств по договору получается лишь через
двойной просчет формулы.
Таблица 5
p
1
1
0
1
0
1
0
1
0
q
2
1
1
0
0
1
1
0
0
r ((p  q)  r) (q  (p  r)) (r  (p  q)) (r  (p  q))
3
4
5
6
7
1
1
1
1
1
1
1
0
0
0
1
1
1
0
1
1
1
1
0
1
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
0
1
1
1
0
0
1
1
1
0
Допустимо также использование вместо эквивалентности импликации. Тот же самый
договор звучал бы тогда так: «Фирма уплачивает штраф тогда и только тогда, когда железнодорожное сообщение действует, а груз задерживается» (r  (p  q)) . В таком выражении
договора двойной подсчет не требуется нигде, так как при соблюдении всех условий формула дает значение «истинно», а при несоблюдении – «ложно» (см. табл. 5). Но и здесь имеются
свои тонкости. Если бы нам вздумалось те же условия выразить в отрицательной форме, то,
как ни странно, получится немало самых настоящих нелепостей. В самом деле, выразим те
же условия в таком виде: «Фирма не уплачивает штраф тогда и только тогда, когда железнодорожное сообщение не действует и груз задерживается» (r  (p  q)) . Казалось бы, это та
же самая мысль, только выражена она иначе. Тем не менее из табл. 5 видно, что совпадение с
предыдущей формулой имеет место лишь отчасти. Причем если бы транспорт не действовал,
но груз не задержался, а фирма все же уплатила штраф, то так сформулированный договор
был бы соблюден, и наоборот, если бы она не уплатила штраф, то это означало бы нарушение договорных условий. На самом деле, чтобы зафиксировать договорные условия в отрицательной форме, надо воспользоваться формулой (r  (p  q )) , которая на словах выражается так: «Фирма не уплачивает штраф тогда и только тогда, когда или железнодорожное
сообщение не действует или груз не задерживается». Ее цифровые значения при любых
наборах переменных полностью совпадают с той корректной формулой из табл. 5, для ко28
торой, как было отмечено, не требуется двойного просчета.
В общем-то тут надо помнить как о недостатках естественного языка, так и о несовершенстве языка логики высказываний. Дальнейшие уточнения таких вопросов здесь были
бы излишними. Достаточно отметить, что без символической логики, возможно, мы не заметили бы таких тонких зависимостей в смыслах предложений.
2.3. Основные эквивалентности
Помимо определения истинности сложных составных предложений методы символической логики позволяют также проверять последовательность и определенность мысли, когда она
переформулируется в других выражениях. При этом она может оставаться как тождественной
самой себе, только высказанной иными словами, так и замененной на другую, вытекающую в
качестве следствия из нее. Ключевую роль в этом играет эквивалентность.
В символической логике доказано, что одни логические союзы могут заменяться на
другие и при этом не нарушится смысл высказывания. Выражение, содержащее, скажем, союз “или”, можно при желании переформулировать в такое, в котором вместо него будет стоять, например, конъюнкция или, скажем, импликация; и если исходное выражение было истинным, то и полученное в результате преобразования тоже останется истинным. Мы остановимся лишь на самых распространенных видах сложных высказываний - конъюнкции,
дизъюнкции и импликации. Они являются также наиболее употребительными и в обычном
языке. Доказательство формул для преобразования одних видов суждений в другие очень
сложно, мы его опускаем, беря формулы каждый раз уже готовыми.
Конъюнкция преобразуется в дизъюнкцию с таким же набором значений истинности
переменных следующим образом:
(A  B)  ( A  B ).
(2)
Для преобразования в импликацию надо руководствоваться формулой, которая тоже
приводится здесь без доказательства:
(A  B)  ( A  B ).
(3)
Допустим, у нас имеется сложное конъюнктивное высказывание: “Казак - это пахарь и
воин”. Разбив его на два конъюнкта и воспользовавшись приведенными законами преобразования, мы легко получим два высказывания, равносильных исходному, но выраженных
иначе - с дизъюнкцией и импликацией: “Неверно, что казак - это или не пахарь, или не воин”, «Неверно, что если казак - пахарь, то он не воин».
На месте переменных A и B может быть и сложное выражение. Возьмем фразу из комедии «Горе от ума», один из персонажей которой говорит: «Умный человек не может быть
не плутом». Придадим ему сначала форму конъюнктивного выражения: «Не бывает, чтоб
человек был умен и не был плутом» (p  q ) . Здесь одна переменная имеет отрицание, но указанные законы все равно применимы и в этом случае. Если проводить преобразование по
формуле (2), то получится сначала (p  q ) , а потом, после применения упомянутого в разделе
2.1 закона (1), останется ( p  q ) :
(p  q )  (p  q )  (p  q).
На словах это звучит так: «Или не умен, или плут». А вот как выглядит преобразование по третьей формуле:
(p  q )  (p  q )  ( p  q).
Переведя полученное выражение в словесную формулировку, имеем: «Если человек
умен, то он плут». Если бы мы признавали за истину первое высказывание, то должны были
бы признавать и выражения, полученные из него путем эквивалентных преобразований.
При переформулировании первоначальных высказываний после их преобразования не
всегда возможно оставлять неизменными словесные выражения пропозициональных переменных. В некоторых случаях их приходится существенно менять по соображениям сти29
листики вплоть до вставки новых слов, не говоря уже о перестановке слов местами. Внешне
это выглядит как нарушение фундаментального требования к мышлению: быть определенным - придерживаться одного и того же однажды выделенного содержания. На деле, однако,
нарушений таким образом не вносится, поскольку символическая логика оставляет в рассмотрении, как уже неоднократно подчеркивалось, только семантическое значение предложений и их логические союзы. Лишь они должны оставаться неизменными, а если и меняться, то только в соответствии с законами и правилами для них. Словесная же запись высказываний может меняться. Так что при восстановлении высказывания из формулы, когда оно
приняло новую форму в результате преобразований, воспроизводить буквально пропозициональные переменные не приходится. Изменения в них допустимы и даже неизбежны. Надо
только следить за тем, чтобы они не исказили смысл логических союзов и не повлияли на
семантическое значение высказываний.
Для преобразования выражений с тремя переменными возьмем такое сложное высказывание: “Преступление раскрыто, но неверно, что его раскрыли Петров или Сидоров” -
(p  (q  r) ) , где p — “Преступление раскрыто”, q — “Преступление раскрыл Петров”, r —
“Преступление раскрыл Сидоров”. Преобразуем его в такое, которое содержит импликацию
вместо конъюнкции, для этого нам понадобится воспользоваться законом (3), а скобку
(q  r ) мы будем рассматривать как одну переменную:
( p  (q  r ))  ( p  (q  r ))  ( p  (q  r)) .
Преобразованное выражение содержит те же переменные, но вместо конъюнкции у
него импликация. В новой редакции оно будет звучать уже иначе, чем раньше, хотя и останется тем же самым по смыслу: “Неверно утверждать: если преступление раскрыто, то сделано это Петровым или Сидоровым”.
Дизъюнкция преобразуется в другие выражения по следующим формулам:
( A  B )  ( A  B ),
(4)
( A  B)  ( A  B).
(5)
Например, дизъюнктивное высказывание “Преступная группа совершила ограбление
вчера (p) или позавчера (q)” будет равносильно такому, выраженному через конъюнкцию:
“Неверно, что преступная группа не совершала ограблений ни вчера, ни позавчера”. А высказывание “Товар, проходящий через таможню, является экспортным (p) или импортным (q)”
может быть преобразовано в равносильное импликативное: “Если товар, проходящий через
таможню, не является экспортным, то он является импортным”. Можно также попробовать
преобразовать известное латинское изречение: “О мертвых - или ничего, или хорошо”. Сначала напишем формулу для него: (p  q) , где p означает “О мертвых что-нибудь говорить”, q
- “О мертвых говорить хорошо”. Преобразование формулы в соответствии с законом (5)
пройдет в два этапа:
( p  q)  ( p  q)  ( p  q).
В обновленной формулировке это же изречение получится таким: “Если о мертвых
что-нибудь говорить, то хорошо”. Стоит, пожалуй, обратить внимание на то, что при перестановке местами дизъюнктов (“О мертвых - или хорошо, или ничего”) импликативное высказывание
звучит иначе: “Если о мертвых не говорить хорошо, то не надо говорить о них ничего”; или
еще так: “Если о мертвых не говорят хорошо, то не говорят о них вообще”.
Возможно, конечно, преобразование этого же изречения и в конъюнкцию по формуле
(4):
( p  q)  ( p  q )  ( p  q ) .
“Неверно (неправильно) говорить что-либо о мертвых и при этом не говорить хорошо”.
Импликация. Формулы для перевода импликативных сложных высказываний в иные
их виды:
30
( A  B )  ( A  B ).
( A  B)  ( A  B).
(6)
(7)
Чтобы проиллюстрировать эти правила преобразования наглядным примером, возьмем широко известное шутливое изречение: “Кому не везет в картах, тому везет в любви”.
Обозначив как p — “Везет в картах” и q — “Везет в любви”, получим запись этой мысли с
помощью символов: ( p  q) . Преобразование ее в конъюнкцию по формуле (7) и дизъюнкцию по формуле (6) проведем одновременно:
( p  q)  ( p  q ) ,
( p  q)  ( p  q)  ( p  q) .
Дизъюнктивное высказывание, эквивалентное первоначальному, будет звучать: “Или
везет в картах, или везет в любви”; конъюнктивное - “Не бывает, чтобы не везло в картах и
не везло в любви”.
Для проведения таких же преобразований на высказывании с тремя переменными
можно взять одно из правил поведения пешехода: “Если переходишь улицу (p), то сначала
оглянись направо (q) и налево (r)”. Замена формулы, соответствующей этому утверждению
p  (q  r ) , потребует обращаться с выражением в скобках как с одной переменной и представляется согласно (6) и (7) в следующем виде:
p  (q  r)  p  (q  r),
p  (q  r)  (p  ( q  r ).
В результате получим заново восстановленные словесные высказывания, эквивалентные разбираемому правилу: “Или не переходи улицу, или сначала оглянись направо и налево”; “Hевеpно переходить улицу и при этом не признавать, что надо сначала оглянуться
направо и налево”.
С помощью указанных законов и выражающих их формул возможно решение и обратной задачи - проверить равносильность высказываний, когда они составлены из одинаковых простых суждений. Попробуем, например, сопоставить известную поговорку (a) “Любопытство - не порок, но большое свинство” с таким утверждением (b): “Неверно, что если любопытство есть большое свинство, то тогда оно - порок”. Можно ли считать их одной и той
же мыслью, только по-разному высказанной, или же они не совпадают? Для ответа надо записать оба высказывания символами:
( p  q ),
( q  p),
(a)
(b)
где p означает “Любопытство - порок”, а q - “Любопытство есть свинство”. Теперь осталось
только преобразовать либо конъюнкцию в импликацию, либо, наоборот, импликацию в
конъюнкцию и посмотреть, получается ли из одной формулы другая или нет. В данном случае проще импликацию превратить в конъюнкцию по формуле (7):
( q  p)  ( q  p )  ( q  p ) .
С учетом того, что конъюнкты можно переставлять местами, получим:
( q  p )  ( p  q).
Видно, что полученная формула в точности идентична той, через которую записано
конъюнктивное высказывание: “Любопытство - не порок, но большое свинство”. Значит,
одно выражение получается из другого в результате преобразования, и они, стало быть, эквивалентны.
Попробуем также сопоставить еще два выражения, одно из которых является библейским (a): «Нет власти не от бога» (не бывает, чтобы являлось властью и не было от бога).
Другое (b), допустим, звучит так: «Или не власть, или не от бога». Одна это мысль или нет?
Чтобы ответить на этот вопрос, надо сначала записать то и другое формулой, а затем привести оба выражения к одному знаку:
(p  q )
( p  q ) (b)
Если мы для преобразования выберем первое выражение, которое является конъюнк-
(a)
31
цией, и его надо превратить в дизъюнкцию, то нам понадобится формула (2):
(p  q )  (p  q )  (p  q) .
Отсюда видно, что записанное нами дизъюнктивное выражение вовсе не является
равносильным первому. На деле, чтобы быть последовательным, надо первое переделывать в
такое дизъюнктивное высказывание: «Или не власть, или от бога».
Для преобразования выражения с тремя переменными воспользуемся знакомыми каждому словами из арии о красавице и приписываемых ей склонностях. И запишем их в двух
таких выражениях: (a) «Неправда, что или не красавица, или склонна к измене и к перемене»;
(b) «Красавица, но неверно, будто склонна к измене и к перемене»:
(p  (q  r))
(p  (q  r) ) (b)
Здесь, как и в предыдущих случаях с тремя переменными, не только одни и те же переменные, но и целая скобка одинаковая в обоих высказываниях. Разница - в знаке между
этой скобкой и другой переменной. Чтобы сравнить их на равносильность, надо привести их
к одному знаку именно в этом месте. Допустим, мы возьмемся преобразовывать выражение
(a). Но поскольку между скобкой и одиночной переменной дизъюнкция, то выбирать нужную нам формулу, по которой будет происходить преобразование, надо среди (4) и (5). А раз
в итоге нам требуется получить конъюнктивное выражение, то значит, нужно, взять (4):
(a)
(p  (q  r))  (p  (q  r) )  (p  (q  r) ) .
Преобразование показывает, что из первой формулы получается именно вторая, следовательно, оба взятые нами выражения идентичны, в них содержится одна и та же мысль.
Попробуем, далее, выразить сами слова арии как импликацию: «Если красавица, то
склонна к измене и к перемене» (p  (q  r)) . И теперь преобразуем, скажем, выражение (b)
в импликативное по формуле (6):
(p  (q  r) )  ( p  (q  r) )  (p  (q  r)) .
Мы увидим, что оба наши выражения являются прямым отрицанием слов из оперы,
потому что после преобразования содержащейся в наших высказываниях мысли в импликацию она будет звучать так: «Неверно, что если красавица, то склонна к измене и к перемене».
Задачи на символическую логику
1. Запишите в виде формулы следующее высказывание: “Если Реформатор победит на
выборах, то снизятся цены и у всех возрастет зарплата, и если он не победит на выборах, то
или не снизятся цены или не возрастет у всех зарплата”. Определите, является ли оно истинным, когда:
1) Реформатор победил, но цены не снизились, а зарплата возросла.
2) Реформатор победил, цены снизились, но зарплата не возросла.
3) Реформатор не победил, но цены снизились, а зарплата не возросла.
4) Реформатор не победил, и цены не снизились, но зарплата возросла.
5) Реформатор победил, но цены не снизились, и зарплата не возросла.
6) Реформатор не победил, но цены снизились, и зарплата возросла.
2. Запишите в виде формулы следующее высказывание: “На выборах будут популярны
партия синих и партия белых или, если не будет популярна партия синих, то будет популярна партия зеленых”. Оцените истинность такого прогноза, если на самом деле:
1) Были популярны все три партии.
2) Ни одна из этих партий не была популярна.
3) Были популярны синие и белые и не популярны зеленые.
4) Были не популярны синие и зеле- ные и популярны белые.
32
3. Запишите в виде формулы следующее высказывание: “Овнам на ближайшее время
рекомендуется деловая активность или внимание к семейным делам и, кроме того, если не
деловая активность, то занятия спортом”. Будет ли поведение соответствовать такому прогнозу, если:
1) Деловая активность низкая, уделяют внимание семейным делам и не обращаются к
спорту.
2) Деловая активность низкая, уделяют внимание семейным делам и обращаются к
спорту.
3) Деловая активность низкая, не уделяют внимания семейным делам и не обращаются к спорту.
4) Деловая активность низкая, не уделяют внимания семейным делам и обращаются к
спорту.
4. Запишите в виде формулы следующее высказывание: “Если зарплату выдают вовремя, то значит, ожидаются или выборы или акции протеста населения, и если не ожидаются выборы и одновременно нет акций протеста населения, то зарплату не выдают вовремя”.
Оцените истинность этого высказывания, если на самом деле:
1) Зарплату выдают вовремя, ожидаются выборы, но не ожидаются акции протеста
населения.
2) Зарплату выдают вовремя, не ожидаются выборы, зато ожидаются акции протеста
населения.
3) Зарплату выдают вовремя, ожидаются выборы, ожидаются акции протеста населения.
4) Зарплату выдают вовремя, но не ожидаются ни выборы, ни акции протеста населения.
5. Запишите в виде формулы следующее высказывание: “Неверно, что на работу в это
учреждение принимают тогда и только тогда, когда пройдешь собеседование и будешь аттестован положительно”. Оцените его истинность, если на самом деле:
1) На работу принимают без собеседования и аттестации.
2) На работу не принимают после собеседования и положительной аттестации.
3) На работу не принимают без собеседования и без положительной аттестации.
4) На работу принимают после собеседования, но без положительной аттестации.
Придумайте сами какие-нибудь сочетания условий и просчитайте данное выражение
для них.
6. Запишите в виде формулы следующее высказывание: “Это предприятие уплачивает
налоги и оказывает благотворительность тогда и только тогда, когда не вносит платежи”.
Оцените его истинность, если на самом деле:
1) Предприятие не уплачивает налоги, оказывает благотворительность и не вносит
платежи.
2) Предприятие не уплачивает налоги, оказывает благотворительность и вносит платежи.
3) Предприятие не уплачивает налоги, не оказывает благотворительность и вносит
платежи.
4) Предприятие уплачивает налоги, оказывает благотворительность и не вносит платежи.
Придумайте сами какие-нибудь сочетания условий и просчитайте данное выражение
для них.
Проделайте то же самое для выражения: “Это предприятие уплачивает налоги или
оказывает благотворительность тогда и только тогда, когда не вносит платежи”.
33
7. Запишите в виде формулы следующее соглашение между поставщиком приборов и
его контрагентом: “Если или прибор окажется неисправным, или прибор исправен, но не
прибудет наладчик, то поставщик уплачивает штраф”. Определите, обязан ли поставщик
платить штраф при указанных ниже условиях. Напоминаем, что из-за особенностей импликации (см. ч. 2, § 1.2) для любого набора условий просчитывать надо дважды: а) штраф
уплачен, б) штраф не уплачен.
1) Прибор исправен, прибыл наладчик.
2) Прибор неисправен, прибыл наладчик.
3) Прибор исправен, не прибыл наладчик.
4) Прибор неисправен, не прибыл наладчик.
8. Запишите в виде формулы следующее соглашение между издательством и его автором: “Издательство уплачивает гонорар тогда и только тогда, когда книга распродается в
течение года и отпускная цена не была снижена”. Определите, обязано ли издательство уплатить гонорар при указанных ниже условиях.
1) Книга распродана в течение года, цена была снижена.
2) Книга распродана в течение года, цена не была снижена.
3) Книга не распродана в течение года, цена была снижена.
4) Книга не распродана в течение года, цена не была снижена.
9. Запишите в виде формулы следующие конъюнктивные высказывания и затем составьте эквивалентные им дизъюнктивные и импликативные высказывания:
а) Приют наш мал, зато спокоен.
б) Мал золотник, да дорог.
в) Имею желание, но не имею возможности.
г) Не бывает (не верно), чтобы и волки были сыты, и овцы целы.
10. Запишите в виде формулы следующие дизъюнктивные высказывания и затем составьте эквивалентные им конъюнктивные и импликативные высказывания:
а) Завтра ожидается дождь или снег.
б) Допуск к документам дает или директор, или его заместитель.
в) Или мы повесим невиновного человека, или Британская империя полетит в преисподнюю.
г) На этой неделе не будет или света, или горячей воды.
11. Запишите в виде формулы следующие импликативные высказывания и затем составьте эквивалентные им конъюнктивные и дизъюнктивные высказывания:
а) Когда Солнце в зените, то подсолнечник обращен на юг.
б) Кому не везет в картах, тому везет в любви.
в) Когда на улице туман, то самолеты не летают.
г) Если гром не грянет, то мужик не перекрестится.
д) В случае пожара звоните 01.
12. Всегда ли равносильны следующие пары выражений? Проверьте равносильность,
воспользовавшись формулами для эквивалентных преобразований.
1.1. Кто с мечом к нам придет, тот от меча и погибнет.
1.2. Неверно, что кто-то придет к нам с мечом и не погибнет от меча.
2.1. Если гора не идет к Магомету, то Магомет идет к горе.
2.2. Или гора не идет к Магомету, или Магомет не идет к горе.
3.1. Если он не является прилежным учеником, то он получает низкие оценки.
3.2. Или он является прилежным учени- ком, или получает низкие оценки.
34
4.1. В тесноте, да не в обиде.
4.2. Неверно, что или не в тесноте, или не в обиде.
5.1. Не бывает, чтобы что-то являлось властью и не было от Бога.
5.2. Если является властью, то от Бога.
6.1. Бывают состояния «не мир и не война».
6.2. Неверно, будто если не мир, то война.
7.1. Все преходяще, а музыка вечна.
7.2. Неверно, что если все преходяще, то и музыка невечна.
8.1. Неправильно на охоту идти и собак кормить.
8.2. Или на охоту не идти, или собак не кормить.
13. Проверьте равносильность следующих пар высказываний, записав их с помощью
формул:
1.1. Если только судьбу можно хвалить или порицать за наши дела, значит, только она
определяет все наши помыслы.
1.2. Неправильно только судьбу хвалить или порицать за наши дела, хотя и не признавать только ее определяющей все наши помыслы.
2.1. Не верно, будто, если состоялся суд, то вынесен оправдательный или обвинительный приговор.
2.2. Состоялся суд, но неверно, будто вынесен оправдательный или обвинительный
приговор.
3.1. Если причина наших действий находится не в нас самих и не нами определяется,
то и заслуга за результаты этих действий нам не принадлежит.
3.2. Или не верно, будто причина наших действий находится не в нас самих и не нами
определяется, или заслуга за результаты этих действий принадлежит нам.
4.1. Не верно утверждение: или Аристотель – основатель логики, или он создал теорию умозаключения и им открыты основные законы логики.
4.2. Аристотель - основатель логики, но не верно, будто он создал теорию умозаключения и им открыты основные законы логики.
5.1. Или отступиться, или коль помирать, то с музыкой.
5.2. Неправильно не отступаться и в то же время не признавать, что коль помирать, то
с музыкой.
6.1. Не верно, что или не применяют шампунь, или волосы ломкие и высыпаются.
6.2. Не применяют шампунь и все же не верно, что волосы ломкие и высыпаются.
7.1. Если не будет отключаться свет, то не верно, что мы успеем подготовиться к контрольной по логике и перевести с английского статью.
7.2. Или не будет отключаться свет, или не верно, что мы успеем подготовиться к контрольной по логике и перевести с английского статью.
8.1. Если лето сухое или холодное, то данный сорт пшеницы не даст хороший урожай.
8.2. Или не верно, что лето будет сухое или холодное, или данный сорт пшеницы не
даст хороший урожай.
9.1. Если переходишь улицу, то надо оглянуться налево и направо.
9.2. Не правильно переходить улицу и не признавать, что надо оглянуться налево и
направо.
10.1. Не верно, что или предприятие не импортирует сырье, или оно несет убытки и не
уплачивает налоги.
10.2. Предприятие импортирует сырье и при этом не верно, будто оно несет убытки и
не уплачивает налоги.
11.1. Не верно, что или звание военнослужащего не капитан-лейтенант, или на нем
морская форма и четыре маленькие звездочки на погонах.
11.2. Звание военнослужащего не капитан-лейтенант, и в то же время не верно, что на
нем морская форма и четыре маленькие звездочки на погонах.
35
12.1. Не верно, будто или нам повезет, или мы не заключим контракт и не избежим
разорения.
12.2. Нам не повезет, но не верно, будто мы не заключим контракт и не избежим разорения.
13.1. Если человек не несет ответственности за свои поступки, то тогда он не является
или совершеннолетним, или вменяемым.
13.2. Ложно утверждение: человек несет ответственность за свои поступки, хотя и не
верно, что он не является совершеннолетним или вменяемым.
14.1. Не верно утверждать: или санаторий не получает дотации, или же он выделяет
льготные путевки и не отказывает инвалидам в помощи.
14.2. Санаторий получает дотации, и не верно, будто он выделяет льготные путевки и
не отказывает в помощи инвалидам.
15.1. Если не переехал пешеходную дорожку и загорелся желтый, то надо остановиться.
15.2. Или не верно, что переехал пешеходную дорожку и загорелся желтый, или не
надо останавливаться.
14. Проверьте равносильность следующих пар высказываний, различающихся двумя
союзами, записав их с помощью формул:
1.1. Не верно, что если не ревнует, то или не любит, или ослеплен.
1.2. Не ревнует, но не верно, что любит и не ослеплен.
2.1. Не могло быть, чтобы преступник проник в помещение, и при этом его не заметил
или первый охранник, или второй.
2.2. Если преступник проник в помещение, то не верно, что его не заметил как первый
охранник, так и второй.
3.1. Не правильно говорить, что он не гитарист и при этом не имеет ни русской, ни гавайской гитары.
3.2. Если он не гитарист, то неправда, что он или не имеет русской, или не имеет гавайской гитары.
4.1. Красавица, но не верно, что склонна или к измене, или к перемене.
4.2. Неправда, что если красавица, то склонна к измене и к перемене.
Задания по традиционной логике для заочников
Вариант 1
Тема 1. Понятие (содержание и объем)
Задача 1. Охарактеризуйте отношения между понятиями (соподчинение, перекрещивание, подчинение и т.д.), отобразите их объемные отношения круговыми схемами:
а) инструкция; б) документ; в) устная инструкция; г) рукописный документ.
Тема 2. Суждение (распределенность терминов)
Задача 2. Определите вид каждого из суждений, приведите их символическую запись,
укажите, какова распределенность субъекта и предиката, изобразите кругами их объемные
соотношения.
а) Некоторые инспекторы приглашены на совещание.
б) Промышленные предприятия уплачивают налоги.
в) Это здание не принадлежит городской администрации.
36
Тема 3. Суждение (логический квадрат)
Задача 3. Определите, используя свойства логического квадрата, могут ли быть 1) одновременно ложными, 2) одновременно истинными следующие суждения:
а1) Некоторые из выставленных картин не акварели.
а2) Все выставленные картины акварели.
Задача 4. Придумайте пару суждений, которые могут быть одновременно истинными,
но не одновременно ложными.
Тема 4. Умозаключение (силлогизм)
Задача 5. Определите фигуру и модус силлогизма, записав в символической форме
каждое из входящих в него суждений. Проверьте, вытекает ли вывод из посылок, и если нет,
то укажите, какое правило нарушено.
Ювелирные изделия не освобождаются от пошлины.
Детские игрушки - не ювелирные изделия.
Детские игрушки освобождаются от пошлины.
Вариант 2
Тема 1. Понятие (содержание и объем)
Задача 1. Охарактеризуйте отношения между понятиями (соподчинение, перекрещивание, подчинение и т.д.), отобразите их объемные отношения круговыми схемами:
а) грузовик; б) автофургон; в) иномарка; г) «Тойота».
Тема 2. Суждение (распределенность терминов)
Задача 2. Определите вид каждого из суждений, приведите их символическую запись,
укажите, какова распределенность субъекта и предиката, изобразите кругами их объемные
соотношения.
а) Ни один иностранец не задержался на выставке.
б) Новгород находится в северной части России.
в) Некоторые водители нарушают правила дорожного движения.
Тема 3. Суждение (логический квадрат)
Задача 3. Определите, используя свойства логического квадрата, могут ли быть 1) одновременно ложными, 2) одновременно истинными следующие суждения:
а1) Ни один турист не прибыл автобусом.
а2) Некоторые туристы прибыли автобусом.
Задача 4. Придумайте пару суждений, которые не могут быть одновременно истинными, но могли бы быть одновременно ложными.
Тема 4. Умозаключение (силлогизм)
Задача 5. Определите фигуру и модус силлогизма, записав в символической форме
каждое из входящих в него суждений. Проверьте, вытекает ли вывод из посылок, и если нет,
то укажите, какое правило нарушено.
Новогодние елки проданы на рынке.
Срубленные деревья проданы на рынке.
Срубленные деревья - новогодние елки.
37
Вариант 3
Тема 1. Понятие (содержание и объем)
Задача 1. Охарактеризуйте отношения между понятиями (соподчинение, перекрещивание, подчинение и т.д.), отобразите их объемные отношения круговыми схемами:
а) подлодка; б) военное судно; в) судно; г) надводное судно.
Тема 2. Суждение (распределенность терминов)
Задача 2. Определите вид каждого из суждений, приведите их символическую запись,
укажите, какова распределенность субъекта и предиката, изобразите кругами их объемные
соотношения.
а) Всякий адвокат - юрист.
б) Сахалин – остров в Охотском море.
в) Торгующие организации не освобождаются от налогов.
Тема 3. Суждение (логический квадрат)
Задача 3. Определите, используя свойства логического квадрата, могут ли быть 1) одновременно ложными, 2) одновременно истинными следующие суждения:
а1) Реки Сибири текут на север.
а2) Некоторые реки Сибири не текут на север.
Задача 4. Придумайте пару суждений, которые могут быть одновременно ложными,
но не одновременно истинными.
Тема 4. Умозаключение (силлогизм)
Задача 5. Определите фигуру и модус силлогизма, записав в символической форме
каждое из входящих в него суждений. Проверьте, вытекает ли вывод из посылок, и если нет,
то укажите, какое правило нарушено.
Бесчестность не подлежит поощрению.
Поступок инспектора таможни не назовешь бесчестным.
Поступок инспектора таможни подлежит поощрению.
Вариант 4
Тема 1. Понятие (содержание и объем)
Задача 1. Охарактеризуйте отношения между понятиями (соподчинение, перекрещивание, подчинение и т.д.), отобразите их объемные отношения круговыми схемами:
а) растение; б) цветок; в) декоративное растение; г) красный цветок.
Тема 2. Суждение (распределенность терминов)
Задача 2. Определите вид каждого из суждений, приведите их символическую запись,
укажите, какова распределенность субъекта и предиката, изобразите кругами их объемные
соотношения.
а) Таможня не есть учебное заведение.
б) Некоторые сотрудники не получили премию.
38
в) Чичиков начинал как таможенный инспектор.
Тема 3. Суждение (логический квадрат)
Задача 3. Определите, используя свойства логического квадрата, могут ли быть 1) одновременно ложными, 2) одновременно истинными следующие суждения:
а1) Некоторые деревья хвойные.
а2) Некоторые деревья не хвойные.
Задача 4. Придумайте пару суждений, которые не могут быть одновременно ложными
и не могли бы быть одновременно истинными.
Тема 4. Умозаключение (силлогизм)
Задача 5. Определите фигуру и модус силлогизма, записав в символической форме
каждое из входящих в него суждений. Проверьте, вытекает ли вывод из посылок, и если нет,
то укажите, какое правило нарушено.
Прошедшие санобработку грузы не отправляются далее на грузовиках.
Партия одежды не проходила санобработку.
Партия одежды не отправляется далее на грузовиках.
Вариант 5
Тема 1. Понятие (содержание и объем)
Задача 1. Охарактеризуйте отношения между понятиями (соподчинение, перекрещивание, подчинение и т.д.), отобразите их объемные отношения круговыми схемами:
а) сосуд; б) банка; в) стеклотара; г) цистерна.
Тема 2. Суждение (распределенность терминов)
Задача 2. Определите вид каждого из суждений, приведите их символическую запись,
укажите, какова распределенность субъекта и предиката, изобразите кругами их объемные
соотношения.
а) Всякий кардинал - католик.
б) Амур – крупнейшая река на Дальнем Востоке.
в) Некоторые офицеры не являются военнослужащими.
Тема 3. Суждение (логический квадрат)
Задача 3. Определите, используя свойства логического квадрата, могут ли быть 1) одновременно ложными, 2) одновременно истинными следующие суждения:
а1) Участники преступной группы занимались контрабандой.
а2) Некоторые участники преступной группы не занимались контрабандой.
Задача 4. Придумайте пару суждений, ложность одного из которых обусловливала бы
ложность другого.
Тема 4. Умозаключение (силлогизм)
Задача 5. Определите фигуру и модус силлогизма, записав в символической форме
каждое из входящих в него суждений. Проверьте, вытекает ли вывод из посылок, и если нет,
то укажите, какое правило нарушено.
Туристы прошли таможенный досмотр.
Пассажиры автобуса прошли таможенный досмотр.
Пассажиры автобуса - туристы.
39
Вариант 6
Тема 1. Понятие (содержание и объем)
Задача 1. Охарактеризуйте отношения между понятиями (соподчинение, перекрещивание, подчинение и т.д.), отобразите их объемные отношения круговыми схемами:
а) учреждение; б) таможенное управление; в) таможенное управление в Хабаровске; г)
таможенная академия.
Тема 2. Суждение (распределенность терминов)
Задача 2. Определите вид каждого из суждений, приведите их символическую запись,
укажите, какова распределенность субъекта и предиката, изобразите кругами их объемные
соотношения.
а) Прокурор – государственный служащий.
б) Это уголовное дело не было передано в суд.
в) Некоторые экономисты руководят предприятиями.
Тема 3. Суждение (логический квадрат)
Задача 3. Определите, используя свойства логического квадрата, могут ли быть 1) одновременно ложными, 2) одновременно истинными следующие суждения:
а1) Задержанные за хулиганство не являются совершеннолетними.
а2) Задержанные за хулиганство совершеннолетние.
Задача 4. Придумайте пару суждений, которые не могут быть одновременно ложными
и не могли бы быть одновременно истинными.
Тема 4. Умозаключение (силлогизм)
Задача 5. Определите фигуру и модус силлогизма, записав в символической форме
каждое из входящих в него суждений. Проверьте, вытекает ли вывод из посылок, и если нет,
то укажите, какое правило нарушено.
Некоторые художники – пейзажисты.
Некоторые участники выставки - художники.
Некоторые участники выставки - пейзажисты.
Вариант 7
Тема 1. Понятие (содержание и объем)
Задача 1. Охарактеризуйте отношения между понятиями (соподчинение, перекрещивание, подчинение и т.д.), отобразите их объемные отношения круговыми схемами:
а) город; б) населенный пункт; в) столица; г) деревня.
Тема 2. Суждение (распределенность терминов)
Задача 2. Определите вид каждого из суждений, приведите их символическую запись,
укажите, какова распределенность субъекта и предиката, изобразите кругами их объемные
соотношения.
а) Марс - планета.
б) Начальник не является рядовым сотрудником.
в) Некоторые из правонарушителей не являются преступниками.
40
Тема 3. Суждение (логический квадрат)
Задача 3. Определите, используя свойства логического квадрата, могут ли быть 1) одновременно ложными, 2) одновременно истинными следующие суждения:
а1) Всякое стекло – прозрачное тело.
а2) Никакое стекло не прозрачное тело.
Задача 4. Придумайте пару суждений, которые не могут быть одновременно истинными, но могли бы быть одновременно ложными.
Тема 4. Умозаключение (силлогизм)
Задача 5. Определите фигуру и модус силлогизма, записав в символической форме
каждое из входящих в него суждений. Проверьте, вытекает ли вывод из посылок, и если нет,
то укажите, какое правило нарушено.
Безрассудство не есть осторожность.
Благоразумие не является безрассудством.
Благоразумие есть осторожность.
Вариант 8
Тема 1. Понятие (содержание и объем)
Задача 1. Охарактеризуйте отношения между понятиями (соподчинение, перекрещивание, подчинение и т.д.), отобразите их объемные отношения круговыми схемами:
а) товар; б) малогабаритный груз; в) груз; г) негабаритный груз.
Тема 2. Суждение (распределенность терминов)
Задача 2. Определите вид каждого из суждений, приведите их символическую запись,
укажите, какова распределенность субъекта и предиката, изобразите кругами их объемные
соотношения.
а) Ни один из побывавших на концерте не остался равнодушен.
б) Некоторые юристы - адвокаты.
в) Эта спартакиада привлекла много участников.
Тема 3. Суждение (логический квадрат)
Задача 3. Определите, используя свойства логического квадрата, могут ли быть 1) одновременно ложными, 2) одновременно истинными следующие суждения:
а1) Никакая торговая точка квартала не торгует газетами.
а2) Некоторые торговые точки квартала торгуют газетами.
Задача 4. Придумайте пару суждений, истинность одного из которых обусловливала
бы истинность другого.
Тема 4. Умозаключение (силлогизм)
Задача 5. Определите фигуру и модус силлогизма, записав в символической форме
каждое из входящих в него суждений. Проверьте, вытекает ли вывод из посылок, и если нет,
то укажите, какое правило нарушено.
Все юристы - специалисты.
41
Все экономисты - специалисты.
Некоторые экономисты - юристы.
Вариант 9
Тема 1. Понятие (содержание и объем)
Задача 1. Охарактеризуйте отношения между понятиями (соподчинение, перекрещивание, подчинение и т.д.), отобразите их объемные отношения круговыми схемами:
а) свод законов; б) земельный кодекс; в) уголовный кодекс; г) земельный кодекс России.
Тема 2. Суждение (распределенность терминов)
Задача 2. Определите вид каждого из суждений, приведите их символическую запись,
укажите, какова распределенность субъекта и предиката, изобразите кругами их объемные
соотношения.
а) Байкал не находится в Европе.
б) Некоторые налоги являются косвенными.
в) Руководитель предприятия - начальник.
Тема 3. Суждение (логический квадрат)
Задача 3. Определите, используя свойства логического квадрата, могут ли быть 1) одновременно ложными, 2) одновременно истинными следующие суждения:
а1) Все контейнеровозы этого порта перевозят продовольствие.
а2) Ни один контейнеровоз этого порта не перевозит продовольствие.
Задача 4. Придумайте пару суждений, которые могут быть одновременно ложными,
но не могли бы быть одновременно истинными.
Тема 4. Умозаключение (силлогизм)
Задача 5. Определите фигуру и модус силлогизма, записав в символической форме
каждое из входящих в него суждений. Проверьте, вытекает ли вывод из посылок, и если нет,
то укажите, какое правило нарушено.
Поступившие вчера грузы являются транзитными.
Партия лекарств не относится к поступившим вчера.
Партия лекарств не относится к транзитным.
Вариант 10
Тема 1. Понятие (содержание и объем)
Задача 1. Охарактеризуйте отношения между понятиями (соподчинение, перекрещивание, подчинение и т.д.), отобразите их объемные отношения круговыми схемами:
а) картина; б) пейзаж; в) зимний пейзаж; г) акварель.
Тема 2. Суждение (распределенность терминов)
Задача 2. Определите вид каждого из суждений, приведите их символическую запись,
укажите, какова распределенность субъекта и предиката, изобразите кругами их объемные
соотношения.
а) Полночь – самое темное время суток.
б) Этот документ - договор.
в) Некоторые служащие не являются инспекторами.
42
Тема 3. Суждение (логический квадрат)
Задача 3. Определите, используя свойства логического квадрата, могут ли быть 1) одновременно ложными, 2) одновременно истинными следующие суждения:
а1) Участники олимпиады поселились в гостинице.
а2) Участники олимпиады не поселились в гостинице.
Задача 4. Придумайте пару суждений, которые не могут быть одновременно ложными, но могут быть одновременно истинными.
Тема 4. Умозаключение (силлогизм)
Задача 5. Определите фигуру и модус силлогизма, записав в символической форме
каждое из входящих в него суждений. Проверьте, вытекает ли вывод из посылок, и если нет,
то укажите, какое правило нарушено.
Местные налоги не поступают в центральный бюджет.
Таможенная пошлина не является местным налогом.
Таможенная пошлина не поступает в центральный бюджет.
Вариант 11
Тема 1. Понятие (содержание и объем)
Задача 1. Охарактеризуйте отношения между понятиями (соподчинение, перекрещивание, подчинение и т.д.), отобразите их объемные отношения круговыми схемами:
а) автобус; б) междугородный автобус; в) транспортное средство; г) автомобиль.
Тема 2. Суждение (распределенность терминов)
Задача 2. Определите вид каждого из суждений, приведите их символическую запись,
укажите, какова распределенность субъекта и предиката, изобразите кругами их объемные
соотношения.
а) Метеорит не является творением рук человека.
б) Этот договор относится к выгодным.
в) Некоторые рыболовные суда должны проходить таможенный досмотр.
Тема 3. Суждение (логический квадрат)
Задача 3. Определите, используя свойства логического квадрата, могут ли быть 1) одновременно ложными, 2) одновременно истинными следующие суждения:
а1) Некоторые работники таможни - инспекторы.
а2) Некоторые работники таможни - не инспекторы.
Задача 4. Придумайте пару суждений, истинность одного из которых обуслвливала
бы истинность другого.
Тема 4. Умозаключение (силлогизм)
Задача 5. Определите фигуру и модус силлогизма, записав в символической форме
каждое из входящих в него суждений. Проверьте, вытекает ли вывод из посылок, и если нет,
то укажите, какое правило нарушено.
Река - не море.
Байкал - не река.
Байкал - море.
Вариант 12
43
Тема 1. Понятие (содержание и объем)
Задача 1. Охарактеризуйте отношения между понятиями (соподчинение, перекрещивание, подчинение и т.д.), отобразите их объемные отношения круговыми схемами:
а) контрольно-пропускной пункт; б) застава; в) подразделение пограничной службы;
г) приморское подразделение пограничной службы.
Тема 2. Суждение (распределенность терминов)
Задача 2. Определите вид каждого из суждений, приведите их символическую запись,
укажите, какова распределенность субъекта и предиката, изобразите кругами их объемные
соотношения.
а) Всякий сотрудник фирмы - служащий.
б) Некоторые поступления в центральный бюджет не являются пошлинами.
в) Эйфелева башня сделана из металла.
Тема 3. Суждение (логический квадрат)
Задача 3. Определите, используя свойства логического квадрата, могут ли быть 1) одновременно ложными, 2) одновременно истинными следующие суждения:
а1) Некоторые грузовики не иномарки.
а2) Некоторые грузовики иномарки.
Задача 4. Придумайте пару суждений, которые могут быть одновременно ложными,
но не одновременно истинными.
Тема 4. Умозаключение (силлогизм)
Задача 5. Определите фигуру и модус силлогизма, записав в символической форме
каждое из входящих в него суждений. Проверьте, вытекает ли вывод из посылок, и если нет,
то укажите, какое правило нарушено.
Некоторые преступления не являются умышленными.
Некоторые правонарушения не являются преступлениями.
Некоторые правонарушения не являются умышленными.
Вариант 13
Тема 1. Понятие (содержание и объем)
Задача 1. Охарактеризуйте отношения между понятиями (соподчинение, перекрещивание, подчинение и т.д.), отобразите их объемные отношения круговыми схемами:
а) завод; б) предприятие; в) государственное предприятие; г) автозавод.
Тема 2. Суждение (распределенность терминов)
Задача 2. Определите вид каждого из суждений, приведите их символическую запись,
укажите, какова распределенность субъекта и предиката, изобразите кругами их объемные
соотношения.
а) Незнание закона не избавляет от ответственности по нему.
б) Камчатка - полуостров.
в) Некоторые мыслители прошлого писали на папирусе.
Тема 3. Суждение (логический квадрат)
44
Задача 3. Определите, используя свойства логического квадрата, могут ли быть 1) одновременно ложными, 2) одновременно истинными следующие суждения:
а1) Некоторые предприятия района поставляют сырье.
а2) Ни одно предприятие района не поставляет сырье.
Задача 4. Придумайте пару суждений, которые могут быть одновременно истинными,
но не одновременно ложными.
Тема 4. Умозаключение (силлогизм)
Задача 5. Определите фигуру и модус силлогизма, записав в символической форме
каждое из входящих в него суждений. Проверьте, вытекает ли вывод из посылок, и если нет,
то укажите, какое правило нарушено.
Безопасность страны не может быть предметом торга.
Вопросы экологии не затрагивают интересы страны.
Вопросы экологии могут быть предметом торга.
Вариант 14
Тема 1. Понятие (содержание и объем)
Задача 1. Охарактеризуйте отношения между понятиями (соподчинение, перекрещивание, подчинение и т.д.), отобразите их объемные отношения круговыми схемами:
а) контракт; б) документ; в) инструкция; г) юридический документ.
Тема 2. Суждение (распределенность терминов)
Задача 2. Определите вид каждого из суждений, приведите их символическую запись,
укажите, какова распределенность субъекта и предиката, изобразите кругами их объемные
соотношения.
а) Внутренняя торговля не является международной торговлей.
б) Волга – крупнейшая река в Европе.
в) Некоторые музыканты - певцы.
Тема 3. Суждение (логический квадрат)
Задача 3. Определите, используя свойства логического квадрата, могут ли быть 1) одновременно ложными, 2) одновременно истинными следующие суждения:
а1) Некоторые растения используются как лекарство.
а2) Некоторые растения не используются как лекарство.
Задача 4. Придумайте пару суждений, которые могут быть одновременно ложными,
но не могли бы быть одновременно истинными.
Тема 4. Умозаключение (силлогизм)
Задача 5. Определите фигуру и модус силлогизма, записав в символической форме
каждое из входящих в него суждений. Проверьте, вытекает ли вывод из посылок, и если нет,
то укажите, какое правило нарушено.
Экспортный товар не является импортным.
Лес не является импортным товаром.
Лес - экспортный товар.
Вариант 15
Тема 1. Понятие (содержание и объем)
45
Задача 1. Охарактеризуйте отношения между понятиями (соподчинение, перекрещивание, подчинение и т.д.), отобразите их объемные отношения круговыми схемами:
а) министр; б) руководитель; в) руководитель частной фирмы; г) государственный
служащий.
Тема 2. Суждение (распределенность терминов)
Задача 2. Определите вид каждого из суждений, приведите их символическую запись,
укажите, какова распределенность субъекта и предиката, изобразите кругами их объемные
соотношения.
а) Искусственный спутник Земли – творение рук человека.
б) Следователь Знаменский еще не приступил к расследованию.
в) Некоторые участники голосования не имеют постоянной прописки.
Тема 3. Суждение (логический квадрат)
Задача 3. Определите, используя свойства логического квадрата, могут ли быть 1) одновременно ложными, 2) одновременно истинными следующие суждения:
а1) Всякая контрабанда есть тяжкое преступление.
а2) Никакая контрабанда не есть тяжкое преступление.
Задача 4. Придумайте пару суждений, которые не могут быть одновременно ложными
и не могут быть одновременно истинными.
Тема 4. Умозаключение (силлогизм)
Задача 5. Определите фигуру и модус силлогизма, записав в символической форме
каждое из входящих в него суждений. Проверьте, вытекает ли вывод из посылок, и если нет,
то укажите, какое правило нарушено.
Некоторые студенты не спортсмены.
Все эти молодые люди - студенты.
Некоторые из этих молодых людей не спортсмены.
Образец выполнения задания
Вариант 0
Тема 1. Понятие (содержание и объем)
Задача 1. Охарактеризуйте отношения между понятиями (соподчинение, перекрещивание, подчинение и т.д.), отобразите их объемные отношения круговыми схемами:
а) университет; б) вуз; в) таможенная академия; г) учебное заведение, дающее экономическое образование.
Ответ:
а-б - отношение подчинения, так как университет является разновидностью вуза (всякий
университет - вуз, хотя и не всякий вуз - университет); а-в - соподчинение, так как оба понятия
входят в более широкое, но не пересекаются между собой; а-г - перекрещивание, потому что
часть университетов входят в понятие учебного заведения, дающего экономическое образование,
а часть нет, равным образом верно и обратное; следовательно, изображать их соотношение
надо двумя частично накладывающимися кру- гами; б-в - подчинение, потому что таможен46
ная академия является разновидностью вуза вообще; б-г - перекрещивание, так как часть вузов
дают экономическое образование, а часть нет и, кроме того, не все учебные заведения с экономическим образованием являются вузами, хотя есть среди них и вузы; в-г - перекрещивание, так как,
с одной стороны, часть учебных заведений с экономическим образованием не являются таможенными академиями, с другой стороны, таможенная академия может давать экономическое образование, а может и не давать его.
а
б
г
в
Тема 2. Суждение (распределенность терминов)
Задача 2. Определите вид каждого из суждений, приведите их символическую запись,
укажите, какова распределенность субъекта и предиката, изобразите кругами их объемные
соотношения.
а) Некоторые служащие не носят форменную одежду.
б) Демонстрация в центре города не замечена прессой.
в) Этот сотрудник отмечен в приказе руководителя учреждения.
Ответ:
а) Некоторые служащие не носят форменную одежду.
Субъект (S) - “служащие”, предикат (P) - “все, кто носит форменную одежду”.
Суждение частноотрицательное - S o P. Субъект в частном суждении всегда не распределен (-S), предикат же частноотрицательного суждения надо признавать всегда распределенным (+P). Соотношение кругами таково:
-
S
+
P
б) Демонстрация в центре города не замечена прессой.
Субъект (S) - “демонстрация в центре города”, предикат (P) - “все, замечаемое
прессой”. Суждение общеотрицательное - S e P. Оба термина распределены. Соотношение
кругами таково:
+
+
S
P
в) Этот сотрудник отмечен в приказе руководителя учреждения.
Субъект (S) - “этот сотрудник”, предикат (P) - “все, отмеченные в приказе руководителя учреждения”. Суждение общеутвердительное - S a P. S распределен, P не распределен. Соотношение кругами таково:
+
S
-
P
47
Тема 3. Суждение (логический квадрат)
Задача 3. Определите, используя свойства логического квадрата, могут ли быть 1) одновременно ложными, 2) одновременно истинными следующие суждения:
а1) Некоторые санатории - лечебные учреждения.
а2) Некоторые из санаториев не лечебные учреждения.
Ответ:
Суждение а1 - частноотрицательное - S o P; суждение а2 - частноутвердительное S i P, следовательно, между ними отношение частичной совместимости, или субконтрарности. Быть оба ложными они не могут; но они бывают одновременно истинными.
Задача 4. Придумайте пару суждений, которые не могут быть как одновременно ложными, так и одновременно истинными.
Ответ:
Не бывают одновременно истинными и одновременно ложными противоречащие
суждения. Например:
а1) Косвенные налоги не поступают в местный бюджет (S e P).
а2) Некоторые из косвенных налогов поступают в местный бюджет (S i P).
Тема 4. Умозаключение (силлогизм)
Задача 5. Определите фигуру и модус силлогизма, записав в символической форме
каждое из входящих в него суждений. Проверьте, вытекает ли вывод из посылок, и если нет,
то укажите, какое правило нарушено.
Груз на складе - гуманитарная помощь.
Товары этой партии не на складе.
Товары этой партии не гуманитарная помощь.
Ответ:
Сначала надо записать каждое суждение силлогизма в символической форме и отметить при этом распределенность терминов:
Груз на складе (M) – гуманитарная помощь (P).
Товары этой партии (S) не на складе (M).
Товары этой партии (S) не гуманитарная помощь (P).
+
M a -P
S e +M
+
S e +P
+
Согласно теории силлогизма, подобным образом обосновать данный вывод нельзя,
так как термин P, не являясь распределенным в посылке, оказался распределенным в заключении. Таким образом, рассуждение нарушает одно из правил силлогистических умозаключений и потому несостоятельно. Поскольку, далее, средний термин (M) в большой посылке
на месте субъекта, а в маленькой - предиката, то, следовательно, это могла бы быть первая фигура. Однако на деле такого модуса там нет. Это подтверждает данную нами оценку.
48