Образец оформления отчета по лабораторной работе

Федеральное агентство по образованию
Ульяновский государственный университет
Кафедра Физического материаловедения
Форма
Ф - Лабораторная работа
Лабораторная работа №2
Изучение флуктуаций радиоактивного распада.
Цель работы:
знакомство с ролью статистического подхода к изучению процессов
ядерных превращений, освоение методов математической статистики при
обработке результатов ядерно-физического эксперимента, исследование
статистического распределения числа детектируемых частиц.
Оборудование: источник β-излучения (таблетка KCl), β-радиометр РУБ-01П
1. Законы радиоактивного распада.
Радиоактивным
распадом
называется
самопроизвольное
превращение
нестабильных ядер в другие, сопровождаемое испусканием частиц. В случае α-распада
испускаются ядра гелия. К β-распадам относятся случаи испускания ядром электронов
(β --распад), позитронов (β +-распад) и захват ядром одного из электронов внутренних
электронных оболочек атома (K-захват). Если дочернее ядро - продукт ядерного
превращения – оказалось в возбуждённом состоянии, то наблюдается γ-излучение ядер.
Отдельные радиоактивные ядра распадаются независимо друг от друга и от
внешних условий, процесс распада является случайным. В силу этого опытного факта
Резерфорд и Содди предложили теорию радиоактивного распада, согласно которой убыль
числа нераспавшихся ядер за малый промежуток времени dt пропорциональна
имеющемуся в данный момент времени числу активных ядер:
dN   Ndt ,
где λ - постоянная распада.
Полагая число нераспавшихся ядер в начальный момент времени N(0) = N0 и
интегрируя, получим закон изменения числа нераспавшихся ядер со временем
N  t   N0 exp  t  .
Число ядер, распавшихся за время t, равно:
N  N 0  N  t   N 0 1  exp  t  
.
Вероятность распада отдельно взятого радиоактивного ядра в течении времени t равна:
P  N / N0  1  exp  t  ,
dP / dt   exp  t  .
а плотность вероятности:
Судить о факте распада ядра можно лишь путём регистрации испускаемых в процессе
распада частиц. Практически никогда не удаётся зарегистрировать все акты распада и
число зарегистрированных частиц обусловлено геометрическими условиями измерений,
характеристиками источника, содержащего радиоактивные ядра, методом регистрации
испускаемых частиц и параметрами детектора. Но при неизменности всех этих условий
число зарегистрированных частиц пропорционально числу распадов и закон
распределения числа срабатываний детектора (отсчётов) за фиксированный промежуток
времени t совпадает с законом распределения распадов. Далее число отсчётов также будем
обозначать N.
Форма А
Стр. 1 из 5
Федеральное агентство по образованию
Ульяновский государственный университет
Кафедра Физического материаловедения
Форма
Ф - Лабораторная работа
2. Распределения Пуассона и Гаусса.
Для долгоживущих изотопов изменением числа нестабильных ядер за время
проведения измерений можно пренебречь и ввиду дискретности спектра возможных
значений N (числа отсчётов за фиксированный промежуток времени) вероятность
зарегистрировать N отсчётов описывается распределением Пуассона:
N 
PN  
N
N!
где
N
 ,
exp  N
1 m
N i – среднее число отсчетов по серии из m измерений при

m i 1
фиксированном времени экспозиции.
Для случайной величины N, описываемой распределением Пуассона, дисперсия
DN   N
,
и стандартная (среднеквадратичная) погрешность
 D N
.


Если среднее число отсчётов достаточно велико
N 1 , то распределение Пуассона может быть аппроксимировано очень удобным приближением – частным случаем
нормального распределения (распределения Гаусса) квазинепрерывной случайной
величины :
2
f  y 

 y ,
1
exp  

2
D
2 D



где y  N  N характеризует отклонение зарегистрированного числа отсчётов N от
среднего значения N .
С использованием этого соотношения можно вычислить вероятность того, что
случайная величина y заключена в интервале от y1 до y2 :
1
P  y1  y  y2  
2 D
Удобно произвести замену переменной y 
P  y1  y  y  
где
Ф z 
Форма А
1
2
1
2
 y2 
y exp   2D dy ,
1
y2
Dz , тогда:
 z2
z exp   2
1
z2

dz  Ф  z2   Ф  z1  ,

 z2 
z exp   2 dz - табулированная функция Лапласа.
1
z2
Стр. 2 из 5
Федеральное агентство по образованию
Ульяновский государственный университет
Кафедра Физического материаловедения
Форма
Ф - Лабораторная работа
Таким образом можно рассчитать теоретическое значение вероятности того, что
квазинепрерывное случайное число N, распределённое по нормальному закону с
матожиданием
и дисперсией D, лежит в интервале от N j до NJ+1 :
 N j 1  N 
 Nj  N 
P  N j  N  N j 1   Ф 
 Ф





D
D




.
Для серии из m измерений ожидаемая исходя из нормального закона распределения
частота njT попаданий результата измерения (числа отсчётов) в интервал
)
составляет
nTj  P  N J  N  N J 1  m
,
и может быть сопоставлена с экспериментально определённой частотой njЭ попаданий в
тот же интервал значений N.
Для нахождения последней весь диапазон экспериментально зарегистрированных
величин Ni может быть разбит на l интервалов и определено число измерений, результаты которых принадлежат j-му интервалу (j=1,2, … ,l). Естественно, что
l
n
j 1
Э
j
 m.
Наблюдаемое расхождение частот njT и njЭ для каждого из интервалов может носить
случайный характер и быть обусловлено недостаточным объёмом выборки (m и l
недостаточно велики), а может свидетельствовать о неприменимости нормального закона
распределения для описания результатов измерений. Таким образом, встаёт вопрос о
сравнении эмпирического распределения частот с известным теоретическим
распределением – нормальным.
3. Анализ распределения частот с использованием –
 2критерия.
Выдвинем гипотезу, что наблюдаемые отклонения эмпирического распределения
частот от нормального закона незначимы, то есть обусловлены недостаточной
статистикой отсчётов. Разность (njT - njЭ) для каждого j-того интервала является, в свою
очередь, случайной величиной и можно составить сумму
l
 э2  
j 1
n
T
j
 n Эj 
n
2
,
T
j
характеризующую совокупное расхождение экспериментального и теоретического
спектра частот.
Форма А
Стр. 3 из 5
Федеральное агентство по образованию
Ульяновский государственный университет
Кафедра Физического материаловедения
Форма
Ф - Лабораторная работа
Как известно из курса математической статистики плотность распределения
последней случайной величины асимптотически (при m → ∞) подчиняется χ2- распределению с числом степеней свободы k:
dP  
2
k

 

k
1
k
2
2 Г 
2
2
k
k
1
2
  k2
exp  
 2

2
d   ,


где Г 
  - гамма-функция.
2
k
Число степеней свободы k определяется числом интервалов l, по которым распределены
все m измерений числа отсчётов Ni. Поскольку полное число измерений фиксировано и
проверяемое распределение частот содержит найденный из эксперимента параметр N  D ,
то k=l-2. При практических расчетах обычно считают, что асимптотические свойства
χ2 – распределения применимы тогда, когда ожидаемое число событий на один интервал
(теоретическое значение частоты2 mjT ) больше пяти. Чем больше при заданном числе
степеней свободы k окажется  k , тем менее вероятным является обнаружение на опыте
такого значения критерия. Значения  k2 для различных величин вероятности P 2
x
табулированы.
2
2
Сравнивая найденные из эксперимента значение  Э с табличным  k , можно сделать
вывод о справедливости выдвинутой гипотезы. Если
 Э2   k2
при значении доверительной вероятности Px 2 , то делаем вывод о том, что наблюдаемые
расхождения теоретического и экспериментального спектра частот незначимы с
вероятностью Px 2 или значимы с уровнем значимости   1  Px 2 . При Px 2 = 90…95%
гипотеза может быть принята с достаточно высокой степенью вероятности, то есть
экспериментальные данные не противоречат нормальному закону распределения
отсчетов и числа распадов ядер. Если последнее неравенство выполняется при малых
значениях Px 2 = 5…10%, то выдвинутая нами гипотеза должна быть однозначно
отвергнута. Иначе говоря, с уровнем значимости  = 90…95% наблюдаемые
расхождения теоретического и эмпирического спектра частот неслучайны. Причиной
этого могут быть нарушения работы радиометрической аппаратуры, приводящие к
генерированию ложных импульсов или просчетам истинных, нестабильность
источников
2
питания и т.д. Поэтому основанная на применении критерия  проверка значимости
отклонения регистрируемых аппаратурой импульсов от нормального распределения
используется для статистического контроля счетной аппаратуры.
4. Порядок проведения работы
1. Включить экспериментальную установку и подать на детектор рабочее напряжение
(см. работу 1).
2. Разместить источник ионизирующего излучения на таком расстоянии от детектора,
чтобы за 10 секунд пересчетное устройство регистрировало 200 … 300 импульсов.
3. Провести
m = 150 … 200 измерений числа срабатываний детектора за
Форма А
Стр. 4 из 5
m   0,0561  0,0011 см2 / г
Федеральное агентство по образованию
Ульяновский государственный университет
Кафедра Физического материаловедения
Форма
Ф - Лабораторная работа
фиксированное время 10 секунд. Измеренные значения Ni занести в таблицу 1
произвольной формы. Рассчитать и D.
4. Найти диапазон изменения числа срабатываний и разбить его на 8 … 10 интервалов
так, чтобы в каждый интервал попало не менее 8 результатов. Интервалы у границ
диапазона могут иметь различную ширину.
5. Подсчитать число попаданий результата измерений в каждый из интервалов, найти
эмпирические и теоретические частоты и  Э2 .
Все результаты занести в таблицу 2.
Таблица 2. Расчет эмпирического и теоретического спектра частот.
Номер
интерв.
j
1.
2.
3.
………
l
Сумма
Границы
интервала
Nj , Nj+1
……………
Эмпирическая
частота
Теоретическая
частота
………………. ………………
………………. …………….
--
--
6. На одном рисунке построить эмпирическую и теоретическую гистограммы частот.
7. Используя таблицу значений
при числе степеней свободы k=l-2, найти
максимальное значение доверительной вероятности Px 2 , при которой
. При
необходимости следует прибегнуть к линейной интерполяции между узловыми
значениями таблицы.
8. Сформулировать аргументированные выводы по работе.
5. Контрольные вопросы
Форма А
Стр. 5 из 5