М и н с

Министерство экономического развития и торговли
Российской Федерации
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
Государственный университет – Высшая школа экономики
ФАКУЛЬТЕТ МАТЕМАТИКИ
УТВЕРЖДАЮ:
Проректор
___________________С.Ю. Рощин
«___» __________________2008 г.
Рабочая программа дисциплины
«Алгебра»
(дополнительные главы)
Направление: 010100.62 «Математика»
Подготовка: магистр
Форма обучения: очная
Утверждена УС
факультета математики
Ученый секретарь доцент
Одобрена на заседании
кафедры алгебры
Зав. кафедрой, д. ф.-м. н., профессор
_________________________Ю.М.Бурман
«___» ________________________2008 г.
_______________________А.Н. Рудаков
«___» ______________________2008 г.
Москва
2008
Рабочая программа дисциплины «Дополнительные Главы Алгебры» [Текст]/Сост. Рудаков
А.Н.; ГУ-ВШЭ.–Москва.–2008.–5 с.
Рабочая программа составлена на основе государственных требований к минимуму содержания
и уровню подготовки магистров Государственного образовательного стандарта высшего
профессионального образования по направлению 010100 «Математика».
Рабочая программа предназначена для методического обеспечения дисциплины основной
образовательной программы по направлению 010100 «Математика».
Составитель: д.ф.-м.н., проф. Рудаков А.Н. (rudakov@hse.ru)
©
©
Рудаков А.Н., 2008.
Государственный университет–Высшая школа экономики, 2008.
2
Цели и задачи изучения дисциплины, ее место в учебном процессе
1.1. Цель изучения дисциплины. Курс рассчитан на студентов, собирающихся изучать
дисциплины, требующие привлечения более глубоких алгебраических результатов, выходящих
за рамки стандартного курса бакалавриата, а также студентов, собирающихся
специализироваться в области алгебры, алгебраической геометрии, теории представлений или
теории чисел.
1.2. Задачи изучения дисциплины. В курсе рассматриваются более глубокие результаты о
многочленах, линейных операторах и матрицах, и других фундаментальных алгебраических
систем – групп, порожденных отражениями, систем корней, формальных степенных рядов,
представлений симметрических и линейных групп. Курс служит основой для более
абстрактных специальных курсов по различным направлениям алгебры.
1.3. Перечень дисциплин и разделов, знание которых требуется для изучения данной
дисциплины: алгебраические курса бакалавриата.
Тематический план
№
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Название темы
1 семестр
Многочлены и их корни: теоремы Коши, ГауссаЛюка, результант и дискриминант, разделение корней,
теоремы Штурма, Сильвестра, многочлены Чебышева.
Матричнозначные
функции:
правила
дифференцирования, производная детерминанта,
экспоненты, поведение собственных значений.
Положительно-определенные матрицы: собственные
значения, свойства детерминантов, монотонные
матричные функции. Положительные матрицы:
теоремы Перрона-Фробениуса.
Разложение
Жордана-Шевалле:
жорданова
нормальная форма эндоморфизма, полупростые и
унипотентные элементы, разложение Жордана в
алгебраических матричных группах, перестановочные
эндоморфизмы, диагонализируемые группы, веса и
корни.
Группы Кокетера: длина и приведенные разложения,
системы Коксетера, условие замены, характеризация
групп Коксетера, матрицы и графа Коксетера.
Группы, порожденные отражениями: камеры и
ячейки, отражения, связь с системами Коксетера,
теорема о фундаментальной области, строение
инвариантов, преобразование Коксетера.
2 семестр
Системы корней: веса и корни, камеры и базисы,
положительные корни, фундаментальные веса, группа
Вейля, инварианты и анти-инварианты, графа
3
Всего
часов
по
дисци
плине
В том числе аудиторных
Самос
тоятел
ьная
работа
Всего
Лекци
и
Семи
нары
108
72
36
36
36
18
12
6
6
6
18
12
6
6
6
24
16
8
8
8
18
12
6
6
6
30
20
10
10
10
108
72
36
36
36
36
24
12
12
12
№
Название темы
Всего
часов
по
дисци
плине
В том числе аудиторных
Самос
тоятел
ьная
работа
Всего
Лекци
и
Семи
нары
24
16
6
6
6
24
16
8
8
8
24
16
8
8
8
216
144
72
72
72
Дынкина, классификация конечных систем корней,
обобщенные матрицы Картана и системы корней.
7.
8.
9.
Симметрическая
группа:
симметрические
многочлены, базисы в симметрических многочленах,
многочлены Шура, таблицы и схемы Юнга, модули
Шпехта, кольцо представлений, правило ЛиттлвудаРичардсона. Коинварианты.
Представления классических линейных групп:
инварианты, первая фундаментальная теорема,
тензорные
инварианты,
приложения
фундаментальной теоремы, двойственности Хау.
Формальные степенные ряды и производящие
функции: кольцо формальных степенных рядов и поле
формальных рядов Лорана, описание алгебраического
замыкания поля рядов Лорана, дифференцирование и
интегрирование производящих функций, решение
дифференциальных
уравнений,
производящие
функции
известных
последовательностей,
формальные грамматики – теорема Лагранжа,
асимптотика коэффициентов производящего ряда.
Итого:
4
Формы текущего контроля: 2 самостоятельные работы.
Форма итогового контроля: 1 зачёт (1 семестр), 1 экзамен (2 семестр).
Темы самостоятельных работ:
Предлагаются индивидуально.
Основная литература
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Прасолов В.В. Многочлены.–М.: МЦНМО, 2001.
Lax, Peter D. Linear Algebra. .– N-Y.: JohnWiley, 1997.
Н. Бурбаки. Группы и алгебры Ли: группы Коксетера и системы Титса; группы,
порожденные отражениями; системы корней. – М.:Мир, 1972.
Хамфри Дж. Линейные алгебраические группы. – М.:Наука, 1980.
Фултон У. Таблицы Юнга и их приложения к теории представлений и геометрии.–М.:
МЦНМО, 2006.
Goodman R., Wallach N.R., Representations and invariants of the classical groups. Cambridge
U.Press, 1998.
Ландо С.К., Лекции о производящих функциях.–М.: МЦНМО, 2002.
Дополнительная литература
8.
9.
Кац В., Бесконечномерные алгебры Ли. – М.: Мир, 1993.
Макдональд И., Симметрические функции и многочлены Холла. – М.: Мир, 1985.
Автор программы: _____________________________ А.Н.Рудаков
5