ВОПРОСЫ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ

ВОПРОСЫ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ
ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ
(III семестр, 2006–2007 уч. год)
1. Дифференциальные уравнения 1-го порядка: определение дифференциального
уравнения, его решения; задача Коши; общее, частное, особое решения. Теорема
существования и единственности решения.
2. Уравнения с разделенными переменными. Уравнения с разделяющимися переменными и приводящиеся к ним.
3. Однородные уравнения 1-го порядка и приводящиеся к ним.
4. Линейные уравнения 1-го порядка. Метод Лагранжа и метод Бернулли. Уравнение
Бернулли.
5. Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель.
6. Уравнения первого порядка, не разрешенные относительно производной: 1) уравнения первого порядка, разрешаемые относительно y  неоднозначно; 2) неполные
уравнения, параметрический метод решения; 3) уравнения Клеро и Лагранжа.
7. Уравнения высших порядков: определение, общее решение, задача Коши, теорема
существования и единственности решения.
8. Уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка: 1) вида
F ( x, y ( n ) )  0 ; 2) не содержащие искомой функции и ее производных до ( k  1) -го
порядка включительно; 3) не содержащие независимого переменного; 4) однородные относительно неизвестной функции и ее производных.
9. Линейные однородные дифференциальные уравнения высших порядков: 1)свойства
решений, 2) определитель Вронского, теорема об определителе Вронского для линейно зависимых на (a, b) функций, 3) теорема об определителе Вронского для линейно независимых решений ЛОДУ n -го порядка, 4) Теорема о размерности пространства решений ЛОДУ. ФСР.
10. ЛОДУ с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение. Отыскание
общего решения ЛОДУ с постоянными коэффициентами в зависимости от корней
характеристического уравнения.
11. ЛОДУ порядка 2 с произвольными коэффициентами.
12. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения высших порядков: метод
вариации произвольных постоянных, структура общего решения ЛНДУ, отыскание
частного решения ЛНДУ по виду правой части уравнения, теорема о наложении
решений.
13. Приближенные методы интегрирования дифференциальных уравнений первого порядка: классификация методов, метод последовательных приближений и интегрирование дифференциальных уравнений с помощью рядов.
14. Краевые задачи. Задача Штурма – Лиувилля.
15. Системы дифференциальных уравнений: общий вид системы, решение системы.
Канонические и нормальные системы. Задача Коши, теорема существования и
единственности решения системы. Метод решения нормальной системы путем сведения к одному уравнению порядка n .
16. Линейные однородные системы: 1) свойства решений, 2) линейное пространство
D n ( a, b ) , определитель Вронского n векторов пространства D n ( a, b ) , теорема об
определителе Вронского для линейно зависимых на ( a, b ) векторов пространства
D n ( a, b ) , 3) теорема об определителе Вронского для линейно независимых реше1
ний линейной однородной системы дифференциальных уравнений, 4) теорема о
пространстве решений линейной однородной системы, ФСР.
17. Линейные однородные системы с постоянными коэффициентами, метод Эйлера.
18. Линейные неоднородные системы: метод вариации постоянных, структура общего
решения линейной неоднородной системы, теорема о наложении решений.
19. Устойчивость решения дифференциального уравнения и системы дифференциального уравнения. Устойчивость автономных систем. Типы точек покоя.
20. Уравнения в частных производных: основные определения, первые интегралы системы обыкновенных дифференциальных уравнений, симметричная форма записи
системы обыкновенных дифференциальных уравнений, линейные однородные
уравнения в частных производных первого порядка и их интегрирование, линейные
неоднородные уравнения в частных производных первого порядка и их интегрирование.
21. Двойной интеграл: определение, геометрический и физический смысл, необходимое
условие существования двойного интеграла, достаточные условия существования
двойного интеграла, свойства, вычисление в декартовых координатах, замена переменных в двойном интеграле, приложения двойных интегралов.
22. Тройной интеграл: определение, геометрический и физический смысл, теоремы существования, свойства, вычисление в декартовых координатах, замена переменных
в двойном интеграле, приложения тройных интегралов.
23. Криволинейные интегралы I рода: определение, геометрический и физический
смысл, теорема существования, свойства, вычисление, приложения криволинейных
интегралов I рода.
24. Криволинейные интегралы II рода: определение, физический смысл, теорема существования, свойства, вычисление, приложения криволинейных интегралов II рода.
25. Связь между криволинейными интегралами II рода и двойными интегралами. Связь
между криволинейными интегралами I и II рода.
26. Криволинейные интегралы II рода, не зависящие от пути интегрирования: необходимое и достаточное условия независимости криволинейного интеграла II рода от
пути интегрирования. Необходимое и достаточное условия равенства нулю криволинейного интеграла II рода по замкнутому контуру.
27. Нахождение функции по ее полному дифференциалу.
28. Поверхностные интегралы I рода: определение, геометрический и физический
смысл, теорема существования, свойства, вычисление, приложения поверхностных
интегралов I рода.
29. Поверхностные интегралы II рода: определение, теорема существования, свойства,
вычисление.
30. Связь между поверхностными интегралами I и II рода.
31. Формула Остроградского-Гаусса, формула Стокса (в векторных и скалярных формах).
32. Векторное поле: Определение, основные характеристики (векторные линии, поток и
дивергенция, ротор и циркуляция). Типы векторных полей.
2
ДОКАЗАТЬ
1. Найти интегрирующий множитель линейного дифференциального уравнения первого порядка и уравнения Бернулли.
2. Доказать теорему о среднем для двойного (тройного, криволинейного I рода, поверхностного I рода) интеграла. С помощью теоремы о среднем найти
1
R0  R 2
где
f  x, y  dxdy ,

lim
x2  y 2  R2
f  x, y  – непрерывная функция.
3. Вывести формулу для определения статического момента или момента инерции
плоской области (тела, кривой, поверхности).
4. Доказать, что если (S ) – замкнутая кусочно-гладкая поверхность, N – нормаль к
поверхности (S ) , C – ненулевой постоянный вектор, то


cos(N , C )ds  0 .

[  diva  ( a, grad )]dV ,
(S )
5. Доказать формулу
 ( a, n
0 )ds
(S )
(V )
где    ( x , y, z ) , (S ) – поверхность, ограничивающая тело (V ) , n 0 – орт
внешней нормали к (S ) .
6. Доказать, что если (S ) – замкнутая кусочно-гладкая поверхность и функция
u ( x , y, z )
удовлетворяет
u
ds  0 , где

n
(S )

уравнению
2u 2u 2u


0,
dx 2 dy 2 dz 2
Лапласа
то
u
– производная по направлению нормали к поверхности
n
(S ) .
7. Доказать, что если (S ) – замкнутая кусочно-гладкая поверхность,
u( x , y, z ) является многочленом второй степени и
нию нормали к (S ) , то интеграл
функция
u
– производная по направлеn
u
ds пропорционален объему тела (V ) ,

n
(S )

ограниченному поверхностью (S ) .
8. Пусть ( ) – кусочно-гладкая замкнутая кривая, расположенная в некоторой плоскости, и a  P i  Q j  R j , где P , Q , R – линейные функции от x , y ,
зать, что если циркуляция
 Pdx  Qdy  Rdz
( )
отлична от нуля, то она пропор-
циональна площади области (S ) , ограниченной ( ) .
3
z . Дока-