При изучении курса высшей математики студент

МИНИСТЕРСТВО ВЫСШЕГО И СРЕДНЕ-СПЕЦИАЛЬНОГО
ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ УЗБЕКИСТАН
ТАШКЕНТСКИЙ АВТОМОБИЛЬНОДОРОЖНЫЙ ИНСТИТУТ
Кафедра высшей математики
Н.Т. Рузматова, З.Сайдалиев
Раздаточный материал по высшей математике
для студентов инженерно-технических
специальностей (1-часть)
ТАШКЕНТ-2013
Введение
При изучении курса высшей математики студент должен выполнить
ряд контрольных и самостоятельных заданий. Решения задач и пояснения к
ним должны быть достаточно подробными. Все решения надо приводить
полностью, чертежи и графики должны быть выполнены четко. К
выполнению контрольного задания следует приступать после изучения
теоретического материала по учебникам и решения достаточного количества
задач по материалу, соответствующему этому заданию.
Настоящее
пособие
является
руководством
по
выполнению
контрольных и самостоятельных работ по курсу высшей математики для
студентов инженерно-технических специальностей вузов. Оно содержит
вопросы
и
теоретические
сведения,
необходимые
для
выполнения
контрольных работ по данной теме, примеры решения задач, контрольные
задания и список литературы.
Рецензент проф. Рахимов А.А.
Раздаточный материал обсужден и одобрен на заседании кафедры
«Высшая математика» (протокол № 11 от 03.12.2013г.) и на Учебнометодическом Совете факультета «Эксплуатация автомобильного
транспорта» (протокол № 4, от 05.12.2013 г.).
2
Глава I. Основы линейной алгебры
Теоретические вопросы
1.
Матрицы и действия над ними.
2.
Определители второго и третьего порядков, их свойства. Миноры
и алгебраические дополнения.
3.
Обратная матрица.
4.
Системы линейных алгебраических уравнений. Теорема Крамера.
Матричный способ решения алгебраических уравнений. Метод Гаусса.
1. Матрицы и действия над ними
Таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов вида
 a11

a
A   21
...

a
 m1
... a1n 

... a2 n 
 aij m ,n
,
... ... 

... amn 
a12
a22
...
am 2
называется матрицей порядка m n . Матрица порядка n  n называется
  ).
Две матрицы A  a  и B  b  называются равными (А=В), если
квадратной матрицей порядка п ( А = aij
ij m , n
n
ij m ,n
равны их соответствующие элементы, т.е. aij  bij (i=1,…,m; j=1,…,n).
 
Суммой двух матриц A  aij
 
называется матрица C  cij
m ,n
m,n
 
и B  bij
m ,n
одинакового порядка
(С = A+B), элементы которой определяются
равенствами
сij  aij  bij (i=1,…,m; j=1,…,n).
Произведением
 
матрица B  bij
m ,n
матрицы
A  aij m,n
на
число

называется
(В =  А или B = А  ), элементы которой определяются
3
равенствами
bij    aij (i=1,…,m; j=1,…,n).
 
Произведением матрицы A  aij
 
матрица C  cij
m ,n
m, p
 
на матрицу B  bij
p ,n
называется
(С = AB), элементы которой определяются равенствами
p
сij   aik bkj  ai1b1 j  ai 2b2 j  ...  aipb pj
k 1
i  1,..., m; j  1,..., n .
Заметим, что умножение матрицы А на матрицу В определяется только
при условии, что число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В.
Задание 1. Выполнить действия над матрицами А и В:(2A-B)(A+3B), где
1 3 1
 2 1 0




A   2 0 4 , B   1  1 2  .
 1 2 3
 3 2 1




Решение. Данное выражение содержит следующие операции над
матрицами:
1) произведение матрицы на число.
2) сумма двух матриц;
3) произведение двух матриц.
Используя определения, данные выше, получим:
1

2 A  B  2 А   1B  2   2
1

  2 1 0   0 5

 
  1 1  2   3 1
  3  2 1  1 2

 
3 1
 2 1 0  2 6 2


 

0 4    1   1  1 2    4 0 8  
 3 2 1  2 4 6
2 3 

 

2

6 ;
5 
4
 1 3 1  2 1 0  1 3 1  6 3 0  7 6 1 

 
 
 
 

A  3B   2 0 4   3 1  1 2    2 0 4    3  3 6    5  3 10  ;
 1 2 3   3 2 1   1 2 3   9 6 3  10 8 6 

 
 
 
 

 0 5 2  7 6 1 

 

(2 A  B)  ( A  3B)   3 1 6    5  3 10  
  1 2 5  10 8 6 

 

0  6  5  (3)  2  8
0  1  5  10  2  6   45 1 62 
 0  7  5  5  2  10

 

3  6  1  (3)  6  8
3  1  1  10  6  6    86 63 49 .
 3  7  1  5  6  10
 (1)  7  2  5  5  10 (1)  6  2  (3)  5  8 (1)  1  2  10  5  6   53 28 49 

 

2. Определители второго и третьего порядка. Обратная матрица
Определителем
второго
порядка,
соответствующим матрице
a 
a
A   11 12  называется число a11a22  a12a21 .
 a21 a22 
Этот определитель обозначают
a11
a12
a21 a22
или  .
Следовательно, согласно определению  
Определителем
 a11 a12

A   a21 a22
a
 31 a32
третьего
порядка,
a11
a12
a21 a22
 a11a22  a12a21 .
соответствующим
a11 a12
a13 

a23  , называется число, обозначаемое a21 a22
a31 a32
a33 
матрице
a13
a23 или
a33
 и
определяемое равенством
a11
a12
a13
a21 a22
a23  a11a22a33  a12a23a31  a21a32a13  a13a22a31  a12a21a33  a11a23a32 .
a31 a32
a33
Для запоминания этого определения существует простое правило,
которое называется «правилом треугольников». Каждое слагаемое, стоящее в
правой части со знаком плюс, представляет собой произведение трех
элементов определителя, взятых, как показано на схеме 1. Каждое слагаемое,
5
стоящее со знаком минус, представляет собой произведение трех элементов
определителя, взятых, как показано на схеме 2.
a12
a13
a11
a12
a13
a21 a22
a23
a21 a22
a23
a31
a33
a31 a32
a33
a11
a32
Схема 1
Схема 2
Минором элемента a ij (i =1,2,3; j =1,2.3) определителя третьего порядка
называется определитель второго порядка, получающийся из данного
определителя третьего порядка вычеркиванием i-той строки j-того столбца,
на пересечении которых стоит элемент a ij . Минор элемента a ij обозначают
M ij .
Алгебраическим дополнением элемента a ij определителя третьего
порядка называется произведение минора M ij этого элемента на число
1i j , где i - номер строки, j - номер столбца, на пересечении которых стоит
элемент a ij . Алгебраическое дополнение элемента a ij обозначают Aij .
Таким образом,
Aij   1
i j
 M ij
Справедлива следующая теорема.
Определитель равен сумме произведений элементов какой-нибудь
строки (или столбца) на их алгебраические дополнения, т.е.
  a11  A11  a12  A12  a13  A13
  a21  A21  a22  A22  a23  A23

  a13  A13  a23  A23  a33  A33
Матрица A
1
называется обратной
6
матрицей по отношению к
 
матрице A  aij 3 , если выполняется условие: A  A1  A1  A  E , где
1 0 0


E   0 1 0  - единичная матрица.
0 0 1


Если определитель матрицы А отличен от нуля, то существует
1
единственная обратная матрица A , которая находится по формуле:
 A11
1 
A    A12
 
 A13
1
где ∆ - определитель матрицы
A31 

A32  ,
A33 
A21
A22
A23
А,   0 , Aij
- алгебраические дополнения
элементов матрицы А.
Задание 2. Найти матрицу, обратную к данной матрице А.
3 2 2


A  1 3 1 .
5 3 4


Решение.
1) Вычислим определитель матрицы А:
3 2 2
  1 3 1  3  3  4  5  2 1  2  3 1  5  3  2  1  2  4  3  3 1  5 .
5 3 4
  0 , следовательно, обратная матрица существует и единственна.
2) Находим алгебраические дополнения элементов определителя
матрицы А.
A11 
3 1
3 4
A12  
A13 
 9, A21  
1 1
5 4
1 3
5 3
 1, A22 
2 2
3 4
3 2
5 4
 12, A23  
 2, A31 
2 2
 2, A32  
3 2
3 2
5 3
7
 1, A33 
3 1
1 1
3 2
1 3
 4,
 1,
 7.
3)
Составим обратную матрицу:
 9  2  4

1
A   1
2  1 .
5
7 
  12 1
1
4) Проверим
1
правильность нахождения матрицы A , исходя
из
определения обратной матрицы.
 9  2  4 3 2 2
 5 0 0 1 0 0
 
 1 
 

1 
A  A   1
2  1    1 3 1     0 5 0    0 1 0   E.
5 
 5 3 4 5  0 0 5  0 0 1

12
1
7

 


 

1
1
Аналогично A  A  E . Следовательно, обратная матрица найдена верно.
3. Системы линейных алгебраических уравнений
Рассмотрим систему трех линейных алгебраических уравнений с тремя
неизвестными:
a11x1  a12 x2  a13 x3  b1

a21 x1  a22 x2  a23 x3  b2
a x  a x  a x  b
33 3
3
 31 1 32 2
Здесь
(1)
x1 , x2 , x3 - неизвестные, a11, a12 ,..., a33 , b1 , b2 , b3 - заданные числа.
a11
a12
a13
Определитель   a21 a22 a23 называют определителем системы (1).
a31
a32
a33
Система называется совместной, если она имеет хотя бы одно
решение.
Формулы Крамера
Если определитель системы (1) отличен от нуля, то система (1)
совместна и имеет единственное решение, которое находится по формулам:
x1 
1
,

x2 
8
2
,

x3 
3
,

где
a11
a12
  a21 a22
a31
b1
a12
a13
1  b2
a22
b3
a32
a23 ,
a33
a32
a11
a13
a23  0 ,
a33
b1
 2  a21 b2
a31 b3
a13
a11
a12
b1
a23 ,
a33
 3  a21 a22
b2
a31
b3
a32
(формулы Крамера).
Задание 3. Дана система:
 x1  x2  7 x3  6

2 x1  3 x2  3 x3  10
3 x  2 x  5 x  17
2
3
 1
(2)
Решить ее двумя способами:
1) по формулам Крамера
2) матричным способом
Решение
1. Вычислим определитель системы (2):
1 1
 2
3
3
2
7
3  5.
5
  0 , следовательно, система (2) совместна и имеет единственное решение.
Находим его, используя формулы Крамера:
6
1
1  10
3
17
2
x1 
7
 3  10 ,
5
1 10

 2,

5
1
6
1 1
7
 2  2 10  3  15 ,
3 17
x2 
5
 2 15

 3,

5
9
x3 
6
3  2
3
10  5 ,
3
2
17
3 5
 1.
 5
3.2 Матричный способ решения системы линейных
алгебраических уравнений
Систему (1) можно записать в матричном виде
A X  B ,
где
 a11 a12

A   a21 a22
a
 31 a32
a13 

a23  ,
a33 
 b1 
 
B   b2  .
b 
 3
 x1 
 
X   x2  ,
x 
 3
Если определитель матрицы А отличен от нуля, то система (1)
совместна
и
имеет
единственное решение,
определяемое
формулой
X  A1  B , где A1 - матрица, обратная к А.
Задание 4. Дана система:
 x1  x2  7 x3  6

2 x1  3 x2  3 x3  10
3 x  2 x  5 x  17
2
3
 1
(2)
3) Решить ее матричным способом
Решение
Перепишем систему (2) в виде A  X  B , где
1 1 7 
 x1 


 
A   2 3  3  , X   x2  ,
x 
3 2
5 
 3

6
 
B  10  .
17 
 
Решение системы ищем в виде X  A1  B , где A1 - матрица, обратная к
Найдем A1 (см. задание 2):
 21 19  18 

1 
A     19  16 17 .
5 
5 
 5 5
1
10
А.
Следовательно,
 21 19  18   6   2 
    
1 
X     19  16 17   10    3  ,
5 
5  17   1 
 5 5
т.е. x1  2 , x2  3 , x3  1 .
4. Метод Гаусса решения произвольных систем линейных
алгебраических уравнений
Рассмотрим
систему
линейных
m
алгебраических
уравнений
с
n
неизвестными:
a11 x1  a12 x2  ...  a1n xn  b1
a x  a x  ...  a x  b
 21 1
22 2
2n n
2

.
...................................
am1 x1  am 2 x2  ...  amn xn  bm
(3)
Матрица
 a11

__
a
A   21
.

a
 m1
a12
a22
.
am 2
... a1n b1 

... a2 n b2 
.
. . 

... amn bm 
(4)
называется расширенной матрицей системы (3).
 
Элементарными преобразованиями матрицы A  aij
m,n
называются
следующие действия:
1) перестановка строк (столбцов);
2) умножение строки (столбца) на число, отличное от нуля;
3) прибавление
к
элементам
строки
(столбца)
соответствующих
элементов другой строки (столбца), предварительно умноженных на
некоторое число.
С помощью элементарных преобразований любая матрица может быть
приведена к трапециевидному виду.
11
Метод Гаусса заключается в приведении расширенной матрицы
системы к трапециевидному виду с помощью элементарных преобразований,
выполняемых над строками матрицы. Таким образом, расширенная матрица
(4) может быть приведена к виду:
 a '11

 0
 .
~  0
A
 0
 .

 0
a '12 ... a '1r
a '22 ... a '2 r
.
0
0
. .
... a 'rr
... 0
.
.
.
0
... 0
... a '1n b'1 

... a '2 n b'2 
. 
. .
... a 'rn b'r  ,

... 0 b'r 1 

.
. .

... 0 b'm 
(5)
где r  min m, n .
Матрица (5) является расширенной матрицей системы
a '11 x1  a '12 x2  ...  a '1r xr  ...  a '1n xn  b'1

a '22 x2  ...  a '2 r xr  ...  a '2 n xn  b'2


...................................................

a 'rr xr  ...  a 'rn xn  b'r .


0  b'r 1

...........


0  b'm

(6)
Система (6) эквивалентна исходной системе (3).
Если хотя бы одно из чисел b'r 1 ,..., b'm отлично от нуля, то система (6),
а, следовательно, и исходная система (3) не совместна, то есть не имеет
решений.
Если же b'r 1  ...  b'm  0 , то система (6) совместна. Следовательно,
совместна и исходная система (3).
Задание 4. Найти решение системы методом Гаусса:
 x1  2 x2  4 x3  3x4  2

 3x1  5 x2  6 x3  4 x4  0 .
4 x  5 x  2 x  3x  10
2
3
4
 1
Решение.
12
(7)
Расширенная матрица системы (7) имеет вид:
1 2 4  3 2 


A  3 5 6  4 0 
 4 5  2 3  10 


__
Приведем эту матрицу к трапециевидному виду с
помощью
элементарных преобразований. Для этого умножим элементы первой строки
__
матрицы A на (-3) и сложим с соответствующими элементами второй строки.
__
Затем умножим элементы первой строки матрицы A на (-4) и сложим с
соответствующими элементами третьей строки. В результате получим:
1 2
4 3 2 


A1   0  1  6 5  6  .
 0  3  18 15  18 


Теперь умножим элементы второй строки матрицы A1 на (-3) и сложим с
соответствующими элементами третьей строки. Получим:
1 2 4  3 2 

~ 
A  0 1  6 5  6 .
0 0
0 0 0 

(8)
~
Матрица A является расширенной матрицей системы
 x1  2 x2  4 x3  3x4  2
.

  x2  6 x3  5 x4  6
(9)
Система (9) эквивалентна исходной системе (7). Система (9) содержит два
уравнения с 4-мя неизвестными, следовательно, две неизвестные могут быть
выбраны произвольно. Придавая неизвестным x3 и x4 произвольные значения
x3   , x4   , получаем решение системы (7) в виде
 x1  10  8  7  ,
 x  6  6  5 ,
 2

x3   ,


x4   ,
где α, β - любые числа.
13
Глава 2. Аналитическая геометрия в пространстве и на плоскости
Теоретические вопросы
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Векторы и линейные действия над ними.
Скалярное и векторное произведения двух векторов и их свойства.
Смешанное произведение трех векторов и его свойства.
Геометрический смысл скалярного, векторного произведения двух
векторов и смешанного произведения трех векторов .
Прямая в пространстве.
Прямая на плоскости.
Линии второго порядка.
Полярные координаты.
1. Аналитическая геометрия в пространстве
Любой вектор a
в декартовой системе координат может быть
представлен в виде
a  ax   a y  j  az  k ,
где a x , a y , a z  координаты вектора a , i , j, k  орты координатных осей.
Вектор a  AB с началом в точке
Ax1 , y1 , z1  и концом в точке
В( x2 , y2 , z 2 ) имеет вид:
АВ  ( x 2  x1 )  i  ( y 2  y1 )  j  ( z 2  z1 )  k ,
то есть a x  x 2  x1 , a y  y 2  y1 , a z  z 2  z1 .
Длина отрезка
АВ
называется
длиной (модулем)
вектора,
обозначается a = АВ и вычисляется по формуле
a  ax2  a y2  az2 .
Сумма векторов
a  axi  a y j  az k
и b  bxi  by j  bz k определяется
формулой
a  b  ax  bx i  a y  by  j  az  bz k .
Произведение вектора
a  ax i  a y j  az k
формулой
14
на число  определяется
  a    ax i    a y  j    az k .
Скалярным произведением векторов a и b называется число, равное
произведению длин этих векторов на косинус угла между ними, т.е.
a  b  a  b  cosa  b  .
Скалярное произведение векторов a  axi  a y j  az k и
b  bxi  by j  bz k
вычисляется по формуле:
a  b  axbx  a y by  az bz .
Векторным произведением векторов a и
b
называется вектор,
обозначаемый a  b и удовлетворяющий следующим условиям:
1) длина вектора a  b равна площади параллелограмма, построенного на
векторах a и b , т.е. a  b  a  b  sin a  b  ;
2) вектор a  b перпендикулярен векторам a и b ;
3) векторы a , b , a  b образуют правую тройку, то есть они ориентированы
по отношению друг к другу соответственно как орты i , j, k .
Модуль векторного произведения векторов a и b численно равен
площади параллелограмма, построенного на этих векторах:
a  b  Sa ,b
Векторное произведение векторов a  axi  a y j  az k и b  bxi  by j  bz k
вычисляется по формуле:
i
j
a  b  ax
ay
bx
by
k
az .
bz
Смешанным произведением векторов a , b , c
называется скалярное
произведение вектора a  b на вектор c , то есть a  b  c .
Модуль смешанного произведения векторов a , b , c численно равен
объему параллелепипеда, построенного на этих векторах:
(a  b)  c  Va ,b,c
Пусть a  a x i  a y j  a z k , b  bx i  by j  bz k , c  cx i  c y j  cz k . Тогда
15
ax
ay
az
x
by
bz .
cx
cy
cz
a  b  c  b
Уравнение любой плоскости может быть записано в виде:
Ax  By  Cz  D  0, где A2  B 2  C 2  0 .
Вектор
N  Ai  Bj  Ck ,
перпендикулярный плоскости, называется
нормальным вектором плоскости.
Уравнение
плоскости, проходящей через точку
M 0 x0 , y0 , z0 
и
перпендикулярной вектору N  Ai  Bj  Ck , имеет вид
Ax  x0   B y  y0   C z  z0   0.
Угол между плоскостями A1 x  B1 y  C1 z  D1  0 и A2 x  B2 y  C2 z  D2  0
определяется следующим образом:
сos 
A1 A2  B1 B2  C1C2
A  B12  C12  A22  B22  C22
2
1
.
M 0 x0 , y0 , z0  до плоскости, определяемой
Расстояние от точки
уравнением Ax  By  Cz  D  0 , находится по формуле
d
Прямая в пространстве
Ax0  By 0  Cz0  D
A2  B 2  C 2
может
быть
.
задана уравнениями двух
плоскостей
 A1 x  B1 y  C1 z  D1  0
,

 A2 x  B2 y  C2 z  D2  0
пересекающихся по этой прямой, или каноническими уравнениями прямой
x  x0 y  y0 z  z0
,


m
n
p
которые определяют прямую, проходящую через точку M 0 x0 , y0 , z0  и
параллельную
вектору
l  mi  n j  p k .
Вектор
l
называется
направляющим вектором прямой.
Уравнения прямой, проходящей через две точки M1 x1, y1 , z1 
M 2 x2 , y2 , z2  , имеют вид:
16
и
x  x1
y  y1
z  z1


.
x2  x1 y2  y1 z 2  z1
Угол между двумя прямыми
x  x1 y  y1 z  z1


m1
n1
p1
и
x  x2 y  y 2 z  z 2


определяется следующим образом:
m2
n2
p2
сos 
Угол
между
m1 m2  n1n2  p1 p2
m12  n12  p12  m22  n22  p22
прямой
.
x  x0 y  y0 z  z0


m
n
p
и
плоскостью
Ax  By  Cz  D  0 определяется следующим образом:
sin  
Am  Bn  Cp
A2  B 2  C 2  m 2  n 2  p 2
.
Если точка M x, y, z  делит отрезок АВ, где Ax1 , y1 , z1  , Bx2 , y2 , z2  , в
отношении   AM : MB , то координаты точки М определяются по формулам:
x
Задание
1.
x1  x2
y  y 2
z  z 2
,y 1
,z  1
1 
1 
1 
Даны
координаты
вершин
  1 .
пирамиды
A1 A2 A3 A4 :
A1 3,5,3 , A2  2,11,5, A3 1,1,4, A4 0,6,4 . Найти: 1) длину ребра A1 A2 ; 2) угол
между ребрами A1 A2 и A1 A4 ; 3) угол между ребром A1 A4 и гранью A1 A2 A3 ; 4)
площадь грани
A1 A2 A3 ; 5) объем пирамиды; 6) уравнения прямой A1 A2 ; 7)
уравнение плоскости A1 A2 A3 ; 8) уравнение высоты, опущенной из вершины
A4 на грань A1 A2 A3 . Сделать чертеж.
Решение. 1) Для определения длины ребра A1 A2 найдем координаты
вектора A1 A2 : A1 A2  5  i  6  j  8  k   5,6,8 . Тогда длина ребра A1 A2 будет
равна длине вектора A1 A2 :
А1 А2 
 52  6 2   82
 125  5 5 .
2) Найдем угол между ребрами A1 A2 и A1 A4 . Для этого, как и раньше,
17
найдем координаты вектора A1 A4 , определяющего ребро A1 A4 . Получим
A1 A4   3,1,1 и A1 A4 
Тогда угол
 32  12  12
 11 .
между ребрами
и
A1 A2
можно найти из
A1 A4
определения скалярного произведения двух векторов:
_____
____
____
cos   cos( A1 A2  A1 A4 ) 
Следовательно,   arccos
_____
A1 A2  A1 A4
A1 A2  A1 A4

 5   3  6 1   8 1 
5 5  11
13
.
5 55
13
.
5 55
3) Чтобы найти угол между ребром A1 A4 и гранью A1 A2 A3 , определим
нормальный вектор
__
N плоскости
A1 A2 A3 .
Из определения векторного
произведения двух векторов имеем:
___
____
____
__
__
__
__
__
__
i
j
k
i
j
k
N  A1 A2  A1 A3  x2  x1
y2  y1
z 2  z1   5
x3  x1
y3  y1
z3  z1
___
N   42,21,42
т.е.
и
N 
__
__
__
 8  42 i  21 j  42 k ,
6
2 6
1
 422  212  422
 63 .
Тогда
189
3
3
 ___ ____   3   42  1  21  1  42
cos  cos N  A1 A4  


,   arccos
.
11  63
11  63
11
11


__
Так как нормальный вектор N перпендикулярен плоскости A1 A2 A3 , то
угол
между
A1 A4  A1 A2 A3 
4)
S
ребром

2
A1 A4
и
гранью
A1 A2 A3
определяется
как
 .
Площадь
грани
A1 A2 A3
можем
найти
по
формуле
1
1
63
63
 A1 A2  A1 A3   N 
. Следовательно, S  кв. ед.
2
2
2
2
5) Объем пирамиды, построенной на векторах, равен 1/6 объема
параллелепипеда, построенного на этих же векторах. Для определения
объема
параллелепипеда
воспользуемся
произведения векторов. В результате имеем:
18
свойством
смешанного
Vпир.
1
1
 Vпар. 
6
6
x2  x1
1
 ____ ____  ____
 A1 A2  A1 A3   A1 A4  | x3  x1
6


x4  x1
y2  y1
z 2  z1
5 6 8
1
z3  z1 | |  2  6 1 |
6
z 4  z1
3 1
1
y3  y1
y4  y1
1
189 63
30  18  16  144  12  5 

6
6
2
63
Таким образом, V 
куб.ед.
2

6) Составим уравнения прямой
A1 A2 . Для
этого воспользуемся
уравнениями прямой, проходящей через две заданные точки A1 и A2 :
x  x1
y  y1
z  z1


.
x2  x1 y2  y1 z 2  z1
Получаем:
x3 y 5 z 3


.
5
6
8
7)
Уравнение
плоскости
формуле: Ax  x1   B y  y1   Cz  z1   0 ,
Следовательно,
уравнение
можно
A1 A2 A3
найти
___
A1 x1 , y1 , z1  .
N  A, B, C  ,
где
плоскости
A1 A2 A3
по
имеет
вид:
 42  x  3  21  y  5  42z  3  0 или после упрощения 2 x  y  2 z  5  0 .
8) Чтобы составить уравнение высоты h A , опущенной из вершины A4
4
на грань A1 A2 A3 , воспользуемся формулой:
x  x4 y  y 4 z  z 4
,


m
n
p
где
A4 x4 , y4 , z4 ,
__
l m, n, p  - направляющий вектор высоты
h A4 пирамиды
__
A1 A2 A3 A4 . Так как вектор l перпендикулярен грани A1 A2 A3 , то в качестве
__
___
l можно взять вектор N - нормальный вектор плоскости A1 A2 A3 .
Следовательно, имеем:
x0 y6 z4
x y6 z 4



или 
.
 42
21
42
2
1
2
9) Сделаем теперь чертеж:
19
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Вопросы для самоконтроля
Сформулировать линейные и нелинейные действия над векторами.
Сформулировать свойства скалярного произведения векторов.
Сформулировать свойства векторного произведения векторов.
Сформулировать свойства смешанного произведения векторов.
Какие вектора называются коллинеарными?
Какие вектора называются компланаарными?
Коллинеарны ли векторы а (1,-1,1) и b (-2,-2,-2) ?
Компланарны ли векторы а (2,-3,0) , b (0,-1,0) и c (2,4,0)?
2. Аналитическая геометрия на плоскости
Общее уравнение прямой на плоскости имеет вид
Ax  By  C  0 , где A2  B 2  0 .
Вектор
___
__
__
N  AiB j,
перпендикулярный
прямой,
называется
нормальным вектором прямой на плоскости.
A
B
Уравнение вида y  kx  b , где k   , b  
C
,
B
В  0 , называется
уравнением прямой с угловым коэффициентом.
Уравнение прямой, проходящей через данную точку M 0 x0 , y0  с
заданным угловым коэффициентом, имеет вид:
y  y0  k  x  x0  .
Угол между прямыми y  k1 x  b1 , y  k2 x  b2 определяется следующим
образом:
20
tg 
k 2  k1
.
1  k1k 2
Задание 2. Даны уравнения двух высот треугольника x  3 y  29  0 и
13x  3 y  13  0 , и одна из вершин
A 2,3 . Составить уравнения сторон
треугольника. Сделать чертеж.
Решение. По условию задачи нам известны: A 2,3 , CD: x  3 y  29  0 и
BE: 13x  3 y  49  0 . Определим уравнение стороны AB. Высота CD
перпендикулярна стороне AB, а потому их угловые коэффициенты kCD и k AB
удовлетворяют условию: kCD  
1
. Из уравнения прямой CD следует, что
k AB
1
kCD   . Тогда k AB  3 .
3
Напишем уравнение прямой, проходящей через данную точку с
заданным угловым коэффициентом:
у  у0  k x  x0  .
Подставив в это уравнение координаты точки А и угловой
коэффициент k AB ,получим уравнение стороны АВ:
у  3  3x  2
или
3x  y  9  0 .
Аналогично можно получить и уравнение стороны АС. Действительно,
в силу перпендикулярности ВЕ и АС имеем:
высоты ВЕ следует, что k BE  
k BE k AC  1 . Из уравнения
13
3
. Тогда k AC  . Следовательно, подставив
3
13
в уравнение прямой, проходящей через данную точку с заданным угловым
коэффициентом, координаты точки А и угловой коэффициент k AC , получим
уравнение стороны АС:
y 3
3
x  2
13
или
3x  13 y  45  0 .
21
Теперь составим уравнение стороны ВС. Для этого определим
координаты вершин В и С треугольника АВС. Координаты точки В можно
определить из условия пересечения прямых АВ и ВЕ:
 3x  y  9  0
.

13x  3 y  49  0
Решение полученной системы и есть координаты вершины B , а именно
B1,12 .
Таким же образом определяем координаты точки С:
 x  3 y  29  0

3x  13 y  45  0
и тогда С 11,6.
Уравнение прямой, проходящей через точки В и С, имеет вид :
x  x1
y  y1

,
x2  x1 y2  y1
где B x1 , y1  , C x2 , y2  .
Подставив координаты точек В и С в данное уравнение, получим
x  1 y  12

11  1 6  12
уравнение стороны ВС:
или
3x  5 y  63  0 .
Сделаем теперь чертеж:
Вопросы для самоконтроля
22
Записать уравнение прямой, проходящей через заданную точку с угловым
коэффициентом.
Записать уравнение прямой, проходящей через две заданные точки.
 x  5t  2

y  t  4
Найти угол между прямыми 
 z  t ;
x  y  2z  4  0

2 x  y  4 z  1  0.
2 x  2 y  z  3  0
 x  4 y  3z  2  0.
Найти какую –либо точку прямой 
3. Линии второго порядка
К линиям второго порядка относят окружность, эллипс, гиперболу и
параболу.
Каноническое уравнение окружности имеет вид
(x-a)2+(y-b)2=R2
или x 2  y 2  R 2
где R- радиус окружности.
23
(1)
Каноническое уравнение эллипса имеет вид
24
x2 y 2

 1,
a2 b2
(2)
Каноническое уравнение гиперболы имеет вид
x2 y 2

 1,
a2 b2
и а  0, b  0
Прямые (диагонали прямоугольника в центре), уравнения которых
b
y x
a ,
являются асимптотами гиперболы.
25
Гиперболу, каноническое уравнение которой

x2 y2

 1, называют
a2 b2
сопряженной, график ее имеет следующий вид:
y
b
a
x
заданной
прямой,
называемой
директрисой.
Каноническое уравнение параболы имеет вид
а) y 2  2 px , где p > 0 ( парабола симметрична относительно оси Ox );
б) x 2  2 py (парабола симметрична относительно оси Oy ).
26
p
2
Пусть М(х,у) - текущая точка кривой, F ( ;0) - заданная точка, фокус;
уравнение заданной прямой (директрисы)
xp
2
d- расстояние от точки М до директрисы, оно равно
2
p
p

d   x    ( y  y ) 2 | x  |
2
2

2
p
p
По условию r | MF | или x    x    y 2 .
2
2

2
2
p
p
Выполним преобразования:  x     x    y 2 ;
2
2


x 2  xp 
p2
p2
 x 2  xp 
 y2 ,
4
2
окончательно каноническое уравнение параболы:
y2=2xp
y
O
x
Число Р называется параметром параболы; точка O(0;0) -вершина
параболы;
ось ОХ - ось симметрии параболы;
прямая x   p 2 - директриса параболы, проходит на расстоянии p 2 от
вершины параболы.
Задание
3. Составить уравнение линии, каждая точка которой
одинаково удалена от точки A0 4,3  и прямой y  1 . Сделать чертеж.
Решение Пусть М (x, y) – любая точка искомой линии, N - основание
перпендикуляра, опущенного из точки M на прямую y  1 . Тогда точка N
имеет координаты N  x, 1  . Расстояние от точки М до прямой
27
y  1 есть
расстояние между точками М и N:
d1 
x  x 
2
  y  1 
2
y  1
2
 y 1 .
Теперь определим расстояние между точками М и A0 :
d2 
По условию задачи
x  x   y  y 
2
x  4  y  3

2
0
0
2
2
.
d1  d2 . Следовательно, для любой точки M x, y 
справедливо равенство:
x  4  y  3
2
2

y  1
2
или
x  4  y  3
2
2
 y 2  2 y  1.
Окончательно,
y

1
2
x  4  2 .
4
Полученное уравнение является уравнением параболы с вершиной в
точке O4, 2 . Действительно, сделаем замену
x   x  4, y   y  2 .
Тогда уравнение примет вид:
y 
(каноническое уравнение параболы ).
28

1
x
4
2
4. Полярная система координат
Говорят, что на плоскости введена полярная система координат, если
заданы:
1) некоторая точка 0, называемая полюсом;
2) некоторый луч, исходящий из точки 0 и называемый полярной осью.
Полярными координатами точки M называются два числа: полярный
_____
радиус  | OM | 0 и полярный угол  - угол между
полярной осью и
_____
вектором OM .
Пусть на плоскости введены декартова и полярная системы координат,
причем начало декартовой системы совпадает с полюсом, а полярная ось - с
положительной полуосью абсцисс. Тогда прямоугольные координаты x, y
точки М и ее полярные координаты ρ, φ связаны следующими формулами:
x   cos  , y   sin 
  x 2  y 2 , tg 
y
x
Задание 4. Линия задана уравнением      
1
в полярной
31  cos  
системе координат. Требуется:
1. Построить линию по точкам, придавая φ значения от   0 до   2
через промежуток

.
8
2. Найти уравнение данной линии в декартовой прямоугольной системе
координат, у которой начало совпадает с полюсом, а положительная
полуось абсцисс – с полярной осью.
3. По уравнению в декартовой прямоугольной системе координат
определить тип линии.
Решение.
1) Совместим декартову и полярную системы координат и рассмотрим
окружность произвольного, достаточно большого радиуса r с центром в
полюсе. Построим радиусы, образующие углы  с полярной осью, где 
29
принимает значения от   0 до   2 с шагом

. Вычислим косинусы этих
8
углов и по этим значениям найдем      . Результаты вычислений занесем
в таблицу:

0
cos  1


8
0,92
0,16 0,17

3


8
2
5

8
0,7
0,38
0
-0,38 -0,7
-0,92 -1
0,19
0,24
0,33
0,53
4,16
4
3
7



4
8
1,11
∞
15
9
5
11 3
13 7



 
 
8
4
8
4
8
8
2
2
-0,92 -0,7
-0,38 0
0,38
0,7
0,92
1
4,16
0,53
0,24
0,19
0,17
0,16
1,11
0,33
Построим точки (  ,  ) и по полученным точкам построим искомую
линию:
2) Найдем уравнение данной линии в декартовой системе координат.
Для этого воспользуемся формулами:
 x    cos 
.

 y    sin 
Отсюда   x 2  y 2 , cos  
x
x2  y2
Тогда имеем:
30
.
1
x2  y2 
или после упрощения

31 




2
2 
x y 
x

3 x 2  y 2  x  1.
3) Чтобы определить тип линии, определяемой полученным уравнением,
преобразуем его к каноническому виду:
x2  y 2 
1
x
3
или
2
1
x  y    x .
3
2
2
Окончательно получим:
 y '
1
6
2

2
x',
3
где y  y , x   x . Таким образом, данное уравнение определяет параболу.
31
Глава 3. Введение в анализ. Дифференциальное исчисление
функции одной переменной.
Теоретические вопросы
1. Понятие функции одной переменной.
2. Предел функции.
3. Непрерывность функции.
4. Бесконечно малые функции и их свойства.
5. Бесконечно большие функции и их свойства.
6. Односторонние пределы.
7. Производная функции.
8. Таблица производных.
9. Правила дифференцирования.
10.Производная сложной функции.
11.Производные высших порядков. Правило Лопиталя.
12.Исследование функций с помощью производных.
-
32
33
34
35
2. Понятие функции
Определение 1. Пусть Х и Y – некоторые числовые множества и пусть
каждому элементу x  X по какому-либо закону f поставлен в соответствие
один элемент y  Y. В этом случае говорят, что определена функциональная
зависимость у от х по закону у = f (х). При этом х называют независимой
переменной (или аргументом), у – зависимой переменной, множество Х –
областью определения (существования) функции, множество Y – областью
значений (изменения) функции. Способы задания функций
Существует три основных способа задания функций: табличный,
аналитический и графический.
Аналитический способ (связь между аргументом и функцией в виде
формулы).
Пример 1. y=x3. Эта функция задана на бесконечной прямой
   x   . Множество значений этой функции тоже бесконечная числовая
прямая    y   . Функция называется кубической параболой (рис. 3.1).
Пример 2. y  1  x 2 . Функция задана на отрезке  1,1, множество её
значений – отрезок 0,1 . Это половина окружности, лежащая в верхней
полуплоскости (рис. 3.2).
 1, если x  0;

Пример 3. y  signx  0, если x  0;
 1, если x  0.

Функция задана на всём бесконечном промежутке  , , а область её
36
значений состоит из трёх чисел: -1, 0, 1 (рис. 3.3)
2
2
f ( x)
f ( x)
2
1
1
1.5
2
0
1
2
2
f ( x)
1
2
1
0
0.5
2
1
1
1
0
1
2
2
x
x
x
Рис.3.2
Рис. 3.1
Рис. 3.3
Область определения функции
1. В том случае, когда функция задана в аналитическом виде
y  f (x)
(3.1)
и никаких ограничений или оговорок более не имеется, область её
определения устанавливается исходя из правил выполнения математических
операций, входящих в формулу f в (3.1).
Пример 1. y  log 2 ( x 2  5x  6).
Область определения этой функции находится из условия x 2  5 x  6  0.
Поскольку х = 2 и х = 3 – корни квадратного трёхчлена, стоящего под знаком
логарифма, то это условие выполняется на двух полубесконечных
интервалах:
(-∞, 2) и (3, ∞).
Пример 2. y  arcsin
1
.
x2
Область определения этой функции находится из совокупности двух
условий: аргумент под знаком arcsin не может быть по модулю больше
единицы и знаменатель аргумента не должен равняться нулю, т. е.
1 
1
 1, x  2.
x2
Двойное неравенство эквивалентно двум более простым неравенствам:
x  2  1 и x  2  1 . Отсюда получаем, что область определения функции
37
2
состоит из двух полубесконечных промежутков:(-∞, -3] и [-1, ∞). Запретная
точка х = -2 сюда не попадает. В отличие от предыдущего примера концы
полуинтервалов входят в область определения функции.
2. Область определения функции задана вместе с функцией f (x) .
Пример 3. y  3x 4 / 3  2, 1  x  4.
1. Функция
имеет
реальный
прикладной
характер,
и
область
её
существования определяется также и реальными значениями входящих
параметров.
Определение 2. Функция y  f (x) называется чётной (симметрия
относительно оси Оу), если для любых значений аргумента из области её
определения выполнено равенство f ( x)  f ( x) .
Определение 3. Функция y  f (x) называется нечётной (симметрия
относительно начала координат О), если выполнено условие: f ( x)   f ( x) .
Определение 4.
38
3. Предел функции
Пусть функция
y  f x определена на множестве
D . Число
А
называется пределом функции f x  при x  x0 , если   0       0 , что
f x  A   при x : 0  x  x0   .
Это записывают так:
lim f x   A .
xx0
Если x  x0 и x  x0 , то используют запись x  x0  0 ; если x  x0 и
x  x0 , то x  x0  0 .
Числа
f x0  0  lim f x 
xx0 0
f x0  0  lim f x 
и
xx0 0
называются
соответственно левосторонним и правосторонним пределами функции f x 
в точке x0 .
Если существуют пределы lim f x  и lim g x  , то:
xx0
x x0
1) lim   f x    g x   lim f x   lim g x , где  ,   const ;
x x0
x x0
x x0
2) lim  f x  g x  lim f x  lim g x ;
x  x0
3)
x  x0
f x 
 f  x   xlim
 x0
lim 

x  x0 g  x  
g x 

 xlim
x
x x0
 lim g x   0  .
 xx0

0
При решении задач полезно знать следующие “замечательные”
пределы:
1) lim
x0
sin x
 1;
x
5) lim
x0
2) lim 1  x x  e ; 3) lim
x0
1
x0
log a 1  x 
ax 1
 log a e;
 ln a ; 4) lim
x 0
x
x
1  x   1  .
x
Нарушение ограничений, накладываемых на функции при вычислении
их пределов, приводит к неопределенностям вида
 0 
, , 1 ,    , и т.д.
 0
Существуют различные приемы раскрытия данных неопределенностей:
39
деление числителя и знаменателя на старшую степень переменной (при
сокращение
x   );
на
множитель,
создающий
неопределенность;
применение “замечательных” пределов и т.п.
Задание 1. Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя.
4 x 2  3x  1
x 2 x 2  x  5
1) lim
Решение. При x   получаем неопределенность вида

. Чтобы найти

предел данной дробно - рациональной функции, необходимо предварительно
разделить числитель и знаменатель дроби на x 2 , т.к. степень x 2 - наивысшая
степень многочленов, определяющих данную рациональную функцию.
Применяя основные теоремы о пределах и свойства бесконечно малых
величин, получаем:
3
4 
4 x 2  3x  1
x
lim
 lim
x 2 x 2  x  5
x
1
2 
x
2) lim`
x 1
1
x2  2
5
x2
2x  1  1
x 1
Решение.
Непосредственная подстановка
предельного значения
аргумента x  1 приводит к неопределенности вида
0
. Чтобы раскрыть эту
0
неопределенность, умножим числитель и знаменатель дроби на сумму
2x  1  1:
lim
x1
2x  1  1
 lim
x1
x 1
3) lim
x 0



2x  1  1 2x  1  1
2x  1
2
 lim
 lim
1
x

1
x

1
x  1 2 x  1  1
x  1 2 x  1  1
2x  1  1




1  cos 5 x
x2
Решение Здесь имеет место неопределенность вида
0
. Вычисление
0
данного предела основано на применении первого “ замечательного” предела
40
( lim
x0
sin x
 1 ).Имеем:
x
2
 5x 
 5x 
5x 

2 sin 2  
sin 2  
 sin

1  cos 5 x
 2   25 lim
 2   25 lim 
2   25
lim

lim
x0
x0
x2
x2
2 x0  5 x  2
2 x0  5 x 
2


 
 2 
 2
x8

 x 2

4) lim

x
x
Решение.
При x   данная функция представляет собой степень,
основание которой стремится к 1, а показатель – к  (неопределенность вида
1 ). Преобразуем функцию так, чтобы использовать второй “замечательный”
x
 1
предел ( lim
1    e ). Получим:
x
x


10 
10 
 x8


lim 
 lim 1 
 lim 1 



x x  2
x
x 
x2
x2





x
x
x 2
10




10 x
x 2
.
x 2
10
 0 при x  
Так как
x2
10  10

lim 1 
 e.
x
 x 2
,то
Учитывая,
что
10 x
 x8
10
lim
 10 , находим lim 
 e .
x x  2
x x  2


x
4. Непрерывность функции
Функция f x  называется непрерывной в точке x0 , если:
1) эта функция определена в некоторой окрестности точки x0
2)  lim f x
xx0
3) lim f x  f x0 .
xx0
Теорема. Для того чтобы функция f x  была непрерывна в точке x0 ,
необходимо
и
достаточно,
чтобы
выполнялись
равенства:
f x0   f x0  0  f x0  0 .
Точка x0 называется точкой разрыва непрерывности функции, если в
этой точке функция не является непрерывной, т.е. если в этой точке
41
нарушается хотя бы одно из условий определения непрерывности функции.
Если существуют конечные односторонние пределы f x0  0, f x0  0 ,
причем не все три числа f x0 , f x0  0, f x0  0 равны между собой, то x0
называется точкой разрыва первого рода. В частности, если:
1) f x0  0  f x0  0 , то x0 называется устранимой точкой разрыва;
2) f x0  0  f x0  0 , то x0 называется точкой разрыва типа скачка,
причем разность f x0  0  f x0  0 называется скачком функции f x  в точке
x0 .
Точки разрыва функции, не являющиеся точками разрыва первого рода,
называются точками разрыва второго рода.
Справедливо следующее утверждение.
 9, x  3,

y  f x    x 2 ,  3  x  3,
 2 x  1, x  3.

Задание 2. Задана функция
Исследовать функцию на непрерывность. Сделать чертеж.
Решение
Функция
y  f x 
задана
различными
непрерывными
аналитическими выражениями для различных областей изменения аргумента
x . Следовательно, точками разрыва данной функции могут быть только те
точки, в которых меняются аналитические выражения функции, т.е. точки
x  3 и x  3 . Определим значения функции и ее односторонние пределы в
этих точках:
1)
x  3 :
f  3   3  9;
2
Так как
lim f  x   lim 9  9;
x30
x30
lim f ( x)  lim x 2  9 .
x30
x30
f  3  f  3  0  f  3  0 , то в точке x  3 функция
f x 
непрерывна.
2)
x  3:
f 3  32  9; lim f x   lim x 2  9;
x30
Так как
x30
lim f x   lim 2 x  1  7.
x30
x30
f 3  0  f 3  0 , то точка
42
x  3 является точкой разрыва
непрерывности функции f x  первого рода типа скачка.
Скачок функции в точке разрыва равен: f 3  0  f 3  0 =2. График
функции y  f x представлен на рисунке:
5. Дифференцирование функций
Производной y 
отношения
dy
функции y  f x в точке x называется предел
dx
приращения функции y
к приращению аргумента x , при
условии, что x стремится к нулю.
То есть:
y
.
x0 x
y  lim
Основные правила нахождения производной
Если с,  ,  - const и  x, x - дифференцируемые функции в точке x ,
(т.е. функции, имеющие производные в точке x ), то:
1) с   0 ;
2)    x     x      x      x  ;
3)  x   x    x   x    x    x 



  x    x   x    x    x 
4) 
.
 
 2 x 
  x  
43
Таблица производных основных функций

1. x n   nx n1
8. arctgx 
2. sin x   cos x
9. arcctgx  
3. cos x    sin x
10. a x   a x ln a
4. tgx 
11. e x   e x
12. log a x  
1
1  x2
7. arccos x   
a  0, a  1

1
sin 2 x
6. arcsin x  
1
1  x2

1
cos 2 x
5. ctgx  
1
1  x2
1
1  x2
 x  1
13. ln x  
1
x ln a
1
x
x  0, a  0, a  1
 x  0
 x  1
Правило дифференцирования сложной функции. Если y  f u  и u   x ,
т.е. y  f  x , где y и u имеют производные, то

 
y x  yu  u x .
Дифференцирование
зависимость переменной
функции, заданной
y
от переменной
параметрически. Пусть
x задана параметрически
посредством параметра t :
 x  xt 
,

 y  y t 
Тогда

 y
yx  t .

xt
Задание 3. Найти производные данных функций.
1
2
1) y  3 sin x  x 2
Решение. Применяя правило 2 нахождения производных и формулы 1
и 2 таблицы производных, получаем:
44


1 2
1

 1
y   3 sin x  x   3sin x   x 2  3 cos x  2 x   3 cos x  x.
2 
2
2

 
2) y 
ln x
x
Решение.
Применяя правило 4 нахождения производных и формулы
1 и 13 таблицы производных, получаем:


 ln x   ln x  x  ln x
y  
2
 
 x
x
 

 x
1
1
 x  ln x 
x
2 x  2  ln x .

3
x
2x 2
3) y  e x ctgx.
Решение.
Применяя правило 3 нахождения производных и формулы
5 и 11 таблицы производных, получаем:


1 
1 


x
y  e x ctgx  e x ctgx  e x ctgx  e x ctgx  e x  
  e  ctgx 
.
2
sin 2 x 
 sin x 


  
4) y  sin 4 x
Решение. Полагая y  sin u , где u  4 x , согласно формуле нахождения
производной сложной функции, получим:



yx  sin u u 4 xx  cos u  4  4 cos 4 x.
 x  2 cos t
 y  2 sin t
5) 
Решение.
согласно
Имеем:
формуле




xt  2 c ot ts  2 s it;n yt 2 s it nt  2 c ot. s Тогда,
нахождения
производной
параметрически, получаем:
cos t
 2 cos t
yx 

 ctgt.
 2 sin t
sin t
45
функции,
заданной
6.
Производные высших порядков. Правило Лопиталя.
Производной
второго
порядка
производная от ее производной, т.е.
функции
n-
го
порядка
называется
 y  . Для второй производной
используются следующие обозначения: y  или
Производной
y  f x 
от
d2y
, или f x .
dx 2
функции
y  f x 
называется
производная от ее производной n  1 -го порядка. Для производной n -го
порядка используются следующие обозначения: y n  или
Правило Лопиталя. Пусть функции
dny
, или f n  x  .
n
dx
f x  и  x  дифференцируемы в
окрестности точки x0 , причем производная  x не обращается в нуль. Если
функции f x  и  x являются одновременно либо бесконечно малыми, либо
бесконечно большими при x  x0 , и при этом существует предел отношения
f  x 
f x 
при x  x0 , то существует также и предел отношения
при x  x0 .
 x 
 x 
Причем
f x 
f x 
.
 lim
x x 0   x 
x x0   x 
lim
Правило применимо и в случае, когда x0   .
Заметим, что в некоторых случаях раскрытие неопределенностей вида
0

или может потребовать неоднократного применения правила Лопиталя.
0

Неопределенности вида 0  ,   ,1 и т.д. с помощью элементарных
преобразований легко сводятся к неопределенностям вида
Задание 4.
Решение
0

или .
0

ln 2 x
Найти предел lim
, пользуясь правилом Лопиталя.
x
x
Здесь мы имеем неопределенность вида
при x   . Применим правило Лопиталя:
46

, т.к. ln 2 x  

1

2 ln x 
ln 2 x
ln 2 x
x  2 lim ln x .
lim
 lim
 lim
x
x
x x
x
x  x 1

После
применения
неопределенность вида



правила
, т.к.
Лопиталя
ln x   при
мы
снова
получили
x   . Применяя снова
правило Лопиталя повторно, получим:
1
ln x   2 lim x  2 lim 1  0 .
ln x
2 lim
 2 lim
x x
x
x 1
x x
x 

7. Исследование функций
а) Возрастание и убывание функций
Функция y  f x называется возрастающей на отрезке a, b, если для
любых точек x1 и x2 из отрезка a, b, где x1  x2 , имеет место неравенство
f x1   f x2  . Если функция y  f x непрерывна на отрезке a, b и f x  0 при
a  x  b , то f x  возрастает на отрезке a, b.
Функция y  f x называется убывающей
на отрезке
a, b,если для
любых точек x1 и x2 из отрезка a, b, где x1  x2 , имеет место неравенство
f ( x1 )  f ( x2 ) . Если функция y  f x непрерывна на отрезке a, b и f x   0
при a  x  b , то f x  убывает на отрезке a, b.
Если функция y  f x является только возрастающей или только
убывающей на данном интервале, то она называется монотонной
на
интервале.
b) Экстремумы функций
Если существует  -окрестность точки x0 0  x  x0    такая, что для
всех точек x из этой окрестности имеет место неравенство f x   f x0  , то
точка x0 называется точкой минимума функции y  f x .
Если существует  -окрестность точки x0 0  x  x0    такая, что для
47
всех точек x из этой окрестности имеет место неравенство f x   f x0  , то
точка x0 называется точкой максимума функции y  f x .
Точки максимума и минимума функции называются ее точками
экстремума.
Точка x0  D f  называется стационарной точкой, если
f x0   0 или
f x0  не существует.
Если существует  -окрестность стационарной точки x0 такая, что
f x  0
при x0    x  x0 и
f x  0 при x0  x  x0   , то x0 - точка
максимума функции f x  .
Если существует  -окрестность стационарной точки x0 такая, что
f x   0 при x0    x  x0 и f x   0 при x0  x  x0   , то x0 -точка минимума
функции f x  .
a) Направление выпуклости. Точки перегиба
График дифференцируемой функции y  f x называется выпуклым
вверх на интервале
a, b, если
он расположен ниже касательной,
построенной к графику функции в любой точке этого интервала.
Достаточным условием выпуклости вверх графика функции y  f x на
интервале a, b является выполнение неравенства f x  0 для любого x из
рассматриваемого интервала.
График дифференцируемой функции y  f x называется выпуклым
вниз на интервале a, b , если он расположен выше касательной, построенной
к графику функции в любой точке этого интервала.
Достаточным условием выпуклости вниз графика функции y  f x на
интервале a, b является выполнение неравенства f x  0 для любого x из
рассматриваемого интервала.
Точка M 0 x0 , f x0  , в которой меняется направление выпуклости
графика функции y  f x , называется точкой перегиба.
Точка x0  D f  , где f x0   0 или f x0  не существует, является
48
абсциссой точки перегиба, если слева и справа от нее f x имеет разные
знаки.
Y
Y
Y
M0 .
0
а
b
X
0 a
b
X
0
X
d) Асимптоты
Если расстояние от точки M x, y  графика функции y  f x до
некоторой прямой П стремится к нулю при бесконечном удалении точки M
от начала координат, то прямую П называют асимптотой графика функции.
f x    , то прямая x  a
Если существует число a такое, что lim
x a
является вертикальной асимптотой.
Если существуют пределы
lim
x 
f x 
 k , lim  f x   kx  b , то прямая
x
x
y  kx  b является наклонной (горизонтальной при k=0) асимптотой.
Y
y=f(x)
 . M(x,y)
0
X
e) Общее исследование функции
Общее исследование функции рекомендуется проводить по следующей
схеме:
1. Область определения функции
2. Точки пересечения графика с осями координат
49
3. Исследование функции на непрерывность, четность / нечетность и
периодичность
4. Интервалы монотонности функции
5. Точки экстремума функции
6. Интервалы выпуклости и точки перегиба графика функции
7. Асимптоты графика функции
8. График функции.
Задание 5. Исследовать функцию y 
Решение.
x 2 2 x  2
и построить ее график.
x 1
1) Функция определена на всей числовой оси за
исключением точки x  1 , где знаменатель дроби обращается в нуль.
2)
График данной функции пересекает координатную ось Oy в точке
M 0 0,2 , т.к. y  2 при x  0 .
Чтобы найти точки пересечения графика функции с осью Ox ,
необходимо решить уравнение x 2  2 x  2  0 . Но данное уравнение не имеет
действительных
корней. Следовательно, у графика данной функции нет
точек пересечения с осью Ox .
3) Данная функция непрерывна во всей области своего определения.
Для исследования функции на четность проверим выполнение условия
f  x  f x ; для исследования функции на нечетность проверим выполнение
условия f  x   f x. Имеем:
f  x   
Так как f  x  f x
x2  2x  2
.
x 1
и f  x   f x , то, следовательно, данная функция не
обладает ни свойством четности, ни свойством нечетности.
Исходная функция не периодична, т.к. f x  T   f x для любого T  0 .
4) Найдем производную данной функции:



 x2  2x  2 
x 2  2 x  2 x  1  x 2  2 x  2 x  1
x2  2x
 
y  

.
x 1 
x  12
x  12



50


Определим
y  0 .
стационарные точки. Для этого приравняем
Получим:
x2  2x
 0  x1  0, x2  2 .
x  12
Производная y не существует в точке x  1 . Но точка x  1 не
принадлежит
области
определения
данной
функции.
Следовательно,
стационарными точками данной функции являются точки x1  0 и x2  2 .
Отметим все три точки на числовой оси:
Определим знак производной на каждом
достаточно
подставить
рассматриваемого
в
производную
интервала.
Результаты
интервале. Для этого
любое
значение
указаны
x
на
Следовательно, исходная функция убывает на интервале
из
рисунке.
0,1  1,2 ,
возрастает на интервале  ,0  2, (что показано на рисунке).
5) Так как производная меняет знак при переходе через стационарные
точки, то эти точки являются точками экстремума. А именно, x  0 - точка
максимума, x  2 - точка минимума. Максимальное значение функции равно
y0  2 , минимальное значение y2  2 .
6) Вычислим вторую производную данной функции:



2
2
 x2  2x 
x 2  2 x x  1  x 2  2 x x  1
2
 
.
y  

2 
4
x  1
x  13
 x  1 





Вторая производная нигде не обращается в нуль, но y  не существует
при x  1 . Точка x  1 не принадлежит области определения данной функции.
51
Отметим эту точку на числовой оси:
Определим знак второй производной на каждом интервале. Для этого
достаточно подставить во вторую производную любое значение x из
рассматриваемого интервала. Результаты указаны на рисунке.
Следовательно, график данной функции является выпуклым вверх в
интервале  ,1 и выпуклым вниз в интервале 1, (что показано на
рисунке).
Так как вторая производная нигде не обращается в нуль и точка x  1 ,
где y  не существует, не принадлежит области определения данной функции,
то у исходной функции нет точек перегиба.
7) Найдем предел данной функции при x  1 слева и справа:
x2  2x  2
x2  2x  2
lim
  , lim
  .
x10
x10
x 1
x 1
Следовательно, прямая x  1 является вертикальной асимптотой.
Для нахождения наклонной асимптоты вычислим следующие пределы:
x2  2x  2
f x 
x2  2x  2
x

1
k  lim
 lim
 lim
 1.
x
x
x
x
x
x2  x
 x2  2x  2

2 x
b  lim  f x   kx  lim 
 x   lim
 1.
x
x
x 1

 x x  1
Следовательно, наклонная асимптота графика данной функции имеет
вид y  x  1 .
52
8)
Используя полученные данные, построим график
функции:
53
исходной
Задачи для контрольных работ
Контрольная работа №1
Основы линейной алгебры
Задание 1. Найти матрицу С= mA  nBmB  nA .
 1 0 8
 5 4 0 


1. A   3 2 5  , B   6 1 7  , m  3, n  4
 4 6 0
 4 0 3




2 5 0
 3 0 4 


2. A   4 3 7  , B   5 6 2  , m  5, n  2
1 0 6
 6 4 1 




 3 0 6
 4 3 0 


3. A   4 5 7  , B   2 8 1  , m  4, n  3
8 0 1
 0 2 1




 2 3 4 
 3 6 1 


4. A   5 0 1  , B   0 2 4  , m  6, n  2
 3 6 8 
 9 5 3 




6 0 5 
 9 2 4 


5. A   1 2 3  , B   5 7 2  , m  2, n  4
 7 4 1
0 1 3




 5 1 0 
 4 6 2 


6. A   3 2 6  , B   0 5 3  , m  3, n  5
0 9 8
3 7 1




1 0 6
 3 2 1 


7. A   4 5 3  , B   0 7 9  , m  6, n  2
0 4 2
 8 1 0 




 3 4 1 
 1 5 0 


8. A   5 0 2  , B   4 2 7  , m  4, n  2
 7 1 0 
 3 1 8 




 4 0 3 
 0 3 4 


9. A   1 2 5  , B   1 5 7  , m  2, n  3
 2 1 6 
 3 2 6 




54
 3 1 0 
 2 0 1


10. A   5 2 7  , B   3 5 6  , m  5, n  2
 4 6 0
 7 1 4




Задание 2. Решить систему линейных алгебраических уравнений двумя
способами: 1) методом Крамера; 2) с помощью обратной матрицы.
 3 x1  2 x2  x3  5

1.  2 x 1 3 x2  x 3  1
 2 x  x  3 x  11
3
 1 2
 2 x1  3 x2  x3  2

2.  x1  5 x2  4 x3  5
 4 x  x  3 x  4
3
 1 2
3x1  2 x2  x3  5
3.  2 x1  x2  x3  6
 x  5 x  3
2
 1
2 x1  4 x2  3x3  1
4.  x1  2 x2  4 x3  3
 3x  x  5 x  2
3
 1 2
 7 x1  2 x2  3 x3  15

5.  5 x1  3 x2  2 x3  15
10 x  11x  5 x  36
2
3
 1
 2 x1  x2  x3  2

6. 3 x1  2 x2  2 x3  2
 x  2x  x  1
2
3
 1
 x1  x2  2 x3  6
7. 2 x1  3x2  7 x3  16
 5 x  2 x  x  16
2
3
 1
 x1  2 x2  3x3  5
8.  2 x1  x2  x3  1
 x  3x  4 x  6
2
3
 1
 5 x1  8 x2  x3  2

9. 3 x1  2 x2  6 x3  7
 2 x  x  x  5
 1 2 3
 x1  x2  2 x3  1
10. 2 x1  x2  2 x3  4
4 x  x  4 x  2
3
 1 2
Задание 3. Решить систему методом Гаусса.
 2 x1  7 x2  3x3  x4  6
1. 3x1  5x2  2 x3  2 x4  4
 9x  4x  x  7x  2
2
3
4
 1
2 x1  4 x2  5 x3  3x4  0
2. 8 x1  6 x2  3x3  7 x4  0
 3x  5 x  x  2 x  0
2
3
4
 1
 9 x1  3x2  5 x3  6 x4  4
3.  6 x1  2 x2  3x3  4 x4  5
3x  x  3x  14 x  8
3
4
 1 2
 x1  7 x2  6 x3  3x4  0
4.  2 x1  4 x2  x3  x4  0
3x  x  4 x  5 x  0
3
4
 1 2
55
 2 x1  4 x2  5 x3  3 x4  0

5.  3x1  6 x2  4 x3  2 x4  0
4 x  8 x  17 x  11x  0
2
3
4
 1
 2 x1  x2  x3  x4  1

6.  x1  2 x2  x3  4 x4  2
 x  7 x  4 x  11x  5
2
3
4
 1
 x1  2 x2  x4  3
7.  3x1  x2  2 x3  1
2 x  x  2 x  x  4
3
4
 1 2
2 x1  x2  x3  3x4  2
8.  4 x1  x3  7 x4  3
 2 x  3x  x  1
2
3
4

 x1  2 x2  x4  3

9.  x1  3x2  2 x3  2 x4  7
 3x  x  2 x  1
1
2
3

 2 x1  x2  x3  3x4  2
10.  2 x2  3x3  x4  1
2 x  3 x  4 x  2 x  3
2
3
4
 1
56
Контрольная работа №2
Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии.
Задание 1. Даны координаты вершин пирамиды A1 A2 A3 A4 . Требуется
найти: 1) длину ребра A1 A2 ; 2) угол между ребрами A1 A2 и A1 A4 ; 3) угол между
ребром A1 A4 и гранью A1 A2 A3 ; 4) площадь грани A1 A2 A3 ; 5) объем пирамиды;
6) уравнения прямой A1 A2 ; 7) уравнение плоскости A1 A2 A3 ; 8) уравнения
высоты, опущенной из вершины A4 на грань A1 A2 A3 . Сделать чертеж.
1. A1 1, 1,1 , A2  2,0,3 , A3  2,1, 1 , A4  2, 2, 4
2. A1  1, 2, 4 , A2  1, 2, 4  , A3 3,0, 1, A4 7, 3,1
3. A1 1, 2,0 , A2 1, 1, 2  , A3 0,1, 1, A4  3,0,1
4. A1  0, 3,1 , A2  4,1, 2  , A3 2, 1,5 , A4 3,1, 4 
5. A1 1,0, 2 , A2 1, 2, 1 , A3  2, 2,1 , A4  2,1,0
6. A1 1,3,0  , A2  4, 1, 2  , A3 3,0,1, A4  4,3,5 
7. A1 1, 2, 3 , A2 1,0,1 , A3  2, 1,6 , A4  0, 5, 4
8. A1  2, 1, 1 , A2 0,3, 2  , A3 3,1, 4 , A4  4,7,3 
9. A1 3,10, 1 , A2  2,3, 5 , A3  6,0, 3 , A4 1, 1, 2 
10. A1  3, 5,6 , A2  2,1, 4 , A3  0, 3, 1 , A4  5, 2, 8
Задание 2.
1. Написать уравнения сторон треугольника АВС, если задана его
вершина A1,3 и уравнения двух медиан x  2 y  1  0 и y  1  0. Сделать
чертеж.
2. Написать уравнения сторон треугольника, зная одну его вершину
B2,7 , а также уравнения высоты 3x  y  11  0 и медианы x  2 y  7  0 ,
проведенных из различных вершин. Сделать чертеж.
57
3. Найти внутренние углы треугольника, если даны уравнения его сторон
AB : x  3 y  3  0 и AC : x  3 y  3  0 , и основание D 1,3 высоты AD.
Сделать чертеж.
4. Две стороны параллелограмма заданы уравнениями y  x  2 и 5 y  x  6 .
Диагонали его пересекаются в начале координат. Написать уравнения
двух других сторон параллелограмма и его диагоналей. Сделать
чертеж.
5. Найти вершины прямоугольного равнобедренного треугольника, если
дана
вершина
угла C3,1
прямого
и
уравнение
гипотенузы
3x  y  2  0. Сделать чертеж.
6. Даны две вершины треугольника A 4,3 и B4,1 и точка пересечения
высот M 3,3 . Найти третью вершину С. Сделать чертеж.
7. Стороны АВ и ВС параллелограмма заданы уравнениями 2 x  y  5  0 и
x  2 y  4  0 , диагонали его пересекаются в точке M 1,4 . Найти длины
его высот. Сделать чертеж.
8. Вычислить координаты вершин ромба, если известны уравнения двух
его сторон:
x  2y  4
и
x  2 y  10 ,
и уравнение одной из его
диагоналей: y  x  2 . Сделать чертеж.
9. Составить уравнения сторон треугольника, зная одну его вершину
A0,2 , и уравнения высот BM : x  y  4 и CM : y  2 x , где М-точка
пересечения высот. Сделать чертеж.
10.В
треугольнике
АВС
даны
уравнение
стороны AB : 3x  2 y  12 ,
уравнение высоты BM : x  2 y  4 , уравнение высоты AM : 4 x  y  6 , где
М-точка пересечения высот. Написать уравнения сторон АС, ВС
высоты СМ. Сделать чертеж.
58
и
Задание 3.
1. Написать уравнение кривой, каждая точка которой находится на
одинаковом расстоянии от точки F 2,2 и от оси Ox . Сделать чертеж.
2. Написать уравнение кривой, сумма квадратов расстояний от каждой
точки которой до точек M 1  3,0 и M 2 3,0 равна 50. Сделать чертеж.
3. Написать уравнение кривой, расстояние от каждой точки которой до
точки M1  1,1 вдвое меньше расстояния до точки M 2  4,4 . Сделать
чертеж.
4. Написать уравнение кривой, модуль разности расстояний от каждой
точки которой до точек F1  2,2 и F2 2,2 равен 4. Сделать чертеж.
5. Написать уравнение кривой, каждая точка которой находится на
одинаковом расстоянии от точки M 4,2 и от оси Oy . Сделать чертеж.
6. Написать уравнение кривой, каждая точка которой отстоит от точки
M 3,0 вдвое дальше, чем от прямой x  2 . Сделать чертеж.
7. Написать уравнение кривой, для каждой точки которой расстояние от
точки M 0,2 вдвое меньше расстояния
от прямой y  5 . Сделать
чертеж.
8. Написать уравнение кривой, сумма расстояний от каждой точки
которой до точек F1  2,0 и F 2 2,0 равна 2 5 . Сделать чертеж.
9. Написать уравнение кривой, сумма квадратов расстояний от каждой
точки которой до точек A 3,0, B0,3 и C3,0 равна 27. Сделать чертеж.
10.Составить уравнение кривой, для каждой точки которой расстояния от
начала координат и от точки M 0,5 относятся как 3:2. Сделать чертеж.
Задание 4. Дана функция      на отрезке 0    2 . Требуется:
1) построить график функции в полярной системе координат по точкам,
давая  значения через промежуток

, начиная от   0 ; 2) найти уравнение
8
линии в прямоугольной декартовой системе координат, начало которой
59
совпадает с полюсом, а положительная полуось абсцисс - с полярной осью;
3) по полученному уравнению определить, какая это будет линия; 4) сделать
чертеж.
1.  
25
13  12 cos 
2.  
2
1  sin 
3.  
1
3  3 cos 
4.  
1
2  2 cos 
5.  
5
1  sin 
5.  
4
2  3 cos 
7.  
9
4  5 cos 
8.  
6
1  2 cos 
9.  
4
10.  
4
1  cos 
5  cos 
9. z 0 
1
10. z 0 
3i
4
3i
Контрольная работа № 3
Введение в анализ. Дифференциальное исчисление функции одной
переменной
Задание 1. Найти пределы функций.
x x
2x3  x 2  5
1. а) lim 3
; б) lim
;
x 1 x 2  x
x  x  x  2
5x
в) lim
;
x 0 arctg 3 x
 4x  3 
г) lim


x  4 x  1


2x
1  cos10 x
3x 2  6 x  7
1  1  4x 2
 2x  3 
lim
lim 
2. а) lim
;
б)
;
в)
;
г)
lim

2
2
2
x 0
x  2 x  1
x  x  4 x  3
x 0
x
3x


x 1
1 x  3
sin 3x
3x 2  4 x  1
lim 2
lim
3. а) lim
;
б)
;
в)
;
2
x  8
x 0 3 x  5 x
x  x  2 x  5
x8
3 x 1
 x  10 
г) lim


x 
 x 1 
1  2x  3
2 x sin x
5 x 2  3x  2
 x  3
lim
lim 
; б) lim
;
в)
;
г)

2
x4
x  0 1  cos x
x  x  5
x  x  3 x  4
x4


x4
4. а) lim
x 2  2x  1
5. а) lim 2
;
x  2 x  x  1
6. а) lim
x 
б) lim
x 8
9  2x  5
cos 2 x  cos x
 x 1 
; в) lim
; г) lim


x

0
x


1  cos x
8 x
 x  3
1  cos 2 x
5x 2  4 x  1
1  2 x  x 2  1  x 
;
б)
; в) lim
;
lim
2
x 0 cos 7 x  cos 3 x
x 0
4 x  14 x  6
x
60
x2
x 5

 x  3

г) lim

x 
x4
10  x  6 1  x
1  cos x
7 x 2  8x  1
 x 5
7. а) lim 2
; б) xlim
; в) lim
; г) lim


 8
x


x

0
x  2 x  3 x  2
x8
x sin x
 x7
2 x 3
6x 2  x  1
8. а) lim 2
; б) lim
;
x 7
x  3 x  2 x  1
7x
2 x 3  3x  5
;
x  x 3  4 x  1
9. а) lim
б) lim
x 3
7x 2  6x  4
10. а) lim 2
; б) lim
x 3
x  x  x  5
1  cos 4 x
 4x  1 
lim 
в) lim
;
г)

x 
x 0
2 x tgx
 4x 
x 1
2x
x
2x  3  3
cos x  cos 3 x
; в) lim
; г) lim 8  7 x  x1
2
x 0
x 1
6  2x
3x
2
x  13  4
x 2 ctg 3x
; в) lim
; г) lim 3x  8 x3 .
x

0
x 3
x3
sin 2 x
Задание 2. Исследовать на непрерывность данные функции. Сделать чертеж.
3 x 2  1, x  1,

1. y   2 x, 1  x  3,
 x  2, x  3.

 cos x, x  0,
2. y  1  x 2 , 0  x  2,

x, x  2.

 2 x  5, x  0,

3. y   x  1, 0  x  4,
 3  x , x  4.

 sin x, x  0,
4. y   x 3 , 0  x  1,
 2 x  1, x  1.

 x 2  x, x  0,

5. y   x, 0  x  1,
 2, x  1.

  3 x 2 , x  0,

6. y   x , 0  x  4,
 1, x  4.

 x  3, x  0,
7. y   x 2 , 0  x  2,
 2 x, x  2.


 x 3 , x  0,


8. y  tg x, 0  x  ,
4


 3, x  .

4


 cos x, x  2 ,


10. y  0,
 x  ,
2

 x, x   .

x  2, x  0,


9. y   x  12 , 0  x  2,

x  3, x  2.

Задание 3. Найти производные данных функции.


1
ex  3
1. а) y 
; б) y  arctg
; в) y  ln x  1  x 2 ;
2
2
3 2  4x
2x 2  x  1
61

1
x  arccos ,

t 
г) 
 y  t 2  1  arcsin  1 .

t 
2. a) y 
x2
2
3
; б) y 
2 1  3x 4
arctg e 
x 3
; в) y  ln  x  x  1;
2

г)  x  2t  t ,
 y  arcsin t  1.
3. a) y 
4. а) y 
x6  x3  2
1  x3
1 x2
1  x 
6. а) y 
8
1 e

 x  ln ctg t ,
1
; в) y  ln x  cos x  ; г) 
y
.

cos 2 t
2
x
4
2
t

ex
x2
 x  arctg e 2 ,
; б) y 
; в) y  ln
; г) 
1 x2
1 x2
 y  e t  1.

2 3
3x 3
x 6  8 x 3  128
8 x

3
; б) y  x 
2 1  2x 2
5. а) y 
 x  1  t 2 ,
ex
y

2
x

4
ln
2

x
; б) y 
;
в)
;
г)

1  x3
 y  tg 1  t .
3
; б) y  arctg e x  e  x ; в) y  ln arccos 1  e 4 x ;
x  ln tg t ,
1
y
.

sin 2 t

г) 
7. а) y  3
8. а) y 

г) 
3
 x  arcsin t ,

1
1 2x
1 
x2  x 1
; б) y 
; в) y  ln  arccos  ; г) 
ln
x
ln 4 1  2
x 1
x

 y  1 t .
x2  2
2 1 x
4
; б) y  ln e 2 x  1  2arctg e x ; в) y  ln 3 1  cos x  ;
1
2


x  ln 1  t 2 ,
2
 y  arcsin 1  t .
9. а) y 
10.а) y 
3x  x
x2  2
; б) y  e
x7
6 x  2x  7
2
sin x
 x  1 t2 ,
1 
1


t
;
г)
x
 ; в) y  log 3
y 
.
cos x 

1 x4

1 t2

; б) y  x 
1
2x  4
 ln 1  e x ; в) y  ln sin
;
x
x 1
1 e

 x  arctg t ,
г) 
1 t2
y

ln
.

1 t
62

Задание 4. Найти пределы функций, пользуясь правилом Лопиталя.
e x  e  x  2x
x 0
x  sin x

1. lim

x 1
1
1 


 ln x x  1 
2. lim

3. lim

x 0
1
1 
 2
2
 sin x x 

4. lim
 
x 0
5. lim
x 0
x cos x  sin x
x3
  2arctg x ln x
6. xlim
 
7. lim
x 0
tgx  sin x
x  sin x
8. lim
x 0
1
x
1 
.
e 1
x
ln sin 2 x 
ln sin x
 x

9. lim

x 1
x
1 


 x  1 ln x 




10. lim 
2 cos x 
x   ctgx
2
Задание 5. Провести полное исследование функций и построить их графики.
1. y 
17  x 2
4x  5
2. y 
4x 2  9
4x  8
3. y 
x3  4x
3x 2  4
4. y 
x 2  6x  4
3x  2
5. y 
2x 2  6
x2
6. y 
4 x 3  3x
4x 2  1
x 3  5x
7. y 
5  3x 2
9. y 
21  x 2
8. y 
7x  9
3x 2  7
2x  1
10. y 
63
x 2  11
4x  3
1. В.А. Кудрявцев, Б.П.
математики. -М.: Наука, 1978.
Литература
Демидович. Краткий
курс
высшей
2. В.А. Ильин, Э.Г. Позняк. Линейная алгебра. - М.: Наука, 1978.
3. П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова. Высшая математика в
упражнениях и задачах. - М.: Высшая школа, 1998, ч.1,2 .
4. Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики.
М.:
Наука, 1985.
5. Гусак А.А. Задачи и упражнения по высшей математике. Мн.: Высшая
школа, 1988. Ч. 1, 2.
6. А.В. Кузнецов, Д.С. Кузнецова, Шилкина Е.И. и др.; Сборник задач и
упражнений по высшей математике: Мн.: Высшая школа, 1994.
7. Шипачев В.С. Математический анализ. - М.: Высшая школа, 2001.
64
ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава I.
1
2
Основы линейной алгебры
2
Матрицы и действия над ними
Определители второго и третьего порядка. Обратная
матрица
3
4
Системы
линейных
алгебраических
уравнений.
Формулы Крамера. Матричный
способ
решения
системы линейных алгебраических уравнений
Метод Гаусса решения произвольных систем линейных
алгебраических уравнений
Глава 2. Элементы векторной алгебры и аналитической
геометрии.
1
Элементы векторной алгебры и
аналитической
13
геометрии в пространстве
2
Аналитическая геометрия на плоскости
3
Линии второго порядка
4
Полярная система координат
Введение в анализ. Дифференциальное исчисление
функции одной переменной
Глава 3.
31
1
5
Понятие функции
Предел функции. Теоремы о пределах функции. Два
замечательных предела. Бесконечно малые и бесконечно
большие функции
Понятие непрерывности функции.
Дифференцирование функций
6.
Производные высших порядков. Правило Лопиталя.
7.
Исследование функций
2
3
4
Задачи для контрольных работ
65
53