Функция – от Декарта до анализа успеваемости моего класса

Международный Фестиваль «Звезды Нового Века»
ФУНКЦИЯ – ОТ ДЕКАРТА
ДО АНАЛИЗА УСПЕВАЕМОСТИ МОЕГО
КЛАССА
Выполнила: ученица 8 класса «Б»
МОУ СОШ № 57 г. Астрахань
Иримиа Регина
Руководитель: учитель математики
МОУ СОШ № 57 г. Астрахань
Переяслова Наталья Владимировна
г. Астрахань – 2011г.
СОДЕРЖАНИЕ
Введение ……………………………………………………………….………….……3
§1. История возникновения понятия функция …………..……………………..……4
§2. Функции вокруг нас…………………………………………...………..………….8
2.1 Функции в естествознании ………………………………………………………11
2.2 Функции в физике………………………………………………………………...12
2.3 Функции в экономике ……………………………………………………………12
2.4. Функции в статистике……………………………………………………………14
§3. Результаты исследования ………………………………………………..………15
4. Заключение ……………………………………………………....…………………23
5.Литература ……………………………………………………….…………………24
2
ВВЕДЕНИЕ.
Математик, оперируя множеством символов,
явно имея дело с чисто формальными истинами,
тем не менее, может достичь бесконечно важных
результатов для описания физического мира.
Карл Пирсон
На уроках математики я познакомилась с линейной и квадратичной функциями, их свойствами и графиками. Но я мало знаю о том, где в реальной жизни
можно встретиться с этим понятием, и как человек использует свойства функций
в своей практической деятельности.
Реальные процессы обычно связаны с большим количеством переменных и
зависимостей между ними. Описать эти зависимости можно с помощью функций.
Знание свойств функций позволяет понять суть происходящих процессов, предсказать ход их развития, управлять ими. Изучение функций, анализ их свойств,
прогнозирование процессов с опорой на поведение функций является актуальным вопросом.
Объект исследования: понятие функция.
Предмет исследования: успеваемость учащихся 8 «Б» класса МОУ СОШ № 57.
Гипотеза исследования: с помощью понятия функция можно провести анализ
успеваемости учащихся.
Цель: увидеть связь функций с окружающим миром и практической деятельностью человека, найти практическое применение функций в школьной жизни.
Исходя из цели исследования, были выдвинуты следующие задачи исследования:
1. Изучить научную литературу, способствующую раскрытию темы исследования;
2. Познакомиться с историей возникновения понятия «функция»;
3. Рассмотреть примеры использования функций в нашей жизни;
4 .Найти практическое применение возможностей функций в жизни моего класса.
3
§1. ИСТОРИЯ ВОЗНИКНОВЕНИЯ ПОНЯТИЯ ФУНКЦИЯ
Чтобы создать математический аппарат для изучения
движений, понадобилось понятие переменной величины.
Это понятие было введено в науку французским философом и математиком Рене Декартом (1596-1650 гг.). Декарту удалось уничтожить пропасть, существовавшую со
времен древнегреческой математики, между геометрией и
арифметикой. При записи зависимостей между величинами Декарт стал применять буквы. Отношения между известными и неизвестными
величинами Декарт выражал в виде уравнений. Чтобы наглядно изображать уравнение, он заменял все величины длинами отрезков. По сути дела, здесь была заложена идея метода координат.
Одновременно с Декартом к мысли о соответствии между
линиями и уравнениями пришел другой французский математик Пьер Ферма (1601-1665 гг.). После того как в науку
вошли переменные величины, были изучены траектории
движущихся точек, достигла расцвета вычислительная математика и была создана буквенная алгебра, внимание ученых обратилось к изучению соответствий между величинами.
Термин «функция» ввел в математику Готфрид Лейбниц
(1646-1716 гг.). Он употреблял его в очень узком смысле,
связывая только с геометрическими образами.
4
В 18 веке появляется новый взгляд на функцию как
на формулу, связывающую одну переменною с другой. Подход к такому определению впервые сделал
швейцарский математик Иоганн Бернулли (16671748), который в 1718 году определил функцию следующим образом: « функцией переменной величины
называют количество, образованное каким угодно
способом из этой переменной величины и постоянных». Для обозначения произвольной функции Бернулли применил знак f(х).
Окончательную формулировку определения функции с аналитической точки зрения сделал в 1748 году ученик Бернулли, швейцарский,
немецкий и российский математик Леона́рд Эйлер:
«Функция переменного количества есть аналитическое
выражение, составленное каким-либо образом из этого
количества и чисел или постоянных количеств». Так
понимали функцию на протяжении почти всего 18 века
Даламбер, Лагранж, Фурье и другие математики.
В «Дифференциальном исчислении», вышедшем
в свет в 1755 году, Эйлер дает общее определение функции: «Когда некоторые
количества зависят друг от друга таким образом, что при изменении последних
и сами они подвергаются изменению, то первые называют функцией вторых».
Одним из нерешенных вопросов, связанных с понятием функции, был следующий: можно ли одну функцию задать несколькими аналитическими выражениями?
5
Большой вклад в решение этого вопроса внес французский математик Жан Батист Жозеф Фурье.
Он привел первые примеры функций, которые заданы на
различных участках различными аналитическими выражениями.
В 1834 году в работе «Об исчезании тригонометрических строк» Н.И. Лобачевский, развивая вышеупомянутое эйлеровское определение функции, писал: «Общее
понятие требует, чтобы функцией от х называть число,
которое дается для каждого х и вместе с х постепенно
изменяется. Значение функции может быть дано и аналитическим выражением, или условием, которое подаёт
средство испытывать все числа и выбирать одно из них;
или, наконец, зависимость может существовать, или
оставаться неизвестной. Обширный взгляд теории допускает существование зависимости только в том смысле, чтобы числа, одни с другими в связи, принимать
как бы данными вместе».
Современное определение функции, свободное от
упоминания об аналитическом задании, обычно приписывают Ио́ганну Пе́теру Гу́ставу Лежён - Дирихле́
(13.02.1805 - 05.05.1859), который так сформулировал общее определение понятия функции:
«у есть функция переменной х ( на отрезке а ≤ х ≤ b
) , если каждому значению х на этом отрезке соответствует совершенно определенное значение у,
6
причем безразлично каким образом установлено это соответствие – аналитической формулой, графиком, таблицей либо даже просто словами».
Во второй половине 19 века в понятие функции, помимо идеи соответствия
была включена идея множества. Таким образом, в полном своем объеме общее
определение понятия функции формулируется следующим образом: если каждому элементы х множества А поставлен в соответствие некоторый определенный
элемент у из множества В, то говорят, что на множестве А задана функция у = f(х),
или что множество А отображено на множество В. В первом случае элементы х
множества А называют значениями аргумента, а элементы у из множества В –
значениями функции; во втором случае х – прообразы, у – образы.
Появление понятия функция послужило, по словам Энгельса, поворотным
пунктом в математике, благодаря чему в нее вошли движение и тем самым диалектика. Без переменных величин, Ньютон не смог бы выразить законы динамики, описывающие процессы механического движения тел – небесных и вполне
земных, а современные ученые не могли бы рассчитывать траектории движения
космических кораблей и решать бесконечное множество технических проблем
нашей эпохи. С развитием науки понятие функции уточнялось и обобщалось.
7
§2. ФУНКЦИИ – ВОКРУГ НАС
Кубическая функция
-Кубическая функция задаётся многочленом третьей степени.
-Функция возрастает на всей числовой прямой
Обратная пропорциональность
Обратная пропорциональность – это функциональная зависимость, при которой
увеличение независимой величины (аргумента) вызывает пропорциональное
уменьшение зависимой величины (функции).
8
Прямая пропорциональность
Прямая пропорциональность — функциональная зависимость, при которой
некоторая величина зависит от другой величины таким образом, что их отношение остаётся постоянным. Иначе говоря, эти переменные изменяются пропорционально, в равных долях, то есть, если аргумент изменился в два раза в каком-либо
направлении, то и функция изменяется тоже в два раза в том же направлении.
Квадратичная функция
Квадратичная функция является наиболее хорошо изученной функцией, она довольно часто встречается на практике. Графиком квадратичной функции является
парабола.
9
Рассмотрим примеры квадратичной функции в некоторых сферах
нашей жизни.
Хорошо известно, что траектория камня, брошенного под углом к горизонту, летящего футбольного мяча, струи воды, выпущенной из шланга, парашютиста, выпрыгнувшего из горизонтально летящего самолета, артиллерийского снаряда, будет параболой (при отсутствии сопротивления воздуха). Однако мало кто
знает, что зона достижимости для пущенных нами камней вновь будет
параболой.
Парабола обладает оптическим свойством: все лучи, исходящие из источника света, находящегося в фокусе параболы, после отражения оказываются направленными параллельно ее оси.
10
Примеры функций в естествознании
Рост дерева подчиняется сложнейшей функции, которая зависит от породы
дерева и времени роста.
На этой графической иллюстрации хорошо видна зависимость
численности рысей от численности зайцев. Для того чтобы рыси продолжали свое
существование, необходимо явное преобладание зайцев.
11
Функции в физике
ЗАКОН ОМА
Сила тока в проводнике прямо пропорциональна напряжению и обратно пропорциональна сопротивлению на концах проводника.
I = U/ R. На рисунке зависимость силы тока от сопротивления проводника при
одном и том же напряжении на его концах показана графически.
Функции в экономике
В течение последних трех лет страны мира находятся в состоянии финансово - экономического кризиса, начавшегося в США. Пришел кризис и в Россию.
Нас заинтересовало, какие функциональные зависимости в экономике подверглись изменениям в связи с этим, и каким образом. Изучением этих вопросов занимается математическая экономика – наука, предметом которой являются математические модели экономических объектов и процессов.
Как известно, кризис начался в США, где большая денежная масса была
выдана населению в виде кредитов. В определенный момент времени взявшие
12
кредиты не смогли в полной мере выполнять обязательства по их выплате. Это
привело к резкому кризису финансовой системы США, и как следствие этого, к
оттоку денежных средств, вложенных иностранными инвесторами в российскую
экономику. Параллельно падали цены на нефть, что также снижало приток денежных средств в нашу страну.
Экономический рост в России за последние пять лет в большей степени
определялся высокими ценами на энергоресурсы: нефть и газ. И когда цены на
нефть упали, денежный поток, который шел в Россию, сократился. Как следствие
этого сократился спрос внутри страны на продукцию, что в свою очередь привело
Цена на нефть
Цена на нефть
Объём промыш. производства
Рис. 5
Покуп. способность нас.
Рис. 3
Рис. 4
Цена на товары
Предлож. товаров на рынке
Рис. 2
Инвестиционная привлек. производ.
Рис. 1
Денежная масса
Объём промыш. производства
Курс доллара
Денежная масса
Покупат. способность нас.
к сокращению производства. Финансовый кризис перешел в промышленный.
Инвестиционная
привлекательность производства
Рис. 6
Предлож. товаров на рынке
Рис. 7
13
Рисунок 1. Цены на нефть низкие, соответственно приток долларов в Россию снизился (цены на нефть упали - курс доллара вырос).
Рисунок 2.Цены на нефть упали – денежной массы в стране стало меньше.
Рисунок 3. Денежная масса сократилась – снизилась покупательная способность
населения.
Рисунок 4. Снизилась покупательная способность населения – произошел спад
промышленного производства.
Рисунок 5. Произошел спад промышленного производства - сократилась инвестиционная привлекательность производства (вкладывать деньги стало невыгодно).
Рисунок 6. Сократилось производство – сократилось предложение товаров на
рынке.
Рисунок 7. Предложение упало – выросли цены.
Таким образом, мы видим, что экономические процессы так же могут быть
отражены графиком математической функции.
Функции в статистике
Математическая статистика – это наука, изучающая методы обработки результатов. Запись результатов наблюдений стремятся сделать более удобными для
восприятия и для последующей обработки. Весь интервал возможных значений
разбивают на части и подсчитывают число наблюдений, попавших в каждый из
отрезков наблюдений.
Моя исследовательская работа проведена для наглядности применения математической статистики в рамках изучения изменения успеваемости в нашем классе в определенный период времени.
14
§3. РЕЗУЛЬТАТЫ ИССЛЕДОВАНИЯ
I. Исследование общей успеваемости 8 «Б» класса МОУ «СОШ №57» по основным предметам: русский язык, алгебра, физика, химия в течение четырех четвертей учебного года 2010-2011.
СРЕДНЕЕ КОЛИЧЕСТВО ОЦЕНОК
В ДЕНЬ
МЕСЯЦ
УЧЕБНЫХ
ДНЕЙ
«2»
«3»
«4»
«5»
Сентябрь
24
1,125
5,12
3,37
2,41
Октябрь
26
2,19
7,03
4,46
3,73
Ноябрь
17
3,7
10,35
5,7
3,11
Декабрь
26
3,03
10,5
7,23
2,84
Январь
15
0,8
4,13
3,53
2,66
Февраль
16
2,25
6
4
2,43
Март
17
3,17
7,88
5,35
4,58
Апрель
20
4,45
8,3
4,4
1,65
Май
17
2,29
14,5
7,7
4,11
расчёт коэффициен та 
количество оценок
количество учёбных дней в месяце
15
Примечание: Небольшое количество учебных дней в ноябре и марте, связанно с
каникулами, в феврале – с карантином по гриппу.
Вывод: График общей успеваемости по четырем основным предметам показывает, что активность получения оценок имеет амплитудный характер.
1. С начала учебного года оценки «3» и «4» достигают своего максимального количества к концу второй четверти, затем происходит уменьшение этого показателя. Конец учебного года, а в особенности месяц май, отличается резким увеличением среднего количества в день «4» и особенно «3». При этом показатель среднего количества «3» на протяжении всего учебного года значительно выше, чем
других оценок.
2. Примечательно, что графики среднего количества «5» и «2» имеют приблизительно одинаковые кривые. Интересным является тот факт, что к концу каждой
четверти, за исключением второй, среднее количество «5» возрастает, а «2» снижается.
16
3. Следует отметить тот факт, что на графике видно резкое снижение среднего
количества «2», «3» и «4» к концу января. Показатель «5» постепенно снижается.
4.В общем можно заметить, что самой «популярной» оценкой в течение всего исследуемого периода является «3», на втором месте – «4», затем «5», и только потом «2».
II. Исследование успеваемости девочек 8 «Б» класса МОУ «СОШ №57» г.
Астрахань по предметам: русский язык, алгебра в течение четырех четвертей
учебного года 2010-2011.
СРЕДНЕЕ КОЛИЧЕСТВО ОЦЕНОК
В ДЕНЬ
УЧЕБНЫХ
ДНЕЙ
«2»
«3»
«4»
«5»
Сентябрь
24
0,41
2,12
1,58
0,83
Октябрь
26
0,69
2,26
1,65
1,15
Ноябрь
17
0,7
2,94
2,76
1,52
Декабрь
26
0,5
2,42
2,11
1,07
Январь
15
0,13
0,46
0,66
0,8
Февраль
16
0,5
0,93
1,06
0,93
Март
17
0,82
1,82
1,88
1,58
Апрель
20
2,3
4,7
2,5
1,5
Май
17
1,17
7,2
4
3
МЕСЯЦ
17
расчёт коэффициен та 
количество оценок девочек
количество учёбных дней в месяце
Вывод:
1. График успеваемости девочек по двум основным предметам показывает,
что общая картина «популярности» оценок такая же, как и у всего класса. Но кривые имеют более мягкие перепады и самый стабильный показатель у «5» и, пожалуй, у «2». А среднее количество «3» и «4» в день так же резко уменьшается в январе.
2. К концу учебного года наблюдается подъем всех показателей. Апрель месяц является критическим для среднего количества в день «3» и «2» у девочек –
оно резко возрастает. В мае, к сожалению, количество «3» резко увеличивается.
18
3. Утешительным является то, что среднее количество «2» в мае уменьшается,
а «4» и «5» несколько увеличивается.
III. Исследование общей успеваемости мальчиков 8 «Б» класса МОУ
«СОШ №57» г. Астрахань по предметам: русский язык, алгебра в течение четырех
четвертей учебного года 2010-2011.
СРЕДНЕЕ КОЛИЧЕСТВО ОЦЕНОК
В ДЕНЬ
УЧЕБНЫХ
МЕСЯЦ
ДНЕЙ
«2»
«3»
«4»
«5»
Сентябрь
24
0,37
1,37
0,7
0,75
Октябрь
26
0,69
1,96
1,84
0,65
Ноябрь
17
0
0,41
0,52
0,35
Декабрь
26
1
2,76
3,19
0,76
Январь
15
0,86
4,143
1,8
1,6
Февраль
16
0,25
1,12
0,62
0,37
Март
17
0,29
1,17
1,0
1,23
Апрель
20
2,1
3,6
1,8
0,15
Май
17
1,1
7,2
3,7
1,05
19
расчёт коэффициен та 
количество оценок у мальчиков
количество учёбных дней в месяце
Вывод:
1. График успеваемости мальчиков отличается от графика девочек резкими
перепадами показателей. При практически равном старте «2», «3» и «4» в начале
года, уже к декабрю количество всех оценок, т.е. показатель активности мальчиков на уроках, падает.
2. В отличие от девочек среднее количество «3» в день в январе резко повышается.
3. Мы можем также увидеть, что к концу января среднее количество «5» у
мальчиков даже больше, чем у девочек, но к концу февраля этот показатель
уменьшается. Среднее количество «4», начиная с декабря, резко падает.
20
4. Лишь к концу учебного года отмечается подъем учебной активности.
Наблюдается резкий подъем среднего количества «3» и «4» в день.
5. Интересен тот факт, что апрель месяц является критическим для среднего количества «3» и «2» у мальчиков, как и у девочек – оно резко возрастает. В мае показатели количества «2» и «3» и у тех и у других практически одинаковы.
Месяц
Учебных дней
Сравнительная таблица
СРЕДНЕЕ КОЛИЧЕСТВО ОЦЕНОК В МЕСЯЦ
2
3
4
5
Мальчи-
Девоч-
Мальчи-
Девоч-
Мальчи-
Девоч-
Мальчи-
Девоч-
ки
ки
ки
ки
ки
ки
ки
ки
Сентябрь
24
0,37
0,41
1,37
2,12
0,7
1,58
0,75
0,83
Октябрь
26
0,69
0,69
1,96
2,26
1,84
1,65
0,65
1,15
Ноябрь
17
0
0,7
0,41
2,94
0,52
2,76
0,35
1,52
Декабрь
26
1
0,5
2,76
2,42
3,19
2,11
0,76
1,07
Январь
15
0,86
0,13
4,13
0,46
1,8
0,66
1,6
0,8
Февраль
16
0,25
0,5
1,12
0,93
0,62
1,06
0,37
0,93
Март
17
0,29
0,82
1,17
1,82
1
1,88
1,23
1,58
Апрель
20
2,1
2,3
3,6
4,7
1,8
2,5
0,15
1,5
Май
17
1,1
1,17
7,2
7,2
3,7
4
1,05
3
21
Расчет среднего коэффициента частоты получения оценок
в течение девяти исследуемых месяцев
Коэффициент
Мальчики
Девочки
Мальчики
Девочки
Мальчики
Девочки
0,47
0,3
1,69
1,3
1,08
0,9
расчёт коэффициен та 
Мальчики
Девочки
0,49 0,65
сумма коэффициен тов девочек ( мальчиков )
количество девочек ( мальчиков )
Итоги проведенного исследования
1. По среднему количеству оценок, получаемых в течение года, мальчики занимают лидирующее положение – их суммарный средний показатель 3,73 , у девочек – 3,15.
2. К сожалению, среднее количество оценок «2»(0,47), а особенно оценок
«3»(1,69) у мальчиков больше, чем у девочек: «2»(0,3), «3»(1,3). По оценке «4» у
мальчиков показатель выше – 1,08 по сравнению с показателем 0,9 у девочек. По
оценке «5» мальчики (0,49) отстают от девочек (0,65).
3. Следовательно, средняя успеваемость девочек в течение учебного года выше,
чем у мальчиков.
22
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В ходе своего исследования я познакомилась с историей возникновения понятия функция. Узнала что, функция – понятие, применимое не только к математике, но и ко многим сферам нашей жизни, таким как, естествознание, экономика,
статистика и др. Провела анализ успеваемости учащихся моего класса.
Великий Г. Галилей (1564-1642), высказал мысль, что книга природы написана на математическом языке и ее буквы – математические знаки и геометрические фигуры, без них невозможно понять ее слова, без них тщетно блуждание в
бесконечном лабиринте. А именно функция является тем средством математического языка, которое позволяет описывать процессы движения, изменения, присущие природе. Функция – одно из основных математических и общенаучных
понятий, выражающее зависимость между переменными величинами.
Анализ сведений, почерпанных из исследовательских работ, в которых
применяется функциональная зависимость, может спрогнозировать дальнейший
ход событий, вовремя откорректировать факторы, негативно влияющие на различные жизненные процессы. Скорее всего, функциональный анализ именно поэтому остаётся и в наше время одним из приоритетных направлений для работы
учёных.
23
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ:
1. Аксёнова М., Володин В., Вильчек Г. / Аванта + / Энциклопедия для детей.
(Том 19.)Экология / М.: 2007. – 448с.
2. Аксенова М., Володин В./ Аванта +/ Энциклопедия для детей. (Том 16, часть I,
II), Физика/ М:, 2000 г./ 840 с.
3. Аксёнова М., Леенсон И., Мартынова С. / Аванта + Астрель / Химия. – 2-е издание, переработанное / М.:, , 2007. – 656 с.: ил.
4. Аксенова М.Д./ Аванта +/ Энциклопедия для детей «Математика», том 11 - М:/
2000 г., 688 с.
5. Белл Э.Т./ Просвещение /Творцы математики, пособие для учителей, М.:, 1979
г., 255 с.
6. Большев Л.Н., Смирнов Н.В. Таблицы математической статистики.- М.:
Наука,1983.
7. Боровков А.А. Математическая статистика.- М.: Наука, 1984.
8. Бочаров П.П., Печинкин А.В. Теория вероятностей. Математическая статистика
– М:ФИЗМАТЛИТ, 2005.
9. Буминович Е.А., Булычев В.А.«Вероятность и статистика в курсе математики
общеобразовательной школы»
10.Ватутин В.А. Теория вероятностей и математическая статистика в задачах – М:
Дрофа, 2003.
11. Крамер Г. Математические методы статистики.- М.: Мир, 1975.
12. Мордкович А.Г., Семенов П.В. «События. Вероятности. Статистическая обработка данных».
24
13. Симонович С.В., Евсеев Г.А. Занимательный компьютер. Книга для детей,
учителей и родителей. – М.: АСТ-ПРЕСС КНИГА, Инфорком-Пресс, 2002 г.
14. Интернет ресурсы:
http://ega-math.narod.ru/Bell/p0.htm
http://portfolio.1september.ru/work.php?id=584032
Фотографии:
http://belopolye.narod.ru/known_people/march/img/descartes1.jpg
http://forum.shadrinsk.net/albums/albums/userpics/10782/081701.jpg
http://www.fisnyak.ru/_nw/16/s39582679.jpg
http://www.apprendre-math.info/history/photos/Bernoulli_Johann_3.jpeg
http://butsurigakunosensei.free.fr/images/histoirephysique/euler.jpg
http://www.fmclass.ru/pic/484146cd91406/pic.jpg
http://www.geocaching.su/photos/areas/41185.jpg
http://www.teor-meh.ru/uploads/articles/572_1_max.jpg
Картинки:
http://graphfunk.narod.ru/images/x3.gif
http://e-science.ru/img/math/func/02020301.jpg
http://e-science.ru/img/math/func/02010102.jpg
http://sci.tspu.ru/SITES/spravo4nik/p/8x.gif
http://900igr.net/datas/matematika/Funktsii-3/0013-013-Zamechatelnoe-svojstvoparaboly.jpg
15. Таблицы, графики, формулы расчёта коэффициента в параграфе о результатах
исследования – автора.
25