Управление вращением спутника по критерию расхода

1
УДК 531.01
Л.К. Бабаджанянц, И.Ю. Потоцкая, Ю.Ю. Пупышева
УПРАВЛЕНИЕ ВРАЩЕНИЕМ СПУТНИКА
ПО КРИТЕРИЮ РАСХОДА НА КРУГОВОЙ ОРБИТЕ
1. Линейная задача управления по «расходу». Постановки задач оптимального
управления по критерию расхода топлива оказались сложными даже для линейных автономных систем [1]. В работах [2], [3], посвященных гашению колебаний около центра масс спутника Земли, предложена новая постановка таких задач. В работах [4], [9]
разработаны алгоритмы решения в этой постановке линейных задач управления по расходу. Ниже, во втором разделе, они приводятся в форме теорем. В третьем разделе выводятся формулы необходимые для применения этих теорем к решению задачи гашения колебаний спутника около любого из 24 известных ([6],[7],[10],[11]) положений относительного равновесия на круговой орбите.
Рассмотрим движение механической системы, описываемое задачей Коши:
(1.1)
d x d t  Ax  U t  , x0  x0 ,
где xt    x1 ,..., x n   R n , x0  x10 ,..., xn 0   R n , U t   u1 ,..., u n   R n , A – постоянная
матрица размерности ( n  n ), а компоненты u k управления U t  предполагаются кусочно-постоянными функциями времени с конечным числом точек переключения, т.е.
~ 2q
2r
i 1
i
~
(1.2)
u k t   hk i 1k  1 H t  t ik  hk i 1k  1 H t  ti k .




Два слагаемых в (1.2) представляют положительные и отрицательные ступени ( rk –
число положительных, а q k – число отрицательных ступеней компоненты u k ). Величи~
ны t ik , ti k  0, T  – точки переключения управления, причем T − последняя точка пере~
ключения. Коэффициенты hk , hk  0 постоянны, а H t  – функция Хевисайда.
При таком управлении решение xt  задачи (1.1) является набором частотных
компонент x , t   x1  , t ,, xn  , t  , отвечающих тем или иным собственным значениям  матрицы A . Допустимым считается управление U вида (1.2), которое в момент
T обращает в нуль несколько избранных частотных компонент решения. Обозначая
x  t   x1 , t ,, xm , t  , запишем это условие:
набор избранных компонент символом ~
~
x T   0 . В качестве оптимизируемого функционала рассматривается величина
J  k 1  u k   d ,
n
T
0
(1.3)
которая называется функционалом расхода или просто расходом. Постановка задачи
~
следующая: при заданных hk , hk , rk , qk для всех k  1,  , n , найти точки переключения
~
t ik , ti k  0, T  допустимого управления (включая и точку T ), удовлетворяющие необходимым условиям экстремума функционала расхода (1.3).
Пусть Y – подматрица размерности m m жордановой формы матрицы A , соответствующая ее собственным значениям 1 ,, m – диагональна. Пусть постоянная
комплексная матрица B такова, что B 1 AB  diag Y , Z , где Z – некоторая матрица
2
размерности n  m  n  m. После линейной замены x  B задача (1.1) перейдет в
задачу (состоящую из двух задач Коши)
(1.4)
y  Y y  v, y0  y0 , z  Z z  w, z 0  z 0 ,
где  y, z    y1 , y 2 ,, y m , z1 ,..., z nm     1 ,...,  n  .
В формулируемых далее теоремах, при выполнении тех или иных условий вида
~
x T   0 , предлагаются формулы и/или уравнения для нахождения возможных точек
переключения управления вида (1.2), полученных как следствие необходимых условий
экстремума функционала расхода (1.3). В этих теоремах мы используем обозначения:
y 0  Dx 0   y1, 0 , , y m, 0  , y j ,0  y j ,0  i y j ,0 , z 0  D z x0  z1, 0 ,..., z n  m, 0  ,
v  DU  v1 ,, vm  , w  DzU  w1 ,..., wnm  , v, w  B 1U , d j , i  d j , i  i d j , i , (1.5)
 d1,1  d1,n 
 d1,1  d1,n 
 d m 1,1  d m 1,n 




D
.



, D
, Dz  
B  D   






 z   d n,1  d n, n 
 d m,1  d m, n 
 d n ,1  d n ,n 




Теоремы не содержат условий существования точек переключения управлений,
определяемых этими формулами и/или уравнениями. Такие вопросы должны прорабатываться при написании соответствующих вычислительных алгоритмов и программ.
Теорема 1. Пусть управляемое движение определяется задачей (1.1), а   0 – вещественное некратное собственное значение матрицы A . Тогда, если допустимым считается управление (1.2), обращающее в нуль величину ~
x T   x , T  , то соответствующее необходимым условиям экстремума функционала (1.3) управление таково,
что каждая из его компонент может состоять только из одной ступени – положительной или отрицательной, а точки ее переключения определяются формулами:
t1k  0, t 2k   1 ln  y 0  k  , если y 0 d1,k  0 и t 2k  t1k ,
(1.6)
~
~
~
~k
~
(1.7)
t1  0, t2k   1 ln y0  k , если y 0 d1,k  0 и t2 k  t1 k ,

1

1
n
n ~
~
где  k  d1,k k 1 hk ,  k  d1,k k 1 hk .
1






Теорема 2. Пусть управляемое движение определяется задачей (1.1), а  i  – пара
мнимых некратных собственных значений матрицы А. Тогда, если допустимое управление вида (1.2) обращает в нуль величину ~
x T   xi , T , x i , T  , то его точки пеk ~k
реключения t i , ti , соответствующие необходимым условиям экстремума функционала (1.3), определяются следующими формулами:
t ik  ~
ti k   1  2 1 l , t ik  t ik 2  2 1  2 1 l ,
(1.8)
t  tk   k , t  tk   k , tk
k
1
k
2
 k   1 arcsin
 y1, 0
где  k  y1,0
2
d1,k
2
2
y  d  y d     m ,
  arctg
y  d   y d 
1   y   /     2 l ,
1
2

1, 0

1, k
1, 0
1, k
k

1, k

1, k
k
2
1, 0
k
~
   2k 1 km hk rk  hk q k
n

1, 0

1, 0


2 k   y1, 0  ,
2
,  kmk   1 k sign y1,0 d1,k  y1,0 d1,k , l  Z , mk  0,1, .
m
(1.9)
(1.10)
(1.11)
3
Замечание. Величина 2 k – это ширина ступени управления u k , а t k – ее средний момент. Из уравнения (1.11) можно найти  и, воспользовавшись формулами (1.9) –
(1.10) при каждом k , вычислить точки переключения t1k , t 2k , что дает возможность
найти все остальные точки переключения управления при этом k по формулам (1.8).
Теорема 3. Пусть управляемое движение определяется задачей (1.1), а   i  – комплексные некратные собственные значения матрицы A и  2   2  0 . Тогда, если допустимое управление (1.2) обращает в нуль величину ~
x T   x  i , T , x  i , T  ,
k ~k
то его точки переключения t , t , соответствующие необходимым условиям экстреi
i
мума функционала (1.3), определяются следующими формулами:
~
 ik   tik   k ,  i k   ~
ti k   k ,
~k
k
~
Bk  e i sin  ik ,  Bk  e i sin  i k ,


sin  k   d1,k  pd1,k q 1 d1,k
1
,  Bk  S k ,

K1  y1,0    p   2   2

1
(1.12)
(1.13)
S k  e k q 1 d1,k
1
,
q 1 k 1 ek Qk d1,k  0 ,
n
(1.14)
(1.15)
   /  , q  1  p 2 , p  y1,0   y1,0 y1,0  y1,0   ,
~k
k
~ 2q
2r
~
i 1
i
Qk  hk i 1k  1 e i cos  ik  hk i 1k  1 e i cos i k .
1
где
(1.16)
Замечание. Из уравнений (1.13) и (1.15) можно численно найти Bk и все значения
~
 ik , i k и, зная их, по формулам (1.14), (1.12) получить искомые значения t ik , ~ti k и коэффициент  .
Теорема 4 . Пусть управляемое движение определяется задачей (1.1), а  j  i  j ,
j  1, 3, 5,, 2m  1 , 2  2m  n – комплексные некратные собственные значения
матрицы А. Тогда, если допустимым считается управление (1.2), обращающее в нуль
величину ~
x T   x1  i 1 , T , x1  i 1 , T ,, x 2m1  i  2 m1 , T  , то точки переклю~
чения t ik , ti k , соответствующие необходимым условиям экстремума функционала
(1.3), находятся из следующей системы уравнений:

 
   d 
     d
K j  y j ,0   2j   2j
K j 1  y j ,0
2
j
k 1
n
k 1
F jCk  hk i 1k  1 e
 j tik
F jSk  hk i 1k  1 e
 j tik
2r
 
 
2 m 1
j 1
j
i 1
i 1

cos 
 
d   F  
 
F   0 , (1.17)
  j d j ,k F jCk   j d j ,k   j d j ,k F jSk  0 ,
n
2 1
j
2r
j ,k
d j ,k   j d j ,k jSk
~
~ 2q
i  t k
~
cos  j t ik  hk i 1k  1 e j i cos  j ti k ,
~
~ 2q
i  t k
sin  j t ik  hk i 1k  1 e j i sin  j ~
ti k ,
j

j ,k
j

 
j ,k
k
jC
j


~
d  sin  t  e
j
d j ,k   j 1 d j ,k cos  j t ik   j d j ,k   j 1 d j ,k sin  j t ik e
j
d j ,k   j 1 d j ,k
2 m 1
j 1
1
~k
t
j i
j
d j ,k   j 1
k
j ,k
j i
 j tik
(1.18)
 1 ,
~
 j ti k
 1 . (1.19)
Замечание. Если известны все коэффициенты 1 ,,  2 m , то из уравнения (1.19)
можно численно найти все точки переключения, то есть можно считать заданными
~
функции t ik  1 ,,  2 m  , ti k  1 ,,  2 m  . Если подставить эти функции в уравнения
4
(1.17), то последние становятся системой 2m уравнений относительно 2m неизвестных 1 ,,  2 m , которую можно решать каким-либо численным методом.
2. Управление вращением спутника по критерию расхода.
2.1 Уравнения движения спутника около центра масс. Введем в рассмотрение системы координат, связанные с движением спутника относительно своего центра масс
O , в гравитационном поле Земли (см. рис. 1).
x
 
 
 
Рисунок 1.
y z
   
   
   
Рисунок 2.
Начало орбитальной системы координат O совпадает с центром масс O
спутника. Ось O направлена вдоль радиус-вектора, соединяющего центры масс Земли и спутника. Ось O направлена по трансверсали орбиты, а ось O – по нормали к
плоскости орбиты. Система Oxyz жестко скреплена со спутником и ее оси x, y, z
направлены по его главным центральным осям инерции, соответствующим моментам
инерции I 1 , I 2 , I 3 , причем I 2  I1  I 3 . На рис. 1 отмечены углы:  – угол между проекцией оси O z на плоскость O и осью O ;  – угол между осью O z и плоскостью
O ;  – угол, образуемый осью O x с плоскостью O z . Системы Oxyz и O
совмещаются тремя последовательными поворотами на углы  ,  ,  вокруг осей
O , O , O z . Взаимное положение этих систем определяют таблицей направляющих косинусов  ,,   (рис. 2). Направляющие косинусы обычно задают как функции углов
 ,  ,  при ,  0, 2 ,    2 , 3 2 [6], или    0, 2  [10], или в каких-то других
областях изменения этих углов. Мы используем четыре различных варианта таких областей представленных в таблице 1.
Если размеры спутника малы по сравнению с расстоянием R между центрами
масс Земли и спутника, то, используя соответствующие аппроксимации для силовой
функции и моментов, определяющих действие на спутник гравитационного поля Зем
ли, можно получить следующие уравнения управляемого движения ИСЗ относительно
центра масс, которые состоят из динамических уравнений Эйлера и кинематических
соотношений Пуассона [6]:
5
I1 dp dt  I 3  I 2  qr  3 R 3 I 3  I 2     u p ,
I 2 dq dt  I1  I 3  pr  3 R 3 I1  I 3     uq ,
I 3 dr dt  I 2  I 1  pq  3 R 3 I 2  I 1     u r ,
(2.1)
d d t   r   q   , d  d t   p   r   , d  d t   q   p   ,
d d t   r   q   , d  d t   p   r   , d  d t   q   p   ,
d d t   r   q, d  d t   p   r, d  d t   q   p,
где p, q, r – проекции абсолютной угловой скорости вращения спутника соответственно на оси O x, O y, O z ;  – величина угловой скорости движения центра масс по орбите. Далее будем считать, что орбита спутника круговая.
,  0, 2 ,    2 , 3 2 ,
  cos  cos  ;     cos  sin  ;    sin  ;
  cos sin   sin  sin  cos  ;    cos cos   sin  sin  sin  ;     sin  cos  ;
  sin  sin   cos sin  cos  ;    sin  cos   cos sin  sin  ;    cos cos  ;
,  0, 2 ,    4 , 5 4,
  12 cos cos   sin  cos  ;     12 cos sin   sin  sin  ;    12 sin   cos ;
  cos sin  
1
2
   cos cos  
1
2
   
  sin  sin  
   sin  cos  
1
2
1
2
sin  cos  cos  
1
2
sin  cos  sin  
sin  sin  cos  ;
1
2
sin  sin  sin  ;
sin  cos   sin  sin  ;
cos cos  cos  
cos cos  sin  
1
2
1
2
1
2
cos sin  cos  ;
cos sin  sin  ;   
1
2
cos cos   cos sin  .
,  0, 2 ,   0,   ,
  sin  cos  ;     sin  sin  ;     cos  ;
  cos sin   sin  cos  cos  ;    cos cos   sin  cos  sin  ;     sin  sin  ;
  sin  sin   cos cos  cos  ;    sin  cos   cos cos  sin  ;    cos sin  ;
,  0, 2 ,     4 , 3 4
  12  cos cos   sin  cos  ;
   12 cos sin   sin  sin  ;     12 sin   cos ;
  cos sin   12 sin  cos  cos   12 sin  sin  cos  ;
   cos cos  
1
2
sin  cos  sin  
  sin  sin  
1
2
sin  sin  sin  ;   
cos cos  cos  
   sin  cos  
  
1
2
1
2
1
2
1
2
cos cos  sin  
1
2
sin  cos   sin  sin  ;
cos sin  cos  ;
1
2
cos sin  sin  ;
 cos cos  cos sin  .
Таблица 1. Четыре варианта таблицы направляющих косинусов.
6
2.2 Положения относительного равновесия спутника на круговой орбите. В случае
круговой орбиты (  R 3   2  const ) существует относительное равновесие, при котором спутник все время одной стороной "смотрит" на Землю (например, случай Луны,
которая приблизительно всегда обращена одной стороной к Земле). Всего существует
24 геометрически различных положений относительного равновесия спутника на орбите [7, 10 – 11]. При рассмотрении движения спутника в окрестности положения относительного равновесия удобно ввести относительные угловые скорости:
p  p    , q  q    , r  r    .
(2.2)
k
n
p, q , r
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4
1
1
4
3
2
1
4
3
2
1
4
3
2
0, 0, 0
0, 0, 0
0, 0, 0
0, 0, 0
0, 0, 0
0, 0, 0
0, 0, 0
0, 0, 0
0, 0, 0
0, 0, 0
0, 0, 0
0, 0, 0
0, 0, 0
0, 0, 0
0, 0, 0
0, 0, 0
0, 0, 0
0, 0, 0
0, 0, 0
0, 0, 0
0, 0, 0
0, 0, 0
0, 0, 0
0, 0, 0
  7
   8
    9
  10
   11
    12
  4
   5
    6
1
0
0
0
1
0
0
0
1
1
0
0
0
−1
0
0
0
−1
1
−1
0
0
0
1
0
0
0
−1
−1
0
0
0
−1
0
0
0
1
0
1
0
0
0
1
1
0
0
0
1
0
0
0
−1
−1
0
0
2
0
−1
0
0
0
1
−1
0
0
0
−1
0
0
0
−1
1
0
0
0
0
1
1
0
0
0
1
0
0
0
1
−1
0
0
0
−1
0
3
0
0
−1
1
0
0
0
−1
0
0
0
−1
−1
0
0
0
1
0
1
0
0
0
0
1
0
−1
0
1
0
0
0
0
−1
0
1
0
4
−1
0
0
0
0
1
0
1
0
−1
0
0
0
0
−1
0
−1
0
0
1
0
1
0
0
0
0
−1
0
1
0
−1
0
0
0
0
1
5
0
−1
0
1
0
0
0
0
1
0
−1
0
−1
0
0
0
0
−1
0
0
1
0
1
0
−1
0
0
0
0
1
0
−1
0
1
0
0
6
0
0
−1
0
1
0
1
0
0
0
0
−1
0
−1
0
−1
0
0
Таблица 2. Положения равновесия спутника на круговой орбите.
Пояснение: положению равновесия типа «Луна-Земля» соответствует первая строка этой таблицы
( k  1, n  2 ), в которой    7  1 ,     8  0 ,     9  0 ,    10  0 ,     11  1 ,     12  0 ,
   4  0 ,     5  0 ,     6  1 , остальные строки расшифровываются аналогично.
Все 24 положения относительного равновесия спутника на круговой орбите представлены здесь при помощи таблиц 2, 3 и рисунка 3.
2.3 Линеаризованные уравнения вращательного движения на круговой орбите.
Введем новые переменные [4, 8]:
x1  p, x2  q , x3  r , x4     4 , x5      5 , x6      6 ,
(2.3)
x7     7 , x8      8 , x9      9 , x10     10 , x11      11 , x12      12 ,
7
где величины  4 ,  5 ,  6 ,  7 ,  8 ,  9 ,  10 ,  11 ,  12 обозначают значение направляющих косинусов  ,  ,  ,  ,  ,  ,  ,  ,   в положении соответствующего равновесия (табл. 2).
k
1
2
3
4
5
6
n



промежуток изменения 
2
0
0
 2
3

0
 2
4


 2
1
0

2
 2
 2
 2

0,  
0,  
0,  
0,  
3
3 2
 2

4
 2
3 2

1
3 2
3 2

2
3 2

3 4
3
3 2
0
3 4
4
 2

 4
1
 2
0
1
 2

 4

4
3 2


3
 2
0
2
3 2
0


1

3 2
 2
4
0
3 2
 2
3
0
 2
 2
2

 2
 2
1
3 2
 2
3 4
4
3 2
3 2
3 4
3
 2
 2
 4
2
 2
3 2
 4
 2 , 3 2
 2 , 3 2
 2 , 3 2
 2 , 3 2
 4 , 5  4
 4 , 5  4
  4 , 3 4
  4 , 3 4
 2 , 3 2
 2 , 3 2
 2 , 3 2
 2 , 3 2
0,  
0,  
0,  
0,  
 4 , 5  4
 4 , 5  4
  4 , 3 4
  4 , 3 4
Таблица 3. Положения равновесия спутника на круговой орбите.
8
Рисунок 3. Положения равновесия спутника на круговой орбите.
9
Используя (2.2), можно записать уравнения (2.1) для введенных переменных (2.3).
Отбрасывая нелинейные слагаемые, получаем линейную систему (при   0 ):
x1   N1 x2 1  x11   11 x3   x12   12   3 x5   5 x6   6  
  x10   10   x11   11 x3   x12   12   x12   12 x2   x11   11   u~p ,






x 2   N 2 x1 1  x10   10 x3   x12   12   3 x4   4 x6   6  
  x11   11   x12   12 x1   x10   10   x10   10 x3   x12   12   u~q ,
x3   N 3 x1 1  x10   10 x2   x11   11   3 x4   4 x5   5  
  x12   12   x10   10 x2   x11   11   x11   11 x1   x10   10   u~r ,
x 4   1 x5   5  x3   x12   12   x6   6  x 2   x11   11   x7   7 ,
x 5   1 x6   6  x1   x10   10   x 4   4  x3   x12   12   x8   8 ,
x 6   1 x 4   4  x 2   x11   11   x5   5  x1   x10   10   x9   9 ,
x 7   1 x8   8  x3   x12   12   x9   9  x 2   x11   11   x 4   4 ,
x8   1 x9   9  x1   x10   10   x7   7  x3   x12   12   x5   5 ,
x 9   1 x7   7  x 2   x11   11   x8   8  x1   x10   10   x6   6 ,
x10   1 x3 x11   11   x 2 x12   12 ,
x11   1 x1 x12   12   x3 x10   10 ,
x12   1 x 2 x10   10   x1 x11   11 ,
(2.4)
up ~
uq ~
I3  I2
I I
I I
u
, N 2  1 3 , N 3  2 1 , u~p 
, uq 
, ur  r ;
I1
I2
I3
I 1
I 2
I 3
точкой здесь и ниже будет обозначаться дифференцирование по истинной аномалии.
Решение xi  0 i  1, 12 будет положением равновесия системы (2.4).
С учетом свойств матрицы направляющих косинусов:
(2.5)
 2    2    2  1,  2    2    2  1,  2    2    2  1,
             0 ,              0 ,              0 .
от системы (2.4) перейдем к автономной системе линеаризованных уравнений шестого
порядка относительно величин x1 , x 2 , x3 и трех из девяти направляющих косинусов в
зависимости от k (см. пункт 2.2, таблицу 2). При этом оказывается, что для каждого
k  1,  ,6 эту линеаризованную систему можно привести к виду
(2.6)
y k  A k y k  V k   ,
где N1 


где вектор-столбец y k   y1k , , y 6k  вводится для каждого k таким образом, чтобы постоянная матрица A k имела следующую структуру:
10



0
0
 k  a1k  1k
0
4  a1k  2k
0 


k
k
0
0
0
3 a 2  2
0
0 

  k  ak  k
0
0
0
0
 a3k  3k 
k
3
1

A 
(2.7)

0
 k  2k  1
0
0
0
0 


k k 1
0
0
0
0
0 
  2

0
0
 k  3k  1
0
0
0 

А вектор управления и начальные условия для системы (2.6) имели вид:
V k     1k , 2k , 3k , 0, 0, 0 ,
(2.8)




y0k  y1k,0 , y2k,0 , y3k,0, , y4k,0 , y5k,0 , y6k,0  y k 0 , y k 0  y k0 .
Вектор y k , а так же величины a1k , a 2k , a3k ,  1k ,  2k ,  3k ,  k и элементы вектора управления
v1k , v 2k , v3k для каждого k описываются тогда с помощью таблицы 4.
y 1  x1 , x 2 , x3 , x 4 , x5 , x8  , y01  x1,0 , x2,0 , x3,0 , x4,0 , x5,0 , x8,0   y1 0 ,
k=1:
x9   x4 6 7 , x12   x5 6 11 , x10   x8 7 11 , x6  x7  x11  0,
a  N1 ,
1
1
a12  N 2 ,
a 31  N 3 ,  11   11 ,  21   6 ,
v11  u~p , v12  u~q , v31  u~r ;
 31   7 ,  1  1 ,
y 2  x 2 , x3 , x1 , x5 , x6 , x9  , y02  x2,0 , x3,0 , x1,0 , x5,0 , x6,0 , x9,0   y 2 0 ,
k=2:
x7   x5 4 8 , x10   x6 4 12 , x11   x9 8 12 , x4  x8  x12  0,
a  N2 ,
2
1
a 22  N 3 ,
a 32  N 1 ,
 12   12 ,  22   4 ,
v12  u~q , v22  u~r , v32  u~p ;
 32   8 ,  2  1,
y 3   x3 , x1 , x 2 , x6 , x 4 , x7  , y03  x3,0 , x1,0 , x2,0 , x6,0 , x4,0 , x7,0   y 3 0 ,
k=3:
x8   x6 5 9 , x11   x4 5 10 , x12   x7 9 10 , x5  x9  x10  0,
a  N3 ,
3
1
a 23  N1 ,
 13   10 ,  23   5 ,
a 23  N 2 ,
v13  u~r , v23  u~p , v33  u~q ;
 33   9 ,  3  1 ,
y 4  x1 , x3 , x 2 , x 4 , x6 , x9  , y04  x1,0 , x3,0 , x2,0 , x4,0 , x6,0 , x9,0   y 4 0 ,
k=4:
x8   x4 5 7 , x11   x6 5 12 , x10   x9 7 12 , x5  x7  x12  0,
a14  N1 ,
a 24  N 3 ,
a 24  N 2 ,
 14   12 ,  24   5 ,
v14  u~p , v24  u~r , v34  u~q ;
 34   7 ,  4  1 ,
y 5  x 2 , x1 , x3 , x5 , x 4 , x7  , y05  x2,0 , x1,0 , x3,0 , x5,0 , x4,0 , x7,0   y 5 0 ,
k=5:
x9   x5 6 8 , x11   x7 8 10 , x12   x4 6 10 , x6  x8  x10  0,
a  N2 ,
5
1
k=6:
a 25  N1 ,
a 25  N 3 ,
 15   10 ,  25   6 ,
v15  u~q , v25  u~p , v35  u~r ;
 35   8 ,  5  1,
y 6   x3 , x 2 , x1 , x6 , x5 , x8  , y06  x3,0 , x2,0 , x1,0 , x6,0 , x5,0 , x8,0   y 6 0 ,
11
x7   x6 4 9 , x10   x5 4 11 , x12   x8 9 11 , x4  x9  x11  0,
a16  N 3 ,
a 26  N 2 ,
a 26  N1 ,  16   11 ,  26   4 ,
v16  u~r , v26  u~q , v36  u~p .
 36   9 ,  6  1 ,
Таблица 4. Шесть вариантов линеаризованной системы (2.6)−(2.8).
Заметим, что y k (а так же y 0k ) содержит шесть компонент x1 ,, x12 . Выражение
остальных шести компонент через эти даны во второй строке таблицы 4 для каждого k .
Величины  4 ,, 12 берутся из строки таблицы 2 соответствующей рассматриваемому
положению
равновесия
(т.е.
соответствующей
паре
k,
n).
Величины
N 1 , N 2 , N 3 , u~ p , u~q , u~r были определены в (2.4).
Для вычисления величин a1k , a 2k , a3k ,  1k ,  2k ,  3k ,  k можно воспользоваться также
таблицей 5.
a 3k
 3k
k
n
a1k
a 2k
 1k
 2k
k
1
2
3
4
5
6
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4
1
1
4
3
2
1
4
3
2
1
4
3
2
N1
N2
N3
N2
N3
N1
N3
N1
N2
N1
N3
N2
N2
N1
N3
N3
N2
N1
1
−1
1
−1
1
−1
1
−1
1
−1
1
−1
1
−1
1
−1
1
−1
1
−1
1
−1
1
−1
1
−1
−1
1
1
−1
−1
1
1
−1
−1
1
−1
1
1
−1
−1
1
1
−1
−1
1
1
−1
Таблица 5. К формулам (2.7) и (2.8) для матрицы
1
1
−1
−1
1
1
−1
−1
1
1
−1
−1
1
1
−1
−1
1
1
−1
−1
1
1
−1
−1
−1
−1
−1
1
1
1
Ak .
2.4. Собственные значения. Матрица преобразования. Жорданова форма YA k матрицы Ak диагональна. Для того, чтобы воспользоваться теоремами пункта 1 применительно к уравнениям (2.6) необходимо найти матрицу преобразования D k .n , удовлетворяющую уравнению YAk Dk.n  Dk.n Ak .
Если использовать обозначения
12


a  1  a1k 3 k  a3k , b  16 a1k a3k ,   a 2  b ,


g   2 3 a  , e  2 2 a   a   a     ,
l  a    8 a    1  a 6  14 a   a  1  1  a 32 a   ,
m     a  1     2 a    a 6 2     a   144  


f  1  a3k k 2  1k 3k
k
k
1
k
k
k
2
k

1
k
1
1
k
1
k
1
2

, c    8 a1k k  a 2  3k  2  a    ,
k
k
3
k
1
k
3
k
3
k
k
1
k
k
(2.9)
k
1
k
3
2 1
k
2 1
то собственные значения i и матрица D k .n запишутся в виде:
1, 2   3 a2k  k , 3, 4    a    2 , 5,6    a    2 ,
(2.10)
 0 g 0 1 2 0 0


g
0 1 2 0 0
 0
 f
0 c 0
e l
.
D k .n  
0
c
0 e l 
 f
 f
0  c 0  e m 

 f
0
c
0
e m 

Таким образом, получены все величины необходимые для применения теорем 1−4 из
пункта 1 для нахождения точек переключения управления соответствующего необходимым условиям экстремума функционала расхода в рассматриваемой задачи гашения
колебаний спутника около любого из 24 положений относительного равновесия при его
движении по круговой орбите.
3. Заключение. Краткий вариант настоящей работы докладывался на конференции
«Устойчивость и процессы управления» [5]. Все полученные формулы проверены при
помощи пакета Mathematica.
Естественным продолжением настоящей работы может быть программная система нахождения точек переключения, а также построение оптимальных управлений на
основе известных точек переключения, проведение численных экспериментов и применение этих результатов к реальным задачам космической динамики.
Summary
L. K. Babadzanjanz, I. Yu. Pototskaya, Yu. Yu. Pupysheva. Control with expenditure criteria in rotational motion of the satellite moving along a circle orbit.
In the neighborhood of any of it’s 24 equilibrium points, the controlled rotational motion of a satellite whose centre of mass moves along a circular orbit is considered. The admissible control is a bang-bang control that blanks selected frequency components of the solution
of linear equations at the moment T. As a functional we use the integral of the sum of the
modules of coordinates of the control along the interval [0, T]. The formulae and algorithms
to find the switching points of the control that satisfy the necessary conditions of the functional having an extremum are proposed.
13
Литература
[1] Атанс М., Фалб П. Оптимальное управление, 1968, Машиностроение, М.
[2] Бабаджанянц Л.К., Голубева Н.И., Новоселов В.С. Оптимальное демпфирование
быстрых линейных колебаний стационарного ИСЗ с маховиком, “Проблемы механики управляемого движения”, Вып. 3, Пермь, 1973. С. 18–25.
[3] Бабаджанянц Л.К., Голубева Н.И., Новоселов В.С. Энергетически оптимальное
демпфирование свободных боковых колебаний стационарного ИСЗ с маховиком,
“Проблемы механики управляемого движения”, Вып. 3, Пермь, 1973. С. 26–32.
[4] Бабаджанянц Л.К., Потоцкая И.Ю. Управление по критерию расхода в механических системах, 2003. СПбГУ, СПб.
[5] Бабаджанянц Л.К., Потоцкая И.Ю., Пупышева Ю.Ю. «Управление вращением
спутника по критерию расхода». Сборник трудов международной конференции
«Устойчивость и процессы управления», СПб, июнь 2005. С. 1052−1059
[6] Белецкий В.В. Движение спутника относительно центра масс, 1965, Наука, М.
[7] Белецкий В.В. Движение спутника относительно центра масс в гравитационном
поле, 1975, МГУ, М.
[8] Мгоян П.Б. Оценки в теории возмущенного движения, дисс. к.ф.-м н., 1987, ЛГУ,
Л.
[9] Пупышева Ю.Ю. Алгоритмы нахождения точек переключения кусочнополиномиального управления в линейных механических системах, дисс. к.ф.-м н.,
2003, СПбГУ, СПб.
[10] Сарычев В.А., Сазонов В.В. Оценка границы колебательных движений спутника,
“Препринты Ин–та прикл. мат. АН СССР”, 1974, №130.
[11] Likins P.W., Roberson R.E. Uniqueness of equilibrium attitudes for Earth-Pointing satellites. "J. Astronaut. Sci.", 1966, 13, №2, 87-88.
Рассматривается управляемое вращательное движение спутника в окрестности любого из 24 его положений относительного равновесия на круговой орбите. Допустимым считается кусочно-постоянное
управление, которое в последний момент T своего действия обращает в нуль избранные частотные компоненты решения линейных уравнений движения. Предлагаются формулы и алгоритмы нахождения
точек переключения управления, соответствующего необходимым условиям экстремума функционала –
интеграла от суммы модулей координат управления вдоль [0, T].
CONTROL WITH EXPENDITURE CRITERIA IN ROTATIONAL MOTION OF THE SATELLITE
MOVING ALONG A CIRCLE ORBIT / L. K. Babadzanjanz, I. Yu. Pototskaya, Yu. Yu. Pupysheva (SPbSU,
SPb, Russia). In the neighborhood of any of it’s 24 equilibrium points, the controlled rotational motion of a satellite whose centre of mass moves along a circular orbit is considered. The admissible control is a bang-bang
control that blanks selected frequency components of the solution of linear equations at the moment T. As a
functional we use the integral of the sum of the modules of coordinates of the control along the interval [0, T].
The formulae and algorithms to find the switching points of the control that satisfy the necessary conditions of
the functional having an extremum are proposed.
Key words: satellite, rotational motion, bang-bang control
Ключевые слова: спутник, вращательное движение, кусочно-постоянное управление