4. Свойства листа Мебиуса 9-10

Муниципальное бюджетное образовательное учреждение
средняя общеобразовательная школа № 1
г. Рудня Смоленской области
Реферат
на тему
«Лист Мёбиуса»
Подготовили: Соколова Елизавета 11А
Синицына Алла 11А
2014г
Содержание:
1. Введение
3-4
2. Биография
5-6
3. Лист Мебиуса
7-8
4. Свойства листа Мебиуса
9-10
5. Эксперименты
11-12
6. Применение
13-14
7. Заключение
15
8. Список литературы
16
2
1.Введение:
У каждого из нас есть интуитивное представление о том, что такое
"поверхность". Поверхность листа бумаги, поверхность стен класса, поверхность
земного шара известны всем. Может ли быть что-нибудь неожиданное и даже
таинственное в таком обычном понятии? Пример листа Мёбиуса показывает, что
может.
В
своей
работе
мы
провели
ряд
экспериментов,
подтверждающих
удивительные свойства листа Мёбиуса. Эти свойства породили множество
научных трудов, изобретений, а также многочисленных фантастических
рассказов. В одном из них описывался случай в бостонском метро, когда
потерялся во времени поезд, отправившийся в путь по пути замкнутом в ленту
Мёбиуса ("Лист Мёбиуса" автор Дж. Дейч). Оказалось, что автор не так далёк от
истины. Физики - теоретики пришли к выводу, что наша вселенная, вероятно,
замкнута в ту же самую ленту согласно теории относительности - чем больше
масса, тем больше кривизна пространства. Более того, эта теория полностью
согласуется с теорией относительности Эйнштейна и его предположением, что
космический корабль, всё время летящий прямо, может вернуться к месту
старта, что подтверждает неограниченность и конечность вселенной. Из этого
можно сделать вывод о реальности теории зеркальных миров - ведь астронавты,
совершившие путешествие по ленте Мёбиуса и вернувшиеся в исходную точку,
превратятся
в
своих
зеркальных
двойников.
Есть гипотеза, что спираль ДНК сама по себе тоже является фрагментом ленты
Мёбиуса и только поэтому генетический код так сложен для расшифровки и
восприятия. Больше того, такая структура вполне объясняет причину
наступления биологической смерти - спираль замыкается сама на себя и
происходит самоуничтожение или аннигиляция, как подтверждают физики. Они
кстати
3
утверждают, что все оптические законы основаны на свойствах ленты Мёбиуса,
в частности отражение в зеркале - это своеобразный краткосрочный перенос во
времени, длящийся сотые доли секунды, ведь мы видим перед собой своего
зеркального двойника.
Лист Мёбиуса служил вдохновением для скульптур, для графического искусства
и поэзии.
Целью нашей работы является изучение листа Мебиуса и его свойств.
Задачи:
1. Показать, что лист Мёбиуса - объект топологии.
2. Сформулировать свойства листа Мёбиуса.
3. Рассмотреть применение листа Мёбиуса на практике.
4
2. Биография:
Родился на территории княжеской школы Шульпфорта, близ Наумбурга. Его
отец занимал в этой школе должность учителя танцев. Мать Мёбиуса была
потомком Мартина Лютера.
Отец умер, когда мальчику было всего три года. Начальное образование
Мёбиус
получил
дома
и
сразу
выказал
интерес
к
математике.
С
1803 по 1809 годы учился в гимназии-интернате Шульпфорта, затем поступил
в Лейпцигский университет. Первые полгода, в соответствии с рекомендациями
семьи, он изучал право, но затем принял окончательное решение посвятить
жизнь математике и астрономии. Биографы предполагают, что в этом выборе
сказалось
влияние
преподававшего
там
известного
астронома
и
математика К. Б. Моллвейде.
В 1813—1814 годах Мёбиус жил в Гёттингене, где посещал университетские
лекции К. Ф. Гаусса по астрономии. Затем он уехал в Галле, чтобы прослушать
курс лекций математика И. Ф. Пфаффа, учителя Гаусса[1]. В результате Мёбиус
получил глубокие знания по обеим наукам.
Когда Мёбиус работал над докторской (1815), была сделана попытка
призвать его в прусскую армию. С трудом избежав этой угрозы, он успешно
получил докторское звание. В это время Моллвейде перешёл на кафедру
математики и рекомендовал Мёбиуса на освободившуюся кафедру астрономии в
Лейпциге, экстраординарным профессором.
С 1816 года он также работал сначала астрономом-наблюдателем, затем
директором в Плейсенбургской астрономической обсерватории (близ Лейпцига).
Деятельно участвовал в перестройке и оснащении обсерватории.
В 1825 году Моллвейде умер. Мёбиус попытался занять его место, но его
репутация преподавателя была неважной, и университет предпочёл другую
кандидатуру. Однако, узнав, что Мёбиус получил приглашения из других
университетов, руководство повысило его в должности до ординарного
5
профессора астрономии. К этому времени математические исследования
Мёбиуса принесли ему известность в научном мире.
1848: Мёбиус становится директором обсерватории.
Статья о знаменитой ленте Мёбиуса была опубликована посмертно.
6
3. Лист Мебиуса:
Тополо́гия (от др.-греч. τόπος — место и λόγος — слово, учение) — раздел
математики, изучающий в самом общем виде явление непрерывности, в
частности свойства пространства, которые остаются неизменными при
непрерывных деформациях, например, связность, ориентируемость.
Лента Мёбиуса — поверхность с одной стороной и одним краем, поэтому она
является примером объекта, изучаемого топологией.
Рассказывают, что открыть свой "лист Мёбиуса" помогла служанка сшившая
неправильно концы ленты.
Как бы то ни было, но в 1858 году Лейпцигский учёный Август Фердинант
Мёбиус, ученик "короля математиков" К.Ф.Гаусса и многих других из тех, кому
математика обязана своим развитием, послал в Парижскую академию работу,
включающую сведения об этом листе. Семь лет он дожидался рассмотрения
своей работы, и. не дождавшись, опубликовал её результаты.
Чем же интересен этот лист? А тем, что у листа Мёбиуса — всего одна
сторона. Мы же привыкли к тому, что у всякой поверхности, с которой мы
имеем дело (лист бумаги, велосипедная или волейбольная камера) − две
стороны.
Лента Мёбиуса обладает любопытными свойствами. Если попробовать
разрезать ленту пополам по линии, равноудалённой от краёв, вместо двух лент
Мёбиуса получится одна длинная двухсторонняя(рис.1) (вдвое больше
закрученная, чем лента Мёбиуса) лента, которую фокусники называют
"афганская лента". Если теперь эту ленту разрезать посередине, получатся две
намотанные друг на друга (рис.2). Другие интересные комбинации лент могут
быть получены из лент Мёбиуса с двумя или более полуоборотами в них.
Например, если разрезать ленту с тремя полуоборотами, то получится лента,
7
завитая в узел трилистника Разрез ленты Мёбиуса с дополнительными
оборотами даёт неожиданные фигуры, названные парадромными кольцами.
Чтобы сделать лист Мёбиуса надо взять достаточно вытянутую бумажную
полоску и соединить концы полоски, предварительно перевернув один из них.
Находясь на поверхности листа Мёбиуса, можно было бы идти по ней вечно.
Попробуйте покрасить одну сторону листа Мёбиуса — кусок за куском, не
переходя через край ленты. И что же? Вы закрасите весь лист Мёбиуса! "Если
кто-нибудь попробует раскрасить "только одну" сторону поверхности ленты
Мёбиуса, пусть лучше сразу погрузит её всю в ведро с краской",— пишут
Рихард Курант и Герберт Роббинс в превосходной книге "Что такое
математика".
Неожиданность номер три: граница у листа Мёбиуса одна, а не состоит из
двух частей, как у обычного кольца.
Свойство односторонности листа Мёбиуса было использовано в технике: если у
ременной передачи ремень сделать в виде листа Мёбиуса, то его поверхность
изнашивается вдвое медленнее, чем у обычного кольца. Это даёт ощутимую
экономию.
Лист Мёбиуса один из объектов в области математики под названием
топология (по-другому "геометрия положения"). Удивительные свойства листа
Мёбиуса— он имеет один край, одну сторону,— не связаны с его положением в
пространстве, с понятиями расстояния, угла и тем не менее имеют вполне
геометрический характер. Изучением таких свойств занимается топология.
Оказывается, свойства такого типа, несмотря на кажущуюся их непривычность,
связаны как раз с наиболее абстрактными математическими дисциплинами,
именно с алгеброй и теорией функций. В топологии изучаются свойства фигур и
тел, которые не меняются при их непрерывных деформациях.
8
4. Свойства листа Мобиуса:
Основными свойствами ленты Мебиуса являются:
 односторонность,
 непрерывность,
 связность,
 ориентированность,
 “хроматический номер”.
Приведем краткие характеристики этих свойств.
Односторонность. Лента Мебиуса имеет одностороннюю поверхность.
Проверить это можно закрашиванием поверхности ленты. Проводя данную
операцию
мы
получим
целиком
закрашенную
ленту,
но
мы
ее
не
переворачивали.
Непрерывность. Можно как угодно деформировать фигуру, лишь бы точки,
ранее бывшие соседями, оставались одна подле другой и дальше. А, значит, с
топологической точки зрения круг неотличим от квадрата или треугольника,
потому что их легко преобразовать один в другой, не нарушая непрерывности.
На листе Мёбиуса любая точка может быть соединена с любой другой точкой и
при этом ни разу не придётся переползать через край“ленты”. Разрывов нет –
непрерывность полная.
Связность. Если квадрат разрезать от стороны к стороне, то он, естественно,
распадётся на два отдельных куска. Но вот чтобы разделить кольцо на две части,
нужно уже два разреза. Поэтому квадрат– односвязен, кольцо – двусвязны, а
всяческие решётки и подобные сложные фигуры – многосвязны. А лист
Мёбиуса двусвязен, т.к. если разрезать его вдоль, он превратится не в два
отдельных кольца, а в одну целую ленту.
9
Ориентированность – свойство, отсутствующее у ленты Мёбиуса. Так, если
бы человек смог путешествовать по всем изгибам ленты Мёбиуса, то когда он
вернулся бы в исходную точку, он превратился бы в своё зеркальное отражение.
“Хроматический номер” равен максимальному числу областей, которые
можно нарисовать на поверхности так, чтобы каждая из них имела общую
границу со всеми другими. Если каждую такую область выкрасить по-разному,
то любой цвет должен соседствовать с любым другим. Так вот, на листе бумаги,
даже если его склеить в кольцо, ещё никому не удалось расположить пять
цветных пятен любой формы, которые имели бы всеобщую границу. И на сфере,
и на цилиндре их может быть не более четырёх. Это и значит что хроматический
номер этих поверхностей – четыре. А на бублике число соответствующих цветов
равняется семи. Каков же хроматический номер ленты Мёбиуса? Он, как ни
поразительно, равен шести.
10
5. Эксперименты:
Мы провели несколько экспериментов с листом Мебиуса и хотим показать вам,
что у нас получилось.
Эксперимент 1.
Что получится, если обыкновенное (не перекрученное) бумажное колечко
разрезать вдоль его средней линии? Очевидно – два кольца, причем длина
окружности каждого будет такой же, как длина окружности первоначально
взятого колечка. А если вы разрежете лист Мебиуса вдоль его средней линии, то
вместо двух лент получится одна длинная лента с двумя полуоборотами.
Эксперимент 2.
Если разрезать ленту Мёбиуса, отступая от края приблизительно на треть её
ширины, то получаются две ленты, одна-более тонкая лента Мебиуса, другая длинная лента с двумя полуоборотами.
11
Эксперимент 3.
Зацепим лист Мёбиуса и простое кольцо и разрежем каждое звено этой
цепочки по средней линии вдоль. Получится лента с двумя полуоборотами. И за
эту ленту зацеплены два кольца, каждое из которых в два раза уже исходного.
12
6. Применение листа Мебиуса:
Лист Мебиуса находит многочисленное применение в различных областях,
таких как:
 Техника
 Архитектура
 Живопись
 Скульптура
 Логотипы и символы
 Дизайнерская одежда и обувь
 Дизайнерская мебель
 Парфюм
 Спорт
В 2003 году японские учёные смогли получить в лабораторных условиях
односторонние кристаллы в форме мёбиусной ленты.
Существуют технические применения ленты Мёбиуса. Полоса ленточного
конвейера выполняется в виде ленты Мёбиуса, что позволяет ему работать
дольше, потому что вся поверхность ленты изнашивается равномерно. Также в
системах записи на непрерывную плёнку применяются ленты Мёбиуса (чтобы
удвоить время записи).
Во многих матричных принтерах красящая лента также имеет вид листа
Мёбиуса для увеличения её ресурса.
Устройство под названием резистор Мёбиуса — это недавно изобретённый
электронный элемент, который не имеет собственной индуктивности.
Благодаря ленте Мебиуса появился "Механизм управления", на который
получено Авторское свидетельство №1453110 (Приоритет 26.07.1985, автор
13
Смирнов В.Б.). Механизм управления можно применить в детских заводных
игрушках, в конструкции стабилизатора штурвала рулевого привода, в щелевом
затворе фото- или кинокамеры.
Международный символ переработки представляет собой Лист Мёбиуса. Лист
Мёбиуса служил вдохновением для скульптур и для графического искусства.
Эшер был одним из художников, кто особенно любил его и посвятил несколько
своих литографий этому математическому объекту. Одна из известных — лист
Мёбиуса, показывает муравьёв, ползающих по поверхности ленты Мёбиуса.
14
7. Заключение:
Выполняя работу по изучению удивительного листа Мёбиуса, мы узнали о
жизни самого учёного, об истории уникального открытия. Не зря говорят: «Всё
гениальное рядом». Открытие положило начало новому направлению в
математике. Нами была изучена большая разнообразная информация. Она
анализировалась и перерабатывалась.
Мы получила удовольствие, когда выполняла опыты. Результаты были
очевидны, поскольку эксперименты проводились с обычным кольцом и листом
Мёбиуса. Так я узнала об удивительных свойствах листа Мёбиуса. Для меня это
были маленькие открытия. Предположение, что лента Мёбиуса обладает
удивительными свойствами, подтвердилась.
Используя источники сети Интернет, я обратила внимание на широкое
применение Листа Мёбиуса. Он так нужен в практической жизни!
Поэтому этому математическому объекту и поставили памятники в Москве,
Вашингтоне, в республике Беларусь и Литве.
Конечно же, главная ценность листа Мёбиуса состоит в том, что он дал толчок
новым обширным математическим исследованиям. Именно поэтому его часто
считают символом современной математики и изображают на различных
эмблемах и значках, как, например, на значке механико-математического
факультета Московского университета.
15
8. Список литературы:
1. Даль В. «Толковый словарь», Москва, 1983г.
2. Осипов Ю.С. «Детская энциклопедия», Москва, Изд. «Научное издательство»,
2009г.
3. Депман И.Я. «За страницами учебника математики». Москва, изд.
«Просвещение», 1989г.
4. Гарднер М. №Математические чудеса и тайны», изд. «Наука» , 1978г.
5.Газета «Математика». № 3, 2007г. Изд. «Первое сентября»
6. Горохова Л.И. «Уроки математики». Современная школа, Москва,
изд. «Глобус» , 2009г.
7. Сайты сети Интернет.
16