УДК 330.42 Экономика 08.00.13 Матвеенко Андрей

УДК 330.42
Экономика 08.00.13
Матвеенко Андрей Владимирович
Matveenko Andrei Vladimirovich
ФГБОУВПО Санкт-Петербургский государственный университет,
Санкт-Петербург, Россия
St. Petersburg State University, St. Petersburg, Russia
andrei.v.matve@gmail.com
199178, Санкт-Петербург, 10 линия, д.23, кв.1, (812)328-36-66
Полякова Екатерина Владимировна
Polyakova Ekaterina Vladimirovna
НОУ ВПО Европейский университет в Санкт-Петербурге, СанктПетербург, Россия
European University at St. Petersburg, St. Petersburg, Russia
ekpol@mail.ru
МОДЕЛИРОВАНИЕ ИЗМЕНЕНИЯ ТЕХНОЛОГИЙ И
ПОТРЕБИТЕЛЬСКИХ ПРЕДПОЧТЕНИЙ
MODELING OF TECHNOLOGICAL CHANGES AND CHANGES
OF CONSUMER’S PREFERENCES
Джонс (Jones, 2005) показал, что производственная функция
представляется как решение задачи оптимального выбора «локальной»
технологии из технологического меню. Мы представляем сходным

Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект 11-01-00878а).
образом функцию полезности, зависящую от характеристик благ, как
результат выбора «взгляда на жизнь» из существующих в обществе. Мы
изучаем вероятностные модели изменения множеств выбора.
Jones (2005) has shown that production function can be presented as a
solution to the problem of optimal choice of a "local" technology from a
technological menu. Similarly, we represent a utility function on the
characteristics of goods as a result of a choice of a "view on life." We study
probability models of a change of the choice sets.
Ключевые слова: производственная функция, технологическое меню,
функция
полезности,
характеристики
благ,
задача
потребителя,
вероятностные распределения.
Key words: production function, technological menu, utility function,
characteristics of goods, consumer’s problem, probability distributions.
1. Введение
В последние годы стала актуальной задача построения теоретиковероятностных моделей изменения производственной функции (например,
[2], [4], [6] ). В настоящей работе развивается этот подход к
производственным функциям и показывается возможность его применения
к моделированию изменения функций полезности. Точнее говоря, речь
идет о функциях полезности, зависящих от характеристик благ (например,
[5]). Ланкастер называл характеристиками благ их объективно измеримые
физико-химические свойства (например, количество лошадиных сил и
объем
багажника
у
автомобиля),
однако,
впоследствии
стали
рассматривать статусность как важную характеристику блага.
Джонс [4] показал, что производственная функция, обладающая
стандартными свойствами, в частности, постоянной отдачей от масштаба,
представляется как решение задачи оптимального выбора «локальной»
технологии из технологического меню:
F K , L   max  l K K , l L L  .
l
Здесь

-
технологическое
меню,
lK , lL
-
коэффициенты
эффективности факторов (локальная технология). Особую роль играет
случай, когда  l K K , l L L  min l K K , l L L - функция Леонтьева.
Аналогичным образом функцию полезности, зависящую от
характеристик z1 , z 2 благ (см., например, [5]) в случае ее линейной
однородности представим в виде
U z1 , z 2   max  l1 z1 , l 2 z 2  .
l
В таком случае l1 ,l 2 - это веса характеристик благ. Потребитель
выбирает эти веса из множества
 , которое теперь имеет смысл
всевозможных «взглядов на жизнь», существующих в обществе. Таким
образом, задача потребителя
max max  l1 z1 , l 2 z 2  ,
( z1 , z2 )Z l
где Z – множество доступных благ, включает выбор «взгляда на жизнь».
Культурологи считают, что действительно в обществе существует
множество возможных «взглядов на жизнь», из которых индивид делает
выбор. «Каждая личность уникальна и неповторима, и у каждой возникает
свой, уникальный и неповторимый комплекс ценностей и идеалов ...
Однако было бы неверно думать, что всякий индивид абсолютно свободен
в построении этого комплекса и совершенно произвольно решает, каковы
должны быть его идеалы и ценности. В действительности он заимствует их
из поля выбора, представляемого ему культурой» [1].
Таким образом, проблемы изменения во времени производственной
функции и функции полезности сводятся, соответственно, к вопросам об
изменении технологического множества и множества «взглядов на жизнь».
2. Модель появления идей с экспоненциальным
распределением
Джонс
[4]
построил
стохастическую
модель
появления
технологических идей, т.е. изменения коэффициентов эффективности
капитала и труда, в случае, когда  описываются
вероятностными
функция Леонтьева. Идеи
распределениями
Парето,
причем
распределения описывающие производительности капитала и труда,
независимы. После преобразований Джонс получает в асимптотике
производственную функцию Кобба-Дугласа.
Построим
модель,
в
которой
появление
идей
описывается
экспоненциальным распределением.
Идея
состоит
i
технологических
в
случайном
коэффициентов
(l Ki , l Li ) .
появлении
леонтьевских
В
независимых
случае
экспоненциальных распределений
P{l Ki  a}  1  e a , P{l Li  b}  1  e b ,
где a  0, b  0,   0. Вероятность события, состоящего в том, что при
использовании идеи i выпуск будет больше, чем ~y равна
~
y
~
y


P{Yi  ~
y}  P{l Li L  ~
y , l Ki K  ~
y}  e L e K  e
1 1 
~
y  
L K
.
Если поступило N независимых идей , то вероятность события, состоящего
в том, что выпуск не превосходит ~y равна
N
1 1 

 ~
y   
N ~
~
~

H N ( y )  P{Y  y }  F ( y )  1  e  L K   .




В статистике экстремальных значений [3] показано, что при функции
распределения максимального значения  N ( x)  1  e  x 
N
математическое
ожидание
максимального
значения
максимального значения равна

N

равно
N
i 1
1
,
i
а
дисперсия
1
.
i
i 1 2
Используя эти результаты, при параметре экспоненциального
распределения  и количестве технологических идей (исследовательских
попыток) N, можно вычислить математическое ожидание и дисперсию
выпуска Y в экономике:
11 1 
E N Y     
L K
1 N
1
1 11 1  
 1 
     ln N    O   ,

L K 
 N 
i 1 i
(1)
где   0.5772 - постоянная Эйлера; заметим, что при N  65
N
1
 i  ln N  0,58 ;
i 1
 1  1 1  1 
DN Y       
 L K  


Здесь

n

2
N
1
i
i 1
2
.
1
2
приближается
числом
 1.6449 , так что при N  101
i 1 2
i
6
n
1
 1.64 .
i
i 1 2
Это значит, что выпуск описывается производственной функцией
типа CES со случайной общей производительностью факторов (TFP),
причем стандартное отклонение зависит от факторов производства K и L ,
но не зависит от TFP.
Нами показана высокая схожесть результатов формулы (1) и
результатов полученных с помощью имитационного моделирования.
3. Имитационное моделирование.
Для случая, когда  - функция более общего вида, чем функция
Леонтьева, модель идей аналитически не исследована. Джонс [4] начал
имитационные эксперименты для случая, когда идеи описываются
распределениями Парето. Мы изучаем имитационную модель для случая,
когда появление идей описывается экспоненциальным распределением, и
проводим сравнение указанных двух случаев, используя регрессионный
анализ. Некоторые отличия этих двух случаев иллюстрируют рисунки 1-4.
Рисунки 1 и 2 относятся к случаю распределения Парето.
Точки ( K , Y ) , генерируемые моделью, таковы, что множество точек
(ln Y , ln K ) хорошо
описывается прямой регрессии, что соответствует
функции Кобба-Дугласа, записанной в логарифмах
3.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
Рис.1. Технологические коэффициенты (l K , l L ) в случае, когда
появление технологических идей описывается распределением Парето.
15
Y
10
5
0
0
10
20
30
K
40
50
60
Рис. 2. Точки ( K , Y ) , генерируемые моделью, в которой появление
технологических идей описывается распределением Парето, а локальная
производственная функция типа CES.
Рисунки 3 и 4 относятся к случаю экспоненциального распределения.
В этом случае зависимость логарифмов уже не линейная; хорошо
применима
квадратичная
регрессия. Это
соответствует
тому,
что
производственная функция Кобба-Дугласа сменилась на другую функцию.
12
10
8
6
4
2
0
0
2
4
6
8
10
12
14
Рис. 3. Технологические коэффициенты (l K , l L ) в случае, когда
появление технологических идей описывается экспоненциальным
распределением.
30
25
Y
20
15
10
5
0
0
10
20
30
K
40
50
60
Рис. 4. Точки ( K , Y ) , генерируемые моделью, в которой появление
технологических идей описывается экспоненциальным распределением, а
локальная производственная функция леонтьевского типа.
Тот же метод мы применяем для исследования динамики множества
«взглядов на жизнь». Как и для технологических идей, мы полагаем, что
новые «взгляды на жизнь» появляются случайным образом в соответствии
с
вероятностным
распределением
Парето
или
экспоненциальным
распределением. Однако, отличие состоит в том, что технологическое
множество расширяется за счет того, что к нему присоединяются новые
«рекордные» технологии, тогда как тенденция количественного роста
показателей «взглядов на жизнь» отсутствует. Мы моделируем это как
забывание обществом старых «взглядов на жизнь». В нашей модели
появившиеся новые «взгляды на жизнь» сохраняются лишь определенное
время, а затем исключаются из множества  . Мы определяем показатели
изменчивости и стабильности множества «взглядов на жизнь»  .
В дальнейшем можно будет построить другие модели формирования
множества взглядов на жизнь: например, теоретико-игровые, когда
воспринимаются ценности более успешных социальных групп.
Список использованной литературы
1. Кармин А.С. Культурология. 6-е изд. - Санкт-Петербург: Лань.
2011.
2. Alvarez F.E., Buera F.J., Lucas R.E., Jr. Models of Idea Flows . NBER
Working Papers. - №14135. – Cambridge: NBER. 2008.
3. Gumbel E.J. The statistics of extremes. – New York: Columbia
University Press. 1962.
4. Jones C.I. The shape of prodiction function and the direction of
technical change // Quarterly Journal of Economics. - 2005. - V. 120. - P. 517549.
5. Lancaster K. Consumer demand: a new approach. - New York:
Columbia University Press. 1971.
6. Lucas R.E., Jr. Ideas and growth // Economica. – 2009. - 76(301). - P.
1-19