Школьная научно-практическая конференция

Школьная научно-практическая конференция
«Первые шаги в науку»
Тема:
«Загадки ленты Мёбиуса»
Выполнила
ученица 6 «В» класса
МБОУ СОШ № 40 г. Белгорода
Лобанова Виктория Сергеевна
Руководитель
Учитель математики
Толстенко Людмила Георгиевна
2012
2
Содержание:
1. Введение ……………………………………………........3-4
2. Основная часть
1. Историческая справка………………………..4
2. Геометрия. Топология ………………………4-5
3. Изготовление Ленты Мёбиуса……................5
4. Свойства ленты Мёбиуса …………………..5-6
5. Опыты с лентой Мёбиуса……………………6-7
6. Использование листа Мёбиуса………………7-9
3. Заключение ……………………………………………. 9
4. Литература …………………………………………….. 9-10
5. Приложения…………………………………………….11
3
1. ВВЕДЕНИЕ
Слышали ли вы когда – нибудь о листе Мёбиуса? Как его можно изготовить, как
он связан с математикой и где применяется в жизни?
Миллионы людей во всех частях света даже не подозревают, что они каждый день
используют ленту Мёбиуса.
Удивительные свойства листа Мёбиуса использовались и используются в
кулинарии, в технике, в физике, в живописи, в архитектуре, в оформлении
ювелирных изделий и бижутерии. Вдохновлял он на творчество многих писателей
и художников. Интерес к листу Мёбиуса не угас и в наши дни. В Москве, в
сентябре 2006 года состоялся Фестиваль художественной математики. С большим
успехом было принято выступление профессора из города Токио.
Меня заинтересовала эта тема. Я изучила литературу, затем сама изготовила лист
Мебиуса, а потом проводила исследования, ставя опыты, изучая его
необыкновенные свойства.
Цель:
Изучить некоторые свойства ленты Мёбиуса; рассмотреть применение ленты
Мёбиуса на практике.
Задачи:
o выявить источники и литературу по данной теме и проанализировать их;
o познакомиться с историей возникновения листа Мёбиуса;
o научиться и научить других изготавливать лист Мёбиуса;
o изучить разнообразные свойства листа Мёбиуса;
o найти, где используются его свойства;
o создать презентацию по данной теме.
Исходя из выше сказанного, мы определили: объект нашего исследования– лента
Мёбиуса.
При этом предметом исследования является обучение умению изготавливать лист
Мёбиуса, проверять его свойства, находить применение в жизни. Это ведёт к
более глубокому осмыслению математики как прикладной науки.
Гипотеза: Лист (лента) Мёбиуса таит в себе много загадок.
4
Работая над темой, мы использовали следующие методы: анализ
библиографических данных, наблюдение, эксперимент, сравнение, частичнопоисковый.
Занимаясь этой работой, я пришла к выводу, что хотя лист Мёбиуса открыли ещё
в XΙX веке, он был актуален и в XX веке, и будет актуальным в XXΙ, поскольку
раздел математики «топология» является самым молодым в её истории.
2.ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ
1.Историческая справка
Август Фердинанд Мёбиус (17.11.1790 – 26.09.1868), немецкий геометр и
астроном, профессор Лейпцигского университета. Родился в Шульпфорте.
Некоторое время под руководством К.Гаусса изучал астрономию. С 1816 года
начал вести самостоятельные астрономические наблюдения в Плейсенбургской
обсерватории, в 1818 году стал её директором, а позже – профессором
Лейпцигского университета.
В научных источниках говорится, что Август Фердинанд Мёбиус взял однажды
бумажную ленту, повернул один её конец на пол-оборота (то есть на 180), а
потом склеил его с другим концом. То ли от скуки он это сделал, то ли научного
интереса ради – теперь уже неизвестно. Подтолкнула его к этому открытию
горничная, неправильно завязавшая на своей шее платок. Именно так и появилась
в 19 веке знаменитая лента Мёбиуса- открытие поразительной красоты,
«математическая неожиданность».
В 1858 г. Мёбиус отправил в Парижскую академию наук работу, включающую
сведения об этом листе. Семь лет он дожидался рассмотрения своей работы, и, не
дождавшись, опубликовал её результаты.
2. Геометрия. Топология
Мёбиус – один из основоположников теории геометрических преобразований, а
также теории векторов и многомерной геометрии.
Лист Мебиуса считается одним из символов современной математики, а момент
его открытия стал началом рождения новой науки – топологии (по-другому
"геометрия положения"). Топология (гр. топос - место, местность + логия)
5
занимается изучением тех свойств геометрических объектов, которые не связаны
с положением в пространстве, с понятием расстояния, угла. В топологии
изучаются свойства фигур и тел, которые не меняются при их непрерывных
деформациях – сжатиях и растяжениях. В топологии фигуры не имеют
измерений.
Родоначальниками топологии были немецкий учёный Георг Кантор (1845-1918), ,
Павел Сергеевич Александров (1896-1982).
Самым известным объектом в топологии является лист Мёбиуса.
3. Изготовление Ленты Мёбиуса
Для изготовления ленты Мёбиуса нам понадобятся: бумага, клей и ножницы.
Лента (лист) Мёбиуса – бумажная лента, повёрнутая одним концом на полоборота (то есть 180 градусов) и склеенная с его другим концом.
4. Свойства ленты Мёбиуса
1.Полоска бумаги прямоугольной формы имеет 2 стороны. Закрасим одну
сторону красной краской, тогда другая сторона останется незакрашенной.
Если то же самое проделать с лентой Мёбиуса, то лента окажется закрашенной
полностью!
Вывод: Обычные поверхности – двусторонние. Лента Мёбиуса является
односторонней поверхностью. Односторонность - топологическое свойство листа
Мёбиуса, характерное только для него.
2. Проследим путь муравья по поверхности листа Мёбиуса.
6
Наблюдение 1: Находясь на поверхности листа Мёбиуса, можно было бы
двигаться по ней вечно.
Наблюдение 2: Если муравей отправится путешествовать по всем изгибам
листа Мёбиуса, то в момент возвращения в исходную точку он превратится
в своё зеркальное отражение.
Вывод 1: На листе Мёбиуса любая точка может быть соединена с другой точкой.
Разрывов нет – непрерывность полная. Лента Мёбиуса является непрерывной
поверхностью.
Вывод 2: Лента Мёбиуса – это неориентируемая поверхность.
Ориентированность – свойство, отсутствующее у листа Мёбиуса .
Выводы:
o Лист Мебиуса имеет одну сторону и один край.
o Лист Мёбиуса - топологический объект, не меняет своих свойств, пока ее
не разрезают, не склеивают её отдельные куски.
5. Опыты с лентой Мёбиуса
1. Если разрезать ленту вдоль посередине, то получится лента, причём она
больше и тоньше исходной. (рис.1)
рис. 1
2. Если разрезать ленту на расстоянии 1/3 её ширины от края, то получится два
кольца. Одно большое и сцепленное с ним маленькое. (рис.2)
рис. 2
7
3. Если разрезать ленту с тремя полуоборотами, то получится лента, завитая в
узел трилистника (рис.3)
рис. 3
6. Использование листа Мёбиуса
Чудесные свойства листа Мебиуса привели к новым открытиям и изобретениям
(очень полезным и совершенно бесполезным).
o Лист Мебиуса служил вдохновением для скульпторов, художников и
графиков. (Приложение I)
o Ученые-генетики рассматривают код ДНК в качестве модели ленты
Мебиуса, поэтому генетический код так сложен для расшифровки и
восприятия. (Приложение II)
o
Лист Мебиуса применяется для усовершенствования технических приборов.
1. У входа в музей истории и техники в Вашингтоне медленно
вращается на пьедестале стальная лента, закрученная в полвитка. И
это не случайно. Патентная служба зарегистрировала немало
изобретений, в основе, которых лежит Лента Мёбиуса.
2. В 1923 году выдан патент изобретателю Ли де Форсу, который
предложил записывать звук на киноленте без смены катушек, сразу с
двух сторон – это лента Мёбиуса.
3. В 1969 году советский изобретатель Губайдуллин предложил
бесконечную шлифовальную ленту в виде листа Мёбиуса.
4. Ленточный конвейер в виде ленты Мёбиуса может работать дольше,
он равномерно изнашивается с двух сторон.
5. В 1971 году изобретатель с Урала Чесноков П.Н. применил фильтр в
виде листа Мёбиуса.
6. Система записи на непрерывную плёнку – лист Мёбиуса.
8
7. Красящая лента в первых принтерах – лента Мёбиуса увеличивала
срок их использования.
8. Международный символ переработки – лист Мёбиуса. (Приложение I)
9. В метро ручка эскалатора, не что иное как лента Мёбиуса,
это позволяет равномерно изнашиваться, и продлевает срок службы
резины.
o Кроме того, существует гипотеза, что наша Вселенная вполне вероятно
замкнута в ту же самую ленту согласно теории относительности
o Лента Мёбиуса применяется для показа фокусов в цирке.
1. В цирке подвешивались яркие ленты, склеенные в виде листов
Мёбиуса. Фокусник закуривал сигарету и горящим концом
дотрагивался до средней линии каждой ленты, которая была
выполнена из калийной селитры. Огненная дорожка превращала
первую ленту в более длинную, а вторую - в две ленты, продетая одна
в другую. (В этом случае фокусник разрезал лист Мёбиуса не
посередине, а на расстоянии в одну треть его ширины).
2. Вот пример еще одного фокуса: фокусник вручает зрителю два
больших бумажных кольца, каждое из которых получилось путем
склеивания концов длинной ленты. Зритель разрезает ножницами
первое кольцо вдоль ленты посередине, пока не вернется в исходную
точку. Он получает, к своему удивлению, не два кольца, а одно,
которое вдвое длиннее исходного – «Афганскую ленту». Разрезая
второе кольцо, он снова получает поразительный результат: два
кольца, сцепленных друг с другом. Результат этого фокуса зависит от
того, как были сомкнуты концы ленты перед склейкой. Первое кольцо
– лист Мёбиуса, у второго концы перекручивались перед склейкой
дважды. Известно еще много фокусов с применением ленты Мебиуса.
3. Используя свойства ленты Мёбиуса, можно придумать множество
фокусов. Например, можно научить друзей завязывать узел, не
выпуская шарф из рук. Для этого надо положить шарф в виде ровной
9
линии на столе, скрестить руки на груди, взять руками концы шарфа,
и, не выпуская шарф из рук, разомкнуть руки.
3. ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Главная ценность листа Мёбиуса состоит в том, что он дал толчок новым
обширным математическим исследованиям. Именно поэтому его часто считают
символом современной математики и изображают на различных эмблемах и
значках, как, например, на значке механико-математического факультета
Московского университета.
В ходе выполнения работы я достигла поставленных целей:
1. изучила и проанализировала литературу и Интернет-источники по теме;
2. познакомилась с историей возникновения листа Мёбиуса;
3. научилась сама и научила родителей и друзей изготавливать лист Мёбиуса;
4. изучила разнообразные свойства листа Мёбиуса;
5. выявила сферу применения свойств ленты Мёбиуса;
6. создала презентацию по теме исследования.
Выполнив работу, я убедилась в справедливости гипотезы о том, что лента
Мёбиуса таит в себе много неожиданных свойств и что Лейпцигский профессор
Август Фердинант Мёбиус в 1858 году сделал масштабное открытие, за которым
скрывались многие факты.
Я достигла своих целей, исследовав топологический объект-ленту Мёбиуса.
4. ЛИТЕРАТУРА
1. М.Гарднер «Математические чудеса и тайны»
2. Е.С. Смирнова «Курс наглядной геометрии» 6 класс. «Просвещение» 2002 г.
3. И.Ф. Шарыгин . Л.Н. Еранжиева «Наглядная геометрия» 5-6 класс.
«Дрофа» 2000г.
4. Энциклопедия для детей «Математика». «Аванта+»2001г.
5. http://www.rambler.ru/
10
6. http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9B%D0%B8%D1%81%D1%82_%D0%9C%
D1%91%D0%B1%D0%B8%D1%83%D1%81%D0%B0
7. http://arbuz.uz/t_lenta.html
11
5. ПРИЛОЖЕНИЯ
ПРИЛОЖЕНИЕ I
Серебряное кольцо в форме ленты Мёбиуса
Музей истории и техники в Вашингтоне
У входа в Музей
истории и техники в Вашингтоне медленно вращается на пьедестале стальная
лента, закрученная на полвитка. В 1967 году, когда в Бразилии состоялся
международный математический конгресс, его устроители выпустили памятную
марку достоинством в пять сентаво. На ней была изображена лента Мёбиуса. И
монумент высотой более чем в два метра, и крохотная марка – своеобразные
памятники немецкому математику и астроному Август у Фердинанду Мёбиусу,
профессору Лейпцинского университета.
12
Работы Мориса Эшера
Международный символ вторичной переработки отходов
13
Венчики миксера в форме ленты Мёбиуса
Кондитерские изделия
Лента гимнастки
14
Лист Мёбиуса в природе
ПРИЛОЖЕНИЕ II
Фрагмент спирали ДНК