Окружности. Касательные и секущие.

11. Окружности. Касательные и секущие.
На этом занятии разбираются задачи, в решении которых используются
окружности и их свойства. Решение двух последних задач основано на
равенстве обеих касательных из одной точки к окружности и на использовании
задачи 5.
Задачи [16], [19], [13,c.53,70], [5,c.69], [4]. Литература
Задача1. Две окружности пересекаются в точках А и В. Через точку А проведена
прямая, пересекающая окружности в точках С и D, и через точку В 
прямая, пересекающая окружности в точках Е и F(точки С и Е  на
одной окружности, D и F  на другой). Доказать, что CBD = EAF.
A
C
E
m
D
n
B
F
Решение. Рассмотрим АЕF и СВD, в них D =F, как
вписанные углы, опирающиеся на одну и туже дугу АmВ; С =
Е, как вписанные углы опирающиеся на дугу АnВ.
А так как сумма внутренних углов любого треугольника равна
180, то ЕАF = 180  Е  F и CBD=180  C  D и
они равны между собой: ЕАF =CBD.
Задача 2. Из точки М окружности, описанной около прямоугольника, опущены
перпендикуляры МА и МВ на его диагонали. Зависит ли длина
отрезка АВ от выбора точки М на окружности?
Решение
Задача 3. Верно ли, что радиус описанной около треугольника окружности не
меньше диаметра окружности, вписанной в этот треугольник?
Решение
Задача 4. Три окружности, проходящие через точку М, попарно пересекаются в
точках А, В, С. Через точку А проведена прямая, которая пересекает
две из этих окружностей в точках D и E. Находится ли точка
пересечения прямых ВD и СЕ на третьей окружности.
Решение
Задача 5. Пусть точки А, В, С, D лежат на окружности О.
а) Пусть М  точка пересечения продолжений отрезков АС и ВD, тогда
|AM|·|MC| =|BM|·|MD|.
б) Пусть M  точка пересечения отрезков AB и DC за точки A и D,
тогда
|MA|·|MB| = |MD|·|MC|, т.е. это произведение зависит лишь от выбора
точки М.
в) Обратно из справедливости равенств в а) или в б) следует, что точки
А, В, С, D лежат на одной окружности.
г) Квадрат касательной к О из точки М равен произведению отрезков
секущей.
В
С
M
А
Решениe. a) АВМ CDM, так как АМВ =  CMD, как
вертикальные и АВМ = = MCD как вписанные в окружность
и опирающиеся на одну и туже дугу.AM : MD = BM : MC 
 AM·MC = BM·MD.
D
Задача 6. Как измерить угол между касательной к данной окружности в точке А
и секущей, проходящей через эту же точку?
Решение
Задача 7. Из точки, взятой вне окружности, проведены две секущие. Найти
величину дуги, которой измеряется угол между этими секущими.
Решение
Содержание