З.А.Филимонова - Волгоградский государственный медицинский
advertisement
Министерство здравоохранения РФ Волгоградский государственный медицинский университет Кафедра математики и информатики З.А.Филимонова МАТЕМАТИКА Часть 1 Контрольные задания и методические указания для студентов заочной формы обучения направления подготовки Менеджмент Учебное пособие Волгоград 2015 1 УДК 51 (075.8) ББК 22.11 я73 Авторы: З.А.Филимонова – заведующая кафедрой математики и информатики ВолгГМУ Рецензенты: зав.кафедрой физики ГБОУ ВПО «Волгоградский государственный медицинский университет", к.п.н., доцент С.А.Коробкова профессор кафедры учётных и математических наук НОУ ВПО «Волгоградский институт бизнеса» д-р ф.-м.н., профессор, - М.Б.Белоненко Печатается по решению ЦМС ГБОУ ВПО ВолгГМУ (протокол №___ от __________) З.А.Филимонова Математика. часть 1. Контрольные задания и методические указания для студентов заочной формы обучения направления подготовки Менеджмент: Учебное пособие. – Волгоград: Изд-во ВолгГМУ, 2015. – 48 с. © Изд-во ВолгГМУ, 2015 © З.А.Филимонова – 2015 2 1. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины: Владеть методами количественного анализа и моделирования, теоретического и экспериментального исследования (ОК-15) По итогам изучения курса студенты должны знать: основные понятия и инструменты алгебры и геометрии, математического анализа; По итогам изучения курса студенты должны уметь: применять математические методы для решения типовых профессиональных задач По итогам изучения курса студенты должны иметь навыки: решения типовых организационно-управленческих задач математическими методами Таблица 1 Шкала оценки компетенций Код компетенции ОК-15 Уровень владения компетенцией Высокий Знания Умения Навыки Свободно владеет основными понятиями и инструментами алгебры, геометрии, математического анализа Умеет применять математически е методы для решения типовых профессиональ ных задач Средний Уверенно владеет основными понятиями и инструментами алгебры, геометрии, математического анализа Умеет применять математически е методы для решения типовых профессиональ ных задач Низкий Частично владеет основными понятиями и инструментами алгебры, геометрии, математического анализа Частично умеет применять математически е методы для решения типовых профессиональ ных задач Уверенно владеет навыками решения типовых организационноуправленческих задач математическим и методами Частично владеет навыками решения типовых организационноуправленческих задач математическим и методами Частично владеет навыками решения типовых организационноуправленческих задач математическим и методами 3 НЕОБХОДИМЫЕ СВЕДЕНИЯ И РЕКОМЕНДАЦИИ Введение Настоящие методические указания предназначены в помощь студентам заочной формы обучения при изучении дисциплины «Математика». В них приведены основные теоретические вопросы курса. По каждому вопросу даются подробные разъяснения, и приводится достаточное количество разобранных задач, иллюстрирующих применение теории к решению типовых задач, а также указана учебная литература для самостоятельного изучения. В соответствии с учебным планом студенты заочной формы обучения направления подготовки Менеджмент слушают лекции (10 часов), выполняют лабораторные и практические задания (4+10 час), самостоятельно выполняют две контрольные работы по Математике (303 час), и сдают экзамен. 1. Правила выполнения контрольной работы. При выполнении контрольных работ надо строго придерживаться указанных ниже правил. Работы, выполненные без соблюдения этих правил, не засчитываются и возвращаются студенту для переработки 1. Контрольную работу следует выполнять в тетради чернилами любого цвета, кроме красного, оставляя поля для замечаний рецензента. 2. На обложке тетради должны быть ясно написаны фамилия, имя, отчество студента, учебный номер (шифр), номер контрольной работы, название дисциплины; здесь же следует указать дату отсылки работы в ВолгГМУ и адрес студента. В конце работы следует указать использованную литературу. 3. В работу должны быть включены все задачи, указанные в задании, строго по своему варианту. Контрольные работы, содержащие не все 4 задачи задания, а также содержащие задачи не своего варианта, не засчитываются. 4. Выполнение каждой задачи следует начинать с новой страницы 5. Решения задач надо располагать в порядке номеров, указанных в заданиях, сохраняя номера задач. 6. Перед решением каждой задачи надо выписать полностью ее условие. В том случае, если несколько задач, из которых студент выбирает задачу своего варианта, имеют общую формулировку, следует, переписывая условие задачи, заменить общие данные конкретными из соответствующего номера. 7. Решения задач следует излагать подробно и аккуратно, объясняя, делая ссылки на теорию и мотивируя все действия по ходу решения и делая необходимые чертежи. 8. После получения прорецензированной работы, как не допущенной, так и допущенной к собеседованию, студент должен исправить все отмеченные рецензентом ошибки и недочеты, а также выполнить все рекомендации. Если рецензент предлагает внести в решения задач те или иные исправления или дополнения и прислать их для повторной проверки, то это следует сделать в короткий срок. При высылаемых исправлениях должна обязательно находиться прорецензированная работа и рецензия на нее. В связи с этим рекомендуется при выполнении контрольной работы оставлять в конце тетради несколько чистых листов для дополнений и исправлений в соответствии с указаниями рецензента. Вносить исправления в сам текст работы после ее рецензирования запрещается 9. По работе проводится собеседование, после чего выставляется зачет по контрольной работе. 10.Студенты, не выполнившие контрольную работу до начала экзаменационной сессии, выполняют аудиторную контрольную работу. 5 Вариант контрольной работы содержит 9 заданий. Задачи контрольной работы должны выбираться студентами по двум последним цифрам его зачетной книжки в соответствии с таблицами выбора вариантов. В колонке таблицы по вертикали расположены цифры от 0 до 9, каждая из которых предпоследняя цифра зачетной книжки. В строке таблицы по горизонтали также расположены цифры от 0 до 9, но каждая ид них - последняя цифра зачетной книжки. Пересечение вертикальной (А) и горизонтальной (Б) линий определяет номера задач контрольной работы, записанные столбиком. Например, если две последние цифры зачетной книжки студента 13, то он должен выполнить номера 3,11,30,32,48,51,64,72,87 из контрольной работы. ТАБЛИЦА ВАРИАНТОВ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ Б А 00 01 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 9 13 23 31 45 57 67 78 90 8 18 25 38 43 56 61 79 81 8 12 24 35 44 60 68 79 88 9 15 22 39 42 54 62 80 83 3 17 26 40 49 55 69 80 86 4 20 28 31 49 53 63 71 85 4 18 27 39 50 59 70 71 84 3 11 30 32 48 51 64 72 87 5 19 28 38 47 51 61 72 82 2 12 29 40 47 55 65 73 89 2 20 29 37 48 53 62 73 81 1 13 27 33 50 52 66 74 90 1 16 30 36 46 52 63 74 83 5 14 26 34 46 57 67 75 82 6 11 25 34 41 54 64 75 85 10 19 24 36 44 60 68 76 84 7 15 21 33 42 58 65 76 87 6 17 23 37 45 58 69 77 86 10 14 22 32 43 56 66 77 89 7 16 21 35 41 59 70 78 88 6 Обложка тетради заполняется по следующей форме: Контрольная работа №1 по дисциплине «Математика» Вариант №__ студента 1 курса заочной формы обучения направления подготовки Менеджмент Волгоградского государственного медицинского университета Фамилия, имя, отчество (полностью) № зачётной книжки ____________ Домашний адрес: _________________________ Дата отправки ________ Прорецензированные контрольные работы вместе со всеми исправлениями и дополнениями, сделанными по требованию рецензента, студент должен представить при сдаче экзамена. В противном случае студент к сдаче экзамена не допускается. При сдаче экзамена студент должен показать: а) чёткое знание математических определений и формул, предусмотренных программой, и умение обосновать их (доказательство теорем, вывод формул); б) умение точно и сжато выражать математическую мысль (в особенности при формулировке теорем и определений); в) умение применять приобретенные навыки по дисциплине к решению задач (при оценке решения учитывается, насколько быстро приводят к цели применяемые средства и в какой мере автор решения умеет его обосновывать). 7 2. Основные теоретические вопросы курса 1 семестр 1. Понятие уравнения линии. Прямая на плоскости. Различные виды уравнения прямой. 2. Общее уравнение кривой второго порядка. Канонические уравнения окружность, эллипса, гиперболы и параболы. Их свойства. 3. Матрицы и действия над ними. Определители и их основные свойства. Обратная матрица. Ранг матрицы. 4. Системы линейных уравнений. Метод Крамера. Матричная запись и матричная форма решения систем линейных уравнений. Метод Гаусса. 5. Определение предела функции в точке. Вычисление пределов функций. Неопределённости, возникающие при вычислениях пределов и элементарные примеры раскрытия неопределённостей. 6. Определение предела функции в точке. Основные теоремы о пределах. Первый и второй замечательные пределы. 7. Какие задачи приводят к понятию производной? Приведите решение одной из них. Дайте понятия и приведите примеры сложных и неявно заданных функций. Как дифференцировать сложные и неявные функции? 8. Нахождение уравнения касательной к кривой графика функции в некоторой точке. 9. Производные высших порядков. Физическая интерпретация второй производной. 10.Частные производные и дифференциалы. Частные производные высших порядков. Полный дифференциал второго порядка функций двух аргументов. 11.Решение задач с использованием частных производных: применение полного дифференциала в приближённых вычислениях. 12.Решение задач с использованием частных производных. Минимум и максимум функции двух переменных. Необходимые и достаточные условия экстремума функции двух переменных. 8 1. Элементы аналитической геометрии Аналитическая геометрия - раздел математики, в котором геометрические фигуры и их свойства исследуются средствами алгебры. В основе этого лежит так называемый метод координат, впервые применённый Декартом. Каждому геометрическому соотношению этот метод ставит в соответствие некоторое уравнение, связывающее координаты фигуры или тела. Введение прямоугольной системы координат на плоскости позволяет определять положение любой точки плоскости парой чисел, которые называются координатами точки М(х;у). Координаты точки называются соответственно абсциссой и ординатой. На рисунке указаны знаки координат в четырех координатных плоскостях декартовой системы координат. Простейшие задачи аналитической геометрии на плоскости. 1. Расстояние М 1 М 2 между двумя заданными точками М 1 ( x1 ; y1 ) М 2 ( x2 ; y 2 ) : d ( x2 x1 ) 2 ( y2 y1 ) 2 2. Площадь треугольника с координатами вершин 9 (1.1) М 1 ( x1 ; y1 ) ; М 2 ( x2 ; y 2 ) ; М 3 ( x3 ; y3 ) : S 1 ( x2 x1 )( y3 y1 ) ( x3 x1 )( y2 y1 ) 2 (1.2) 3. Деление отрезка М 1 М 2 в данном соотношении , где числом называется отношением, в котором точка М делит отрезок М 1 М 2 , и определяется равенством: М 1М ММ 2 Координаты точки М находятся по формулам: x x1 x2 ; 1 y y1 y2 1 (1.3) В случае, если точка М – середина отрезка М 1 М 2 , то 1, и тогда координаты середины отрезка находятся по формулам: x x1 x2 2 y y1 y2 2 (1.4) 4. Угловой коэффициент прямой, проходящей через две заданные точки М 1 ( x1 ; y1 ) k y 2 y1 x2 x1 М 2 ( x2 ; y 2 ) : если x1 x2 (1.5) 5. Острый угол между прямыми, заданными уравнениями y k1 x b1 y k 2 x b2 10 вычисляется по формуле tg k 2 k1 1 k1k 2 (1.6) Уравнение линии на плоскости Основным и важнейшим понятием аналитической геометрии является понятие уравнения линии. В общем виде уравнение линии на плоскости – это соотношение вида: F ( x; y) 0 (1.7) Если в это соотношение переменные x и y входят в первой степени – то это уравнение линии первого порядка. Оно описывает прямую. Если же в соотношение (1.7) x и y или только одна из переменных входят во второй степени, то это уравнения линий второго порядка. Они описывают окружность, эллипс, гиперболу, параболу. Существует несколько видов уравнений прямой на плоскости. Различные виды уравнений прямой 1) Уравнение прямой с угловым коэффициентом y kx b (1.8) где k-угловой коэффициент прямой ( k tg , угол наклона прямой к оси Ox; b- ордината точки пересечения прямой с осью Оу 2) Уравнение прямой, проходящей через заданную точку М 1 ( x1 ; y1 ) с заданным угловым коэффициентом k=tgα 11 y y1 k x x1 (1.9) Отсюда y y1 k ( x x1 ) 3) Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки М 1 ( x1 ; y1 ) и М 2 ( x2 ; y 2 ) : y y1 x x1 если y 2 y1 x2 x1 x1 x2 и y1 y 2 (см.рис.а) x x1 если x1 x2 и y1 y 2 (см.рис.б) y y1 если x1 x2 и y1 y 2 (см.рис.в) а) б) 4) Общее уравнение на плоскости: 12 в) Ax By C 0 где А, В, С – числа, причем А2 В 2 0 В частности, если А 0, В 0, то уравнение прямой принимает вид : y y1 если А 0, В 0, то уравнение прямой принимает вид: x x1 если А 0, В 0, то уравнение прямой принимает вид: y kx b где k A B 5) Уравнение прямой в отрезках: x y 1 a b где a, b 0 , a и b соответственно, абсцисса и ордината точек пересечения прямой с осью Ох и осью Оу В общем случае, если заданы две прямые y k1 x b1 y k 2 x b2 , или в общем виде A2 x B2 y C2 0 , A1 x B1 y C1 0 то они могут: - совпадать - быть параллельными - быть взаимно перпендикулярными - пересекаться под углом . 13 Две прямые совпадают, если выполняются условия: k1 k 2 b1 b2 A1 B1 C1 A2 В2 C 2 или Необходимое и достаточное условие параллельности прямых: k1 k 2 или A1 А2 B1 В2 Необходимое и достаточное условие перпендикулярности прямых: k1 k 2 1 А1 А2 В1 В2 0 или Острый угол , под которым пересекаются две прямые: tg k 2 k1 1 k1k 2 или cos A1 A2 B1 B2 ( A12 B12 )( A22 B22 ) Точка пересечения двух прямых находится как решение систем уравнений y k1 x b1 y kx2 b2 A1 x B1 y C1 0 A2 x B2 y C2 0 или Расстояние d от точки М 0 ( x0 ; y0 ) до прямой Ax By C 0 : d Ax0 By0 C A2 B 2 ПРИМЕРЫ С РЕШЕНИЯМИ Пример 1. Дано общее уравнение прямой: 3x 5 y 10 0 . Найти угловой коэффициент прямой. Решение. Решим уравнение относительно у: 14 3 x 5 y 10 0 5 у 3 x 10 3 y x2 5 Отсюда делаем вывод, что k 3 - угловой коэффициент прямой. 5 3 Ответ: k . 5 Пример 2. Составить уравнение прямой, проходящей через точку A(1;3) и составляющей с осью Ох угол 1350. Решение. Так как в данном случае k tg135 0 1, то подставив в уравнение прямой, проходящей через одну точку с известным угловым коэффициентом координаты точки А и значение k , получим y y1 k x x1 y 3 1 x (1) y 3 1( x 1) y x 2 Ответ. y x 2 Пример 3. Составить уравнение прямой, проходящей через точку пересечения прямых x y 1 0 и 2x 3 y 4 0 параллельно прямой 3x y 7 0 . Решение. а) Во-первых найдем точку пересечения прямых x y 1 0 и 15 2x 3 y 4 0 Для этого решаем систему уравнений x y 1 0 2 x 2 y 2 y 6 2 x 3 y 4 0 2 x 3 y 4 x 7 Следовательно, искомая точка пересечения двух прямых имеет координаты (7;-6). Обозначим ее M 1 (7;6) б) Составим теперь уравнение прямой, проходящей через эту точку M 1 (7;6) параллельно прямой 3x y 7 0 . У этой прямой угловой коэффициент k1 3 т.к. y 3x 7 . Из условия параллельности прямых находим угловой коэффициент искомой прямой: k 2 k1 3 . Используя формулу для прямой, проходящей через одну точку с известным угловым коэффициентом координаты точки M 1 (7;6) и значение k 3 , получим y y1 k x x1 y ( 6 ) 3 x7 y 6 3( x 7) y 3 x 27 Или в общем виде: 3x y 7 0 Ответ. 3x y 7 0 Пример 4. Даны вершины треугольника А(0;1) ; В(6;5) ; С (12;1) . Составить уравнение высоты треугольника, проведенной из вершины С. Решение. Составим уравнение стороны АВ , используя формулу прямой, проходящей через две заданные точки А(0;1) и В(6;5) : 16 y y1 x x1 y 2 y1 x2 x1 y 1 x 0 5 1 6 0 y 1 x 4 6 4 y 1 x 6 2 y x 1 3 2 Из уравнения видно, что угловой коэффициент этой прямой k1 . 3 Тогда, угловой коэффициент прямой, на которой лежит высота, проведенная из вершины С (12;1) , равен k 2 3 (по признаку перпендикулярности 2 k1 k 2 1). Поэтому уравнение высоты имеет вид: y y1 k x x1 y (1) 3 x 12 2 3 y 1 ( x 12) 2 3 y x 17 2 Или в общем виде: 3x 2 y 34 0 Ответ. 3x 2 y 34 0 2. Элементы линейной алгебры Матрицей размеров m n называется прямоугольная таблица чисел, имеющая m строк и n столбцов. Матрица обозначается прописной буквой, а 17 a11 ain . Если число строк и ее элементы – строчными буквами. А= a m1 amn столбцов совпадает, матрица называется квадратной. Квадратная матрица называется единичной, если на ее главной диагонали (т.е. идущей из левого верхнего в правый нижний угол) стоят единицы, а все остальные элементы равны нулю. Матрица одинаковых размеров можно складывать поэлементно. Произведение же матриц определяется несколько сложнее. Перемножить можно матрицы размеров m n и n p , получив при этом матрицу размеров m p . Каждый элемент матрицы С=А В, стоящий на пересечении i -й строки и j–го столбца, получается как сумма произведений элементов i -й строки первого сомножителя на соответствующие элементы j –го столбца второго сомножителя cij k 1 aikbkj . n Обратной матрицей к матрице А называется такая матрица А-1 , произведение которой на матрицу А равно единичной матрице. Транспонированием матрицы называется смена ролей ее строк и столбцов или, другими словами, отражение матрицы относительно ее главной диагонали. Определителем квадратной матрицы называется число, вычисляемое по определенным правилам. Например, определитель второго порядка: a b c d ad bc . Определитель третьего порядка: a b c d f aek bfg dhc ceg bdk fha. e g h k При этом произведения, стоящие со знаком "+", берутся по правилу треугольников из чисел, соединённых одной линией по левой схеме, а стоящие со знаком "-" - по правой схеме: 18 Минором Mij определителя называется определитель меньшего порядка, получаемый из исходного вычёркиванием i-й строки и j-го столбца. Алгебраическим дополнением называется минор, взятый со знаком "+" или "-" по следующему правилу:Aij = (-1)i+jMij. Важным свойством определителя является правило разложения по строке и столбцу: определитель равен сумме произведений элементов любой его строки (или любого столбца) на их алгебраические дополнения. Опираясь на это правило, можно вычислять определители более высоких порядков, сводя их к определителям второго и третьего порядков. Для решения системы линейных уравнений по формулам Крамера необходимо найти коэффициентов при определитель неизвестных, системы и , составленный определители из неизвестных 1,2,3,получаемые из заменой соответствующего столбца на столбец свободных членов. Тогда решение системы можно найти по формулам: x1 1 , x2 2 , x3 3 . Метод исключения неизвестных состоит в том, что с помощью умножения первого уравнения системы на подходящее число и прибавления его к остальным уравнениям можно добиться того, чтобы неизвестное x1 осталось только в первом уравнении. Затем, умножая второе уравнение на подходящее число и прибавляя его к остальным уравнениям, исключаем неизвестное x2 из всех уравнений, кроме двух первых, и так далее. Когда в последнем уравнении останется только одно неизвестное, находим его и подставляем в предыдущее. Повторяем так до тех пор, пока не найдём все неизвестные. Для проверки правильности решения системы необходимо подставить полученные значения в исходную систему. 19 Если в процессе решения мы получим равенство вида 0 , делаем вывод, что система несовместима, т.е. не имеет решений. Для нахождения обратной матрицы надо проделать следующие операции: 1) транспонировать матрицу; 2) заменить каждый элемент транспонированной матрицы на его алгебраическое дополнение; 3) разделить каждый элемент полученной матрицы на определитель исходной матрицы . Система векторов а1 , а 2 , а 3 , а 4 образует базис, если определитель, составленный из их координат, не равен нулю. В этом случае любой другой вектор b можно представить в виде линейной комбинации векторов базиса: b x1 a1 x2 a 2 x3 a 3 x4 a 4 . Для нахождения неизвестных коэффициентов разложения надо записать отдельно такие же соотношения отдельно для каждой координаты и решить получившуюся систему уравнений. Пример 1. Для заданной системы трех линейных уравнений с тремя 2 x1 3x2 7; неизвестными x2 2 x3 1; x x x 0. 3 1 2 Требуется: 1) найти ее решение с помощью формул Крамера 2) записать систему в матричной форме и решить ее средствами матричного исчисления. Проверить правильность вычисления обратной матрицы, используя матричное умножение; 3) решить систему методом Гаусса (методом последовательного исключения неизвестных). (Для решения Вы можете использовать программу MS Excel. Рекомендации по ее применению находятся в конце пособия. Кроме этого, можно 20 использовать, так называемый, Матричный калькулятор, который можно найти в Интернете); Решение: Метод Крамера. 1) Решение системы находим по формулам Крамера: x1 x3 1 ; x2 2 ; 3 ; где 1 , 2 , 3 - (дополнительные) определители третьего порядка, получаемые из главного определителя системы заменой 1 -, 2 – или 3 – столбца соответственно на столбец свободных членов bi . Вычисляем определители системы: главный определитель системы : 2 3 0 0 1 2 2 A11 3 A12 0 A13 2 (1) 2 M 11 3 (1)3 M 12 2 1 1 1 3 0 2 1 2 1 1 2 1 2 3 0 2 12 0; 1 1 Система совместна, так как главный определитель системы не равен нулю. дополнительные определители системы: 7 1 1 1 2 0 0 1 2 7 A11 3 A12 0 A13 7 (1) 2 M 11 3 (1)3 M 12 7 1 1 0 3 3 1 2 1 2 1 1 7 (1 2) 3 (1 0) 21 3 24 0; 7 0 2 0 1 2 2 A11 7 A12 0 A13 2 (1) 2 M 11 7 (1)3 M 12 0 (1) 4 M 13 2 1 7 0 2 1 1 0 1 2 (1 0) 7 (0 2) 2 14 12 0; 21 1 2 0 1 2 3 7 3 0 1 1 2 A11 3 A12 7 A13 2 (1) 2 M 11 3 (1)3 M 12 7 (1) 4 M 13 2 1 1 3 0 1 1 0 7 0 0 1 1 1 1 1 1 0 2 (0 1) 3 (0 1) 7 (0 1) 2 3 7 12 0. Подставляя значения определителей в формулы Крамера, получаем: x1 24 2; 12 x2 12 12 1; x3 1. 12 12 Проверка: 2 2 3 1 7; 4 3 7; 1 2 (1) 1; 1 2 1; 2 1 1 0. 2 1 1 0. 2) 7 7; 1 1; 0 0 . Метод Гаусса (или метод последовательного исключения неизвестных). Составим расширенную матрицу системы и приведем ее к треугольному виду: 2 3 0 7 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 A 0 1 2 1 2 3 0 7 0 5 2 7 0 1 2 1 . 1 1 1 0 0 1 2 1 0 1 2 1 0 0 12 12 Заданная система уравнений приведена к виду: x1 x2 x3 0; x2 2 x3 1; . 12 x 12. 3 Найдем корни системы уравнений: x1 x2 x3 0; x2 2 x3 1; 12 x 12. 3 x1 x2 x3 ; x2 2 x3 1; x 1. 3 x1 x2 x3 ; x3 2 (1) 1; x 1. 2 x1 1 1 x3 1; x 1. 2 x1 2; x2 1; x 1. 3 3) Решение системы средствами матричного исчисления. Запишем заданную систему уравнений в матричном виде A X B , 22 x1 7 2 3 0 где A 0 1 2 , X x2 , B 1 . x 0 1 1 1 3 Тогда ее решение имеет вид X A1 B, если определитель системы отличен от нуля. Определитель системы равен: 2 3 0 0 1 2 2 A11 3 A12 0 A13 2 (1) 2 M 11 3 (1)3 M 12 2 1 1 1 3 0 2 1 1 1 2 1 1 2 1 2 3 0 2 12 0; Таким образом обратная матрица A1 существует и система имеет единственное решение. Составим обратную матрицу A1 , для чего вычислим алгебраические дополнения Aij элемента aij и запишем матрицу A1 в виде: A11 1 A A12 A13 1 где 23 A21 A22 A23 A31 A32 , A33 A11 1 11 A12 1 1 2 A13 1 1 3 A21 1 2 1 A22 1 2 2 A23 1 23 A31 1 3 1 A32 1 3 2 A33 1 3 3 1 2 1 2 3; 1 1 0 2 0 2 2; 1 1 0 1 1 1 3 0 1 1 2 0 3 1 1 3 0 1 2 2 0 0 2 2 3 0 1 3 0 3; 2 0 2; 1 1 2 0 1 1; 2 3 5; 6 0 6; 4 0 4; 2. Обратная матрица системы имеет вид: 3 3 6 1 A 2 2 4 12 2 1 5 1 Проверим правильность вычисления обратной матрицы, используя матричное умножение, т. е. покажем, что A A1 E , где Е- единичная матрица. Вычислим A A1 24 2 3 0 3 3 6 1 A A 0 1 2 2 2 4 12 2 1 1 1 1 5 1 2 3 3 2 0 (1) 2 (3) 3 2 0 5 2 6 3 (4) 0 2 1 0 (3) 2 1 2 5 0 6 4 1 2 2 12 0 3 1 2 1 2 1 3 2 1 1 (1) 1 (3) (1) 2 1 5 1 6 (1) (4) 1 2 12 0 0 1 0 0 1 0 12 0 0 1 0 E . 12 0 0 12 0 0 1 Найдем решение системы: 3 3 6 7 21 4 24 2 1 1 1 X 2 2 4 1 14 2 12 1 12 12 12 12 1 2 0 1 5 7 5 2 Ответ: X 1 или x1 2, x 2 1, 1 3. Определение. Число а x3 1. Пределы и их свойства называется пределом последовательности x1 , x2 ,..., xn ,... , если для всякого сколь угодно малого положительного числа найдется такое положительное число N, что | xn a | < при n > N. В этом xn a . случае пишут lim n Определение. Число А называется пределом функции f(x) при x a, если для любого сколь угодно малого > 0 найдется такое > 0, что |f(x) – A| < при f ( x) A . 0 < |x – a| < . В этом случае пишут: lim xa 25 Свойства пределов: ( f ( x) ( x)) lim f ( x) lim ( x) ; 1) lim x a xa xa ( f ( x) ( x)) lim f ( x) lim ( x) ; 2) lim xa x a xa 3) lim xa f ( x) f ( x) lim xa , (lim ( x) 0) . ( x) lim ( x) xa xa При С = const C C; 4) lim xa C f ( x) C lim f ( x) . 5) lim x a x a Используются также следующие пределы: sin x tgx 1 lim 1 – первый замечательный предел; x 0 x 0 x x lim x 1 1 lim 1 lim 1 e 2,71828... – второй замечательный предел. x 0 x При вычислении пределов полезно иметь в виду следующие равенства: ln( 1 x) a x 1 (1 x) m 1 1 , lim ln a , lim m. x 0 x 0 x 0 x x x lim Таблица простейших пределов ( a 0, C 0 ): 1) lim x 0 C ; x Cx ; 2) lim x 3) lim x x ; C 4) lim x C 0; x , a 1 ; 0, a 1 ax 5) xlim 0, a 1 ; , a 1 6) lim ax x ln x ; 7) lim x 0 26 ln x . 8) lim x Вычисляя пределы, следует иметь в виду, что предел элементарной функции в точке ее определения равен частному значению функции в этой точке: lim f ( x) f ( x x x0 вычислении , их 0, 0 ) . Нарушение ограничений, налагаемых на функции при пределов, приводит 0 0 0 , ,1 ,0 , . 0 к неопределенностям Элементарными приемами вида: раскрытия неопределенностей являются: 1) сокращение на множитель, создающий неопределенность; 2) деление числителя и знаменателя на старшую степень аргумента (в отношении многочленов при x 0 ); 3) применение эквивалентных бесконечно малых и бесконечно больших; 4) использование двух замечательных пределов. Решение типовых задач. Вычислить пределы функций, не пользуясь средствами дифференциального исчисления: 1) lim x 0 1 cos 4 x ln( 1 x 2 ) [для неопределенности вида раскрытия получающейся здесь 0 используем метод замены бесконечно 0 малых эквивалентными, так как при х 0 1 cos 4 x 2 sin 2 2 x ~ 8х 2 , 8x 2 8 ; x 0 x 2 ) ln( 1 x 2 ) ~ x 2 , то] lim 2) lim x 12 x 4 5 x 4x 4 7 [подстановка предельного значения аргумента приводит к неопределенности вида , так как под знаком предела стоит отношение многочленов, то разделим числитель и знаменатель на старшую степень аргумента, т. е. на 27 x4] 5 x 3 12 0 3 , поскольку при х функции 5 , 7 lim x 7 x3 x4 40 4 4 x 12 являются бесконечно малыми; 3) lim (5 2 x) 1 x2 x 2 [подстановка x 2 приводит к неопределенности вида 1 , выполним замену переменных: 1 y 1 2y lim (1 2 y ) lim ((1 2 y ) ) 2 e 2 . y 0 y 0 Здесь y x 2, используем lim y 0 ] x 2 второй замечательный предел; 4) lim x 1 x3 1 x 1 [подстановка предельного приводит к неопределенности вида значения аргумента 0 , сократим числитель и 0 знаменатель на множитель, создающий неопределенность, т. е. на ( x 1) ] lim x 1 4. ( x 1)( x 2 x 1) lim ( x 2 x 1) 12 1 1 3 . x 1 x 1 Элементы теории дифференциального исчисления Определение. Производной функции y f( x) в точке x0 называется предел при x 0 отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента (при условии, что этот предел существует). Итак, по определению, f ( x x) f ( x ) y 0 0 . f ( x ) lim lim 0 x x x0 x0 Геометрический смысл производной: для данной функции y f x ее производная y f x для каждого значения x равна угловому коэффициенту касательной к графику функции в соответствующей точке. 28 Физический смысл производной: для данной функции y f x , меняющейся со временем х , ее производная y f x есть скорость изменения функции y в данный момент времени х. Правила дифференцирования: 1) Если функции u и v дифференцируемы в точке х0 , то их сумма дифференцируема в этой точке и (u v) u v (производная суммы рана сумме производных). 2) Если функции u и v дифференцируемы в точке х0 , то их произведение дифференцируемо в этой точке и (uv ) u v uv . 3) Если функции u и v дифференцируемы в точке х0 и функция v не равна нулю в этой точке, то частное u также дифференцируемо в этой точке v и u v uv u , (v 0) . 2 v v 4) В большинстве практических случаев процесс дифференцирования сводится к отысканию производной сложной функции y f x. Если в цепи функциональных зависимостей y f z , z x аргумент x является последним, то мы будем называть его независимой переменной (чтобы подчеркнуть то обстоятельство, что изменение этого аргумента не зависит от поведения других переменных величин). Правило дифференцирования сложной функции вытекает из следующей теоремы. Теорема. Если y f (u ) и u (x) - дифференцируемые функции от своих аргументов, то производная сложной функции y f [ ( x)] существует и равна производной данной функции y по промежуточному аргументу u , 29 умноженной на производную самого промежуточного аргумента и по независимой переменной x, т.е.. yx yu ux . Пример Найти производную функции: cos 2 x y e а) Решение y f [ (u ( x))] Имеем сложную функцию вида Используем правило дифференцирования такой функции: y x f u u x и таблицу производных основных функций Получаем: б) y x e cos 2 x 2 sin 2 x e cos 2 x . x y 4 ctg 2 8 x 1 Имеем сложную функцию вида Используем функции: y f [ (u (v( x)))] правило y x f u u v v x дифференцирования и таблицу производных такой основных функций. Получаем: yx 4 ctg 8x 1 x 2 3 1 2 ctg 8x 1 4 ctg 2 8x 1x 4 3 1 8 2 ctg 8 x 1 4 2 ctg 8 x 2 4 sin 8 x 3 ctg 8 x 4 ctg 8 x 2 4ctg 8 x 1 4 2 3 sin 8 x sin 2 8 x 4 ctg 2 8 x 1 30 в) sin 5x cos5x (5x) 5 cos5x. 1 x 2 1 1 1 г) f ( x) ln(1 x 2 ) ln(1 x 2 ) 2 2 1 x 2 2 1 2x x . 2 1 x 2 1 x 2 Дифференцирование функции двух переменных Если функция зависит от нескольких аргументов, то она называется функцией многих переменных. Примерами таких функций могут служить функция полезности U f ( x, y) , где х - количество единиц первого блага, у второго или производственная функция K ( x, y) , где х - количество единиц первого ресурса, у - второго. Определение. Величину z называют функцией двух переменных x и y, если каждой паре допустимых значений этих величин по определенному закону соответствует одно вполне определенное значение величины z. При этом независимые переменные x и y, называют аргументами функции z. Обозначение: z=f(x,y) Определение. Производная функции многих переменных по одной из переменных при условии, что остальные аргументы остаются постоянными z x z y называется частной производной и обозначается С понятием частной производной тесно связано понятие частной эластичности функции нескольких переменных z f ( x1 , x 2 ....xi ) . Ex ( z) i Значение xi z x z i Ex (z ) показывает приближенно, на сколько процентов i изменится переменная z при изменении xi на 1%. Примеры: 1. Для заданной функции Z f ( x, y ) показать, что F 0 . 31 z sin( x ay), F 2 2z 2 z a y 2 x 2 Решение Вначале найдем частные производные z z x cos(x ay) x 2z z xx 2 sin( x ay) x z zy a cos(x ay) y 2 z z yy 2 a 2 sin( x ay) y Подставим найденные частные производные в выражение для F 2 2z 2 z F 2 a y x 2 F a 2 sin( x ay) a 2 ( sin( x ay)) 0 что и требовалось доказать. 5. Исследовать на экстремум функцию z xy 0,5x 2 0,5 y 2 3x 5 y 0,5. Решение. Проверим необходимые условия наличия у функции экстремума. Область определения – все действительные значения x и y. Найдем первые производные z x y x 3 z y x y 5 Определим координаты критических точек, приравняв первые производные к нулю. x y 3 0 x y 5 0 решая систему, получим x 1 y 4 Т.е. в точке с координатами (1;-4) может быть экстремум. Проверим достаточные условия экстремума и определим вид экстремума 32 z xx 1 z yy 1 z xy 1 Найдем значение z xx z yy ( z xy ) 2 1 (1) (1) 2 0 Т.к. 0 , то вопрос о наличии экстремума у функции z xy 0,5x 2 0,5 y 2 3x 5 y 0,5. остается открытым. Функция спроса на товар в зависимости от цены и дохода имеет вид: 2 I Q( P, I ) 3 . Найти эластичности спроса по цене и по доходу и дать их P экономическую интерпретацию. 6. Решение. Эластичность спроса по цене P отрицательная (при увеличении цены спрос уменьшается) P P4 EP (Q) QP Q 2 I 6 I 4 P 3 Эластичность спроса по доходу I положительная (при увеличении дохода спрос увеличивается) I I P3 1 1 EI (Q) QI Q 2 I P3 I 2 Экономическая интерпретация: а). E p (Q ) 3 1 Значит, спрос эластичный относительно цены. Значение эластичности отрицательное (функция спроса по цене уменьшается). При увеличении цены на 1% величина спроса уменьшается на 3% (более чем на 1%). 33 б) EI (Q) Значение 1 1 Значит, спрос неэластичный относительно дохода. 2 эластичности увеличивается). положительное (функция спроса по доходу При увеличении дохода на 1% величина спроса увеличивается на 0.5% (менее чем на 1%) КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №1 Раздел I. Элементы аналитической геометрии 1. При цене на товар 8 рублей величина спроса составляет 68 штук в день, при цене на тот же товар 12 рублей величина спроса составляет 52 штуки в день. Найти функцию ежедневного спроса, если известно, что она линейная и построить график этой функции. 2. По цене 10 рублей за пачку приобретается ежедневно 100 пачек печенья. При снижении цены до 8 рублей за пачку величина спроса изменяется на 20%. Определить функцию спроса, если известно, что она линейная. Построить график этой функции и проиллюстрировать условие задачи. 3. При падении цен на путевки в Турцию, спрос на путевки в Египет увеличился на 30 путевок в день. Определить новую функцию спроса на путевки в Египет, если до изменения цен на путевки в Турцию она имела вид q( p) 3000 2 p . Изобразите на графике обе функции. Определите направление сдвига. 4. Пусть функция спроса на яблоки имела вид q( p) 120 5 p . После проведения рекламной компании функция спроса сдвинулась на 2 единицы вдоль оси цен. Исходя из закона спроса, определить направление сдвига кривой (прямой) и выписать формулу, задающую новую функцию спроса на яблоки. Проиллюстрировать на графике. 34 5. Пусть функция спроса q( p) 50 2 p . При изменении погодных условий спрос на товар увеличился на 5 единиц. На сколько единиц вдоль оси цен и в каком направлении переместилась кривая (прямая) спроса? Проиллюстрировать на графике. 6. По цене 50 рублей за кг предложения на рынке составляют 130 тонн, а по цене 70 рублей за кг – 190 тонн. Найти функцию предложения, если известно, что она линейная. По какой цене продается товар в данный момент, если известно, что величина предложения на рынке составляет 250 тонн? Проиллюстрируйте на графике. 7. Функция спроса q( p) 11 p и и предложения имеют соответственно вид s( p) 2 p 4 . Найти равновесную цену, величину спроса и предложения, соответствующие равновесной цене. Проиллюстрируйте на графике. 8. Функция q( p) 11 p спроса и предложения имеют соответственно вид s( p) 2 p 4 . После проведения рекламной компании и спрос вырос на 3 единицы. Какова новая функция спроса? На сколько единиц и в каком направлении вдоль оси цен переместится старая функция спроса? Проиллюстрируйте на графике. 9. Функция спроса q( p) 11 p и и предложения имеют соответственно вид s( p) 2 p 4 . Предложение переместилось на 2 единицы вдоль оси цен в положительном направлении. Какова новая функция предложения? На сколько единиц изменилось предложение? Проиллюстрируйте на графике. 10. Функция q( p) 20 p спроса и и предложения имеют соответственно вид s( p) 3 p 1. В результате воздействия неценовых факторов предложение возросло на 5 единиц. Найти новую точку равновесия. На сколько единиц по оси цен сместился график предложения? Проиллюстрируйте. 35 Раздел 2. Элементы линейной алгебры Задание 1. Решение систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) Для заданной системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными требуется: 1) найти ее решение с помощью формул Крамера (рекомендуется использовать Excel); 2) записать систему в матричной форме и решить ее средствами матричного исчисления. Проверить правильность вычисления обратной матрицы, используя матричное умножение (рекомендуется использовать Excel); 3 x1 4 x 2 2 x3 8 11. 2 x1 4 x 2 3 x3 1 x 5x x 0 2 3 1 5 x1 8 x2 x3 7 12. 2 x1 3x2 2 x3 9 x 2 x 3x 1 2 3 1 15. x1 x 2 x3 2 4 x1 3 x 2 x3 1 2 x x x 1 2 3 1 x1 x 2 x3 1 18. 8 x1 3 x 2 6 x3 2 4 x x 3 x 3 1 2 3 3 x1 x 2 x3 21 13. x1 4 x 2 2 x3 16 3 x 5 x 6 x 41 1 2 3 2 x1 x 2 5 x3 4 14. 5 x1 2 x 2 13 x3 2 3 x x 5 x 0 2 3 1 7 x1 5 x 2 34 16. 4 x1 11x 2 36 17. 2 x 3 x 4 x 20 2 3 1 x1 2 x 2 x3 4 3x1 5 x 2 3x3 1 2 x 7 x x 8 2 3 1 x1 2 x 2 3x3 6 2 x1 3x 2 4 x3 20 3x 2 x 5 x 6 2 3 1 4 x1 3x2 2 x3 8 2 x1 5 x2 3x3 11 5 x 6 x 2 x 13 2 3 1 19. 36 20. Раздел 3. Пределы и их свойства Найти пределы: 21. lim x 3 x 2 1; x1 lim 2x x 2 x 2 x 2 5x 6 lim 3 2x x 2 lim 2 x x 4 x 1 lim 4x 2 11x 3 x 3 3x 2 8x 3 1 x 1 x lim x 0 x x ; 3 x 3x 5 lim 2x x 2 x 2 x 2 5x 6 lim lim 1 2x x 3 x 10 x 3 x 2 80 x 2 2x 3 lim x 3 x2 9 lim x2 3 lim ; x 0 x 2 lim 3x 2 17 x 10 x 5 3x 2 16 x 5 lim lim x 3 3x 2 11 x x 2 1 3x 3 lim x 3 64 x 4 x 4 lim 1 1 x x 0 x lim 1 x 2 x 27. x2 1 lim ; x 2 x lim 2x 2 7 x 4 x 4 3x 2 13x 4 6x x 6 3 x 3 sin 2 x lim x 0 x 28. lim x 3 2x 6 x 3x 3 x 2 26 4 x 2 11x 3 x 3 5x 2 16 x 3 lim lim 4x 2 x x 2 1 x 4 25 lim x 5 x2 5 2x3 3 x x3 lim 22. 23. lim x 3 24. 25. 26. 29. 30. lim x 0 x 9 x 0 x 0 1 x 1 x x 5 2 x 16 1 x 3 x 3 x 2x 2 x 2 x x 7 lim x 4 x 2 3x 2 x2 1 lim x 2 lim x 0 sin 3 x sin 2 x lim 2 x 3 x 1 1 x 1 lim x 0 sin 2 x sin 3 x 1 lim 1 x x 2x 1 cos 2 x x 0 3x 2 lim 1 x 0 lim lim x 1 x x 2 3 x 2 49 1 lim 1 x x 2 x 3 2x 1 x2 x22 5x 1 cos 2 x x 0 3x 2 lim lim 1 2 x x 1 x 0 4. Элементы дифференциального исчисления Найти производную первого порядка, используя правила дифференцирования 31 а) y 7 67 x 6 4 x y сtg б) 4 37 в) y 7 67 x 6 sin 2 x 32 а) y 33 а) y 34 а) y 35 а) y 56 x 5 5 45 x 4 5 75 x 7 37 а) y 3 7 x 7 а) y 4 34 x б) y tg e 3 5 2 x 3 73 x 5 65 x 6 7 32 x cos x 3 4x 3 3 3 в) y x cos 4 x y sin б) 4 5 в) y в) y 4x 3 7 4 4x 3 ln x 3 3 б) y cos 54 x 5 45 x x3 4x 4 3 в) y arcctg 5 x y ln б) 5 65 x 6 5 x ex в) y e sin 4 5 2x 4 5x y arccos б) 4 5 7 ex б) y sin 4 4x 3 4 38 а) y в) y 3 б) y arcctg 3 5x x arcsin 4 3 в) y 5 2x y arctg б) 5 4 43 x 4 36 40 4 б) y arcsin 3 а) y 39 а) y 5x 3 6 в) y 7 7 5 x 5 sin( 3x 2 4) в) y ln( 5 2 x) tg e 5 2 x Найти дифференциал первого порядка y arcsin 1 x 41 y ln(sin x) 42 43 y ln 1 x 2 44 y ln(cos ax sin ax) 45 1 y tg 3ax tgax 3 3 46 y (2 cos x)3 47 y 1 x2 1 48 38 y (arcsin x)3 y ex x 1 y 2 49 50 2x 4 4x 3 Найти производную второго порядка 51 y e x 53 y sin 2 x 54 y 1 x2 55 y ln( 2 x 3) 56 y cos2 x 57 y arcsin 58 y 59 y ln 2 x 2 60 y arctg 2 52 x 2 y ctgx ln x x 1 x Исследовать функцию и построить ее график (по схеме, приведенной в методическом указании) 61 x2 y 2( x 1) 63 6 y 2 x 1 65 y x2 67 4x3 y 9(4 x 2 ) 69 2x2 y 2x 1 62 64 4 x2 66 y 3x x2 1 x2 1 y 2 x 1 y 8x ( x 2) 2 68 x3 y 2( x 1) 2 70 x3 y 3( x 2 4) Практические приложения дифференциального исчисления 39 71. Задача 1. Тело массой 6 г движется по закону s 1 ln( t 1) (t 1) 3 ( м). Определить кинетическую энергию тела WК mv2 через 5 с после начала 2 движения. Задача 2. Установить, при каком процентном содержании "у" кислорода в газовой смеси скорость окисления азота будет уравнение кинетики имеет максимальной, если вид: v k (100 x 2 x 3 ) , где k-постоянная, x – концентрация окиси азота и x y 100 72. Задача 1. Точка движется по закону s t. Показать, что 1) движение замедленное; 2) ускорение движения пропорционально кубу скорости. Задача 2. Реакция организма на введенный лекарственный препарат описывается функцией f ( x) x 2 (a x) , где x - доза лекарственного препарата, a - положительная постоянная. При каком значении x реакция максимальна? 73. Задача 1. Движение летчика при катапультировании из реактивного самолета приближенно можно описать формулой s 3,7t 3 ln t 19t (м). Определить скорость и ускорение летчика через 2с после катапультирования. Задача 2. В питательную среду вносят 1000 бактерий. Численность бактерий N возрастает согласно уравнению N 1000 1000t , где t - время в часах. 100 t 2 Определить максимальное количество бактерий. 74. Задача 1. Сторона квадрата увеличивается со скоростью v .Какова скорость изменения периметра и площади квадрата в тот момент, когда его сторона равна a ? 40 Задача 2. Больному делается инъекция в момент времени t 0. Концентрация лекарственного препарата в крови в момент времени t описывается зависимостью c(t ) c0 (e at e bt ), где a 0, b 0. Определить момент времени, когда концентрация достигает максимума. 75. Задача 1. Укорочение мышцы при одиночном раздражении описывается уравнением Релея y bte kt 2 2 , где t - время; b, k - постоянные. Найти скорость укорочения мышцы. Задача 2. Амплитуда вынужденных колебаний материальной точки выражается функцией A f0 ( ) 4 2 2 2 0 2 2 , где – коэффициент затухания, 0 – частота собственных колебаний материальной точки, – частота вынуждающей силы, f 0 – амплитудное значение вынуждающей силы, приходящейся на единицу массы. Найдите, при каком значении частоты амплитуда достигает максимума, то есть возникает явление резонанса. Получите значение амплитуды при резонансе. 76. Задача 1. Вращающееся маховое колесо за t секунд поворачивается на угол a bt ct 2 , где a, b, c положительные постоянные. Определить угловую скорость и ускорение вращения. Когда колесо остановится? Задача 2. Две точки движутся по координатным осям согласно уравнениям: x 2t 9 и y 3t 7(t 0) . В какой момент времени расстояние между точками будет наименьшим и чему оно будет равно? Покажите на графике расстояние между точками в моменты t 0 и их наибольшего сближения 77. 41 Задача 1. Тело движется по прямой Ox по закону x t3 2t 2 3t . Определить 3 скорость и ускорение движения. В какие моменты тело меняет направление движения? Задача 2. Каким должно быть внешнее сопротивление R цепи, чтобы элемент с внутренним сопротивлением максимальную мощность P 2R ( R r) 2 r 0,16Ом и 2,5В, развивал эдс ? Чему равна максимальная мощность при заданных параметрах? 78. Задача 1. Угол , на который повернется колесо через t с, равен 3t 2 12t 36 . Найти угловую скорость колеса в момент t 4с и момент, когда колесо остановится. Задача 2. Используя формулу Планка f ( , T ) 2hc 2 5 1 e hc kT , получите 1 выражение для закона Вина, т.е. найдите такую длину волны , при которой функция f ( , T ) достигает максимума. В полученном уравнении (T ) вычислите значение постоянного множителя, обозначив его через b ( b – постоянная Вина), используя h 6,63 10 34 Дж с , значения констант: постоянная Планка скорость света в вакууме Больцмана k 1,38 10 23 с 3 10 8 м , с постоянная Дж . К 79. Задача 1. Радиус шара увеличивается со скоростью v .Какова скорость изменения объема и площади поверхности шара в тот момент, когда его радиус равен R ? 42 Задача 2. Реакция организма на дозу x лекарственного препарата спустя t часов после приема описывается функцией f ( x, t ) x 2 (a x)t 2et . При какой дозе x лекарственного препарата реакция организма достигает максимума и когда она наступит? 80. Задача 1. Показать, что если тело движется по закону s aet bet , то его ускорение равно пройденному пути. Задача 2. Определить наибольшую площадь прямоугольника, вписанного в круг радиуса R. Дифференцирование функции двух переменных 81. 1. Для заданной функции z sin( x ay ) показать, что F 0 . 2 2 z 2 z F 2 a y x 2 2. Исследовать на экстремум функцию z xy 0,5x 2 0,5 y 2 3x 5 y 0,5. 3. Функция спроса на товар в зависимости от цены и дохода имеет вид: Q ( P, I ) 2 I . Найти эластичности спроса по цене и по доходу и дать их P3 экономическую интерпретацию. 82. x y 2 z z z . xy y x 2. Исследовать на экстремум функцию z 3xy x 2 3 y 2 6 x 9 y 4. 1. Для заданной функции z e показать, что y 3. Функция спроса на товар в зависимости от цены и дохода имеет вид: Q ( P, I ) 2 I . Найти эластичности спроса по цене и по доходу и дать их P2 экономическую интерпретацию. 83. z z y z. x y 2. Исследовать на экстремум функцию z 3x 2 3 y 2 5xy 4 x 7 y 5. y x 1. Для заданной функции z x ln . показать, что x 43 3. Функция спроса на товар в зависимости от цены и дохода имеет вид: Q ( P, I ) 5 I . Найти эластичности спроса по цене и по доходу и дать их P2 экономическую интерпретацию. 84. 2 2z 2z 2z 0 1. Для заданной функции z ln( e e ). показать, что 2 2 x y xy x y 2. Исследовать на экстремум функцию z 3xy x 2 4 y 2 4 x 6 y 1. 3. Функция спроса на товар в зависимости от цены и дохода имеет вид: Q ( P, I ) 12 I . Найти эластичности спроса по цене и по доходу и дать их P2 экономическую интерпретацию. 85. 2 2z 2z 2z 0 1. Для заданной функции z ln( e e ). показать, что 2 2 x y xy x y 2. Исследовать на экстремум функцию z 3xy x 2 3 y 2 6 x 9 y 4. 3. Функция спроса на товар в зависимости от цены и дохода имеет вид: Q ( P, I ) 12 I . Найти эластичности спроса по цене и по доходу и дать их P3 экономическую интерпретацию. 86. 1. Для заданной функции z 2 2z 2 z y 0. . показать, что x x 2 y 2 xy y2 2 2. Исследовать на экстремум функцию z x 2 y 2 3xy x 4 y 1. 3. Функция спроса на товар в зависимости от цены и дохода имеет вид: Q ( P, I ) 12 I . Найти эластичности спроса по цене и по доходу и дать их P3 экономическую интерпретацию. 87. 1. Для заданной функции z ln( x e y ) показать, что F 0 z 2 z z 2 z x xy y x 2 2. Исследовать на экстремум функцию z 3x 2 3 y 2 5xy x y 5. F 3. Функция спроса на товар в зависимости от цены и дохода имеет вид: Q ( P, I ) 17 I . Найти эластичности спроса по цене и по доходу и дать их P3 экономическую интерпретацию. 44 88. y 2 y 1. Для заданной функции y e kt sin x показать, что k 2 t x 2 2 2. Исследовать на экстремум функцию z 4 4 xy 5x y 2 y 4 x. 3. Функция спроса на товар в зависимости от цены и дохода имеет вид: Q ( P, I ) 4 I . Найти эластичности спроса по цене и по доходу и дать их P2 экономическую интерпретацию. 89. 1. Для заданной функции z x y показать, что F 0 2 z z (1 y ln x) xy x 2 2 2. Исследовать на экстремум функцию z x y 2 xy 6 x 10 y 1. Fy 3. Функция спроса на товар в зависимости от цены и дохода имеет вид: Q ( P, I ) 14 I . Найти эластичности спроса по цене и по доходу и дать их P3 экономическую интерпретацию. 90. z z y z. x y 2. Исследовать на экстремум функцию z 3x 2 3 y 2 5xy 4 x 7 y 5. 1. Для заданной функции z x ln y x показать, что x 3. Функция спроса на товар в зависимости от цены и дохода имеет вид: Q ( P, I ) 2 I . Найти эластичности спроса по цене и по доходу и дать их P2 экономическую интерпретацию. 45 Список литературы а). Основная литература: 1. Высшая математика для экономистов: учебник для студентов вузов, обучающихся по экономическим специальностям / [Н.Ш.Кремер и др.]; под ред. проф. Н.Ш.Кремера. – 3-е изд. – М.: ЮНИТА-ДАНА, 2010 2. Высшая математика для экономистов: Практикум для студентов вузов, обучающихся по экономическим специальностям / [Н.Ш.Кремер и др.]; под ред. проф. Н.Ш.Кремера. – 2-е изд. – М.: ЮНИТА-ДАНА, 2010 б). Дополнительная литература: 1. Клюшин В.Л. Высшая математика для экономистов: учебник для бакалавров /В.Л.Клюшин. – 2-е изд., испр. и доп. – М.:Издательство Юрайт, 2015. – 147 с. 2. Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2-х частях. Учебное пособие для вузов / П.Е.Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевников, С.П.Данко. – 7-е изд. Испр. – М.: ООО «Изд-во ОНИКС», ООО «Изд-во «Мир и Образование», 2009 и последующие издания 3. Ларина М.В. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве. Элементы линейной алгебры: Учебное пособие.- Волгоград: Изд-во ВолгГМУ, 2011. – 68 с. 4. Павлушков И. В. Математика [Текст] : учебник / Павлушков И. В., Розовский Л. В., Наркевич И. А. ; М-во образования и науки РФ . - М. : ГЭОТАР-Медиа , 2013 . - 319, [1] с. : ил. . - Библиогр. : с. 316 5. Основы высшей математики и математической статистики [Электронный ресурс]: учебник для вузов / [авт.: И. В. Павлушков, Л. В. Розовский, А. Е. Капульцевич и др.] . М. : ГЭОТАР-Медиа , 2013 . – Режим доступа: http://studmedlib.ru 6. Тестовые задания по математике [Электронный ресурс]: учебное пособие /под ред. З.А.Филимоновой. – Волгоград: ВолГМУ, 2006. - Режим доступа: http://matinfo.volgmed.ru 7. Красс М. С.Математика для экономистов [Текст] : учеб. пособие для вузов по спец. 060400 "Финансы и кредит", 060500 "Бухгалт. учет, анализ и аудит", 060600 "Мировая экономика", 351200 "Налоги и налогообложение" / Красс М. С., Чупрынов Б. П. . - СПб. : Питер , 2010 . - 464 с. : ил. . - Учебное пособие . - Библиогр. : с. 461 8. Шишкина М. С. Избранные разделы по высшей математике [Электронный ресурс] : учеб. пособие / Шишкина М. С., Соловьёва В. В. ; Минздравсоцразвития РФ, ВолГМУ . Волгоград : ВолГМУ , 2009 . - 112 с. . - На обл. авт. не указаны . - Режим доступа: http://www.volgmed.ru/uploads/files/2013-2/16942izbrannye_razdely_po_vysshej_matematike.pdf Электронный ресурс 9. Кремер Н. Ш.Математический анализ [Текст] : учебник и практикум для студентов по спец. 061800 "Математ. методы в экономике" и др. экон. спец. / Кремер Н. Ш., Путко Б. А., Тришин И. М. ; Финансовый ун-т при правительстве РФ . - М. : Юрайт , 2014 . - 620, [1] с. : ил. . - Бакалавр. Углубленный курс . - Предм. указ. : с. 611-620 10. ЭБС "Консультант студента" Математика в экономике: учебник. Ч. 1. Линейная алгебра, аналитическая геометрия и линейное программирование [Электронный ресурс] / ; А.С. Солодовников, В.А. Бабайцев, А.В. Браилов, И.Г. Шандра . - М. , 2013 . - Режим доступа: http://www.studentlibrary.ru/ 11. ЭБС "Консультант студента"Математика в экономике: учебник. Ч. 2. Математический анализ [Электронный ресурс] / ; А.С. Солодовников, В.А. Бабайцев, А.В. Браилов, И.Г. Шандра . - М. , 2013 . - Режим доступа: http://www.studentlibrary.ru/ 12. ЭБС "Консультант студента"О. А. Сдвижков.Математика в Excel 2003. / О. А. Сдвижков. . - М. , 2009 . - Режим доступа: http://www.studentlibrary.ru/ 46 Приложение 9 Основные формулы дифференцирования функций 1. C x 0 ' 16. ctgu x ' 2. X x 1 ' 3. u n ' x nu n 1 u x n ' x ' x nx ctgx'x n 1 u x' ; sin 2 u 1 sin 2 x 4. u v wx u x' v x' wx' ' 5. uv vu uv ' x ' x ' ' 6. Cu ' x u x' 17. arcsin u x ' x 1 1 Cu ; u u x' C x C arcsin x 'x ' x vu ' uv ' u 7. x 2 x . v v x 1 u2 ; 1 1 x2 ' 8. a u ' x 18. arccos u a u ln a u e 10. log a u x u x' u ln a ' ' x ' x arccos x 'x ex ' u x' u' x 0,4343; u ln 10 u 12. ln u x u x' ; u ln x 'x arctgx 'x 1 x ' sin x'x cos x 14. cos u x sin u u x' ; ' cos x'x sin x ' tgx'x 1 u x' ; 2 cos u 1 cos 2 x 47 1 1 x2 u x' ; 1 u2 1 1 x2 20. arcctgu u x' ; 1 u2 arcctgx 'x 1 1 x2 ' x 13. sin u x cos u u x' ; 15. tgu x 19. arctgu x 11. lg u x ' 1 u2 ' x 9. eu x eu u x' ; ' u x' ' x ;
