Модель Дебая

ФОНОНЫ.
Фононы представляют собой кванты поля звуковых волн в макроскопическом
теле. Теоретически они вводятся также как фотоны при квантовании
электромагнитного поля. Электромагнитное поле может быть разложено в ряд
Фурье по плоским волнам. При этом гамильтониан электромагнитного поля
разлагается на сумму членов, каждый из которых эквивалентен гармоническому
осциллятору. Квантами энергии этих гармонических осцилляторов и являются
фотоны.
Аналогично гамильтониан твердого тела, которое построено из атомов,
образующих кристаллическую решетку, может быть аппроксимирован суммой
членов, каждый из которых представляет гармонический осциллятор,
соответствующий нормальному колебанию системы атомов. В классической
механике нормальное колебание есть волна деформации плоскостей решетки,
т.е. звуковая волна. В квантовой механике такие колебания порождают кванты,
называемые фононами.
Поэтому квантовое состояние кристаллической решетки, близкое к основному,
должно характеризоваться числами имеющихся фононов с данными
импульсами. Следовательно, при низких температурах твердое тело можно
рассматривать как объем, содержащий газ невзаимодействующих фононов.
Поскольку фонон является квантом некоторого гармонического осциллятора, он
имеет характеристическую частоту  i и энергию i .
Состояние решетки, характеризующееся наличием одного фонона,
 , причем волновой
соответствует звуковой волне, записанной в виде: e 

вектор имеет величину k  , где с – скорость звука. Вектор поляризации 
c

не обязательно перпендикулярен волновому вектору k . Таким образом, вектор
поляризации имеет три независимые компоненты, соответствующие одному
продольному колебанию – волне сжатия и двум поперечным колебаниям –
волнам сдвига. Так как в возбужденном состоянии гармонический осциллятор
может иметь любое число квантов, фононы подчиняются статистике Бозе,
причем их полное число не сохраняется.

i kr t
Твердое тело, состоящее из N атомов, имеет 3N нормальных колебаний, поэтому должно быть
3N различных типов фононов с характеристическими частотами
1 ,  2 ,..., 3N .
Значения этих частот зависят от свойств решетки. В эйнштейновской модели решетки
принимается, что все частоты равны между собой. Усовершенствованием этой модели является
модель Дебая, который принял, что для определения частот, и только для этой цели, можно
рассматривать твердое тело как упругий континуум объема V. Фононные частоты являются в
этом случае 3N нижними нормальными частотами такой системы. Поскольку упругий
континуум имеет непрерывное распределение частот, нас интересует число нормальных
колебаний, частоты которых лежат между  и d. Чтобы найти это число, нужно учесть
граничные условия для звуковой волны в упругой среде. Выбирая граничные условия
периодичности, находим, как обычно,


2
k  2 / L n 
V 1/ 3

 nx 
 
ny  ,
n 
 z
(1)
причем вектор n имеет целые компоненты 0,  1,  2,... .Интересующее нас число нормальных
колебаний с частотами  и d равно
f d  3V
4 2 k 2 dk
23 c 3
.
(2)
Множитель 3 появляется из-за того, что возможны три направления
поляризации. Поскольку k   / c , имеем
f d  V
3 2 d
.
2 2 c 3
Максимальную частоту  m определим из условия
(3)
ь 3 2 d
m 3
V
 3N
2 3
2 3
2 c
0 2 c
1
/
3
2
m
 f d  V 
0
 2 

откуда при v  V / N получим  m  c
 3v 


,
(4)
.
Длина волны, соответствующая  m , равна  m 
2c
 12v 1 / 3 , т.е. примерно
m
расстоянию между частицами.
Вычислим статистическую сумму для газа фононов. Энергия состояния, в
3N
котором имеется ni фононов i-ого сорта, равна Eni    ni i .
i 1
Фононы, так же как фотоны, подчиняются статистике Бозе. Ввиду отсутствия
закона сохранения частиц, химический потенциал фононной системы равен
нулю. Поэтому
1
1
ni 

,
i / T
i / T
e
1 e
1
(5)
3N
 i
3V  4 kmax 2
ck
3V  4 max 2

E 


 k dk ck / T
  d  / T .
 / T
i 1 e i
e
 1 2c 3 0
e
1
 1 23 0
 2 2 N 

Поскольку  max  c
 3V 


1/ 3
, имеем:
max
E
9

9T 4 max / T 3
1
2


d


x dx
 3TDTD / T ,


N  max 3 0
e  / T  1  max 3
e x 1
0
(6)
где Dx  - функция Дебая определяется следующим образом:
1 x 3
1
, x  1
 3  x dx
x
2
3
1
x 0
x
1

x
/
2

x
/
6

..
3
D x  
 3

 x dx x
x3 0
e  1  1 x x 3 dxe x 1  e 2 x  ... ,
x  1
 x 3 0






 3 x 2
2
2
x  1
 3  x dx 1  x / 2  x / 12  1  3x / 8  x / 20,
 x 0

4 
x
x

4
3
x
 3 x 3 dxe x  1  4 x 3 dxe x  

 x dxe  3 , x  1
4
 x 3 0
n 1 n
x3 0
30 x 3 0
5x
,
(3.64)
а TD -температура Дебая равна
 2 2 N 

T D   max  c
 3V 


1/ 3
.
(7)
Рис.1.
Теплоемкость как функция температуры в модели Дебая.
Поэтому энергия имеет вид:
2
 3T
1  TD 
D
1 


 , T D  T
20  T 
E
 8 T
 3TDT D / T   3T 
.
3
4
N
   T 
T D  T
 5 T  ,
 D

Соответственно, для теплоемкости получаем
2

1  TD 
 1

 , TD  T
cV
dDTD / T 
20  T 

 3DTD / T   3T
 3
.
3
4
N
dT
 4  T 
TD  T
 5 T  ,
 D

(8)
(9)