Решение задач упорядочивания вариантов с использованием

1
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ УПОРЯДОЧИВАНИЯ ВАРИАНТОВ
С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ФАКТОР-МНОЖЕСТВ, ПРЕДСТАВЛЕННЫХ
АССОЦИАТИВНЫМИ МОДЕЛЯМИ
Кандырин Ю.В., Кошелев А.М.
В работе рассмотрены методы автоматизированного решения задач упорядочивания
альтернатив на множестве однородных вариантов, позволяющие формировать очереди на
ремонт технических объектов по совокупности показателей качества. Материалы статьи
развивают, дополняют и детализируют методику «Сравнительного анализа технических
объектов с целью формирования очередей ремонтов», опубликованную в журнале
«Надежность» № 2(13) за 2005г. -С. 34-44.
Существует широкий спектр задач, в которых необходимо упорядочивание объектов по
принятым правилам. К ним относятся задачи оптимального планирования ремонтов по
совокупности показателей качества среди однородных объектов, задачи создания критериально
структурированных баз данных для справочных систем в САПР [2] - [5] и целый ряд других.
В результате их решения можно создавать автоматизированные справочники для элементной
базы конструкций, "настроенные" на функциональные требования; существенно повышать
надежность систем и отдельных объектов за счет оптимизации порядка вывода в ремонт
оборудования с учетом критериев надежности,
устанавливая очереди на ремонты,
обслуживание и замены оборудования, а также решать многие другие проблемы, требующие
задания приоритетов вариантов по результатам сравнений.
Такие задачи по существу является подклассом задач выбора < C,  > где  - множество
возможных альтернатив (МВА)  = {i}, i={1, N} а C - функция выбора, отражающая
принятый
принцип
оптимальности
(ПО).
Функция
выбора
С = СД  СК включает требования по допустимости альтернатив - СД, а также совокупность
критериальных требований СК и определяет подмножество предпочтительных  Д вариантов
0
среди допустимых альтернатив
Д0  Д  ,
 0Д = С().
Решение задач выбора нацелено на выделение нехудших или лучших альтернатив в
принятом смысле и может осуществляться по различным принципам оптимальности.
В отличие от задач выбора оптимальных вариантов, в задачах структурирования должен
осуществляться не просто выбор оптимальных вариантов, а производиться последовательное
упорядочивание альтернатив на всем множестве . Правила, положенные в основу задания
приоритетов могут быть различными, а значит и результат упорядочивания может оказаться
разным [1]. Он напрямую зависит от критерия сравнения назначаемого лицом, принимающим
решения (ЛПР), исходя из целей операции.
В данной работе авторами предлагается алгоритм установления приоритетов
альтернатив, построенный на использовании Парето расслоений и основанный на механизме
представления МВА  в виде фактор-множеств заданных ассоциативными структурами. Такой
алгоритм позволяет решать задачи сравнения и выбора вариантов произвольной размерности, и
устанавливать предпочтения в виде очередей альтернатив на множестве . Прежде чем
2
приступать к анализу, кратко остановимся на определении фактор-множества и укажем путь
решения задачи методом пересечения окрестностей фактор-множеств [2].
Пусть имеется множество исходных данных, представленное в виде реляционного
отношения (рис. 1). Характеристики {Pl}, l={1,M} альтернатив {i} описываются их
значениями {pil}.
Варианты {i}
1
2
------------------
N
Характеристики альтернатив {Pl} и их значения
Характеристика 1
Характеристика 2
----Характеристика M
(P1)
(P2)
(PM)
----p11
p12
p1M
----p21
p22
p2M
---------------------------------------------------------------------------pN1
pN2
pNM
Рис 1. Структура исходных данных в виде реляционного отношения.
Фактор-множеством /R (множества  по отношению R) называется множество
окрестностей единичного радиуса, взятых для всех i  , i={1,N} .
Под окрестностью Оi единичного радиуса элемента i будем понимать множество
элементов {i*}, доминирующих или эквивалентных i, таких, что они могут быть описаны
следующим линейным порядком: {i*},i   R (для min). Очевидно, что окрестностью
минимальных элементов является пустое множество. Отношение R определяет доминирование
альтернатив при их бинарном сравнении. В самом общем виде это отношение может задаваться
безусловными, неметрическими критериями: Парето, Слейтера, или условными,
неметрическими критериями: L-критерием, критерием с уступками, а также метрическими
свертками аддитивного или мультипликативного типа.
В предлагаемой вниманию работе в качестве правила сравнения вариантов принимается
критерий Парето, позволяющий устанавливать порядки с минимумом требуемой начальной
информации. Определим окрестность Оi в фактор-множестве /kl для отношения = по
показателю качества kl как Оi(/kl)  {j: kl(j )  kl(i ), j,i  , j  = i }. Тогда фактормножество /kl можно представить как совокупность окрестностей /kl={Оi(/kl)}, i
={1,||=N}, l={1,M}. Для построения фактор-множеств, необходимо обладать информацией о
линейных порядках альтернатив L(/kl), l={1,M} по показателям качества {kl}. Представление
линейных порядков в виде реляционного отношения показано на рис. 2.
Вид порядка
Линейные порядки альтернатив для каждого kl
L( | k1)
<i, i+1,...,N >1 , i={1, N}, i  i+1 по k1
L( | k2)
<N, i+1,...,i >2 , i={1, N}, i+1  i по k2
………………..
…………………………………………….
L( | kM)
<i+1, i,...,N >N , i={1, N}, i+1  i по kM
Рис 2. Линейные порядки альтернатив показателям качества
Пример описания фактор-множеств совокупностью
альтернативы в реляционной модели данных приведен на рис. 3.
окрестностей
для
каждой
3
Рис 3. Фактор-множества представленные набором совокупностей окрестностей
В [2] доказано, что решение задачи выбора оптимальных по Парето вариантов для
совокупности показателей качества {kl}, l ={1,M} можно получить пересечением фактормножеств меньшей размерности
Oi((/{k1,k2...kl}) = Oi(/k1 )  Oi(/k2) … Oi(/kl).
Известно,
s = ( \
что
s-слой
по
Парето
s
на
множестве

(1)
определяется
как
s1
U   ). Причем, все элементы в каждом
таком слое несравнимы между собой без

привлечения дополнительной информации и каждый элемент слоя принадлежит одному и
только одному классу подмножеств -расслоения на .
Для построения алгоритма автоматизированного многокритериального упорядочивания
оптимальных по Парето вариантов в слое введем ассоциативную модель описывающую фактормножества /kl (рис.4).
Альтернативы\ i-Окрестности
О1(1 /kl)
О2(2 /kl)
........
ОN(N /kl)
1
2
……
N
0
B21
…….
BN1
B12
0
…….
BN2
…….
…….
…….
…….
B1N
B2N
…….
0
Рис 4. Ассоциативная матрица фактор-множества  /kl,
представленная совокупностью окрестностей всех альтернатив.
Элемент Bij ассоциативной матрицы определяется следующим образом
0,  j   i, i , j  L( | kl ),

Bi , j  0, i  j ,
1,    ,   L( | k ),
j
i
i, j
l

i  j  {1, N },
i  j  {1, N },
l  {1, M },
l  {1, M }.
(2)
В случае, когда альтернативы несравнимы, элемент Bi,j принимает значение "1" (см.
определение окрестности альтернативы).
Такие структуры могут определять фактор-множества любого порядка и позволяют
решать задачи выбора на основе булевой алгебры, посредством дизъюнкции ассоциативных
матриц. В результате пересечения фактор-множеств по каждому из показателей качества может
быть получена результирующая ассоциативная матрица (РАМ) более высокого порядка для
совокупности показателей качества, представленная на рис. 5.
4
Альтернативы\ i-Окрестности
О1(1 /{kl})
О2(2 /{kl})
........
ОN(N /kl)
1
2
……
N
0
G12
…….
G1N
G21
…….
GN1
0
…….
GN2
…….
…….
…….
G2N
…….
0
Рис 5. Результирующая ассоциативная матрица (РАМ)
Элемент РАМ определяется следующим образом:
1
2
l
M

1, Bi , j  Bi , j  ...Bi , j ...  Bi , j  1
Gi , j  
1
2
l
M

0, Bi , j  Bi , j  ...Bi , j ..  Bi , j  0
,
(3)
где Bil, j - элемент ассоциативной матрицы для показателей качества {kl}. Альтернатива i
включается в множество -решений, если для столбца, т. е. для окрестности альтернативы i:
Оi(i/{kl}) выполняется условие
N
G
i 1
i, j
 0,
(4)
означающее отсутствие альтернатив, доминирующих вариант i.
Так как "0" окрестности (4) однозначно определяют -оптимальные варианты, то после
их удаления, для дальнейшего структурирования  можно переходить к поиску второго слоя.
Следующий, второй слой, будет содержать все 2 - нехудшие варианты для \1. Далее
осуществляется переход к следующему -слою, содержащему нехудшие варианты из
оставшегося множества, не включающего альтернативы предыдущих слоев. Если после
исключения альтернатив всех предыдущих слоёв мощность  \
s1
U     , то задача  -

структурирования вариантов на МВА  завершена.
Рассмотрим методы получения  -расслоений в ассоциативных структурах фактормножеств.
Метод исключения столбцов и строк из РАМ
Цель метода – найти все s-слои на МВА . Для этого последовательно из
результирующей матрицы удаляются столбцы и строки, соответствующие вариантам,
имеющим на данном шаге пустые окрестности Оi(i/{kl}) = . То есть, если i - входит в
множество нехудших решений s, то столбец Оi(i /{kl}) и строка i исключается из
ассоциативной матрицы (рис. 6).
5
Альтернативы \ Окрестности О1(1 /{kl})
0
1
2
…
i
…
N
G21
…….
Gi1
…
GN1
...
Оi(i /{kl})
…
ОN(N /{kl})
…
G1i = 0
…
G1N
…
…
…
…
…
G2i = 0
…
…
…
…
…
G2N
…
Gii = 0
…
GNi = 0
…….
GiN
…
0
Рис 6. Исключение альтернативы i из РАМ
Если в матрице на s-шаге окажется q нулевых столбцов, то удаляются все эти столбцы и
соответствующие им строки (рис. 7).
Альтернативы \ Окрестности О1(1 /{kl})
G11
1
G21
2
…………………………
…….
GN-q,1
N-q
О2(2 /{kl})
…
ОN-q (N-q /{kl})
G12
G22
…….
GN-q,2
…
…
…
…
G1N-q
G2N-q
…….
GN-q,N-q
Рис 7. Матрица, полученная в результате исключений нехудших вариантов
Как видно из рис. 7, результирующая матрица уже не содержит альтернатив предыдущих
s-1 -слоёв и их окрестностей. Дальнейший анализ, сводится к использованию выражения (4) и
дальнейшему исключению альтернатив, входящих в последующее (s+1) множество нехудших
решений.
Достоинством данного метода является наглядность и простота при эвристическом
анализе ассоциативных матриц, а недостатком - трудоемкость реализации в компьютерном
варианте. Удаление столбцов и строк может оказаться затруднительным, т. к. это требует
перехода либо к новой матрице, либо наделения каждого столбца и каждой строки свойством,
отражающим возможность пропуска обработки строки (столбца).
Рассмотрим далее еще один предлагаемый вариант введения  -расслоения.
Метод последовательного перемещения слоев в РАМ.
Будем изменять результирующую ассоциативную матрицу так, чтобы искусственно
ухудшать нехудшие альтернативы каждого текущего s -слоя. Идея последовательного анализа
принадлежности вариантов к текущему паретовскому слою, с последующим его «ухудшением»
демонстрируется рис. 8 (для min).
6
Третий
Парето слой
Второй
Парето слой
ПК 2
Первый
Парето слой
3. Ухудшение
третьего слоя
2. Ухудшение
второго слоя
1. Ухудшение
первого слоя
ПК 1
Рис. 8. Последовательное ухудшение s - слоёв для установления приоритетов
Пусть, например (рис. 6), альтернатива i входит в первый 1-слой, т.к. Оi(i/{kl}) = 
и, следовательно, должна быть перенесена в самый «худший слой». Перенос альтернативы
производится по следующему правилу: в столбец, соответствующий Оi(i /{kl}) в ячейки
заносится «1» (это означает, что
Альтернативы\Окрестности
1
2
........
i
1
2
…
i
G11
G21
G12
G22
…….
…….
1
1
G1N
G2N
…….
0
…….
GN1
…….
0
…….
GN2
…….
…….
…….
…….
…….
0
…….
1
…….
0
…….
GNN
…
N
........
N
Рис 9. Искусственное перемещение  -слоев
альтернатива i будет хуже всех вариантов, кроме самой себя), в остальные столбцы, в
ячейки, соответвующие i заносится «0» (альтернативы становятся лучше исключаемой (рис.
9)).
При перемещении нескольких альтернатив {j}, j = {1, q  N} изменяются только те
значения элементов, которые не имеют индексов перемещаемых альтернатив. При этом
значения Gip , Gpi для i  {j} принимают вид
Gpi = 1, p ≠ i, p ≠ j, p = {1, [N - (q - 1)]}, j = {1, q  N}, i = {1, N}
Gip = 0, p  i, p ≠ j, p = {1, (N - q}, j = {1, q  N}, i = {1, N}
(5)
где i – индекс исключаемых альтернатив: i  {j}.
Выражение (5) иллюстрируется ниже приведенным примером. Ограничение p ≠ j
необходимо для сохранения информации о доминируемости между альтернативами. Если его
снять, то перемещаемый слой расслоится на j слоев.
Указанное преобразование должно быть проведено для всех исключаемых альтернатив.
Полученная ассоциативная матрица вновь исследуется на наличие нехудших решений по
7
правилу (4), после переноса s-1 решения по правилу (5), осуществляется переход к следующему
паретовскому слою и т. д. Главным достоинством данного метода является сохранение
размерности (N) результирующей матрицы, что существенно облегчает алгоритм реализации на
ЭВМ.
Критерии остановки перемещения  -слоёв.
В работе предлагается несколько способов контроля последнего шага в методе
последовательного перемещения слоев:
 Накапливание альтернатив. Ведется подсчет ухудшаемых альтернатив. Как
только была включена последняя альтернатива из , поиск останавливается. Перенос s
-слоя, состоящего из Λ альтернатив приводит к
s
s
s 
s 
  s = (s-1)  + Λ; где   s  – накопленное количество альтернатив.
s
При этом условие прекращения построения расслоений   s  = N
s 

Сравнение
ассоциативных
матриц
слоев.
Каждый
последующий
s -слой, идентифицируется с первым 1 посредством сравнения матриц. При их
совпадении, поиск прекращается. Условие прекращения построения слоев можно
выявить тождеством АМs  АМ1 , где АМs - ассоциативная матрица текущего s -слоя
(т.е. слоя, где осуществляется, в настоящий момент, поиск нехудших альтернатив), АМ1 ассоциативная матрица первого 1 -слоя.
При использовании метода исключения столбцов, прекращение поиска осуществляется
при удалении последней строки и последнего столбца матрицы, соответствующих последней
исключаемой альтернативе.
Рассмотрим пример, иллюстрирующий применение метода последовательного
перемещения слоев для установления приоритетов вариантов на МВА .
Пример
Пусть исходное множество  задано шестью альтернативами, для каждой из которых
определены три числовые характеристики – показатели качества k1, k2, k3 . Описание исходного
множества представим реляционной моделью (рис. 10). Пусть требуется получить очередь
альтернатив при следующих ингредиентах Р1 = k1 , Р2 = k2  двух показателей качества.
Альтернативы \
Характеристики
k1 
k2 
k3
1
2
3
4
5
6
20
10
30
5
40
35
30
15
20
10
35
40
1.5
2
1.7
2
1.0
1.9
Рис. 10. Реляционная модель исходных данных
8
Решение задачи начнем с построения линейных порядков по k1 и k2. (Построение
линейного порядка по столбцу k3 не требуется, т. к. эта характеристика не используется по
условию задачи.)
L(/k1) = < 5, 6, 3, 1, 2, 4 >,
L(/k2) = < 6, 5, 1, 3, 2, 4 >.
Построим ассоциативные матрицы фактор-множеств по каждому линейному порядку.
Элементы этих матриц определяются выражением (2).
На рис.11 представлена АМ1 для фактор-множества /k1, а на рис.12 представлена АМ2
для фактор-множества /k2.
Рис 11. Ассоциативная матрица АМ1 для фактор-множества /k1
Столбцы этой матрицы представляют собой окрестности соответствующих вариантов.
Соответственно, пустые окрестности (О5(5 /{kl}) = ) идентифицируют недоминируемые
варианты (в данной матрице - 5).
Рис 12. Ассоциативная матрица АМ2 для фактор-множества /k2
Результирующую ассоциативную матрицу (РАМ) получаем путем пересечения окрестностей
Oi фактор-множеств /k1  /k2 для всех альтернатив (1).
9
Рис. 13. Результирующая ассоциативная матрица фактор-множества  /{k1, k2}
Анализ результирующей матрицы для /{k1, k2} позволяет выделить множество
нехудших решений, как совокупность недоминируемых альтернатив, имеющих пустые
окрестности О5 (5) и О6 (6): {5, 6}.
Для дальнейшего поиска решения воспользуемся методом последовательного
перемещения слоев. Искусственно ухудшим альтернативы 1-слоя {5, 6}. Для этого по
правилу (5) элементы в столбцах, соответствующих 5 и 6 должны принять значение «1», а
все элементы в строках, соответствующих 5 и 6  значение «0». Серым тоном выделены
строки и столбцы, подвергающиеся преобразованию. Так, как элементы 5 и 6 ухудшаются
одновременно (находятся в одном слое), то элементы G56, G65, в соответствии с (5) не изменяют
свое значение. Соответствующее преобразование ассоциативной матрицы показано на рис. 14.
Рис 14. Преобразование матрицы  / {k1, k2}, искусственным ухудшением 1 -слоя
Итак, матрица /{k1, k2} после искусственного ухудшения первого 1 -слоя примет вид,
представленный на рис. 15, а число ухудшенных альтернатив равно 2.
10
Рис 15. Результирующая матрица после перемещения 1 -слоя
Очевидно, что теперь множество неулучшаемых альтернатив, соответствующее строкам
с нулевыми элементами, задает 2-слой: π2 - {1, 3}. Вновь, преобразовывая матрицу по ранее
рассмотренному правилу (5), переносим 1 и 3 в подмножество худших вариантов.
Рис 16. Преобразование матрицы, представленной на рис. 15 с целью
искусственного ухудшения альтернатив 1, 3
В результате матрица /{k1, k2} после «перемещения» 1 и 2 слоев в число худших,
приобретает вид, представленный на рис.17, а общее число ухудшенных альтернатив
становится равным 4.
Рис 17. Результирующая матрица после перемещения 2 -слоя в
подмножество худших вариантов
Проводим дальнейшее преобразование матрицы, перемещая нехудшие варианты 3 слоя, состоящего из одного варианта {2} в число худших.
11
Рис 18. Преобразование результирующей матрицы (рис. 17) для выявления
4-го паретовского слоя
В четвертом 4-слое идентифицируется одна альтернатива - 4, а общее число
альтернатив, входящих в четыре 1-4 -слоя составит 5.
Рис 19. Результирующая матрица после перемещения 3 -слоя в число худших
Для демонстрации метода сравнения ассоциативных матриц преобразовываем матрицу,
изображенную на рис.19 посредством искусственного ухудшения варианта 4 по ранее
принятым правилам (5).
Рис 20. Преобразование результирующей матрицы к 5-му паретовскому слою.
Метод накапливания альтернатив указывает на возможность остановки поиска, так как
общее число ухудшенных альтернатив достигло 6 = .
12
После
преобразования
матрицы
получим
идентифицирующую в качестве оптимальных снова 5 и 6.
результирующую
матрицу,
Рис 21. Результирующая матрица после перемещения 4 -слоя.
Сравнивая матрицы, изображенные на рис. 21 и рис. 12 убеждаемся, что они абсолютно
идентичны, поэтому поиск может быть прекращён. Однако число накопленных альтернатив
стало равно 6 еще до перемещения 4–го паретовского слоя, т.е. поиск можно было прекратить
раньше. Это и определяет метод накапливания альтернатив, как приоритетный по отношению к
методу сравнения ассоциативных матриц слоев, из-за меньшего числа итераций. Итак,  расслоение по двум показателям качества {k1, k2} приводит к следующему линейному порядку
<{5, 6}, {1, 3}, 2, 4>, на основании которого может быть задана очередь на ремонт в
среде однородных альтернатив.
Выводы
В работе рассмотрены методы упорядочивания вариантов с целью построения очередей
на ремонт однородных объектов и для построения критериально упорядоченных
автоматизированных справочных систем с привлечением фактор-множеств, описываемых
ассоциативными структурами. Каждый из рассмотренных методов выявления приоритетов
альтернатив может применяться как в автоматизированном (на ЭВМ), так и в «ручном»
вариантах. Необходимо отметить, что метод ухудшения альтернатив рекомендуется к
реализации на ПЭВМ, т.к. размер результирующей матрицы не изменяется. В свою очередь,
метод исключения строк и столбцов целесообразно использовать при решении задач выбора без
применения ПЭВМ из-за более простого и наглядного алгоритма. При построении очередей оба
метода перемещения слоев дают идентичные решения, однако выбор между этими методами в
пользу одного из них необходимо делать, следуя рекомендациям, указанным выше. При
использовании метода последовательного перемещения слоев для построения очереди, в
качестве критерия остановки процесса рекомендуется использовать сравнение исходных и
перемещенных альтернатив.
13
Литература
1. Горбатов В.А. Теория частично упорядоченных систем. -М.: Сов. радио, 1976г. -336 стр.
2. Кандырин Ю.В. Методы и модели многокритериального выбора вариантов в САПР.
Учебное пособие для Вузов. М.: Издательство МЭИ, 2004г. – 172с.
3. Кандырин
Ю.В.
Принципы
построения
информационных
систем
для
автоматизированного многокритериального выбора. –М.: Журнал “Радиотехника”,
1999г. № 5. -С. 32-37
4. Кандырин Ю.В. Автоматизированный многокритериальный выбор альтернатив в
инженерном проектировании. Учебное пособие. -М.: Издательство МЭИ, 1992г – 73с.
5. Кандырин Ю.В. Анализ свойств неметрических критериев выбора компонентов
электронных устройств Журнал «Надежность» № 3 (10). -М.: Издательский Дом
«Технологии» 2004г. – С. 48-54.
6. Кандырин Ю.В. Сравнительный анализ технических объектов с целью формирования
оптимальных очередей ремонтов. Журнал «Надежность» № 2 (13). -М.: Издательский
Дом «Технологии» 2005г. – С. 34 - 44.
7. Кошелев А.М., Кандырин Ю.В. Алгоритм построения фактор-множеств для решения
задач многокритериального выбора. Материалы Х Международной научно-технической
конференции студентов и аспирантов, -М.: Издательство МЭИ, 2-3 марта 2004г. С. 69.
Сведения об авторах:
Кандырин Юрий Владимирович, Академик Российской Академии надежности,
профессор Московского энергетического института, зам директора Центра
инженерного проектирования МЭИ, заместитель заведующего кафедрой
Радиоприемных устройств МЭИ, автор более 190 работ, в том числе 9 учебных
пособий для Вузов и 2-х монографий. Проблемами надежности и
многокритериального выбора в САПР РЭА занимается более 35 лет. По этой
тематике под его руководством защищены 6 кандидатских диссертаций.
Тел. раб.: 362-79-41, Моб: 8-926-560-02-08.Тел. дом.: 360-19-56. E-mail: ywk@mail.ru
Кошелев Александр Михайлович, магистрант Радиотехнического факультета
МЭИ.
Лауреат открытого конкурса студенческих работ, кавалер медали
Министерства образования и науки РФ. Тел. Моб. 8-926-560-56-58.