ИР-Ð&#39

«Утверждаю»
Председатель Ученого совета математикомеханического факультета СПбГУ, декан
математико-механического факультета СПбГУ
профессор Леонов Г.А. ________________
«12» мая_2011
г.
Программа вступительного экзамена
по специальности 01.01.09
«Дискретная математика и математическая кибернетика»
Утверждена на заседании Ученого совета математико-механического факультета
СПбГУ, протокол № 5 от 12.05.2011г.
Программа утверждена на заседании
кафедры информатики
протокол № 13
от «6» мая 2011 г.
Заведующий кафедрой,
Косовский Н.К.
Санкт-Петербург
2011
2
Кафедра Информатики
ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНОГО ЭКЗАМЕНА В АСПИРАНТУРУ
ПО СПЕЦИАЛЬНОСТИ
01.01.09- «Дискретная математика и математическая кибернетика»
на 2011 год
Часть 1. Общеобразовательная
1. Матричная алгебра
Конечномерное линейное пространство. Линейные комбинации. Линейная независимость.
Полнота. Базис. Линейный оператор в конечномерном линейном пространстве. Матрица.
Замена базиса. Свойства определителей. Разрешимость квадратных систем линейных
алгебраических уравнений. Обратная матрица. Прямоугольные системы: теорема Кронекера Капелли. Характеристический многочлен. Теорема Гамильтона - Кэли. Минимальный
многочлен вектора и матрицы. Собственные числа и собственные векторы. Инвариантное
подпространство. Жорданова форма. Унитарное пространство. Эрмитовыи унитарные
матрицы. Нормальные матрицы. Существование ортонормированного собственного базиса у
нормальной матрицы. Спектр эрмитовой и унитарной матриц. Квадратичные формы:
определение. Матрица квадратичной формы. Приведение квадратичной формы к сумме
квадратов методом Лагранжа. Положительно определённые формы. Критерий Сильвестра.
Одновременное приведение пары квадратичных форм к сумме квадратов.
Литература
1. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М., Наука, 1967.
2. Глазман И.М. Любич Ю.И. Конечномерный линейный анализ.
2. Теория функций действительной переменной
Интеграл Римана. Алгебра множеств,  -алгебра множеств. Определение счётно-аддитивной
меры. Мера Каратеодори. Прямое произведение мер. Мера Лебега в R. Интеграл Лебега.
Теоремы о предельном переходе под знаком интеграла. Пространства L2 , l2 . Ряды и
интегралы Фурье. Преобразования Фурье и Лапласа. Неравенства Коши-Буняковского,
Гёльдера, Минковского.
Литература
1. Натансон И.П. Теория функций вещественной переменной. М.-Л., 1950.
2. Данфорд Н., Шварц Дж. Линейные операторы. Общая теория. М., 1962.
3. Теория функций комплексной переменной
Определение аналитической функции. Условия Коши-Римана. Теоремы Коши и Морера.
Формула Коши. Принцип максимума модуля. Разложение аналитической функции в ряд
Тейлора. Круг сходимости. Ряд Лорана. Классификация особенностей. Вычисление интеграла
3
по контуру, включающему изолированные особенности. Вычеты. Экспонентаи
тригонометрическиефункции.Формула Эйлера. Многозначные аналитические функции.
Корень и логарифмы. Приращение аргумента. Принцип аргумента и теорема Руше. Функции
от матриц и проектор Рисса. Пространства Харди в круге и в полуплоскости. Две теоремы
Винера - Пели.
Литература
1. Привалов И.И. Введение в теорию функций комплексного переменного. М., 1954.
2. Гофман К. Банаховы пространства аналитических функций. М.,1963.
4. Функциональный анализ
1. Линейные нормированные пространства. Полунормы и нормы. Их свойства. Теорема о
топологиях, задаваемых семейством полунорм.
2. Банаховы и Гильбертовы пространства. Ограниченные и неограниченные операторы.
Линейные функционалы.
3. Теорема Стоуна - Вейерштрасса.
4. Неравенства Гёльдера и Минковского.
5. Гильбертовы пространства (скалярное произведение, его свойства, теоремы об
ортогональной проекции).
6. Полнота.
7. Теорема об ортогональном разложении. Неравенство Бесселя,
неравенство Парсеваля.
8.Теорема Рисса об общем виде функционала в гильбертовом пространстве.
9. Теорема Банаха - Штейнгауза.
10. Теорема Банаха о замкнутом графике.
11. Теорема Хана - Банаха.
12. Слабые и сильные топологии. Их свойства.
13. Теорема Хаусдорфа и критерии компактности.
14. Вполне непрерывные операторы и теорема об их свойствах.
15. Нормальные и самосопряжённые операторы. Теорема Гильберта - Шмидта.
16. Дифференциалы Фреше и Гато.
17. Теорема о неявной функции и её применения.
18. Исчисление дифференциалов Фреше и Гато.
Литература
1.
2.
3.
4.
Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М., 1984.
Рудин Ч. Функциональный анализ. М., 1975.
Балакришнан А.В. Прикладной функциональный анализ. М., 1980.
Картан А. Дифференциальное исчисление. М., 1971.
4
Часть II специальная
5. Логика и теория алгоритмов
1. Исчисление высказываний и его свойства.
2. Исчисление предикатов первого порядка и его свойства.
3. Исчисление предикатов с равенством.
4. Формальная арифметика.
5. Теорема Геделя о неполноте арифметики.
6. Машины Тьюринга.
7. Нормальные алгорифмы.
8. Элементарные по Кальмару алгорифмы.
9. Перечисление графов.
10. Теорема Пойа.
11. Анализ сложности алгоритма сортировки Шелла.
12. Алгоритмы глобального анализа графов.
13. Эквивалентность некоторых комбинаторных задач. Классы Р и NP. NP-трудные и NPполные задачи.
Литература
1. Кормен Т., Лейзерсон Ч., Ривест Р. Алгоритмы: построение и анализ. —МЦНМО, 1999.
2. Косовский Н. К. Основы теории элементарных алгоритмов. — Л.: Изд-во Ленингр. ун-та,
1987.
3. Успенский В. А., Семенов А. Л. Теория алгоритмов: основные открытия и приложения. —
М.: Наука, 1987.
4. 4.Грэхем Р., Кнут Д., Паташник О. Конкретная математика. Основание информатики. —
М.: Мир, 1998.
5. Харари Ф.,Палмер Д. Перечисление графов. — М.: Мир, 1982.
6. Кнут Дональд. Искусство программирования, том 1. Основные алгоритмы (3-е изд.). — М.:
Издательский дом "Вильямс", 2000.
6. Теория формальных языков и трансляций
1. Формальные грамматики, их основные классы. КС-грамматики и деревьявыводов в них.
Приведенные и неукорачивающие КС-грамматики. Нормальные формы неукорачивающих
КС-грамматик.
2. Однозначность и существенная неоднозначность КС-языков. Примеры не КС-языков.
3. Автоматные грамматики и конечные автоматы. Регулярные
выражения.Детерминированные конечные автоматы.
4. МП-автоматы различных типов, их эквивалентность КС-грамматикам.
Детерминированные автоматы и языки, их основные свойства.
5. LR(k)-грамматики и языки, их основные свойства.
6. Определение трансляции как формального объекта.
7. Простые синтаксически-управляемые трансляции. Эквивалентность простых схем
синтаксически-управляемых трансляций и недерминированных магазинных
преобразователей.
8. Эквивалентность магазинных преобразователей, реализующих трансляции при конечном
состоянии и при пустом магазине.
5
9. Простые семантически однозначные схемы синтаксически-управляемых трансляций и
детерминированные магазинные преобразователи.
10. Определение класса LL(k)-грамматик. Необходимые и достаточные признаки LL(k)грамматик.
11. Алгоритм тестирования КС-грамматики на ее принадлежность классу LL(k)-грамматик
для заданного значения k.
12. Специальные необходимые и достаточные условия LL(1)-грамматик. Сильные LL(k)грамматики.
13. k-предсказывающие алгоритмы анализа и трансляции, задаваемые при помощи kпредсказывающих алгоритмов анализа (использование этих алгоритмов в качестве
анализаторов LL(k)-языков).
14. LL(k)-таблицы. Построение множества необходимых и достаточных таблиц для
анализа LL(k)-языков.
15. Оценка числа шагов k-предсказывающего алгоритма анализа.
16. Реализация простых семантически однозначных трансляций с входными языками
класса LL(k) при помощи k-предсказывающих алгоритмов трансляции.
Литература
1. 1. Ахо А., Ульман Дж. Теория синтаксического анализа, перевода и компиляции. В 2-х
т. — М.: Мир, 1978.
2. 2. Мартыненко Б. К. Синтаксически управляемая обработка данных — СПб.: Изд-во
СПбГУ, 1997.
3. 3.Фитиалов С. Я. Формальные грамматики. — Л.: Изд-во ЛГУ. — 1984.
7. Компьютерное моделирование динамических систем
1.Динамические системы. Определения. Фазовое пространство динамических систем.
Неподвижные и периодические точки дискретных динамических систем, типы
устойчивости.
2. Понятие чувствительной зависимости от начальных данных. Хаотические режимы.
3.Логистическое уравнение. Бифуркация удвоения периода, константа Фейгенбаума.
Логистическое уравнение для   4 . Канторово множество и его построение с помощью
логистического уравнения.
4.Фрактальные множества и фрактальные размерности. Хаусдорфова размерность.
Алгоритмы вычисления размерностей.
5.Характеристики хаотического движения: показатель Ляпунова. Показатель Ляпунова для
треугольного и логистического уравнений. Алгоритмы вычисления ляпуновских
показателей.
6.Аттракторы динамических систем. Определение и примеры.
7.Методы построения инвариантных многообразий седловых гиперболических
точекплоскости. Гомоклинические точки.
8.Приближенное интегрирование траекторий. Устойчивость численных методов.
9.Исследование динамических систем методами символической динамики. Пространства
сдвига, клеточные отображения, символический образ.
10. Клеточные автоматы. Связь клеточных автоматов с теорией формальных языков и
грамматик.
11.Методы нелинейной динамики для анализа временных рядов. Реконструкция
аттракторов. Теорема Такенса.
6
Литература
1. Шарковский А.Н.,Коляда С.Ф., Сивак А.Г., Федоренко В.В. Динамика одномерных
отображений. Киев: Наукова думка, 1989.
2. Parker T.S, Chua L.O. Practical numerical algorithms for chaotic systems. N. Y., 1989.
3. Г.Г.Малинецкий, А.Б. Потапов. Современные проблемы нелинейной динамики. М. 2000.
4. П.Биллингслей. Эргодическая теория и информация. М.1969.
5. ОсипенкоГ.С. О символическом образе динамической системы, сб. Граничные задачи,
Пермь, 1983, 101-105.
8. Линейная теория регулирования
1. Способы задания динамических блоков. Понятие динамического оператора.
2. Управляемые системы. Теорема об эквивалентности 4-х условий управляемости. Свойства
управляемых систем.
3. Полная система инвариантов при линейных преобразованиях состояния системы для
множества управляемых пар.
4. Приведение управляемых систем к стандартному виду.
5. Наблюдаемые системы. Свойства наблюдаемости. Теорема двойственности Калмана.
6. Полная система инвариантов для наблюдаемых систем, а также для управляемых и
наблюдаемых систем.
7. Синтез системы по передаточной функции.
8. Преобразование обратной связи. Полная система инвариантов при преобразованиях
обратной связи.
9. Теорема о произвольном изменении спектра матрицы коэффициентов при преобразованиях
обратной связи.
10. Критерий Михайлова - Найквиста.
Литература
1. Воронов А.А. Устойчивость, управляемость, наблюдаемость. М., 1979, гл. 1,2,5.
2. Первозванский А.А. Курс теории автоматического управления. М., 1986, гл. 1, 2, 3, 6, 7.
3. Справочник по теории автоматического управления. Под ред. Красовского А.А., М., 1987,
гл. 1, 2.
4. Гелиг А.Х., Леонов Г.А., Якубович В.А. Устойчивость нелинейных систем с
неединственным состоянием равновесия. М., 1978, гл. 1.
Зав. кафедрой
Информатики Н.К. Косовский