система внутрипредметных связей школьного курса математики
advertisement
На правах рукописи Терехова Лидия Анатольевна ЭЛЕМЕНТЫ СТОХАСТИКИ КАК СРЕДСТВО УКРЕПЛЕНИЯ ВНУТРИПРЕДМЕТНЫХ СВЯЗЕЙ ШКОЛЬНОГО КУРСА МАТЕМАТИКИ 13.00.02 – теория и методика обучения и воспитания (математика) Автореферат диссертации на соискание учёной степени кандидата педагогических наук Орёл – 2008 Работа выполнена на кафедре алгебры и математических методов в экономике ГОУ ВПО «Орловский государственный университет» Научный руководитель доктор педагогических наук, профессор Селютин Владимир Дмитриевич Официальные оппоненты: доктор педагогических наук, профессор Горбачев Василий Иванович кандидат педагогических наук, доцент Александрова Елена Владимировна Ведущая организация ГОУ ВПО «Курский государственный университет» Защита состоится 20 декабря 2008г. в 13 часов на заседании совета по защите докторских и кандидатских диссертаций Д 212. 183. 04 при Орловском государственном университете по адресу: 302026, г. Орел, ул. Комсомольская, 95. С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Орловского государственного университета. Автореферат разослан 19 ноября 2008 г. Ученый секретарь диссертационного совета Селютин В.Д. 1 Актуальность исследования. В настоящее время система отечественного школьного математического образования находится в стадии реформирования, направленного на согласование её содержания и структуры с требованиями современной общественной жизни. В целях модернизации системы обучения математике Министерство образования и науки РФ в 2003 г. издало директиву “О введении элементов комбинаторики, статистики и теории вероятностей в содержание математического образования основной школы” (№ 03-93 ин/13-03 от 23.09.2003), на основании которой началось повсеместное изучение стохастического материала. Этому предшествовали многочисленные научно-методические исследования проблем организации обучения школьников стохастике, авторы которых заявляли о необходимости дополнить систему традиционно сложившихся содержательно-методических линий школьного курса математики новой вероятностно-статистической (стохастической) линией. Среди всех методических исследований, направленных на формирование в курсе математики новой линии, следует выделить работы Л.О. Бычковой, Ж. Кудратова, Д.В. Маневича, В.Г. Потапова, А. Плоцки, В.Д. Селютина, В.В. Фирсова и других, посвященные решению основных научно-методических проблем обучения школьников элементам комбинаторики, теории вероятностей и математической статистики. Вместе с тем, прошло уже достаточно времени для того чтобы проанализировать результаты проделанной работы и выявить недостатки, над которыми следует серьёзно задуматься. Главный из них состоит в том, что, несмотря на все усилия, новая стохастическая содержательнометодическая линия до сих пор не сформировалась, поскольку разрозненные методические приёмы изучения в школе отдельных элементов стохастики, разработке которых посвящено большинство исследований, не обеспечивают курсу математики необходимой систематичности и последовательности, а также не в состоянии отразить идейную сторону математики и стать важнейшим средством обеспечения преемственности всего изучаемого материала. Эти основополагающие требования, предъявляемые к содержательно-методическим линиям, в случае со стохастикой превратились в коренные проблемы, на которые многие не обращают внимания. Именно поэтому появление в школьном курсе математики элементов стохастики порождает целый ряд трудностей. Так, методистами давно разработан перечень вопросов, рекомендованный Министерством образования и науки, для изучения в рамках школьного стандарта, однако до сих пор нет единого мнения относительно методики их изучения. Среди педагогов, прежде всего, нет однозначного представления о том, где следует искать резервы учебного времени для изучения элементов стохастики. Курс математики нельзя неограниченно расширять, добавляя всё новые и новые разделы, поскольку подобные структурные манипуляции могут сказаться на качестве знаний учащихся. В итоге, большая часть школьных 2 учителей с недоверием относится к изучению стохастики и надеется на скорое избавление от очередной “моды”. Однако большинство исследователей обходят эту проблему стороной, выделяя в своих учебных пособиях для изучения стохастического материала преимущественно заключительные параграфы или разделы, которые слабо взаимосвязаны с остальными разделами курса. Поэтому, несмотря на методически удачное фрагментарное изложение в ряде учебников, элементы стохастики пока еще остаются не охваченными внутрипредметными связями и им не удается преодолеть статус “инородности” внутри традиционной математики. В результате можно констатировать, что проблема построения целостной, непротиворечивой и эффективной системы обучения стохастике, логично интегрированной в структуру школьного курса математики, решена лишь в общих чертах. Однако в исследованиях А. Плоцки и В.Д. Селютина было показано, что стохастика, включённая в школьную программу в виде сквозной содержательно-методической линии, может быть не просто согласована с традиционным содержанием курса математики, но и способна укрепить внутрипредметные связи между другими его разделами. Одним из сформулированных В.Д. Селютиным принципов построения стохастической содержательно-методической линии является принцип интегративности, который выражает необходимость укрепления внутренней целостности курса математики средствами стохастики. Вместе с тем, анализируя все проведённые исследования, можно заключить, что теоретические идеи, заложенные в принципе интегративности, до сих пор не реализованы на практике и в сфере отечественного математического образования существует своеобразный методический вакуум, порождённый отсутствием внутрипредметной взаимосвязи стохастических и традиционных понятий в рамках школьной программы. Таким образом, можно с уверенностью утверждать, что на современном этапе развития системы школьного математического образования возникли противоречия между: предписаниями Министерства образования и науки РФ и настороженностью и недоверием учителей к преподаванию стохастического материала ввиду нерешённости проблемы дефицита учебного времени; необходимостью введения стохастической содержательнометодической линии и прогрессирующим в среде учителей убеждением в инородности элементов стохастики в структуре традиционного курса математики; возможностью эффективного применения стохастики непосредственно при изучении традиционных тем курса математики для укрепления их взаимосвязей и сложившейся методикой обучения математике, не предусматривающей использование интегрирующего потенциала стохастики. Выявленные противоречия обусловили выбор темы исследования, проблема которого формулируется следующим образом: каково влияние 3 элементов стохастики на укрепление внутрипредметных связей школьной математики? Решение данной проблемы составляет цель исследования. Объект исследования: школьный курс математики. Предмет исследования: элементы стохастики как средство укрепления внутрипредметных связей школьного курса математики. Гипотеза исследования состоит в том, что элементы стохастики могут выступать в качестве эффективного средства укрепления внутрипредметных связей школьного курса математики, если: усиление существующих и формирование новых внутрипредметных связей будет осуществляться в процессе становления новой стохастической содержательно-методической линии курса математики, направленной на овладение учащимися средствами и методами анализа окружающего их мира случайных явлений; реализация интегрирующего потенциала стохастической содержательно-методической линии будет основана на последовательном применении стохастических понятий и представлений для решения образовательных задач большинства традиционных тем школьной математики; анализ случайных явлений будет осуществляться не только методами стохастики, но и путём широкого привлечения средств традиционной математики; основным методическим средством обучения стохастике станут специально разработанные задачи, направленные на объединение традиционных и новых разделов математики путем применения учащимися знаний, умений и навыков, полученных на протяжении всего обучения. В соответствии с объектом, предметом, целью и гипотезой исследования были поставлены следующие задачи: 1. Выявить специфику понятия “внутрипредметные связи” школьного курса математики в условиях формирования новой стохастической содержательно-методической линии и её согласования с традиционной математикой. 2. Установить основные причины неудач внедрения элементов комбинаторики, статистики и теории вероятностей в школьный курс математики на протяжении истории развития отечественного образования. 3. На основе анализа существующих подходов к изучению стохастики разработать подход, направленный на укрепление внутрипредметных связей путём согласования элементов стохастики с традиционным содержанием школьной математики. 4. Обосновать последовательность изучения основных стохастических понятий, обеспечивающую органичное вхождение элементов стохастики в традиционные разделы школьной математики. 5. Разработать специальные задачи, требующие для своего решения комплексного взаимодействия стохастической линии с другими линиями школьного курса математики. 4 6. Разработать методику обучения элементам комбинаторики, статистики и теории вероятностей, отвечающую целям укрепления внутрипредметных связей школьной математики. Методологическую основу исследования составляют: научнофилософские положения о всеобщей связи, целостности и причинной обусловленности явлений, диалектической взаимосвязи случайного и необходимого; основные положения гносеологии; системный подход к обучению в форме структурно-функционального метода как его разновидности; синергетическая концепция развития сложных систем. Теоретической основой исследования являются: работы по методологии научного исследования (В.П. Кохановский, Т.Г. Лешкевич, В.С. Стёпин и др.); концепции учебной деятельности и развивающего обучения (С.Л. Выготский, В.В. Давыдов, Н.Ф. Талызина, Д.Б. Эльконин и др.); исследования по проблеме реализации внутрипредметных связей в школьном курсе математики (В.А. Далингер, В.К. Кириллов, Р.Ю. Костюченко, У.М. Махсудова, В.М. Монахов, А.В. Шевкин и др.); исследования в области профессиональной подготовки учителей математики (Ф.С. Авдеев, Г.Л. Луканкин, М.Н. Скаткин и др.); историко-генетические концепции математического образования (Т.К. Авдеева, Ю.М. Колягин, Т.С. Полякова, О.А. Саввина, О.В. Тарасова и др.); научные идеи, касающиеся реформирования математического образования (Б.В. Гнеденко, Г.В. Дорофеев, А.Н. Колмогоров, А.И. Маркушевич, Л.С. Понтрягин и др.); концепция прикладной направленности обучения математике (Н.А. Терешин, В.В. Фирсов, И.М. Шапиро и др.); теория и методика обучения решению математических задач (Ю.М. Колягин, В.И. Крупич, Г.И. Саранцев, Л.М. Фридман, М.И. Шабунин и др.); исследования проблем изучения элементов стохастики в школьном курсе математики (Е.А. Бунимович, Ж. Кудратов, Д.В. Маневич, А. Плоцки, В.Д. Селютин, и др.). Для решения поставленной задачи были использованы следующие методы исследования: Эмпирические (анкетирование и тестирование учащихся; анкетирование и интервьюирование учителей математики; опытно – экспериментальная работа по проверке положений диссертации). Теоретические (гипотетико-дедуктивный метод изучения проблемы преподавания элементов стохастики в школьном курсе математики, основанный на анализе и систематизации исторической, философской, психолого-педагогической и методической литературы, педагогических первоисточников и периодики, учебных программ, учебных пособий и учебников, диссертаций и авторефератов по исследуемой проблеме). 5 Общелогические (сравнительный анализ передового педагогического опыта; обобщение сформулированных ранее подходов к обучению стохастике в школе; моделирование реальных жизненных ситуаций средствами стохастики; вероятностно-статистические методы обработки и анализа результатов проведенной опытно-экспериментальной работы). Научная новизна исследования состоит в выдвижении когерентноинтегративного подхода к изучению элементов стохастики, основанного на идее согласования их с традиционным содержанием школьной математики, и в разработке способа укрепления внутрипредметных связей школьного курса математики средствами стохастики. Теоретическая значимость исследования состоит: в обосновании когерентно-интегративного подхода, укрепляющего внутрипредметные связи и неразрывно связывающего стохастику с традиционными разделами школьного стандарта по математике; во введении в научный оборот понятия “когерентно-стохастическая задача” как основного методического средства реализации когерентноинтегративного подхода и выявлении основных требований, которым она должна удовлетворять; в доказательстве новой последовательности изучения основных стохастических понятий в структуре школьного курса математики, основанной на теоретических идеях когерентно-интегративного подхода и применении когерентно-стохастических задач; в теоретическом обосновании методики обучения элементам стохастики, обеспечивающей взаимодействие новой содержательнометодической линии с традиционными линиями. Данное исследование вносит вклад в теорию построения школьного курса математики, расширяет представления о возможностях стохастики в плане оптимизации его внутренней структуры и составляющих связей. Практическая значимость исследования состоит в возможности использования его результатов учителями, что позволяет сделать курс математики более логичным, компактным, внутренне целостным, адекватным целям и задачам обучения; в реализации когерентно-интегративного подхода путём разработки методики изучения элементов стохастики в органичном единстве с традиционным математическим содержанием; в разработке учебно-методического пособия “Стохастика в канве школьной математики”, адаптированного к непосредственному применению при планировании и проведении уроков в 5-9 классах, а также при подборе учебно-дидактического материала для организации самостоятельной познавательной деятельности учащихся. Достоверность полученных результатов и обоснованность научных выводов обеспечиваются методическим и методологическим инструментарием исследования, адекватным его цели, предмету и задачам; опорой на результаты современных исследований по педагогике и психологии, теории и методике обучения стохастике; анализом различных взглядов на 6 проблему реализации внутрипредметных связей школьного курса математики; положительной оценкой разработанных методических материалов учителями математики; итогами опытно-экспериментальной работы. Апробация результатов исследования осуществлялась в виде докладов и выступлений на всероссийских, региональных и межвузовских научно-практических конференциях и семинарах в Ельце (2006), Мценске (2006), Орле (2003-2008), Тамбове (2008). Тема исследования отражена в 11 публикациях. Основные результаты исследования внедряются в образовательную практику школ г. Орла и Орловской области. На защиту выносятся следующие научные положения: 1. В современных условиях внедрения элементов комбинаторики, статистики и теории вероятностей в школьную математику возникла потребность согласования традиционных и стохастических понятий, без которого невозможно построение полноценной содержательно-методической линии курса. 2. Элементы стохастики выступают в качестве эффективного средства укрепления внутрипредметных связей, способного проникать в различные разделы школьного курса математики, применяться на разных этапах обучения, привлекать к анализу проблемных ситуаций широкий спектр ранее изученных понятий и представлений, совершенствуя тем самым его внутреннюю структуру. 3. Изучение стохастики следует осуществлять в рамках когерентноинтегративного подхода, последовательно вводя важнейшие стохастические понятия и представления в традиционную математику, укрепляя тем самым ее внутрипредметные связи. При использовании этого подхода стохастика не только успешно согласуется с традиционным математическим содержанием, становится его необходимым компонентом, но и, вплетаясь в канву изучаемого материала, обеспечивает интеграцию различных тем. 4. Укреплению внутрипредметных связей курса математики способствует использование особых когерентно-стохастических задач, требующих для своего решения применения широкого спектра математических понятий и представлений. Когерентно-стохастические задачи – есть особого вида задачи, укрепляющие внутрипредметную взаимосвязь различных разделов математики, раскрывающие вероятностно-статистическую природу явлений окружающей действительности и допускающие возможность математической формулировки моделей проблемных стохастических ситуаций, для решения которых требуется комплексное применение математических понятий и представлений (определений, теорем и т.п.), изучаемых в школе. 5. Разработанная методика обучения школьников элементам комбинаторики, статистики и теории вероятностей, направленная на максимальное согласование стохастических и традиционных понятий, обеспечивает укрепление внутрипредметных связей школьного курса математики. 7 Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения, приложений, списка используемой литературы; иллюстрирована таблицами и рисунками. ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ Во введении обосновывается актуальность исследования, характеризуется степень изученности данной проблемы, определяется объект, предмет и гипотеза исследования, формулируются цели и задачи работы, выясняется научная новизна, методологические и теоретические основы исследования, определяется практическая значимость материалов диссертации. Первая глава “Теоретические основы укрепления внутрипредметных связей школьного курса математики на основе элементов стохастики” состоит из пяти параграфов, в которых рассматриваются теоретические основы интеграции новой стохастической содержательнометодической линии и традиционного содержания школьной математики. Проблема реализации внутрипредметных связей различных учебных дисциплин школьного курса математики рассматривается многими исследователями как важнейший аспект совершенствования системы образования, формирования ее внутренней целостности и прогрессивной динамики развития. В результате проведённого анализа были выявлены основные подходы к определению понятия “внутрипредметные связи” в школьном образовании: через понятие преемственности знаний (В.Ю Гуревич, Л.М. Панчешникова, В.А. Петров, В.М. Монахов, А.В. Усова и др.); через обоснование термина связь (Ш.А. Бакмаев, А.В. Билюк, Т.Н. Гнитецкая, В.А. Далингер, П.И. Образцов, В.К. Кириллов, Р.Ю. Костюченко, А.В. Шевкин); через другие общефилософские понятия: интеграция, закон, информация, модель и т.п. (В.К. Батурин, В.Ф. Ефименко, У.М. Махсудова Н.И. Резник). С учётом специфики формирования новой стохастической содержательно-методической линии школьного курса математики, под внутрипредметными связями диссертант понимает согласованность различных компонентов познавательной деятельности (знаний, умений, форм, методов и пр.), обеспечивающую целостность изучаемого предмета. Изучение программ по математике, учебников и учебнометодических пособий, разработанных на протяжении последних ста лет, позволило автору установить, что предпринимались попытки внедрить стохастику в виде добавления самостоятельного раздела, теоретически обособленного от основного курса математики. Математикам-методистам прошлого не удалось установить прочных внутрипредметных взаимосвязей между стохастическими представлениями и понятиями традиционной математики. Проанализировав современную учебную и научно-методическую литературу, автор исследования обнаружил, что проблема определения места элементов стохастики в структуре школьной математики и выбора последовательности изучения решается исходя из необходимости внедрения их 8 в школьную программу. В результате, несмотря на разнообразие учебных пособий, процесс изучения элементов стохастики в школе происходит преимущественно обособленно от традиционного содержания этой дисциплины. Автор доказывает, что такая изолированность объясняется отсутствием эффективной системы внутрипредметных взаимосвязей между стохастикой и традиционной математикой. В результате анализа, автор выделяет ведущие подходы к организации изучения элементов стохастики в школе: 1. Включение стохастики в школьную программу в виде отдельных глав и параграфов современных школьных учебников (Г.В. Дорофеев, И.Ф. Шарыгин, Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк и др.). 2. Изучение стохастики в качестве дополнительных элективных курсов (факультативных занятий) (С.В. Щербатых, О.Н. Троицкая и др.). Оба эти подхода ведут к обособлению стохастической содержательно-методической линии от традиционного содержания математики. Однако ещё 20 лет назад польский математик-методист А. Плоцки указывал в своих работах на целостность математики и необходимость тесного взаимодействия стохастики с другими её разделами. Новая содержательнометодическая линия, по его мнению, должна не только обосновывать важность изучения случайных явлений, но и обеспечивать качественное усвоение материала других линий школьного математического образования. Идеи А. Плоцки получили дальнейшее развитие в исследованиях российского математика-методиста В.Д. Селютина, который сформулировал принципы построения стохастической содержательно-методической линии, одним из которых является принцип интегративности, выражающий “необходимость интегрировать школьную математику посредством стохастического содержания”. Между тем, теоретические исследования А. Плоцки и В.Д. Селютина, не получили дальнейшей практической реализации. Включение элементов стохастики в школьную программу осуществлялось на основе указанных выше традиционных подходов и привело к значительным методическим трудностям. Их причиной является выявленная автором несогласованность традиционного и стохастического материала, предлагаемого для изучения в рамках действующего стандарта. Преодоление данной несогласованности является на сегодняшний день важнейшей методической задачей. Необходимое согласование стохастики и традиционной математики, ввиду своей специфики, названо диссертантом когерентным (от лат. cohaerere – быть связанным), поскольку оно должно быть направлено на взаимодействие традиционного и стохастического материала, на поиск общих точек соприкосновения, выявляющих и укрепляющих взаимосвязи между классическими и инновационными методиками обучения. Таким образом, возникает необходимость нового подхода к организации изучения элементов стохастики в школе, выполняющего двойную методическую нагрузку: согласование стохастики с традиционной математикой и внутридисциплинарную интеграцию самой школьной математики. 9 Поэтому данный подход назван автором диссертации когерентноинтегративным. Его сущность заключается в том, что стохастика становится необходимым компонентом традиционного содержания, вплетается в канву каждой изучаемой темы и обеспечивает внутрипредметную взаимосвязь различных разделов современной школьной математики. В отличие от других подходов, когерентно-интегративный подход: 1) содействует внутридисциплинарной интеграции школьной математики, обеспечивая слияние стохастической и традиционных линий курса и усиление внутрипредметных связей между ними; 2) усиливая внутрипредметные связи между разделами, темами и понятиями школьного курса математики, подчеркивает их тесную связь с окружающим миром, как на стадии введения математических понятий, так и на стадии использования полученных результатов; 3) обеспечивает достижение не только образовательных, но и воспитательных целей, стимулируя интерес учащихся к познанию окружающей действительности средствами математики, формируя у них целостный взгляд на мир, в котором происходящие природные и социальные процессы изучаются в их тесной взаимосвязи. Методологическую структуру нового подхода можно представить в виде следующих взаимосвязанных компонентов: гипотезы, теоретического обоснования и практического внедрения. К настоящему времени можно констатировать, что разработка теоретических составляющих нового подхода полностью завершена. Его гипотезой является идея интеграции стохастики и классической математики, высказанные А. Плоцки. Теоретическим фундаментом нового подхода является принцип интегративности, обоснованный В.Д. Селютиным. Однако для окончательного формирования нового подхода необходима стадия практической реализации его основных положений, которая до сих пор отсутствовала. Решая данную проблему, автор разработал последовательность изучения основных стохастических понятий в рамках школьной математики. Для этого, используя стохастические понятия, рекомендованные Министерством образования и науки РФ, были выявлены темы курса математики, которые нуждаются во взаимосвязи со стохастическими понятиями. В диссертации приведена структура взаимосвязей стохастической линии с традиционными линиями для каждого класса основной школы, которую отражает, в частности, таблица 1. Поиск эффективных методических средств реализации когерентноинтегративного подхода привёл к необходимости разработать специальные когерентно-стохастические задачи, которые направлены не только на укрепление внутрипредметных связей, но и способствуют согласованию элементов стохастики и традиционной школьной математики. Подобные задачи должны удовлетворять ряду требований: 1) Когерентно-стохастические задачи должны быть сформулированы таким образом, чтобы могли быть включены в классическую схему урока 10 математики (а также внеклассных мероприятий) без ущерба для школьного стандарта. 2) Когерентно-стохастические задачи должны способствовать пропедевтике новых понятий и повторению ранее изученных традиционных тем. 3) Когерентно-стохастические задачи должны служить действенным средством укрепления внутрипредметных связей школьной математики. Взаимосвязи стохастической линии в математике 5 класса Таблица 1 Тема школьного курса Традиционное содержание математики Обозначение натураль- Натуральные числа ных чисел Отрезок. Длина отрезка. Больше (меньше), единицы измеТреугольник рения, сравнение чисел Плоскость. Прямая. Луч. Шкалы и координаты Меньше или больше Сложение и вычитание натуральных чисел Числовые и буквенные выражения. Уравнения Умножение и деление натуральных чисел Квадрат и куб числа Площади и объемы Окружность и круг. Обыкновенные дроби Десятичная запись дробных чисел Приближенные значения чисел. Округление чисел Умножение и деление десятичных дробей Обозначение натуральных чисел, пропедевтика понятий: меньше (больше), прямоугольная система кординат Обозначение и сравнение натуральных чисел Сложение и сравнение натуральных чисел Составление выражений, решение уравнений Арифметические действия и сравнение натуральных чисел Арифметические действия с натуральными числами, квадрат и куб числа Составление числовых выражений, площадь и единицы её измерения, пропедевтика понятия объёма Часть от числа, координатный луч, диаметр круга Десятичная запись числа, составление числовых выражений Округление и сложение десятичных дробей Обыкновенные и десятичные дроби, часть от числа, единицы измерения, проценты, градусная мера угла Содержание стохастической линии Чаще, реже, дерево возможных вариантов Пропедевтика столбчатой диаграммы, заполнение таблиц Пропедевтика понятий: столбчатая диаграмма, мода Медиана для нечетного числа данных, мода Столбчатая диаграмма Размах Среднее арифметическое Дерево возможных вариантов Событие, перебор возможных вариантов Круговая диаграмма, частота и таблица частот Более (менее) вероятное событие, свойство частот Частота, таблица частот Медиана для четного числа данных, круговая диаграмма, среднее арифметическое На основании анализа данных требований автором определяется понятие “когерентно-стохастическая задача”. Под когерентно - стохастической задачей понимается особого вида задача, укрепляющая внутрипредметную взаимосвязь различных разделов математики, раскрывающая вероятностно-статистическую природу явлений окружающей действительно- 11 сти, и допускающая возможность математической формулировки моделей проблемной стохастической ситуации, для решения которой требуется комплексное применение математических понятий и представлений (определений, теорем и т.п.), изучаемых в школе. Стохастическая проблемная ситуация понимается как реальная жизненная ситуация, связанная с анализом явлений, происходящих под воздействием случайностей. В диссертации показано, что когерентно-стохастические задачи обладают более значительным методическим потенциалом, чем стохастические задачи, применяемые в современных методиках. Такие задачи, как главное методическое средство реализации когерентно-интегративного подхода, способны вывести состояние стохастической содержательнометодической линии на новый качественный уровень. Это позволило обосновать критерий оценки эффективности применения когерентно-интегративного подхода, в качестве которого должно выступать умение учащихся привлекать к анализу реальных жизненных ситуаций весь комплекс школьных математических методов во взаимодействии с элементами стохастики. Вторая глава “Методика изучения элементов стохастики в условиях укрепления внутрипредметных связей школьного курса математики” состоит из трёх параграфов, в которых изложены методические особенности реализации когерентно-интегративного подхода к изучению элементов стохастики. На его основе диссертантом разработана методика укрепления внутрипредметных связей путём включения в традиционный курс математики специально разработанных когерентно-стохастических задач. Для выявления потенциала стохастики как средства реализации внутрипредметных связей автор использовал дифференциацию школьного курса математики на содержательно-методические линии, определение которых дано В.А. Далингером. I. Числовая содержательно-методическая линия включает в себя весь комплекс понятий и представлений, связанных с изучением различных видов чисел и действий над ними. Она подразделяется на несколько базовых этапов, каждый из которых может быть дополнен соответствующим ему комплексом стохастических задач. Использование средств стохастики уже на этом раннем этапе математического образования позволяет начать познавательный процесс, опираясь на реальные жизненные ситуации, которые легко формализуются до уровня математической абстракции. Интегрирующая роль стохастики в данном случае обеспечивается именно благодаря осуществлению максимального взаимодействия школьной математики с реальной повседневной жизнью. II. Формально-операционная линия. В рамках данной научноисследовательской работы рассмотрены основные методические приёмы, благоприятствующие применению элементов стохастики для укрепления внутрипредметных связей между такими разделами школьной программы, 12 как “Дроби и проценты”, “Отношения и пропорции”, “Выражения и тождества”, “Арифметическая и геометрическая прогрессии”. Примером укрепления взаимосвязей между числовой и формальнооперационной линиями служит следующая задача. Задача 1. Учитель биологии поручил ребятам измерить длину 10 листьев березы. Выполняя это задание, Лена заполнила таблицу 2. Составьте таблицу частот. Выразите частоты в процентах. Постройте круговую диаграмму. Найдите среднее арифметическое этих данных. Таблица 2 Номер опыта 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Длина в см 4,5 3,5 3,8 4,5 3,5 4,0 4,5 4,8 4,5 4,8 Данная задача устанавливает взаимосвязь между такими вопросами традиционного курса математики, как: преобразование обыкновенных и десятичных дробей; арифметические действия с дробями; вычисление процентов; окружность и круг; транспортир; градусные меры угла. III. Линия уравнений и неравенств. Анализируя данную линию, диссертант остановился на применении когерентно-интегративного подхода при изучении таких разделов программы, как “Уравнения”, “Системы уравнений” и “Неравенства”. Автор показывает, что именно стохастика, опирающаяся на анализ конкретных жизненных явлений, надёжно связывает школьный курс математики в единое целое. Примером может служить следующая когерентно-стохастическая задача, которая помогает укрепить внутрипредметную взаимосвязь между такими вопросами школьной программы, как составление уравнений и наложение ограничений на числовое значение буквенной величины, свойства дробей и пропорций, тождественные преобразования. Задача 2. Затрудняясь в решении квадратных уравнений, восьмиклассник Максим пришел за помощью к десятикласснику Кириллу. В это время к Максиму обратилась трехлетняя племянница Кирилла Даша: угадать количество красных яблок, которые она положила в корзину. При этом она сообщила ему лишь то, что, кроме красных, в корзине находятся только 2 зелёных яблока. Зная ответ, Кирилл дополнительно подсказал, что вероятность вынуть из корзины 2 зелёных яблока подряд (без возвращения) равна 0,1. Сколько красных яблок в корзине у Даши? IV. Функциональная линия. Благодаря своей исходной связи с реальной жизнью, вероятностно-статистические представления могут оказать существенную помощь учащимся при изучении свойств различных функций. Рассматривая основные содержательные этапы построения функциональной линии, автор на примере когерентно-стохастических задач показал, что стохастический компонент позволяет обобщать изучаемый материал, указывать его практическую значимость и, таким образом, не только выявляет и усиливает внутрипредметные связи школьной математики, но и делает её более интересной для учащихся. Задача 3. Римма заинтересовалась: чему равна площадь фигуры, заключенной между графиками функций y = 3 x и y = x2 ? Она вырезала фигуру из бумаги, положила в картонный ящик с квадратным дном площа- 13 дью 40 кв. единиц и бросила наугад в ящик 50 крупинок пшена. На данную фигуру упали 7 крупинок, а остальные оказались вне фигуры. Чему равно найденное Риммой приближенное значение площади фигуры и какова абсолютная погрешность, если сестра – студентка университета Яна, назвала точное значение площади этой фигуры: 4,5 (кв. единиц)? V. Геометрическая содержательно-методическая линия также располагает возможностями для проведения статистических исследований и формирования вероятностных представлений учащихся. Например, в задаче 4 используются навыки измерений, построения, вычисления площадей; возведение в квадрат, составление соотношений между квадратом стороны и суммой квадратов двух других его сторон, а также перебор возможных вариантов. Задача 4. Баба-Яга решила переселиться в высотное здание с основанием треугольной формы. Она разрешила Лешему, Кикиморе и Дикому Коту сделать одноэтажные пристройки с квадратными основаниями. Того из них, у кого жилплощадь окажется больше общей жилплощади двух других, она обещает a b назначить Первым советником. Дикому Коту Кикимора Леший очень хочется стать Первым советником. Каким a b БабаЯга должен быть треугольник, чтобы он смог добиться желаемого? c Решая задачу, учащиеся получат экспериментальДикий c Кот ное доказательство теоремы Пифагора, и соотношений между квадратом стороны и суммой квадРис.1 ратов двух других его сторон. Затем данные утверждения доказываются теоретически: путем логических рассуждений. Экспериментальная проверка основных положений диссертации проводилась в период с 2004 по 2008 гг. с целью доказательства гипотезы диссертационного исследования. Она включала в себя три взаимосвязанных эксперимента: констатирующий, поисковый и формирующий. Констатирующий эксперимент проходил в 2004-2005 учебном году и включал в себя три основных этапа. На первом этапе в результате анкетирования и бесед с учителями школ г. Орла, было установлено, что включение элементов стохастики в школьный курс математики привело к сокращению времени, отводимого на повторение и изучение некоторых его тем. Это повлекло за собой сокращение числа решаемых на уроке задач, способствующих укреплению внутрипредметных связей. Выявленные недостатки определили характер второго этапа констатирующего эксперимента, направленного на анализ учебно-методических комплексов, описывающих методику изучения стохастических понятий. В результате опроса учителей математики было установлено настороженное отношение учителей математики к преподаванию стохастики, обусловленное тем, что существующие на сегодняшний день учебнометодические разработки изолируют стохастический материал и не позво- 14 ляют согласовать его с традиционной математикой (48,6%). Часть учителей (23,7 %) отметили, что для изучения стохастики не хватает учебного времени, а остальные учителя (27,7 %) отметили, что предлагаемый к изучению материал сложен для понимания учащихся. На третьем этапе констатирующего эксперимента установлено, что в большинстве школ г. Орла изучение элементов стохастики осуществляется в конце учебного года. Тестирование показало, что 42,6% учащихся испытывали затруднения при решении задач, требующих словесного обоснования; 34,2% - при освоении новых понятий традиционной математики; 67,6% - при применении знаний из традиционной школьной математики к решению задач со стохастическим содержанием; 58,3% - при освоении новых стохастических понятий. Причиной этого является слабая реализация внутрипредметных связей на этапе взаимодействия традиционной математики со стохастикой. Поисковый эксперимент проводился в 2005-2006 г.г. для проверки эффективности разработанных учебно-методических материалов и их последующей корректировки. Он позволил выявить темы школьной математики, которые нуждаются в усилении внутрипредметных связей. Поиск эффективной методики укрепления внутрипредметных связей школьной математики средствами стохастики осуществлялся на нескольких последовательных этапах. Первый вариант методики обучения основывался на разделении стохастического материала на две части для изучения в конце учебных полугодий, в результате чего удалось частично укрепить внутрипредметные связи традиционных тем, но не удавалось достичь согласования между изучаемым стохастическим материалом и освоенными учащимися знаниями традиционной математики. Второй вариант методики был направлен на сближение содержательнометодических линий математики. Благодаря разработке когерентностохастических задач, стало возможным осуществить преподавание элементов стохастики в конце каждой темы школьного учебника. Теоретическое осмысление этого варианта методики позволило разработать новый подход к обучению элементам стохастики, названный автором когерентно-интегративным. Окончательный вариант методики укрепления внутрипредметных связей нашёл своё выражение в учебнометодическом пособии “Стохастика в канве школьной математики”. Формирующий эксперимент проводился в 2006-2008 гг. на базе школ г. Орла с целью выяснения эффективности применения элементов стохастики для укрепления внутрипредметных связей школьной математики. На курсах повышения квалификации, учителя математики средних школ города и области были ознакомлены с разработанной методикой. Им было предоставлено учебно-методическое пособие, использованное для дальнейшего самостоятельного обучения учащихся 5-9 классов. Экспериментальные данные поступали в виде результатов контрольных работ и анкетирования учащихся, а также бесед с учителями. 15 Результаты решения задач, % В качестве подтверждения эффективности разработанного подхода сравнивались одинаковые контрольные работы учащихся, у которых учителя проводили занятия по предоставленному им учебно-методическому пособию (ЭГ – экспериментальная группа), и работы учащихся, которые по пособию не обучались (КГ – контрольная группа). Основной характеристикой работ, согласно обоснованному в первой главе критерию эффективности применения когерентно-интегративного подхода, являлось умение использовать школьную математику для решения традиционных и стохастических задач. Контрольные работы включали четыре задачи разного уровня сложности. Первые две из них – традиционные задачи минимального и среднего уровня сложности. Их решение являлось показателем удовлетворительного освоения учащимися текущего раздела математической программы. Другие две когерентно-стохастические задачи проверяли умение учащихся применять математические знания к анализу случайных явлений. Выяснение вопроса о неслучайности расхождений результатов контроля знаний ЭГ Результаты контрольной работы и КГ было осуществлено на уровне значимости 5% по критерию “хи120 квадрат”. 95,7 100 91,7 Результаты, показанные на диа82,6 грамме (рис.2), позволяют сделать вы80 вод об эффективности разработанной ЭГ 60 47,8 КГ 45,8 методики. Таким образом, при вклю40 чении в канву традиционной матема21,7 16,7 тики когерентно-стохастических задач 20 8,3 4,3 4,2 у учащихся улучшаются навыки реше0 ния стандартных задач и их умения 0 1 2 3 4 Количество решенных задач применять знания традиционной матеРис.2 матики к анализу случайных явлений. В заключении сформулированы результаты исследования: 1. Определено понятие “внутрипредметные связи” современного школьного курса математики с учетом специфики новой стохастической содержательно-методической линии. 2. Доказано, что основной причиной неудач при попытках введения в школьное обучение элементов вероятностно-статистических знаний на протяжении многих десятилетий было их обособление от основного курса, ввиду отсутствия прочных внутрипредметных взаимосвязей между стохастическими представлениями и понятиями традиционной математики. 3. Обосновано выделение нового когерентно-интегративного подхода к изучению элементов стохастики в школе и указаны его преимущества при осуществлении внутрипредметной интеграции школьной математики. 4. Разработана последовательность изучения стохастических понятий в рамках традиционных тем школьного стандарта, согласующаяся с требованиями когерентно-интегративного подхода. 16 5. В качестве наиболее эффективного средства реализации когерентноинтегративного подхода предложены специально разработанные когерентно-стохастические задачи, требующие для своего решения комплексного взаимодействия стохастической линии с другими линиями школьного курса математики. 6. Предложена методика обучения элементам комбинаторики, статистики и теории вероятностей, отвечающая целям укрепления внутрипредметных связей, которая основана на применении когерентностохастических задач и согласованном введении стохастических и традиционных понятий. Таким образом, в ходе исследования решены все поставленные задачи, цель исследования достигнута. Перспективы дальнейших исследований состоят в продолжении разработки теоретических и методических основ интеграции школьного курса математики на основе стохастики. Ближайшей задачей является изучение особенностей применения когерентно-интегративного подхода в 10-11 классах. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ДИССЕРТАЦИОННОГО ИССЛЕДОВАНИЯ ОТРАЖЕНЫ В СЛЕДУЮЩИХ ПУБЛИКАЦИЯХ: Статьи в рецензируемых журналах и изданиях, рекомендованных ВАК 1. Терехова, Л.А. Элементы стохастики как средство усиления внутрипредметных связей школьного курса математики [Текст] / Л.А. Терехова // Вестник Тамбовского университета. Серия: Гуманитарные науки. – 2008. – Вып. 5(61). – С. 347-350. Библиогр.: с. 350. – ISSN 1810-0201 (0,5 п.л.). Статьи в научных журналах 2. Терехова, Л.А. Стохастические задачи в школьном курсе математики [Текст] / Л.А. Терехова // Вестник науки. Сборник научных работ преподавателей, аспирантов и студентов физико-математического факультета ГОУ ВПО «ОГУ».– Вып. 3. – Орёл: изд-во ОГУ, 2004. – С. 132-134 (0,2 п.л.). 3. Терехова, Л.А. Занимательные формы представления традиционных задач 5-8 классов средствами стохастики [Текст] / Л.А. Терехова // Вестник науки. Сборник научных работ преподавателей, аспирантов и студентов физикоматематического факультета ГОУ ВПО «ОГУ». – Вып. 4. – Орёл: изд-во ОГУ, 2005. – С. 176-179 (0,25 п.л.). 4. Терехова, Л.А. О гуманизации математического образования средствами стохастики [Текст] / Л.А. Терехова // Вестник Елецкого государственного университета им. Бунина. Серия: История и теория математического образования. – Вып. 11 – Елец: изд-во ЕГУ им. И.А. Бунина, 2006. С. 289-292. – ISBN 5-94809200-4 (0,25 п.л.). 5. Терехова, Л.А. Привлечение математического аппарата для разрешения стохастической проблемной ситуации в школе [Текст] / Л.А. Терехова // Вестник науки. Сборник научных работ преподавателей, аспирантов и студентов физикоматематического факультета ГОУ ВПО «ОГУ». – Вып. 7. – Орёл: изд-во ОГУ, 2008. – С. 136-137 (0,1 п.л.). Работы в материалах Всероссийских и Международных конференций 17 6. Терехова, Л.А. Использование внеклассных мероприятий при формировании стохастических представлений сельских школьников [Текст] / В.Д. Селютин, Л.А. Терехова // Материалы Всероссийской научно-практической конференции “Концепция многоукладности образовательного пространства сельского социума: содержание и направления реализации”. – Орёл: изд-во ОГУ, 2003. – С. 236-238 (0,2 п.л., авторский вклад - 50%). 7. Терехова, Л.А. Изучение стохастики как важный компонент профессиональной подготовки учителей математики [Текст] / Л.А. Терехова // Качество педагогического образования. Сельский учитель. Труды V Всероссийской научно-практической конференции. – Т.1. – Орёл: изд-во ОГУ, 2004. – С. 191-193 (0,2 п.л.). 8. Терехова, Л.А. Стохастический компонент современного математического образования как важный аспект формирования личности учащегося [Текст] / Л.А. Терехова // Всероссийский конгресс «Проблемы нравственно-эстетического воспитания молодёжи: современное состояние и перспективы». Сборник материалов. – Орёл: изд-во ОГУ, 2005. – С. 246-249 (0,2 п.л.). 9. Терехова, Л.А. Реализация принципа интегративности в стохастических задачах для школьников [Текст] / Л.А. Терехова // Современные методы физикоматематических наук. Труды международной конференции. – Орёл: ООО «Картуш», 2006. – С. 197-201 (0,3 п.л.). 10. Терехова, Л.А. Профессионально-педагогическая направленность стохастической подготовки учителей математики [Текст] / Л.А. Терехова // Проблемы развития многоуровневой системы профессионального образования. Материалы всероссийской научно-практической конференции. – Орёл: изд-во ОрёлГТУ, 2006. – С. 76-79 (0,2 п.л.). 11. Терехова, Л.А. О подготовке учителей математики к реализации внутрипредметных связей средствами стохастики [Текст] / Л.А. Терехова // Личностное и профессиональное развитие будущего специалиста: материалы IV Всероссийской научно-практической internet-конференции. 24-30 мая 2008 года / отв. ред. Л.Н. Макарова, И.А. Шаршов. – Тамбов: изд-во ТГУ им. Г.Р. Державина, 2008. – С. 202-206. – ISBN 978-5-89773-063-2 (0,2 п.л.). Учебно-методические работы 12. Терехова, Л.А. Стохастика в канве школьной математики [Текст]: учебнометодическое пособие / В.Д. Селютин, Л.А. Терехова. – Орёл: изд-во ООИУУ, 2007. – 106 с. (6,75 п.л., авторский вклад - 50%). Подписано в печать 17.11. 2008. Формат 60х80 1/16 Печатается на ризографе. Бумага офсетная. Гарнитура Times. Объем 1 усл. п.л. Тираж 120 экз. Заказ № 470 Отпечатано с готового оригинал макета на полиграфической базе редакционно-издательского отдела ГОУ ВПО «Орловский государственный университет», 302026 г. Орел, ул. Комсомольская, 95. Тел. (486 2) 74- 75- 08.
