Параллельность прямой и плоскости
Прямая и плоскость называются
пересекаются, т.е. не имеют общих точек.
параллельными,
если
они
не
Если прямая а параллельна плоскости α, то пишут а║α.
Отрезок (луч) называется параллельным плоскости, если он лежит на
прямой, параллельной данной плоскости.
Теорема (признак параллельности прямой и плоскости). Если прямая, не
лежащая в данной плоскости, параллельная какой-нибудь прямой, лежащей в
этой плоскости, то она параллельна данной плоскости.
Доказательство. Через прямые а и b проведем плоскость β.
Эта плоскость не совпадает с плоскостью α, поскольку прямая а не лежит в
плоскости α. Плоскости α и β пересекаются по прямой b. Если бы прямая а
пересекала плоскость α, то точка пересечения принадлежала бы прямой b.
Однако это невозможно, так как прямые a и b параллельны. Таким образом,
прямая а не пересекает плоскость α, т.е. параллельна плоскости α.
Теорема доказана.
Теорема. Если плоскость проходит через прямую, параллельную другой
плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей
параллельна данной прямой.
Доказательство. Пусть плоскость α проходит через прямую а,
параллельную плоскости β, а плоскости α и β пересекаются по прямой b.
Докажем, что а║b.
Прямые а и b лежат в одной плоскости α. Кроме того, они не
пересекаются. Действительно, если бы прямые а и b пересекались, тогда бы
прямая а пересекала плоскость β, что противоречит условию. Таким образом,
прямые а и b параллельны.
Теорема доказана.
Примеры решения задач
Задача № 1. Дан треугольник АВС, у которого АВ=8 см, ВС=9 см и
АС=13 см. Вершина А треугольника находится в плоскости , а сторона ВС
параллельна ей. Через вершину В и середину стороны АС проведена прямая,
пересекающая плоскость  в точке D. Найти длину отрезка ВD.
Дано: ABC – треугольник
АВ=8 см, ВС=9 см, АС=13 см
Аα, ВСα
Найти: BD
Решение:
Прямая AD параллельна прямой ВС как линия пересечения плоскости  с
плоскостью, проходящей через прямую ВС.
Тогда KAD=KCB как внутренние накрест лежащие углы при параллельных
прямых ВС, AD и секущей АС; AKD=BKC как вертикальные углы; АК=КС
по условию. Значит, треугольник ВКС=DKA и ВК=KD.
Четырехугольник ABCD – параллелограмм (диагонали, пересекаясь делятся
пополам), поэтому 2(АВ2+ВС2)=АС2+BD2.
Подставив значения АВ, ВС и АС, находим BD. 2(82+92)=132+BD2.
Отсюда BD=11 см.
Ответ: 11 см
Задача № 2. АВСDA1B1C1D1 – параллелепипед. Точка F лежит на
продолжении ребра ВС, точка О – точка пересечения диагоналей грани
DD1C1C, а точка К – середина отрезка D1F. Верно ли, что прямая ОК
параллельна плоскости А1В1С?
Дано: АВСDA1B1C1D1 –
параллелепипед, FDC, D1K=KF.
Доказать: ОК║(А1В1С)
Доказательство:
В треугольнике D1CF точки К и О – середины сторон D1F и D1C соответственно
(точка О – середина отрезка D1С, так как диагонали параллелограмма DD1С1С
точкой пересечения делятся пополам). Следовательно, ОК║ВС.
Прямые В1С1 и ВС – противолежащие стороны параллелограмма. Таким
образом, прямая ОК параллельна прямой В1С1, лежащей в плоскости А1В1С1.
Следовательно, прямая ОК параллельна плоскости А1В1С1.
Задача № 3. В параллелепипеде АВСDA1B1C1D1 точка О – середина
диагонали B1D, точка F – середина ребра AD. Докажите, что прямая OF
параллельна плоскости DCC1.
Дано: АВСDA1B1C1D1 –
параллелепипед, В1О=OD, AF=FD.
Доказать: OF║(DCC1)
Доказательство:
В треугольнике AB1D отрезок OF есть средняя линия, следовательно, прямые
OF и АВ1 параллельны между собой.
Так как AD=A1D1 и A1D1=B1C1 (противолежащие стороны параллелограммов),
то AD=В1С1. Кроме того, AD║A1D1 и A1D1║В1С1, следовательно, AD║В1С1.
Отсюда следует, что четырехугольник АВ1С1D – параллелограмм, а, значит,
АВ1║DC1.
Таким образом, OF║AB1, AВ1║DC1.
Следовательно, OF║DC1. Прямая OF параллельна прямой DC1, лежащей в
плоскости DCC1.
По признаку параллельности прямой и плоскости прямая OF параллельна
плоскости DCC1.
Задача № 4. АВСА1В1С1 – правильная треугольная призма, все ребра
которой равны между собой. Прямая k проходит через точку О пересечения
диагоналей грани ВВ1А1А и параллельна прямой АС. Длина отрезка этой
прямой, расположенного внутри призмы, равна 2 см. Найдите площадь боковой
поверхности призмы.
Дано: АВСА1В1С1 – правильная
треугольная призма, ОК=2 см.
Найти: Sбок
Решение:
В плоскости ВА1С через точку О проводим прямую, параллельную прямой
А1С1.
По признаку параллельности прямой и плоскости прямая k параллельна
плоскости В1А1С1.
Пусть К=kBC1. Тогда отрезок ОК – средняя линия треугольника ВА1С1,
следовательно, А1С1=2ОК=4 см.
Отсюда Sбок=3SАА1С1С=3А1С12=48 см2.
Ответ: 48 см2
Задача № 5. В правильной четырехугольной пирамиде TABCD длина
каждого ребра равна 2 см. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью,
проходящей через середины сторон AD и DC и параллельной ребру ТА.
Дано: TABCD – правильная
четырехугольная пирамида, АВ=2
см, AО=ОD, DP=PC.
Найти: Sсеч
Решение:
Пусть точки О и Р – середины сторон AD и DC соответственно. Секущая
плоскость проходит через точку О(ADT) параллельно прямой АТ(ADT),
следовательно, она пересекает плоскость ADT по прямой k, параллельной АТ.
Строим точку К=kTD (k║AT, Ok). Треугольник ОКР – искомое сечение.
Так как ODK=PDK (ODK=PDK=60o, OD=PD, KD – общая сторона), то
ОК=КР, т.е. треугольник ОКР – равнобедренный.
1
2
1
2
Пусть точка F – середина стороны ОР, тогда SOKP= KFOP, OP= AC= 2 .
1
2
1
2
В треугольнике KFP (KFP=90о, KP= TC=1 см, FP= OP=
катета KF= КР2 FP2 =
1
2
Отсюда SOKP= KFOP=
2
см) длина
2
2
см.
2
1
см2.
2
Ответ:
1
см2
2
Задания для самостоятельной работы
Вариант 1
1. Если плоскость проходит через прямую, параллельную другой плоскости, и
пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей…
1) Перпендикулярна данной плоскости 2) Параллельна данной прямой
3) Лежит в этой плоскости
2. Сторона АВ параллелограмма АВСD принадлежит плоскости . Как
расположена по отношению к плоскости сторона CD…
1) Пересекает плоскость 2) Параллельна плоскости 3) Лежит в плоскости
3. Дан куб ABCDA1B1C1D1. Укажите прямые, параллельные плоскости грани
АВСD…
1) ВС
2) В1С1
3) ВВ1
4) А1В1
4. Используя рисунок, укажите верные утверждения…
1) Прямые ВD и МС не параллельны 2) Прямые МР и АВ пересекаются
3) Прямые ВК и АР параллельны 4) Прямая РК и плоскость АМВ
пересекаются
5. Найдите DD1, если СС1=6 см и DFD1F1, DF=D1F1, CFC1F1, CF=C1F1.
6. Сторона правильного тетраэдра ТАВС равна 6 см. Точки К, М, N и Р – середины
сторон АС, АВ, ТВ и ТС соответственно. Найдите периметр четырехугольника
KMNP.
7. Точка С лежит на отрезке АВ. Через точку А проведена плоскость, а через точки В
и С – параллельные прямые, пересекающие эту плоскость соответственно в точках В 1
и С1. Найдите длину отрезка СС1, если АС:СВ=3:2 и ВВ1=20 см.
8. SABC – правильная треугольная пирамида, длина бокового ребра которой равна 4
см, а сторона основания 2 см. Вычислите периметр сечения пирамиды плоскостью,
проходящей через середину ребра ВС и среднюю линию треугольника SAB, которая
параллельна прямой АВ.
9. SABCD – правильная четырехугольная пирамида, точки F и О – середины сторон
АВ и CD соответственно. Найдите площадь сечения, проходящего через точки F, О и
параллельной ребру SD, если DC=20 см, SC=26 см.
10. В кубе ABCDA1B1C1D1 точки Р, К и М – середины отрезков ВВ1, В1А и B1D
соответственно. Вычислите площадь поверхности куба, если площадь сечения
пирамиды В1АВСD плоскостью РКМ равна 1 см2
Вариант 2
1. Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой,
лежащей в этой плоскости, то она…
1) Параллельна данной плоскости
2) Перпендикулярна данной плоскости
3) Скрещивается с данной прямой
2. Если прямые а и b параллельны плоскости, то прямые а и b…
1) Всегда параллельны 2) Могут пересекаться 3) Всегда пересекаются
3. Дана прямая треугольная призма ABCA1B1C1. Укажите прямые, параллельные
плоскости грани АВС…
1) В1С1
2) ВС
3) А1В1
4) ВВ1
4. Используя рисунок, укажите верные утверждения…
1) Прямая АD параллельна плоскости МВС
2) Прямая СD параллельна плоскости АВМ
3) Прямая КF параллельна плоскости АВD
4) Точка F принадлежит плоскости АКD
5. Найдите B1C1, если ВС=5 см и ВВ1АА1, ВВ1=АА1, CС1АА1, CС1=АА1.
6. Сторона куба ABCDA1B1C1D1 равна 10 см. Точки K, M, N и Q середины сторон
АА1, ВВ1,. СС1 и DD1 соответственно. Найдите периметр четырехугольника KMNQ.
7. Дан треугольник АВС. Плоскость, параллельная прямой АВ, пересекает сторону
АС этого треугольника в точке А1, а сторону ВС – в точке В1. Найдите длину отрезка
А1В1, если АВ=15 см, АА1:АС=2:3.
8. АВСА1В1С1 – правильная треугольная призма, все ребра которой равны между
собой. Прямая проходит через точку О пересечения диагоналей грани ВВ1А1А и
параллельна прямой АС. Длина отрезка этой прямой, расположенной внутри призмы,
равна 2 см. вычислите площадь боковой поверхности призмы.
9. Через вершину прямого угла С прямоугольного треугольника АВС проведена
плоскость  параллельно гипотенузе АВ. Биссектриса угла А пересекает плоскость в
точке D. Определить расстояние CD, если АВ=15 см, ВС=12 см.
10. SABC – правильный тетраэдр. Точки Р, К и М – середины ребер АВ, ВС и SВ
соответственно. Найдите длину ребра тетраэдра, если длина отрезка, по которому
пересекаются сечения тетраэдра плоскостями АМС и SPК равна 6 см.
Вариант 3
1. Отрезок называется параллельным плоскости, если он лежит на прямой…
1) Перпендикулярной данной плоскости
2) Параллельной данной плоскости
3) Лежащей в данной плоскости
2. Если прямая а пересекает плоскость , а прямая b параллельна этой плоскости, то
через прямые а и b …
1) Всегда можно провести плоскость 2) Иногда можно провести плоскость 3)
Нельзя провести плоскость
3. Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Укажите прямые,
параллельные плоскости грани АА1В1B…
1) В1С1
2) ВС
3) СС1
4) DD1
4. Используя рисунок, укажите верные утверждения…
1) Прямая АВ параллельна плоскости ADC
2) Прямая АВ параллельна плоскости DCС1
3) Прямая AD принадлежит плоскости ADD1
4) Прямая АС лежит в плоскости А1В1С1
5. Найдите ЕЕ1, если АА1=3 см и А1Р1AР, А1Р1=АР, ЕРЕ1Р1, ЕР=Е1Р1.
6. SABCD – правильная четырехугольная пирамида. Точки Р, О, М и К середины
сторон SA, SB, SC и SD соответственно. Найдите периметр четырехугольника РОМК,
если сторона основания пирамиды равна 16 см.
7. Дан треугольник АВС. Плоскость, параллельная прямой АВ, пересекает сторону
АС этого треугольника в точке А1, а сторону ВС – в точке В1. Найдите длину отрезка
А1В1, если АВ=8 см, АА1:А1С=5:3.
8. На ребре SA правильной четырехугольной пирамиды SABCD взята точка О такая,
что SO:OA=1:3. Через точку О и середины ребер SD и SC проведены прямые,
пересекающие основание в точках F и Е. найдите длину отрезка EF, если АВ=20 см.
9. В правильной треугольной призме АВСА1В1С1 точки О и К – середины ребер СС1 и
АВ. Найдите периметр сечения призмы плоскостью, проходящей через точки О и К и
параллельной ребру АС, если АС=24 см, АА=10 см.
10. Точки О, К и Т – соответственно середины ребер АС, АВ и ВВ1 правильной
треугольной призмы АВСА1В1С1. Вычислите длину отрезка, по которому
треугольник СА1В пересекает сечение призмы плоскостью, проходящей через точки
О, К и Т, если СВ=8 см.
Вариант 4
1. Прямая и плоскость называются параллельными, если они…
1) Пересекаются в одной точке 2) Лежат в перпендикулярных плоскостях
3) Не пересекаются
2. Если прямая а пересекает плоскость , а прямая b параллельна этой плоскости, то
прямые а и b …
1) Могут быть параллельными 2) Могут пересекаться
3) Могут быть скрещивающимися
3. Дана прямая четырехугольная пирамида SABCD. Укажите прямые, параллельные
грани ABS…
1) SD
2) DC
3) AD
4) SC
4. Используя рисунок, укажите верные утверждения…
1) Плоскости DСМ и АВМ пересекаются по прямой, параллельной прямой АВ
2) Плоскости FBC и MAD параллельны
3) Плоскости KFP и BCD перпендикулярны
4) Плоскости КМР и ВDС пересекаются по одной прямой
5. Найдите N1K1, если NK=4 см и NN1MM1, NN1=MM1, KK1MM1, KK1=MM1.
6. АВСА1В1С1 – правильная треугольная призма. Точки К, М и Р – середины сторон
АА1, ВВ1 и СС1 соответственно. Найдите периметр треугольника КМР, если длина
стороны основания равна 8 см.
7. Из точки А плоскости  проведены к параллельной ей плоскости  отрезки АВ=11
см и АС=12 см. Через точку С проведена прямая, параллельная АВ и пересекающая
плоскость  в точке D. Определить расстояние BD, если AD=7 см.
8. ABCDA1B1C1D1 – куб. Найдите площадь полной поверхности куба, если периметр
треугольника ТОЕ равен 2+ 2 см, где точки Т, О и Е – середины отрезков АА1, А1В
и A1D соответственно.
9. В трапеции ABCD основание ВС равно 12 см. точка М не лежит в плоскости
трапеции, а точка К – середина отрезка ВМ. Плоскость ADK пересекает отрезок МС в
точке Н. Найдите длину отрезка КН.
10. SABC – правильный тетраэдр, длина ребра которого равна 18 см. Точки Р, Т и О –
середины ребер АВ, ВС и SВ соответственно. Найдите длину отрезка, по которому
пересекаются сечения тетраэдра плоскостями АОС и SPT.
Вариант 5
1. Угол между параллельными прямой и плоскостью равен…
1) 180о 2) 90о 3) 0о
2. Сторона АС треугольника АВС принадлежит плоскости . Как расположена по
отношению к плоскости прямая, проходящая через середину сторон АВ и ВС?...
1) Не пересекает плоскость
2) Пересекает плоскость
3) Параллельна плоскости
3. Дана прямая призма ABCDEA1B1C1D1E1. Укажите прямые, параллельные грани
АВСDE…
1) АВ
2) A1B1
3) D1C1
4. Используя рисунок, укажите верные утверждения…
4) CC1
1) Прямая АС параллельна прямой АВ
2) Прямая АС параллельна плоскости А1В1С1
3) Плоскости АВС и АСС1 параллельны
4) Прямая СВ1 параллельна прямой ТК
5. Найдите DС, если D1С1=10 см и DFD1F1, DF=D1F1, CFC1F1, CF=C1F1.
6. ABCDA1B1C1D1 – прямая призма, в основании которой лежит ромб со стороной 4
см. Точки M, N, Q и R – середины сторон АВ, DC, A1B1 и D1C1 соответственно.
Найдите периметр четырехугольника MNQR, если высота призмы 8 см.
7. Через конец А отрезка АВ проведена плоскость. Через конец В и точку С этого
отрезка проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость в точках В1 и С1.
Найдите длину отрезка ВВ1, если АС=3 см, ВС=5 см, СС1=6 см.
8. SABC – правильная треугольная пирамида. Четырехугольник DOKT – сечение
пирамиды плоскостью, проходящей через середины ребер AS, АС и параллельной
прямой, на которой лежит медиана AF грани АВС. Найдите длину отрезка AD, если
SB=12 см.
9. Найдите периметр сечения тетраэдра SABC плоскостью, проходящей через
середины ребер АВ, SC и параллельной ребру SB, если длина ребра тетраэдра равна 5
см.
10. ТABCD – четырехугольная пирамида, основанием которой служит трапеция
ABCD (ВС║AD). Точка К – середина ребра SA. Длина отрезка, по которому
плоскость КВС пересекает грань ТAD, равна 5 см. Найдите длину средней линии
трапеции, если ВС=6 см.
Вариант 6
1. Если прямая параллельна плоскости, то она…
1) Параллельна любой прямой этой плоскости
2) Параллельна единственной прямой этой плоскости
3) Имеет множество параллельных прямых в плоскости
2. Через точку А, не принадлежащую плоскости, можно провести…
1) Сколько угодно прямых, параллельных плоскости
2) Только одну прямую параллельную плоскости
3) Ни одной прямой, параллельной плоскости
3. Дан куб ABCDA1B1C1D1. Укажите прямые, параллельные плоскости диагонального
сечения В1ВDD1…
1) DD1
2) CC1
3) АВ
4. Используя рисунок, укажите верные утверждения…
4) А1А
1) Прямая РК и плоскость АМВ пересекаются 2) Прямые ВD и МС
параллельны 3) Прямые МР и АВ пересекаются 4) Прямые ВD и АР пересекаются
5. Найдите BB1, если CС1=15 см и ВВ1АА1, ВВ1=АА1, CС1АА1, CС1=АА1.
6. Сторона правильного тетраэдра SАВС равна 8 см. Точки O, М, N и Р – середины
сторон АС, АВ, SВ и SС соответственно. Найдите периметр четырехугольника
OMNP.
7. Через конец А отрезка АВ проведена плоскость. Через конец В и точку С этого
отрезка проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость в точках В1 и С1.
Найдите длину отрезка ВВ1, если АВ=6 см, АС:СС1=2:5.
8. DABC – тетраэдр. Точки Т, К и Е – середины ребер DB, DC и АС соответственно.
Найдите периметр сечения тетраэдра плоскостью ТКЕ, если площадь грани тетраэдра
равна 16 3 см2.
9. АВСА1В1С1 – прямая треугольная призма, все ребра которой равны между собой.
Точка О – середина ребра ВВ1, точка F расположена на ребре АС так, что AF:FC=3:1.
Вычислите площадь боковой поверхности призмы, если отрезок FK= 5 /4 см, где К точка пересечения прямой, проходящей через точку F параллельно прямой АО, с
поверхностью призмы.
10. Точки М, К и Р – соответственно середины ребер АС, АВ и ВВ1 правильной
треугольной призмы АВСА1В1С1. Найдите длину стороны основания призмы, если
длина отрезка, по которому треугольник СА1В пересекает сечение призмы
плоскостью, проходящей через точки М, К и Р, равна 6 см.
Вариант 7
1. Любая точка прямой, параллельной плоскости, удалена от этой плоскости…
1) На разные расстояния 2) На одинаковое расстояние
3) Лежит в этой плоскости
2. Плоскость и прямая, не принадлежащие ей параллельны, если…
1) Прямая параллельна какой-нибудь прямой плоскости
2) Прямая параллельна двум параллельным прямым плоскости
3) Прямая параллельна всем прямым плоскости
3. Дана прямая шестиугольная призма ABCDEFA1B1C1D1E1F1. Укажите прямые,
параллельные плоскости грани АВB1A1…
1) В1С1
2) ED
3) А1В1
4) FC
4. Используя рисунок, укажите верные утверждения…
1) Прямая А1С1 параллельна плоскости АВС 2) Прямая DВ1 и плоскость АВС
пересекаются 3) Прямые АС и ОВ параллельны 4) Плоскости ADD1 и ВСС1
пересекаются
5. Найдите AЕ, если А1E1=7 см и А1Р1AР, А1Р1=АР, ЕРЕ1Р1, ЕР=Е1Р1.
6. SABCD – правильная четырехугольная пирамида. Точки Р, О, К и М – середины
сторон АВ, SB, SC и ВС соответственно. Найдите периметр четырехугольника
РОКМ, если все ребра пирамиды равны 4 см.
7. Дан отрезок АВ, параллельный плоскости  и равный 15 см. Через точку В
проведена прямая, пересекающая плоскость  в точке С. Через точку А и точку D,
делящую отрезок ВС в отношении 3:5 (от В к С), проведена прямая, пересекающая
плоскость  в точке М. Определить расстояние СМ.
8. В правильной треугольной пирамиде ABCD точки М, N, Q и Р – середины отрезков
DB, DC, AC и АВ. Найдите периметр четырехугольника MNQP, если AD=12 см,
ВС=14 см.
9. Длина стороны основания правильной четырехугольной пирамиды равна 20 см, а
длина бокового ребра – 36 см. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью,
проходящей через середины двух противолежащих сторон основания и параллельной
боковому ребру.
10. В тетраэдре SABC точки К и Т – середины ребер АВ и SC соответственно.
Найдите длину отрезка, по которому пересекаются сечения тетраэдра плоскостями,
проходящими через прямые ST и ВК и параллельными прямой АС, если АВ=12 см.
Вариант 8
1. Расстоянием от прямой, параллельной плоскости, до плоскости называется…
1) Длина отрезка, лежащего на перпендикуляре, опущенного из любой точки
прямой к плоскости 2) Длина отрезка, опущенного из любой точки прямой к
плоскости 3) Длина отрезка, лежащего на перпендикуляре, опущенного из
каждой точки прямой к плоскости
2. Плоскости  и  пересекаются по прямой а, прямая b принадлежит плоскости  и
параллельна плоскости . Тогда…
1) Прямые параллельны 2) Прямые скрещиваются 3) Прямые пересекаются
3. Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Укажите прямые,
параллельные плоскости грани АBCD…
1) В1С1
2) ВС
3) A1С1
4) DD1
4. Используя рисунок, укажите верные утверждения…
1) Прямая АС лежит в плоскости СВВ1 2) Прямая СВ1 параллельна плоскости
АВВ1 3) Прямая АС параллельна плоскости FTK 4) Прямая АА1 параллельна
прямой СС1
5. Найдите NN1, если KK1=9 см и NN1MM1, NN1=MM1, KK1MM1, KK1=MM1.
6. АВСА1В1С1 – правильная треугольная призма. Точки К, М, Р и О – середины сторон АС,
А1С1, А1В1 и АВ соответственно. Найдите периметр четырехугольника КМРО, если высота
призмы 6 см, а длина стороны основания равна 8 см.
7. Через концы отрезка АВ и его середину М проведены параллельные прямые,
пересекающие некоторую плоскость в точках А1, В1 и М1. Найдите длину отрезка ММ1, если
отрезок АВ пересекает плоскость и АА1=5 см, ВВ1=7 см.
8. SABCD – правильная четырехугольная пирамида, все ребра которой равны между собой.
Точка О – точка пересечения диагоналей основания. Прямая проходит через точку О и
параллельна плоскостям SAD и SAB. Найдите длину отрезка этой прямой, расположенного
внутри пирамиды, если радиус описанной около основания окружности равен 2 см.
9. DABC – тетраэдр. Плоскость  пересекает ребро BD, медиану BF грани АВС и делит их в
отношении DD1:D1B=FF1:F1B=1:4. Найдите длину ребра тетраэдра, если длина отрезка D1F1=
8 3
см.
5
10. В кубе ABCDA1B1C1D1 точки Т, К и Е – середины отрезков ВВ1, В1А и B1D
соответственно. Вычислите площадь сечения пирамиды В1АВСD плоскостью ТКЕ, если
площадь поверхности куба равна 24 см2.
Вариант 9
1. Прямая, не лежащая в плоскости, и не имеющая с ней общих точек…
1) Параллельна любой прямой плоскости
2) Параллельна единственной прямой плоскости
3) Параллельна множеству прямых плоскости
2. Прямая а параллельна плоскости , прямая b принадлежит плоскости . Прямые а
и b…
1) Могут пересекаться 2) Могут быть параллельными 3) Параллельны
3. Дана правильная шестиугольная пирамида SABCDEF. Укажите прямые,
параллельные грани SBC…
1) CD
2) AD 3) FE
4) BS
4. Используя рисунок, укажите верные утверждения…
1) Прямые АВ1 и СD1 параллельны 2) Прямые АВ1 и СD1 лежат в параллельных
плоскостях 3) Прямая АВ и плоскость ВСС1 пересекаются 4) Прямые DC и ВВ1
параллельны
5. Найдите C1D1, если DС=12 см и DFD1F1, DF=D1F1, CFC1F1, CF=C1F1.
6. ABCDA1B1C1D1 – прямоугольный параллелепипед, в основании которого лежит
квадрат со стороной 6 см. Диагональ боковой грани наклонена к плоскости основания
под углом 60о. Найдите периметр четырехугольника АВ1С1D.
7. Дан треугольник АВС. Плоскость, параллельная прямой АВ, пересекает сторону
АС этого треугольника в точке А1, а сторону ВС – в точке В1. Найдите длину отрезка
А1В1, если В1С=10 см, АВ:ВС=4:5.
8. SABC – правильная треугольная пирамида. Четырехугольник DOKT – сечение
пирамиды плоскостью, проходящей через середины ребер AS, АС и параллельной
прямой, на которой лежит медиана AF грани АВС. Найдите длину отрезка КТ, если
SB=12 см.
9. В правильной треугольной пирамиде SABC точки Е и D – середины ребер SA и SB
соответственно. Через середину отрезка СЕ проведена прямая, параллельная прямой
AD и пересекающая поверхность пирамиды в точке Т. Найдите длину отрезка ОТ,
если СЕ=8 см.
10. SABCD – четырехугольная пирамида, основанием которой служит трапеция
ABCD (ВС║AD). Точка О – середина ребра SA. Найдите длину отрезка, по которому
плоскость ОВС пересекает грань SAD, если ВС=6 см, а длина средней линии
трапеции равна 8 см.
Вариант 10
1. Если одна сторона квадрата лежит в плоскости, то противоположная сторона
квадрата…
1) Лежит в плоскости 2) Параллельна плоскости 3) Перпендикулярна плоскости
2. Сторона АВ треугольника АВС принадлежит плоскости . Как расположена по
отношению к плоскости прямая, проходящая через середину сторон АС и ВС?...
1) Параллельна плоскости 2) Не пересекает плоскость 3) Пересекает плоскость
3. Дан куб ABCDA1B1C1D1. Укажите прямые, параллельные плоскости грани
В1ВСC1…
1) DD1
2) А1В1
3) АВ
4) А1А
4. Используя рисунок, укажите верные утверждения…
1) Прямая АВ и плоскость ВСС1 параллельны
2) Прямые DВ1 и АС1 пересекаются
3) Прямая АС параллельна прямой А1С1
4) Прямая АА1 параллельна плоскости АВС
5. Найдите BB1, если CС1=13 см и ВВ1АА1, ВВ1=АА1, CС1АА1, CС1=АА1.
6. ABCDA1B1C1D1 – правильная усеченная пирамида, диагонали оснований которой
равны 6 см и 12 см. Найдите периметр четырехугольника АСА1С1, если высота
пирамиды 4 см..
7. Дан треугольник АВС. Плоскость, параллельная прямой АВ, пересекает сторону
АС этого треугольника в точке А1, а сторону ВС – в точке В1. Найдите длину отрезка
А1В1, если АА1=3 см, АВ=5 см, А1С=3 см.
8. SABC - правильная треугольная пирамида, точка D – середина ребра SB. Точки Е и
F лежат на ребрах SA и SC так, что АЕ:ЕS=1:3, CF:FS=1:3. точки О и К – точки
пересечения прямых DF и DE с плоскостью основания. Вычислите длину отрезка ОК,
если АВ=16 см.
9. Через вершину прямого угла С прямоугольного треугольника АВС проведена
плоскость параллельно гипотенузе АВ. Биссектриса угла А пересекает эту плоскость
в точке О. Найдите длину отрезка СО, если АВ=5 см, ВС=4 см.
10. В тетраэдре SABC точки К и М – середины ребер АВ и SC соответственно.
Найдите сторону тетраэдра, если длина отрезка, по которому пересекаются сечения
тетраэдра плоскостями, проходящими через прямые SМ и ВК и параллельными
прямой АС, равна 4 см.
Ответы
Вариант
1
Вариант
2
Вариант
3
Вариант
4
Вариант
5
Вариант
6
Вариант
7
Вариант
8
Вариант
9
Вариант
10
1
2
1
2
3
3
3
2
1
3
2
2
2
2
2
2
3
1
1
1
2
1
3
2, 4
1, 3
3, 4
2
2, 3
2, 4
2, 4
1, 3
2, 3
1, 4
4
1. 4
1, 3
2, 3
1, 4
2, 4
1, 4
1, 2
3, 4
2, 3
2, 3
5
6
5
3
4
10
15
7
9
12
13
6
12
40
32
24
24
16
10
20
36
28
7
12
5
3
14
16
15
25
1
8
3
8
6
48
30
24
6
16
26
1
9
24
9
180
9
62
6
10
12
180
4
2
3
10
24
18
6
6
8
8
4
1
5
12
Скачать

Параллельность прямой и плоскости