Калининский район МАОУ Гимназия №12 Таинственный лист

Калининский район
МАОУ Гимназия №12
Таинственный
лист Мёбиуса.
Автор:
ученица 8 «Ф» класса
Зайцева Анастасия
Руководитель:
учитель математики
высшей категории
Плетнева
Ольга Владимировна
Новосибирск – 2014
1
Содержание
Введение ………………………………………………………………………….3-4
1 Открытие листа Мёбиуса. ……………….......................................... …..5
1.1 Историческая справка…………………………………………………..5
1.2 Топология………………………………………………………………..5-6
2
Что такое лист Мёбиуса с математической точки
зрения и каковы его свойства?.................................................................7-10
3
Эксперименты, подтверждающие свойства листа Мёбиуса………….11-12
4
Сюрпризы и неожиданности при разрезании листа Мёбиуса………..13-16
5 Использование ленты Мёбиуса в различных сферах жизни………….17
5.1 Лист Мебиуса в литературе и искусстве……………………………..17-18
5.2 Лист Мёбиуса в науке и технике……………………………………..18-21
5.3 Лист Мебиуса в цирковом искусстве…………………………………21-22
5.4 Лист Мёбиуса в медицине…………………………………………….22-23
5.5 Лист Мёбиуса в моем городе Новосибирске………………………..23-24
Заключение …………………………………………………………….................25-26
Список литературы
……………………………………………………………….27
2
“ Лист Мёбиуса – символ математики,
Что служит высшей мудрости венцом…
Он полон неосознанной романтики:
В нём бесконечность свёрнута кольцом…»
Н.Ю.Иванова
Введение.
В наше время актуально изучение различных свойств предметов и их
нестандартных применений. Во многих парках и скверах и даже в художественных музеях
можно встретить необычный круг-ленту. У входа в Музей истории и техники в
Вашингтоне медленно вращается на пьедестале стальная лента, закрученная на полвитка.
Что это за лента и почему она вызывает такой интерес у художников и скульпторов?
Оказывается это лента Мёбиуса и имеет самое прямое отношение к математике, а точнее к
геометрии. Мне захотелось, как можно больше узнать о листе Мёбиуса еще и потому, что
эту ленту часто называют загадочной.
Кроме того, существует гипотеза, что наша Вселенная вполне вероятно замкнута в
ту же самую ленту согласно теории относительности – чем больше масса, тем больше
кривизна пространства.
Есть гипотеза, что спираль ДНК сама по себе тоже является фрагментом ленты
Мёбиуса и только поэтому генетический код так сложен для расшифровки и восприятия.
Больше того, такая структура вполне логично объясняет причину наступления
биологической смерти - спираль замыкается сама на себя и происходит
самоуничтожение.
Многие знают, что такое лента (лист) Мёбиуса.
Тем, кто еще не знаком с удивительным листом, который относится к
«математическим неожиданностям», я предлагаю вместе со мной провести исследования
и окунуться в светлое чувство познания.
Цель исследования
- показать, что в математике много увлекательного и
интересного. Найти подтверждение применения ленты Мёбиуса в современном мире.
Предмет исследования - лист Мёбиуса как один из объектов топологии.
Задачи исследования – изучить теоретический материал по данной теме, историю
открытия ленты Мёбиуса, показать необычность этой геометрической поверхности,
исследовать опытным путем ее топологические свойства, с помощью экспериментов
выяснить какие сюрпризы происходят с листом Мёбиуса при разрезании, убедить в том,
что лента Мёбиуса нашла применение во многих привычных для нас сферах жизни.
Гипотезы исследования
1.Односторонняя поверхность существует.
2.Лист Мёбиуса меняет свои свойства при разрезании.
3.Лента Мёбиуса встречается в различных сферах жизнедеятельности человека.
Для решения поставленных целей и задач были использованы методы:
 сбора информации
 анализа собранной информации
 сравнения и обобщение полученных результатов.
3
1. Открытие листа Мёбиуса.
1.1 Историческая справка.
17 ноября 1790 года в Германии родился Август Фердинанд Мебиус. Он был
профессором, руководителем астрономической лаборатории в Лейпцигском университете.
Совершить открытие, профессору помола служанка, которая неправильно сшила
ленту. Хмуро разглядывая ленту, профессор воскликнул: «Девочка не так уж глупа. Ведь
это же односторонняя кольцевая поверхность!»
В 1858 году Лейпцигский профессор Август Фердинанд Мёбиус послал в Парижскую
академию наук работу, включающую сведения об этом листе. Семь лет он дожидался
рассмотрения. В это же время предложил в качестве первого примера односторонней
поверхности этот лист и другой ученик К.Ф. Гаусса – Иоганн Бенедикт Листинг,
профессор Геттингенского Университета. Свою работу он опубликовал на три года
раньше, чем Мёбиус, - в 1862 году, но лента все-таки носит имя Мёбиуса.
1.2 Топология.
Слово это придумал Иоганн Бенедикт Листинг. Тополо́гия (от греч. τόπος — место)
— часть геометрии, изучающая в самом общем виде явление непрерывности, а также
свойства обобщенных геометрических объектов, не меняющиеся при малых деформациях
и не зависящие от способа их задания.
Наука эта молодая и потому озорная. Иначе не скажешь о тех правилах игры,
которые в ней приняты. Любую фигуру тополог имеет право сгибать, скручивать, сжимать
и растягивать – делать с ней всё что угодно, только не разрывать и не склеивать. И при
этом он будет считать, что ничего не произошло, все её свойства остались неизменными.
Для него не имеют никакого значения ни расстояния, ни углы, ни площади. А что же его
интересует? Самые общие свойства фигур, которые не меняются ни при каких
преобразованиях фигуры. Поэтому иногда топологию называют "геометрией
непрерывности”.
Топология в основном изучает поверхности тел и она находит математическое
родство между предметами, которые, казалось бы, никак между собой не связаны.
Например, с точки зрения топологии гайку, макаронину и кружку роднит то, что каждый
из этих предметов имеет отверстие, хотя во всех остальных отношениях они совершенно
различны.
Топология не имеет границ. Она проникает не только во все области математики, но
и во многие другие науки.
У каждого из нас есть интуитивное представление о том, что такое "поверхность".
Поверхность листа бумаги, поверхность стен класса, поверхность земного шара известны
4
всем. Может ли быть что-нибудь неожиданное и даже таинственное в таком обычном
понятии?
Да! Это односторонняя поверхность.
Пример топологии - таинственный и знаменитый лист Мёбиуса.
5
2. Что такое лист Мёбиуса с математической точки зрения и каковы
его свойства?
Лист Мёбиуса топологический объект, простейшая не ориентируемая
поверхность с краем, односторонняя в обычном трёхмерном евклидовом пространстве
R³. Попасть из одной точки этой поверхности в любую другую можно, не пересекая
края.
Лист Мёбиуса относится к числу математических неожиданностей. Чтобы
изготовить лист Мёбиуса, возьмём прямоугольную полоску АВВ*А*, перекрутим её на
180 градусов и склеим противоположные стороны АВ и А*В*, т.е. так, что совместятся
точки А и В* и точки А* и В.
Полоска должна быть узкой и длинной, с возможно большим отношением длины к
ширине. Примем ширину полоски за единицу. Ясно, что чем длиннее полоска, тем легче
склеить из нее ленту Мебиуса. Таким образом, существует такое число λ, что из полоски
длины больше λ, ленту Мёбиуса склеить можно, а из полоски меньше λ – нельзя. Очень
хотелось найти это λ. Удивительно, но решение этой задачи до сих пор неизвестно, пока
предположили, что 1,57≤ λ ≤ √ 3 ≥1,73.
Из квадратного листа ленту Мебиуса не сделаешь, если бумагу запрещается
мять. Раз требование не мять бумагу так важно, посмотрим, каков ее математический
смысл.
Поверхности, которые можно сделать из листа бумаги, изгибая, но не сминая его,
математики называют развёртывающимися. Через каждую точку A развёртывающейся
поверхности, не лежащую на её границе, проходит лежащий на поверхности отрезок, не
кончающийся в A. Иначе говоря, в каждой точке к развёртывающейся поверхности
(изогнутому, но не смятому листу бумаги) можно приложить спицу так, чтобы она
прилегала к поверхности на некотором протяжении по обе стороны от взятой точки.
Такой отрезок называется образующей поверхности.
Примеры. Лист бумаги, свёрнутый в трубочку или в фунтик, плоских (и
полуплоских) точек не имеет. У трубочки образующие составляют семейство
параллельных отрезков, у фунтика – семейство отрезков, веером расходящихся из одной
точки. Возможны более сложные расположения образующих. Например, образующие и
плоские точки развертывающейся поверхности, изображённой на рисунке а, показаны на
рисунке б (на нём поверхность развёрнута в плоский лист бумаги): тонкие линии –
образующие, а закрашенные области состоят из плоских точек.
6
Зная положение точки А и координаты точки М, мы можем задать математически
образующую прямую, а значит и лист Мёбиуса.
Воспользуемся формулами для вычисления координат точки А(х;у) на плоскости
XOY
Х = ОАcosφ
Y = OAsinφ
Рассмотрим треугольник АММ`- прямоугольный
AM`= λcosφ/2
MM` = λsinφ/2 = Z
Пусть АМ = λ
OM` = R + λcosφ/2
Обозначим координаты точки M(x,y,z) отсюда =>
Свойства листа Мебиуса:
7
1.Односторонность. У листа Мёбиуса – всего одна сторона.
2. Непрерывность.
3. Связность. Если квадрат разрезать от стороны к стороне, то он, естественно,
распадётся на два отдельных куска. Поэтому квадрат – односвязен. Ну, а лист Мёбиуса?
Двусвязен.
4.Ориентированность – свойство отсутствующее у листа Мёбиуса. Так, если бы
человек смог пропутешествовать по всем по всем изгибам листа Мёбиуса, то когда он
вернулся бы в исходную точку, он превратился в своё зеркальное отражение.
5. «Хроматический номер» - равен максимальному числу областей, которые можно
нарисовать на поверхности так, чтобы каждая из них имела общую границу со всеми
другими. Хроматический номер ленты Мебиуса равен шести.
8
3. Эксперименты, подтверждающие свойства листа Мебиуса
Объекты: простое кольцо и лента Мебиуса
Первое свойство односторонность .
Эксперимент 1.
Возьмем кисточку и закрасим кольца в каком-нибудь направлении.
Обычное
Закрашена
одна
кольцо
сторона.
Лента
Полностью окрашена.
Мебиуса
Второе свойство непрерывность .
Эксперимент 2.
Поставим точку на одной стороне каждого кольца и чертим непрерывную линию
вдоль него, пока не придем снова в отмеченную точку.
Обычное
Линия проходит вдоль
кольцо
кольца по одной стороне,
сходясь в точке начала.
Лента
Мебиуса
Непрерывная
линия
проходит по двум сторонам,
заканчиваясь
в
начальной
точке.
Эксперимент 3.
Закрасим непрерывной линией только один край колец
Обычное
Один
край
кольца
кольцо
закрашен, второй край нет.
Лента
Мебиуса
Линия края получилась
непрерывно закрашена на
всем кольце.
Следующее свойство: связность
Эксперимент 4.
Разрежем кольца вдоль пополам, по линии параллельной краям.
9
Обычное
кольцо
Лента
Мебиуса
Получилось два кольца, уже
чем исходное, причем длина
окружности каждого будет такой
же, как длина окружности
первоначально взятого.
Получилась одна длинная
двусторонняя лента с двумя
полными оборотами, которую
называют «афганская лента».
Эксперимент 5.
Разрежь кольцо вдоль, отступив от края на 1/3 ширины кольца.
Обычное
Получилось 2 кольца
кольцо
одно уже, другое шире.
Лента
Мебиуса
Получилось два
сцепленных друг с другом
кольца, одно маленькое – другое
большое.
Опыты с многоразовым разрезанием показали, что у обычного кольца
получаются кольца все уже и уже, но длина окружности остается одинаковой. У ленты
Мёбиуса:
- при разрезании на чётное число полосок получаются только большие сцепленные
кольца, которых в два раза меньше, чем количество разрезов (полосок);
- при разрезании на нечётное число полосок получаются одно маленькое и несколько
больших колец, сцепленных с маленьким, которых тоже в 2 раза меньше разности между
количеством разрезов и маленьких колец.
10
4. Сюрпризы и неожиданности при разрезании листа Мёбиуса.
Предлагаю провести самостоятельно эксперименты:
1. Если разрезать ленту на четыре равные части, то мы получим две ленты с двумя
полуоборотами.
2.
Если разрезать ленту на шесть равных частей, то мы получим три ленты с двумя
полуоборотами завязанные в узел.
3. Если разрезать ленту с тремя полуоборотами, то получится лента, завитая в узел
трилистника.
Такие эксперименты можно продолжать до бесконечности! И получать всё новые и новые
результаты!
Если перекрутить ленту на два оборота, то лист становится односвязным. Три оборота –
связность снова равна двум.
Разрез ленты с дополнительными оборотами дал мне неожиданные фигуры.
А сейчас я хочу предложить очень удивительное на мой взгляд превращение листа
Мебиуса!
5. Склеим обычное кольцо и ленту Мёбиуса под прямым углом и разрежем по
пунктирной линии.
11
Получилась квадратная рамка!
6.
Бутылка Клейна
Еще одно открытие. Бутылка Клейна может быть создана склеиванием двух лент
Мёбиуса друг с другом вдоль их границ.
7. Олимпийские кольца
Вот такие неожиданные вещи происходят с простой бумажной полоской, если
склеить из неё лист Мёбиус.
Итак, на основе проведенных мною теоретических и практических исследований
можно сделать следующие выводы:
 Лента Мебиуса имеет 1 край.
 Лента Мебиуса имеет одну поверхность, что необычно для трёхмерной фигуры.
 Лента Мебиуса имеет одну искривленную поверхность, и если по ней двигаться,
можно с внутренней части переместиться на внешнюю.
 Лента Мебиуса получается из прямоугольника, у которого длина намного больше
ширины.
 Если разрезать ленту Мебиуса вдоль пополам параллельно краю, то можно
получить не две отдельные ленты, а одну длинную ленту, которая будет уже исходной и
дважды перекручена – но не лента Мебиуса.
12
 Если разрезать ленту Мебиуса вдоль, отступив от края на 1/3 от ее ширины, то
получится два кольца, сцепленные между собой, одно большое – не лента Мебиуса,
другое маленькое – лента Мебиуса.
 В результате исследований обнаружилось, что при разрезании ленты Мёбиуса
вдоль пополам она изменяет свои свойства, так как получили двустороннюю поверхность.
 В результате исследования обнаружилось, что существуют еще более «странные»
геометрические объекты (например, бутылка Клейна)
13
5.Использование листа Мёбиуса в различных сферах жизни.
5.1 Лист Мебиуса в литературе и искусстве
Чудесные ее свойства тут же породили не только
множество научных трудов, изобретений (весьма полезных и
совершенно
нереальных),
а
также
многочисленные
фантастические рассказы зарубежных авторов.
Также кольцо Мёбиуса постоянно упоминается в
произведениях уральского писателя Владислава Крапивина. А
Козьма Прутков подарил читателям афоризм: "Где начало того
конца, которым оканчивается начало?".
Во многих парках и скверах можно увидеть Лист Мебиуса и даже в музеях.
5.2 Лист Мёбиуса в науке и технике
Многие ученые в своих изобретениях использовали
принцип ленты Мебиуса. В разных странах за последние годы выдано более ста патентов
и авторских свидетельств на использование этой удивительной ленты.
В 1923 году выдан патент изобретателю Ли де форсу, который предложил
записывать звук на киноленте без смены катушек, сразу с двух сторон.
В 1969 году советский изобретатель Губайдуллин предложил бесконечную
шлифовальную ленту в виде листа Мёбиуса. Силовая конструкция (квадратная),
мешалка (большая круглая), винты, испытывающиеся на модели судна (два маленьких
круглых),трансформатор, ремень у ременной передаче, самоочищающийся фильтр, полоса
ленточного конвейера.
14
В матричных принтерах красящая лента имела вид листа Мёбиуса для
увеличения срока годности. Кассеты для магнитофона, где лента перекручивается и
склеивается в кольцо
Кандидат физико-математических наук Юрий Арутюнов. Он установил две ленты
Мёбиуса на концах самолётного крыла, и сопротивление воздушной среды снизилось. За
счёт этого экономия авиационного топлива составила 7–10%. Разгрузив крыло с помощью
лент Мёбиуса на 20%, можно увеличить ресурс самолёта на все 100%, то есть даровать
ему вторую жизнь. Особенно это ценно для Ил-76. Универсальная деталь «скелета»
любого цилиндрического корпуса — что для самолёта или ракеты, что для подводной
лодки -кольцевой шпангоут. Арутюнов взял да и скрутил шпангоут -уже догадались как?
Нагрузки так перераспределились, что срок жизни конструкции удвоился.
Благодаря ленте Мебиуса появился "Механизм управления штурвала рулевого
привода, в щелевом затворе фото- или кинокамеры, детских заводных игрушках.
Международный символ переработки представляет собой лист Мёбиуса.
5.3 Лист Мебиуса в цирковом искусстве
Более 100 лет лист Мёбиуса используется для показа различных фокусов и
развлечений.
5.4Лист Мёбиуса в медицине
«Кардио-ремонт» с гарантией. Сердце человека «сшито» из мышечной полосы,
свёрнутой в точности, как лента Мёбиуса, -это установил американский кардиохирург
профессор Джеральд Бакберг.
В практике индийской йоги используется принцип движения энергетических
потоков по траектории листа Мёбиуса.
5.4 Лист Мёбиуса в моем городе Новосибирске
Проект «Совершенство не имеет границ» заслужил малую медаль Сибирской
ярмарки. В Новосибирских парках цвело всё, даже огромные извивающиеся каркасы,
имеющие самые причудливые формы;
15
В Новосибирске стартует арт-сессия "Яблоко Мебиуса"
20 – 24 марта 2014 года в Новосибирске пройдет II биеннале наукоемкого
искусства "Яблоко Мебиуса", которое будет включать конкурс наукоемких арт-объектов,
научно-популярные лекции и мастер-классы молодых ученых. Главные цели биеннале:
популяризировать и стимулировать научные разработки, вывести искусство Сибири на
качественно новый уровень.
16
Заключение
Несмотря на то, что Мёбиус сделал своё удивительное открытие очень давно, оно
очень популярно и в наши дни.
Конечно же, главная ценность листа Мёбиуса состоит в том, что он дал толчок новым
обширным математическим исследованиям.
Работая над проектом, я пришла к выводу, что простая полоска бумаги, но
перекрученная всего лишь раз и склеенная затем в кольцо, сразу же превращается в
загадочную ленту Мебиуса и приобретает удивительные свойства. Мной была проделана
работа по доказательству некоторых свойств ленты Мебиуса. Изучались свойства ленты
на наглядных примерах. В результате исследования обнаружилось, что лента Мёбиуса
нашла применение во многих привычных для нас сферах жизни. Проведенные мною
эксперименты подтвердили гипотезы и показали, насколько важно значение ленты
Мёбиуса в жизни современного человека.
Я убеждена, что данная тема будет актуальна еще долгое время, и будут
открываться все новые и новые факты, подтверждающие присутствие и влияние листа
Мёбиуса на нашу жизнь.
17
Список литературы
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
Гарднер М. Математические досуги. М. Мир,1972.
Кордемский Б. А. Топологические опыты своими руками Квант, 1974, №3
Гарднер М. Математические чудеса и тайны. Наука, 1978.
Барр С. Россыпи головоломок. Москва, Мир, 1987.
Левитин К. Геометрическая рапсодия. Издательство «Знание», Москва,1984
В.А.Гусев, А.П.Комбаров «Математическая разминка»
А.П.Савин, В.В.Станцо, А.Ю.Котова «Я познаю мир математика»
http://arbuz.uz/t_lenta.html
http://school-sector.relarn.ru/dckt/projects/ctrana/matric/t_lm1.htm
http://www.kvant.info/
http://www.websib.ru/noos/math/listmebiusa/
http://www.vlink.ru/~v-design/mebius.htm.
http://ru.wikipedia.org/wiki/Лист_Мёбиуса
http://oriart.ru/publ/3-1-0-11
http://www.smartvideos.ru/mebius-transfor
http://www.mebius.spb.ru/content/view
18