Решение логических задач
advertisement
Решение логических задач. Рассмотренных выше законы алгебры высказываний могут
быть применены к решению логических задач Например:
Задача:
Алеша, Боря и Гриша откопали древний сосуд. О том, где и когда он был изготовлен,
каждый из школьников высказал по два предположения:
Алеша: «Это сосуд греческий и сосуд изготовлен в V веке»;
Боря: «Это сосуд финикийский и сосуд изготовлен в III веке»;
Гриша: «Это не греческий сосуд и изготовлен он в IV веке».
Учитель истории сказал ребятам, что каждый из них прав только в одном их двух своих
предположений. Где и в каком веке изготовлен сосуд?
Решение:
Введем обозначения простых высказываний:
«Это сосуд греческий» – ;
«Это сосуд финикийский» – F;
«Сосуд изготовлен в V веке» – 5;
«Сосуд изготовлен в III веке» – 3;
«Сосуд изготовлен в IV веке» – 4.
Можно составить формулы высказываний каждого из школьников с учетом
высказывания учителя. Формула Алешиного высказывания имеет вид G5.
Учитель сказал, что Алеша прав только в одном из своих утверждений, поэтому либо G =
1, либо 5 = 1. Истинным будет высказывание
, то есть высказывание «Сосуд
греческий и изготовлен не в 5 веке или сосуд не греческий и изготовлен в 5 веке».
Аналогично, высказывание Бори можно представить формулой
высказывание Гриши формулой
и
.
Полученные формулы можно рассматривать как логические уравнения и решать
систему:
.
Первое высказывание умножается на второе:
.
Произведение
– ложно потому, что сосуд не может быть изготовлен
одновременно в Греции и Финикии, произведение
– ложно потому, что сосуд не
может быть изготовлен одновременно в 3 и 5 вв. После исключения этих высказываний
получается следующее уравнение:
. Это уравнение умножается на
третье логическое уравнение составленной системы:
.
Высказывания
исключены как ложные. Из полученного
высказывания
следует, что «Сосуд изготовлен в Финикии и сосуд
изготовлен в 5 веке». Это утверждение согласуется с данными поставленной задачи.
На примере решения логической задачи продемонстрирована смысловая взаимосвязь
входящих в сложное высказывание простых высказываний. В состав сложных
высказываний могут входить взаимосвязанные по смыслу высказывания, однако
Высказывания могут быть и противоречивыми. Таким образом, одним из применений
алгебры высказываний является использование ее для анализа сложных, а подчас
противоречивых текстов. Алгебра высказываний позволяет научиться моделировать
простейшие мыслительные процессы. «Методы эти позволяют Вам обрести ясность
мысли, способность находить собственное оригинальное решение трудных задач,
вырабатывают у Вас привычку к систематическому мышлению и, что особенно ценно,
умение обнаруживать логические ошибки, изъяны и пробелы тех, кто не пытался
овладеть привлекательным искусством логики. Попытайтесь. Вот все, о чем я прошу
вас», – Льюис Кэрролл (псевдоним Чарльза Лютвиджа Доджсона (1832–1898)) –
известный английский математик и литератор.
Анна Чугайнова
АЛГЕБРА ВЫСКАЗЫВАНИЙ является составной частью одного из современных
быстро развивающихся разделов математики – математической логики. Математическая
логика применяется в информатике, позволяет моделировать простейшие мыслительные
процессы. Одним из занимательных приложений алгебры высказываний – решение
логических задач.
Объекты алгебры высказываний. Операции над высказываниями. Таблицы
истинности. Алгебра – это наука, которая изучает множество некоторых элементов и
действия (операции) над ними. Если элементы алгебры – натуральные числа, а операции
– сложение и умножение, то это алгебра натуральных чисел. Действия с направленными
отрезками (векторами) изучает векторная алгебра.
Объектами алгебры высказываний являются высказывания. Высказывание – это
истинное или ложное повествовательное предложение. Повествовательное
предложение, в котором говорится об одном-единственном событии, называется
простым высказыванием. Например, предложение «Луна – спутник Земли» есть простое
высказывание, предложение «Не сорить!» не является высказыванием.
Высказывания обозначаются большими буквами латинского алфавита. Если
высказывание A истинно, то пишут A = 1, если ложно, то используют запись A = 0.
Как и в других алгебрах, в алгебре высказываний над ее объектами (высказываниями)
определены действия, выполняя которые получают новые высказывания. Объединение
двух высказываний в одно при помощи союза «И» называется операцией логического
умножения. Полученное таким образом высказывание называется логическим
произведением. Например, высказывание A – «В лесу растут грибы», высказывание B –
«Льюис Кэрролл – математик», составим произведение этих высказываний AB – «В лесу
растут грибы и Льюис Кэрролл – математик». Истинность произведения высказываний
зависит от истинности перемножаемых высказываний и может быть определена с
помощью следующей таблицы:
А
В
АВ
1
1
1
1
0
0
0
1
0
0
0
0
Объединение двух высказываний в одно с помощью союза «ИЛИ», употребляемого в
неисключающем смысле, называется операцией логического сложения. Например,
высказывание A – «Декабрь – зимний месяц», В – «Летом иногда идет дождь»,
определим высказывание A+B – «Декабрь – зимний месяц или летом иногда идет
дождь». Установить истинность логической суммы можно с помощью следующей
таблицы:
А
В
А+В
1
1
1
1
0
1
0
1
1
0
0
0
Операция логического отрицания осуществляется над одним высказыванием.
Выполнить операцию логического отрицания (обозначается ) – значит получить из
данного высказывания новое, присоединяя слова «неверно, что …» ко всему
высказыванию. Истинность высказывания определяется таблицей:
1
0
0
1
Пользуясь определенными выше операциями, можно из простых высказываний
образовывать сложные. Например, всевозможные значения для высказывания
записать в виде таблицы
A
B
1
1
0
0
1
1
0
1
1
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
1
можно
Тождественные высказывания. Эквивалентные высказывания. Формулы Августа де
Моргана. Среди высказываний особое место занимают те, в таблице истинности которых
либо одни единицы, либо только нули. Это означает, что высказывание либо всегда
истинно, либо ложно, независимо от истинности входящих в него высказываний.
Например, высказывание
всегда истинно, а высказывание
всегда ложно.
Доказать это можно составив таблицу истинности этих высказываний.
Сложные высказывания, истинные при любых значениях входящих в них других
высказываний, называются тождественно истинными, а высказывания, ложные при
любых значениях входящих в них других высказываний, называются тождественно
ложными.
Тождественно истинные или тождественно ложные высказывания, если они встречаются
в формулах, заменяются в них, соответственно единицей или нулем:
,
.
Среди высказываний встречаются такие, таблицы истинности которых совпадают. Эти
высказывания называются эквивалентными. Эквивалентными являются, например,
высказывания
и
(то есть
истинности этих высказываний:
). Это можно проверить составив таблицы
A
B
1
1
0
0
0
1
1
1
0
0
1
1
0
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
1
1
Операции алгебры высказываний обладают следующими важными свойствами:
Логическое умножение:
Логическое сложение:
A·B = B·A
A+B=B+A
(AB)C = A(BC)
(A + B)+ C = A + (B + C)
A·A = A
A+A=A
A·1 = A
A+1=1
A·0 = 0
A+0=A
A(B + C) = AB + AC
A + BC = (A + B)(A + C)A + BC = (A + B)(A
+ C)
Отрицание:
Формулы, выделенные жирным шрифтом, называются формулами Августа де Моргана
(1806–1871). Используя эти формулы, можно, в частности, преобразовывать
высказывания: сложные заменять более простыми.
В алгебре высказываний, как и в другой алгебре, возможны тождественные
преобразования, но логическое сложение и умножение обладают специфическими
свойствами A + A = A, AA = A, A + 1 = A. Это приводит к необычности действий над
многочленами алгебры высказываний. Пусть нужно перемножить два сложных
высказывания:
(A + B)(A + C) = AA + AC + AB + BC = A + AB + AC + BC.
Рассмотрим теперь два первых слагаемых A + AB = A(1 + B) = A1 = A и аналогично A+
AC = A. Таким образом, окончательно получаем (A + B)(A + C) = A+ BC.
Преобразование A + AB = A очень часто встречается в алгебре высказываний и
называется «поглощение». Есть еще один вид столь же часто встречающегося
тождественного преобразования, которое называется «склеивание».
Суть его состоит в следующем:
(склеивание произошло по символу B).
Соответственно для сложного высказывания
символу
склейку можно произвести по
, то есть имеет место тождественное преобразование
.
ЛОГИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ.
13. Левин, Митерев, Набатов работают в банке, в качестве бухгалтера, кассира и экономиста.
Если Набатов – экономист, то Митерев – бухгалтер. Если Митерев - не кассир, то Левин – не
экономист. Если Левин – бухгалтер, то Набатов – экономист. Кто какую должность занимает?
14. Имена трех друзей: Костя, Вася, Коля, их фамилии: Семенов, Буров, Николаев. У кого какая
фамилия – неизвестно. Дед Семенова – родной брат их соседа Петрова. Костя на год старше
Коли, а Коля на год старше Николаева. Сумма их лет больше 49, но меньше 53. Дочь всем
известного профессора Коробова – мать Коли. Определите имя, фамилию, возраст каждого.
15. В очереди за мороженым стоят Юра, Ира, Оля, Саша и Коля. Юра стоит раньше Иры, но после
Коли. Оля и Коля не стоят рядом, а Саша не находится рядом ни с Колей, ни с Юрой, ни с
Олей. В каком порядке стоят ребята?
16. В школе 33 класса, 1150 учащихся. Найдется ли в этой школе такой класс, в котором не менее
35 учеников?
17. В темной кладовой лежат ботинки одного размера: 12 пар черных и столько же коричневых.
Какое наименьшее число ботинок надо взять, чтобы среди них оказалась хотя бы одна пара
(левый и правый ботинок) одного цвета, если в темноте нельзя отличить не только цвет
ботинок, но и левый от правого?
18. В коробке лежит 120 цветных карандашей: 35 красных, 23 зеленых, 14 желтых, 26 синих, 11
коричневых и 11 черных. Какое наименьшее число карандашей надо взять из коробки в
темноте (не видя карандашей), чтобы среди них определенно оказалось не менее 18
карандашей одного цвета?
19. В семье 4 детей, им 5, 8, 13 и 15 лет, а зовут их Таня, Юра, Света и Лена. Сколько лет каждому
из них, если одна девочка ходит в детский сад, Таня старше, чем Юра, а сумма лет Тани и
Светы делится на 3?
20. Как при помощи чашечных весов и гири 200 гр. разделить 9 кг. сахара на 2 пакета – 2 кг. и 7
кг., если разрешается взвешивать не более трех раз?
21. Три пятницы некоторого месяца пришлись на четные даты. Какой день недели был
восемнадцатого числа этого месяца?
22. В шахматном турнире каждый из 8 участников играет с каждым по одной партии. Все
участники набрали разные количества очков (целое число), причем второй призер набрал
столько же очков, сколько все вместе шахматисты, занявшие с пятого по восьмое место. Как
сыграли между собой шахматисты, занявшие третье и пятое места?
23. В футбольном турнире команда «Торпедо», занявшая I место, набрала 5 очков, отношения
забитых и пропущенных мячей у нее 7 : 0. На II месте команда «Азовец», забившая 2 мяча и
пропустившая 3. Она набрала 4 очка. На III – «Энергия», у которой 2 очка, забито 2 и
пропущено 6 мячей. Замыкал таблицу «Строитель», имевший 1 очко, забивший 1 и
пропустивший 3 мяча. Все команды сыграли между собою по одному матчу. Определите
результаты отдельных встреч, помня, что за победой команда получает 2 очка, за ничью – 1, за
поражение – 0.
24. Из четырех внешне одинаковых деталей одна отличается по массе от трех остальных, однако
неизвестно, больше ее масса или меньше. Как выявить эту деталь двумя взвешивании на
чашечных весах без гирь?
25. Можно ли ходом шахматного коня попасть из левой нижней клетки шахматной доски в
правую верхнюю, побывав при этом на каждой клетке один и только один раз?
26. Как взвесить груз на чашечных весах с гирями, если гири правильные, а весы неправильные?
27. За круглым столом сидели 4 студента. Филолог сидел против Козина, рядом с историком.
Математик сидел рядом с Волковым. Соседи Шатрова – Егоркин и физик. Какая профессия у
Козина?
28. 100 ребят стоят по кругу. Они выбирают водящего следующим образом: первый остается в
круге, второй выходит из круга, третий остается, четвертый выходит и т.д. Круг все время
сужается, пока в нем не останется один человек. На каком месте он стоял первоначальном
круге?
29. В клетках таблицы 4х4 написаны 6 звездочек, по одной в клетке. Докажите, что всегда можно
вычеркнуть две строки и два столбца таблицы так, что все звездочки будут вычеркнуты.
ВЫЧИСЛИТЬ
1. Найдите значение выражения. Подумайте, как это можно сделать проще:
1
1
1
...
1 2 2 3
10 11
2. Найдите сумму: -100 – 99 – 98 - … - 1 + 1+ 2 + 3 + 4 + … + 101 + 102.
3. Найди: 99 – 97 + 95 – 93 + 91 – 89 +…+3 – 1.
4. Четно или нечетно число 1+2+3+…+1990.
5. Сколько чисел от одного до ста таких, из которые делятся на три, но в своей записи не имеют
ни одной тройки?
6. Сколько всего трехзначных чисел, у которых первая цифра 1.
7. Найдите сумму: 1+2-3-4+5+6-7-8+ … +301+302.
8. Найдите сумму более рациональным способом:
2
2
2
2
1*3 + 3*5 + 5*7 + … + 99*101
9. Четно или нечетно число: 1+2+3+4+…+1000?
10. Вычислите 2379*23782378 – 2378*23792379.
11. Вычислите сумму
1
1
1
...
1 2 2 3
99 100
12. Опишите закономерность (формулу искать не нужно), по которой устроена такая
последовательность чисел: 25, 35, 55, 75, 115, 135, … . Появится ли в этой закономерности
число 8995?
13. Последовательно выписывают целые числа, обладающие некоторым общим свойством: 40, 90,
250, 490, 1210, 1690, … . Появится ли в этой последовательности число 4410?
14. Опишите закономерность, по которой устроена последовательность чисел: 6, 15, 35, 77, 143,
221, … . Появится ли в этой последовательности число 3599?
15. Вычислить: ((3/5) ) (1,5) .
16. Вычислить: 8
-16 +9 .
17. Вычислить 2*2 +3*2 .
18. Расставьте скобки 2 : 3 : 4 : 5 : 6 =5.
19. Вычислить
5 1 5 1
2
2
20. Вот задача не для робких: вычитай, умножь, дели, плюсы ставь, а также скобки! Верим к
финишу придешь! а) 5 5 5 5 =3;
б) 5 5 5 5 =4;
в) 5 5 5 5 = 7
Задача 1:
Сегодня Петина мама сказала: «Все чемпионы хорошо учатся.» Петя говорит: «Я хорошо учусь.
Значит, я чемпион.» Правильно ли он рассуждает?
Задача 2:
На столе лежат 4 карточки, на которых сверху написано: А, Б, 4, 5. Какое наименьшее количество
карточек и какие именно надо перевернуть, чтобы проверить, верно ли утверждение: «Если на
одной стороне карточки написано четное число, то на другой стороне карточки – гласная буква»?
Задача 3:
В кошельке лежат две монеты на общую сумму 15 копеек. Одна из них не пятак. Что это за
монеты?
Задача 4:
Предположим, что справедливы следующие утверждения:
а) среди людей, имеющих телевизоры, есть такие, которые не являются малярами;
б) люди, каждый день купающиеся в бассейне, но не являющиеся малярами, не имеют
телевизоров.
Следует ли отсюда, что не все владельцы телевизоров каждый день купаются в бассейне?
Задача 5:
В Стране Чудес проводилось следствие по делу об украденной муке. На суде Мартовский Заяц
заявил, что муку украл Болванщик. В свою очередь Болванщик и Соня дали показания, которые по
каким-то причинам не были записаны. В ходе судебного заседания выяснилось, что муку украл
лишь один из трех подсудимых и что только он дал правдивые показания. Кто украл муку?
Задача 6:
В коробке с карандашами есть карандаши разной длины и есть карандаши разного цвета.
Докажите, что есть два карандаша, отличающиеся и по цвету и по длине.
Задача 7:
В трех урнах лежат шары: в одной – два белых, в другой – два черных, в третьей – белый и
черный. На урнах висят таблички: ББ, ЧЧ и БЧ, так, что содержимое каждой из урн не
соответствует табличке. Как, вытащив один шар, определить, в какой урне что лежит?
Задача 8:
Трех людей – А, В и С – усадили в ряд так, что А видит В и С, В видит только С, а С никого не
видит. Затем им показали 5 колпаков – 3 красных и 2 белых, завязали глаза и надели каждому на
голову красный колпак. После этого им развязали глаза и каждого спросили, может ли он
определить цвет своего колпака. После того, как А, а затем и В, ответили отрицательно, С понял,
какого цвета на нем колпак. Как он рассуждал?
Задача 9:
В кафе встретились три друга: скульптор Белов, скрипач Чернов и художник Рыжов.
«Замечательно, что один из нас блондин, другой – брюнет, а третий – рыжий, и при этом ни у
одного из нас цвет не соответствует фамилии» – заметил черноволосый. «Ты прав» – сказал
Белов. Определите цвет волос художника.
Задача 10:
Человек А говорит: «Я лжец». Является ли он уроженцем острова рыцарей и лжецов?
Задача 11:
Какой вопрос нужно задать на острове аборигену на острове рыцарей и лжецов, чтобы узнать,
куда ведет интересующая нас дорога – в город лжецов или в город рыцарей?
Задача 12:
Какой вопрос нужно задать аборигену на острове рыцарей и лжецов, чтобы узнать, живет ли у него
дома ручной крокодил?
Задача 13:
Представьте себе, что на языке острова рыцарей и лжецов слова «да» и «нет» звучат как «тип» и
«топ», но не известно, какое именно слово что означает. Как, задав аборигену один вопрос,
выяснить у него, лжец он или рыцарь?
Задача 14:
Какой вопрос нужно задать аборигену на острове рыцарей и лжецов, чтобы он обязательно
ответил «тип»?
Задача 15:
Остров рыцарей и лжецов. Островитянин А в присутствии другого островитянина В говорит: «По
крайней мере один из нас – лжец». Кто такой А и кто такой В?
Задача 16:
Есть три человека: А, В и С, про которых известно, что один из них рыцарь, другой – лжец, а
третий – приезжий, нормальный человек, который может и говорить правду и лгать.
А говорит: «Я нормальный человек».
В говорит: «А и С иногда говорят правду».
С говорит: «В – нормальный человек».
Кто из них лжец, кто – рыцарь, а кто – кормальный человек?
Задача 17:
Встретились несколько аборигенов, и каждый из них заявил всем остальным: «Вы все – лжецы».
Сколько рыцарей могло быть среди этих аборигенов?
Текстовые логические задачи
Задача. Петя, Вася и Маша остались дома одни. Кто-то из них ел варенье. На вопрос мамы, кто
это сделал, они сказали:
а) Петя: “Я не ел. Маша тоже не ела.”
б) Вася: “Маша действительно не ела. Это сделал Петя”
в) Маша: “Вася врет. Это он съел.”
Выясните, кто ел варенье, если известно, что двое из них оба раза сказали правду, а третий один
раз соврал, а один раз сказал правду.
Решение:
Обозначим за П значение утверждения “Петя ел”, за В — значение утверждения “Вася ел”, а за М
значение утверждения “Маша ела”.
Первое Петино высказывание: “Я не ел”. Значение этого высказывания противоположно П.
Действительно, если П равно 1, то Петя ел варенье, тогда первое Петино утверждение неверно;
если же П равно 0, то Петя не ел варенье, значит, Петя сказал правду.
Таким образом, значение первого Петиного высказывания равно
Аналогичными рассуждениями можно показать, что значения второго Петиного высказывания и
первого Васиного высказывания равны , второго Васиного высказывания равно П, второго
Машиного высказывания равно В.
Осталось оценить первое утверждение Маши: “Вася врет”. Оно означает, что Васино
высказывание неверно, то есть что выражение (
П) ложно. Получается, что значение первого
Машиного утверждения равно значению выражения
Составим таблицу истинности для высказываний всех детей:
Петя Вася
ел
ел
ел
Маша Петины
ела
утверж
Вас
утверины
Машины
утвержд.
П
В
М
0
0
0
1
1
1
0
1
0
0
0
1
1
0
0
0
1
0
0
1
0
1
1
1
0
1
1
0
1
1
1
0
0
0
1
1
1
0
0
0
1
1
1
0
0
1
0
1
0
0
0
1
1
0
1
1
0
0
1
1
1
0
1
1
1
1
0
0
0
1
1
1
П
В
Нас интересуют те варианты значений П, В и М, при которых два ребенка сказали правду, а третий
— один раз соврал, а один раз сказал правду. Такие варианты соответствуют тем строкам
таблицы, которые имеют пять единиц и один ноль в шести последних колонках.
Таких строк в таблице только одна (третья), соответствующая значениям П = 0, В = 1, М == 0.
За П мы обозначили значение утверждения “Петя ел”. П = 0 означает, что это утверждение ложно,
то есть Петя не ел варенье.
В = 1 означает, что утверждение “Вася ел” истинно, то есть Вася ел варенье.
М = О означает, что утверждение “Mania ела” ложно, то есть Маша не ела варенье.
Получается, что условие задачи (2 ребенка сказали правду, а третий один раз соврал)
выполняется только для ситуации, в которой Петя и Маша не ели варенье, а Вася ел.
Ответ. Варенье ел Вася, так как только при одном (третьем) варианте возможных значений ответ
двоих - 1 и 1, а ответ одного — 0 и 1.
Решение логических задач аналитическим методом.
Попробуем применить наши познания в логике для решения логических задач. Запишите
условие:
ЗАДАЧА.
В соревнованиях по гимнастике участвуют: Аня, Валя, Таня и Даша. Болельщики строят
прогнозы:
1) Таня займет I место, Валя - II;
2) Таня займет II место, Даша - III;
3) Аня займет II место, Даша - IV.
По окончании соревнований оказалось, что в каждом предположении только одно из
высказываний каждого болельщика истинно, другое - ложно. Каковы результаты
соревнований, если на каждом месте по одной девушке?
РЕШЕНИЕ:
Решить задачу - это значит найти истинное высказывание, отвечающее на поставленный в
задаче вопрос. В качестве данных также выступают высказывания. При решении
алгебраических задач буквами вы обозначали неизвестные количества, а сейчас мы
буквами будем обозначать высказывания.
В данной задаче примем следующие обозначения:
(А) - "Таня займет I место"; (В) - "Валя займет II место";
(С) - "Таня займет II место";(D) - "Даша займет III место";
(Е) - "Аня займет II место"; (F) - "Даша займет IV место".
В тетради можете записать короче:
1) А , В
2) С , D
3) Е , F
Из того, что одно из высказываний каждого болельщика истинно, следует, что
ЕVF
А V B <=> Истина
С V D <=> Истина
<=>
Истина
Или в арифметической форме:
A + B - AB = 1
C + D - CD = 1 (1)
E + F - EF = 1
Из того, что одно из высказываний каждого болельщика ложно, следует, что
А & В <=> Ложь
С & D <=> Ложь
Е & F <=> Ложь
Или в арифметической форме:
АВ = О
СD = О (2)
EF = О
Используя (2), можно упростить (1):
А+В=1
C + D = 1 (3)
E+F=1
Из того, что на каждом месте по одной девушке, следует, что
В & С <=> Ложь
С & Е <=> Ложь
В & Е <=>
А & С <=> Ложь
Ложь
D&F
<=>
Ложь
Или в арифметической форме:
ВЕ = О
ВС = О
АС = О
(4)
СЕ = О
DF = О
Перейдя к арифметическим моделям логических функций, можем действовать по законам
арифметики. В (3) умножим почленно первое равенство на второе:
(А + В)(С + D) = 1
АС + ВС + АD + BD = 1
Используя (4) получим:
AD + BD = 1
(А + В)D = 1
Из (3):
D = 1 (5)
Из (2), (3) и (5):
С = О (6)
Аналогично, в (3) умножим второе равенство на третье:
(С + D)(Е + F) = 1
СЕ + DE + CF + DF = 1
Из (4) и (6):
Из (5):
DE = 1
Е = 1 (7)
Из (2), (3) и (7):
F = О (8)
Аналогично, в (3) умножим первое равенство на третье:
(А + В)(E + F) = 1
АЕ + ВЕ + AF + BF = 1
Из (3) и (8):
АЕ = 1
Из (7):
А = 1 (9)
Из (2), (3) и (9):
В = О (10)
Итак, мы получили:
А=1
В=О
С=О
D=1
E=1
F=О
Таня займет I место;
Аня займет II место;
Это означает, что:
Даша займет III место;
Вале остается IV место.
З А Д А Н И Е:
В школе кто-то разбил стекло. Подозреваются Леня, Дима, Толя и Миша. Каждый из них
дал показания.
1. Я не виновен.
Леня:
2. Я даже не подходил к окну.
3. Миша знает, кто это сделал.
1. Я не разбивал.
2. С Мишей я не был знаком до
Дима:
школы.
3. Это сделал Толя.
1. Я не виновен.
Толя:
2. Это сделал Миша.
3. Дима врет, что я разбил.
1. Я не виновен.
2. Стекло разбил Леня.
Миша:
3. Дима может поручиться за
меня, т.к. знает меня очень давно.
Потом каждый из них признался, что дал два верных и одно ложное показание. Кто разбил
стекло?
При решении нужно учесть, что виновным был только один мальчик. Высказывания
удобно обозначить первой буквой имени и номером: Т2 - "Это сделал Миша." или Д1 - "Я
не разбивал."
Постарайтесь извлечь из условия максимум уравнений.
3
РЕШЕНИЕ ЛОГИЧЕСКИХ ЗАДАЧ НА ОСНОВЕ ИСЧИСЛЕНИЯ
ВЫСКАЗЫВАНИЙ
Кардинальный сдвиг в анализе стандартных рассуждений произошел в тот период, когда
для создания логической теории был применен метод построения формальных систем с
помощью специальных символических языков. Были созданы две мощные формальные
системы, которые впервые позволили автоматизировать рассуждения, опирающиеся на
схему дедуктивного вывода: исчисления высказываний (ИВ) и исчисления предикатов
(ИП).
Под высказыванием будем понимать утверждение, относительно которого в любой
момент, можно сказать, является ли оно истинным или ложным, или, по крайней мере,
предполагать, что ему может быть приписана такая интерпретация. Примеры
высказываний приведены ниже.
"Река Волга впадает в Каспийское море".
"Все жители Земли имеют рост более двух метров".
"В Африке находятся более десяти еще не известных захоронений
фараонов Египта".
Первое из приведенных высказываний является истинным, второе - ложным.
Истинность третьего высказывания не определена, но можно предполагать, что оно
обязательно либо истинно, либо ложно.
1.
2.
3.
Формальная аксиоматическая теория (в нашем случае - ИВ) считается заданной, если
выполнены условия, перечисленные ниже. - Определено некоторое счетное множество
символов. Таковыми в ИВ являются:
а) x1 , x2 , ... , xn - пропозициональные переменные, представляющие элементарные
высказывания;
б) & , v , , ¬ - логические символы;
в) ( , ) - технические символы.
Конечные последовательности символов называются выражениями.
- Определено подмножество выражений, называемых формулами. Дадим определение
формулы:
а) xi -формула (i=1,n);
б) если А и В - формулы, то А & В , A v B , А В , Ā - формулы;
з) других формул, кроме перечисленных в пп. а) и б), не существует.
Подформулой называется любая часть формулы, которая сама является формулой.
Выделено некоторое множество формул, называемых аксиомами (в записях опущен
знак конъюнкции "&").
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
x ( y x)
( x ( y z )) (( x y ) ( x z ))
xy x
xy y
x ( y xy)
x xvy
y xvy
( x z ) (( y z ) ( xvy z ))
9.
( x y ) ( y x)
10.
xx
11.
xx
A B, A
B
Каждая аксиома считается выводимой в ИВ.
- Задано конечное множество отношений между формулами, называемыми правилами
вывода. В ИВ определено два правила вывода: а) правило заключения (модус поненс); б)
правило подстановки. Правило заключения формулируется следующим образом: если A
В и А выводимы в ИВ, то В - выводимая в ИВ Формула. Кратко это записывается так:
Дадим формулировку правила подстановки. Пусть А - формула, содержащая в качестве
подформулы формулу x . Тогда, если А выводимая формула, то, заменив x всюду, где она
входит, произвольной формулой В, получим выводимую формулу. Кратко это
записывается так:
A
B
S x ( A)
Доказательство формулы А в ИВ называется конечная последовательность формул В1 , ... ,
Bn , где а) Bn А; б) Bi (i = 1, ... , n) есть любая аксиома, либо формула, полученная из
предыдущих формул по одному из правил вывода. Запись |— А означает, что А доказуема
(выводима) в ИВ, при этом формула А является тавтологией, то есть тождественно
истинной формулой. Отметим, что с использованием формул исчисления высказываний в
определенной степени возможна формализация текста, например, рассмотрим начало
стихотворения Давида Самойлова "Пестель, поэт и Анна":
Там Анна пела с самого утра.
И что-то шила и вышивала.
И песня, долетая со двора.
Ему невольно сердце волновала. В этом четверостишии можно выделить следующие
элементарные высказывания:
x1 - "Там Анна пела с самого утра";
x2 - "Что-то (Анна) шила";
x3 - "Что-то (Анна) вышивала";
x4 - "Песня, долетая со двора, ему невольно
сердце волновало". Тогда начало стихотворения Д. Самойлова представляется следующей
формулой ИВ
( x1 & (( x2 & x3 )v( x2 & x3 )) & x4 .
| A
| S xB11......xBnn ( A)
Рассмотрим еще два правила, используемые в процессе вывода формул в ИВ: обойденное
правило подстановка и сообщенное правило заключения. Пусть A - формула ИВ. x1 , ... , xn
- список переменных, исходящих в данную формулу, В1 ... Bn - произвольные формулы
B1 ... Bn
ИВ. Тогда S x1 ... x1 (A) - выражение, где всюду на месте x ... x в формуле А поставлено
1
n
соответственно B1 ... Bn. Обобщенное правило подстановки определяется следующим
образом: если выводима формула А, то выводимо и S (A). В сокращенной записи это
выглядит так:
Пусть Н = {A1 ,.., AK}- некоторая совокупность формул ИВ, называемая совокупностью
гипотез. Тогда выводом формул А из совокупности Н называется всякая
последовательность формул B1 , ... , Bn, для которой выполняются следующие условия: а)
последняя формула вывода есть сама формула А (Bn = A); б) каждая формула
последовательности есть либо формула из Н, либо аксиома, либо доказуемая в ИВ
формула, либо формула, полученная из предыдущих формул по правилу модус поненс.
Обобщенное правило заключения определяется следующим образом: если Н|— А и Н |—
А→B, то H|— В. В сокращенной записи это выглядит так:
H | A, H | A B
H | B
В приведенных ниже примерах вывода формул приняты следующие обозначения: ПЗ (n,k)
- правило заключения, примененное к формулам шагов n и k логического вывода; ОПЗ (n,
k,) -обобщенное правило заключения; ПП ... (n) - правило подстановки, примененное к
формуле шага n логического вывода; ОПП ...(n) - обобщенное правило подстановки.
Обоснование текущего шага вывода дается в правой части строк после знака";"
Пример 1. Показать, что |— x→ x
Доказательство.
1) ( x ( y z )) (( x y ) ( x z )) ; аксиома 2
x
2) ( x ( y z )) (( x y ) ( x x)) ; ПП S z (1)
3) ( x ( y x)
; аксиома 1
4) ( x y ) ( x x)
5) x xvy
; ПЗ (2,3)
; аксиома 6
xvy
; ПП S y (4)
6) ( x xvy ) ( x x)
7) x x
; ПЗ (5,6)
Пример 2. Показать, что |— xv y xy
Доказательство.
1.
xy x
2.
( x y ) ( y x)
3.
( xy x) ( x xy)
4.
5.
x xy
xy y
; ПЗ (1,3)
; аксиома 4
6.
( xy y ) ( y xy)
; ПП
7.
y xy
; ПЗ (5,6)
; аксиома 3
; аксиома 9
x, y , x
; ОПП S x, y (2)
8.
( x z ) (( y z ) ( xvy z )
9.
( x xy) (( y xy) ( xv y xy)
; ОПП
10.
( y xy) ( xv y xy)
; ПЗ (4, 9)
; аксиома 8
xv y xy
11.
Пример 3. Правило введения посылки.
Если H|—А , a B - произвольная формула ИВ, то Н|—В→А
Доказательство.
( x ( y x)
1.
; аксиома 1
2.
A B A)
3.
H A
4.
H B A
S xx,,zxy, y, y
(8)
; ПЗ (7, 10)
A, B
; ОПП S x, y (1)
; по условию
; ОПЗ (2,3)
Пример 4. Правило силлогизма.
Если H A B , H B C , то H A C .
Доказательство.
1. H B C
; по условию
2. H A ( B C )
; правило введения посылки: (см. пример 3)
(
A
(
B
C
))
((
A
B
)
(
A
C
))
3.
; аксиома 2
4. ( A B) ( A C )
5. H A B
; ОПЗ (2,3)
; по условию
6. H A C
; ОПЗ (4,5)
Пример 5. Правило введения конъюнкции.
Если H C A , H C B , то H C AB .
H | C , H | C B
H | C AB
В сокращенной записи это выглядит так:
Доказательство.
1.
A ( B AB)
2.
H C A
3.
H C ( B AB)
A, B
; ОПП S x, y в аксиому 5
; по условию
4.
; правило силлогизма (см. пример 4)
C , B , AB
(C ( B AB)) ((C B) (C AB))
; ОПП S x, y , z в аксиому 2
5.
H (C B) (C AB)
6.
H C B
7.
H C AB
; ОПЗ (3,4)
; по условию
; ОПЗ (5,6)
1.
Взвешивание
монет.
Великий Султан сидел в своей сокровищнице, с удовольствием взирая на 12 мешков,
набитых золотыми монетами. Это были подати, собранные эмиссарами Султана в
двенадцати провинциях его государства. Внезапно в сокровищнице появился
запыхавшийся
гонец.
— Государь, я принес важную весть, — воскликнул он. — Один из ваших эмиссаров
предал вас. В мешке, который он прислал, все монеты — фальшивые. По виду они
неотличимы от настоящих, но вместо положенных десяти граммов они весят лишь 9,9.
— Кто
осмелился
предать
меня,
скажи
его
имя!
— Его зовут... — начал было гонец. Но в этот момент кинжал, брошенный чей-то
рукой,
просвистел
в
воздухе
и
поразил
говорящего
в
спину.
Султан мог бы запросто вычислить предателя, взвесив монеты из каждого мешка. У
него были навороченные японские весы. Кладешь на платформу предмет, опускаешь в
специальную прорезь одну японскую монетку, и они выдают распечатку с весом
предмета с точностью до миллиграмма. Но вся беда в том, что у Султана осталась
только одна японская монетка. Как ему с помощью лишь одного взвешивания на этих
весах
определить,
в
каком
из
двенадцати
мешков
монеты
фальшивые?
Решение
2.
Кофе
с
молоком.
Очень полезная задачка. Можно долго выписывать уравнения, а можно понять, что
ответ
очевиден...
Есть два одинаковых стакана, в которые налито поровну: в один – молоко, в другой –
кофе. Из первого стакана переливают ложку молока в стакан с кофе. Потом
размешивают, и из второго стакана обратно в первый переливают ложку смеси кофе с
молоком.
Чего
теперь
больше:
молока
в
кофе
или
кофе
в
молоке?
Решение
3.
Про
неверных
жен.
Было у султана N=12 визирей. Узнал он как-то, что у некоторых визирей неверные
жены. Решил он им наказание устроить. Сделал так: каждого визиря с его женой
посадили в полностью изолированные комнаты, и было им сказано, что сидеть им
взаперти, пока все неверные жены не будут убиты своими супругами. Каждое утро все
комнаты обходит слуга, проверяя выполнение этого условия. Как только выясняется,
что все неверные жены мертвы, всех выпускают. На K=3-ий день всех выпустили,
причем
все
верные
жены
остались
живы.
Как
визири
догадались?
Уточнение. Все визири очень умны, и сплетней во дворце предостаточно, так что
каждый визирь знает, верная или неверная жена у каждого другого визиря, но ничего
не знает про свою. Никакого обмена информацией, пока они взаперти, нет.
Решение
4.
Вирус.
Есть колония Бактерий. Очень большая — N штук... Или нет, N мало – целых M штук. В
ней поселяется Вирус. Каждую секунду Вирус жрет одну бактерию, и, наевшись, тут же
делится на два себе подобных. Бактерии питаются всем подряд (не бактериями и не
вирусами, конечно) и тоже каждую секунду делятся пополам. Сожрет ли когда-нибудь
Вирус
все
Бактерии?
Решение
5.
100
колдунов.
Было у великого султана 100 колдунов. Все они, конечно, были шарлатанами, и султан
это
заподозрил.
Собрал
он
их
и
сказал:
«Завтра поутру устроим вам проверку, кто настоящий колдун, а кто нет. Проверка
будет такой. Выведут вас в поле, построят в ряд. Потом каждому на голову наденут
колпак либо черного, либо белого цвета. И, начиная с конца ряда, к каждому из вас по
очереди будет подходить мужик с топором, спрашивая, какого цвета колпак на голове.
Тем, кто назовет цвет своего колпака неверно, прямо на месте отрубят голову,
остальных
—
отпустят.»
Уточнение. Стоя в ряду, каждый колдун видит всех, кто стоит перед ним, и слышит
все, что происходит сзади. Цвет своего колпака никакими уловками никто узнать не
может. Каждый колдун может сказать только одно слово — «черный» или «белый». И
только
в
свою
очередь.
Иначе
—
всем
хана.
Услышав такую новость, колдуны собрались, и задумались, как им действовать, чтобы
спасти
наибольшее
число
своих
коллег.
Сколько колдунов можно (со 100% вероятностью) спасти в таких условиях?
Решение
6.
Расстановка
ракет.
Приобрёл Великий Султан по случаю 9 ракет типа SS-20. И решил он их расставить в
пустыне для охраны родного края. Заморские мудрецы подсказали Султану, что для
повышения эффективности ракеты нужно расставить так, чтобы образовалось как
можно больше рядов по три ракеты в каждом. Вопрос: как расставить 9 ракет так,
чтобы в каждом ряду их было по 3, и при этом рядов было 10? Ряд – прямая, на
которой
находится
не
менее
3-х
ракет.
Решение
Пример решения логической задачи
Задача № 1
Виктор, Роман, Юрий и Сергей заняли на математической олимпиаде первые четыре
места. Когда их спросили о распределении мест, они дали три таких ответа:
1) Сергей-первый, Роман-второй;
2)
Сергей-второй, Виктор-третий;
3)
Юрий-второй, Виктор-четвертый.
Как распределились места, если в каждом ответе только одно утверждение истинно?
Решение:
Если в каждом ответе одно из утверждений истинно, то и дизъюнкция этих утверждений
тоже истинна. Так, скажем, истинно высказывание: ”или Сергей первый, или Романвторой”. Запишем это высказывание в следующем символическом виде: С I or P II.
Аналогично, высказывания остальных ответов имеют вид C II or B III и Ю II or В I\/
соответственно. Конъюнкция истинных высказываний - истинна. Следовательно,
истинным будет составное высказывание
(C I or P I)and(C II or B III)and(Ю II or В I\/).
Используя свойства (1)-(13), произведем упрощение высказывания (*) . Для этого
представим в виде дизъюнкции простейших конъюнкцию:
(C I or P II) and (C II or B III) = [(C I or P II) and C II] or [(C I or P II) and B III] = [(C I and C
II) or (P II and C II)]or [(C I and B III) or (P II and B III)].
Высказывание, стоящее в первых квадратных скобках, ложно, так как является
дизъюнкцией двух ложных высказываний С I and C II и Р II and C II-первое состоит в том,
что Сергей занял одновременно I и II места, а второе место одновременно заняли Роман и
Сергей. Таким образом, первая конъюнкцию приобретает вид
(C I or Р II) and (С II or В III)=(C I and B III) or (P II and B III).
Рассмотрим теперь оставшуюся конъюнкцию
[(C I and B III)or(P II and B III)]and(Ю II or В I\/).
Используя, по-прежнему, правила (1)-(13), имеем
{[(C I and B III) or (P II and B III)] and Ю II}or {[(C I and B II) or (P II and B III)] and B
I\/} =
(C I and B III and Ю II) or (P II and B III and Ю II)
or (C I and B III and B I\/) or (P II and B III and B I\/)=(C I and B III and Ю II).
Второе, третье и четвертое высказывания, участвующие в этой дизъюнкции, ложны, так
как являются конъюнкциями или одинаковых букв с разными номерами, или разных букв
с одинаковыми номерами, чего быть не может. Следовательно, истинной является
конъюнкция
C I and B III and Ю II.
Ответ. Первое место занял Сергей, второе-Юрий, третье-Виктор и четвертое-Роман.
Задача1
Король хотел сместить своего премьер-министра, но при этом не хотел его слишком
обидеть. Он позвал премьер-министра к себе, положил при нём два листка бумаги в
портфель и сказал: “На одном листке я написал “Уходите”, а на втором – “Останьтесь”.
Листок, который вы вытащите, решит вашу судьбу”.
Премьер-министр догадался, что на обоих листках было написано “Уходите”.
Как же, однако, умудрился он в этих условиях сохранить своё место?
Задача 2
Площадь озера, покрываемая одной кувшинкой, каждый день увеличивается вдвое. Через
месяц покрытой оказывается вся поверхность озера.
За сколько времени покроют всё озеро две растущие кувшинки?
Задача 3
Мир занимательной математики кажется очень благополучным:
автомобили никогда не сходят с трассы во время гонок; гребцы не устают даже после
многих часов непрерывной гребли, из каждого крана в ванной всё время течёт постоянная
по напору струя воды и т. д.
Но не всё в мире устроено так хорошо. Мы не знаем, не использовал ли король более
быстрого и действенного (а может быть и более сурового) способа избавиться от своего
премьер-министра после того, как затея с двумя листками бумаги в портфеле провалилась.
Порой люди попадают в критические ситуации, из которых они могут выраться
только благодаря своей сообразительности.
Так, однажды путешественник попал в руки жестокого туземного племени и был
поставлен перед дилеммой: умереть от яда или сгореть заживо. Чтобы сделать этот
“выбор”, бедняга должен был произнести всего одну фразу – если при этом он скажет
правду, то его отравят, а если солжет – сожгут заживо.
Как осужденный сумел избежать трагического исхода?
Логический детектив.
Вам знакомы персонажи детективов Шерлок Холмс и мисс Марпл? Они раскрывали
преступления, решая логические задачи.
Разберите логические задачи, как это делают великие детективы!
Задача «Кто чем увлекается»
В школе учатся четыре талантливых подростка: Иванов, Петров, Сидоров, Андреев. Один
из них – будущий музыкант, другой преуспел в бальных танцах, третий – солист хора
мальчиков, четвертый подает надежды как художник. О них известно следующее:
1. Иванов и Андреев присутствовали в зале консерватории, когда там пел хоре мальчиков
солист.
2. Петров и музыкант вместе позировали художнику
3. Музыкант ранее дружил с Андреевым, а теперь неразлучен с Ивановым
4. Андреев незнаком с Петровым, т.к. они учатся в разных классах и в разные смены.
Кто чем увлекается?
Подсказка: Для решения построим таблицу и заполним ее «+» и «-».
Танцор
Иванов
Петров
Сидоров
Андреев
Художник
Солист Музыкант
Задача «Сосуды и жидкости»
В чашке, стакане, кувшине и банке находятся молоко, лимонад, квас и вода. Известно, что
вода и молоко не в чашке; сосуд с лимонадом стоит между кувшином и сосудом с квасом;
в банке не лимонад и не вода; а стакан стоит между банкой и сосудом с молоком. Что где?
Задача «Отцы и дети»
В пионерский лагерь приехали три друга: Миша, Володя и Петя. Известно, что каждый из
них имеет одну из фамилий: Иванов, Семенов, Герасимов. Миша не Герасимов, отец
Володи инженер. Володя учится в 6 классе. Герасимов учится в 5 классе. Отец Иванова
слесарь. У кого какая фамилия?
Решение задачи "Кто чем увлекается?"
Танцор
Художник
Солист
Музыкант
Иванов
-
+
-
-
Петров
-
-
+
-
Сидоров
-
-
-
+
Андреев
+
-
-
-
Решение задачи "Сосуды и жидкости"
Молоко
Лимонад
Квас
Вода
Чашка
-
+
-
-
Стакан
-
-
-
+
Кувшин
+
-
-
-
Банка
-
-
+
-
Решение задачи "Отцы и дети"
Иванов
Семёнов
Герасимов
Миша
+
-
-
Володя
-
+
-
Петя
-
-
+
Задача Альпинист
На дереве высотой 200 метров сидит альпинист. У альпиниста - веревка длиной 150
метров и ножик. На высоте сто метров находится сук. Вопрос - как альпинисту спуститься
на землю?
Решение задачи
Отрезаем 50 метров и завязываем петлю, в которую до середины продеваем оставшийся
100-метровый кусок, т.о. получаем 100 метров. Привязываем 50-тиметровым кускум за
верхушку и спускаемся на сук, вытягиваем из петли 100-метровый кусок и спускаемся на
землю
