Государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования Тюменской области

Государственное автономное образовательное учреждение
высшего профессионального образования Тюменской области
«Тюменская государственная академия мировой экономики,
управления и права»
2.5. Реализация образовательных программ
СМК – РОП - ООП - 2.5. - 2012
Численные методы
СОГЛАСОВАНО
Проректор по учебной работе
_______________ Т.А.Кольцова
"___"_______________2012 г.
УТВЕРЖДЕНО
Решением Учёного совета
(протокол № 11 от 27 июня 2012 г.)
Н.Г. Мусакаев
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ
Рабочая программа дисциплины
Специальность
080801.65 «Прикладная информатика в экономике»
Форма обучения
очная, заочная
Тюмень
2012
ББК 32.973
И 73
Численные методы: рабочая программа дисциплины для студентов специальности 080801.65 «Прикладная информатика в экономике» очной и заочной форм
обучения. Тюмень: «Тюменская государственная академия мировой экономики,
управления и права» («ТГАМЭУП»). 2012. 42 с.
Рабочая программа дисциплины включает в себя : организационнометодический раздел; объём диспицлины, виды учебной работы и формы контроля в соответсвии с учебным планом специальности по формам обучения; тематический план; содержание дисциплины; планы семинарских (практических)
занятий; здания и практические укания к контрольной работе для студентов заочной формы обучения; учебно-методические материалы по дисциплине; формы
текущего, промежуточного и итогового контроля; задания для самостоятельной
работы студентов.
РПД предназначена для студентов очной и заочной форм обучения.
Программа одобрена на заседании кафедры математики и информатики (протокол № 8 от 28 мая 2012 г.), печатается по решению учебно-методического совета (протокол заседания № 10 от 20 июня 2012 г.).
Составитель Н.Г. Мусакаев
Рецензенты:
С.П. Родионов, д.ф.-м.н., зав. лабораторией Тюменского филиала ФГБУН Института теоретической и прикладной механики им. С.А. Христиановича СО РАН
В.В. Сергеев, к.т.н., доцент кафедры МиИ ТГАМЭУП
Автор-составитель доцент Мусакаев Н.Г.
© Мусакаев Н.Г., 2012
© «ТГАМЭУП», 2012
2
1. ОРГАНИЗАЦИОННО–МЕТОДИЧЕСКИЙ РАЗДЕЛ
Цель и задачи дисциплины
Современный этап научно-технического прогресса характеризуется широким
применением вычислительных методов и компьютерной техники во всех сферах
человеческой деятельности.
Целью курса является усвоение студентами общих понятий и идей, относящихся
к преобразованию математических моделей различных прикладных задач экономики к виду, удобному для нахождения их решения с помощью компьютеров.
Основной задачей дисциплины является овладение навыками и умением решать теоретические модели экономических явлений и инженерно-экономических
задач средствами и методами вычислительной математики. В задачи курса входит изучение интерполяции и аппроксимации, овладение прямыми и итерационными методами решения систем линейных алгебраических уравнений, нахождение численного решения нелинейных уравнений, изучение методов численного
интегрирования, а также разностных методов решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Прикладная задача дисциплины заключается в усвоении
тех основных понятий и методов, которые позволят сравнительно быстро
научиться работать в различных областях человеческой деятельности.
Место дисциплины в профессиональной подготовке выпускников
Представленный курс тесно связан с другими дисциплинами учебного плана:
математикой, информатикой, информационными технологиями, технологиями
программирования. Для изучения дисциплины необходимы знания основ математического анализа, линейной алгебры, курса дифференциальных уравнений, информатики и технологий программирования.
Требования к уровню освоения курса
В ходе изучения курса «Численные методы» студенты должны –
знать:
 источники и виды погрешностей решения конечномерных задач;
 принципы построения численных методов решения экономических и инженерно-экономических задач;
 методы решения задач алгебры и математического анализа, их достоинств и
недостатков;
 численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений;
уметь:
 применять те или иные численные методы в зависимости от сложности поставленных задач и наличия вычислительных возможностей потребителя;
 учитывать влияние различных погрешностей на точность получаемого решения конкретной задачи;
 самостоятельно преобразовать математические модели различных прикладных
задач экономик к виду, удобному для нахождения их решения с помощью компьютеров;
иметь представление:
3
 о средствах и методах численного решения задач алгебры и математического
анализа;
 о взаимосвязи дисциплины с другими смежными дисциплинами.
2. ОБЪЕМ ДИСЦИПЛИНЫ, ВИДЫ УЧЕБНОЙ РАБОТЫ И ФОРМЫ
КОНТРОЛЯ В СООТВЕТСТВИИ С УЧЕБНЫМ ПЛАНОМ
СПЕЦИАЛЬНОСТИ ПО ФОРМАМ ОБУЧЕНИЯ
очная форма обучения
Практические занятия – 36
Самостоятельная работа – 49
Общие часы – 121
Аудиторные занятия – 72
Лекции – 36
Формы текущего и итогового контроля – выполнение упражнений, решение
задач, экзамен.
заочная форма обучения (6 лет)
Общие часы – 121
Практические занятия – 8
Аудиторные занятия – 16
Самостоятельная работа – 105
Лекции – 8
Формы текущего и итогового контроля –выполнение упражнений, решение задач, контрольная работа, экзамен.
заочная форма обучения (3,5 года)
Общие часы – 121
Практические занятия – 6
Аудиторные занятия – 12
Самостоятельная работа – 109
Лекции – 6
Формы текущего и итогового контроля – опрос, выполнение практических и контрольных работ, тестирование, экзамен.
3. ТЕМАТИЧЕСКИЙ ПЛАН
очная форма обучения
Темы
Всего
час.
СРС
всес
го
преп.
I
II
III
IV
V
VI
VII
Раздел 1. Методы решения задач алгебры и математического анализа
Тема 1. Погрешность результата чис11
6
2
4
5
1
ленного решения задачи
Тема 2. Интерполирование функций
14
8
4
4
6
2
Тема 3. Приближенное вычисление ин18
12
6
6
6
2
тегралов
Тема 4. Численное решение систем ли16
10
4
6
6
2
нейных алгебраических уравнений
4
Аудиторные
всего лекц. практ.
без
преп.
VIII
4
4
4
4
Тема 5. Решение нелинейных уравне14
8
4
4
6
2
ний
Раздел 2. Численные методы решения дифференциальных уравнений
Тема 6. Численные методы решения
22
14
8
6
8
2
задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений
Тема 7. Численное решение краевых
20
12
6
6
8
2
задач для обыкновенных дифференциальных уравнений
Тема 8. Обзор методов решения урав6
2
2
4
1
нений в частных производных
Всего
121
72
36
36
49
14
4
6
6
3
35
заочная форма обучения (6 лет)
Темы
ВсегоАудиторные
час.
всего
лекц.
сем.
Раздел 1. Методы решения задач алгебры и математического анализа
Тема 1. Погрешность результата числен11
2
1
1
ного решения задачи
Тема 2. Интерполирование функций
13
2
1
1
Тема 3. Приближенное вычисление инте14
2
1
1
гралов
Тема 4. Численное решение систем ли12
2
1
1
нейных алгебраических уравнений
Тема 5. Решение нелинейных уравнений
14
2
1
1
Раздел 2. Численные методы решения дифференциальных уравнений
Тема 6. Численные методы решения за20
3
1
2
дачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений
Тема 7. Численное решение краевых за18
2
1
1
дач для обыкновенных дифференциальных уравнений
Тема 8. Обзор методов решения уравне19
1
1
ний в частных производных
Всего
121
16
8
8
СРС
9
11
12
10
12
17
16
18
105
заочная форма обучения (3,5 года)
Темы
ВсегоАудиторные
час.
всего
лекц.
сем.
I
II
III
IV
V
Раздел 1. Методы решения задач алгебры и математического анализа
Тема 1. Погрешность результата числен10
1
0,5
0,5
ного решения задачи
Тема 2. Интерполирование функций
14
1,5
0,5
1
Тема 3. Приближенное вычисление инте14
2
1
1
гралов
Тема 4. Численное решение систем ли13
1
0,5
0,5
нейных алгебраических уравнений
5
СРС
VI
9
12,5
12
12
Тема 5. Решение нелинейных уравнений
15
1
0,5
0,5
Раздел 2. Численные методы решения дифференциальных уравнений
Тема 6. Численные методы решения за20
2,5
1
1,5
дачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений
Тема 7. Численное решение краевых за18
2
1
1
дач для обыкновенных дифференциальных уравнений
Тема 8. Обзор методов решения уравне17
1
1
ний в частных производных
Всего
121
12
6
6
14
17,5
16
16
109
4. СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ
Раздел 1. Методы решения задач алгебры и математического анализа
Тема 1. Погрешность результата численного решения задачи
Источники и классификация погрешности. Запись чисел в ЭВМ. Приближенные
числа, их абсолютные и относительные погрешности. Арифмитические действия с
приближенными числами. Погрешность функции. Определение допустимой погрешности аргументов по допустимой погрешности функции.
Тема 2. Интерполирование функций
Постановка задачи интерполирования функции. Интерполяционный многочлен
Лагранжа. Оценка остаточного члена интерполяционного многочлена Лагранжа.
Схема Эйткена. Разделенные разности и их свойства. Интерполяционная формула
Ньютона. Интерполирование сплайн-функциями. Метод наименьших квадратов.
Обратное интерполирование.
Тема 3. Приближенное вычисление интегралов
Постановка задачи численного интегрирования. Вычисление определенного интеграла по формулам прямоугольников, трапеции, Симпсона. Точностные оценки
формул интегрирования, выбор шага интегрирования. Квадратурные формулы Ньютона-Котеса. Ортогональные многочлены. Правило Рунге практической оценки погрешности. Квадратурные формулы Гаусса.
Тема 4. Численное решение систем линейных алгебраических уравнений
Основные понятия. Метод Гаусса решения системы линейных алгебраических
уравнений. Схема Гаусса с выбором главного элемента. Решение системы линейных
алгебраических уравнений специального вида методом прогонки. Метод простой
итерации, особенности реализации данного метода на ЭВМ. Метод Зейделя.
Тема 5. Решение нелинейных уравнений
Этапы нахождения корней нелинейного уравнения. Метод деления отрезка пополам. Метод последовательных приближений и смежные вопросы. Метод Ньютона
решения нелинейного уравнения. Модифицированный метод Ньютона. Сравнение
методов решения нелинейного уравнения поразличным критериям.
6
Раздел 2. Численные методы решения дифференциальных уравнений
Тема 6. Численные методы решения задачи Коши для обыкновенных
дифференциальных уравнений
Задача Коши, общие замечания. Разностная аппроксимация задачи Коши для
обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка. Особенности интегрирования систем уравнений. Построение разностной схемы. Разностная аппроксимация дифференциальных операторов. Методы Эйлера и Рунге-Кутта. Оценка погрешности конечно-разностных методов. Многошаговые методы численного интегрирования дифференциальных уравнений.
Тема 7. Численное решение краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений
Постановка краевой задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений.
Метод конечных разностей. Оценка погрешности метода конечных разностей для
краевой задачи. Метод конечных разностей для нелинейного дифференциального
уравнения 2-го порядка.
Тема 8. Обзор методов решения уравнений в частных производных
Физическая и математическая классификация уравнений с частными производными.
Метод конечных разностей. Консервативная конечно-разностная схема. Погрешность
аппроксимации, сходимость решения маршевых задач. Теорема Лакса.
5. ПЛАНЫ СЕМИНАРСКИХ (ПРАКТИЧЕСКИХ) ЗАНЯТИЙ
Тема 1. Погрешность результата численного решения задачи
1. Определить абсолютную и относительную погрешности полученных приближенных чисел, округляя следующие числа до трех значащих чисел.
а) 2,1514; б) 0,16152; в) 0,01204; г) 1,225; д) –0,0015281.
2. Абсолютные погрешности измерения величин a и b равны a и b. Найти абсолютные и относительные погрешности величин a±b, a·b и a/b, полагая погрешности малыми
по сравнению с основными величинами. Чем выделяется случай a–b среди остальных?
3. Определить абсолютную погрешность следующих приближенных чисел по их
относительным погрешностям δ.
а) а=13267, δ=0,1%;
б) а=2,32, δ=0,7%;
в) а=35,72, δ=1%;
г) а=0,896, δ=10%;
д) а=232,44, δ=1%.
4. Решить уравнение x 2  0,4002 x  0,00008  0, выполняя вычисления с 4-мя знаками, с 8-ю знаками. Какова абсолютная и относительная погрешности результата?
5. Найти сумму приближенных чисел и указать их погрешности.
а) 0,145+321+78,2 (все знаки верные);
б) 0,301+193,1+11,58 (все знаки верные);
в) 398,5–72,28+0,34567 (все знаки верные);
г) 203,5+0,567+17,12 (все знаки верные);
д) x1  x 2  x3 , где x1=197,6, x1=0,2, x2=23,44, x2=0,22, x3=201,55, x3=0,17.
7
6. Каждое ребро куба, измеренное с точностью до 0,02 см, оказалось равным 8 см.
Найти абсолютные и относительные погрешности вычисления объема куба.
7. Вычислить значение z  ln 10,3  4,4  , считая верными все знаки приближенных чисел x = 10,3 и y = 4,4.
8. С каким числом верных знаков следует взять значение аргумента x, чтобы получить значения указанных функций с точностью до 10-6.
а) y  x 3 sin x , x  2 ;
б) y  x ln x , x   ;
в) y  e x cos x , x  3 ;
г) y  x 2 lg x , x  3 2 ;
д) y  x cos x , x  5 .
9. С каким числом верных знаков должен быть известен свободный член уравнения x 2  2 x  lg 2  0 , чтобы получить корни с 4-мя верными знаками?
Тема 2. Интерполирование функций
Цель занятия: изучение методов интерполирования функций, сравнительный анализ
рассмотренных методов, практическое интерполирование функций на ЭВМ.
Задания к работе.
1. Разработать схемы интерполирования функций методами Лагранжа, Ньютона,
наименьших квадратов.
2. Написать, отладить и выполнить программы интерполирования функций
(табл.1). Интерполирование провести любым из известных методов интерполирования функций. Построить интерполяционную кривую и найти значение функции в
указанной точке (в соответствии с вариантом задания).
Таблица 1
xi
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
№1
x= –3,5
0,1
-0,1
-1
-1
-1,5
-1,1
-0,5
-0,4
0
1
2
3
4
6
8
10
12
15
№2
x=0,5
120
88
63
44
28
16
8
2
0
-1
-2
-3
-3
-4
-6
-11
-18
-28
№3
x=1,25
53
44
35
28
23
16
11
8
5
4
3
4
7
8
13
16
21
28
Значения yi  f ( xi )
№4
№5
x=0,75
x=3,12
-121
12
-90
7
-65
3
-45
0
-31
-2
-18
-3,3
-10
-4
-4
-4,4
-1
-3,6
0
-2
0
0,4
1
3,6
2
7
3
12
5
18
9
24
16
31
27
39
8
№6
x=8,25
-140
-97
-67
-44
-28
-15
-8
-5
-3
-2
-0
2
8
19
32
54
83
123
№7
x= –7,4
14
10
7
4
2
0
-1
-2
-1
-1
0
3
4
8
11
15
20
27
№8
x=1,8
-170
-122
-82
-51
-36
-19
-9
-3
0
1
3
4
7
14
26
45
67
98
9
10
xi
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
18
21
№9
x=7,5
64
52
42
33
25
17
11
7
4
2
1
1
2
7
9
14
20
26
37
47
-42
-61
№10
x= –1,3
40
42
41
37
31
25
20
14
8
5
3
3
7
15
27
47
67
96
131
175
37
44
№11
x=1,97
75
63
49
38
28
20
13
7
6
1
0
0
1
4
8
14
21
33
39
51
41
60
48
58
Значения yi  f ( xi )
№12
№13
x=9,14
x=3,2
-114
52
-77
44
-54
34
-28
26
-14
18
-4
14
-1
8
0
6
-1
4
-2
2
-2
2
-1
2
3
5
11
8
28
10
46
16
74
20
112
28
159
35
218
42
169
228
32
39
139
191
№14
x=5,43
159
122
88
60
40
29
17
8
2
1
1
3
4
10
11
12
12
9
4
-4
№15
x= – 4,2
-47
-38
-29
-20
-13
-11
-5
-2
0
0
2
3
1
-2
-7
-10
-15
-24
-30
-37
№16
x=8,4
-203
-147
-96
-53
-31
-10
2
10
15
14
12
9
7
7
9
18
26
44
70
102
Контрольные вопросы к теме
1. Сформулируйте постановку задачи интерполирования функций, назовите области ее применения.
2. Какую функцию называют аппроксимирующей?
3. Охарактеризуйте интерполяционную формулу Лагранжа.
4. Приведите интерполяционные формулы Ньютона.
5. Приведите оценку остаточного члена для каждой из формул.
6. Опишите метод наименьших квадратов.
Тема 3. Приближенное вычисление интегралов
Цель занятия: изучение различных методов вычисления определенных интегралов, практическое интегрирование функций на ЭВМ.
Задания к работе.
1. Разработать схемы интегрирования по формулам прямоугольников, трапеций и
Симпсона.
2. Написать, отладить и выполнить программы интегрирования функций, приведенных в табл. 2. Вычисления значения интеграла на отрезке [a, b] провести с заданной точностью (в соответствии с вариантом задания). Величину шага, обеспечивающего требуемую точность, определить с помощью двойного пересчета.
3. Определить относительную погрешность вычислений по формуле:
9
I  Ih
 100 % ,
I
где I – точное значение интеграла, вычисленное через первообразную функции; I h –
значение интеграла, полученное в результате применения конкретной формулы интегрирования.

Таблица 2
№
п/п
Подынтегральная Формулы численного
функция f(x)
интегрирования
x
Заданная
точность
Интервал
[ a, b]
Первообразная
функции F(x)
1
( x  3)
2
Трапеций
10-3
[0; 2]
3
 ln( x  3)
x3
2
x sin 2 x
Симпсона
10-4
0;  / 4
0,25 sin 2 x  0,5 x cos 2 x
3
3x
2
— // —
10-5
[0; 1]
23x
3 ln 2
4
ln 2 x
x
— // —
10-4
[1; 5]
5
e 2 x sin x
Трапеций
10-4
0;  / 2
ln 3 x
3
0,2 e 2 x (2 sin x  cos x)
2
Симпсона
10-5
[0,2; 1]
ln(sin 3x) x
 ctg 3x
9
3
7
x 2 sin x
— // —
10-4
[0; 1]
2 x sin x  ( x 2  2) cos x
10
arctg x
— // —
10-5
[0; 1]
x  arctg x 
11
xln x
— // —
10-4
[2; 6]
12
1
1  sin x
Трапеций
10-3
0;  / 2
Симпсона
10-4
[0; 3]
2 ln( e x  1)  x
— // —
10-5
0;  / 2
Трапеций
10-4
[1; 7]
1 4
sin x
4
1
— // —
10-4
[1; 3]
6
13
14
x
sin 3x
ex 1
e 1
x
sin 3 x cos x
x
15
( x 2  1) 2
16
x x (ln x  1)
ln( 1  x 2 )
2
2
2
x
x
ln x 
2
4
2

1  tg ( x / 2)

2 ( x 2  1)
xx
Контрольные вопросы к теме
1. В чем состоит суть методов численного интегрирования функций?
2. Опишите формулу прямоугольников.
3. Охарактеризуйте метод трапеций.
4. Опишите формулу Симпсона.
5. Приведите оценку погрешности для каждого из методов на частичном отрезке и
на всем интервале интегрирования.
6. Проведите сравнение формул численного интегрирования по точности на осно10
вании остаточных членов формул.
7. Как оценивается погрешности приближенного вычисления интегралов по правилу Рунге?
Тема 4. Численное решение систем линейных алгебраических уравнений
Цель занятиия: изучение численных методов решения систем линейных алгебраических уравнений, практическое решение систем на ЭВМ.
Задания к работе.
1. Составить схемы алгоритмов решения систем линейных алгебраических уравнений различными методами.
2. Написать, отладить и выполнить программы решения систем линейных алгебраических уравнений, записанных в векторно-матричной форме A x  b и приведенных в табл. 3. Четным вариантам решить систему методом Гаусса с выбором
главного элемента. Остальным – методом Зейделя.
3. Вычислить точностные оценки методов по координатам   max xi  xi* , где
xi* – координаты точного решения; x i – координаты численного решения.
Таблица 3
№
п/п

1
Столбец свободных
членов b

 6,77
 22,25
3,99
20,08
Матрица коэффициентов
системы A

4,52
 9,11
2,24
1,72
3,56
 6,75 14,28 2,07
 9,34
4,13
0,98
3,00
1,64
2,32
 1,80 7,12
2
0,31
0,26
0,61
0,40
3
1,32
 9,13
3,12
0,77
4
2,01
0,45
0,30
1,12
1,00
2,36
 1,08
0,24
 0,24
0,58
1,00
2,55
5
1,14
4,77
2,11
0,14
 5,03
1,03
1,17
 0,18
3,01
0,58
4,89
1,28
6
0,74
0,50
 0,73
1,00
0,14
0,32
0,22
0,34
0,30
0,18
0,20
0,36
2,06
5,84
 8,14
0,17
 0,62
0,98
0,25
 0,85
0,27
0,24
0,31
0,17
 3,40
1,21
2,51
2,32
2,11
1,79
2,07
1,95
7,11
0,76
 1,13
1,10
1,31
3,22
 2,34
 1,11
0,12
 1,17
0,88
2,10
0,55
0,09
1,00
0,15
11
Точное решение x*
V
0,5
1,0
 1,5
2,0
1,02
1,00
1,34
1,27
1
1
1
1
30,17
3,62
 19,06
2,09
1
2
1
3
1,98
3,69
3,48
10,36
1
2
3
1
 10,91
12,19
0,79
 3,46
2
2
1
1
3,18
0,56
 2,89
5,20
2
2
1
3
 0,5
1,6
4,7
1,8
7
3,1
 2,0
0,8
 0,1
1,5
5,1
2,2
3,2
1,1
0,4
0,9
6,2
8
2,12
0,42
1,34
0,88
0,42
3,95
1,87
0,43
1,34
1,87
2,98
0,46
9
1,85
0,16
1,13
1,14
0,70
0,19
2,77
1,01
 0,12
0,79
0,18
0,55
10
6,1
7,2
2,8
 1,5
 2,2
0,9
3,3
1,0
 1,2
1,8
1,1
6,3
11
3,82
1,05
0,73
0,88
1,02
4,53
0,85
0,81
0,75
0,98
4,71
1,28
12
0,15
0,64
3,21
0,77
2,11
1,21
1,53
1,22
3,75
2,05
 1,04
1,18
13
1,15
1,59
1,14
0,77
0,42
0,55
3,15
6,11
10,10
 0,32
2,05
 3,01
14
1,02
0,41
0,85
3,44
 0,25
1,13
2,17
 4,33
15
5,9
1,2
2,1
0,9
16
0,28
 2,70
2,92
0,97
1,2
7,2
1,5
2,5
2,1
1,5
9,8
1,3
10,36
 1,36
3,06
2,94
9,70
4,71
0,18
16,43
1,3
1,7
2,2
 1,4
11,172
0,115
9,009
9,349
3,7
 1,5
2,1
1,3
 0,18
0,11
 0,20
3,22
8,41
 0,23
13,91
9,58
3
4
2
1
 3,3
 4,1
2,5
0,8
 0,50
 2,15
14,30
 14,00
1,5
2,0
 2,5
2,5
16,855
22,705
22,480
16,110
2,5
3,0
3,5
2,0
8,14
 0,99
 3,18
2,25
16,60
 2,25
 5,47
4,99
1
2
1
2
4,25
0,29
7,86
0,74
15,08
1,01
7,90
 7,61
1
1
1
1
7,42
0,57
 6,99
 11,00
0
2
1
2
2,0
5,3
10,3
12,6
1
0
1
2
23,56
 11,60
11,40
47,03
1
3
4
2
0,88
0,43
0,46
4,44
0,81
1,53
0,81
3,50
 0,30
 0,15
1,21
0,50
 4,11
0,77
6,27
1,42
0,9
2,5
1,3
6,1
 0,60
 0,72
1,11
2,61
2,70
3,85
2,57
 13,40
Контрольные вопросы к теме
1. Когда система линейных алгебраических уравнений имеет единственное решение?
2. Каковы недостатки решения системы уравнений по правилу Крамера?
3. Охарактеризуйте точные и приближенные численные методы решения систем
линейных алгебраических уравнений.
4. Опишите метод Гаусса с выбором главного элемента.
5. Почему метод простой итерации называется самоисправляющимся?
6. Дайте определение сходимости итерационного процесса.
7. Опишите метод Зейделя.
12
Тема 5. Решение нелинейных уравнений
Цель занятия: изучение методов решения нелинейных алгебраических и трансцендентных уравнений, практическое решение уравнений на ЭВМ.
Задания к работе.
1. Составить схемы алгоритмов решения нелинейных уравнений f ( x)  0 методами деления отрезка пополам, простой итерации и Ньютона.
2. Написать, отладить и выполнить программы решения нелинейных уравнений,
приведенных в табл. 4 (в соответствии с вариантом задания). Нахождение одного из
корней уравнения провести любым из вышеназванных методов с точностью до 10-4.
Интервал изоляции корня найти путем построения эскиза графика функции f(x).
Таблица 4
№ п/п
Уравнение f(x) = 0
1.
x 2  5 sin x  0
2.
arcsin( 2 x  1)  x 2  0
3.
x  9  x  x2  4  0
4.
x 4  26 x 3  131x 2  226 x  120  0
5.
2x2  x  7  0
6.
e x  2( x 1) 2  0
7.
sin x  x  0,15  0
8.
1  x  tg x  0
9.
x 4  0,486 x3  5,792 x 2  0,486 x  4,792  0
10.
0,1e x  sin 2 x  0,5  0
11.
0,1sin x  x 3  1  0
12.
e x  10 x  0
13.
0,1x 2  x ln x  0
14.
sin x  2 x  0,5  0
15.
x  1,25 ln x  125  0
16.
e x  x 1,25  0
Контрольные вопросы к теме
1. Назовите основные этапы процесса нахождения корня нелинейного уравнения.
2. Опишите алгоритм метода деления отрезка пополам.
3. Охарактеризуйте метод простой итерации. Как формулируется достаточное
условие сходимости данного метода?
4. Опишите алгоритм метода Ньютона. В чем достоинство и недостаток этого метода?
5. Проведите сравнение методов по различным критериям.
13
Тема 6. Численные методы решения задачи Коши для обыкновенных
дифференциальных уравнений
Цель занятия: изучение методов численного интегрирования обыкновенных
дифференциальных уравнений, практическое решение уравнений на ЭВМ, сравнительный анализ рассмотренных методов.
Задания к работе.
1. Составить схемы алгоритмов решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений методами Эйлера и Рунге-Кутта.
2. Написать, отладить и выполнить программы решения дифференциальных уравнений, приведенных в табл. 5 (в соответствии с вариантом задания), методом РунгеКутта 4-го порядка точности. Предусмотреть в программе вычисление значений
функции по заданному в таблице точному решению.
3. Результаты счета численным методом и по точному решению оформить в виде
графика или таблицы.
4. Определить близость полученного заданным методом решения к точному значению с помощью оценок:
1  max yi  ~yi ,
i  1,2, , n ,
2 
n

n
 ( ~yi ) 2
 yi  ~yi 2
i 1
– интегральная оценка.
i 1
Здесь ~y i – точное решение, y i – полученное приближенное решение.
Таблица 5
№
п/п
Дифференциальное
уравнение
I
II
1
2
III
y (2)  1
y   2 y   y  0
y (2)  2
y   3 y   2 y  2 x  3  0
IV
Интервал
интегрирования
V
0,2
[2; 10]
y  (7  3x)e x  2
0,2
[0; 8]
y  ex  x
Шаг h
y (0)  1
y (0)  2
y (0)  4
3
y   y  4e
4
x 2 y  xy  0
5
y  2 y  2e
6
y   4 y  cos 3x
7
Начальные
условия
x
y (0)  3
y   2 y   2 y  x e
y (1)  0
0,05
[1; 3]
y  5  ln x
0,1
[1; 5]
y  e 2 x 1  2e x  e  1
0,1
[0; 4]
x
0,1
[0; 4]
y ( 0)  0
y (0)  0
 5 sin x
y  cos 2 x  sin 2 x 
y (0)  0,8
y (0)  2
y  2 cos x  2e x 
[0; 4]
y (1)  1
x
VI
0,1
y (1)  5
y (1)  1
Точное решение
14
 0,2 cos 3 x
y  e  x ( x  sin x)
8
(1  x ) y   y  1  0
9
y   4 y   4 y  0
10
y   3 y   e5 x
11
x y  2 y  0
12
y  5 y  6 y  e x
13
y  y  1  e
14
x y  2,5 xy  y  0
15
y  y  x  x  2
16
y  
2
2
2
x
2
2
3
y  x
x
y ( 0)  1
y (0)  1
0,05
[0; 2]
y  1  x  2  ln( 1  x)
0,1
[0; 4]
y  (1  x) e 2 x
0,02
[0; 0,8]
0,1
[1; 5]
0,02
[0; 0,8]
y ( 0)  1
y (0)  1
y (0)  2,2
y (0)  0,8
y (1)  0,83
y (1)  0,66
y ( 0)  0
y (0)  0
0,1
[0; 4]
0,1
[1; 5]
0,1
[0; 4]
0,05
[1; 3]
y (1)  2
y (1)  3,5
y  0,5 ( e3x  e x )  e 2 x
 0,5e x  1
y 3 x 
1
x2
 x2  x
y (1)  0
y (1)  0
1
3x
y  cos x  sin x 
y ( 0)  1
y (0)  0
y  0,5 x 2 
y  cos x  sin x 
y (0)  2,5
y (0)  1,5
y  2  0,1( e3x  e5 x )
y
x 4 x3 1


4
3 12
Контрольные вопросы к теме
1. Дайте определение обыкновенного дифференциального уравнения. Что значит
решить дифференциальное уравнение?
2. Сформулируйте задачу Коши для одного дифференциального уравнения и для
системы дифференциальных уравнений.
3. В чем состоит суть численных методов решения обыкновенных дифференциальных уравнений?
4. Охарактеризуйте метод Эйлера.
5. Опишите методы Рунге-Кутта.
Тема 7. Численное решение краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений
Цель занятия: изучение разностных методов решения краевой задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений, практическое решение уравнений на
ЭВМ.
Задания к работе.
1. Составить схемы алгоритмов решения краевой задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений методом конечных разностей.
2. Написать, отладить и выполнить программы решения дифференциального
уравнения с указанными краевыми условиями методом конечных разностей. Исходное уравнение заменить центрально-разностными отношениями. Полученную си15
стему решить методом прогонки.
3. Результаты расчетов оформить в виде графика или таблицы.
Варианты заданий
1. x 2 y   x y   1,
y(1)  0 ,
y(2)  0,2402 .
2. y   f ( x) y   y cos(0,7 x)  2 x 2  2 x  4 ,
xi
f ( xi )
y(0)  0 ,
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
-1,7930 -1,7863 -1,7832 -1,7838 -1,7878 -1,7953
3. y   0,5x y   (1  2 2 x 2 ) y  4 x ,
y(0)  1,
4. y   (1,4  x 3 ) y   (1  x 2 ) y  e13 x ,
2
5. y   ( x  1) y   3,125 y  4 x ,
6. y   x 3 y   (1,4  x) y 
7. y   y  sin 2,2 x  y 
8. y   y  1 ,
y(1)  0 .
y (0)  0 ,
y (0)  1 ,
x
x 2  2,5
3,5  sin 2 2,2 x
y(1)  0 .
y(0)  0 ,
,
y (1)  0 .
y (1)  1,367 .
y(0)  0 ,
,
1
y(1)  1,367 .
y(1)  0 .
y (0)  y ( )  0 .
9. y   2 x y   2 y 
10  4 x
,
y(0)  1, y(1)  1,367 .
(2  x) 3
y (0)  1 , y (0,5)  1,279 .
10. y   2 x y   2 y  4 x ,
11. y   f ( x) y   y cos(0,75 x)  2 x 2  2 x  4 ,
xi
f ( xi )
12. y  
y
x 4
2
 1,8 y  x ,
y (0)  y (1)  0 .
y (0)  y ( )  0 .
14. y   4 y   4 y  xe 2 x ,
15. y   5 y   3x 2  sin 5x ,
y(0)  0,9688 ,
y(0)  3,0200 ,
16. y   f ( x) y   y cos(0,85 x)  2 x 2  2 x  4 ,
f ( xi )
y(1)  0 .
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
-1,6184 -1,5994 -1,5838 -1,5714 -1,5630 -1,5555
13. y   y  2 x   ,
xi
y(0)  0 ,
y(1,5)  1,3798 .
y(0,5)  14,0755 .
y(0)  0 ,
y(1)  0 .
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
-1,4747 -1,4480 -1,4246 -1,4043 -1,3869 -1,3722
16
Контрольные вопросы к теме
1. Сформулируйте краевую задачу для обыкновенного дифференциального уравнения.
2. Дайте определение краевым условиям 1-го рода, 2-го рода и 3-го рода. Какие
краевые условия называются однородными?
3. Охарактеризуйте метод конечных разностей.
4. В чем состоит суть метода прогонки?
5. Дайте оценку погрешности метода конечных разностей для краевой задачи. Как
определяется приближенная оценка погрешности?
Тема 8. Обзор методов решения уравнений в частных производных
1. Какие физические процессы описывают уравнения в частных производных гиперболического типа? Параболического типа? Эллиптического типа?
2. Какая задача называется маршевой?
3. Дайте формулировку корректно поставленной задачи?
4. В чем состоит суть метода конечных разностей для уравнений в частных производных?
5. Какая конечно-разностная схема называется согласованной?
6. Дайте формулировку теоремы Лакса об эквивалентности.
7. Укажите методы построения конечно-разностных схем.
8. Из чего складывается погрешность решения разностным методом уравнения в
частных производных?
9. Какая конечно-разностная схема называется сильно неустойчивой (устойчивой)? Слабо неустойчивой (устойчивой)?
10. Дайте определение условия Куранта-Фридрихса-Леви. Каков физический и
геометрический смысл данного условия?
11. Сформулируйте задачу Дирихле для уравнения Лапласа.
12. Какому типу граничных условий соответствует задача Неймана? Задача Робина?
6. ЗАДАНИЯ И МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
К КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЕ ДЛЯ СТУДЕНТОВ
ЗАОЧНОЙ ФОРМЫ ОБУЧЕНИЯ
Оформление контрольной работы
Контрольная работа предназначена для студентов заочной формы обучения и позволяет увеличить объем знаний путем самостоятельного изучения дополнительного
материала и проверки уже полученных знаний. В ходе подготовки к контрольной
работе рекомендуется использовать данный РПД по дисциплине. Контрольная работа выполняется студентом в межсессионный период и защищается у руководителя.
Студенты, не выполнившие контрольную работу, не допускаются к сдаче зачета.
Работа должна быть оформлена в печатном виде. Титульный лист контрольной работы должен быть оформлен в соответствии с установленными требованиями для
подготовки контрольных работ. При этом необходимо соблюдать требования всех
действующих стандартов по оформлению текстовых документов, схем, рисунков,
таблиц и библиографического списка литературных источников.
17
Законченная и правильно оформленная работа предъявляется студентом в деканат
для обязательной регистрации, а затем деканат передает работу для проверки на кафедру МиИ. Работа, выполненная неаккуратно, неправильно оформленная или выполненная не для своего варианта задания, к проверке не принимается. При обнаружении недостатков в работе преподаватель делает пометку «Исправить», и работа
через деканат возвращается студенту. Студент записывает исправленные задания в
раздел «Работа над ошибками» и сдает работу в деканат. При правильно выполненной работе на ней ставится пометка «Допущен к собеседованию», и студент допускается к собеседованию с преподавателем.
Студент согласует с преподавателем время собеседования. Во время собеседования студент должен продемонстрировать полное владение материалом своей контрольной работы, дать исчерпывающие и точные ответы на все вопросы преподавателя, касающиеся контрольной работы. При положительном итоге собеседования
работа студента принимается с оценкой «Зачтено». Зачтенная контрольная работа
хранится у студента и предъявляется им непосредственно на экзамене или зачете.
Без такого предъявления студент к экзамену не допускается, а на зачете по дисциплине получает «Не зачтено».
Выбор студентом своего индивидуального номера
Номера вопросов контрольной работы выбираются в зависимости от первой буквы фамилии студента:
А-В
Г-Д
Е-З
И-К
Л-Н
О-Р
С-Т
У-Х
Ц-Ш
Щ-Я
1, 11
2, 12
3, 13
4, 14
5, 15
6, 16
7, 17
8, 18
9, 19
10, 20
Задание №1
Первое задание относится к теоретическому содержанию учебной дисциплины и
требует ознакомления с соответствующими литературными источниками.
Требуется раскрыть содержание теоретического вопроса, проработав всю литературу, указанную в конце методички. Объем ответа - не менее пяти страниц.
Задание №2
Индивидуальные варианты второго задания
№
Тема
1
Источники и виды погрешностей. Абсолютная и относительная погрешности.
2
Интерполирование функции многочленами Лагранжа и Ньютона.
3
Интерполирование сплайн-функциями. Метод наименьших квадратов.
4
Вычисление определенного интеграла по составным формулам (формулы
прямоугольников, трапеции и Симпсона).
5
Квадратурные формулы интерполяционного типа. Метод Гаусса вычисления
определенного интеграла.
18
6
Интегрирование с помощью степенныхрядов.
7
Точностные оценки формул интегрирования, выбор шага интегрирования.
8
Метод Рунге апостериорной оценки погрешности вычисления определенного
интеграла. Метод двойного пересчета.
9
Семейство методов Гаусса решения системы линейных алгебраических уравнений.
10
Решение системы линейных алгебраических уравнений специального вида
методом прогонки.
11
Решение системы линейных алгебраических уравнений методом Якоби (простой итерации) и Зейделя.
12 Численные методы решения нелинейных уравнений.
13 Методы простой итерации и Ньютона для системы нелинейных уравнений.
14
Численное решение задачи Коши для обыкновенного дифференциального
уравнения первого порядка. Постановка исходной задачи.
15
Построение разностной схемы. Разностная аппроксимация дифференциальных операторов. Оценка погрешности конечно-разностных методов.
16
Методы Эйлера и Рунге-Кутта решения задачи Коши для обыкновенных
дифференциальных уравнений.
17
Общая формулировка многошаговых методов для численного решения обыкновенных дифференциальных уравнений.
18 Интегрирования дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов.
Краевая задача для обыкновенного дифференциального уравнения. Постанов19 ка задачи. Метод конечных разностей для линейных дифференциальных
уравнений второго порядка.
20
Аналитические методы решения задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения.
7. ПРИМЕРНАЯ ТЕМАТИКА КУРСОВЫХ РАБОТ
Методические указания по выполнению курсовой работы
Курсовая работа предусмотрена учебным планом и является учебным элементом
дисциплины. Выполнение курсовой работы – важное звено в организации самостоятельной работы студентов. Она способствует глубокому усвоению принципов построения численных методов решения экономических и инженерно-экономических
задач; приобретению опыта осуществления научно-исследовательской работы.
Студенты выполняют курсовую работу самостоятельно под руководством преподавателя. Студент, не представивший в установленный срок курсовую работу или не
защитивший её, считается имеющим академическую задолженность и не может
19
быть допущен к сдаче экзамена по дисциплине «Численные методы».
Примерная тематика курсовых работ
1. Построение по имеющейся таблице данных эмпирических формул с использованием метода наименьших квадратов.
2. Нахождение корней нелинейного уравнения методом обратного интерполирования.
3. Численное исследование систем массового обслуживания.
4. Интерполяция исходных табличных данных сплайн-функциями.
5. Приближенное вычисление определенного интеграла по формулам прямоугольников, трапеции и Симпсона, сравнение формул интегрирования.
6. Численное решение системы нелинейных уравнений итерационными методами.
7. Численное моделирование надежности функционирования сложных систем.
8. Построение численных схем решения системы линейных алгебраических
уравнений с использованием прямых методов.
9. Вычисление интегралов с бесконечными пределами.
10. Численное решение системы линейных алгебраических уравнений с трехдиагональной матрицей коэффициентов.
11. Численное решение нелинейных дифференциальных уравнений 2-го порядка
методом конечных разностей.
12. Решение системы обыкновенных дифференциальных уравнений методом
Рунге-Кутта 4-го порядка.
13. Построение численных схем решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений с использованием неявного двухшагового метода Адамса.
14. Численное решение краевой задачи для обыкновенных дифференциальных
уравнений методом конечных разностей.
15. Численное решение модельных дифференциальных уравнений в частных производных методом сеток.
8. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ ПО ДИСЦИПЛИНЕ
Литература
основная
1. Красс М.С., Чупрынов Б.П. Математические методы и модели для магистрантов экономики – СПб.: Питер, 2010.
2. Лапчик М.П., Рагулина М.И., Хеннер Е.К Численные методы. – М.: Академия,
2008.
3. Турецкий В.Я. Математика и информатика. – М.: Инфра, 2010.
дополнительная
4. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.Н. Численные методы. – М.: Лаборатория базовых знаний, 2006.
5. Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. – М.: Высш. шк., 2008.
6. Измаилов А.Ф.,Солодов М.В. Численные методы оптимизации. – М.: Физматлит, 2008.
7. Исаков В.Н. Элементы численных методов: учеб. пособ. – М.: Академия, 2008.
8. Романко В.К. Курс разностных уравнений . – М.: Физматлит, 2012.
20
9. Рябенький В.С. Введение в вычислительную математику. – М.: Физматлит,
2008.
10. Петров И.Б., Лобанов А.И. Лекции по вычислительной математике. – М.:
БИНОМ, 2006.
11. Протасов И.Д. Лекции по вычислительной математике: учеб. пособ. – М.: Гелиос АРВ, 2009.
12. Самарский А.А., Михайлов А.П. Математическое моделирование: Идеи, методы, примеры. – М.: Физматлит, 2008.
Журналы
21. Алгоритмы и программы.
22. Вестник Московского университета. Серия 15. Вычислительная математика и
кибернитика.
23. Вычислительные технологии.
24. Журнал вычислительной математики и математической физики.
25. Математическое моделирование.
26. Прикладная математика и механика.
27. Программирование.
28. Сибирский журнал вычислительной математики.
29. Экономика и математические методы.
30. Mathematical Programming.
Электронные ресурсы
31. http://www.inm.ras.ru
32. http://www-psb.ad-sbras.nsc.ru
33. http://www.exponenta.ru
34. http:// www.cmc.msu.ru
9.ФОРМЫ ТЕКУЩЕГО, ПРОМЕЖУТОЧНОГО И ИТОГОВОГО
КОНТРОЛЯ
Тестовые задания
Раздел 1. Методы решения задач алгебры и математического анализа
1. Чем вызвана неустранимая погрешность?
а) Тем, что математическая модель исследуемого объекта никогда не учитывает
всех без исключения явлений, влияющих на состояние объекта, и тем, что входя21
щие в задачу заданные параметры (числа или функции) измеряются с какой-либо
ошибкой.
б) Тем, что любые арифметические операции над числами производятся при
наличии ограниченного количества используемых для записи чисел разрядов позиционной системы исчисления.
в) Тем, что в результате применения численного метода могут быть получены не
точные, а приближенные значения искомой функции, даже если все предписанные методом вычисления проделаны абсолютно точно.
2. Некоторые величины t = 0,34 и k = 0,42 измерены с точностью до 0,01.
Найти абсолютную и относительную погрешности в определении величины
d = t·k = 0,1428.
а) Абсолютная погрешность = 0,0075 , относительная погрешность = 0,053.
б) Абсолютная погрешность = 0,0077 , относительная погрешность = 0,051.
в) Абсолютная погрешность = 0,0077 , относительная погрешность = 0,054.
3. Пусть а* – точное, а – приближенное значение некоторого числа. Дайте
определение относительной погрешности.
а) Относительной погрешностью приближения а называется величина δa такая,
что a  a*   a .
б) Относительной погрешностью приближения а называется величина δa такая,
что  a  (a  a  ) a , (а ≠0).
в) Относительной погрешностью
приближения
а
называется
величина
 a  (a  a ) a , (а ≠ 0).
4. Определить относительную погрешность приближенного числа b = 2,3254
по ее абсолютной погрешности Δb = 0,01, предварительно округлив число b
до верных знаков.
а) Относительная погрешность = 0,0078. б) Относительная погрешность = 0,0043.
в) Относительная погрешность = 0,0143.
5. Объем V = 2,385 м3 и плотность ρ = 1400 кг/м3 образца измерены с точностью до 1 дм3 и 1 кг/м3 соответственно. Найти абсолютную и относительную
погрешности в определении массы образца m = V∙ρ = 3339 кг.
а) Абсолютная погрешность = 3,895, относительная погрешность = 0,0012.
б) Абсолютная погрешность = 3,786, относительная погрешность = 0,0011.
в) Абсолютная погрешность = 3,657, относительная погрешность = 0,0010.
6. Даны числа a = 1,137
и b = 1,073 с абсолютными погрешностями
Δa=Δb=0,011. Оценить погрешность их разности c = a – b.
а) Δс = 0,011.
б) Δс = 0,022.
в) Δс = 0,001.
7. Чем обусловлено появление погрешности округления при численном решении поставленной задачи?
а) Тем, что математическая модель исследуемого объекта не может учитывать все
без исключения явления, влияющие на состояние объекта.
б) Тем, что любые арифметические операции над числами производятся при
наличии ограниченного количества используемых для записи чисел разрядов позиционной системы исчисления.
22
в) Тем, что в результате применения численного метода могут быть получены не
точные, а приближенные значения искомой функции, даже если все предписанные методом вычисления проделаны абсолютно точно.
8. Дайте определение сплайн-функции.
n

n
а) Полином Pn ( x)    f ( xi ) ( x  xk )

i 0 

 ( xi  xk )  ,
( x  xi )
k 0
k i
принимающий в

точках xi значения f(xi), называется сплайн-функцией, соответствующей данной
функции f(x) и узлам xi (i = 0, 1,…, n).
б) Сплайн-функцией m-го порядка, соответствующей данной функции f(x) и узлам xi (i = 0, 1,…, n), называется функция s(х), которая: 1) является полиномом mго порядка на каждом частичном отрезке [xi-1, xi] (i = 1, 2,…, n); 2) непрерывна
вместе со своими производными до (m–1)-го порядка в узлам xi (i = 1, 2,…, n–1);
3) s(xi) = f(xi) (i = 0, 1,…, n).
в) Сплайн-функцией, соответствующей данной функции f(x) и узлам
xi (i = 0, 1,…, n),
называется
полином
вида
q(q  1) 2
q(q  1)(q  n  1) n ,
где
Pn ( x)  y0  q  y0 
 y0   
 y0
2!
n!
q  ( x  x0 ) h , h – шаг разностной сетки, Δ yi – конечные разности k-го порядка.
9. Сформулируйте постановку задачи интерполирования функции.
а) Требуется вычислить производные от функций, заданных в табличном виде.
б) Требуется найти значение функции f(x), x≠xi (i = 0, 1,…,n), если известны узлы
интерполирования xi (i = 0, 1,…,n) и значения функции f(x) в этих узлах.
в) Требуется определить допустимую погрешность аргументов по допустимой
погрешности функции.
10. Что принимают за меру качества аппроксимации функции f(x) полиномом Pm(x) в методе наименьших квадратов?
а) За меру качества аппроксимации функции f(x) полиномом Pm(x) в узлах xi принимают максимум модуля разности f(xi) и Pm(xi) (i = 1, 2,…, n).
б) За меру качества аппроксимации функции f(x) полиномом Pm(x) в узлах xi приk
нимают сумму
n
 ( xi )  f ( xi )  Pm ( xi )  2 , где ω(x) ≥ 0
– заранее выбранная «весо-
i 1
вая» функция.
в) За меру качества аппроксимации функции f(x) полиномом Pm(x) в узлах xi приn
нимают сумму
 f ( xi )  Pm ( xi ) .
i 1
11. В чем заключается задача обратного интерполирования?
а) Пусть функция y = f(x) задана таблицей. Требуется по заданному значению
функции y найти соответствующее значение аргумента x.
б) Пусть функция y = f(x) задана таблицей. Требуется найти функцию φ(x), расчеты по которой либо совпадают, либо в определенном смысле приближаются к
данным значениям функции f(x).
в) Пусть функция y = f(x) задана таблицей. Требуется построить полином вида
23
n



Pn ( x) 
f ( xi ) ( x  x k ) ( x  xi ) ( xi  x k )  , принимающий в точках xi,


i 0 
k 0
k i

называемых узлами, значения интерполируемой функции f(xi).
12. По прогнозу 1983 г. добыча нефти в Западной Европе должна была составить в 1980 г. – 2,6 млн. баррелей/сут., в 1985 г. – 3,9 млн. баррелей/сут. и в
1990 г. – 3,2 млн. баррелей/сут. Используя интерполяционный полином Лагранжа, рассчитать данный показатель на 1988 г.
а) 3,720 млн. баррелей/сут.
б) 3,894 млн. баррелей/сут.
в) 3,643 млн. 3,894 млн. баррелей/сут.
13. Как определяется остаточный член интерполирования полиномами
Ньютона?
h 2 (b  a)
а) Rn 
M 2 , где M 2  max f ( ) , ξ – некоторая точка заданного
24
 [ a,b]
промежутка [а, b], h = const – расстояние между соседними узлами интерполяции
xi (i = 0, 1,…, n).
f ( n 1) ( )
( x  x 0 )( x  x1 )  ( x  x n ) , где ξ есть некоторая точка
б) Rn ( x) 
(n  1)!
наименьшего промежутка, содержащего все узлы интерполяции xi (i = 0, 1,…, n) и
точку х, в которой находится значение сеточной функции f(x).
в) Rn  max x  xi , (i  0, n ) , где xi – узлы интерполяции, х – точка, в которой
находится значение сеточной функции f(x).
14. Какую функцию называют аппроксимирующей?
а) Пусть для конечного множества значений аргумента x0, x1, …, xn известны табличные значения функций f(x0), f(x1), …, f(xn). Аппроксимирующей (приближающей) называют функцию φ(x), расчеты по которой либо совпадают, либо в определенном смысле приближаются к данным значениям функций.
б) Пусть для конечного множества значений аргумента x0, x1, …, xn известны табличные значения функций f(x0), f(x1), …, f(xn). Аппроксимирующей (приближающей) называют функцию φ(x), производные от которой равны производным
функции f(x).
в) Пусть для конечного множества значений аргумента x0, x1, …, xn известны табличные значения функций f(x0), f(x1), …, f(xn). Аппроксимирующей (приближающей) называют функцию φ(x), значения которой отличаются от данных значений
функций на постоянную величину.
15. Назовите достоинства и недостатки интерполяционных формул Лагранжа.
а) Достоинство – метод наиболее прост в понимании и организации вычислительного процесса. Основной недостаток метода – при увеличении числа узлов и
соответственно степени интерполяционный многочлен Лагранжа требуется строить заново.
б) Достоинство – метод относится к числу итерационных методов и имеет
наибольшую точность интерполяции. Основной недостаток метода – медленная
скорость сходимости, что приводит к значительным затратам машинного време24
n



ни.
в) Достоинство – использование многочленов невысокого порядка и вследствие
этого малое накопление погрешностей в процессе вычислений. Основной недостаток метода – из числа методов интерполяции наиболее сложен в организации
вычислительного процесса.
16. В чем состоит сущность метода наименьших квадратов?
а) Метод состоит в следующем. Весь отрезок интерполирования разбивают на частичные отрезки и на каждом из частичных отрезков приближенно заменяют интерполируемую функцию f(x) многочленом невысокой степени. Для того чтобы
не возникало разрывов производной в местах сочленения, на каждом частичном
отрезке степень полинома берется «с запасом», а возникающую свободу в выборе
коэффициентов полиномов используется для сопряжения производных на границах участков.
б) Метод состоит в том, что строится полином, сумма квадратов отклонений которого от табличных значений интерполируемой функции yi = f(xi) минимальна,
т.е. за меру качества аппроксимации функции f(x) полиномом Pm(x) в узлах xi
n
принимают сумму
  ( xi )  f ( xi )  Pm ( xi )  2 , где ω(x) ≥ 0
– заранее выбранная
i 1
«весовая» функция.
в) Сущность метода наименьших квадратов состоит в ледующем. Строится полиn
n 


ном вида Pn ( x) 
f ( xi ) ( x  x k ) ( x  xi ) ( xi  x k )  , принимающий в точ

i 0 
k 0
k i

ках xi, называемых узлами, значения интерполируемой функции f(xi).
17. Когда удобно пользоваться интерполяционной схемой Эйткена?
а) Когда требуется найти многочлен Pn(x), значения которого в точках xi
(i = 0, 1 ,…, n) совпадают со значениями функции f(x), т.е. Pn(xi) = f(xi).
б) Когда требуется найти не общее выражение интерполяционного многочлена
Pn(x), а лишь его значения при конкретных x и при этом значения функции даны в
достаточно большом количестве узлов.
в) Когда требуется найти функцию φ(x), значения которой отличаются от табличных значений функций f(x0), f(x1), …, f(xn) на постоянную величину.
18. Написать интерполяционный полином Лагранжа для функции f(x), которая представлена четырьмя своими значениями: f(0) = –0,5; f(0,1) = 0;
f(0,3) = 0,2 и f(0,5) = 1.
1
1
2
25 2 73
4
а) P3 ( x)  x 3  x 2  11x  .
б) P3 ( x) 
x  x .
11
12
7
3
7
13
125 3
73
1
в) P3 ( x) 
x  30 x 2 
x .
3
12
2
19. Назовите области применения интерполирования функций.
а) К интерполированию функций чаще всего прибегают, когда приходится вычислять значения функции в промежуточных точках, при этом данная функция
задана в табличном виде и аналитическое выражение функции неизвестно. Интерполирование применяют и в случае, когда аналитический вид функции изве-



25
стен, но сложен и требует большого объема вычислений для определения отдельных значений функции.
б) К интерполированию функций чаще всего прибегают, когда приходится вычислять производные от функций, заданных таблично, или когда непосредственное дифференцирование функции затруднительно. Интерполирование применяют
и в случае, когда необходимо вычислить производные от функций, имеющих разрыв 2-го рода.
в) К интерполированию функций чаще всего прибегают, когда требуется определить допустимую погрешность аргументов по допустимой погрешности функции.
Интерполирование применяют и в случае, когда необходимо вычислить погрешность функции нескольких переменных при заданных погрешностях аргументов.
20. С какой точностью можно вычислить по интерполяционной формуле
Лагранжа ln 100,5 по известным значениям ln 100, ln 101, ln 102 и ln 103.
а) 4,5∙10-5;
б) 6,7∙10-7;
в) 2,3∙10-9.
21. Опишите методику нахождения корней уравнения f(x) = 0 методом обратного интерполирования.
а) Рассмотрим функцию y = f(x) и составим таблицу ее значений, близких к нулю.
При этом количество узлов выбираем в зависимости от требуемой точности корня. В качестве x0 и x1 берем те соседние узлы, для которых f ( x0 )  f ( x1 )  0 , и
применяя метод обратного интерполирования, отыскиваем значение x, при
котором y = 0.
б) Рассмотрим интервал [а, b], на концах которого функция f(x) принимает ненулевые значения противоположного знака. Строим итерационную процедуру, состоящую в переходе от такого интервала к новому интервалу, совпадающему с
одной из половин предыдущего и обладающему тем же свойством. Процесс заканчивается, когда длина вновь полученного интервала станет меньше заданной
точности ε, и в качестве корня уравнения приближенно принимается середина
этого интервала.
в) На выбранном интервале строится система равноотстоящих точек xk = x0+k∙h
(k = 0, 1, 2,…) при достаточно малом шаге h. Применяя метод обратного интерполирования, находим значения функции y = f(x) в всех точках xk. Затем методом
простого перебора выбираем наименьшее значение функции y.
22. В чем состоит суть методов численного интегрирования функций?
а) Суть состоит в замене подынтегральной функции f(x) вспомогательной, интеграл от которой легко вычисляется в элементарных функциях.
б) Суть состоит в следующем: при заданном числе интервалов разбиения следует
расположить их концы так, чтобы получить наивысшую точность интегрирования.
в) Суть состоит в том, что из подынтегральной функции f(x) выделяют некоторую
функцию g(x), имеющую те же особенности, что функция f(x), элементарно интегрируемую на данном промежутке и такую, чтобы разность f(x)–g(x) имела нужное число производных.
23. Опишите методику вычисления определенного интеграла по формулам
прямоугольников.
а) Отрезок интегрирования [a, b] разбивается на n равных интервалов. В пределах
26
каждого интервала [xi, xi+1] подынтегральная функция f(x) заменяется интерполяционным многочленом Лагранжа первой степени с узлами xi и xi+1, что соответствует замене кривой на секущую. Интеграл по [a, b] вычисляется как сумма интегралов по всем частичным отрезкам.
1
б) В квадратурных формулах
n
ci f (ti )   коэффициенты c и абсцис f (t )dt  
i 1
i
1
сы ti подбираются так, чтобы формулы были точны для многочленов наивысшей
возможной степени N. При n узлах точно интегрируются все многочлены степени
N ≤ 2n–1. Коэффициенты ci и абсциссы ti находятся из системы 2n-1 нелинейных
уравнений.
в) Отрезок интегрирования [a, b] разбивают на частичные отрезки [xi, xi+1] равной
длины. На каждом отрезке [xi, xi+1] подынтегральная функция f(x) заменяется на
постоянную величину f(xi+1/2) (либо f(xi), либо f(xi+1)) и интеграл по [a, b] вычисляется как сумма интегралов по всем частичным отрезкам.
5
24. Вычислить приближенное значение интеграла

1
dx
по формуле трапеций
x
при n = 4.
а) Значение интеграла = 1,628.
б) Значение интеграла = 1,683.
в) Значение интеграла = 1,647.
25. Определить величину шага h по оценке остаточного члена для вычисле1
ния интеграла
dx
 1  x2
по формуле трапеций с точностью до 10-2.
0
а) h = 1,49.
б) h = 0,79.
в) h = 0,96.
26. Назовите области применения формул численного интегрирования.
а) К численному интегрированию чаще всего прибегают, когда приходится вычислять интегралы от функций, заданных таблично, или когда непосредственное
интегрирование функции затруднительно.
б) К численному интегрированию чаще всего прибегают, когда приходится вычислять значения функции в промежуточных точках, при этом данная функция
задана в табличном виде и аналитическое выражение функции неизвестно.
в) К численному интегрированию чаще всего прибегают, когда требуется определить допустимую погрешность аргументов по допустимой погрешности функции.
28. Назовите достоинства метода Гаусса (метода наивысшей алгебраической
точности) вычисления определенного интеграла.
а) Метод Гаусса в ряду других методов численного интегрирования наиболее
прост в понимании и организации вычислительного процесса. При этом есть легко определяемая оценка погрешности.
б) В методе Гаусса отрезок интегрирования разбивается на n равных интервалов в
отличие от других квадратурных формул, в которых абсциссы xi подбираются исходя из соображений точности и, вообще говоря, являются иррациональными
числами.
в) Для функций высокой гладкости при одинаковом числе узлов метод Гаусса да27
ет значительно более точные результаты, чем другие методы численного интегрирования. При этом для получения одной и той же точности по формуле Гаусса
необходимо выполнить меньше операций.
29. Выбор шага интегрирования для обеспечения заданной точности вычисления интеграла с помощью метода двойного пересчета.
а) Общая погрешность вычисления интеграла рассматривается как сумма погрешности усечения s и погрешности округления p. Так как с уменьшением шага расчета h погрешность s убывает, а p возрастает, то существует оптимальный
шаг h, определяемый таким образом, чтобы s составляла примерно половину p.
б) Вычисляют интеграл I по выбранной квадратурной формуле дважды: сначала
интеграл Ih с некоторым шагом h, затем интеграл Ih/2 с шагом h/2, а затем сравнивают их. Если окажется, что │Ih – Ih/2 │< , где  – допустимая погрешность, то
полагают I ≈ Ih/2. Если же │Ih – Ih/2 │≥ , то расчет повторяют с шагом h/4 и т.д.
в) Пусть требуется вычислить интеграл I с точностью . Используя формулу соответствующего остаточного члена , выбирают шаг h таким, чтобы выполнялось неравенство ││< /2. Затем вычисляют I по выбранной квадратурной
формуле с полученным шагом. При этом вычисления следует производить с таким числом знаков, чтобы погрешность округления не превышала /2.
30. Проведите сравнение формул численного интегрирования по точности на
основании остаточных членов формул.
а) Формула прямоугольников обеспечивает высокую точность при небольшом
числе узлов, чем формулы Симпсона и трапеций, а последние – более точные результаты, чем формула Гаусса. Однако для функции малой гладкости, имеющих
лишь 1-ю или 2-ю производную, а также для функций с разрывами производных
простые формулы интегрирования (Гаусса, трапеции и Симпсона) могут давать
примерно ту же точность, что и формула прямоугольников.
б) Для функций имеющих непрерывные производные достаточно высокого порядка при одинаковом числе узлов формула Гаусса дает значительно более точные результаты, чем формула Симпсона, а последняя – более точные результаты,
чем формулы прямоугольников и трапеций. При этом для получения одной и той
же точности по формуле Гаусса необходимо выполнить меньше операций, чем по
формуле Симпсона, а по последней – меньше, чем по формуле трапеций.
в) Анализ формул численного интегрирования показывает, что для функций высокой гладкости квадратурная формула трапеций является наиболее точной по
сравнению с формулами Гаусса и Симпсона). Однако для функций с разрывами
производных наиболее точной является более сложная формула прямоугольников.
5
31. Вычислить по формуле трапеций интеграл I 

1
dx
при n = 4 и оценить
x
остаточный член.
a) I = 67/38, │R│ ≤ 0,053;
б) I = 101/60, │R│ ≤ 0,67;
в) I = 65/30, │R│ ≤ 0,94.
32. Отличие метода Гаусса с выбором главного (ведущего) элемента от метода Гаусса решения системы линейных алгебраических уравнений.
28
а) Отличие в том, что на очередном шаге реализации метода Гаусса исключается
не следующее по номеру неизвестное, а то неизвестное, коэффициент при котором является наибольшим по модулю. Таким образом, в качестве ведущего элемента здесь выбирается главный, т.е. наибольший по модулю элемент.
б) Отличие в том, что на очередном k-ом шаге реализации метода Гаусса исклю( k 1)
чается элемент a kk
, называемый главным элементом на k-м шаге исключения.
Тем самым система линейных алгебраических уравнений приводится к треугольному виду.
в) Отличие в том, что на очередном шаге реализации метода Гаусса исключается
не следующее по номеру неизвестное, а то неизвестное, коэффициент при котором является наименьшим по модулю. Таким образом, в качестве ведущего элемента здесь выбирается главный, т.е. наименьший по модулю элемент.
33. В чем преимущество метода Зейделя для решения системы линейных алгебраических уравнений перед методом простой итерации?
а) Дает большой выигрыш в точности, так как, во-первых, метод Зейделя существенно уменьшает число умножений и делений, во-вторых, позволяет накапливать сумму произведений без записи промежуточных результатов.
б) Метод Зейделя являются абсолютно сходящимся, т.е. для него нет необходимости вводить достаточные условия сходимости в отличие от метода простой
итерации.
в) Обычно данный метод дает лучшую сходимость, чем метод простой итерации.
Кроме того, метод Зейделя может оказаться более удобным при программирова-
нии, так как при вычислении xi( k 1) нет необходимости хранить значения x1( k ) ,
x 2( k ) , …, xi(k1) .
34. Для решения систем линейных алгебраических уравнений какого вида
разработан метод прогонки?
а) Метод прогонки разработан для решения систем линейных алгебраических
уравнений с разреженной (лишь малая доля элементов матрицы отлична от нуля)
матрицей коэффициентов.
б) Метод прогонки разработан для решения систем линейных алгебраических
уравнений с трехдиагональной матрицей коэффициентов.
в) Метод прогонки разработан для решения систем линейных алгебраических
уравнений с апериодической матрицей коэффициентов.
35. Опишите метод Гаусса решения системы линейных алгебраических
уравнений.
а) В основе данного метода лежит идея последовательного исключения неизвестных. Решение системы распадается на два этапа: 1) прямой ход, когда исходная
система приводится к треугольному виду; 2) полученные коэффициенты при неизвестных и правые части уравнений хранятся в памяти ЭВМ и используются при
осуществлении обратного хода, который заключается в нахождении неизвестных
из системы треугольного вида.
б) Заданная система линейных уравнений каким-либо образом приводится к эквивалентному виду. Исходя из произвольного начального вектора, строится итерационный процесс. При выполнении достаточных условий сходимости, получа29
ется последовательность векторов, неогранично приближающихся к точному решению.
в) Если матрица коэффициентов А невырожденная (определитель этой матрицы
не равен нулю), то исходная система имеет единственное решение. Значения неdet Ai
известных могут быть получены по формулам xi 
, det Ai и det A - опредеdet A
лители матриц Ai и А соответственно, матрица Ai образуется из матрицы А путем
замены ее i-го столбца столбцом свободных членов.
36. Почему метод простой итерации решения систем линейных алгебраических уравнений называется самоисправляющимся?
а) Потому что для данного метода вводятся достаточные условия сходимости.
б) Потому что отдельная ошибка, допущенная при вычислениях, не отражается
на конечном результате, т.к. ошибочное приближение рассматривается как новый
начальный вектор.
в) Потому что при использовании данного метода строится отдельная процедура,
исправляющая любые ошибки, допущенные при расчетах.
37. Каковы недостатки решения системы уравнений по правилу Крамера?
а) Данное правило разработано и применимо лишь для решения систем линейных
алгебраических уравнений с трехдиагональной матрицей коэффициентов.
б) Реализация данного метода в виде вычислительной процедуры требует выполнения значительного количества арифметических операций и соответственно
больших затрат машинного времени. Кроме того, он очень чувствителен к ошибкам округления.
в) Данный метод дает менее точные результаты, чем другие методы решения систем линейных алгебраических уравнений. При этом требуется выполнение
жестких достаточных условий сходимости.
38. Опишите метод Якоби (простой итерации) решения системы линейных
алгебраических уравнений.
а) Исходная система линейных алгебраических уравнений записывается в виде,
разрешенном относительно неизвестных; при этом неизвестные появляются и в
правой части. Исходя из произвольного начального вектора, строится итерационная процедура. При выполнении достаточных условий сходимости, получается
последовательность векторов, неорганично приближающихся к точному решению. Точное решение системы получается лишь в результате бесконечного итерационного процесса и всякий вектор из полученной последовательности является приближенным решением.
б) Находятся определители матриц Ai (det Ai ) и А (det A), где А – матрица коэффициентов системы линейных алгебраических уравнений, матрица Ai образуется
из А путем замены ее i-го столбца столбцом свободных членов. Если определитель матрицы коэффициентов А не равен нулю, то исходная система имеет единственное решение и значения неизвестных определяются по формулам
xi  det 2 Ai  det 2 A .
в) Метод Якоби разработан для решения систем линейных алгебраических уравнений с трехдиагональной матрицей коэффициентов. Исходная система n уравнений приводится к виду xi   i   i xi 1 , (i  1, 2,  , n  1) . Числа αi и βi, называ30
емые прогоночными коэффициентами, последовательно находятся в прямом ходе. При осуществлении обратного хода определяется xn, а затем вычисляются
значения xi ( i  n  1,  , 1 ) , последовательно применяя рекуррентные формулы
xi   i   i xi 1 .
39. Опишите метод деления отрезка пополам.
а) Для нахождения корня нелинейного уравнения f(x) = 0 требуется, чтобы на
концах интервала [а, b] функция f(x) принимала ненулевые значения противоположного знака. Итерационная процедура состоит в переходе от такого интервала
к новому интервалу, совпадающему с одной из половин предыдущего и обладающему тем же свойством. Процесс заканчивается, когда длина вновь полученного интервала станет меньше заданной точности ε, и в качестве нелинейного корня
уравнения приближенно принимается середина этого интервала.
б) Согласно данному методу общая погрешность вычисления интеграла рассматривается как сумма погрешности усечения s и погрешности округления p. Так
как с уменьшением шага расчета h погрешность s убывает, а p возрастает, то
существует оптимальный шаг h, определяемый таким образом, чтобы s составляла примерно половину p.
в) Строится система равноотстоящих точек xi = x0+i∙h (i = 0, 1, 2,…) при достаточно малом шаге h. Приближенные значения y(xi), являющиеся решением дифференциального уравнения y' = f(x, y), вычисляются последовательно по формулам yi+1 = yi + h∙f(xi, yi).
40. Сколько необходимо проделать итераций, чтобы методом деления отрезка пополам решить нелинейное уравнение y  x 2  0,55 с точностью   0,05
на отрезке [0,5; 0,9].
а) Потребуется 5 итераций, корень уравнения = 0,74.
б) Потребуется 6 итераций, корень уравнения = 0,76.
в) Потребуется 7 итераций, корень уравнения = 0,75.
41. В чем достоинство и недостаток метода Ньютона нахождения корней нелинейного уравнения?
а) Метод Ньютона весьма быстро сходится, точность каждого приближения в
этом методе пропорциональна квадрату точности предыдущего. Основной недостаток метода – необходимость достаточно точного начального приближения.
б) Метод Ньютона относится к числу итерационных методов второго порядка и
имеет наибольшую точность нахождения корней нелинейного уравнения. Основной недостаток метода – медленная скорость сходимости, что приводит к значительным затратам машинного времени при решении сложных нелинейных уравнений.
в) Метод Ньютона в ряду итерационных методов нахождения корней нелинейного уравнения наиболее прост в организации вычислительного процесса. Основной недостаток метода – достаточно медленная скорость сходимости.
42. Дано уравнение x 3  x 2  1  0 . Привести данное уравнение к виду, при
котором выполняются достаточные условия сходимости для метода простой
итерации на отрезке [0,1; 1].
а) x  x 2  3 .
б) x  (1  x 3 ) 3x .
в) x  1 x  3 .
31
43. Решение нелинейного уравнения методом простой итерации.
а) Нелинейное уравнение f(x) = 0 на интервале [а, b] заменяется эквивалентным
уравнением x = φ(x). Итерации образуются по правилу xk+1 = φ(xk), (k = 0, 1, …),
причем задается начальное приближение x0. Если последовательность чисел xk
имеет предел при k→0, то этот предел является корнем уравнения x = φ(x).
б) Для нахождения корня нелинейного уравнения f(x) = 0 методом простой итерации требуется, чтобы на концах интервала [а, b] функция f(x) принимала ненулевые значения противоположного знака. Итерационная процедура состоит в переходе от такого интервала к новому интервалу, совпадающему с одной из половин
предыдущего и обладающему тем же свойством. Процесс заканчивается, когда
длина вновь полученного интервала станет меньше заданной точности ε, и в качестве корня уравнения приближенно принимается середина этого интервала.
в) Для нахождения корня нелинейного уравнения f(x) = 0 методом простой итерации требуется, чтобы функция f(x) имела на интервале [а, b] непрерывные производные 1-го и 2-го порядков, сохраняющие на [а, b] постоянный знак. Для начала
вычислений необходимо задание одного начального приближения x0. Последующие приближения определяется по формуле xk+1 = xk – f(xk)/f΄(xk), (k = 0, 1, …).
44. Проведите сравнение методов деления отрезка пополам (ДОП) и Ньютона по различным критериям (универсальность, скорость сходимости).
а) Метод Ньютона обладает большей универсальностью, чем метод ДОП, т.к.
сходимость зависит только от выбора начальной точки. Вычисления методом
ДОП можно начинать лишь с отрезка, на концах которого функция имеет разные
знаки, а внутри этого интервала непрерывные производные 1-го и 2-го порядков.
При решении практических задач не всегда удается проверить выполнение необходимых ограничений на выбор подобного интервала. Однако метод ДОП обладает более высокой скоростью сходимости.
б) Более универсальным является метод ДОП. Он гарантирует получение решения для любой непрерывной функции f(x), если найден интервал, на котором она
меняет знак. Метод Ньютона предъявляет к функции более жесткие требования.
Сходимость метода Ньютона существенно зависит от выбора начальной точки.
При реализации данного метода необходимо предусматривать вычисление производных функции для организации итерационного процесса и проверки условий
сходимости. Важным преимуществом метода Ньютона является высокая скорость сходимости, обеспечивающая значительную экономию машинного времени
при решении сложных нелинейных уравнений.
в) Методы Ньютона и ДОП имеют одинаковые необходимые и достаточные
условия сходимости, поэтому применимы в одинаковых условиях. Однако метод
ДОП обладает линейной скоростью сходимости, поэтому весьма быстро сходится
в отличие от метода Ньютона, который обладает лишь квадратичной скоростью
сходимости.
Раздел 2. Численные методы решения дифференциальных уравнений
1. В чем достоинство неявных методов решения дифференциальных уравнений?
а) В том, что неявные методы в большинстве случаев абсолютно устойчивы.
32
б) В том, что неявные методы в большинстве случаев являются более простыми в
реализации в виде программного продукта.
в) В том, что неявные методы не требуют на каждом шаге решения нелинейного
уравнения.
2. Применяя метод Эйлера, численно решить дифференциальное уравнение
y   0,5 x  y с начальным условием y (0)  1 на отрезке [0; 1] с шагом h = 0,2.
а) y(0,2) = 1,0000; y(0,4) = 1,0420; y(0,6) = 1,1952; y(0,8) = 1,3646; y(1,0) = 1,5644.
б) y(0,2) = 1,0200; y(0,4) = 1,0404; y(0,6) = 1,0612; y(0,8) = 1,0942; y(1,0) = 1,1321.
в) y(0,2) = 1,0000; y(0,4) = 1,0200; y(0,6) = 1,0608; y(0,8) = 1,1244; y(1,0) = 1,2144.
3. Оценить погрешность аппроксимации правой разностной производной
y ( xi 1 )  y ( xi ) y i 1  y i

, разложив в ряд Тейлора решение дифференциальxi 1  xi
h
ной задачи в окрестности узла xi (h – шаг разностной сетки).
а) O(h2).
б) O(h).
в) O(h3).
4. Численное решение методом Эйлера задачи Коши для обыкновенных
дифференциальных уравнений.
а) В методе Эйлера решение y(x) дифференциального уравнения y' = f(x, y)
получается как предел последовательности функций yn(x), которые находятся по
x
реккурентной формуле y n ( x)  y0 
 f ( x, yn 1 ( x))dx .
x0
б) Строится система равноотстоящих точек xi = x0+i∙h (i = 0, 1, 2,…). Вычисления
значений y(xi), являющихся решением дифференциального уравнения y' = f(x, y),
проводятся в два этапа. На первом этапе находится промежуточное значение
y i  y i   h f ( xi , y i )
с
шагом
 h,
на
втором
этапе
–
y i 1  y i  (1   ) h f ( xi , y i )   h f ( xi  h, y i ) , где  > 0, σ > 0 – параметры,
определяемые из соображений точности.
в) Строится система равноотстоящих точек xi = x0+i∙h (i = 0, 1, 2,…) при достаточно малом шаге h. Приближенные значения y(xi), являющиеся решением дифференциального уравнения y' = f(x, y), вычисляются последовательно по формулам yi+1 = yi + h∙f(xi, yi).
5. Почему метод Рунге-Кутта называется самостартующим?
а) Метод Рунге-Кутта называется самостартующим, т.к. для вычисления yi+1 нужно использовать лишь имеющеюся информацию о r предыдущих точках
(xi+1, yi+1), (xi-1, yi-1),,..., (xi-r , yi-r), (r - шаговый метод).
б) Метод Рунге-Кутта называется самостартующим, т.к. для вычисления yi+1 нужно знать лишь одно значение yi и с помощью этого метода можно начинать решение дифференциального уравнения.
в) Метод Рунге-Кутта называется самостартующим, т.к. невязка или погрешность
аппроксимации разностной схемы стремится к нулю при измельчении сетки.
6. Опишите построение разностной схемы для численного решения обыкновенного дифференциального уравнения.
а) Область непрерывного изменения аргумента заменяется некоторым конечным
множеством точек, лежащих в этой области. Это множество называется разност33
ной сеткой. Для одномерной задачи примером пространственной разностной сетки являются совокупность точек разбиения отрезка на N частей. Точки деления xi
отрезка называют узлами сетки. Расстояние между узлами xi+1 – xi = h есть шаг
сетки.
б) Заданный отрезок [a, b] заменяется системой частичных отрезков [xi, xi+1] равной длины, называемой разностной сеткой. Расстояние между концами интервала
xi+1 – xi, = h есть единичная длина сетки. На каждом отрезке [xi, xi+1] осуществляется численное решение дифференциального уравнения.
в) Пусть для некоторого множества точек x0, x1, …, xn исходной области известны
табличные значения функции y = f(x), являющейся решением дифференциального
уравнения. Данное множество значений функции y0, y1, …, yn, называемых узлами, есть разностная сетка. Расстояние между узлами yi+1 – yi = h называется шагом
сетки.
7. Разностная аппроксимация дифференциальных операторов.
а) Сеточная функция yi есть функция дискретного аргумента, решение дифференциальной задачи u – функция непрерывного аргумента. Они принадлежат разным
функциональным пространствам. О близости решений разностной и дифференциальной задач говорят в том случае, когда величина нормы u( xi )  yi в пространстве сеточных функций неограниченно уменьшается при шаге разностной
сетки h→0.
б) Рассматривается дифференциальное уравнение первого порядка y' = f(x, y) с
начальным условием y(x0) = y0. Выбрав достаточно малый шаг h, строят систему
равноотстоящих точек (разностную сетку) xi = x0+i∙h. При этом приближенные
значения y(xi) вычисляются последовательно по формулам yi+1 = yi + h∙f(xi, yi).
в) При определении разностной производной вместо отношения бесконечно малых ограничиваются отношением конечных разностей, т.к. для функции дискретного аргумента на фиксированной сетке понятие предельного перехода при
нахождении производной теряет смысл. При этом разностный оператор Lh аппроксимирует дифференциальный оператор L с порядком n  0 в точке xi, если
для погрешности аппроксимации имеет место  i   ( xi )  Lh u  Lu x  x  O(h n )
i
или   M  h , где M = const > 0 не зависит от шага разностной сетки h.
8. Оценить погрешность аппроксимации центральной разностной производy ( xi 1 )  y ( xi 1 ) y i 1  y i 1

ной
, разложив в ряд Тейлора решение диффеxi 1  xi 1
2h
ренциальной задачи в окрестности узла xi.
а) O(h3), где h – шаг разностной сетки.
б) O(h2), где h – шаг разностной сетки.
в) O(h/3), где h – шаг разностной сетки.
9. Какой метод численного решения дифференциального уравнения называется многошаговым?
а) Метод, дающий формулу для вычисления значения функции yi1  y( xi1 ) , являющегося решением дифференциального уравнения, по k предыдущим значениям y i , y i 1 ,  , y i k 1 , называется многошаговым, если k = 1.
б) Метод, дающий формулу для вычисления значения функции y i 1  y ( xi 1 ) , явn
34
ляющегося решением дифференциального уравнения, при известном значении yi
и известном шаге h.
в) Метод, дающий формулу для вычисления значения функции y i 1  y ( xi 1 ) , являющегося решением дифференциального уравнения, по k предыдущим значениям y i , y i 1 ,  , y i k 1 , называется многошаговым, если k > 1.
10. Опишите сущность разностной аппроксимации задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка.
а) Исходным пунктом при разностной аппроксимации является вычисление погрешности ε. Полагается, что погрешность ε можно представить в виде интерполяционного полинома n-ой степени. Если разностная схема устойчива, то рост
любого возмущения ограничен, следовательно, можно взять интеграл Фурье от
данного полинома. В таком случае погрешность аппроксимации стремится к нулю при измельчении разностной сетки.
б) Исходным пунктом при разностной аппроксимации является замена области
непрерывного изменения аргумента некоторым конечным множеством точек, лежащих в этой области (разностная сетка) Эта дискретная модель среды описывается сеточными функциями, которые определены в узлах сетки. Дифференциальное уравнение заменяются соответствующими конечно-разностными соотношениями. В итоге исследуемая задача Коши заменяется, или, как говорят, аппроксимируется системой разностных уравнений – разностной схемой.
в) Заданный отрезок [a, b] заменяется системой частичных отрезков [xi, xi+1] равной длины, называемой разностной сеткой. Расстояние между концами интервала
xi+1 – xi, = h есть единичная длина сетки. На каждом отрезке [xi, xi+1] осуществляется численное решение дифференциального уравнения. Общее решение на [a, b]
вычисляется как сумма частных решений по всем частичным отрезкам.
11. Оценить погрешность аппроксимации левой разностной производной
y ( xi )  y ( xi 1 ) y i  y i 1

, разложив в ряд Тейлора решение дифференциальxi  xi 1
h
ной задачи в окрестности узла xi (h – шаг разностной сетки).
а) O(h).
б) O(h2).
в) O(h3).
12. Применяя метод Эйлера, найти решение обыкновенного дифференциального уравнения y΄= y – 2x/y на интервале [0; 1] с начальным условием
y(0) = 1, выбрав шаг h = 0,2.
а) y(0,2) = 1,2000; y(0,4) = 1,4205; y(0,6) = 1,9562; y(0,8) = 2,3646; y(1,0) = 3,0644.
б) y(0,2) = 0,9200; y(0,4) = 0,9040; y(0,6) = 0,8612; y(0,8) = 0,7942; y(1,0) = 0,7321.
в) y(0,2) = 1,2000; y(0,4) = 1,3733; y(0,6) = 1,5294; y(0,8) = 1,6786; y(1,0) = 1,8237.
13. Сформулируйте краевую задачу для обыкновенного дифференциального
уравнения второго порядка y   f ( x, y, y ) .
а) Краевая задача для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка y   f ( x, y, y ) заключается в нахождении функции f ( x, y, y ) , определеной во множестве D  0  x  X , y  y 0  U  и удовлетворяющей т в области D
условию Липшица: f ( x, y1 , y )  f ( x, y 2 , y )  K y1  y 2 , где K = const > 0.
б) Найти функцию y  y(x) , которая внутри отрезка [а, b] удовлетворяет уравне35
нию y   f ( x, y, y ) , а на концах отрезка – краевым условиям: 1  y (a), y (a)  0 ,
 2  y (b), y (b)  0 .
в) Краевая задача для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка y   f ( x, y, y ) заключается в отыскании функции y  y(x) , удовлетворяющей этому уравнению и начальным условиям: y ( x0 )  y 0 , y ( x0 )  y 0 .
14. Какая конечно-разностная схема, аппроксимирующая дифференциальное уравнение в частных производных, называтся согласованной?
а) Согласованной называется разностная схема, аппроксимирующая уравнение в
частных производных, если при измельчении сетки погрешность аппроксимации
стремится к нулю.
б) Разностная схема называется согласованной, если на каждом шаге по маршевой координате любая ошибка не возрастает при переходе от одного шага к другому.
в) Согласованной схемой называется разностная схема, обеспечивающая точное
выполнение законов сохранения (исключая погрешности округления) на любой
сетке в конечной области, содержащей произвольное число узлов разностной
сетки.
15. Какая задача для уравнений в частных производных называется корректно поставленной?
а) Задача для уравнений в частных производных называется корректно поставленной, если выполняются условия устойчивости и согласованности.
б) Задача для уравнений в частных производных называется корректно поставленной, если она имеет единственное решение, непрерывно зависящее от начальных и граничных условий.
в) Задача для уравнений в частных производных называется корректно поставленной, если начальные и граничные условия определены и непрерывны в заданной области.
16. Физический смысл условия Куранта-Фридлихса-Леви.
а) Область зависимости аналитического решения гиперболического уравнения в
частных производных должна лежать внутри области зависимости численного
решения.
б) Отличительной особенностью условия Куранта-Фридлихса-Леви является то,
что оно обеспечивает «баланс» физической величины в окрестности узла разностной сетки, т.к. учитывает дискретный характер решения поставленной задачи.
в) Тангенс угла наклона прямых, соединяющих узлы разностной сетки (j±1, n) и
(j, n+1), по абсолютной величине должен быть больше тангенса угла наклона характеристик гиперболического уравнения в частных производных.
17. Какая конечно-разностная схема называется слабо неустойчивой (устойчивой)?
а) Если отдельная погрешность округления растет (не растет), то разностная схема называется слабо неустойчивой (устойчивой).
б) Если при измельчении сетки погрешность аппроксимации стремится к нулю
(единице), то разностная схема называется слабо неустойчивой (устойчивой).
в) Если полная погрешность округления растет (не растет), то разностная схема
36
называется слабо неустойчивой (устойчивой).
18. Какие физические процессы описывают уравнения в частных производных эллиптического типа?
а) Уравнения в частных производных эллиптического типа обычно описывают
установившиеся процессы.
б) Уравнения в частных производных эллиптического типа обычно описывают
одномерные динамические процессы.
в) Уравнения в частных производных эллиптического типа обычно описывают
неустановившиеся процессы, но зона зависимости их решений в отличие от гиперболических уравнений не ограничена.
19. Укажите методы построения конечно-разностных схем, аппроксимирующих дифференциальное уравнение в частных производных.
а) Методы: 1) разложение функций в ряд Фурье; 2) дифференциальный метод; 4)
метод конечного объема.
б) Методы: 1) разложение функций в ряд Тейлора; 2) интерполяция функций полиномами; 3) интегральный метод; 4) метод контрольного объема.
в) Методы: 1) простой явный метод Эйлера; 2) метод Лакса-Вендроффа; 3) метод
использования разностей против потока; 4) метод Кранка-Николсона.
20. Дайте определение маршевой задачи для уравнений в частных производных.
а) Задача называется маршевой, если решение уравнения в частных производных
внутри некоторой области определяется лишь условиями на границе этой области.
б) Задача называется маршевой, если на границе области задана линейная комбинация искомой функции и ее производной по нормали к границе.
в) Маршевой называется задача, в которой требуется найти решение уравнения в
частных производных в незамкнутой области при заданных граничных и начальных условиях.
Примерные темы докладов
1. Приближенные числа, их абсолютные и относительные погрешности. Значащие и верные цифры приближенного числа.
2. Погрешность функции. Определение допустимой погрешности аргументов по
допустимой погрешности функции.
3. Построение интерполяционного многочлена Ньютона с разделенными разностями.
4. Использование остаточного члена интерполяции.
5. Кусочно-линейная интерполяция функции Рунге.
6. Приближение функции по методу наименьших квадратов. Нахождение оптимальной степени многочлена.
7. Построение параболического сплайна.
8. Вычисление определенного интеграла по формулам прямоугольников, трапеции и Симпсона.
9. Квадратурные формулы интерполяционного типа.
10. Метод Гаусса вычисления определенного интеграла.
37
11. Интегрирование с помощью степенныхрядов.
12. Точностные оценки формул интегрирования, выбор шага интегрирования.
13. Метод Рунге апостериорной оценки погрешности вычисления определенного
интеграла. Метод двойного пересчета.
14. Решение систем линейных алгебраических уравнений. Нормы векторов и матриц.
15. Точные методы решения системы линейных алгебраических уравнений.
16. Решение системы линейных алгебраических уравнений методом Холецкого.
17. Обращение матриц и вычисление определителей по методу Гаусса-Жордана.
18. Решение системы линейных алгебраических уравнений специального вида
методом прогонки.
19. Локализация корней нелинейного уравнения.
20. Теоретическая оценка радиуса интервала неопределенности корня нелинейного уравнения.
21. Численные методы решения нелинейных уравнений.
22. Методы простой итерации и Ньютона для системы нелинейных уравнений.
23. Численное решение задачи Коши для обыкновенного дифференциального
уравнения первого порядка. Постановка исходной задачи.
24. Построение разностной схемы. Разностная аппроксимация дифференциальных операторов. Оценка погрешности конечно-разностных методов.
25. Решение задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений
усовершенствованным методом Эйлера.
26. Оценка погрешности решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений по правилу Рунге.
27. Общая формулировка многошаговых методов для численного решения
обыкновенных дифференциальных уравнений.
28. Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов.
29. Оценка погрешности метода конечных разностей для краевой задачи.
30. Дивергентная форма уравнений в частных производных. Консервативная конечно-разностная схема.
Вопросы для подготовки к экзамену
1. Источники и виды погрешностей. Абсолютная и относительная погрешности.
2. Интерполирование функции многочленами Лагранжа.
3. Интерполяционные формулы Ньютона.
4. Интерполирование сплайн-функциями.
5. Метод наименьших квадратов.
6. Вычисление определенного интеграла по формулам прямоугольников.
7. Вычисление определенного интеграла по формуле трапеции.
8. Вычисление определенного интеграла по формуле Симпсона.
9. Квадратурные формулы интерполяционного типа.
10. Метод Рунге апостериорной оценки погрешности вычисления определенного
интеграла.
11. Метод Гаусса вычисления определенного интеграла.
12. Решение системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусса.
13. Решение системы линейных алгебраических уравнений специального вида
38
методом прогонки.
14. Решение системы линейных алгебраических уравнений методом Якоби (простой итерации).
15. Решение системы линейных алгебраических уравнений методом Зейделя.
16. Метод деления отрезка пополам.
17. Решение нелинейного уравнения методом простой итерации.
18. Метод Ньютона нахождения корней нелинейного уравнения.
19. Численное решение задачи Коши для обыкновенного дифференциального
уравнения первого порядка. Постановка исходной задачи.
20. Построение разностной схемы для численного решения обыкновенного
дифференциального уравнения.
21. Разностная аппроксимация дифференциальных операторов.
22. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений методом Эйлера.
23. Численное интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений
методом Рунге-Кутта второго порядка.
24. Общая формулировка методов Рунге-Кутта для решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Семейство методов третьего и четвертого порядков.
25. Общая формулировка многошаговых методов для численного решения
обыкновенных дифференциальных уравнений.
26. Метод Адамса решения задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения.
27. Краевая задача для обыкновенного дифференциального уравнения. Постановка задачи.
28. Метод конечных разностей для линейных дифференциальных уравнений
второго порядка.
29. Аналитические методы решения задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения.
30. Методы построения конечно-разностных схем, аппроксимирующих дифференциальное уравнение в частных производных.
39
10. САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА СТУДЕНТОВ
Самостоятельная работа студентов предполагает изучение теоретического материала по актуальным вопросам дисциплины и его обсуждение на семинарских
занятиях, а также выполнение практических заданий.
График СРС
Разделы
сем. нед. часы
1. Методы
7
решения задач алгебры и
математического анализа
1-10
5
3
3
3
3
6
4
2
2. Численные
методы решения дифференциальных уравнений
7
11-18
2
3
3
4
4
4
Содержание СРС
Формы
контроля СРС
Устный опрос,
практические задания, тестирование, доклады
Погрешности арифметических действий
над приближенными числами
Интерполяционная схема Эйткена
Вывод нормальной системы уравнений
для нахождения параметров эмпирической зависимости в методе наименьших
квадратов
Квадратурные формулы Ньютона-Котеса.
Ортогональные многочлены
Интегралы отразравных функций. Метод
Конторовича выделения особенностей
Решение системы линейных алгебраических уравнений по правилу Крамера
Обусловленность задачи нахождения
корня нелинейного уравнения
Чувствительность метода Ньютона к выбору начального приближения
Интегральные кривые и графики решеУстный опрос,
ний дифференциальных уравнений
доклады, тестирование
Интегрирование жесткой системы дифференциальных уравнений
Решение задачи Коши методом Эйлера с
шагом h и h/2, оценка погрешности
Численные решения задачи Коши для
уравнения изменения объема производства в замкнутой экономической системе
при различных начальных условиях
Метод Милна для численного решения
обыкновенных дифференциальных уравнений
Свойства модельных уравнений в частных производных
40
СОДЕРЖАНИЕ
ОРГАНИЗАЦИОННО-МЕТОДИЧЕСКИЙ РАЗДЕЛ ………………………
3
ОБЪЕМ ДИСЦИПЛИНЫ, ВИДЫ УЧЕБНОЙ РАБОТЫ И ФОРМЫ
КОНТРОЛЯ В СООТВЕТСТВИИ С УЧЕБНЫМ ПЛАНОМ
СПЕЦИАЛЬНОСТИ ПО ФОРМАМ ОБУЧЕНИЯ ………………………...
4
ТЕМАТИЧЕСКИЙ ПЛАН ……………………………………………………..
4
СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ ……………………………………...……..
6
ПЛАНЫ СЕМИНАРСКИХ (ПРАКТИЧЕСКИХ) ЗАНЯТИЙ ……………..
7
ЗАДАНИЯ И МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К КОНТРОЛЬНОЙ
РАБОТЕ ДЛЯ СТУДЕНТОВ ЗАОЧНОЙ ФОРМЫ ОБУЧЕНИЯ ………..
17
ПРИМЕРНАЯ ТЕМАТИКА КУРСОВЫХ РАБОТ ………………………… 19
УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ ПО ДИСЦИПЛИНЕ …….. 20
ФОРМЫ ТЕКУЩЕГО, ПРОМЕЖУТОЧНОГО И ИТОГОВОГО
КОНТРОЛЯ ……………………………………………………………………...
21
САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА СТУДЕНТОВ …………………………..
40
41
Наиль Габсалямович Мусакаев
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ
Рабочая программа дисциплины
для студентов специальности
080801.65 «Прикладная информатика в экономике»,
очной и заочной форм обучения
(сохранена редакция автора-составителя)
Ответственный за выпуск к.ф.-м.н. С.Д.Захаров
«ТЮМЕНСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ АКАДЕМИЯ
МИРОВОЙ ЭКОНОМИКИ, УПРАВЛЕНИЯ И ПРАВА»
625051, г. Тюмень, ул. 30 лет Победы, 102
42