программа государственного экзамена для направления 010400

Утверждена на Ученом Совете
механико-математического факультета СГУ
30. 10. 14 г. (протокол № 4)
Декан механико-математического факультета,
кандидат физико-математических наук,
доцентЗахаров А.М.
Председатель научно-методической комиссии,
кандидат физико-математических наук,
доцент –
Тышкевич С.В.
ПРОГРАММА
государственного экзамена
по направлению 010400-Прикладная математика и информатика
Профиль - «Математическая физика и современные компьютерные
технологии»
степень Магистр
на 2014-2015 учебный год
Современные проблемы прикладной математики и информатики
1. Теорема Амбарцумяна.
2. Теорема единственности Марченко.
3. Теорема единственности восстановления оператора Штурма-Лиувилля по функции Вейля.
Литература:
1. Юрко В.А. Введение в теорию обратных спектральных задач. Москва, ФИЗМАТЛИТ, 2007.
2. Юрко В.А. Обратные спектральные задачи и их приложения, Саратов: изд-во СПИ, 2001.
3. Марченко В.А. Операторы Штурма-Лиувилля и их приложения, «Наукова Думка», Киев,
1977.
4. Левитан Б. M. Обратные задачи Штурма-Лиувилля. M.: Наука, 1984.
Введение в теорию целых функций и спектральные задачи
1. Теорема Полиа.
2. Теорема Фрагмена-Линделёфа.
3. Разложение целой функции в бесконечное произведение. Теорема Адамара.
4. Единственность восстановления уравнения Штурма-Лиувилля по спектрам двух краевых
задач.
Литература:
1. Юрко В.А. Введение в теорию обратных спектральных задач. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2007
2. Юрко В.А. Обратные спектральные задачи и их приложения, Саратов: изд-во СПИ, 2001.
3. Левин Б.Я. Распределение корней целых функций, М: Гостехиздат, 1956.
4. Привалов И.И., Введение в теорию функций комплексного переменного, М., Наука, 1967.
5. Маркушевич А.И. Теория аналитических функций, М: Наука, 1968, т.1, 2.
Непрерывные математические модели
1. Интерполирование многочленами Эрмита.
2. Интерполяционные формулы Падэ.
Литература:
1. Привалов А.А. Теория интерполирования функций. Саратов: Изд-во Сарат.
ун-таю 1990. Книга 1. 230 с.
2. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики, М.:
Наука, 2004 (3 экз.)
3. В.С. Владимиров, В.В. Жаринов. Уравнения математической физики.
Изд. 2. [Электронный ресурс] -М. : ФИЗМАТЛИТ, 2008.
http://ibooks.ru/reading.php?short=1&isbn=978-5-9221-0310-7
Дискретные математические модели
1. Понятие квантового графа.
2. Самосопряженные условия склейки на графе.
Литература:
1. P. Kuchment, Quantum Graphs I. Some basic structures, Waves in Random
Media, 14 (2004), 107-128.
2. V. Kostrykin, R. Schrader, Kirchhoff’s rule for quantum wires, J. Phys.
A 32(1999), 595-630.
Экстремальные задачи теории аппроксимаций
1. Понятие обобщенной функции.
2. Дифференцирование обобщенных функций.
3. Свертка обобщенных функций.
Литература:
1. В.С. Владимиров, В.В. Жаринов. Уравнения математической физики.
Изд. 2. [Электронный ресурс] -М. : ФИЗМАТЛИТ, 2008.
http://ibooks.ru/reading.php?short=1&isbn=978-5-9221-0310-7
Современные компьютерные технологии
1. Организация объектных иерархий на примере библиотеки Qt.
2. Сигналы и слоты, соединение объектов.
3. Основы технологии OpenMP.
4. Многопоточность и связанные с ней проблемы. Пример корректной и некорректной
реализации взаимодействия потоков.
Литература:
1. Шлее М.."Профессиональное программирование на C++"
2. http://parallel.ru/tech/tech_dev/openmp.html
3. http://www.viva64.com/art-3-1-464379766.html
4. http://www.viva64.com/art-3-1-1557922790.html
5. http://software.intel.com/ru-ru/articles/writing-parallel-programs-a-multi-languagetutorial-introduction/
6. http://www.codenet.ru/progr/cpp/threads.php
7. http://hardclub.donntu.edu.ua/projects/qt/qq/qq11mutex.html#understandingmutexesandsemaphore
Приближенные методы решения уравнений 1-го рода
1. Общий подход к построению приближенных решений уравнений 1-го рода.
2. Основные принципы построения методов регуляризации.
Литература:
1. Леонов А.С. Решение некорректно поставленных задач. М.: Книжный дом «Либроком», 2010
2. Хромова Г.В О сходимости метода Лаврентьева. Журн. вычисл. матем. и матем. физ. Т.49,
№6, с. 958-965, 2009.
3. Хромов А.А., Хромова Г.В. Восстановление функций, заданных с погрешностью. Учебн.
Пособие. Саратов: «Саратовский источник», 2011
История и методология прикладной математики и информатики
1. Требования, предъявляемые к математическим моделям физических задач.
2. История формирования современного взгляда на некорректно поставленные задачи.
Литература:
1. Тихонов А.Н. Обратные и некорректные задачи. М: Наука, 2009.
2. Хромова Г.В., Молоденкова И.Д. Методы приближенного решения задачи восстановления
функций. Учебное пособие. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та. Ч.1-2001г.
3. Хромова Г.В., Молоденкова И.Д. Методы приближенного решения задачи восстановления
функций. Учебное пособие. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та. Ч.2-2003г.
4. Шишкова Е.В. Интегральные операторы с полиномиальными финитными ядрами и их
применение в некорректно поставленных задачах. Сарат. гос. ун-т им. Н.Г.Чернышевского.
Саратов: 2006.
Базисность Рисса собственных функций интегральных операторов
1. Теорема (о сведении исходного оператора А к интегральному оператору в ____ вектор
функций размерности).
2. Теорема о преобразовании ортонормированного базиса в Гильбертовом пространстве.
Литература:
1. Хромов, А.П. Проекторы Рисса и ряды Фурье по собственным функциям [Электронный
ресурс] : учебное пособие для студентов механико-математического факультета и аспирантов
физико-математических специальностей / А. П. Хромов, В. А. Халова ; Сарат. гос. ун-т им. Н. Г.
Чернышевского. - Саратов : [б. и.], 2009. - 28 с. : ил. - Библиогр.: с. 25 (3 назв.). - ISBN 978-5292-03945-7 : Б. ц. http://library.sgu.ru ID 1069
2. Конторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ.- СПб.: БВХ-Петербург, 2004.- 813.-30
экз.
3. Курдюмов В.П., Хромов А.П. О базисах Рисса из собственных функций интегральных
операторов с ядрами, разрывными на диагоналях // Доклады РАН, 2011, Т.№6, с.733-735.
Пучки обыкновенных дифференциальных уравнений
1. Теорема Фрагмена-Линделёфа.
2. Уравнение для собственных значений пучка обыкновенных дифференциальных уравнений.
Литература:
1. Хромов А.П., Халова В.А. Проекторы Рисса и ряды Фурье по собственным функциям / А.П.
Хромов, В.А. Халова. – Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2009. – 28 с. – 100 экз.
2. Юрко В.А. Введение в теорию обратных спектральных задач / В.А. Юрко. – М.: Физматлит,
2007. – 384 с.-19экз.
Приложение спектральной теории к решению неустойчивых задач
1. Приближение непрерывных функций с помощью резольвентных операторов.
2. Резольвентные методы в задаче восстановления функции.
Литература:
1. Вопросы сходимости разложений по собственным функциям интегральных операторов
[Электронный ресурс] : учебное пособие для студентов механико-математического факультета и
аспирантов физико-математических специальностей / А. В. Голубь [и др.]. - Саратов : [б. и.],
2014. - 60 с. : ил. - Библиогр.: с. 58-59 (20 назв.). - ISBN 978-1-312-22341-7 : Б. ц.
http://library.sgu.ru ID 1068
2. Хромов, А.П. Проекторы Рисса и ряды Фурье по собственным функциям [Электронный
ресурс] : учебное пособие для студентов механико-математического факультета и аспирантов
физико-математических специальностей / А. П. Хромов, В. А. Халова ; Сарат. гос. ун-т им. Н. Г.
Чернышевского. - Саратов : [б. и.], 2009. - 28 с. : ил. - Библиогр.: с. 25 (3 назв.). - ISBN 978-5292-03945-7 : Б. ц. http://library.sgu.ru ID 1069
3. Хромов А.А. Приближающие свойства резольвенты оператора дифференцирования:
Учеб. пособие. – Саратов: ООО Издат. центр «Наука», 2010. – 33 с.-10 экз.
4. Хромов А.А., Хромова Г.В. Восстановление функций, заданных с
погрешностью//Учеб.пособие. Саратов: Изд-во «Саратовский источник», 2011. 29с. -10
экз.
Моделирование, виртуализация и вычисления в среде MatLab
1. Иерархия графических объектов системы MatLab.
2. Проектирование графического интерфейса пользователя (graphical user interface - GUI) в
системе MatLab.
Литература:
1. Плохотников К.Э. Вычислительные методы. Теория и практика в среде MatLab: курс лекций.
Учебное пособие для вузов (гриф УМО по классическому университетскому образованию). –
М: издательство «Горячая линия – Телеком», 2009 – 496 с. – ISBN 978-5-9912-0069-1
2. Шампайн Л.Ф. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений с использованием
MatLab. Учебное пособие/Шампайн Л.Ф., Гладвел И., Томпсон С. / Пер. с англ. И.А. Макарова.
– СПб.: Издательство «Лань», 2009. – 304 с.: ил. – ISBN 978-5-8114-1033-0
3. Иглин С., Математические расчеты на базе MATLAB [Электронный ресурс] / С. Иглин. Санкт-Петербург : БХВ-Петербург, 2010. - 640 с. : ил. - ISBN 5-94157-290-5 : Б. ц.
Внешний ресурс: http://ibooks.ru/reading.php?short=1&isbn=5-94157-290-5
Ряды экспонент
1. Порядок целой функции. Тип целой функции. Теорема о порядке и типе производной.
2. Теорема о нулях аналитической функции в круге.
Литература:
1. М.И. Шабунин, Ю.В. Сидоров. Теория функций комплексного переменного. - М.: БИНОМ.
Лаб. знаний, 2010. – 246 с. – 2 экз. ISBN 978-5-94774-005-9 – 30 экз.
2. А.Г. Свешников, А.Н. Тихонов. Теория функций комплексной переменной. - М.:
ФИЗМАТЛИТ, 2010. - 335, с. -3 экз. ISBN 978-5-9221-0134-9 (в пер.), ISBN 978-5-9221-0133-2
(вып.5) – 30 экз.
3. Привалов, И. И. Введение в теорию функций комплексного переменного [Текст] : учебник /
И. И. Привалов. - Москва : Лань, 2009. - 432 с. : ил. - ISBN 978-5-8114-0913-6 : Б. ц.
http://e.lanbook.com/books/element.php?pl1_cid=25&pl1_id=322
Дифференциальные операторы с нерегулярными краевыми условиями
1. Краевые условия первого типа. Лемма о нерегулярности краевых условий первого типа.
2. Теорема о необходимых условиях разложения функции в ряд по собственным и
присоединенным функциям линейного дифференциального оператора с нерегулярными
краевыми условиями.
Литература:
1. Демидович Б.П. Дифференциальные уравнения [Текст]/Б.П. Демидович, В.П. Моденов. –
Москва: Лань, 2008. – 288 с. – (Классическая учебная литература по математики). – ISBN 978-58114-0677-7:Б.ц. (ЭБС ЛАНЬ)
2. Вопросы сходимости разложений по собственным функциям интегральных операторов
[Электронный ресурс] : учебное пособие для студентов механико-математического факультета и
аспирантов физико-математических специальностей / А. В. Голубь [и др.]. - Саратов : [б. и.],
2014. - 60 с. : ил. - Библиогр.: с. 58-59 (20 назв.). - ISBN 978-1-312-22341-7 : Б. ц.
http://library.sgu.ru ID 1068
3. Разложение по собственным функциям дифференциального оператора n-го порядка с
нерегулярными краевыми условиями / О.Ю.Дмитриев. – Известия Саратовского университета.
2007. Т.7. Сер.
Математика. Механика. Информатика, вып. 2. С. 10–14.
http://www.sgu.ru/files/nodes/37931/Dmitriev%2810%29.pdf
Спектральная теория самосопряженных операторов
1. Теорема о непустоте спектра линейного ограниченного оператора.
2. Формула для нормы самосопряженного оператора
Литература:
1. Люстерник Л.А. Краткий курс функционального анализа [Текст]/Л.А. Люстерник, В.И.
Соболев.-Москва: Лань, 2009.- 272 с.- Классическая учебная литература по математики). – ISBN
978-5-8114-0976-1:Б.ц. (ЭБС ЛАНЬ)
2. А.П.Гуревич, В.В.Корнев, А.П.Хромов Сборник задач по функциональному анализу. Изд-во
Сарат.ун-та, 2009 г. - 101 экз.
3. Леонтьева, Т. А. Задачи по теории функций и функциональному анализу с решениями [Текст]
: Учебное пособие / Т А Леонтьева, А В Домрина. - Москва : ООО "Научно-издательский центр
ИНФРА-М", 2013. - 164 с. - ISBN 978-5-16-006429-1 : Б. ц.
http://znanium.com/go.php?id=377270
«Спектральная теория дифференциальных и интегральных операторов»
1. Критерий для порождающих функций оператора интегрирования.
2. Аппроксимация интегральных операторов конечномерными операторами.
Литература:
1. Хромов, А.П. Проек-торы Рисса и ряды Фурье по собственным функциям [Электронный
ресурс] : учебное пособие для сту-дентов механико-математического факульте-та и аспирантов
физико-математических специаль-ностей / А. П. Хромов, В. А. Халова ; Сарат. гос. ун-т им. Н.
Г. Чернышевского. - Саратов : [б. и.], 2009. - 28 с. : ил. - Библиогр.: с. 25 (3 назв.). - ISBN 978-5292-03945-7 : Б. ц. http://library.sgu.ru ID 1069
2. Вопросы сходимо-сти разложений по соб-ственным функциям инте-гральных операторов
[Электронный ресурс] : учебное пособие для сту-дентов механико-математического факульте-та
и аспирантов физико-математических специаль-ностей / А. В. Голубь [и др.]. - Саратов : [б. и.],
2014. - 60 с. : ил. - Биб-лиогр.: с. 58-59 (20 назв.). - ISBN 978-1-312-22341-7 : Б. ц.
http://library.sgu.ru ID 1068
3. А.П. Хромов. Конечномерные возмущения вольтерровых операторов. \\Современная
математика. Фундаментальные направления. Т.10.2004. – 160с.
http://www.sgu.ru/files/nodes/20109/monograf.pdf
Асимптотические методы решения дифференциальных уравнений
1. Особые точки линейных систем дифференциальных уравнений.
2. Преобразования, используемые при исследовании линейного дифференциального уравнения
второго порядка.
Литература:
1. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений с использованием MATLAB: учебное
пособие/Л. Ф. Шампайн, И. Гладвел, С. Томпсон; пер. с англ. И. А. Макарова. – СПб.: Лань,
2009. – 299 с. - 29 экз.
2. Вопросы сходимости разложений по собственным функциям интегральных операторов
[Электронный ресурс] : учебное пособие для студентов механико-математического факультета и
аспирантов физико-математических специальностей / А. В. Голубь [и др.]. - Саратов : [б. и.],
2014. - 60 с. : ил. - Библиогр.: с. 58-59 (20 назв.). - ISBN 978-1-312-22341-7 : Б. ц.
http://library.sgu.ru ID 1068
3. Хромов, А.П. Проекторы Рисса и ряды Фурье по собственным функциям [Электронный
ресурс] : учебное пособие для студентов механико-математического факультета и аспирантов
физико-математических специальностей / А. П. Хромов, В. А. Халова ; Сарат. гос. ун-т им. Н. Г.
Чернышевского. - Саратов : [б. и.], 2009. - 28 с. : ил. - Библиогр.: с. 25 (3 назв.). - ISBN 978-5292-03945-7 : Б. ц. http://library.sgu.ru ID 1069