4. Учебно-методическая карта дисциплины

Ф 27-019
Учреждение образования
“Гродненский государственный университет имени Янки Купалы”
УТВЕРЖДАЮ
Декан факультета
математики и информатики____
___________________ Е.Н. Ливак
«___» _______ 20 г.
Регистрационный № УД- _____/р.
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ И ИНТЕГРАЛЬНЫЕ
УРАВНЕНИЯ
Учебная программа для специальности
(рабочий вариант)
I - 31 03 01-02 математика»
Факультэт
Математики и информатики
(назва факультэта)
Кафедра
Курс
Теории функций, функционального анализа и прикладной
математики
3, 4
Семестр
5, 6, 7
Лекции
______110_______
Экзамен
(количество часов)
___6,7_____
(семестр)
Практические (семинарские)
занятия
____110_________
Зачёт
(количество часов)
___5_____
(семестр)
Лабораторные
занятия
_____________
Курсовая работа (проект)___
(количество часов)
Всего аудиторных часов
по дисциплине ____220________
(количество часов)
Всего часов
по дисциплине _____340_______
Форма получения
высшего образования очная
(количество часов)
Составил Мисюк В.Р. канд. физ.-мат. наук, доцент
2011 г.
1
Учебная программа (рабочий вариант) составлена на основе типовой
программы ТД-G 217/тип. от 04.08.2009
____________________________________________________________
(название типовой учебной программы (учебной программы), дата утверждения, регистрационный номер)
Рассмотрена и рекомендована к утверждению в качестве рабочего
варианта на заседании кафедры теории функций, функционального
анализа и прикладной математики
23 мая 2011 г., протокол N° 5
Заведующий кафедрой
________ Ю.М. Вувуникян
(И.О.Фамилия)
Одобрена и рекомендована к утверждению на заседании
Методической комиссии по специальности (ям)
24 мая 2011 г., протокол N°_6_
Председатель
_________Н.П. Макарова(И.О.Фамилия)
Одобрена и рекомендована к утверждению на заседании Совета
факультета математики и информатики
25 мая_2011 г., протокол N°5
Учёный секретарь
_______________
_____________________
(И.О.Фамилия)
2
1.
ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА
1.1 Цель преподавания дисциплины
Формирование фундаментальных знаний и практических навыков применения методов функционального анализа в научных и практических
приложениях
1.2. Формы и методы обучения и воспитания
Лекции
Самостоятельная работа
Работа в группах
1.3 Рекомендации по организации самостоятельной работы студентов
- Изучение основных теоретических положений курса.
- Освоение практических навыков применения методов функционального анализа.
Самостоятельная работа студентов может быть реализована на лабораторных занятиях (с непосредственной консультационной поддержкой
преподавателя),
1.4. Требования к компетентности (согласно образовательного
стандарта специальности)
В результате изучения учебной дисциплины студент должен:
– знать: основные понятия теории метрических пространств, теории
меры, теории интеграла Лебега, теории нормированных пространств и
линейных операторов в нормированных пространствах.
– уметь: доказывать свойства основных понятий теории метрических
пространств, теории меры, теории интеграла Лебега, теории нормированных пространств и линейных операторов в нормированных пространствах.
3
– владеть навыками: вычисления меры и интеграла Лебега, нормы
ограниченного линейного оператора, резольвентного множества и
спектра, решения интегрального уравнения Фредгольма второго рода с
вырожденными ядрами.
Быть компетентным: в исследовании на разрешимость корректность
разрешимости уравнения Ах=у с линейным непрерывным оператором
А; в использовании основных понятий функционального анализа при
изучении других математических дисциплин.
1.5. Распределение общих и аудиторных часов по семестрам
Распределение нагрузки по семестрам
5 семестр: 36 ч. – лекции, 36 ч. – практика,
6 семестр: 30 ч. – лекции, 30 ч. – практика,
7 семестр: 44 ч. – лекции, 44 ч. – практика
4
2. СОДЕРЖАНИЕ УЧЕБНОГО МАТЕРИАЛА
№
п/п
Наименование
раздела, темы дисциплины
Содержание в соответствии с учебной программой
Введение
1
2
3
4
5
6
Метрическое
пространство
Метрическое пространство. Неравенство Гельдера и
Минковского. Сходящиеся последовательности в метрическом пространстве. Полные метрические пространства. Теорема о пополнении метрических пространств.
Непрерывные отображения. Полнота пространства ℓp.
Неполнота пространства Rp[a,b]. Теорема о вложенных
шарах. Теорема Бэра о категориях. Теорема Банаха о
нигде не дифференцируемых функциях. Принцип сжимающих отображений.
Теория меры
Система множеств. Кольцо, порожденное полукольцом.
Сигма-алгебра. Элементы теории множеств. Кольцо и
алгебры множеств. Мера на полукольце. Продолжение
меры с полукольца на минимальное кольцо. δ- аддитивная мера. Верхняя мера. Мера Лебега. Класс измеримых
по Лебегу множеств. Мера Лебега в R n . Борелевские
множества. Множества меры нуль.
Измеримые функции и
Измеримые функции и их свойства. Сходимость почти
теория интегралов
всюду и сходимость по мере. Теорема Лебега, Рисса,
Лебега
Егорова и Лузина об измеримых функциях. Простые
функции и определение интеграла Лебега. Свойства
интеграла Лебега (линейность, монотонность,
δаддитивность). Предельный переход под знаком интеграла Лебега. Сравнение интегралов Лебега и Римана.
Пространство Lp и его полнота. Произведение мер.
Теорема Фубини.
Интеграл РиманаМонотонные функции. Дифференцирование монотонСтилтьеса
ных функций. Функции ограниченной вариации. Канторова лестница. Сингулярные и абсолютно непрерывные функции. Интеграл Римана-Стилтьеса и его свойства.
Векторные
простран- Примеры векторных пространств, линейные функциоства.
налов и линейных отображения векторных пространств.
Прямое произведение векторных пространств. Сумма
ВП и фактор-пространство ВП. Нормированные пространства. Основные определения и свойства. Сходящиеся и фундаментальные последовательности в НП.
Ряды в НП. Примеры НП
Линейные операторы и Линейные непрерывные операторы в НП. Ограниченфункционалы в НП.
ные линейные операторы. Теорема о связи между непрерывностью и ограниченностью линейного оператора. Ограниченные линейные функционалы. Норма оператора и ее свойства. Виды сходимости в сопряженном
пространстве. Виды сходимости в пространстве линейных непрерывных операторов. Полнота пространства
линейных непрерывных операторов и сопряженного
пространства. Равномерная ограниченность и равно-
5
7
Элементы спектральной
теории операторов.
8
Гильбертово
ство.
9
Интегральные
ния.
10
Топологические векторные пространства
11
Локально
выпуклые
пространства.
12
Пространство основных
функций. Обобщённые
функции.
простран-
уравне-
мерная непрерывность последовательности операторов.
Полунормы и их свойства. Выпуклые множества и их
свойства. Теорема Хана-Банаха (общий случай). Теорема Хана-Банаха в НП.
Обратные операторы. Теорема о непрерывной обратимости оператора I-A. Теорема об открытости множества
непрерывных обратимых операторов. Резольвентное
множество. Спектр оператора и его свойства. Теорема
Банаха об обратимом операторе
Гильбертово пространство. Определение евклидового
пространства. Примеры евклидовых пространств. Неравенство Буняковского–Коши–Шварца Ортогональные
системы. Теорема Пифагора. Существование ортонормированного базиса в сепарабельном евклидовом пространстве.
Интегральные уравнения Вольтера и Фредгольма I и II
родов. Полная непрерывность оператора Фредгольма в
пространстве квадратично-суммируемых функций и
пространстве непрерывных функций.
Определение топологического векторного пространства. Существование в ТВП базиса из уравновешенных
множеств. Секвенциальная полнота. Аксиомы отделимости. Теорема о регулярности отделимого ТВП. Определение Колмогорова-фон Неймана ограниченного
множества в ТВП. Линейные непрерывные операторы в
ТВП. Теорема об ограниченности линейного непрерывного оператора в ТВП. Примеры ТВП.
Определение ЛВП. Примеры ЛВП. Существование в
ЛВП базиса из бочек. Бочечные пространства. Определяющая система преднорм. Примеры определяющих
семейств. Метризуемые ЛВП.
Финитные функции и их свойства. Основные функции.
Определение топологии пространства основных функций. Ограниченные множества в пространстве основных функций. Критерий ограниченности множества в
пространстве D. Определение обобщённой функции.
Примеры обобщённых функций. Дифференцирование
обобщённых функций. Примеры. Первообразная и интеграл от обобщённых функций. Преобразование Фурье
в пространстве основных и обобщённых функций.
6
3.
ТРЕБОВАНИЯ К КУРСОВОЙ РАБОТЕ (ПРОЕКТУ)1
3.1. Цель курсовой работы (проекта) по дисциплины
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
3.2. Объем задания2
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
____________________
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
____________________
3.3. Примерная тематика курсовых работ (проектов)
Приближения функций в различных функциональных пространствах
___
Если учебным планом учреждения высшего образования по специальности (направлению специальности, специализации) предусмотрено выполнение курсовой работы (проекта) по данной дисциплине.
2
Включая количество часов на выполнение курсовой работы (проекта) в соответствии с учебным
планом по специальности (направлению специальности, специализации).
1
7
4. Учебно-методическая карта дисциплины
Но
мер
недели
1
Темы занятий
2
1
Метрическое пространство
2
Полные метрические пространства
3
Критерий полноты метрического пространства
4
Категории множеств в метрическом
пространстве
5
Принцип сжимающих отображений.
Вопросы, которые изучаются
на занятиях
Занятия (часы)
Контролир.
самост.
работа
8
5
6
практич.
семинар
2
2
Презентация №1
2
2
Презентация №2,3
4
Определение метрического
пространства. Неравенство
Гельдера и Минковского.
Сходящиеся
последовательности в метрическом
пространстве.
Полные метрические пространства. Теорема о пополнении метрических пространств.
Непрерывные
отображения.
Полнота пространства ℓp.
Неполнота
пространства
Rp[a,b]. Теорема о вложенных шарах.
Теорема Бэра о категориях.
Теорема Банаха о нигде не
дифференцируемых функциях.
Принцип
сжимающих
отображений и основные
примеры.
Літаратур
а
лекции
3
лабораторные
2
2л
Форма
кантроля
знаний
Матэрыял
ьнае
забяспячэ
нне
заняткаў
Презентация №4
2
2
Презентация №5
2
2
Презентация №6
7
6
Элементы теории множеств.
7
Мера на системах множеств
8
Измеримые по Лебегу множества
9
Измеримые функции
10
Интеграл Лебега от простых функций
11
Функции, суммируемые по Лебегу.
Система множеств. Кольцо,
порожденное полукольцом.
Кольцо и алгебры множеств. Сигма алгебры.
Мера на полукольце. Продолжение меры с полукольца на минимальное
кольцо. Ϭ- аддитивная мера. Верхняя мера
Мера Лебега. Класс измеримых по Лебегу множеств.
Мера Лебега в R n . Борелевские множества. Множества меры нуль.
Измеримые функции и их
свойства. Сходимость почти всюду и сходимость по
мере. Теорема Лебега, Рисса, Егорова и Лузина об измеримых функциях
Простые функции и определение интеграла от простых
функций
Лебега.
Свойства интеграла Лебега
от простых функций.
Общее определение интеграла Лебега и его корректность. Свойства интеграла
Лебега (линейность, монотонность, Ϭ-аддитивность,
абсолютная непрерывность
и т.д.).
9
4
4
Презентация №6
4
2
Презентация №7
4
4
Презентация №8
2
4
2
2
Презентация №10,11
2
2
Презентация №10,11
2л
Презентация №9
12
Предельный переход под знаком интеграла Лебега
13
Пространство Лебега.
14
Монотонные функции и функции
ограниченной вариации
15
Абсолютно непрерывные функции.
Интеграл Римана-Стилтьеса.
16
Векторные пространства. Линейные
отображения векторных пространств
Прямое произведение векторных пространств. Сумма ВП и факторпространство ВП.
Теоремы Лебега, Леви, Фату о предельном переходе
под знак интеграла Лебега.
Интеграл Лебега по множеству бесконечной меры.
Сравнение интегралов Лебега и Римана.
Пространство Lp и его полнота. Произведение мер.
Теорема Фубини.
2
2
Презентация №12
4
4
Презентация №13
Монотонные функции и их
точки разрыва. Функция
скачков и связь со свойством монотонности функции. Дифференцирование
монотонных
функций.
Функции ограниченной вариации и их свойства. Канторова лестница и понятие
сингулярной функции.
Абсолютно непрерывные
функции и теорема вложения. Неопределённый интеграл Лебега. Определение
интеграла
РиманаСтилтьеса и его свойства.
Примеры векторных пространств, линейные функционалов и линейных отображения векторных пространств. Введение векторной структуры в прямом
произведении
2
2
Презентация №14
2
2
Презентация №15,16
2
2
Презентация №17
10
17
18
19
20
21
22
23
24
Нормированные пространства. Основные определения и свойства.
Сходящиеся и фундаментальные последовательности в НП. Ряды в НП.
Свойства нормированных
пространств
Свойства сходящихся и
фундаментальных последовательностей. Абсолютно
сходящиеся ряды в НП
Примеры НП
Примеры пространств последовательностей, непрерывных и непрерывнодифференцируемых функций
Линейные непрерывные операторы в Основные свойства непреНП. Ограниченные линейные опера- рывных и ограниченных
торы. Теорема о связи между непре- операторов
рывностью и ограниченностью линейного оператора. Ограниченные линейные функционалы.
Норма оператора и ее свойства. Виды Оценка и вычисление норм
сходимости в сопряженном простран- конкретных операторов
стве. Виды сходимости в пространстве
линейных непрерывных операторов.
Полнота пространства линейных не- Полнота
сопряженного
прерывных операторов и сопряженно- пространства
го пространства.
Теорема Банаха-Штейнгауза (принцип Равномерная
ограниченравномерной ограниченности). Теоре- ность и равномерная непрема о непрерывности предела сильно рывность последовательносходящейся последовательности ли- сти операторов
нейных непрерывных операторов.
Полунормы и их свойства. Выпуклые Шар по полунорме и его
множества и их свойства. Теорема свойства.
Функционал
Хана-Банаха (общий случай)
Минковского
11
2
2
Презентация №18
2
2
Презентация№19
2
2
Презентация№19
2
2
Презентация№19
2
2
Презентация№20
2
2
Презентация№21
2
2
2
2л
Презентация№22
Презентация№23
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
Теорема Хана-Банаха в НП.
Теорема о достаточном
числе линейных непрерывных функционалов.
Обратные операторы. Теорема о не- Левые и правые обратные
прерывной обратимости оператора I- операторы.
A. Теорема об открытости множества
непрерывных обратимых операторов.
Теорема об операторах, удовлетворя- Примеры операторов, удоющих энергетическим неравенствам
влетворяющих энергетическим неравенствам
Теорема Банаха об обратимом опера- Сравнение норм
торе
Резольвентное множество.
Спектр Теорема о свойствах реоператора и его свойства. Пример.
зольвентного множества
Определение евклидового простран- Неравенство Буняковского–
ства. Примеры евклидовых про- Коши–Шварца
странств
Ортогональные системы. Теорема Ортогонализация ГильберПифагора. Существование ортонор- та-Шмидта
мированного базиса в сепарабельном
евклидовом пространстве
Классификация линейных интеграль- Интегральные
уравнения
ных уравнений. Оператор Фредгольма Вольтера и Фредгольма I и
и его свойства.
II родов
Полная непрерывность оператора Относительно компактные
Фредгольма в пространстве квадра- множества и компактные
тично-суммируемых функций и про- операторы. Теорема о комстранстве непрерывных функций
пактности равномерно сходящещейся последовательности компактных операторов
Композиции операторов Фредгольма. Свертка ядер операторов
Степени операторов Фредгольма.
Фредгольма
12
2
2
Презентация№24
2
2
Презентация№25
2
2
2
2
2
2
2
Презентация№26
2
2
Презентация№27
2
2
2
2
2
2
35
36
37
38
39
40
Построение резольвентной функции и
решение с её помощью интегрального
уравнения Фредгольма второго рода.
Интегральные уравнения Фредгольма
второго рода с вырожденными ядрами.
Операторный ряд Неймана
и достаточные условия его
сходимости. Решение интегральных уравнений Вольтерра и Фредгольма с помощью
резольвентной
функции
Сопряжённые операторы Фредгольма. Применение теоремы ГильЭрмитовы ядра. Решение интеграль- берта-Шмидта к решению
ных уравнений Фредгольма с эрмито- интегральных уравнений
выми ядрами.
Определение топологическоговектор- Система окрестностей нуля
ного пространства.
в ТВП. Базисы окрестностей нуля. Поглощающие
множества в векторных
пространствах.
Свойство
поглощаемости окрестности нуля в ТВП.
Существование в ТВП базиса из урав- Уравновешенные множеновешенных множеств. Секвенциаль- ства и их свойства. Сходяная полнота.
щиеся и фундаментальные
последовательности в ТВП.
Аксиомы отделимости. Теорема о ре- Хаусдорфовость отделимогулярности отделимого ТВП.
го ТВП
2
4
4
4
4
2
2
2
Определение Колмогорова фон Неймана ограниченного множества в
ТВП. Линейные непрерывные операторы в ТВП. Теорема об ограниченности линейного непрерывного оператора в ТВП. Примеры ТВП,
4
Борнология. Свойства борнологий. Линейные непрерывные операторы и функционалы в ТВП. Ограниченные линейные операторы.
13
2
2
41
42
43
44
45
46
47
48
Определение ЛВП. Примеры ЛВП. Выпуклые множества и их
Существование в ЛВП базиса из бо- свойства. Абсолютно вычек. Бочечные пространства.
пуклые, центральные множества и бочки. Шары по
преднорме. Теоремы о
свойствах шара по преднорме.
Определяющая система преднорм. Функционал Минковского
Примеры определяющих семейств
и его свойства. Построение
топологии
с
помощью
определяющего семейства
преднорм.
Метризуемые ЛВП.
ЛВП со счётным определяющим семейством преднорм.
Финитные функции и их свойства. Носитель
непрерывной
Основные функции. Определение то- функции. Пример С.Л. Сопологии
пространства
основных болева основной функции.
функций.
Ограниченные множества в простран- Характеризация сходящихстве основных функций. Критерий ся и фундаментальных поограниченности множества в про- следовательностей основстранстве D.
ных функций. Секвенциальная полнота пространства D.
Определение обобщённой функции. Операции над обобщённыПримеры обобщённых функций.
ми функциями.
Дифференцирование
обобщённых Производные высших пофункций. Примеры. Первообразная и рядков от обобщённых
интеграл от обобщённых функций.
функций.
Преобразование Фурье в пространстве Преобразование Фурье в
основных и обобщённых функций.
пространствах S, D, S , D .
ИТОГО
14
2
2
2
2
2
2
2
4
4
2
4
2
4
102
110
2л
8л
5. ИНФОРМАЦИОННО-МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
ПО ДИСЦИПЛИНЕ
5.1. Перечень рекомендуемой литературы
Основная литература
1. Садовничий В.А. Теория операторов. – М.: МГУ, 1986.
2. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа.
– М.: Наука, 1972. – 496с.
3. Рудин У. Функциональный анализ. – М.: Мир, 1975. – 448с.
4. Люстерник Л.А., Соболев В.И. Краткий курс функционального анализа. – М: Высшая
шк., 1982.
5. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. – М.: Наука,1984. –752с.
6. Данфорд Н., Шварц Дж.Т., Линейные операторы. Общая теория. – М.: Изд. ин. лит.,
1962. – 896 с.
7. Эдвардс Р. Функциональный анализ: Теория и приложения. – М.: Мир, 1969. – 1071с.
8. Антоневич А.Б., Радыно Я.В. Функциональный анализ и интегральные уравнения. –
Минск: Изд. университетское, 1984. – 352с.
9. Антоневич А.Б., Князев П.Н., Радыно Я.В. Задачи и упражнения по функциональному
анализу. – Минск: Высшая шк., 1978. – 206 с.
10. Вувуникян Ю.М. Обобщённые функции и преобразование Фурье. – Гродно: ГрГУ,
1983. – 37 с.
11. Вувуникян Ю.М. Методические указания по разделу «Основы теории обобщённых
функций» курса « Функциональный анализ и интегральные уравнения» для студентов
специальности 01.01. – Гродно: ГрГУ, 1988. – 48с.
12. Вувуникян Ю.М. Методические указания по курсу « Функциональный анализ и интегральные уравнения» для студентов специальности 2013. – Гродно: ГрГУ, 1986. – 45с.
13. Антоневич А.Б., Вувуникян Ю.М., Забрейко П.П. и др. Методические указания к лабораторным работам по курсу « Функциональный анализ и интегральные уравнения»
для студентов специальности 01.01. – Гродно: ГрГУ, 1986. – 64 с.
Дополнительная литература
1. Бурбаки Н. Топологические векторные пространства. – М.: Изд. ин. лит-ра, 1959. –
410с.
2. Владимиров В.С. Обобщённые функции в математической физике. – М.: Наука, 1076.
– 280с.
3. Владимиров В.С. Уравнения математической физики. – М.: Наука, 1981. – 512с.
4. Гельфанд И.М., Шилов Г.В. Обобщённые функции. – М.: Физматгиз, 1958, - Т.1. –
440с.
5. Дьедонне Ж. Основы современного анализа. – М.: Мир, 1964. – 432 с.
6. Иосида К. Функциональный анализ. – М.: Мир, 1967. – 624с.
7. Катран А. Дифференциальное исчисление, дифференциальные формы. – М.: Мир,
1971. – 392с.
8. Кирилов А.А., Гвишиани А.Д., Теоремы и задачи функционального анализа. – М.:
Наука, 1970. – 384с.
9. Коллатц Л. Функциональный анализ и вычислительная математика. – М.: Мир, 1969. –
496 с.
10. Натансон И.П. Теория функций вещественной переменной. – М.: наука, 1974.
11. Робертсон А., Робертсон В. Топологические векторные пространства. – М.: Наука,
1967. – 260с.
12. Шефер Х. Топологические векторные пространства. – М.: Мир, 1971. – 360с.
13. Шилов Г.Е. Математический анализ: Второй специальный курс. – М.: МГУ, 1984. –
208с.
5.2. Перечень средств диагностики результатов учебной деятельности
1.
2.
3.
4.
Проверка индивидуальных заданий.
Контрольные работы
Зачёт.
Экзамен
6. ПРОТОКОЛ СОГЛАСОВАНИЯ УЧЕБНОЙ ПРОГРАММЫ
ПО ИЗУЧАЕМОЙ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЕ
С ДРУГИМИ ДИСЦИПЛИНАМИ СПЕЦИАЛЬНОСТИ
Название
дисциплины, с
которой
требуется
согласование
1.Мат
ТФКП
анализ.
2.
аналитическая
геометрия
Название
кафедры
Предложения об
изменениях в
содержании учебной
программы по
изучаемой учебной
дисциплине
Решение, принятое кафедрой, разработавшей
учебную программу
(с указанием даты и номера протокола)3
МА, ТФФА
Утверждаем Пр №5 от 23.05.2011
АГиМПМ,
ТФФА
Утверждаем Пр №5 от 23.05.2011
При наличии предложений об изменениях в содержании учебной программы по изучаемой учебной
дисциплине
3
16
7. ДОПОЛНЕНИЯ И ИЗМЕНЕНИЯ К УЧЕБНОЙ ПРОГРАММЕ
на ____ / _____ учебный год
№
п/п
Дополнения и изменения
Основание
Учебная программа пересмотрена и одобрена на заседании кафедры
(протокол № __ от _______ 20__ г.)
Заведующий кафедрой
доктор физ.-мат. навук, доцент
УТВЕРЖДАЮ
Декан факультета
кандидат тех.наук, доцент___
______________ Ю.М. Вувуникян
______________
(степень, звание)
Е.Н. Ливак
(И.О.Фамилия)
17