Департамент образования Администрации муниципального образования Надымский район

Департамент образования Администрации муниципального образования
Надымский район
МОУ «Средняя общеобразовательная школа №6 с углубленным изучением
отдельных предметов», г. Надым
Лист Мебиуса
Автор: Поздеев Илья Романович
МОУ «Средняя общеобразовательная школа №6
с углубленным изучением отдельных предметов», г. Надым
учащийся 7 б класса
Руководитель: Семенченко Ирина Петровна
МОУ «Средняя общеобразовательная школа №6
с углубленным изучением отдельных предметов», г. Надым
учитель математики
ЯНАО, г. Надым, 2014 г.
Лист Мебиуса
Поздеев Илья Романович
ЯНАО, г. Надым, МОУ «Средняя общеобразовательная школа №6 с
углубленным изучением отдельных предметов», г. Надым
7 класс
Аннотация
Цель моей работы: Изучить свойства листа Мёбиуса и рассмотреть его
применение на практике.
Гипотеза: Если знать свойства листа Мёбиуса, то это поможет найти его
особое практическое применение, так как он отличается от других геометрических
объектов.
Для достижения цели я поставил перед собой следующие задачи:
1. Сформировать представление о листе Мёбиуса на основе изучения
литературных источников.
2. Рассмотреть возможности практического применения свойств листа
Мёбиуса.
Объект исследования: лист Мебиуса
Предмет исследования: свойства односторонней поверхности
Методы исследования: - общетеоретические: анализ и синтез;
- теоретические: построение гипотезы мысленного эксперимента, прогнозирование
результатов предполагаемого эксперимента;
- эмпирические методы: метод экспертной оценки.
Оглавление
Введение_________________________________________________________1
Глава 1. Немного истории___________________________________________2
Глава 2. Моя исследовательская деятельность с листом Мебиуса __________4
Глава 3. Применение листа Мёбиуса _________________________________7
Заключение ______________________________________________________9
Список использованной литературы_________________________________10
Лист Мебиуса
Поздеев Илья Романович
ЯНАО, г. Надым, МОУ «Средняя общеобразовательная школа №6 с
углубленным изучением отдельных предметов», г. Надым
7 класс
Введение
Топология является одним из самых «молодых» разделов современной геометрии.
Топология изучает свойства фигур, которые не изменяются при деформациях
(растяжении, сжатии), не допускающих разрывов и склеивания.
Одним из объектов топологии является лист Мёбиуса. В школьном курсе
топологические объекты не изучаются. Я впервые узнал о листе Мёбиуса, посещая
дополнительные занятия по математике «Авангард». У меня появились некоторые
представления о листе Мёбиуса, я заинтересовался этим и решил расширить свои знания
об этом удивительном геометрическом объекте.
Глава 1. Немного истории
Лист Мёбиуса - топологический объект, односторонняя простейшая
поверхность с краем. Попасть из одной точки этой поверхности в любую другую можно,
не пересекая края. Лента Мёбиуса была обнаружена независимо немецкими
математиками Августом Фердинандом Мёбиусом и Иоганном Бенедиктом Листингом в
1858г. Лист Мёбиуса иногда называют прародителем символа бесконечности, т.к.
находясь на поверхности ленты Мёбиуса, можно было бы идти по ней вечно. Это не
соответствует действительности, так как символ использовался для обозначения
бесконечности в течение двух столетий до открытия ленты Мёбиуса.
Лист Мёбиуса относится к числу «математических неожиданностей».
Рассказывают, что открыть свой «лист» Мёбиусу помогла служанка, сшившая однажды
неправильно концы ленты. Как бы то ни было, но в 1858 году Лейпцигский профессор
Август Фердинанд Мёбиус (1790 – 1868), ученик К.Ф. Гаусса, астроном и геометр,
послал в Парижскую академию наук работу, включавшую сведения об этом листе. Семь
лет он дожидался рассмотрения своей работы и, не дождавшись, опубликовал ее
результаты. Мебиус был первоначально астрономом, как Гаусс и многие другие из тех,
кому математика обязана своим развитием. В те времена занятия математикой не
встречали поддержки, а астрономия давала достаточно денег, чтобы не думать о них, и
оставляла время для собственных размышлений. И Мебиус стал одним из крупнейших
геометров XIX в. В возрасте 68 лет ему удалось сделать открытие поразительной
красоты. Это открытие односторонних поверхностей, одна из которых – лист Мебиуса.
Лента Мебиуса положила начало новой науке – топологии. Топология
известна как «резиновая геометрия», потому что топологу ничего не стоит поместить все
свои фигуры на поверхность надувного шарика и без конца менять его форму, следя
лишь за тем, чтобы шарик не лопнул. А то, что при этом прямые линии превратятся в
кривые, для тополога глубоко безразлично. Лист Мёбиуса – топологический объект,
простейшая односторонняя поверхность с краем.
Удивительные свойства листа Мебиуса – он имеет один край, одну сторону
- не связаны с его положением в пространстве, с понятиями расстояния, угла и, тем не
менее, имеют вполне геометрический характер. Изучением таких свойств занимается
топология. Оказывается, свойства такого типа, несмотря на кажущуюся их
непривычность, связаны как раз с наиболее абстрактными математическими
дисциплинами, именно с алгеброй и теорией функций.
В топологии изучаются свойства фигур и тел, которые не меняются при их
непрерывных деформациях (как если бы они были сделаны из резины).
С точки зрения топологии баранка и кружка - это одно и тоже. Сжимая и
растягивая кусок резины, можно перейти от одного из этих дел ко второму. А вот
баранка и шар – разные объекты: чтобы сделать отверстие, надо разорвать резину. Сама
топология, можно сказать, началась именно с листа Мебиуса. Слово это придумал
Иоганн Бенедикт Листинг. Любую фигуру тополог имеет право сгибать, скручивать,
сжимать и растягивать – делать с ней что угодно, только не разрывать и не склеивать. И
что бы при этом не произошло - все ее свойства остались неизменными.
Глава 2. Моя исследовательская деятельность
Говоря о листе Мебиуса, мы говорим о некоторой поверхности, в понятии
которой много таинственности. Лист Мебиуса – узкая полоска бумаги, концы которой
склеены после одного перекручивания. Возьмем полоску бумаги, перекрутим на полоборота, а потом склеим ее концы, тем самым соединив противоположные стороны
ленты.
1 этап исследовательской деятельности
Чтобы изучить свойства листа Мебиуса, я провел несколько опытов, разделив их на
две группы.
1. Лист Мебиуса я попробовал закрасить в два цвета – одним с внешней, а другим
с внутренней стороны.
Результат: мне это не удалось.
2. Лист Мебиуса я красил, не переворачивая его.
Результат: лист Мебиуса закрасился полностью.
3. Я начал проводить карандашную линию вдоль полоски (листа
Мебиуса).
Результат: я возвратился в исходную точку.
Значит, если мы будем двигаться вдоль края такой фигуры, то обнаружим, что
он представляет собой одну непрерывную замкнутую линию (одну петлю).
4. Вырезал из бумаги человечка и отправил его вдоль края листа
Мебиуса.
Результат: человечек вернулся в точку отправления, но в перевернутом виде.
Вывод. На основании этих опытов мне удалось убедиться в том, что лист Мебиуса
имеет один край и одну сторону.
2 этап исследовательской деятельности
Выполняя опыты с бумажной полоской, я приятно удивился тому, сколь многое
можно из нее извлечь, несмотря на то, что растяжения полоски невозможны.
1. Простое кольцо разрезал посередине.
Результат: получил 2 кольца, длина окружности которых осталась прежней, а
ширина уменьшилась в 2 раза.
2. Лист Мёбиуса разрезал посередине.
Результат: 1 лист Мёбиуса, который перекручен дважды, но вдвое длиннее и уже.
3.Лист Мёбиуса разрезал по двум линиям, проведённым на равном расстоянии от
краёв ленты.
Результат: 2 листа, один из которых вдвое длиннее первоначальной ленты и вдвое
перекручен. Он получился из краёв исходной ленты. Другой лист перекручен 1 раз и
состоит из центральной части исходной ленты.
4. Лист Мёбиуса разрезал по линиям, нанесённым на ленту шириной 5 см, отступив
от края на 1 см, 2 см, 3 см, 4 см.
Результат: 3 листа Мёбиуса. Один шириной 1 см и с одним перекручиванием,
длина которого равна длине исходного кольца. Второй и третий
- с двумя
перекручиваниями, ширина которых 1 см и длина в два раза больше исходного кольца.
Второй и третий сцеплены с первым листом и между собой.
Вывод. Эта группа опытов позволяет сделать вывод о том, что лист Мебиуса –
топологический объект, один край и одна сторона листа не связаны с его положением в
пространстве и с положением расстояния.
Глава 3. Применение листа Мёбиуса
Лист Мёбиуса находит многочисленное применение в науке, технике,
искусстве и в изучении свойств Вселенной.
Свойство односторонности листа Мёбиуса было использовано в технике:
- Полоса ленточного конвейера, шлифовальная лента, выполненная в виде
ленты Мёбиуса, позволяет ему работать дольше, потому что вся поверхность ленты
равномерно изнашивается.
- Также в системах записи на непрерывную плёнку применялись ленты Мёбиуса
(чтобы удвоить время записи).
- В матричных принтерах красящая лента имела вид листа Мёбиуса для
увеличения срока годности. Это дает ощутимую экономию.
Лист Мёбиуса в искусстве служит вдохновением для скульптур и для графического
искусства. Мауриц Эшер был одним из художников, кто особенно любил его и посвятил
ему работы. Одна из известных, показывает муравьёв, ползающих по поверхности листа
Мёбиуса.
Даже мастерицы-рукодельницы изготавливают шарфики, закрученные в эту чудо
ленту. Писатели-фантасты сочиняют о ней произведения, поэты посвящают ей стихи.
В 1979 году была изобретена детская игрушечная электрифицированная железная
дорога. Полотно железной дороги также представляет собой ленту Мебиуса.
Есть гипотеза, что спираль ДНК сама по себе тоже является фрагментом ленты
Мёбиуса и только поэтому генетический код так сложен для расшифровки и восприятия.
Лента Мёбиуса понравилась не только математикам, но и фокусникам. Более 100
лет лист Мёбиуса используется для показа различных фокусов и развлечений.
Конечно же, главная ценность листа Мёбиуса, представленного в моей работе,
состоит в том, что он дал толчок новым исследованиям. Математические исследования
продолжаются и в наши дни. Именно поэтому его часто считают символом современной
математики и изображают на различных эмблемах и значках, как, например, на значке
механико-математического факультета Московского университета.
Заключение
Лист Мебиуса – первая односторонняя поверхность, которую открыл ученый.
Позже математики открыли еще целый ряд односторонних поверхностей. Но эта – самая
первая, положившая начало целому направлению в геометрии, по-прежнему привлекает
к себе внимание ученых, изобретателей, художников.
В своей работе я пытался описать свойства этой прекрасной поверхности –
листа Мебиуса, показать его значимость на практике, доказать, что лист Мебиуса –
топологическая фигура. На основании проведённой работы я пришёл к следующим
выводам:
1. Лист Мёбиуса – топологический объект. Как и любая топологическая
фигура, лист Мёбиуса не меняет своих свойств, пока её не разрезают, не разрывают или
не склеивают его отдельные куски.
2. Лист Мёбиуса находит многочисленные применения в науке, технике и
изучении свойств Вселенной. Лента Мёбиуса вдохновляет многих художников на
создание известных скульптур и картин. Удивительные свойства листа Мёбиуса
порождают множество научных трудов, изобретений (весьма полезных и совершенно
нереальных).
Я сумел получить интересный математический материал. Своими
результатами исследования о листе Мебиуса я хочу поделиться со своими
одноклассниками. Думаю, что это их заинтересует. Вообще я считаю, что моя работа
будет интересна любителям математики для расширения математического кругозора. Ее
можно использовать учителям математики, как на уроках, так и во внеклассной и
кружковой работе.
Мною не исчерпаны опыты с листом Мебиуса. Они бесконечны, интересны и
зависят от собственного терпения. Я обязательно буду возвращаться к опытам с листом
Мебиуса.
Список использованной литературы
1.Гарднер М. Математические досуги. М. Мир,1972.
2. Гарднер М. Математические чудеса и тайны. Наука, 1978.
3.Энциклопедия для детей. Математика. Аванта +, 2001 г., стр. 111-112.
4.Барр С. Россыпи головоломок. Москва, Мир, 1987.
5.Левитин К. Геометрическая рапсодия. Издательство «Знание», Москва,1984
6. Статья: Что такое лист Мёбиуса? http://www.genon.ru
7. Статья: Трогаем бесконечность. Мебиус, Клейн и другие топологические
парадоксы
http://www.log-in.ru/articles/1360/
8. Статья: Преобразования Мебиуса http://www.smartvideos.ru/mebius-transfor