Алгоритм проектирования подкрепленных композитных пластин Математика. Механика. Информатика

ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
Математика. Механика. Информатика
2013
Вып.4(23)
УДК 004.9
Алгоритм проектирования подкрепленных
композитных пластин
А. Ш. Кусяков
Пермский государственный национальный исследовательский университет
Россия, 614990, Пермь, ул. Букирева, 15
kusyakov@psu.ru; 89026354772
Приведен алгоритм проектирования подкрепленной композитной пластины, не требующий
применения методов нелинейного математического программирования. При построении
математической модели учитываются ограничения на общую и местную формы потери
устойчивости, а также ограничения по прочности.
Ключевые слова: композит; пластина; ребра жесткости; проектирование.

Рассматривается подкрепленная композитная пластинка длиной a и шириной b,
находящаяся под действием сжимающих
нагрузок q (рис. 1).
q
t r , H r , Fr , J r – шаг, высота, площадь
поперечного сечения и момент инерции поперечных ребер соответственно;
 ,  s ,  r – плотности материалов пластинки, продольных и поперечных ребер соответственно;
E1 , E2 – модули упругости вдоль и поперек волокон материала пластинки соответственно;
 12 ,  21 – коэффициенты Пуассона материала пластинки;
G12 – модуль сдвига материала пластинки;
 1в – предел прочности материала слоя
полотна пластины при сжатии вдоль волокон;
Es , Er – модули упругости материалов
продольных и поперечных ребер;
 1s – предел прочности материала
продольных ребер при сжатии.
q
Рис. 1. Подкрепленная пластинка под
действием сжимающих нагрузок
Предполагается, что полотно пластинки
образовано укладкой продольных и поперечных слоев, упакованных симметрично относительно срединной поверхности пластинки,
а ребра жесткости представляют собой однонаправленные композиты.
Введем следующие обозначения:
h – толщина многослойной пластинки;
 0 и  90 – относительные содержания
продольных и поперечных слоев соответственно;
t s , H s , Fs , J s – шаг, высота, площадь
поперечного сечения и момент инерции продольных ребер соответственно;
В наиболее общем виде задача оптимального проектирования подкрепленной
пластинки формулируется следующим образом: найти минимум массы подкрепленной
пластины при условии сохранения устойчивости и прочности.
Основным физическим ограничением в
этой задаче служит условие сохранения
устойчивости конструкции. При построении
© Кусяков А. Ш., 2013
34
Алгоритм проектирования подкрепленных композитных пластин
ограничения по устойчивости воспользуемся
основным разрешающим уравнением устойчивости ортотропных пластин [2]
Для шарнирно опертой по всему контуру пластинки решение основного разрешающего
уравнения можно представить в виде

где

w   wmn sin m x sin n y ,
2w
Lw  2 q  0 ,
x
(1)
где
m 
4
4
L  D11 4  2( D12  2 D66 ) 2 2 
x
x y
m
нагрузка; Dij – компоненты матрицы изгибной жесткости (i, j = 1, 2, 6).
q
,
x
2m
a
y
n 
Рис. 2. Система координат пластинки

b
. Выражение для параметра нагрузки
в этом случае можно представить в виде
В случае гладкой многослойной пластинки, состоящей из симметрично упакованных относительно срединной поверхности
пластины продольных и поперечных слоев,
изгибные жесткости вычисляются по известным формулам [4]:
, (i, j = 1, 2, 6).
 
q  D112m  2D12  2 D66   
b
2
D  
 222   .
m  b 
4
(3)
D  
D   222   .
m  b 
4
2
11 m
A11  b11 0  b22 90 ,
(4)
Компоненты матрицы жесткости слоя в главных осях b11 , b22 , b12 и b66 связанны с упругими постоянными следующими зависимостями:
b11 
m 

b
4
D22
.
D11
(11)
Подставив выражение (11) в формулу
(9), получим выражение для критической
нагрузки [2]
E2
, b22 
,
1   12 21
1   12 21
 12 E 2
b12 
, b66  G12 .
1   12 21
(10)
Отсюда найдем m :
A12  b12 , A66  b66 .
E1
(9)
Минимум последнего выражения, очевидно,
достигается при условии равенства первого и
третьего слагаемых
Здесь A11 , A22 , A12 и A66 – компоненты матрицы жесткости многослойного пакета:
A22  b22 0  b11 90 ,
. (8)
Критическая нагрузка определяется путем минимизации выражения (8) по параметрам волнообразования (7). Очевидно, что в
выражении (8) надо положить n  1, то есть
b
12
n
D114m  2D12  2 D66 2m 2n  D22 4n
0
Aij h 3
n 
.
(7)
b
a
Здесь m, n – числа полуволн по направлениям x, y соответственно. Подставив выражение для прогиба в основное разрешающее
уравнение, из условия существования нетривиального решения получим выражение для
параметра нагрузки
(2)
4
 D22 4 .
y
Здесь w – прогиб пластины; x, y – координаты (рис. 2); q – заданная сжимающая
Dij 
(6)
m 1 n 0
(5)
q cr 
35
2 2
b2


D11 D22  2D12  2 D66  . (12)
А. Ш. Кусяков
Известно, что формула вида (12) может
быть использована для исследования как общей, так и местной форм потери устойчивости. В случае общей формы потери устойчивости изгибные жесткости ортотропной пластины следует заменить на "приведенные" изгибные жесткости подкрепленной пластины:
D11p  D11 
для напряжений в продольных слоях пластинки и продольных ребрах соответственно:
1 
q0 
(13)
es 
J rp  J r  er2 Fr ;
(14)
h  Hs
h  Hr
.
, er 
2
2
(15)

Здесь e s и er – расстояния между срединной поверхностью пластины и центрами
тяжести продольных и поперечных ребер соответственно (эксцентриситеты).
При исследовании местной формы потери устойчивости изгибные жесткости вычисляются по формулам (3), а ширина пластинки b заменяется на величину t s (шаг
продольных ребер). Кроме этого, выражение
(12) следует умножить на редукционный коэффициент, учитывающий тот факт, что часть
нагрузки воспринимается продольными ребрами. Этот коэффициент может быть найден
из условия совместности деформаций продольных ребер и полотна пластинки. Таким
образом, критическая нагрузка, соответствующая местной форме потери устойчивости,
может быть записана в виде:
q crm  k s
2 2
t s2

(18)
q
,
ks
q s  q  q0 .
(19)
Здесь q 0 и q s – распределенные нагрузки,
воспринимаемые полотном пластинки и продольными ребрами соответственно.
В качестве параметров оптимизации подкрепленной пластинки следующие величины:
h – толщина многослойной пластинки;
 0 – относительное содержание продольных слоев;
 90 – относительное содержание поперечных слоев;
hs – условная "толщина" продольных
где
J sp  J s  e s2 Fs ,
qs t s
,
Fs
s 
где
E s J sp
E Jp
, D22p  D22  r r ;
ts
tr
D11p  D12 , D66p  D66 ,
A11 q0
,
b11 h
ребер  hs 
Fs
ts

 ;


H s – высота продольных ребер;
t s – шаг продольных ребер;
hr – условная "толщина" поперечных

ребер  hr 
Fr
tr

 ;


H r – высота поперечных ребер;
t r – шаг поперечных ребер.
Таким образом, уточненная формулировка задачи оптимального проектирования
подкрепленной пластины выглядит так: найти
неотрицательные значения параметров оптимизации, которые обеспечивают минимум
массы конструкции
G  abh   s hs   r hr 

D11 D22  2D12  2 D66  . (16)
(20)
при наличии ограничений
Здесь k s – редукционный коэффициент, вычисляемый по формуле
E F
A22
.
ks 1  s s
t s A11 A22  A122 h


 0   90  1 ;
Hs
 1,
H sm
q
 1,
q cr
(17)
При оценке прочности подкрепленной
пластины допустим, что вся нагрузка воспринимается продольными слоями пластинки и
продольными ребрами. С учетом принятого
допущения получим следующие выражения
Hr
 1;
H rm
q
 1;
qcrm
s
1
 1,
1.
 1b
 1s
36
(21)
(22)
(23)
(24)
Алгоритм проектирования подкрепленных композитных пластин
Здесь равенство (21) – структурное
ограничение; неравенства (22) – ограничения
на высоты продольных и поперечных ребер
( H sm и H rm – максимально допустимые по
условиям технологии значения высот продольных и поперечных ребер); неравенства
(23) – ограничения по общей и местной формам потери устойчивости; неравенства (24) –
ограничения по прочности для полотна пластинки и продольных ребер. Для решения
данной задачи можно воспользоваться любым
известным методом нелинейного математического программирования [5].
В результате многочисленных расчетов
было установлено, что независимо от величины сжимающей нагрузки
1) происходит полное вырождение поперечных слоев полотна пластинки и
поперечных ребер;
2) всегда активны ограничения по
прочности.
На основании полученных результатов
можно рекомендовать следующий алгоритм
проектирования подкрепленной пластины (в
предположении, что ребра и полотно пластины изготовлены из одного и того же материала):
4. Если условие устойчивости, полученное на предыдущем шаге, не выполняется,
решаем уравнение относительно безразмерного параметра 
qcr ( )  q ,
(28)
где

 следующим образом:
   H s
D 
12 1     h f

p
11
D 
.
(25)

3
b66 h 3f
121   
3
b22h 3f
121   
3
.
,
(30)
5. По найденным значениям параметра
и полной условной "толщины" h f вычис-
лим величины h и hs
h
hf
1 
, hs 
h f
.
1 
(31)
6. Шаг продольных ребер находим из
условия сохранения местной устойчивости
(26)
qcrm  q .
3. Полагая h  h f , находим критиче-
(32)
Здесь qcrm – критическая нагрузка, вычисляемая по формуле (16). Выразим изгибные жесткости панели между ребрами, а также редукционный коэффициент через величины h f и  :
скую нагрузку для гладкой пластинки qcr .
Проверяем выполнение условия устойчивости
q
 1.
q cr
D 
p
22
,
121   
2
2

 1
 
H
s
  3
 ,


 1   h  
f


 
Для решения уравнения (28) можно
воспользоваться, например, методом половинного деления.
ной пластины
 1b
b12 h 3f
D66p 
продольных ребер, t s – шаг продольных ребер.
2. Из условия прочности вычисляем
полную условную "толщину" h f подкреплен-
hf 
b11h 3f
p
12
Таким образом, остаются только три
искомых параметра: h – толщина многослойной пластинки, hs – условная "толщина"
q
(29)
Здесь qcr – критическая нагрузка (12),
соответствующая общей
форме потери
устойчивости подкрепленной пластинки. Изгибные жесткости подкрепленной пластины,
входящие в выражение для критической
нагрузки, выражаются через величины h f и
1. Полагаем
 0  1 ,  90  0 , hr  0 ,
H r  0 , t r  a , H s  H sm .
hs
.
h
(27)
Если это условие соблюдается, то процесс
проектирования завершается, так как уменьшение массы конструкции за счет использования ребер невозможно.
D11 
37
b11h 3f
12(1   ) 3
, D12 
b12 h 3f
121   
3
,
А. Ш. Кусяков
D22 
b22 h 3f
121   
3
, D66 
b66 h 3f
121   
3
;
держит, в частности, оболочечный элемент
SHELL63 и балочный элемент BEAM3, которые могут быть использованы для расчета
подкрепленных пластин.
(33)
k s 1   .
Список литературы
Подставив выражения (33) и (34) в уравнение
(33), после несложных преобразований получим явное выражение для нахождения шага
продольных ребер:
ts 

b11b22  b12  2b66
1 
6q
h 3f .
1. Басов К.А. ANSYS: Справочник пользователя. М.: ДМК Пресс, 2005. 640 с.
2. Вольмир А.С. Устойчивость упругих систем. М.: Физматгиз, 1963. 880 с.
3. Кусяков А.Ш. Конечно-элементное моделирование в среде ANSYS / Перм. гос. ун-т.
Пермь, 2007. 150 с.
4. Тетерс Г.А., Рикардс Р.Б., Нарусберг В.Л.
Оптимизация оболочек из слоистых композитов. Рига: Зинатне, 1978. 240 с.
5. Химмельблау Д. Прикладное нелинейное
программирование. М.: Мир, 1975. 534 с.
(35)
После получения оптимального варианта конструкции рекомендуется произвести
уточненный прямой расчет, используя какуюлибо доступную систему инженерного анализа, например систему ANSYS [1, 3]. Библиотека конечных элементов этой системы со-
The algorithm design stiffened composite plates
A. Sh. Kusyakov
Perm State University, Russia, 614990, Perm, Bukireva st., 15
kusyakov@psu.ru; 89026354772
An algorithm for the design of composite stiffened plates without requiring extending the application of methods of nonlinear mathematical programming. In the construction of a mathematical
model takes into account constraints on the general and local form of loss of stability, as well as
restrictions on strength.
Key words: composite; plate; stiffener; design.
38