2-listx

МКОУ «Вяткинская основная общеобразовательная школа»
Каргапольского района Курганской области
«Лист Мёбиуса»
Авторы
Толстиков Сергей, 8 класс
Жилин Владислав, 8 класс
под руководством
Кискиной Любови Филимоновны
МКОУ «Вяткинская основная
общеобразовательная школа»
Каргапольского района
Курганской области
с. Вяткино
2014
1
СОДЕРЖАНИЕ
I.Введение
Цель и задачи проекта.
II. Основная часть
1) Что такое лист Мёбиуса?
2) История открытия листа.
3) Топологические опыты по исследованию свойств
односторонней поверхности.
4) Лента Мёбиуса и гипотезы.
5) Применение листа Мёбиуса в технике.
6) Лист Мёбиуса в литературе.
7) Графическое искусство.
8) Скульптура.
9) Архитектура.
10) Лист Мёбиуса в повседневной жизни.
11) «Памятники» А.Ф.Мёбиусу.
III. Заключение. Вывод.
IV. Список используемой литературы.
2
1
1
1
1
2-3
3
4
4-5
5
5
5
5-6
6
6-7
8
I.Введение
Мы хотим рассказать об удивительной поверхности, которая имеет
только одну сторону и относится к «математическим неожиданностям». Хотя
лист Мёбиуса был открыт ещё в XΙX веке, он актуален и в наши дни.
Удивительные свойства листа Мёбиуса использовались и используются в
технике, в физике, в живописи, в архитектуре, в оформлении ювелирных
изделий, бижутерии и даже в кулинарии. Он вдохновляет на творчество
многих писателей и художников. Нас очень заинтересовала эта тема. Мы
изучили литературу, изготовили лист Мебиуса, проводили исследования,
ставя опыты, изучая его волшебные, необыкновенные свойства.
Многие знают, что такое лист (лента) Мёбиуса, но тем, кто ещё не знаком с
ним и его свойствами, мы предлагаем вместе с нами провести исследование и
окунуться в светлое чувство познания. Это ведёт к более глубокому
осмыслению математики как прикладной науки.
Цель проекта: изучить разнообразные свойства листа Мёбиуса, найти, где
он используются
Задачи проекта
1) Изучение истории открытия листа Мёбиуса.
2) Изготовление листа Мёбиуса и исследование его свойств.
3) Нахождение объектов в окружающем мире.
4) Применение листа Мёбиуса в повседневной жизни.
Методы исследования: изучение математической литературы,
сбор информации, практические эксперименты.
II. Основная часть
1) Что такое лист Мёбиуса?
Лист Мёбиуса – один из объектов области математики под названием
«топология» (по-другому – «геометрия положений»). Топология - наука,
изучающая непрерывные среды и пространство. Проявление законов
топологии легко обнаружить на простой бумажной полоске. Удивительные
свойства листа Мёбиуса – он имеет один край, одну сторону, – не связаны с
его положением в пространстве, с понятиями расстояния, угла и тем не
менее имеют вполне геометрический характер
2) История открытия листа.
Таинственный и знаменитый лист Мёбиуса придумал в 1858г. немецкий
геометр Август Фердинанд Мёбиус (1790-1868), ученик «короля
математики» Гаусса. В возрасте 68 лет ему удалось сделать открытие
поразительной красоты. Это открытие односторонних поверхностей.
Согласно легенде открыть свой «лист» Мёбиусу помогла служанка,
сшившая однажды неправильно концы ленты
3)Топологические опыты по исследованию свойств односторонней
поверхности (Приложение I )
Мы запаслась несколькими листами обычной бумаги, клеем, ножницами и
красками. Самое удивительное то, что изготовить лист Мёбиуса своими
руками совсем несложно: надо лишь взять полоску бумаги и склеить её
концы, предварительно повернув один из них на 180о. И тогда в ваших руках
3
окажется лист, или лента Мёбиуса. Полоска должна быть узкой и длинной, с
возможно большим отношением длины к ширине (10:1)
Мы задалась вопросом: « Сколько сторон у этого листа бумаги? Две, как у
любого другого?» Попробовали закрасить это кольцо с одной стороны.
Наша попытка закрасить только одну сторону листа Мёбиуса была обречена
на неудачу, так как у листа Мёбиуса всего одна сторона.
Лента Мебиуса обладает любопытными свойствами.
Если разрезать простое кольцо ножницами вдоль, то получится два кольца
вдвое меньшей ширины, чем первоначальное.
А что получится, если разрезать ленту Мёбиуса?
Мы разрезала ленту вдоль по линии, равноудалённой от краёв. Вместо двух
лент Мебиуса получилась одна длинная двусторонняя лента с двумя
полными оборотами, которую называют «афганская лента».
Мы поставила перед собой вопрос: «Что будет, если разрезать лист Мёбиуса
вдоль, но не посередине, а ближе к одному краю?»
У нас получилось две ленты, одна — более тонкая лента Мёбиуса, другая —
длинная лента с двумя полуоборотами (Афганская лента).
Мы вырезали бумажного человечка и отправила его вдоль пунктира,
идущего посередине листа Мёбиуса. Он вернулся к месту старта. Но в
каком виде? В перевернутом! А чтобы он вернулся к старту в
нормальном положении, ему нужно было совершить ещё одно
«круголистное» путешествие.
А если разрезать на три части? Мы получила два сцепленных кольца.
Одно из них вдвое длиннее исходного и перекручено два раза. Второе лист Мёбиуса, ширина которого втрое меньше, чем у исходного.
Мы решили перекручивать полоски бумаги перед склеиванием, каждый
раз увеличивая число полуоборотов на один.
Опыты по исследованию свойств ленты Мёбиуса
№
опыта
Число
полуоборотов
Результат
разрезания
Свойства
Кольцо перекручено на 2 полуоборота,
длина его окружности в 2 раза больше, и
кольцо уже исходного.
2
2
Сцепленных Кольца перекручены на 2 полуоборота,
2 кольца
окружности колец в 2 раза меньше
исходного, кольца в 2 раза уже.
3
3
Сцепленных Кольца перекручены на 3 полуоборота и
2 кольца
завиты в угол трилистника, окружности
колец в 2 раза меньше исходного, кольца
в 2 раза уже.
Итак, в результате исследования выяснилось, что
1) Лист Мёбиуса - односторонняя поверхность
2) Второе свойство листа – непрерывность.
3) Третье свойство – связность.
1
1
1 кольцо
4
4)Лента Мёбиуса и гипотезы
Спираль ДНК – фрагмент листа Мёбиуса
Есть гипотеза, что спираль ДНК сама по себе является фрагментом ленты
Мёбиуса, и только поэтому генетический код так сложен для расшифровки и
восприятия. Больше того – такая структура вполне логично объясняет
причину биологической смерти – спираль замыкается сама на себе, и
происходит самоуничтожение
Вселенная замкнута в ленту Мебиуса?
Лист Мёбиуса находит многочисленные применения в науке, технике и
изучении свойств Вселенной. Физики-теоретики пришли к выводу, что наша
Вселенная, вполне вероятно, замкнута в ленту Мебиуса. Эта теория
полностью подтверждает предположение, что космический корабль, всё
время летящий прямо, может вернуться к месту старта. Это подтверждает
неограниченность и конечность Вселенной.
Лента Мёбиуса - прародитель символа бесконечности?
Ленту Мёбиуса иногда называют прародителем символа бесконечности, так
как находясь на поверхности ленты Мёбиуса, можно было бы идти по ней
вечно. Это не соответствует действительности, так как символ использовался
для обозначения бесконечности в течение двух столетий до открытия ленты
Мёбиуса.
5)Применение листа Мёбиуса в технике. (Приложение II )
Существуют технические применения ленты Мёбиуса. Полоса ленточного
конвейера выполняется в виде ленты Мёбиуса, что позволяет ему работать
дольше, потому что вся поверхность ленты изнашивается равномерно.
Также в системах записи на непрерывную плёнку применяются ленты
Мёбиуса (чтобы удвоить время записи).
Во многих матричных принтерах красящая лента также имеет вид листа
Мёбиуса для увеличения её ресурса.
Устройство под названием резистор Мёбиуса — это недавно изобретённый
электронный элемент, который не имеет собственной индуктивности.
Были созданы особые кассеты для магнитофона, которые дали возможность
слушать магнитофонные кассеты “с двух сторон”, не меняя их местами.
Лист Мёбиуса применяют в детских заводных игрушках, в конструкции
стабилизатора штурвала рулевого привода, в щелевом затворе фото- или
кинокамеры.
В метро ручка эскалатора, не что иное как лента Мёбиуса. Это позволяет ей
равномерно изнашиваться, и продлевает срок службы резины.
6)Лист Мёбиуса в литературе
Чудесные свойства ленты породили множество фантастических рассказов. В
одном из них описывался случай в Нью-Йоркском метро, когда потерялся во
времени поезд, отправившийся в путь по пути, замкнутом в ленту Мебиуса.
Листу Мёбиуса посвящены стихи. Одно из стихотворений «Лист Мёбиуса»
написано Н. Ю. Ивановой
Лист Мебиуса – символ математики,
5
Что служит высшей мудрости венцом…
Он полон неосознанной романтики:
В нем бесконечность свернута кольцом.
В нем – простота, и вместе с нею – сложность,
Что недоступна даже мудрецам:
Здесь на глазах преобразилась плоскость
В поверхность без начала и конца.
Как о порог, об этот ноль споткнешься.
Но как бы ни был прежний путь тернист,
Вновь выбирай (и ты не ошибешься!)
Путь в бесконечность – Мёбиуса лист.
7)Графическое искусство
Лист Мёбиуса служит вдохновением для скульптур и для графического
искусства. Морис Эшер был одним из художников, кто особенно любил лист
и посвятил несколько своих литографий этому математическому объекту.
Одна из известных — лист Мёбиуса, показывает муравьёв, ползающих по
поверхности ленты Мёбиуса.
8)Скульптура
В МОСКВЕ на станции метро «Фрунзенская», напротив кинотеатра
«Горизонт», есть памятник «Ленте Мёбиуса».
В качестве примера использования ленты Мебиуса российскими
художниками можно привести скульптуру «Лента Мебиуса и шар»,
созданную Александром Эткало.
9)Архитектура
О ленте Мебиуса ходит очень много легенд, одна из которых заключается в
том, что если посмотреть сквозь эту ленту на мир под каким-то особенным
углом, можно увидеть его совсем в другом свете. Интересен в этом смысле
проект «Дом Мёбиус», построенный по принципу ленты Мёбиуса. Дом
возведен в 1992-1998гг. в Голландии. Он представляет собой
сосуществование двух параллельных миров (в каждом – офис и спальня),
соединяющихся в некоторых общих точках и вновь расходящихся.
Архитектурная компания DWP Architects, специально для вьетнамского
города Хошимин, разработала проект многофункционального жилого
комплекса. Вдохновителем этого проекта стала лента Мебиуса.
Имеются и материальные воплощения простого листа Мёбиуса.
Построенный в Лондоне Олимпийский велодром имеет контуры, которые
можно назвать вариацией на тему листа Мёбиуса.
10)Лист Мёбиуса в повседневной жизни
Лента Мёбиуса понравилась не только математикам, но и фокусникам.
Более 100 лет она используется для показа различных фокусов и
развлечений. Удивительные свойства листа демонстрировались даже в цирке,
где подвешивались яркие ленты, склеенные в виде листов Мёбиуса. Лента
Мебиуса вдохновляет создателей ювелирных украшений. Среди их работ
можно встретить кольца и кулоны в виде ленты Мёбиуса.
6
Поклонниками ленты Мебиуса стали даже обувщики. Так голландец Рэм
Колхаас придумал остроумный силуэт туфель Мёбиус, словно состоящих из
одной хитро свернутой ленты.
Не захотели остаться в стороне и дизайнеры. Художник и архитектор Рон
Арад является создателем дизайна флакона для духов в виде ленты Мёбиуса.
Лист Мёбиуса используется в кулинарии для того, чтобы создать интересный
и аппетитный вид для булочек, сушек, хвороста, также при изготовлении
инструментов для приготовления и украшения различных блюд, силовых
конструкций (мешалка).
11) «Памятники» математику А.Ф.Мёбиусу
У входа в Музей истории и техники в Вашингтоне медленно вращается на
пьедестале стальная лента, закрученная на полвитка.
В 1967 году, когда в Бразилии состоялся международный математический
конгресс, его устроители выпустили памятную марку достоинством в пять
сентаво. На ней была изображена лента Мёбиуса.
И монумент высотой более чем в два метра, и крохотная марка –
своеобразные памятники немецкому математику и астроному Августу
Фердинанду Мёбиусу, профессору Лейпцигского университета.
В честь учёного назван астероид 28516 (Möbius).
III. Заключение.
В ходе работы над проектом мы узнали много интересного о листе Мёбиуса.
Лист обладает замечательными свойствами и находит применение в
реальной жизни.
Он интересен не только математикам, но и физикам, биологам, писателям,
художникам, скульпторам, инженерам и просто школьникам. Даже
мастерицы - рукодельницы изготавливают шарфики, закрученную в эту
чудо-ленту.
Конечно же, главная ценность листа Мёбиуса состоит в том, что он дал
толчок новым обширным математическим исследованиям. Именно поэтому
его часто считают символом современной математики и изображают на
различных эмблемах и значках.
Вывод
- изучив определённую литературу, мы познакомились с геометрической
поверхностью, лентой Мёбиуса;
-анализируя собранный материал, мы увидели необычность этой ленты;
-экспериментальным путём мы показали, что лист Мёбиуса является
односторонней поверхностью;
-мы провели семь опытов с листом Мёбиуса и доказали, что он изменяет свои
свойства при разрезании;
-пытались убедить, что лист Мёбиуса нашёл применение во многих
привычных для нас сферах жизни;
-считаем правильным, что лист Мёбиуса является символом современной
математики, так как именно он дал толчок новым математическим
исследованиям.
7
Простая полоска бумаги, но перекрученная всего лишь раз и склеенная затем
в кольцо, сразу же превращается в загадочную ленту Мебиуса и приобретает
удивительные свойства. Такие свойства поверхностей и пространств изучает
специальный раздел математики – Топология. Наука эта настолько сложная,
что ее в школе не проходят. Только в институтах. Но кто знает, может быть
со временем, мы станем знаменитыми топологами и совершим
замечательные открытия. И быть может, какую-нибудь замысловатую
поверхность назовут нашими именами.
8
IV.Список используемой литературы
1) В.А.Гусев, А.И.Орлов, А.Л.Розенталь «Внеклассная работа по
математике», М., Просвещение, 2006г.
2) Ю.А.Данилова «Математический цветник» М., Просвещение, 2009г.
3) Д. Я. Стройк «Краткий очерк истории математики», М., Просвещение,
2001г.
4) И. Н. Шарыгин «Наглядная геометрия», М., Дрофа, 2011г.
Сайты в Интернете:
1).Архив номеров Кванта. [Электронный ресурс] / Стюарт Я./Топология. Режим
доступа: http://kvant.mirror1.mccme.ru/1992/07/topologiya.htm. Дата обращения
07.12.2011.
2).Взгляд за грань. [Электронный ресурс]/Ушаков И./Лента Мебиуса. Режим
доступа: http://vzglyadzagran.ru/nauka/lenta-mebiusa.html. Дата обращения
04.01.2012.
3).Геометрия как искусство. [Электронный ресурс] / Режим доступа:
http://pictoris.ru/17.html. Дата обращения 25.11.2011
4).Загадочная лента Мёбиуса. [Электронный ресурс] / Режим доступа:
http://www.liveinternet.ru/users/s200170/post167848652/. Дата обращения
26.10.2011.
9
Приложение № I.
Лента Мебиуса обладает любопытными свойствами.
Мы запаслись несколькими листами обычной бумаги, клеем, ножницами и
фломастерами
Если разрезать простое кольцо ножницами вдоль, то получится два кольца
вдвое меньшей ширины, чем первоначальное
Мы задалась вопросом: « Сколько сторон у этого листа Мёбиуса? Две, как у
любого другого?» Попробовали закрасить это кольцо с одной стороны.
Наша попытка закрасить только одну сторону листа Мёбиуса была обречена
на неудачу, так как у листа Мёбиуса всего одна сторона.
10
А что получится, если разрезать ленту Мёбиуса?
Мы разрезала ленту вдоль по линии, равноудалённой от краёв. Вместо двух
лент Мебиуса получилась одна длинная двусторонняя лента с двумя
полными оборотами, которую называют «афганская лента».
Мы поставила перед собой вопрос: «Что будет, если разрезать лист Мёбиуса
вдоль, но не посередине, а ближе к одному краю?»
У нас получилось две ленты, одна — более тонкая лента Мёбиуса, другая —
длинная лента с двумя полуоборотами (Афганская лента).
11
А если разрезать в 4 эксперименте маленькое кольцо. Мы получили два
сцепленных кольца. Одно из них вдвое длиннее исходного и
перекручено два раза. Второе - лист Мёбиуса, ширина которого втрое
меньше, чем у исходного
А если ленту перекрутить 3 раза и разрезать лист, то получится трилистник
12
Мы вырезали бумажного человечка и отправила его вдоль пунктира,
идущего посередине листа Мёбиуса. Он вернулся к месту старта. Но в
каком виде? В перевернутом! А чтобы он вернулся к старту в
нормальном положении, ему нужно было совершить ещё одно
«круголистное» путешествие.
13
Приложение II
Применение листа Мёбиуса
Техника
Кинолента
В 1923 году выдан патент изобретателю Ли де Форсу, который предложил записывать
звук на киноленте без смены катушек, сразу с двух сторон.
Кассета
Придуманы кассеты для магнитофона, где лента перекручивается и склеивается в кольцо,
при этом появляется возможность записывать или считывать информацию сразу с двух
сторон, что увеличивает ёмкость кассеты и соответственно время звучания.
Матричный принтер
Во многих матричных принтерах красящая лента также имеет вид листа Мёбиуса для
увеличения её ресурса.
Резистор Мёбиуса
Это недавно изобретённый электронный элемент, который не имеет собственной
индуктивности.
Шлифовальная лента
14
В 1969 году советский изобретатель
шлифовальную ленту в виде листа Мёбиуса.
Губайдуллин
предложил
бесконечную
При помощи ленты Мёбиуса создают целые шедевры.
Лист Мёбиуса служил вдохновением для скульптур и для графического
искусства. Эшер был одним из художников, кто особенно любил его и посвятил
несколько своих литографий этому математическому объекту. Одна из
известных показывает муравьев, ползающих по поверхности листа Мёбиуса.
Граффити
Современная лента Мёбиуса нарисована на одной из стен в Праге, Чехия.
Аттракцион
Здание библиотеки
Аттракцион “Американские горки”
Казахстане
напоминает форму листа Мебиуса.
Библиотека в виде листа Мёбиуса в
15
Украшения
Дизайн
Стол Мебиуса
Диван Мёбиуса
Туфли
16
шарф снуд
РАЗЛИЧНЫЕ ВИДЫ ЛОГОТИПОВ
Символ переработки
Флористика
Ручной эспандер "Робур"
17
Памятники ленте Мёбиуса
Памятник ленте Мёбиуса в Москве
Монумент у здания Президиума
Национальной академии наук в Минске
18
В Екатеринбурге на улице Свердлова установлен памятник листу Мёбиуса в 2008
году. Скульптор Адуашвили
19