7 класс, решения

7 класс. Решения задач.
1. Асхат купил на базаре 10 носков: несколько правых и несколько левых (не обязательно поровну). Если
бы он купил 10 правых носков, то потратил бы на 28 рублей больше. Если бы купил 10 левых носков, то
потратил бы на 12 рублей меньше. На сколько левый носок дешевле правого?
Ответ 4 рубля. Решение. Разница между 10 правыми и 10 левыми носками 28+12=40 рублей. Поэтому
разница между одним правым носком и одним левым носком 40:10=4 рубля.
2. Рекс, Джульбарс, Тарзан, Барбос и Шарик резвятся на лужайке. Рекс вцепился в того, кто вцепился в
Джульбарса, Джульбарс — в того, кто вцепился в Тарзана, Тарзан — в того, кто вцепился в Барбоса,
Барбос — в того, кто вцепился в Шарика, Шарик — в того, кто вцепился в Рекса. Кто же вцепился в Рекса?
Каждый пес вцепился только в одного из оставшихся четверых.
Ответ Тарзан. Решение. Заметим, что псы вцепились друг в друга по кругу, так как в каждого кто-нибудь
вцепился, и от каждого можно добраться по цепочке вцепившихся. Расположим их по кругу и
пронумеруем числами от 1 до 5 так, что 1 вцепился во 2, 2 в 3, …, 5 в 1. Пусть Рекс идет под номером 1,
тогда Джульбарс — третий, Тарзан — пятый. Значит в Рекса вцепился Тарзан.
3. Винни-Пуху на завтрак дали тарелку наполненную медом и сгущенкой пополам. Он съел половину и
положил в тарелку еще столько же мёда. Затем съел треть содержимого и дополнил тарелку сгущенкой.
Потом съел четверть содержимого и снова дополнил тарелку сгущенкой. Потом съел пятую часть
содержимого и снова дополнил тарелку медом, после чего с аппетитом всё съел. Чего в итоге Винни-Пух
съел больше: мёда или сгущенки?
Ответ. Мед. Решение. Будем считать съеденное в тот момент, когда его добавляют в тарелку. Меда было
съедено 1/2+1/2+1/5=6/5 тарелки. Сгущенки 1/2+1/3+1/4=13/12 тарелки. Первое число больше, поэтому
меда было съедено больше.
4. Правильный треугольник ABC наложили на прямоугольный
равнобедренный треугольник ABD (AB=BD) так, что отрезки BC и AD
пересекаются в точке E. Докажите, что треугольник CDE – равнобедренный.
C
Решение. Из условия BC=AB=BD, поэтому ΔBCD — равнобедренный.
CBD=90º-60º=30º. Поэтому, BCD=(180º-30º)/2=75º. Сумма углов
треугольника 180º, поэтому AEB=180º-45º-60º=75º. AEB=CED как
вертикальные, поэтому CED=75º=ECD. Откуда и следует, что ΔCDE —
равнобедренный.
5. На доске написаны числа 1, 2, 3, ... , 2014. Петя стирает их по одному.
Докажите, что он может делать это в таком порядке, чтобы сумма нестертых
чисел всегда была составным числом.
D
E
A
B
Решение. Сумма чисел от 1 до n находится по формуле n(n+1)/2. При n>2 это число составное, поэтому
будем вычеркивать числа с конца, пока не останутся числа 1, 2, 3 и 4. Далее вычеркиваем 1, остается 2, 3 и
4 (сумма 9). Далее вычеркиваем 3, остается 2 и 4 (сумма 6). Далее вычеркиваем 2, остается 4.
6. У Пети есть 8 с виду одинаковых монет, 4 из которых весят одинаково,
остальные тоже одинаково, но чуть легче остальных. У Васи есть чашечные
весы, но за каждое взвешивание он забирает любую из монет (на свой выбор),
участвовавшую в последнем взвешивании. Сможет ли Петя гарантированно
найти две монеты разного веса?
Решение. Пронумеруем монеты числами от 1 до 8. Разобьем монеты на пары
1 и 2, 3 и 4, 5 и 6, 7 и 8. Заметим, что монет каждого веса — одинаковое
количество, поэтому, пар, где обе тяжелые будет ровно столько, сколько пар,
где обе монеты легкие. Следовательно, остальных пар (где монеты разные)
будет четное количество. Сделаем три взвешивания: 1 и 2, 3 и 4, 5 и 6.
Разберем несколько случаев:
1. Среди данных взвешиваний нечетное число неравенств. Поэтому, в невзвешенной паре монеты тоже
разного веса.
2. Среди данных взвешиваний два неравенства. Тогда в паре с равенством — одинаковые монеты и в
оставшейся паре — одинаковые, но другого веса. Поэтому можно взять по одной монете из этих двух пар.
3. Среди данных взвешиваний не было неравенств. Это означает, что в каждой паре монеты равны.
Возьмем по одной монете из каждой пары. Очевидно, что среди них будет по две монеты каждого вида.
Положим на чаши по две монеты из выбранных четырех монет. Равенство будет означать, что на каждой
чаше оказалось по одной каждого вида, и можно взять две монеты из любой чаши. Неравенство будет
означать, что в каждой чаше по две монеты одного вида, и можно взять по одной монете из разных чаш.