Функции с ограниченной вариацией

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Институт математики и компьютерных наук
Кафедра математического анализа и теории функций
Мосягин В.Е., Швемлер Н.А.
ФУНКЦИИ С ОГРАНИЧЕННОЙ ВАРИАЦИЕЙ
Учебно-методический комплекс. Рабочая программа
для студентов направления 01.03.01 «Математика»,
профиль: «Вещественный, комплексный и функциональный анализ»,
очная форма обучения
Тюменский государственный университет
2014
Мосягин В.Е., Швемлер Н.А. Функции с ограниченной вариацией. Учебнометодический комплекс. Рабочая программа для студентов 01.03.01 Математика, профиль:
«Вещественный, комплексный и функциональный анализ, очная форма обучения». Тюмень,
2014, 17 стр.
Рабочая программа составлена в соответствии с требованиями ФГОС ВО с учетом
рекомендаций и ПрОП ВО по направлению и профилю подготовки.
Рабочая программа дисциплины (модуля) опубликована на сайте ТюмГУ: Функции с
ограниченной
вариацией
[электронный
ресурс]
/
Режим
доступа:
http://www.umk3plus.utmn.ru, раздел «Образовательная деятельность», свободный.
Рекомендовано к изданию кафедрой математического анализа и теории функций.
Утверждено директором Института математики и компьютерных наук.
ОТВЕТСТВЕННЫЙ РЕДАКТОР: Хохлов А.Г., к.ф-м.н, доцент
© Тюменский государственный университет, 2014.
© Мосягин В.Е., Швемлер Н.А., 2014.
Учебно-методический комплекс. Рабочая программа включает следующие разделы:
1. Пояснительная записка
1.1.
Цели и задачи дисциплины (модуля)
Цель: систематично изложить основы теории функций с ограниченной вариацией,
абсолютно непрерывных функций, а также интеграла Лебега-Стилтьеса. Обеспечить
усвоение студентами основных разделов и методов теории. Научить студентов применять
эти методы при выполнении курсовой и квалификационной работы, а также в их дальнейшей
практической деятельности.
Задачи: создать у студентов достаточную теоретическую базу и сформировать
практические навыки для более глубокого понимания курсов теории вероятностей,
математической статистики, теории случайных процессов, функционального анализа и
других профильных дисциплин.
1.2.
Место дисциплины в структуре образовательной программы
Для успешного усвоения курса Функций с ограниченной вариацией студент обязан
свободно владеть методами математического анализа, линейной алгебры, теорией функций
комплексного переменного, теорией меры и интеграла Лебега и особенно методами
функционального анализа (гильбертовыми пространствами L2 ).
№
п/п
1.
2.
3.
Таблица 1.
Разделы дисциплины и междисциплинарные связи с обеспечиваемыми
(последующими) дисциплинами
Наименование
Темы
дисциплины
необходимые
для
изучения
обеспечиваемых
обеспечиваемых (последующих) дисциплин
(последующих)
1.2
1.3
1.4
2.2
3.1
3.2
дисциплин
Математическая
+
+
+
+
+
+
статистика
Случайные процессы
+
+
+
+
+
+
Функциональный
+
+
+
анализ
Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения данной
образовательной программы.
В результате освоения ОП выпускник должен обладать следующими компетенциями:
ПК-2 Способность математически корректно ставить естественнонаучные задачи,
знание постановок классических задач математики
ПК-3 Способность строго доказать утверждение, сформулировать результат, увидеть
следствия полученного результата
1.3.
1.4. Перечень планируемых результатов обучения по дисциплине (модулю):
В результате освоения дисциплины обучающийся должен
Знать:
 определение функции с ограниченной вариацией, ее представление в виде
разности монотонных функций;
 меру Лебега-Стилтьеса;
 описание счетно-аддитивной меры на числовой прямой;
 интеграл Лебега-Стилтьеса;

 сопряженное пространство C [a,b] ;
 определение абсолютно непрерывной функции;
Уметь:
Владеть:




неопределенный интеграл Лебега;
интегральное представление абсолютно непрерывной функции;
определение сингулярной функции;
представление функции с ограниченной вариацией через
непрерывную и сингулярную компоненты;







распознавать функции с ограниченной вариацией;
находить или оценивать полную вариацию функции;
строить меры Лебега-Стилтьеса;
вычислять простейшие интегралы Лебега-Стилтьеса;
записывать линейный функционал на пространстве непрерывных функций;
распознавать абсолютно непрерывные функции;
применять функции с ограниченной вариации при решении практических задач
и в научных исследованиях;
абсолютно
 навыками решения типовых задач и правильной интерпретацией полученного
решения
2. Структура и трудоемкость дисциплины.
Семестр 6. Форма промежуточной аттестации зачет. Общая трудоемкость
дисциплины составляет 3 зачетных единиц, 108 академических часов, из них 56,6 часов,
выделенных на контактную работу с преподавателем, 51,4 часов, выделенных на
самостоятельную работу.
3. Тематический план
Лекции *
Семинарские
(практические)
занятия*
1
2
Модуль 1
3
4
5
1.
Монотонные
функции
Отображение
множеств.
Дифференцирование
монотонной
функции
Функции с
ограниченной
вариацией
Непрерывные
функции с
ограниченной
вариацией
1
0
2-3
3.
4.
Из них в
интерак
тивной
форме, в
часах
Итого
количес
тво
баллов
Самостоятельная
работа*
Тема
2.
Итого
часов
по
теме
Лабораторные
занятия*
№
недели семестра
Таблица 3.
Виды учебной работы и
самостоятельная работа, в
час.
6
7
8
9
10
1
1
2
2
0-6
4
2
6
12
2
0-9
4
4
1
5
10
1
0-6
5-6
4
2
6
12
1
0-9
12
6
18
36
6
0-30
7-9
6
3
9
18
2
0-15
10-12
6
3
9
18
2
0-15
12
6
18
36
4
0-30
13-15
6
3
9
18
2
0-20
16-18
6
3
6,4
15,4
2
0-20
Всего
Модуль 2
1.
2.
Мера ЛебегаСтилтьеса
Интеграл ЛебегаСтилтьеса.
Линейные
функционалы
Всего
Модуль 3
1.
2.
Абсолютно
непрерывные
функции
Неопределенный
интеграл Лебега
Всего
Иные виды работы:
Итого (часов,
баллов):
Из них в интеракт.
форме
12
6
36
18
0
5
15,4
2,6
54
33,4
4
0-40
108
14
0-100
*- если предусмотрены учебным планом ОП.
4. Виды и формы оценочных средств в период текущего контроля
другие формы
0-2
0-1
0-1
0-1
0-6
0-9
0-6
0-9
0-30
0-2
0-2
0-3
0-3
0-3
0-3
0-2
0-2
0-15
0-15
0-30
0-3
0-3
0-4
0-4
0-5
0-5
0-3
0-3
0-20
0-20
0-40
0100
электронные
практикумы
0-2
0-2
0-2
0-2
эссе
0-2
0-2
0-2
0-2
реферат
0-2
0-2
0-2
лабораторная
работа
тест
комплексные
ситуационные
задания
Информа
ции
онные
системы и
технологи
и
контрольная
работа
программы
компьютерног
о тестирования
Технические
формы
контроля
ответ на
семинаре
Модуль 1
1.1
0-2
1.2
0-2
1.3
0-2
1.4
Всего
Модуль 2
0-5
2.1
0-5
2.2
Всего
Модуль 3
0-5
3.1
0-5
3.2
Всего
Итого
Письменные работы
собеседование
Устный опрос
коллоквиумы
№
Темы
Итого количество баллов
Таблица 4.
5. Содержание дисциплины.
Модуль 1
1.1 Монотонные функции
Множество точек разрывов монотонной функции. Функция скачков. Представление
монотонной функции через сумму скачков и монотонную непрерывную функцию.
1.2 Отображение множеств. Дифференцирование монотонной функции
Производное число функции в точке. Производные числа функции Дирихле.
Существование производных чисел у функции, определенной на отрезке. Критерий
существования обыкновенной производной. Существование конечной производной у
монотонной функции. Измеримость производной монотонной функции, оценка интеграла от
производной.
1.3 Функции с ограниченной вариацией
Определение функции с ограниченной вариацией (ф.о.в). Полная вариация функции.
Вариация монотонной функции. Ограниченность ф.о.в. Аддитивность полной вариации.
Представление ф.о.в. в форме разности двух возрастающих функций. Дифференцируемость
ф.о.в. Представление ф.о.в. в форме суммы ее функции скачков и непрерывной ф.о.в.
Принцип выбора Хелли. Теорема Хелли.
1.4 Непрерывные функции с ограниченной вариацией
Вариация с переменным верхним пределом. Непрерывность вариации с переменным
верхним пределом. Представление непрерывной функции с ограниченной вариацией в форме
разности непрерывных возрастающих функций. Индикатриса Банаха. Теорема Банаха и ее
следствия.
Модуль 2
2.1 Мера Лебега-Стилтьеса
Сигма-алгебра борелевских множеств на прямой. Мера Лебега-Стилтьеса на прямой.
Мера точки. Функция распределения меры Лебега-Стилтьеса.
2.2 Интеграл Лебега-Стилтьеса. Линейные функционалы
Определение интегралов Стилтьеса и Лебега-Стилтьеса. Свойства интеграла.
Вычисление интеграла. Предельный переход под знаком интеграла. Линейный функционал,
определяемый интегралом Лебега-Стилтьеса. Теорема Рисса о представлении функционала
над пространством непрерывных функций на отрезке.
Модуль 3
3.1 Абсолютно непрерывные функции
Определение абсолютно непрерывной функции; простейшие свойства. Абсолютная
непрерывность сложной функции. Дифференциальные свойства абсолютно непрерывных
функций.
3.2 Неопределенный интеграл Лебега
Производная неопределенного интеграла Лебега. Абсолютно непрерывная функция как
неопределенный интеграл Лебега своей производной. Точки Лебега. Полная вариация
неопределенного интеграла Лебега. Замена переменной в интеграле Лебега.
6. Планы семинарских занятий.
Модуль 1
1.1 Монотонные функции
Множество точек разрывов монотонной функции. Функция скачков. Представление
монотонной функции через сумму скачков и монотонную непрерывную функцию.
1.2 Отображение множеств. Дифференцирование монотонной функции
Производное число функции в точке. Производные числа функции Дирихле. Критерий
существования обыкновенной производной. Существование конечной производной у
монотонной функции. Измеримость производной монотонной функции, оценка интеграла от
производной.
1.3 Функции с ограниченной вариацией
Полная вариация функции. Вариация монотонной функции. Ограниченность ф.о.в.
Аддитивность полной вариации. Представление ф.о.в. в форме разности двух возрастающих
функций. Дифференцируемость ф.о.в. Представление ф.о.в. в форме суммы ее функции
скачков и непрерывной ф.о.в. Принцип выбора Хелли. Теорема Хелли.
1.4 Непрерывные функции с ограниченной вариацией
Вариация с переменным верхним пределом. Непрерывность вариации с переменным
верхним пределом. Представление непрерывной функции с ограниченной вариацией в форме
разности непрерывных возрастающих функций. Индикатриса Банаха. Теорема Банаха и ее
следствия.
Модуль 2
2.1 Мера Лебега-Стилтьеса
Сигма-алгебра борелевских множеств на прямой. Мера Лебега-Стилтьеса на прямой.
Функция распределения меры Лебега-Стилтьеса.
2.2 Интеграл Лебега-Стилтьеса. Линейные функционалы
Интеграл Лебега-Стилтьеса. Свойства интеграла. Вычисление интеграла. Предельный
переход под знаком интеграла. Линейный функционал, определяемый интегралом ЛебегаСтилтьеса. Теорема Рисса о представлении функционала над пространством непрерывных
функций на отрезке.
Модуль 3
3.1 Абсолютно непрерывные функции
Абсолютно непрерывной функции; простейшие свойства. Абсолютная непрерывность
сложной функции. Дифференциальные свойства абсолютно непрерывных функций.
3.2 Неопределенный интеграл Лебега
Производная неопределенного интеграла Лебега. Абсолютно непрерывная функция как
неопределенный интеграл Лебега своей производной. Точки Лебега. Полная вариация
неопределенного интеграла Лебега. Замена переменной в интеграле Лебега.
7. Темы лабораторных работ (Лабораторный практикум).
Не предусмотрены учебным планом ОП
8. Примерная тематика курсовых работ.
Не предусмотрены учебным планом ОП
9. Учебно-методическое обеспечение и планирование самостоятельной работы
студентов.
Таблица5 .
№
Модули и темы
Виды СРС
Недел Объе Коля
м
во
обязательные дополните
семест часов балло
льные
ра
в
Модуль 1
1.1 Монотонные функции
Работа
с
1
1
0-6
лекционным
материалом,по
дготовка
к
контрольной
работе.
1.2 Отображение множеств. работа
с
опытное
2-3
6
0-9
Дифференцирование
лекционным
моделирова
монотонной функции
материалом,по
ние
дготовка
к
контрольной
работе.
1.3 Функции с ограниченной работа
с
4
5
0-6
вариацией
литературой,
источниками,п
одготовка
к
контрольной
работе.
1.4 Непрерывные функции с работа
с опытное
5-6
6
0-9
ограниченной вариацией лекционным
моделирова
материалом,
ние
литературой,по
дготовка
к
контрольной
работе.
Всего:
6
18
0-30
Модуль 2
2.1 Мера Лебега-Стилтьеса
работа
с
7-9
9
0-15
лекционным
материалом,
литературой,по
дготовка
к
контрольной
работе.
2.2 Интеграл Лебегаработа
с
10-12
9
0-15
Стилтьеса.
лекционным
Линейные функционалы материалом,
литературой,
подготовка к
контрольной
работе
и
коллоквиуму.
Всего:
6
18
0-30
Модуль 3
3.1 Абсолютно непрерывные работа
с
функции
лекционным
материалом,
литературой,
подготовка к
контрольной
работе
и
коллоквиуму.
3.2 Неопределенный
работа
с
интеграл Лебега
лекционным
материалом,
литературой,
подготовка к
контрольной
работе
и
коллоквиуму.
Всего:
Иные виды работ:
ИТОГО:
13-15
9
0-20
16-18
6,4
0-20
15,4
2,6
54
0-40
0-100
10.Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации по итогам
освоения дисциплины (модуля).
10.1 Перечень компетенций с указанием этапов их формирования в процессе освоения
образовательной программы (выдержка из матрицы компетенций):
* - отмечены дисциплины базовой части
Математический анализ
+
Математический анализ
Математическая логика
Дифференциальные уравнения
+
+
+
Концепции современного естествознания
Теория категорий
Граничные свойства аналитических функций
Итоговая государственная аттестация
+
+
+
Случайные процессы
6
семестр
+
+
Теоретико-множественная топология
+
Функциональный анализ
+
Математическая статистика
Комплексный анализ
+
Нестандартный анализ
5
семестр
+
+
Теория вероятностей
+
+
Функциональный анализ
+
Ряды и интегралы Фурье
Комплексный анализ
+
4
семестр
+
Дифференциальная геометрия и топология
+
Действительный анализ
Дискретная математика
+
Иностранный язык (английский)
Алгебра
+
3
семестр
+
Математический анализ
+
2
семестр
+
Аналитическая геометрия
+
Иностранный язык (английский)
Алгебра
+
1
семестр
+
Математический анализ
+
Иностранный язык (английский)
Аналитическая геометрия
Циклы,
дисциплин
ы
(модули)
учебного
плана ОП
+
ПК-3
+
ПК-2
Алгебра
Индекс
компетенц
ии
+
Выдержка из МАТРИЦЫ
соответствия компетенции и составных частей ООП
Б.1. Дисциплины (модули)
7
семестр
8
семестр
10.2 Описание показателей и критериев оценивания компетенций на различных этапах
их формирования, описание шкал оценивания:
ПК-2 Способность математически корректно ставить естественнонаучные задачи,
знание постановок классических задач математики
ПК-3 Способность строго доказать утверждение, сформулировать результат, увидеть
следствия полученного результата
Таблица 6.
ПК-2
Код
компетенции
Карта критериев оценивания компетенций
Критерии в соответствии с уровнем освоения ОП
пороговый
(удовл.)
61-75 баллов
повышенный
(отл.)
91-100 баллов
Знает:
Знает:
Знает:
основные разделы
функций с
ограниченной
вариацией; имеет
представление о
возможности ее
применения в
различных
областях
математики и
естествознания
базовые понятия
и методы; знает
сферы
применения
функций с
ограниченной
вариацией в
разных областях
математики и
естествознания
функции с
ограниченной
вариацией в объеме
лекционного курса
и смежные области,
основные методы
современной
теории, свободно
ориентируется в
вопросах
приложения
Умеет:
Умеет:
Умеет:
корректно строить
модели и
применять методы
теории при
решении
теоретических и
прикладных задач
уверенно
применять
функции с
ограниченной
вариацией для
построения
математических
моделей в
различных
областях
математики и
естествознания
свободно
оперировать
понятиями и
методами функций
с ограниченной
вариацией и
квалифицированно
применять знания в
многочисленных
приложениях
Владеет:
Владеет:
Владеет:
навыками
общения на
профессионально
м языке
навыками
объяснения сути
теорем и
решения задач
неформальным
языком
(объяснение на
«пальцах»)
Знает: основные
понятия и
теоремы
функций с
ограниченной
вариацией и
разделы курса,
где эти теоремы
применяются
развитыми
навыками
объяснения сути
теорем и решения
задач
неформальным
языком
Знает: основные
ПК-3
базовый (хор.)
76-90 баллов
понятия функций
с ограниченной
вариацией и
разделы теории,
где эти понятия
используются
Знает: все разделы
курса функций с
ограниченной
вариацией и
понимает их
логическую
взаимосвязь
Виды занятий
(лекции,
семинар
ские,
практические,
лабораторные)
лекция, семинар
Оценочные
средства
(тесты,
творческие
работы,
проекты и
др.)
опрос,
практические
задания
семинар
опрос,
практические
задания
лекция, семинар
опрос,
практические
задания
лекция, семинар
опрос,
практические
задания
Умеет: определять
тематику задачи и
находить способ
ее решения с
консультационной
поддержкой
Умеет:
Умеет:
самостоятельно
определить
тематику задачи
и находить один
из возможных
вариантов
решения,
сформулировать
результат
видеть разные
подходы к решению
поставленной
задачи и
самостоятельно
находить
рациональное
решение,
формулировать
результат
Владеет:
Владеет:
Владеет:
начальными
навыками
строгого
доказательства
утверждений
навыками
применения
методов и
утверждений
функций с
ограниченной
вариацией при
решении задач и
доказательстве
теорем
развитыми
навыками строгого
доказательства
теорем в разных
областях
математики и ее
приложениях
семинар
практические
задания
лекция, семинар
практические
задания, опрос
10.3 Типовые контрольные задания или иные материалы, необходимые для оценки
знаний, умений, навыков и (или) опыта деятельности, характеризующей этапы
формирования компетенций в процессе освоения образовательной программы.
Задачи для подготовки к контрольным работам:
1. Для того чтобы функция f ( x ) имела конечное изменение, необходимо и достаточно,
чтобы существовала такая возрастающая функция ( x ) :
f ( x)  f ( x)  ( x)  ( x) , при x  x
b
2. Доказать, что интеграл
 f ( x)dg( x)
существует, если f ( x ) удовлетворят условию
a
Липшица порядка  , а g( x ) удовлетворяет условию Липшица порядка  , причем
   1.
3. Доказать равенство Vab ( f )  Vac ( f )  Vcb ( f ) для непрерывной функции f(x).
Если все производные числа функции f(x) удовлетворяют неравенству Df( x)  K , то f(x)
удовлетворяет условию Липшица
Билеты на зачет формируются из перечня вопросов:
1. Множество точек разрывов монотонной функции
2. Функция скачков. Представление монотонной функции через сумму скачков и
монотонную непрерывную функцию
3. Производное число функции в точке. Производные числа функции Дирихле.
4. Существование производных чисел у функции, определенной на отрезке
5. Критерий существования обыкновенной производной. Существование конечной
производной у монотонной функции
6. Измеримость производной монотонной функции, оценка интеграла от производной.
7. Определение функции с ограниченной вариацией (ф.о.в)
8. Полная вариация функции. Вариация монотонной функции
9. Ограниченность ф.о.в. Аддитивность полной вариации
10. Представление ф.о.в. в форме разности двух возрастающих функций
11. Дифференцируемость ф.о.в.
12. Представление ф.о.в. в форме суммы ее функции скачков и непрерывной ф.о.в.
13. Принцип выбора Хелли. Теорема Хелли
14. Вариация с переменным верхним пределом. Непрерывность вариации с переменным
верхним пределом
15. Представление непрерывной функции с ограниченной вариацией в форме разности
непрерывных возрастающих функций
16. Индикатриса Банаха. Теорема Банаха и ее следствия
17. Сигма-алгебра борелевских множеств на прямой. Мера Лебега-Стилтьеса на прямой
18. Мера точки. Функция распределения меры Лебега-Стилтьеса.
19. Определение интегралов Стилтьеса и Лебега-Стилтьеса
20. Свойства интеграла. Вычисление интеграла
21. Предельный переход под знаком интеграла
22. Линейный функционал, определяемый интегралом Лебега-Стилтьеса. Теорема Рисса
о представлении функционала над пространством непрерывных функций на отрезке
23. Абсолютно непрерывной функции; простейшие свойства
24. Абсолютная непрерывность сложной функции
25. Дифференциальные свойства абсолютно непрерывных функций
26. Производная неопределенного интеграла Лебега
27. Абсолютно непрерывная функция как неопределенный интеграл Лебега своей
производной
28. Точки Лебега. Полная вариация неопределенного интеграла Лебега.
29. Замена переменной в интеграле Лебега
10.4 Методические материалы, определяющие процедуры оценивания знаний, умений,
навыков и (или) опыта деятельности характеризующих этапы формирования
компетенций.
Критерии успешности обучения
Итоговая оценка определяется как суммарная характеристика фактического уровня
знаний студента (в баллах) по совокупности всех форм контроля, предусмотренных по
данной дисциплине (максимум – 100 баллов).
Шкала перевода семестровых баллов в оценку
Таблица 7.
Баллы
0 – 60
61 – 100
Зачет
Незачет
Зачет
Неуспевающие студенты, должны сдать зачет по билетам.
11. Образовательные технологии.

При изучении дисциплины используются сочетания видов учебной работы с
методами и формами активизации познавательной деятельности бакалавров для достижения
запланированных результатов обучения и формирования заявленных компетенций.

Лекционные занятия проводятся с использованием наглядных пособий и
раздаточных материалов. Целью лекций является изложение теоретического материала и
иллюстрация его примерами и задачами. Основным теоретическим положениям сопутствуют
пояснения об их приложениях к другим разделам математики, а также экономике, физике,
программированию.

При проведении практических занятий используются индивидуальные и
групповые формы работы; работа в малых группах; выполнение заданий в паре;
взаимопроверка выполненных задач. Во время лекционных занятий ведется активный диалог
со слушателями, используется проблемное изложение материала.

Принципами организации учебного процесса являются: активное участие
слушателей в учебном процессе; проведение практических занятий, определяющих
приобретение навыков решения практических задач; приведение примеров применения
изучаемого теоретического материала к реальным практическим ситуациям.
12. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины (модуля).
12.1 Основная литература:
1.
Данилин, А.Р. Функциональный анализ: учебное пособие / А.Р. Данилин. Екатеринбург: Издательство Уральского университета, 2012. - 200 с. - ISBN 978-5-79960720-3;
То
же
[Электронный
ресурс].
URL:
http://biblioclub.ru/index.php?page=book&id=239528 (дата обращения 01.10.2014)
12.2 Дополнительная литература:
1. Колмогоров, А.Н. Элементы теории функций и функционального анализа : [учеб.] /
А. Н. Колмогоров, С. В. Фомин ; Моск. гос. ун-т им. М. В. Ломоносова. - 7-е изд. Москва : Физматлит, 2006. - 572 с.
12.3 Интернет-ресурсы:
2. Лекции по функциям с ограниченной вариацией- http://kyrator.com.ua/index.php
3. Материалы по функциям с ограниченной вариацией -http://student48.ru/materials.php
13. Перечень информационных технологий, используемых при осуществлении
образовательного процесса по дисциплине (модулю), включая перечень программного
обеспечения и информационных справочных систем (при необходимости).
Нет необходимости
14. Технические средства и материально-техническое обеспечение дисциплины
(модуля).
В организации учебного процесса необходимыми являются средства, обеспечивающие
аудиовизуальное восприятие учебного материала (специализированное демонстрационное
оборудование):
 доска и мел или мультимедийная доска,

компьютеры (для передачи, поиска, изучения материала, для контроля знаний и др.)
15. Методические указания для обучающихся по освоению дисциплины (модуля).
Основной трудностью при работе с литературой по функциям с ограниченной
вариацией является отсутствие единой терминологии и системы обозначений. Первая тема
курса имеет особое значение, так как в ней излагаются основы изучаемой дисциплины, без
понимания и усвоения которой дальнейшее изучение вызовет значительные затруднения.
Дополнения и изменения к рабочей программе на 201__ / 201__ учебный год
В рабочую программу вносятся следующие изменения:
_______________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________
___________________________________________________________
Рабочая
программа
пересмотрена
и
одобрена
на
заседании
______________________________________ «__» _______________201 г.
Заведующий кафедрой ___________________/___________________/
Подпись
Ф.И.О.
кафедры