ЛИТЕРАТУРА - Удмуртский государственный университет

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ
ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
УДМУРТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
«УТВЕРЖДАЮ»
Проректор по НРиИ
_______________ Меньшиков И.В.
«
»_________________2015г.
ПРОГРАММА
вступительного экзамена в аспирантуру по научному направлению
01.06.01 «Математика и механика»
Профили:
01.01.02 «Дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление»
01.01.04 «Геометрия и топология»
01.01.09 «Дискретная математика и математическая кибернетика»
Утверждена на Ученом совете Математического факультета
(протокол № 2 от 25.03.2015г.)
Ижевск 2015
РАЗДЕЛЫ И ТЕМЫ, ВЫНЕСЕННЫЕ НА ВСТУПИТЕЛЬНЫЙ ЭКЗАМЕН В
АСПИРАНТУРУ
Научное направление
01.06.01. Математика и механика
Профили подготовки : 01.01.02. Дифференциальные уравнения, динамические
системы и оптимальное управление, 01.01.04. Геометрия и топология
Вступительный экзамен в аспирантуру по указанному направлению включает
фундаментальные теоретически и практически значимые вопросы по базовым
дисциплинам общепрофессиональной и специальной подготовки:
Часть 1. Общеобразовательная
I.
Математический анализ
1. Числовые последовательности и их пределы. Лемма Больцано-Вейерштрасса и
Бореля. Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности. Верхний и
нижний пределы последовательности. Числовые ряды и признаки их сходимости.
2. Функции одного переменного. Предел функции. Непрерывные функции.
Равномерная непрерывность. Теорема Вейерштрасса о достижении верхней и
нижней граней непрерывной функции на отрезке.
3. Производная функции одного переменного, ее геометрический и физический
смыслы. Дифференциал. Формулы дифференцирования. Производная обратной и
сложной функции. Производные элементарных функций.
Теоремы Ролля и
Лагранжа о конечном приращении. Правило Лопиталя.
4. Локальные экстремумы функции.
Исследование функций и построение их
графиков (интервалы монотонности, выпуклости, точки экстремума, перегиба,
асимптоты).
5. Производные высших порядков. Формула Тейлора. Разложение элементарных
функций в ряд Тейлора.
6. Интегрирование функции одного переменного. Неопределенный интеграл и его
свойства. Таблица основных интегралов.
7. Определенный интеграл, его свойства и геометрический смысл. Теорема о
среднем. Производная интеграла по верхнему пределу и формула Ньютона2
Лейбница.
частям.
Замена переменных в определенном интеграле. Интегрирование по
8. Несобственные интегралы и признаки их сходимости.
9. Открытые, замкнутые и ограниченные множества в конечномерном пространстве.
Функции нескольких переменных. Предел в точке и непрерывность. Теорема
Вейерштрасса для функций нескольких переменных.
10. Дифференцируемость: частные производные, полный дифференциал и его
геометрический смысл. Градиент. Производная по направлению.
11.
Второй дифференциал. Необходимые и достаточные условия локального
экстремума функции.
II. Линейная алгебра
1. Определение векторного пространства. Свойства линейно зависимых и линейно
независимых систем векторов. Понятие ранга системы векторов.
2. Конечномерные векторные пространства и их размерность. Арифметическое
пространство Rn . Подпространства и аффинные многообразия в векторном
пространстве, их размерности. Линейная оболочка системы векторов.
3.
Операции с подпространствами.
Прямая сумма подпространств. Связь
размерностей суммы и пересечения двух подпространств.
4. Матрицы и операции с ними. Сложение и умножение матриц, умножение на
скаляр. Транспонирование матриц. Клеточные матрицы. Обратные матрицы.
5. Системы линейных алгебраических уравнений. Матрица системы,
теорема о ранге матрицы.
6. Условия существования решения системы при любой правой части. Условие
единственности решения для совместной системы. Множества
решений однородной и неоднородной систем, их размерность. Общее решение
совместной системы.
7. Возможность задания любого аффинного многообразия в Rn как множества
решений некоторой системы линейных уравнений. Свойства систем с квадратной
матрицей.
Обратная матрица, ее единственность и условие существования.
Определитель квадратной матрицы и его основные свойства. Способы вычисления
определителя.
8. Общее понятие линейного оператора
Матрицы как линейные операторы в
3
пространствах вида Rn . Образ и ядро линейного оператора, суперпозиция линейных
операторов.
9. Линейные преобразования векторных пространств. Собственные векторы и
собственные числа. Характеристический многочлен матрицы.
10. Алгебраическая и геометрическая кратности собственного числа. Линейная
независимость системы собственных векторов, соответствующих разным
собственным числам.
11. Матрицы простой структуры, их диагональная форма. Матрицы специального
вида: ортогональные матрицы, матрицы проектирования, симметричные матрицы.
Свойства матриц специального вида.
12. Положительно определенные, отрицательно определенные и полуопределенные
симметричные матрицы.
13. Понятие билинейной формы. Скалярное произведение, его примеры в
пространстве Rn . Ортогональное дополнение подпространства. Неравенство КошиБуняковского-Шварца.
14. Квадратичные формы, приведение к каноническому виду. Закон инерции
квадратичных форм.
III. Обыкновенные дифференциальные уравнения
1. Система дифференциальных
уравнений
существования и единственности решения.
первого
порядка.
Теорема
2. Система линейных дифференциальных уравнений первого порядка. Теорема
существования и единственности решения. Лемма Гронуолла.
3. Система линейных дифференциальных уравнений первого порядка. Вид общего
решения. Метод вариации постоянных.
4. Линейное дифференциальное уравнение n-го порядка. Линейное однородное
уравнение. Фундаментальная система решений. Определитель Вронского. Линейное
неоднородное уравнение.
5. Линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами.
Характеристическое уравнение. Вид общего решения однородного уравнения. Вид
частного решения в случае задания правой части квазимногочленом.
6. Разностные уравнения. Методы приближенного интегрирования обыкновенных
дифференциальных уравнения.
4
7. Понятие устойчивости и асимптотической устойчивости. Функция Ляпунова и её
свойства. Теорема Ляпунова об устойчивости.
8. Линеаризация уравнения в окрестности стационарной точки. Теорема Ляпунова
об асимптотической устойчивости по первому приближению.
IV.Уравнения с частными производными
1. Классификация уравнений второго порядка с частными производными.
2. Уравнениe колебания струны. Постановка задач на бесконечной прямой. Формула
Даламбера.
3. Метод Фурье построения решений краевых задач для уравнения колебания
струны.
4. Уравнение теплопроводности. Постановка начально-краевых задач.
5. Уравнение Лапласа. Постановка краевых задач. Свойства гармонических
функций.
6. Построение решения 1-й краевой задачи для круга.
V. Функциональный анализ
1. Линейные нормированные пространства. Полунормы и нормы. Их свойства.
Теорема о топологиях, задаваемых семейством полунорм.
2. Банаховы и Гильбертовы пространства. Ограниченные и неограниченные
операторы. Линейные функционалы.
3. Теорема Стоуна - Вейерштрасса.
4. Неравенства Гёльдера и Минковского.
5. Гильбертовы пространства (скалярное произведение, его свойства, теоремы об
ортогональной проекции).
6.Теорема Рисса об общем виде функционала в гильбертовом пространстве.
7. Дифференциалы Фреше и Гато.
5
8. Теорема о неявной функции и её применения.
9. Исчисление дифференциалов Фреше и Гато.
VI. Методы вычислений
1. Задача
интерполяции.
Интерполяционный
многочлен
Лагранжа,
существование
и единственность. Оценка погрешности. Многочлен
Лагранжа в форме Ньютона.
2. Простейшие квадратурные формулы прямоугольников, трапеций.
Квадратурные формулы Ньютона-Котеса. Квадратурные формулы Гаусса.
Оценки погрешностей.
3. Основные вычислительные задачи линейной алгебры. Метод Гаусса. Метод
простой итерации, условия сходимости.
ЛИТЕРАТУРА (основная)
1. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 1,2.
М., Физматлит, 2001.
2. Зорич В.А. Математический анализ. М.: МЦНМО, I и II части, 2002.
3. Ильин В.А., Садовничий В.А., Сендов Б.Х. Математический анализ. Т. 1,2. М.,
Изд.-во МГУ, 1958-1987.
4. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. Т. 1,2. М., Наука, 1981.
5. Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальное и интегральное исчисление.
М., Наука, 1980.
6. Мальцев А.И. Основы линейной алгебры. М., Наука, 1970.
7. Воеводин В.В. Линейная алгебра. М., Наука, 1974.
8. Ефимов Н.В., Розендорн Э.Р. Линейная алгебра и многомерная геометрия.
М., Наука, 1970.
9.Ильин В.А., Ким Б.Г. Линейная алгебра. Изд-во МГУ, 1998.
10.Шилов Г.Е. Математический анализ. Конечномерные линейные пространства.
М., Наука, 1963.
11. Гельфанд И.М. Лекции по линейной алгебре. М., Добросвет КДУ, 2006.
12.Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.:Наука, 1965.
13. Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1971.
14. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: МГУ,
1998.
15.Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения. М., Гостехиздат, 1957.
16.Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. М., Комкнига, 2006.
17.Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М., 1984.
6
18.Рудин Ч. Функциональный анализ. М., 1975.
19.Балакришнан А.В. Прикладной функциональный анализ. М., 1980.
20. Юдин Д.Б., Гольштейн Е.Г. Линейное программирование. М.: Наука, 1969
21.Гольштейн Е.Г., Юдин Д.Б. Новые направления в линейном программировании.
М.: Советское радио, 1965.
22. Фиакко А.В., Мак-Кормик Г.Р. Нелинейное программирование. М.: Мир, 1972.
23.Гольштейн Е.Г., Третьяков Н.В. Модифицированные функции Лагранжа. М.:
Наука, 1989 (глава 1).
24. Поляк Б.Т. Введение в оптимизацию. М.: Наука, 1983.
25. Воробьев Н.Н. Теория игр для экономистов-кибернетиков. М.: Наука, 1985.
26. Васин А.А., Морозов В.В. Теория игр и модели математической экономики. М.:
Макс пресс, 2005.
27. Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. Оптимальное управление. М.,
Наука, 1079.
28. Понтрягин Л.С. и др. Математическая теория оптимального управления. М.,
Наука, 1976.
29. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики.
М.: ГИТТЛ, 1953 г. (и другие издания).
Часть II специальная
I. Геометрия и топология
1. Ординалы. Основные свойств. Арифметика ординалов.
2. Кардиналы. Мощность множества. Теорема Бернштейна. Множество
подмножеств и его мощность.
3. Конфинальность. Регулярные кардиналы. Теорема Кёнига.
4. Теорема Рамсея.
5. Теорема Эрдеша-Радо.
6. Аксиомы отделимости. Теоремы Тихонова о вполне регулярных
пространствах.
7. Основные кардинальные инварианты топологических пространств.
8. Критерий метризуемости Бинга-Нагата-Смирнова.
9. Связность.
10.Компактные топологические пространства.
11.Тихоновские произведения топологических пространств. Теорема Тихонова о
произведении бикомпактных пространств.
7
12.Паракомпактные пространства. Свойства и критерии.
13.Бикомпактные расширения. Расширение Чеха- Стоуна.
14.Факторные отображения. Факторные образы метрических пространств.
15.Кольца непрерывных функций на топологическом пространстве.
16.Топологические размерности.
17.Гомотопия. Фундаментальная группа.
18.Теорема Зейферта-ван Кампена.
19.Классификация двумерных многообразий.
20.Гомологии комплексов.
21.Сингулярные гомологии.
22.Теорема Брауэра.
ЛИТЕРАТУРА
1. Архангельский А.В., Пономарев В.И. Основы общей топологии в задачах и
упражнениях. М: Наука, 1974. 423с.
2. Энгелькинг Р. Общая топология. М: Мир, 1986. 751с.
3. Справочная книга по математической логике: в 4-х частях/Под ред. Дж.
Барвайса - ч.2- Теория множеств. М: Наука, 1982. 374с.
4. Kunen К. Set theory. Amsterdam: North-NoMancf RuII Comp, 1980, 313c.
5. Rudin M.E. Lectures on set theoretic topology. Regional conf.ser.math.
WyomingUniv/ Press, 1977, 77p.
6. Э.Снепьер. Алгебраическая топология. М.: Мир, 1971, 680 с.
7. Ю.Л.Ершов, Е.А.Палютин. Математическая логика. М.: Наука, 1979, 318с.
8. Книга по математической логике. Теория множеств. М.; Наука, 1982, 362с.
9. А.Дольд. Лекции по алгебраической топологии. М.: Мир, 1976, 463 с.
10. СП.Новиков. Топология. Москва-Ижевск: ИКИ, 2002, 331 с.
11. Х.Шерер. Топологические векторные пространства. М.: Мир, 1971, 359с.
12. А.Г.Курош. Лекции по общей алгебре. М.: Наука, 1973, 348 с.
II. Дифференциальные уравнения, динамические системы
и оптимальное управление
1. Обыкновенные дифференциальные уравнения
1.
Теорема существования и единственности решения задачи Коши для
системы обыкновенных дифференциальных уравнений ([5], §3, §20,
§21;[9],гл.П,§1-§5).
2.
Гладкость решения задачи Коши по начальным данным и параметрам,
входящим в правые части системы уравнений. Продолжение решения ([5], §22, §24,
8
§25, [9], гл. II, §6, §7).
3.
Общая теория линейных уравнений и систем (область существования
решения, фундаментальная матрица Коши, формула Лиувилля-Остроградского,
метод вариации постоянных и др.) ([5], §17, §18; [9], гл.З).
4.
Автономные системы уравнений. Положения равновесия. Предельные циклы.
([5], §15, §16, [9], гл. 4, §1, §9).
5.
Устойчивость по Ляпунову. Теорема Ляпунова об устойчивости положения
равновесия по первому приближению ([5], §26; [9], §6-§8).
6. Задачи оптимального управления. Принцип максимума Понтрягина (без
доказательства), приложение к задачам быстродействия для линейных систем ([6],
гл. I, §1- §4, примеры 1,2; гл. V, §29, §30).
7. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений с комплексными
аргументами. Доказательство теоремы существования и единственности
аналитического решения методом мажорант ([8], гл. V, §41, §42).
2. Уравнения с частными производными
8. Системы уравнений с частными производными типа Ковалевской.
Аналитические решения. Теория Коши - Ковалевской ([13], §2).
9. Классификация линейных уравнений второго порядка на плоскости.
Характеристики. ([1], гл. 1, §13; [7], гл. I, §1).
10. Задача Коши и начально-краевые задачи для волнового уравнения и методы
их решения. Свойства решений (характеристический конус, конечность
скорости распространения волн, характер переднего и заднего фронтов волны и
др.) ([3], гл. 1, §2; [11], гл. I, §1; [7], гл. 2, 2.1, 2.7,2.8).
11. Задачи Дирихле и Неймана для уравнения Пуассона и методы их решения.
Свойства решений (принцип максимума, гладкость, теоремы о среднем и др.) ([3],
гл. IV, §3; [13], гл. 3, §28; [4], гл. I, 1.1, 1.5).
12. Задача Коши и начально-краевые задачи для уравнения теплопроводности и
методы их решения. Свойства решений (принцип максимума, бесконечная скорость
распространения, функция источника и др.) ([4], гл. 3, 3.1, 3.3; [13], гл. IV, §38, §39,
§40).
3. Дополнительная часть
13. Краевая задача для линейного уравнения или системы уравнений. Функция
Грина. Представление решения краевой задачи ([14], гл. 4, §1-§3).
14. Задача Штурма - Лиувилля для уравнения второго порядка. Свойства
собственных функций ([1], гл. V, §5.2).
15. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. Теорема
существования и единственности решения при условиях Каратеодори ([10], §1).
9
16. Линейные и квазилинейные уравнения с частными производными первого
порядка. Характеристики. Задача Коши. ([9], гл. V, §2, §3).
17. Обобщенные функции. Свертка обобщенных функций, преобразование Фурье
([1],гл.П, §2.1, §2.3, §2.5).
18. Пространства Соболева Wpm . Теоремы вложения, следы функций из Wpm на
границе области . ([3], §5 - §8; [3], гл. III, §4-§6).
19. Обобщенные решения краевых задач для эллиптического уравнения второго
порядка. Задачи на собственные функции и собственные значения ([3], гл. IV, §1;
[3], гл. II, §2-§4).
Литература
1. Владимиров B.C., Жаринов В.В. Уравнения математической физики.
М.:Физматлит, 2000 г.
2. Лионе Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. М.:Мир,
1972 г.
3. Михайлов В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных.
М.:Наука, 1983 г.
4. Пикулин В.П., Похожаев СИ. Практический курс по уравнениям
математической физики. М:Наука, 1995 г.
5. Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.:Наука,
1998г. (и другие издания).
6. Понтрягин Л.С, Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф.
Математическая теория оптимальных процессов. М.:Наука, 1963 г. (и другие
издания).
7. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.:
ГИТТЛ, 1953 г. (и другие издания).
8. Трикоми Ф. Дифференциальные уравнения. Издательство иностранной
литературы, М.; 1962 г.
9. Федорюк М.В. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.:Наука, 1980 г.
10. Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой
частью. М.: Издательство физ.-мат. литературы, 1985 г.
11. Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.:Наука, 1971
г.
12. Мартинсон Л.К., Малов Ю.И. Дифференциальные уравнения математической
физики. М.: Издательство МГТУ им. Баумана, 1996 г.
13. Петровский И.Г. Лекции об уравнениях с частными производными. М.:
Наука, 1961 г.
14. Тихонов А. Н., Васильева А. Б., Свешников А. Г. Дифференциальные
уравнения. М.: Наука, 1985 г.
15.Шубин М.А. Псевдодифференциальные операторы и спектральная теория.
М.: Наука, 1978 г.
10
III. Математическое программирование и теория игр
1. Нелинейное программирование. Гладкие задачи оптимизации с
ограничениями в виде равенств и неравенств. Необходимые условия
локального экстремума первого порядка: правило множителей Лагранжа.
Необходимые условия второго порядка, достаточные условия второго
порядка локального экстремума.
2. Выпуклые множества, выпуклые и вогнутые функции и их основные свойства.
Теорема о минимаксе. Общая задача выпуклого программирования. Теорема
Куна-Таккера.
3. Линейное программирование: прямая и двойственная задачи. Теоремы
двойственности. Основы симплекс метода.
4. Многокритериальная оптимизация: эффективные точки (точки Парето) в
сильном и слабом смыслах, линейная свертка критериев.
5. Теория игр: нормальная форма бескоалиционной игры многих лиц. Точки
равновесия по Нэшу. Теорема существования точек равновесия по Нэшу.
6. Антагонистические игры и седловые точки. Матричные игры. Чистые и
смешанные стратегии. Связь матричных игр с линейным программированием.
Теорема Дж. фон Неймана для матричных игр.
7. Задачи вариационного
исчисления. Слабый и сильный минимум. Первая
вариация функционала и уравнение Эйлера. Вторая вариация функционала и
условие Лежандра.
8. Задачи оптимального управления. Пространства фазовых и управляющих
функций.
Принцип максимума Понтрягина для упрощенной
задачи
оптимального управления.
Сопряженная переменная и сопряженное
уравнение, условия трансверсальности.
ЛИТЕРАТУРА
1. Подиновский
В.В.,
Ногин
В.Д.
Парето-оптимальные
решения
многокритериальных задач. М.: Наука, 1982.
2. Флеминг У., Ришел Р. Оптимальное управление детерминированными и
стохастическими системами. М., Мир, 1978.
3. Фиакко А.В., Мак-Кормик Г.Р. Нелинейное программирование. М.: Мир, 1972.
4. Картан А. Дифференциальное исчисление. М., 1971.
5. Гермейер Ю.Б. Введение в теорию исследования операций. М.: Наука, 1969.
6. Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой
частью. М.: Физматлит, 1985
7. Тихонов А. Н., Васильева А. Б., Свешников А. Г. Дифференциальные
уравнения. М.: Наука, 1985 г.
8. Шубин М.А. Псевдодифференциальные операторы и спектральная теория. М.:
11
Наука, 1978 г.
9. Мулен Э. Теория игр с примерами из математической экономики. М.: Мир,
1985.
Экзамен проводится в устной форме по билетам. Оценка знаний поступающих в
аспирантуру производится по пятибалльной шкале.
Критерии оценки:
Оценка «Отлично»:
- выставляется за обстоятельный, безошибочный ответ на вопросы
экзаменационного билета и дополнительные вопросы членов экзаменационной
комиссии.
- поступающий в аспирантуру правильно определяет понятия и категории науки,
свободно ориентируется в теоретическом и практическом материале, относящемся к
предмету.
Оценка «Хорошо»:
-выставляется за правильные и достаточно полные ответы на вопросы
экзаменационного билета, не содержащие грубых ошибок и упущений, если
возникли некоторые затруднения при ответе на дополнительные вопросы членов
экзаменационной комиссии.
Оценка «Удовлетворительно»:
-выставляется при недостаточно полном ответе на вопросы, содержащиеся в
экзаменационном билете, если возникли серьезные затруднения при ответе на
дополнительные вопросы членов экзаменационной комиссии.
Оценка «Неудовлетворительно»:
 выставляется в случае отсутствия необходимых для ответа теоретических
знаний по дисциплинам специализации, если выявлена на данный момент
неспособность к решению задач, связанных с его будущими профессиональными
обязанностями.
Декан МФ
Н.В. Латыпова
12