Задания олимпиады 2008 г. - Иркутский авиационный техникум

Олимпиада по математике 2008
Иркутский авиационный техникум
1 вариант
1. Решить логарифмическое неравенство
(6 баллов)
log x  4 (2 x 2  9 x  4)  1
2. Решить показательное уравнение
5 2 x 1  2 2 x  5 2 x  2 2 x  2  0
3. Доказать тригонометрическое тождество
(4 балла)
(2,5 балла)
cos2   cos2 
ctg   ctg  
sin 2   sin 2 
2
2
4. Решить иррациональное уравнение
(6 баллов)
5 x  4  2 x  1  3x  1
5. Построить график по заданным точкам
(2 балла)
1)  1;7 
7)  6;1
13) 1;6 
2)  4;11
8)  6;3
14) 4;4 
3)  4;4 
9) 6;3
15) 4;11
4)  1;6 
10) 6;1
16) 1;7 
5)  2;4 
11) 4;2 
6)  4;2 
12) 2;4 
Определить по графику:
а. Область определения;
б. Область значений;
в. Наибольшее и наименьшее значения;
г. Точки пересечения с осью ОХ.
6. Решить логическую задачу
а. Существует единственное двузначное число –
одновременно и куб и квадрат. какое это число? (1 балл)
б. Покажите, как разрезать фигуру на восемь равных частей
пятью прямолинейными разрезами.
(1 балл)
Олимпиада по математике 2008
Иркутский авиационный техникум
2 вариант
1. Решить логарифмическое неравенство
(6 баллов)
log2 x ( x 2  5x  6)  1
2. Решить показательное уравнение
33 x 1  4  27 x 1  91,5 x 1  80
3. Доказать тригонометрическое тождество
cos   sin   cos  1  tg   cos 4   sin 4 
4. Решить иррациональное уравнение
(4 балла)
(2,5 балла)
(6 баллов)
x 1  x  4  5
5. Построить график по заданным точкам
(2 балла)
1,5;0
3;13,3
1
7
13  6;10 
2,2;2
1;14 
2
8
14  4,8;12 
2,5;6
 1,5;0
3
9
15  3;13,3
2;10
4
10  2,2;2
16  1;14 
6;10 
5
11 2,5;6 
4,8;12 
6
12  2;10 
Определить по графику:
а. Область определения;
б. Область значений;
в. Наибольшее и наименьшее значения;
г. Точки пересечения с осью ОХ.
6. Решить логическую задачу
а. С помощью четырех цифр 2 и знаков действий составьте такие
числовые выражения, значения которых были бы равны
(1 балл)
0; 1; 2; 3; 9
б. Покажите, как разрезать фигуру на пять равных частей.
(1 балл)
Олимпиада по математике 2008
Иркутский авиационный техникум
3 вариант
1. Решить логарифмическое неравенство
(6 баллов)
log x (4 x  5)  log x 6  5 x 
2. Решить показательное уравнение
(4 балла)
1
1
3  4 x     9 x  2  6  4 x 1     9 x 1
 3
2
3. Доказать тригонометрическое тождество


 
tg 2 1  tg 2 1  ctg 2  1  tg 2
4. Решить иррациональное уравнение
2  4tg 2
(2,5 балла)
(6 баллов)
x 1  4  x  3
5. Построить график по заданным точкам
(2 балла)
1) 1;2 
6) 2;1
11) 3;1
2) 5;2 
7) 4;1
12) 2;0 
3) 5;2
8) 4;1
13) 4;0 
4) 3;4
9) 2;1
5) 1;2 
10) 3;1
Определить по графику:
а. Область определения;
б. Область значений;
в. Наибольшее и наименьшее значения;
г. Точки пересечения с осью ОХ.
6. Решить логическую задачу
а. Произведение четырех последовательных цифр
равно 3024 . Что это за цифры?
(1 балл)
б. Покажите, как разрезать фигуру на пять равных
частей.
(1 балл)