Лента Мебиуса

Государственное бюджетное общеобразовательное учреждение
Самарской области общеобразовательная школа-интернат среднего
(полного) общего образования № 5 с углубленным изучением
отдельных предметов «Образовательный центр «Лидер» города Кинеля
городского округа Кинель Самарской области
Реферат по математике
«Лента Мебиуса»
Автор:
Кочергина Валерия,
учащаяся 9 класса «А»
Научный руководитель:
Маеренкова Вера
Васильевна,
учитель математики
Кинель, 2013
0
Оглавление
Введение ............................................................................................................... 2
I.Основная часть .................................................................................................. 4
1.1.Историческая справка ................................................................................... 4
1.2.Что такое лист Мебиуса? .............................................................................. 5
1.3. Лента Мебиуса - начало новой науки топологии ..................................... 5
1.4. Свойства листа Мебиуса. ............................................................................ 7
1.5.Применение ленты Мебиуса ........................................................................ 8
1.6.История открытия ....................................................................................... 10
II. Практическая часть ...................................................................................... 10
2.1.Охрана труда ................................................................................................ 10
2.2. Изготовление ленты Мебиуса ................................................................... 11
2.3.Проведение эксперимента .......................................................................... 11
2.4. Проведение опроса ..................................................................................... 12
Заключение ........................................................................................................ 15
Список литературы ........................................................................................... 17
Приложение ....................................................................................................... 18
1
Введение
Во многих парках и скверах, и даже в художественных музеях можно
встретить удивительные скульптуры. У входа в Музей истории и техники в
Вашингтоне медленно вращается на пьедестале стальная лента,
закрученная на полвитка. В 1967 году в Бразилии состоялся
международный математический конгресс. Его устроители выпустили
памятную марку достоинством в пять сентаво. На ней была изображена
лента Мебиуса. И монумент высотой более чем в два метра, и крохотная
марка – своеобразные памятники немецкому математику и астроному
Августу Фердинанду Мебиусу, профессору Лейпцигского университета.
Однажды в математическом словаре я увидела интересный заголовок под
названием «Лента Мебиуса», и меня заинтересовала эта тема тем, что у
этой фигуры всего одна сторона. Поэтому я решила узнать об этом больше.
В моей работе рассматривается история возникновения понятия листа
Мебиуса (лента Мебиуса), примеры топологических объектов, некоторых
их свойств, применение листа Мебиуса в жизни, проведение эксперимента
с лентой Мебиуса, проведение социологического опроса.
2
Я решила провести исследование необычности одной из множества
геометрических фигур, названной в честь Августа Фердинанда Мебиуса.
Объектом этого исследования является лента Мебиуса. Выбрав тему, я
убедилась, что она актуальна, так как в последнее столетие большое
влияние на ряд совершенно различных областей знания приобрела новая
ветвь геометрии - топология. В наше время эта наука бурно развивается и
находит применение в различных областях. Да и все мы уже настолько
привыкли к обилию фантастических фильмов, что никого не удивляют
термины "телепортация", "другое измерение", "многомерное
пространство». Но тем временем мы не замечаем то, что окружает нас в
реальном мире. А ведь такие предметы действительно есть. Наиболее
известным из них является "лента Мебиуса". Так же я поставила себе
наиболее важную для меня цель: изучить свойства ленты, познакомиться
со сферами её применения. Для ее реализации я поставила перед собой
ряд задач:
 Самостоятельно найти литературу о листе Мебиуса.
 Изучить историю возникновения ленты Мебиуса.
 Научиться делать петлю Мебиуса
 Экспериментальным путём выяснить свойства листа Мебиуса.
 Показать необычность этой геометрической поверхности.
 Убедиться в том, что лента Мебиуса нашла применение во многих
привычных для нас сферах жизни.
 Провести открытый урок в младших классах.
 Провести тестирование и составить диаграмму.
А так же составила план выполнения выше поставленных задач:
1. Найти и обработать литературу.
2. Сделать ленту Мебиуса.
3. Выяснить свойства ленты Мебиуса .
4. Узнать необычность этой поверхности.
3
5. Убедиться в том, что Лента Мебиуса нашла свое применение в
привычных для нас предметах.
При этом предметом исследования является обучение умению
изготавливать лист Мебиуса, проверять его свойства, находить
применение в жизни. Это ведёт к более глубокому осмыслению
математики как прикладной науки.
Работая над темой, я использовала следующие методы: анализ, синтез,
наблюдение, эксперимент, сравнение и социологический опрос.
Значимость работы: Теоретическая часть состоит в том, чтобы
обобщить мнения ученых и выдвинуть свое личное отношение к данному
предмету. В ходе исследования анализируются особенности применения и
необычность геометрической поверхности. Больший интерес составляет
то, что у этой фигуры только одна поверхность.
А практическая ценность - в том, чтобы доказать гипотезы ученых в виде
экспериментов. А так же продемонстрировать особенности этой фигуры в
начальной школе.
Исходя из выше сказанного, я определили объект исследованияодносторонние поверхности.
I. Основная часть
1.1.
Историческая справка.
Таинственный и знаменитый лист Мёбиуса (иногда говорят: «лента
Мебиуса») придумал в 1858 г. немецкий геометр Август Фердинанд
Мебиус (1790-1868), ученик «короля математиков» Гаусса [4] .
Мебиус был первоначально астрономом, как Гаусс и многие другие из тех,
кому математика была обязана своим развитием. В те времена занятия
математикой не встречали поддержки, а астрономия давала достаточно
денег, чтобы не думать о них, и оставляла время для собственных
размышлений.
4
И Мебиус стал одним из крупнейших геометров XIX века. В возрасте 68
лет ему удалось сделать открытие поразительной красоты. Это открытие
односторонних поверхностей, одна из которых - лист Мебиуса.
В 1858 году Август Фердинанд Мебиус послал в Парижскую академию
наук работу, включавшую сведения об этом листе. Семь лет он дожидался
рассмотрения своей работы и, не дождавшись, опубликовал ее результаты.
Одновременно с Мебиусом изобрел этот лист и другой ученик К.Ф. Гаусса
– Иоганн Бенедикт Листинг (1808 – 1882), профессор Геттингенского
университета. Свою работу он опубликовал на три года раньше, чем
Мёбиус, – в 1862 году.
Что же поразило этих двух немецких профессоров? А то, что у листа
Мебиуса всего одна сторона. Мы же привыкли к тому, что у всякой
поверхности, с которой мы имеем дело (лист бумаги, велосипедная или
волейбольная камера), – две стороны[5].
1.2.Что такое лист Мебиуса?
Лист Мебиуса - это простейшая односторонняя поверхность с краем.
Попасть из одной точки этой поверхности в любую другую можно, не
пересекая края. Всякая замкнутая поверхность, лежащая в трёхмерном
пространстве, разделяет его на две части - ограниченную «внутренность» и
неограниченную «внешность», подобно тому, как замкнутая кривая
разделяет плоскость на две части.
Самое же удивительное, пожалуй, то, что я смогу её сделать своими
руками и это совсем несложно. Надо лишь взять полоску бумаги и для
ясности обозначим углы с одной стороны ленты А и В, а с другой - А и В.
Далее склеить её концы, предварительно повернув один из них на 1800. И
тогда в ваших руках окажется лист, или лента Мёбиуса.
1.3. Лента Мебиуса - начало новой науки топологии
5
С того момента, как немецкий математик А. Ф. Мебиус обнаружил
существование удивительного одностороннего листа бумаги, начала
развиваться целая новая ветвь математики, называемая топологией [6].
Термин «топология» может быть отнесён к двум разделам математики.
Одну топологию, родоначальником которой был Пуанкаре, долгое время
называли комбинаторной. За другой, у истоков которой стоял немецкий
учёный Георг Кантор, закрепилось название общей или теоретикомножественной.
Комбинаторная топология – раздел геометрии. «Геометрия» - слово
греческое, в переводе на русский язык означает «землемерие», («гео» - по гречески земля, а «метрео» - мерить) изучает свойства фигур. Как и любая
наука геометрия делится на разделы.
1. Планиметрия (лат. слово, «планум» - поверхность + метрия), раздел
геометрии, изучающий свойства фигур на плоскости (треугольник,
квадрат, круг, окружность и т.д.)
2. Стереометрия (греч, «стереос» - пространство + метрия) - раздел
геометрии, изучающий свойства фигур в пространстве (шар, куб,
параллелепипед и т.д.)
З. Топология (греч. «топос» - место, местность + логия) является одним из
самых «молодых» разделов современной геометрии, в котором изучаются
свойства таких фигур, которые не меняются, если их гнуть, растягивать,
сжимать, но не склеивать и не рвать, т. е не изменяются при деформациях.
Примером топологических объектов являются: буквы И и Н, тонкие
длинные воздушные шарики.
Комбинаторная топология изучает свойства геометрических фигур,
остающиеся неизменными при взаимно однозначных и непрерывных
отображениях. Долгое время топология воспринималась как наука, далёкая
от жизни, призванная лишь «прославлять человеческий разум». Но в наше
время выяснилось, что она имеет самое непосредственное отношение к
объяснению устройства мироздания.
6
Общая топология примыкает к теории множеств и лежит в основании
математики. Это аксиоматическая теория, призванная исследовать такие
понятия, как «предел», «сходимость», «непрерывность» и т. п. Основы
аксиоматики топологического пространства были заложены Феликсом
Хаусдорфом и завершены российским математиком Павлом Сергеевичем
Александровым [3].
1.4. Свойства листа Мебиуса.
Рассмотрим свойства этого топологического объекта [6].
Односторонность
В своей работе «Об объёме многогранников» Август Мебиус описал
геометрическую поверхность - лист Мебиуса, обладающую совершенно
невероятным свойством: она имеет только одну сторону! И я наглядно
могу убедиться, что у этой ленты Мебиуса действительно всего одна
сторона. Попробую закрасить перекрученную ленту в два цвета – одним с
внутренней стороны, а другим с внешней. Чтобы я не придумывала, мне
это не удастся. Но зато муравью, ползущему по листу Мебиуса, не надо
переползать через край, чтобы попасть на противоположную сторону, как
это видно на гравюре художника Маурица Эшера «Лента Мебиуса II».
Непрерывность
Это ещё одно топологическое свойство. Если сравнить схему самолётных
маршрутов и географическую карту, то убедитесь, что масштаб
Аэрофлотом далеко не выдержан – скажем, Свердловск может оказаться на
полпути от Москвы до Владивостока. И всё-таки что-то общее между
географической картой есть. Москва действительно связана со
Свердловском, а Свердловск – с Владивостоком. И поэтому тополог может
как угодно деформировать карту, лишь бы точки, ранее бывшие соседями,
оставались одна подле другой и дальше. А значит, с топологической точки
зрения круг неотличим от квадрата или треугольника, потому что их легко
преобразовать один в другой, не нарушая непрерывности. Взгляните с этой
7
точки зрения на нашего старого знакомца и увидите: на листе Мебиуса
любая точка может быть соединена с любой другой точкой и при этом
муравью на гравюре Эшера ни разу не придётся переползать через край
«ленты». Разрывов нет – непрерывность полная.
Связность.
Если квадрат полоснуть бритвой от стороны к стороне, то он, естественно,
распадётся на два отдельных куска. Точно также любой удар ножом
разделит яблоко на две части. Но вот чтобы располовинить кольцо, нужно
уже два разреза. И два раза придётся резать бублик, если вы хотите
угостить им двух друзей. А телефонный диск можно десять раз рассечь
ножом от одной замкнутой кривой до другой, а он останется единым
целым. Поэтому любой тополог скажет, что квадрат и ромашка –
односвязны, кольцо и оправа от очков – двусвязны, а всяческие решётки,
диски с отверстиями и подобные сложные фигуры – многосвязны.
А лист Мебиуса? Конечно двусвязен, т.к. если разрезать его вдоль, он
превратится не в два отдельных кольца, а в одну целую ленту.
Ориентированность – свойство, отсутствующее у листа Мебиуса. Так,
если бы человек смог пропутешествовать по всем изгибам листа Мебиуса,
то тогда он вернулся бы в исходную точку, но превратился бы в своё
зеркальное отражение
«Хроматический номер» - это максимальное число областей, которые
можно нарисовать на поверхности так, чтобы каждая из них имела общую
границу со всеми другими. Хроматический номер листа Мебиуса равен
шести.
1.5.Применение ленты Мебиуса [2]
 Имеются
материальные воплощения простого листа Мебиуса.
Недавно построенный в Лондоне Олимпийский велодром имеет
контуры, которые можно назвать вариацией на тему листа Мебиуса
(приложение 1).
8
 Существуют технические применения ленты Мебиуса. Полоса
ленточного конвейера выполняется в виде ленты Мебиуса, что
позволяет ему работать дольше, потому что вся поверхность ленты
изнашивается равномерно (приложение 2).
 Благодаря ленте Мебиуса появился «Механизм управления», на
который получено Авторское свидетельство. Механизм управления
можно применить в детских заводных игрушках и затворе фото или кинокамеры (приложение 3).
 Международный символ переработки представляет собой Лист
Мебиуса (приложение 4).
 Лист Мебиуса служил вдохновением для скульптур, и для
графического искусства Лента Мебиуса также распространена в
художественной литературе и дорожных развязках (приложение 5).
 В 1967 году, когда в Бразилии состоялся международный
математический конгресс, его устроители выпустили памятную
марку достоинством в пять сентаво. На ней была изображена лента
Мебиуса (приложение 6).
 Лист Мебиуса, разрезанный по средней линии, превращается в
поверхность, гомеоморфную поверхности цилиндра. В теории чисел
и алгебре известны обратные формулы Мебиуса (приложение 7).
 Также в системах записи на непрерывную плёнку применялись
ленты Мебиуса.
 В матричных принтерах красящая лента имела вид листа Мебиуса
для увеличения срока годности. Это дает ощутимую экономию.
Конечно же, главная ценность листа Мебиуса, представленного в моей
работе, состоит в том, что он дал толчок новым исследованиям.
Математические исследования продолжаются и в наши дни. Именно
поэтому его часто считают символом современной математики и
9
изображают на различных эмблемах и значках, как, например, на значке
механико-математического факультета Московского университета.
1.6.История открытия
Гипотеза №1
Рассказывают, что открыть свой «лист Мебиуса» помогла служанка,
сшившая неправильно концы ленты. Как бы то ни было, но в 1858 году
Лейпцигский профессор Август Фердинанд Мебиус, ученик знаменитого
К.Ф. Гаусса, астроном и геометр, послал в Парижскую академию наук
работу, включающую сведения об этом листе. Семь лет он дожидался
рассмотрения своей работы, и, не дождавшись, опубликовал её результаты
в 1858 году [1].
У листа Мебиуса всего одна сторона, и это поразило немецких
профессоров, потому что каждая поверхность имеет две стороны.
Гипотеза №2
В научных источниках говорится, что Август Фердинанд Мебиус взял
однажды бумажную ленту, повернул один её конец на пол-оборота (то есть
на 1800), а потом склеил его с другим концом. То ли от скуки он это
сделал, то ли научного интереса ради - теперь уже неизвестно (приложение
8) [1].
II. Практическая часть
2.1.Охрана труда
Техника безопасности при работе с ножницами
1) Ножницы хранить в определенном месте - в подставке или рабочей
коробке
2) Класть ножницы сомкнутыми лезвиями от работающего
3) Работать хорошо отрегулированными и заточенными ножницами
4) Следить за движением и положением лезвий во время работы
10
5) Использовать ножницы только по назначению
Для изготовления ленты Мебиуса понадобится:
 Лист бумаги или картона
 Клей
 Ножницы
Подготовка рабочего места
1) Убрать со стола лишние материалы
2) Приготовить все выше перечисленные материалы
3) Убедиться в том, что рабочее место достаточно освещено
2.2. Изготовление ленты Мебиуса
1. Возьмите вытянутую полоску бумаги прямоугольной формы ABCD
2. Сверните лист таким образом, чтобы вершина A совпала с вершиной С,
а вершина B совпала с вершиной D. Склейте концы листа, получившаяся
поверхность будет листом Мебиуса (приложение 9).
2.3.Проведение эксперимента
1.Что получится, если начать закрашивать лист Мебиуса с одной
стороны, не переходя через край, какая часть ленты окажется
закрашенной?
Опыт № 1
Исходный материал – лист Мебиуса.
Постепенно окрашиваем его в какой-нибудь цвет, начиная с любого места.
Результат окрашивания – весь лист полностью окрашен
Это подтверждение того, что лист Мебиуса односторонняя поверхность.
2.Что произойдёт с обычным кольцом, если его разрезать посередине?
Опыт № 2.
Исходный материал – обычное кольцо, склеенное из полоски бумаги.
Результат разрезания кольца посередине – два отдельных обычных
Кольца.
11
Свойства – длина окружности та же, но кольца в два раза уже исходного.
3. А если лист Мёбиуса разрезать посередине (то есть на 2 полоски)?
Опыт № 3.
Исходный материал – лист Мебиуса.
Результат разрезания кольца посередине – одно кольцо
Свойства – кольцо перекручено дважды, оно вдвое длиннее, но в два раза
уже (приложения 10,11).
4. Каков результат разрезания листа Мебиуса на 3 полоски? 5
полосок?
Опыт № 4.
Исходный материал - на обеих сторонах ленты на равном расстоянии от
краев проводим по две пунктирные линии. Склеиваем лист Мебиуса.
Разрезаем по пунктирным линиям (на 3 полоски). Результат разрезания –
получается 2 кольца. Одно из них вдвое длиннее первоначальной ленты и
вдвое перекручено. Оно получилось из краев исходной ленты. Другое лист Мебиуса - состоит из центральной части исходного листа Мебиуса
(приложения 12,13).
Опыт №5.
Исходный материал – кольцо с двумя перекручиваниями.
Результат разрезания кольца посередине – два кольца, соединенные между
собой.
Свойства – кольца перекручены один раз (лист Мебиуса), длина
окружности та же, но они в два раза уже.
Совершенно неожиданные вещи происходят с бумажной полоской под
названием лист Мебиуса. В дальнейшем я продолжу опыты с
перекручиванием колец и двойными кольцами. (Двойные кольца - это
когда склеивается обычное кольцо и Мебиуса).
2.4. Проведение опроса
12
Я провела беседу в младших классах с применением практического
примера (эксперимент №3, №4)
После проведения беседы был проведен опрос, состоящий из 4-х вопросов,
опрос проводился анонимно.
1. Слышали вы ранее о ленте Мебиуса?
1) Да 2)нет
2. Заинтересовала ли вас эта тема?
1) Да 2)нет
3. Достаточно ли для вас раскрыли эту тему?
1) Да
2)нет
4. Видели ли вы когда-либо памятник ленте Мебиуса?
Да
1)
2)нет
Результаты опроса
Вопрос №1
Слышали вы ранее о ленте Мебиуса?
Да
Нет
25
20
15
10
5
0
нет
да
Вопрос №2
Заинтересовала ли вас эта
тема?
13
Вопрос №3
Достаточно ли для вас раскрыли эту тему?
Вопрос № 4
Видели ли вы когда-либо памятник ленте Мебиуса?
14
Результат тестирования
Всего в опросе участвовало 25 учащихся 3- го класса.
Для большинства участников эта тема оказалась новой и интересной. Во
время беседы дети были заинтересованы, а так же активно старались
участвовать в творческих экспериментах. На этих основаниях можно
полагать, что беседа прошла удачно.
Заключение
Занимаясь этой работой, я пришла к выводу, что хотя лист Мёбиуса
открыли ещё в XΙX веке, он был актуален и в XX веке, и в XXΙ.
Удивительные свойства листа Мёбиуса использовались и используются в
кулинарии, в технике, в физике, в живописи, в архитектуре, в оформлении
ювелирных изделий и бижутерии. Вдохновлял он на творчество многих
писателей и художников.
Интерес к листу Мёбиуса не угас и в наши дни. В Москве, в сентябре 2006
года состоялся Фестиваль художественной математики. С большим
успехом было принято выступление профессора из города Токио.
Выводы:
 прочитав определённую литературу, я познакомилась с
геометрической поверхностью - лентой Мебиуса;
 анализируя собранный материал, я увидела необычность этой ленты;
15
 экспериментальным путём я показала, что лист Мебиуса является
односторонней поверхностью, что необычно для трехмерной
фигуры;
 пыталась убедить, что лента Мебиуса нашла применение во многих
привычных для нас сферах жизни;
 считаю правильным, что лист Мебиуса считают символом
современной математики, так как именно он дал толчок новым
математическим исследованиям;
 проведя беседу в начальных классах, я поняла, что эта тема
актуальна.
16
Список литературы
1. Кордемский Б.А. Топологические опыты своими руками, «Квант»
№3, 1974,стр73.
2. Леман И. Увлекательная математика. М.: Знание, 1985.
3. Лэнгдон Н., Снейп Ч. «С математикой в путь» Издательство
«Педагогика», 1987 г., с. 42-43
Интернет – ресурсы:
4. http://www.calend.ru/person/2637
5. http://www.websib.ru/noos/math/listmebiusa/index.html.
6. http://sola.narod.ru/top.htm
17
Приложение
Приложение 1
Приложение № 2
18
Приложение №3
Приложение №4
19
Приложение № 5
Приложение №6
20
Приложение №7
21
Приложение №8
Приложение №9
22
Приложение №10
Приложение №11
23
Приложение №12
Приложение №13
24