Лекция 6. Решение

1
09.10.07
Решение
Предварительное обсуждение










Сильно агрегированная модель
Смешанные стратегии
Трансферабельная полезность
Доминирование по фон Нейману и по Парето
Супераддитивность: связь с теорией меры (турпоход)
Пример: монополизация рынка.
Игра трех лиц с нулевой суммой
Гарантированный результат
Симметричное решение
Внутренняя и внешняя устойчивость
Определение
Определение. Решением игры <N,v> называется всякое множество дележей R,
удовлетворяющее следующим двум условиям:
1. никакие два дележа из R не доминируют друг друга (внутренняя устойчивость);
2. для любого дележа x, не принадлежащего R, найдется дележ y, принадлежащий R и
доминирующий x (внешняя устойчивость).
 Выбор решения – установка в обществе, а выбор дележа в решении зависит
от качеств личности.
 Купцы – староверы.
 Бардак времен перестройки – пока не выбрано решение.
 Устойчивость всего решения а не отдельного дележа из него
Связь с многокритериальными задачами






Два определения максимума в обычной задаче оптимизации.
Ядро для бинарного отношения.
Максимальное множество элементов не доминирующих друг друга.
Минимальное множество элементов доминирующих всех остальных
Решение
Агрегирование отношений: объединение и пересечение.
Основные свойства
Теорема. Ядро содержится в любом решении.
Доказательство. Всякий дележ из C-ядра не доминируем никаким другим
дележом, в частности, никаким дележом из решения. Значит, он принадлежит решению.
Теорема. Если в игре существует решение, состоящее из одного дележа, то игра не
существенная.
Доказательство. Предположим противное. Тогда, не ограничивая общности,
можно считать, что игра является 0-1-редуцированной.
Пусть дележ x принадлежит решению и его компонента xi положительна.
Рассмотрим дележ y, определенный условиями
 x j  xi /(n  1), если j  i,
yi  
0, если j  i.

308835880 27.01.16
2
Дележ x не может доминировать дележ y ни по какой коалиции, содержащей игрока
ji, поскольку yj>xj. Но и по коалиции, состоящей из одного игрока i доминирование
невозможно. Получено противоречие.
Пусть  – перестановка множества N={1,…,n}. Определим отображение
n
:
 n условием ( x1 , x 2 ,..., x n )  ( x (1) , x (2) ,..., x ( n) ) .
Теорема. Пусть для некоторой перестановки  функция v удовлетворяет условию
v((K))=v(K) для любой коалиции K. Тогда если R – решение игры <N,v>, то (R) – тоже
ее решение.
Теорема. Всякое решение является замкнутым множеством.
 В играх 3 и 4 лиц решения существуют
 В игре 10 лиц решения может не быть (Lucas W.F., 1968).
Решение в игре трех лиц
1) Ex. Решения в играх трех лиц с постоянной суммой.
 Дискриминирующие
 Игра: олигархи – бюрократы – народ
 Такой эффект не был заложен изначально
 Пример: сильное решение (Льюс и Райфа стр. 277). Рассмотрим
решение состоящее из дележей (x1,x2,1/4). Ему принадлежит дележ
(7/12,2/12,1/4).Его доминирует дележ (0,1/2,1/2) не из решения. Он в
свою очередь доминируется дележом (2/12,7/12,1/4) из решения. При
этом второй игрок в результате отклонения все-таки выигрывает.
 симметричное
2) Ex. Решения в общих играх трех лиц.
Неформальное обсуждение
3) Воробьев.а) нет решение; б)Много решений; в)в одном решении много
дележей; г)решение может быть несимметричным в симметричной
игре.
Решение в простых играх
Рынок с одним товаром
Рассмотрим следующую модель рынка. Пусть множество игроков N разбито на два
непустых подмножества: множество продавцов S и множество покупателей P, а функция v
определяется условиями v( K )  min  #( K P), #( K S ) .
Теорема. Рассмотрим систему функций f1,…,fn, определенных на отрезке [0,1] и
удовлетворяющую следующим условиям
1. fi(t)≥0 для всех t[0,1];
2. функция fi не убывает, если iS;
3. функция fi не возрастает, если iP;
4. для всех x[0,1] выполняются равенства  f i (t )  tv( N ) и  f i (t )  (1  t )v ( N ) .
iS
iP
5. для любых t[0,1], iS и kP выполняется неравенство f (t)+ fk(t)1.
Тогда множество R={( f1(t),…,fn(t)): t[0,1]} является решением рассматриваемой игры.
Доказательство. Докажем несколько вспомогательных утверждений.
Лемма. Всякий вектор x из R является дележом.
i
308835880 27.01.16
3
Доказательство. Так как пересечение множеств S и P пусто, то для любого игрока
i выполняется условие v(i)=0. А значит xi=fi(t)≥0=v(i) в силу условия 1.. Кроме того, в силу
условия 4 выполняется равенство  xi   xi   xi  tv( N )  (1  t )v( N )  v( N ) . Лемма
iN
iS
iP
доказана.
Лемма. Все функции fi являются непрерывными.
Доказательство. Рассмотрим случай iS (случай iP полностью аналогичен).
Фиксируем произвольное  и положим  

v( N )
. Для любого t[0,1] и любого q,
удовлетворяющего условиям tq<t+ имеем
  (q  t )v( N )  qv( N )  tv( N )   f j (q)   f j (t )   ( f j (q)  f j (t )  f i (q)  f i (t )  0
jS
jS
jS
(оба неравенства выполняются в силу неубывания функций fj). Аналогично, для любого q,
удовлетворяющего условиям t–<q<t имеем
  (t  q)v( N )  tv( N )  qv( N )   f j (t )   f j (q)   ( f j (t )  f j (q)  f i (t )  f i (q )  0 .
jS
jS
jS
Необходимый результат следует теперь из определения непрерывности по Коши.
Лемма. Для iS выполняются равенства fi(0)=0, а для iP – равенства fi(0)=1.
Доказательство. По условию 4 имеем  f i (0)  0 . А поскольку в силу условия 1
iS
все слагаемые неотрицательны, каждое из них должно быть равно нулю. Первое равенство
доказано. Второе доказывается аналогично.
Лемма. Множество R удовлетворяет условию внешней устойчивости.
Доказательство. Рассмотрим произвольный дележ x не принадлежащий R. Пусть t0
– наибольшее из чисел t, для которых неравенства fs(t)xs выполняются для всех sS, а t1 –
наименьшее из чисел t, для которых неравенства fp(t)xp выполняются для всех pP.
Тогда  f s (t0 )   x s и  f p (t1 )   x p . Складывая эти неравенства, получим
sS
sS
f
sS
s
pP
pP
(t0 )   f (t0 )   x s   x s   xi  v( N ) ,
p
pP
sS
sS
iN
или, с учетом условия 4,
t0v( N )  (1  t1 )v( N )  v( N ) .
Отсюда (t0–t1)v(N)0 и t0t1 (v(N)>0, так как множества S и P не пусты).
Предположим, что t0=t1. Тогда неравенства fi(t0)xi выполняются для всех iN, а
поскольку (f1(t0),…,fn(t0)) и x – дележи, суммы компонент этих двух векторов равны.
Значит fi(t0)=xi для всех iN и значит x содержится в R, что противоречит его выбору.
Значит, на самом деле t0<t1.
Выберем число t*, удовлетворяющее условиям t0<t*<t1. Тогда найдутся игроки sS
и pP, для которых fs(t*)>xs и fp(t*)>xp. Но согласно условию 5 выполняется неравенство
fs(t*)+fp(t*)1=v({s,p}), значит дележ (f1(t*),…,fn(t*)) доминирует дележ x по коалиции {s,p} .
Лемма доказана.
Лемма. Множество R удовлетворяет условию внутренней устойчивости.
Доказательство. Пусть даны два дележа x=(f1(t1),…,fn(t1)) и y=(f1(t2),…,fn(t2)),
принадлежащие множеству R. Не ограничивая общности, можем считать, что t1<t2. Тогда в
силу свойства 2 выполняются неравенства fs(t1)fs(t2) для всех sS. Поэтому, если
K S   , то дележ x не может доминировать дележ y по коалиции K. А если KP, то
v(K)=0. Если бы дележ x доминировал дележ y по такой коалиции, то выполнялось бы
неравенство  f i (t1 )  0 , а значит и равенства fi(t1)=0 для всех iK. Но тогда неравенство
iK
f (t1)>f (t2) не может выполняться ни для какого iK. Таким образом, x не может
доминировать y и по такой коалиции.
i
i
308835880 27.01.16
4
Аналогично доказывается, что y не может доминировать x. Лемма, а вместе с ней и
теорема доказаны.
Условия совпадения ядра и решения
Теорема. Пусть <N,v> – 0-1-редуцированная игра и для всякой коалиции K
1
выполняется неравенство v( K ) 
. Тогда C-ядро этой игры не пусто и является
# N  # S 1
ее решением.
Доказательство. Если C-ядро совпадает со множеством всех дележей, то
доказывать нечего.
Пусть x – произвольный дележ, не принадлежащий C-ядру. Тогда множество
коалиций I, для которых выполняются неравенства  xi  v( I ) не пусто. Выберем в этом
iI
множестве наименьшую по включению коалицию K. Тогда величина   v( K )   xi
iK
строго положительна.
Определим новый дележ y условием:


xi 
, если i  K


#K
i
y 
 1  v( K ) в противном случае.
 # N  # K
i i
Для iK имеем y ≥x ≥v(i). Для iK выполняется неравенство yi≥0=v(i), так как
рассматриваемая игра является 0-1-редуцированной. Кроме того,

v( K )   x j 
1  v( K )


jK
y i   y i   y i    xi 
 



k
#
N

#
K
iN
iK
iN \ K
iK 
i

N
\
K



j
i
 v( K )   x   x  1  v( K )  1  v( N ).
jK
iK
Поэтому y действительно является дележом.
Далее

v( K )   x j 


jK
y i    xi 
 v( K )   x j   x i  v( K )


k
iK
iK 
jK
iK



и yi>xi для всех iK, следовательно, y доминирует x по коалиции K.
Докажем, что y принадлежит C-ядру. Допустим противное. Пусть некий дележ z
доминирует y по коалиции I.
Коалиция I не может содержаться в K, так как в силу выбора последней, тогда
выполнялось бы неравенство  z i   y i   xi  v( I ) , что противоречит определению
iI
iI
iI
доминирования.
Если хоть один игрок j из коалиции I не содержится в K, то
1
1
1

v
(
K
)
1
# N  # K 1 
.
z i   yi  y j 


#N #K
#N #K
# N  # K 1
iI
iI
В случае #I#K отсюда получаем
1
1
zi 

 v( I ) ,

# N  # K 1 # N  # I 1
iI
308835880 27.01.16
5
что опять противоречит определению доминирования. Значит, #I>#K.
Если I содержит K, то
#I #K
#I #K
z i   y i   y i   y i  v( K ) 
(1  v ( K )) 


#N #K
#N #K
iI
iI
iK
iI \ K
# I  # K  (# K  # I  1)
1


 v( I )
# N  # K  (# K  # I  1) # N  # I  1
и снова получается противоречие.
Если же I не содержит K, то #(I\K)≥#I-#K+1 и поэтому
# I  # K 1
# I  # K 1 
1

zi   yi   yi 
(1  v( K )) 

1 

#N #K
# N  # K  # N  # K 1
iI
iI
iI \ K
# I  # K  1 # I  # K  1  (# I  # K )
1



 v( I )
# N  # K  1 # N  # K  1  (# I  # K ) # N  # I  1
и вновь получено противоречие.
Поскольку рассмотрены все возможности, сделанное предположение не верно и y
на самом деле принадлежит C-ядру.
Итак, доказано что C-ядро не пусто. Более того, так как дележ x выбирался
произвольно, то доказано, что всякий дележ, не принадлежащий C-ядру доминируется
некоторым дележом из C-ядра. А это означает, что C-ядро является решением.
Задачи

Болван
Литература
1. Фон Нейман Дж., Моргенштерн О. Теория игр и экономическое поведение. М.:
Наука, 1970.
2. Воробьев Н.Н. Теория игр для экономистов–кибернетиков. М.: Наука, 1985.
3. Петросян Л.А., Зенкевич Н.А., Семина Е.А. Теория игр. М.: Высшая школа. 1998.
4. Оуэн Г. Теория игр. М.: Мир. 1971.
5. Бондарева О.Н. Развитие теоретико-игровых методов оптимизации в
кооперативных играх и их приложение к многокритериальным задачам //
Современное состояние теории исследования операций. М,: Наука, 1979. С.150–
172.
6. Воробьев Н.Н. Современное состояние теории игр // Успехи матем. Наук. Т. XXV.
Вып 2(152). 1970. С. 81–140.
308835880 27.01.16