Загадки листа Мёбиуса Гусева Людмила

Загадки
листа Мёбиуса
Исследовательская работа
ученика 4 класса
Купче Андрея
Руководитель: учитель начальных классов
Гусева Людмила Алексеевна
Москва – 2014
Содержание
Введение…………………………........................................................3
1. Историческая справка ……………………………………………4
2. Лист Мёбиуса – начало новой науки топологии.........................5
3. Изготовление листа Мебиуса ………………………………........6
4. Опыты с листом Мебиуса...............................................................9
5. Топологические свойства листа Мёбиуса ……………………..12
6. Применение листа Мёбиуса……………………………………..13
Заключение..........................................................................................18
Список использованной литературы................................................19
2
Введение
В наше время актуально изучение различных свойств и нестандартных применений
необычных фигур.
Слышали ли вы когда – нибудь о листе Мёбиуса? Как его можно изготовить, как он связан
с математикой и где применяется в жизни? В первый раз я узнал о нём, читая книгу В.
Левшина «Нулик - мореход».
Меня очень заинтересовала, заинтриговала эта тема. Я изучил литературу, затем сам
изготовил лист Мебиуса, а потом проводил исследования, ставя опыты, изучая его
необыкновенные свойства.
Занимаясь этой работой, я пришел к выводу, что хотя лист Мёбиуса открыли ещё в XΙX
веке, он был актуален и в XX веке, и в XXΙ. Удивительные свойства листа Мёбиуса
использовались и используются в технике, в физике, в живописи, в архитектуре, в
кулинарии, в оформлении ювелирных изделий и бижутерии. Вдохновлял он на творчество
многих писателей и художников.
Интерес к листу Мёбиуса не угас и в наши дни. В Москве, в сентябре 2006 года состоялся
Фестиваль художественной математики. С большим успехом было принято выступление
профессора из города Токио.
Лента Мёбиуса – бумажная лента, повёрнутая одним концом на пол- оборота (то есть 180
градусов) и склеенная с его другим концом. Миллионы людей во всех частях света даже
не подозревают, что они каждый день используют ленту Мёбиуса.
Цели проекта:
Исследовать поверхность листа Мебиуса и его свойства
Показать, что лист Мёбиуса – объект топологии.
Рассмотреть применение листа Мёбиуса на практике
Задачи:
 Познакомиться с историей возникновения листа Мёбиуса;
 Провести эксперименты и выявить свойства листа Мёбиуса;
 Показать применение листа Мебиуса в различных сферах жизни;
 Провести анкетирование среди одноклассников на знание листа Мёбиуса;
 Познакомить своих одноклассников с листом Мёбиуса и его необычными
свойствами, проведя урок;
 Создать фильм по итогам урока;
 Создать презентацию по данной теме.
3
1. Историческая справка
Август Фердинанд Мёбиус (1790-1868гг)
Таинственный и знаменитый лист Мёбиуса придумал в
1858 году немецкий геометр Август Фердинанд Мёбиус.
Рассказывают, что открыть свой “лист” Мёбиусу
помогла служанка, сшившая неправильно концы
длинной ленты. Семь лет он дожидался рассмотрения
своей работы и, не дождавшись, опубликовал её
результаты.
17 ноября 1790 года в Германии родился мальчик –
здоровый и крепкий малыш. Как и все дети, он сначала
научился ползать, потом ходить, позже говорить. Все
шло и развивалось своим чередом. Школа, университет.
Как-то незаметно для окружающих в 26 лет он стал
профессором, руководителем астрономической
лаборатории в университете. Научные статьи, лекции, работа. Все как у обычного
профессора университета. Рассеянного доброго чудака студенты очень любили. Ему
нравилось удивлять их неожиданными задачками, он назначал лекции, к примеру, на два
часа ночи, чтобы показать ночное небо во всей его красе. Возможно, имя этого человека за
220 лет растворилось в истории, если бы ни одно ненастное утро…
Сценка
На улице шел дождь. Была выкурена трубка, выпита чашка любимого кофе с молоком.
Вид из окна навевал тоску. В кресле сидел мужчина. Мысли были разные, но как-то ничего
особенного не приходило на ум. Только в воздухе витало ощущение, что именно этот день
принесет славу и увековечит имя Августа Фердинанда Мебиуса.
На пороге комнаты появилась любимая жена. Правда, она была в плохом расположении
духа. Правильнее сказать, она была разгневана и требовала немедленно уволить служанку,
которая настолько бездарна, что даже не способна правильно сшить ленту.
Хмуро разглядывая злосчастную ленту, профессор воскликнул: "Ай да, Марта! Девочка не
так уж глупа. Ведь это же односторонняя кольцевая поверхность. У ленточки нет изнанки!”
Открытая поверхность получила имя в честь описавшего ее математика и астронома
Августа Фердинанда Мебиуса
Лента вдохновила на подвиги не одного добряка-профессора. Взял ее на вооружение и цех
парижских портных. Отныне в качестве экзамена для новичка, претендовавшего на
зачисление в цех, было пришивание к подолу юбки тесьмы в форме ленты Мебиуса.
Оценили по достоинству невольное изобретение Марты и учителя. Неугомонным
нерадивым ученикам предлагалось покрасить стороны ленты Мебиуса в разные цвета.
Пыхтя от усердия, школяры проводили за этим занятием немало времени. Удавалось ли им
выполнить задание? (Нет. Лента Мёбиуса – односторонняя поверхность)
4
2. Лента Мёбиуса - начало новой науки топологии
С того момента, как Август Мёбиус обнаружил существование удивительного
одностороннего листа бумаги, начала развиваться целая новая ветвь математики,
называемая топологией. Слово это придумал Иоганн Листинг. Топология в основном
изучает поверхности тел, она находит математическое
родство между предметами, которые, казалось бы, никак
между собой не связаны.
Например, гайку, макаронину и кружку роднит то, что
каждый из этих предметов имеет отверстие, хотя во всех
других отношениях они различны.
Топология – молодая наука и потому озорная. Иначе не
скажешь о тех правилах игры, которые в ней приняты.
Любую фигуру можно сгибать, скручивать, сжимать и растягивать – делать с ней всё что
угодно, только не разрывать и не склеивать. И при этом будет считаться, что ничего не
произошло, все свойства этой фигуры остались. Примером топологических объектов
являются: буквы И и Н, тонкие длинные воздушные шарики.
Долгое время топология воспринималась как наука, далёкая от жизни, призванная лишь
«прославлять человеческий разум». Но в наше время выяснилось, что она имеет самое
непосредственное отношение к объяснению устройства мироздания.
Какие же необычные свойства фигур изучает топология? Это односторонность,
непрерывность, связность, ориентированность.
3. Как изготавливают лист Мёбиуса
Как же изготовить лист Мёбиуса?
Получается лист Мёбиуса очень просто: нужно склеить из бумажной полоски кольцо,
только перед склеиванием повернуть один конец. Если полоска бумаги достаточно
длинная, то такой поворот может произойти случайно.
5
4. Опыты с листом Мебиуса
Каждый из нас имеет представление о том, что такое «поверхность». Поверхность листа
бумаги, поверхность стен класса, поверхность земного шара известны всем. Может ли быть
что - нибудь таинственное в таком обычном понятии? Да, может, примером является лист
Мёбиуса. Чтобы изучить его свойства, я провел несколько опытов самостоятельно, а затем
предложил провести их своим одноклассникам.
Опыт № 1. Мы привыкли к тому, что у всякой поверхности, с которой имеем дело (лист
бумаги, велосипедная или волейбольная камера) – две стороны. Начал красить лист
Мёбиуса, не переворачивая его. Результат. Лист Мёбиуса закрасился полностью. «Если
кто - нибудь вздумает раскрасить только одну сторону поверхности мёбиусовой
ленты, пусть сразу погрузит её всю в ведро с краской», - пишет Рихард Курант и Герберт
Робинс в превосходной книге «Что такое математика?»
Опыт №2. Я поставил точку на одной стороне кольца и чертил непрерывную линию
вдоль него. Линия прошла по обеим сторонам кольца, и карандаш вернулся в начальную
точку, хотя мой карандаш не отрывался от бумаги.
Вывод: граница у листа Мёбиуса одна, а не состоит из двух частей, как у обычного
кольца.
На основании этих опытов мне удалось убедиться, что лист Мёбиуса имеет одну
сторону и является непрерывным.
Опыт № 3. Простое кольцо разрезал посередине вдоль. Получил – 2 кольца, длина
окружности которых осталась прежней, но ширина уменьшилась в 2 раза.
6
Опыт № 4. Взял ленту Мёбиуса. Разделил пополам, разрезая её посередине по линии,
параллельной краю. Вместо двух лент получилась одна длинная лента с двумя
полуоборотами (не лента Мёбиуса).
Опыт № 4. Лист Мёбиуса разрезал по линии, отступив от края на треть.
Получил – 2 кольца: первое с одним перекручиванием, и его длина равна длине исходной
ленты. Второе – с двумя перекручиваниями, и длиной в 2 раза больше исходной ленты.
Кольца оказались сцеплены между собой.
Результаты проведённых опытов и социологического опроса среди
одноклассников.
В анкетировании приняло участие 25 человек, обработав анкету, получил следующие
результаты:
7
Знаете ли вы что такое
Лист Мебиуса»?
Ответили
Нет, не знаю — 24 человек =
96 %.
Да, это — 1 человек = 4 %.
1. Сколько сторон у «листа Мёбиуса»?
Ответили:
Ни одной — 24 человека = 96 %.
одна — 1 человек = 4 %.
2. Что получится, если разрезать лист Мебиуса вдоль посередине?
Не знаю — 25 человек = 100 %.
3. Что получится, если разрезать лист Мебиуса вдоль, отступив от
края треть?
Ответили:
Не знаю — 25 человек = 100 %.
8
4. На двух сторонах листа Мебиуса сидят паук и муха. Сможет ли
паук подкрасться к мухе, не переходя через край ленты?
Ответили:
Нет — 19 человека = 75 %.
Да — 5 человек =19 %.
Не знаю - 1 человек =6%
5. Если начать закрашивать лист Мебиуса с одной стороны, не
переходя через край, то какая часть ленты окажется закрашенной?
— ответили:
Одна — 20 человека = 21 %.
Не знаю — 2 человека =79
Две - 3 человека
Ребята, пока были не знакомы с листом Мёбиуса, отвечали на первые вопросы неверно (от
100% до 80%). Причём, с каждым вопросом и проведённым опытом, количество
правильных ответов увеличилось. Мне удалось заинтересовать данной темой
одноклассников настолько, что в итоге большинство из них отвечало верно (от 75до
100%).
9
5.Топологические свойства листа Мёбиуса
По результатам опытов можно сформулировать следующие топологические свойства листа
Мёбиуса, относящиеся к математическим неожиданностям.
Односторонность
Первое заметное свойство в листе - односторонность, а именно, лист Мёбиуса имеет одну
сторону, а значит и одну грань.
Непрерывность
Непрерывность – на листе Мёбиуса любая точка может быть соединена с любой другой
точкой. Разрывов нет – непрерывность полная.
Ориентированность – свойство, отсутствующее у листа Мёбиуса. Так, если бы человек
смог пропутешествовать по всем изгибам листа Мёбиуса, то тогда он вернулся бы в
исходную точку, но превратился бы в своё зеркальное отражение.
Связность.
Если квадрат разрезать от стороны к стороне, то он распадётся на два отдельных куска
(части). Точно также если разрезать яблоко на две части, но вот чтобы располовинить
кольцо, нужно уже два разреза. И два раза придётся резать бублик. Поэтому любой тополог
скажет, что квадрат и ябло — односвязны, кольцо и оправа от очков — двусвязны,
а всяческие решётки, диски с отверстиями и подобные сложные фигуры — многосвязны.
На основе данных примеров можно сказать, что лист Мёбиуса также двусвязен, так как при
разрезании его вдоль, получим не два кольца, а одну ленту.
Применение листа Мёбиуса
 У входа в Музей истории и техники в Вашингтоне медленно вращается на пьедестале
стальная лента, закрученная на полвитка. В 1967 году, когда в Бразилии состоялся
международный математический конгресс, его устроители выпустили памятную марку
достоинством в пять сентаво. На ней была изображена лента Мёбиуса. И монумент
10
высотой более чем в два метра, и крохотная марка – своеобразные памятники немецкому
математику и астроному Августу Фердинанду Мёбиусу.
Патентная служба зарегистрировала немало изобретений, в основе, которых лежит всё та
же односторонняя поверхность.
Лист Мёбиуса используется во многих изобретениях. Полоса ленточного конвейера,
выполненная в виде листа Мёбиуса, позволяет ему работать дольше в два раза, потому что
вся поверхность листа равномерно изнашивается.
В 1923 году выдан патент изобретателю Ли де Форсу, который
предложил записывать звук на киноленте без смены катушек
сразу с двух сторон.
Придуманы
кассеты
для
магнитофона,
где
лента
перекручивается и склеивается в кольцо, при этом появляется
возможность записывать или считывать информацию сразу с
двух сторон, что увеличивает ёмкость кассеты в два раза и
соответственно время звучания.
Рис. Кинолента
В матричных принтерах красящая лента имела вид листа Мёбиуса для увеличения срока
годности. Это даёт ощутимую экономию.
Рис. Матричный принтер
11
Лист Мёбиуса применяют в велосипедной и волейбольной камере.
Совсем недавно ему нашли другое применение - он
стала играть роль пружины, вот только пружины
особенной. Как известно взведённая пружина
срабатывает в противоположном направлении. Лист
Мёбиуса же, вопреки всем законам, направление
срабатывания не меняет, подобно механизмам с
двумя устойчивыми положениями. Такая пружина
может стать бесценной в заводных игрушках – её
нельзя перекрутить, как обычную – своего рода
вечный двигатель.
В наше время модны снуды (шарфы, но сшитые подругому принципу), которые можно носить, как
объемный воротник если намотать его, или как
воротник — хомутик, а также можно надевать как
жилет.
Лист Мёбиуса используется в кулинарии для того, чтобы создать интересный и
аппетитный вид для булочек, сушек, хвороста. А также при изготовлении инструментов
для приготовления и украшения различных блюд, силовых конструкций (мешалка).
Имеются воплощения этого листа Мёбиуса
в строительстве. Построенный в Англии (в
Лондоне) велодром имеет контуры, которые
12
можно назвать вариацией на тему листа Мёбиуса.
Аттракцион «Американские горки» необыкновенны
тем, что они и похожи в большой степени на ленту
Мёбиуса и имеют такой вид, что у многих людей,
посещавших эти горки, приводили в восторг не
только от быстроты езды, но и как раз от красоты.
В наше время пока действуют нынешние правила
дорожного движения, без светофоров нам не
обойтись. Поэтому дизайнеры предлагают все
новые и новые, все более и более наилучшие
модели этих устройств. Впрочем, здесь главное —
не переусердствовать: авторы некоторых уже
известных нам концептуальных светофоров явно
пожертвовали простотой и понятностью в угоду
эффективности. А вот светофор в виде ленты
Мёбиуса очень прост, аккуратен, но в тоже время
функционален. Здесь есть отдельное большое
световое табло для пешеходов и отдельное — для
водителей. На каждом из них ведется обратный
отсчет времени. А, кроме того, светофор служит одновременно и уличным фонарем.
Невероятно, даже Международный символ переработки представляет собой Лист Мёбиуса.
При помощи ленты Мёбиуса создают целые шедевры.
Лист Мёбиуса служил вдохновением для скульптур и для графического искусства. Эшер
был одним из художников, кто особенно любил его и посвятил несколько своих
литографий этому математическому объекту. Одна из известных показывает муравьев,
ползающих по поверхности листа Мёбиуса.
13
Лист Мёбиуса также постоянно встречается в научной фантастике, например, в рассказе
Артура Кларка «Стена Темноты». Иногда научно – фантастические рассказы
предполагают, что наша Вселенная может быть некоторым обобщенным листом Мёбиуса.
В рассказе автора А.Дж. Дейча, бостонское метро строит новую линию, маршрут которой
становится настолько запутанным, что превращается в лист Мёбиуса, после чего на этой
линии начинают исчезать поезда.
Есть гипотеза, что спираль ДНК сама по себе тоже является фрагментом ленты Мёбиуса, и
только поэтому генетический код так сложен для расшифровки и восприятия. Больше того
– такая структура вполне логично объясняет причину наступления биологической смерти:
спираль замыкается сама на себя, и происходит самоуничтожение.
Также существует гипотеза, что наша Вселенная, вполне вероятно, замкнута в тот же
самый лист Мёбиуса.
Эта теория полностью подтверждает предположение, что
космический корабль, всё время летящий прямо, может вернуться к месту старта. Это
подтверждает
14
неограниченность и конечность Вселенной.
Лист Мёбиуса понравился не только математикам, но и фокусникам
Более 100 лет лист Мёбиуса используется для показа различных фокусов и развлечений.
Удивительные свойства листа демонстрировались даже в цирке, где подвешивались яркие
ленты, склеенные в виде листов Мёбиуса. Фокусник закуривал сигарету и горящим концом
дотрагивался до средней линии каждой ленты, которая была выполнена из калийной
селитры. Огненная дорожка превращала первую ленту в более длинную, а вторую - в две
ленты, продетая одна в другую. (В этом случае фокусник разрезал лист Мёбиуса не
посередине, а на расстоянии в одну треть его ширины).
Я тоже освоил один из фокусов.
Как завязать на шарфе узел, не перекрещивая его концов?
Это можно сделать так. Положим шарф на стол. Скрещиваю руки на груди.
15
Продолжая держать их в таком положении, нагибаюсь к столу и беру поочередно по
одному концу шарфа каждой рукой. После этого развожу руки, а в середине шарфа сам
собой получился узел.
Можно сказать, что мои руки и шарф образовали "трехлистный” узел.
Физики утверждают, что все оптические законы основаны на свойствах листа Мебиуса, в
частности, отражение в зеркале – это своеобразный перенос во времени, краткосрочный,
длящийся сотые доли секунды, ведь мы видим перед собой… правильно, зеркального
своего двойника.
16
Заключение
Лист Мёбиуса - первая односторонняя поверхность, которую открыл учёный. Позже
математики открыли ещё целый ряд односторонних поверхностей. Но эта - самая первая,
положившая начало целому направлению в геометрии, по - прежнему привлекает к себе
внимание учёных, изобретателей, художников и нас учеников. Мне были очень интересны
открытые свойства листа Мёбиуса:
Лист Мебиуса имеет один край, одну сторону.
Один край и одна сторона листа Мебиуса не связаны с его положением в пространстве, не
связаны с понятиями расстояния.
Лист Мёбиуса - топологический объект. Как и любая топологическая фигура, он не меняет
своих свойств, пока его не разрезают, не разрывают или не склеивают его отдельные куски.
Лист Мёбиуса находит многочисленные применения в технике, в физике, в живописи, в
архитектуре, в оформлении ювелирных изделий и изучении свойств Вселенной.
Вдохновлял он на творчество многих писателей и художников.
Чудесные свойства ленты порождают множество научных трудов, изобретений (весьма
полезных и совершенно нереальных), а также множество фантастических рассказов.
Работая над данной темой, я получил удовольствие от полезной и интересной информации
о листе Мёбиуса от того, что смастерил своими руками и поделился этим с ребятами
нашего класса.
Лист Мёбиуса – жёлтая страница,
Односторонний сказочный маршрут,
Летит метелью, песенкой, синицей,
Бульварной лентой склеенный маршрут.
Эх, Мёбиус, спасибо за науку!
Поверхность одинокой стороны
Подобна заколдованному звуку
Вибрирующей неоновой струны.
17
Список используемых источников и литературы
1.
Левшин В. «Нулик-мореход» Москва, ИД «Мещерякова» 2009 г
2.
Гарднер М «Математические чудеса и тайны», Москва, «Наука» 1986г
3.
С. П. Бобров. Волшебный двурог. М., Детская литература., 1967.
4.
Математический цветник Ю.А.Данилова.
5.
Краткий очерк истории математики.
Д. Я. Стройк. Перевод с немецкого и
дополнения И.Б.ПОГРЕБЫССКОГО.
6.
Квант: научно-популярный журнал. – 1975, № 7;1977, № 7.
7.
Смирнов С. Г. Библиотека «Математическое просвещение». – Вып. 27. – М.:
МЦНМО, 2003.
8.
Волошинов А.В., "Математика и искусство" издательство: "Просвещение»
9.
Б. А. Кордемский «Математическая смекалка»: М.: «В - 71», 1957. –
С. 576.
10. «Энциклопедия для детей «МАТЕМАТИКА»» том 11, М.: Аванта +; 2002. С. 687.
11. В. В. Трошин «МАГИЯ ЧИСЕЛ И ФИГУР «Занимательные материалы по
математике»»: М.: «Глобус», 2007. – С
12. «Я познаю мир «Математика»»: Минск: «АСТ – ЛТД», 1998. – С.475
13. Ресурсы:
14. http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9B%D0%B8%D1%81%D1%82_%D0%9C%D1%91
%D0%B1%D0%B8%D1%83%D1%81%D0%B0
15. http://www.genon.ru/GetAnswer.aspx?qid=e2ab6eb5-5fb6-4fc6-b1a4-6ee7961a0dc1
16. www.vokrugsveta.ru
17. http://shkolazhizni.ru/archive/0/n-13219/
18. http://www.univer.omsk.su/omsk/Edu/Math/mmebius.htm
19. http://arbuz.uz/t_lenta.html
20. http://www.frei.ru/golos/books/
21. http://umiranie.chat.ru/sphere.htm
22. http://www.websib.ru/noos/math/listmebiusa/
18