Лекции по теории управления - Академия Государственной

Контрольная работа 2
Тема: ОЦЕНКА ВОЗМОЖНОСТЕЙ ОБСЛУЖИВАНИЯ ВЫЗОВОВ
ПОЖАРНЫМИ ПОДРАЗДЕЛЕНИЯМИ В ГОРОДЕ НА ОСНОВЕ
МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ
Задание
По данным, полученным в результате выполнения контрольной работы 1, с применением метода математического моделирования обосновать
количество оперативных отделений на основных пожарных автомобилях
для надежной противопожарной защиты города по следующему плану:
1. Математическое моделирование процесса возникновения ситуаций
одновременной занятости того или иного числа оперативных отделений
на основных пожарных автомобилях обслуживанием вызовов в городе
2. Оценка возможностей обслуживания вызовов при том или ином
заданном числе оперативных отделений на основных пожарных автомобилях в городе
3. Обоснование количества оперативных отделений на основных
пожарных автомобилях, обеспечивающих надежную противопожарную
защиту города
Методические указания к выполнению работы
Функционирование пожарных подразделений (ПП) в городе направлено на обслуживание возникающих вызовов. По каждому поступающему
вызову производится высылка требуемого числа оперативных отделений
на основных и на специальных пожарных автомобилях (ПА) к месту вызова (в дальнейшем рассматриваются оперативные отделения только на
основных ПА). После выполнения боевой работы оперативные отделения
возвращаются в свои депо.
Регистрация сведений о всех выездах ПП по вызовам осуществляется
в диспетчерском журнале, который является основным источником первичных данных для изучения деятельности пожарной охраны по обслуживанию вызовов.
Поступающие вызовы имеют случайный характер по месту и времени
их возникновения, по объему сил и средств пожарной охраны (числу оперативных отделений) и затратам времени, требуемым для их обслуживания. Вследствие этого в процессе функционирования ПП в городе могут
возникать чрезвычайно напряженные ситуации, связанные с потребностью
одновременного обслуживания нескольких вызовов и необходимостью
привлечения для этих целей большого количества оперативных отделений.
1
Введем в рассмотрение возникающую в процессе функционирования
ПП ситуацию {k}, в которой обслуживанием вызовов в городе одновременно занято некоторое число k ПА (k = 0, 1, 2,...).
В качестве примера возникновения различных ситуаций рассмотрим
представленный на рис. 2.1 фрагмент процесса поступления и обслуживания вызовов в городе Н., которые соответствуют строкам 5, 6, 7 учебного
диспетчерского журнала (табл.X.1).
По вызовам 5, 6 и 7 выезжает соответственно 1, 2 и 1 ПА. С 3 ч 47 м и
до 4 ч 25 м происходит обслуживание вызова 5 силами 1 ПА, т.е. имеет
место ситуация {1}. После 4 ч 25 м устанавливается ситуация {0}. В 4 ч
29 м приходит вызов 6, по которому выезжают 2 ПА. Таким образом, в
этот момент возникает ситуация {2}. Однако вызов 7 поступает в 4 ч 38
м, когда обслуживание вызова 2 еще не закончено, и таким образом с этого момента одновременно обслуживаются два вызова, на которых оказываются занятыми в сумме 3 ПА (т.е. имеет место ситуация {3}). Ситуация
{3} длится до 4 ч 54 м, когда обслуживание вызова 6 заканчивается.
Число ПА
Вызов 6
2
Вызов 7
Вызов 5
1
3:47
{0}
4:25
{1}
4:29
{0}
4:38
{2}
4:54
{3}
5:49
{1}
Время
{0}
Время
Рис. 2.1. Схематическое изображение фрагмента процесса одновременной занятости
пожарных подразделений обслуживанием вызовов в городе Н.
Изучение возможностей возникновения различных ситуаций {k} одновременной занятости того или иного числа k ПА (k = 0, 1, 2,...) обслуживанием вызовов в городе удобно производить путем математического моделирования процесса функционирования ПП в городе.
На процесс функционирования ПП оказывает влияние огромное количество факторов, случайных по своей природе, поэтому присущие этому
процессу закономерности имеют вероятностный характер. Эти закономерности достаточно хорошо изучены и для их количественного описания построены математические модели, описывающие различные аспекты функционирования ПП в городе. С точки зрения поставленной задачи, интерес
представляет вероятностная модель, описывающая процесс возникновения
2
ситуаций одновременной занятости того или иного числа оперативных отделений обслуживанием вызовов в городе. Оценка параметров модели
производится по статистическим данным о вызовах ПП для конкретного
города. Моделирование сводится к расчетам вероятностных, временных
и частотных
характеристик процесса возникновения различных ситуаций {k} одновременной занятости того или иного числа k ПА (k = 0, 1, 2,...)
обслуживанием вызовов в городе.
Полученные результаты моделирования служат исходной базой для
дальнейших расчетов по оценке возможностей обслуживания вызовов в
городе при наличии в нем того или иного числа N ПА. Оценка осуществляется с точки зрения безотказности обслуживания вызовов.
Отказ понимается как событие, которое состоит в том, что по очередному вызову не может выехать требуемое число ПА вследствие их
занятости обслуживанием ранее поступивших вызовов (недостающее
число ПА приходится дополнительно привлекать извне города или из
резерва, что нежелательно, так как связано с организационными трудностями и большими затратами времени). Отказ называется полным, если
по вызову не может выехать ни один ПА. Отказ называется частичным,
если по вызову может выехать число ПА меньшее, чем требуется для его
обслуживания.
Отказы связаны с возникновением в процессе функционирования ПП
в городе ситуации {>N}, в которой заданного числа N ПА недостаточно
для обслуживания вызовов (т.е. требуемое для одновременного обслуживания вызовов число ПА превышает заданное число N).
Математическое моделирование дает возможность рассчитать частотные, вероятностные и временные характеристики процесса возникновения различных ситуаций {>N} при том или ином заданном числе N ПА
(N = 0, 1, 2,...) в городе. Результаты моделирования находят полезное применение для обоснования требуемого количества ПА, обеспечивающих
надежную противопожарную защиту города.
В контрольной работе 2 требуется, исходя из формализованной в виде
модельных соотношений информации об известных закономерностях случайных процессов поступления и обслуживания вызовов, а также из доступной информации, используемой для оценки параметров модели, расчетным путем получить информацию о возможностях того или иного заданного числа ПА обслуживать вызовы в городе. По результатам расчетов
следует осуществить обоснованный выбор количества оперативных отделений на основных ПА для надежной защиты города.
Далее приведены указания по выполнению каждого из пунктов задания в порядке их следования.
3
1. Математическое моделирование процесса возникновения ситуаций
одновременной занятости того или иного числа оперативных отделений
на основных пожарных автомобилях обслуживанием вызовов в городе
Для построения вероятностной модели, описывающей процесс возникновения ситуаций одновременной занятости того или иного числа оперативных отделений обслуживанием вызовов в городе, необходимо определить параметры этой модели:
- плотность потока вызовов ПП в городе () вычислена в контрольной
работе 1 (пункт 3) по формуле (1.8), исходя из общего числа n вызовов ПП
в городе за период времени наблюдения Tнабл = 1 год = 8760 ч;
- значение средней продолжительности времени обслуживания вызова ПП в городе ( обс ) представлено в табл. X.9 исходных данных;
- значения долей (относительных частот) l (l = 1, 2,..., L), которые в
общем числе вызовов составляют вызовы с привлечением для их обслуживания того или иного числа l ПА, вычислены в контрольной работе 1
(пункт 1) по формуле (1.2) и представлены в табл. 1.1.
Например, перечисленные параметры модели по данным для города
Н. оказались следующими:
 = 520 (вызовов/год) = 1,425 (вызовов/сут) = 0,0594 (вызовов/ч);
обс = 52,5 (мин/вызов) =0,875 (ч/вызов);
1 = 0,561; 2 = 0,351; 3 = 0,041; 4 = 0,029; 5 = 0,006; 6 =0,012.
Исходя из значений  и обс , оценивается параметр , называемый
приведенной плотностью потока вызовов ПП в городе:
    обс .
(2.1)
Приведенная плотность потока вызовов ПП показывает, сколько вызовов в среднем возникает на интервале времени, равном средней продолжительности времени обслуживания одного вызова. Так как величина 
является безразмерной, при ее вычислении по формуле (2.1) единицы измерения времени в величинах  и обс должны быть согласованы.
Например, приведенная плотность потока вызовов ПП по данным для
города Н. оценивается следующим образом:
    обс  0,0594 (вызовов / ч)  0,875(ч / вызов )  0,05195 .
Исходя из оценок параметров модели, осуществляется математическое моделирование процесса возникновения различных ситуаций {k} одновременной занятости того или иного числа k ПА (k = 0, 1, 2,...) обслуживанием вызовов в городе. Моделирование сводится к расчетам вероятностных, временных и частотных характеристик изучаемого процесса.
4
Вычисляется вероятность p{0} того, что в произвольный момент времени обслуживанием вызовов в городе не занято ни одного ПА (т.е. имеет
место ситуация {0}):
p{0}  e   ,
(2.2)
где e =2,71828 – основание натурального логарифма.
Вероятность p{k} того, что в произвольный момент времени обслуживанием вызовов в городе будут одновременно заняты k ПА (т.е. имеет
место ситуация {k}), вычисляется последовательно для k = 1, 2, 3, 4,...
c помощью рекуррентной формулы
p{k } 
 k
 l   l  p{k  l)
k l 1
(k = 1, 2, 3, 4,...).
(2.3)
Значения вероятностей p{k} для k = 0, 1, 2, 3,... связаны между собой
соотношением

 p{k }  1.
(2.4)
k 0
Например, производя вычисления по формулам (2.2) и (2.3) для города Н., получаем:
p{0}  e    e 0,05195  0,949376 ;
p{1} = 1p{0} = 0,051950,5610,949376 = 0,027669;
p{2}  ( 2) [1 p{1}  22 p{2}] 
= (0,05195/2)[0,5610,027669 +20,3510,949376] = 0,017715;
p{3}  ( 3) [1 p{2}  22 p{1}  33 p{0}]  (0,05195/3)[0,5610,017715 +
= 20,3510,027669 + 30,0410,949376] = 0,002531;
p{4}  ( 4) [1 p{3}  22 p{2}  33 p{1}  44 p{0}] 
= (0,05195/4)[0,5610,002531 +20,3510,017715 +
+ 30,0410,027669 + 40,0290,949376] = 0,001654
и т.д.
Исходя из вычисленных значений вероятностей p{k}, производится
расчет суммарной продолжительности времени T{k} пребывания в ситуации {k} за период времени наблюдения Tнабл = 1 год = 8760 ч по формуле
T {k}  Tнабл p{k}
(k = 0, 1, 2, 3,...).
(2.5)
Значения T{k} для k = 0, 1, 2, 3,... связаны соотношением

 T {k}  Tнабл .
k 0
5
(2.6)
Например, производя расчеты по формуле (2.5) для города Н., получаем:
T{0} = Tнабл p{0} = 87600,949376 = 8316,5 (ч/год);
T{1} = Tнабл p{1} = 87600,027669 = 242,4 (ч/год);
и т.д.
Производится расчет частоты f{k} (среднего числа случаев в единицу
времени) возникновения ситуации {k} в результате поступления вызовов
по формуле
k
f {k}    l p{k  l}
l 1
(k = 1, 2, 3,...).
(2.7)
Значения f{k} для k = 1, 2, 3,... связаны соотношением

 f {k}  .
k 1
(2.8)
Например, производя расчеты по формуле (2.7) для города Н., получаем:
f{1} =  1 p{0} = 5200,5610,949376 = 277,0 (случ./год);
f{2}= [1 p{1}+2p{0}] =520[0,5610,027669+
+ 0,3510,949376] = 181,4 (случ./год);
f{3} = [1 p{2} + 2 p{1} + 3 p{0}] =520[0,5610,017715 +
+ 0,3510,027669 + 0,0410,949376] = 30,5 (случ./год);
f{4}= [1p{3} + 2 p{2} + 3 p{1} + 4 p{0}] = 520[0,5610,002531 +
+ 0,3510,017715 + 0,0410,027669 + 0,0290,949376] = 18,9 (случ./год)
и т.д.
Результаты расчетов величин p{k}, T{k} и f{k} (k = 0, 1, 2, 3,...) следует представить в табличном виде. В качестве примера в табл. 2.1 представлены результаты моделирования по данным для города Н.
Так как во всех десяти вариантах исходных данных (табл. X.4), количество основных ПА, привлекавшихся для обслуживания вызова в городе,
не превышает четырех, то во избежание излишнего объема вычислительных работ, целесообразно производить расчеты величин p{k}, T{k} и f{k}
только для k = 0, 1, 2, 3, 4, и лишь при возникновении необходимости (при
выполнении п.2 и п.3) продолжить расчеты для k = 5, 6,…
Результаты моделирования позволяют проследить характер изменений вероятностных, временных и частотных характеристик в зависимости
от числа k ПА, одновременно занятых обслуживанием вызовов в городе.
Из приведенных в качестве примера в табл. 2.1 результатов моделирования для города Н. следует заметить, что примерно 95 % времени все
оперативные отделения находятся в ситуации {0}, т.е. ожидают поступления очередного вызова.
6
Таблица 2.1
Рассчитанные с помощью модели значения характеристик
одновременной занятости того или иного числа k оперативных отделений
на основных пожарных автомобилях обслуживанием вызовов в городе Н.
Число
ПА
k
Вероятность
p{k}
Суммарная длительность времени
T{k}, ч/год
Частота возникновения
ситуации {k}
f{k}, случаев/год
0
1
2
3
4
5
6
...
Всего
0,949376
0,027669
0,017715
0,002531
0,001654
0,000380
0,000631
...
1,000000
8316,5
242,4
155,2
22,2
14,5
3,3
5,5
...
8760,0
277,0
181,4
30,5
18,9
4,7
6,7
...
520,0
2. Оценка возможностей обслуживания вызовов при том или ином
заданном числе оперативных отделений на основных пожарных автомобилях в городе
Для оценки возможностей обслуживания вызовов при том или ином
заданном числе N оперативных отделений на основных ПА (N = 0, 1, 2,...)
в городе производятся расчеты вероятностных, временных и частотных
характеристик безотказности обслуживания вызовов. При расчетах используются
результаты математического моделирования
процесса
возникновения ситуаций одновременной занятости того или иного числа ПА обслуживанием вызовов в городе (табл. 2.1).
Вычисляется вероятность p{>N} того, что в произвольный момент
времени заданного числа N ПА недостаточно для обслуживания вызовов
в городе (т.е. имеет место ситуация {>N}, в которой обслуживанием
вызовов одновременно занято число ПА, превышающее заданное значение N):
N
p{ N }  1  p{ N }  1   p{k } (N  0, 1, 2,...)
k 0
(2.9)
где p{k} - вычисленная по формулам (2.2) и (2.3) вероятность того, что в
произвольный момент времени обслуживанием вызовов в городе будут
одновременно заняты k оперативных отделений на основных ПА.
Например, производя расчеты по формуле (2.9), для города Н. получаем:
p{>0} = 1 - p{0} = 1 - 0,949376 = 0,050624;
p{>1} = 1 - p{0} - p{1} = p{>0} - p{1} =
= 0,050624 - 0,027669 = 0,022955;
7
p{>2} = 1 - p{0} - p{1} - p{2} = p{>1} - p{2} =
= 0,022955 - 0,017715 = 0,005240;
p{>3} = 1 - p{0} - p{1} - p{2} - p{3} =
= p{>2} - p{3} = 0,005240 - 0,002531 = 0,002709;
p{>4} = 1 - p{0} - p{1} - p{2} - p{3} - p{4} =
= p{>3} - p{4} = 0,002709 - 0,001654 = 0,001055
и т.д.
Вычисляется ожидаемая за период времени наблюдения Tнабл суммарная продолжительность T{>N} одновременной занятости обслуживанием
вызовов в городе числа ПА, превышающего заданное значение N (т.е. с
привлечением дополнительных ПА):
N
T { N}  Tнабл  p{ N }  Tнабл   T {k},
k 0
(2.10)
где T{k} - вычисленная по формуле (2.5) суммарная продолжительность
одновременной занятости k ПА обслуживанием вызовов в городе за период времени наблюдения Tнабл.
Например, производя расчеты по формуле (2.10) для города Н., получаем:
T{>0} = Tнабл p{>0} = 87600,050624= 443,5 (ч/год);
T{>1} = Tнабл p{>1} = 87600,022955= 201,1 (ч/год);
и т.д.
Частота возникновения отказов (как полных, так и частичных) fотк(N)
в обслуживании вызовов в городе при заданном числе N ПА вычисляется
по формуле
f о тк (0)  ;
(2.11)
N
f отк ( N )     f {k}  f отк ( N  1)  f {N}
k 1
(N = 1, 2, 3, ...), (2.12)
где f{k} - вычисляемая по формуле (2.7) частота возникновения ситуации
одновременной занятости k ПА в результате поступления вызовов.
Например, производя расчеты по формулам (2.11) и (2.12), для города Н. получаем:
fотк(0) =  = 520,1 (случ./г);
fотк(1) =  - f{1} = 520,1 - 277,0 = 243,1(случ./г);
fотк(2) =  - f{1} - f{2} = fотк(1) - f{2} = 243,1 - 181,4 = 61,7 (случ./г);
fотк(3) =  - f{1} - f{2} - f{3} = fотк(2) - f{3} = 61,7 - 30,5 = 31,2 (случ./г)
fотк(4) = fотк(3) - f{4} = 31,2 – 18,9 = 12,3 (случ./г)
и т.д.
5. Частота возникновения полных отказов fп.о(N) в обслуживании вызовов в городе при заданном числе N ПА вычисляется по формуле
8
f п.о (0)  ;
(2.13)
 N 1

f п. о (N )    p{ (N  1)}    1   p{k } (N = 1, 2, 3, ...) . (2.14)
 k 0

6. Частота возникновения частичных отказов fч.о(N) в обслуживании
вызовов в городе при заданном числе N ПА вычисляется по формуле
f ч.о ( N )  f отк ( N )  f п.о ( N )
(N = 0, 1, 2,...).
(2.15)
Результаты расчетов величин p{>N}, T{>N}, fотк(N), fп.о(N) и fч.о(N)
(N = 0, 1, 2, 3,...) следует представить в табличном виде. В качестве примера в табл. 2.2 представлены результаты моделирования по данным для города Н.
Таблица 2.2
Расчетные значения критериев для обоснования числа N оперативных отделений на основных пожарных автомобилях в городе Н.
Число ПА
в городе
N
Вероятность
p{>N}
Продолжительность
времени
T{>N} (ч/год)
0
1
2
3
4
5
6
…
0,050624
0,022955
0,005240
0,002709
0,001055
0,000675
0,000044
...
443,5
201,1
45,9
23,8
9,2
5,9
0,4
...
Частота отказов,
случ./год
fотк(N)
fп.о(N)
fч.о(N)
520,1
243,1
61,7
31,2
12,3
7,6
0,9
...
0,0
216,8
49,8
28,5
10,9
7,1
0,5
...
520,1
26,3
11,9
2,7
1,4
0,5
0,4
...
Во избежание излишнего объема вычислительных работ, целесообразно производить расчеты величин p{>N}, T{>N}, fотк(N), fп.о(N) и fч.о(N)
вначале только для N = 0, 1, 2, 3, 4, и лишь при возникновении необходимости (при выполнении п.3) продолжить расчеты для N = 5, 6,…
Результаты проведенных расчетов представляют собой оценки возможностей обслуживания вызовов в городе при наличии в нем того или
иного количества N оперативных отделений на основных ПА.
Например, как следует из табл. 2.2, при наличии в городе Н. пяти
оперативных отделений на основных ПА следует ожидать, что для обслуживания вызовов ПП в городе потребуется привлечь дополнительные отделения в среднем в семи-восьми случаях за год (fотк(5) = 7,6), и лишь в
одном случае за два года придется обслуживать вызов полностью силами
дополнительных отделений (fп.о(5) = 0,5). При этом ожидаемая в среднем
суммарная продолжительность времени занятости дополнительных отделений обслуживанием вызовов в городе составит около 5,9 ч за год.
9
3. Обоснование количества оперативных отделений на основных
пожарных автомобилях, обеспечивающих надежную противопожарную
защиту города
Количество N оперативных отделений на основных ПА в составе
дежурных караулов пожарных частей в городе должно быть достаточным для того, чтобы обеспечить безотказное обслуживание вызовов. По
результатам расчетов вероятностных, временных и частотных характеристик безотказности обслуживания вызовов производится обоснование
числа N оперативных отделений на основных ПА, обеспечивающих
надежную противопожарную защиту города.
Значения всех критериев монотонно убывают с увеличением числа N
оперативных отделений в городе (что соответствует повышению уровня
противопожарной защиты города), поэтому из экономических соображений разумно ограничиваться таким числом N отделений, которые обеспечивают достаточно малые значения рассматриваемых критериев. Например, если в городе Н. в состав дежурных караулов включить 6 оперативных отделений на основных ПА, то будет обеспечен весьма высокий
уровень противопожарной защиты города: в течение года для обслуживания вызовов ПП в городе потребуется привлечь дополнительные отделения лишь в единичных случаях (fотк(6) = 0,9). При этом суммарная
продолжительность занятости дополнительных отделений обслуживанием
вызовов в городе составит около 0,4 ч за год.
Процедура определения требуемого числа оперативных отделений на
основных ПА для города является неформализованной, несмотря на наличие количественных критериев. Неформализованным моментом остается
назначение порога "достаточной малости" значений критериев. На практике в каждом конкретном случае при обосновании следует опираться
не только на полученные в результате расчетов значения критериев,
но и принимать во внимание число мест дислокации пожарных подразделений (пожарных депо) в городе, характеристики пожарной опасности
объектов в различных районах города, а также наличие в достаточной близости от города ПЧ, из которых при необходимости могут быть привлечены дополнительные отделения.
10
ЛИТЕРАТУРА
Брушлинский Н.Н. Системный анализ деятельности Государственной противопожарной службы. Учебник. – М.: МИПБ МВД России, 1998. – 255 с.
Брушлинский Н.Н., Коломиец Ю.И., Соболев Н.Н. Применение методов имитационного моделирования при подготовке инженеров пожарной безопасности // Проблемы
безопасности при чрезвычайных ситуациях: Обзорная информация, 1988, вып. 2, М.:
ВИНИТИ, С. 93 – 100.
Ефимова М.Р., Петрова Е.В., Румянцев В.Н. Общая теория статистики: Учебник. –
М.: ИНФРА-М, 1996 – 416 с.
Системный анализ и проблемы пожарной безопасности народного хозяйства /
Под ред Н.Н.Брушлинского. - М.: Стройиздат, 1988. - 413 с.
Соболев Н.Н. Оценка возможностей обслуживания вызовов пожарными
подразделениями в городе на основе моделирования // Материалы пятой международной конференции "Информатизация систем безопасности" - ИСБ-96 Международных форумов информатизации и "Технологии безопасности-96" (г. Москва).М.: МИПБ МВД РФ, 1996. - С. 182 - 185.
Соболев Н.Н., Коломиец Ю.И. Учебный комплекс по обработке статистических
данных и математическому моделированию организационно-управленческих ситуаций
в пожарной охране // Материалы шестой международной конференции "Системы
безопасности" - СБ-97 Международного форума информатизации (г. Москва). - М.:
МИПБ МВД РФ, 1997. - С. 119 - 120.
11
СОДЕРЖАНИЕ
Введение .................................................................................................................................... 3
Исходные данные и требования к выполнению и оформлению контрольных работ ....... 5
Контрольная работа 1 ............................................................................................................ 11
Контрольная работа 2 ............................................................................................................ 33
Литература .............................................................................................................................. 43
12