Министерство образования и науки Украины ОДЕССКАЯ НАЦИОНАЛЬНАЯ АКАДЕМИЯ ПИЩЕВЫХ ТЕХНОЛОГИЙ Кафедра теплохладотехники

Министерство образования и науки Украины
ОДЕССКАЯ НАЦИОНАЛЬНАЯ АКАДЕМИЯ ПИЩЕВЫХ ТЕХНОЛОГИЙ
Кафедра теплохладотехники
КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ
по курсу
“ГИДРОГАЗОДИНАМИКА”
Часть I. Гидравлика и газодинамика
для студентов, обучающихся по учебному плану бакалавров
специальности 6.092501, заочной формы обучения
Утверждено
Методсоветом ОНАПТ
протокол №3 от 25 ноября 2005 года
Одесса ОНАПТ 2005
4
Конспект лекций по курсу “Гидрогазодинамика” для бакалавров
специальности 7.092501 заочной формы обучения. Часть I. Гидравлика и
газодинамика / Составитель Н.Д. Захаров  Одесса: ОНАПТ, 2005.  71 с.
Составитель: Н.Д. Захаров, д-р.техн.наук, профессор
Ответственный за выпуск заведующий кафедрой теплохладотехники
Н.Д. Захаров, д-р техн. наук, профессор
Подписано к печати __________ 200 __ г. Формат 1/16
Объём _______. Зак. № ________. Тираж ________. Экз. _______
ОПК Евротайс, Палубный пер. 9/4, тел. 714-91-70
5
ВВЕДЕНИЕ
Гидравлика – это наука о законах равновесия (гидростатика) и движения
(гидродинамика) жидкости, а также вытекающих из них практических следствиях и инженерных приложениях.
Методологический подход к изучению гидравлических явлений базируется на известном познавательном принципе – от живого созерцания к
абстрактному мышлению и от него к практике. Этот подход обычно включает:
– выделение наиболее существенных особенностей явления;
– составление математической модели и получение аналитического или
численного решения;
– экспериментальную проверку результатов.
В ряде случаев, когда строгий теоретический анализ явления наталкивается на непреодолимые математические или вычислительные трудности, как,
например, при рассмотрении турбулентного движения жидкости, прибегают к
чисто экспериментальным методам исследования, а результаты представляют в
виде эмпирических корреляций.
Гидравлику относят к числу дисциплин, формирующих широкий
инженерный кругозор специалистов.
Выделившись из фундаментальных наук (физики и математики), она
вместе с другими предметами составляет научную основу таких прикладных
дисциплин, изучаемых студентами технологических вузов пищевого профиля,
как теплотехника, процессы и аппараты, вентиляционные установки,
пневмотранспорт, технологическое оборудование, автоматизация технологических процессов и др.
Знание теоретических и прикладных разделов гидравлики необходимо
выпускникам ОНАПТ в их практической деятельности – при проектировании и
эксплуатации систем водоснабжения и отопления, насосов, гидроприводов,
гидравлических прессов, моечных машин, дозаторов жидкости и другого
технологического оборудования.
Историческая справка о развитии гидравлики
Потребность в осмыслении и практическом использовании гидравлических явлений возникла в глубокой древности в связи с гидротехническими
работами, проводившимися в Египте, Вавилоне, Месопотамии, Средней Азии,
Китае и других регионах. Как система знаний, оперирующая определенными
обобщениями и численными соотношениями, гидравлика зародилась в Греции
более 2200 лет назад благодаря трудам Архимеда (287-212 г.г. до н.э.),
оставившего потомкам десятки рукописей, в том числе фундаментальный
трактат по гидростатике и теории плавания тел.
Обширное гидротехническое строительство в Древнем Риме (акведуки,
каналы, фонтаны, термы) стимулировало появление кинематики жидкости.
У ее истоков стоял Фронтин (40-103 г.г. н.э.), первым осознавший свойство
непрерывности потока.
Бурное развитие и окончательное оформление гидравлики в самосто-
6
ятельное научное направление относится к эпохе Ренессанса. Неоценимый
вклад в механику жидкости внес Леонардо да Винчи (1452-1519), обладавший
гениальными способностями и обширными знаниями практически во всех
областях человеческой деятельности. Его творческое наследие включает
работы по теоретическому и экспериментальному исследованию гидравлических машин, летательных и подводных аппаратов, процессов вихреобразования, отражения и интерференции волн, истечения через отверстия и
водосливы и др.
Нидерландскому математику Симону Стивену (1548-1620) принадлежит
решение задачи о гидростатическом давлении жидкости на плоские фигуры. Он
же дал объяснение так называемому гидростатическому парадоксу.
Галилео Галилей (1564-1642) заложил основы гидродинамики жидкости. В
частности, он установил, что гидравлическое сопротивление возрастает с
увеличением скорости и плотности среды. Роль Галилея в развитии науки
высоко оценена Эйнштейном, которому принадлежат слова: “Попытки прочитать великую повесть о тайнах природы так же стары, как и само человеческое мышление. Однако, лишь немногим более трех столетий назад ученые
начали понимать язык этой повести. С этого времени, т.е. со времени Галилея и
Ньютона, чтение продвигалось быстро”.
Семнадцатый век отмечен работами Торричелли (1608-1647) по истечению жидкости из отверстий, французского математика и физика Блеза
Паскаля (1623-1662) по свойствам гидростатического давления и сообщающимся сосудам, великого англичанина Исаака Ньютона (1643-1727) по
внутреннему трению в жидкости, сжатию струи при истечении и относительному покою жидкости во вращающемся сосуде.
Из блестящей плеяды ученых восемнадцатого века следует особо выделить Даниила Бернулли (1700-1782) и Леонарда Эйлера (1707-1783), разработавших теоретические основы и аналитический аппарат современной
механики жидкости.
Бернулли, голландец по происхождению, с 1725 по 1733 г.г. жил в России
и являлся почетным членом Петербургской Академии наук. Здесь он написал
свой знаменитый труд “Гидродинамика”, в котором исследовал вопросы
равновесия жидкости, неустановившегося движения, истечения из отверстий
при постоянном напоре, сохранения энергии потока идеальной жидкости
(уравнение Бернулли), поведения жидкости в движущихся сосудах, работы
гидравлических машин. Главной заслугой Бернулли является научное
обоснование законов движения жидкости.
Эйлер, близкий друг Бернулли, прибыл в 1727 г. из Базеля в Петербург, где
провел более 30 лет. Он придал безупречную математическую форму
трудам предшественников, вывел фундаментальные дифференциальные
уравнения равновесия и движения жидкости, получившие его имя, внес
существенный вклад в теорию насосов и получил решения целого ряда других
гидромеханических задач. Эйлера можно считать основоположником
направления, называемого теоретической механикой жидкости. За научные
7
заслуги он был избран членом Петербургской и Парижской академий наук и
Лондонского Королевского общества.
Работы Эйлера продолжил Лагранж (1736-1813), занявший в 1766 г. пост
президента Берлинской Академии наук. В изданных в 1781 г. “Научных
записках по теории движения жидкостей” он подробно рассмотрел два
аналитических метода исследования течения, которым впоследствии были
присвоены имена Эйлера и Лагранжа, и ввёл в гидравлику понятия потенциала
скорости и функции тока.
Параллельно с теоретической механикой жидкости продолжала развиваться техническая (прикладная) механика, базирующаяся на широком использовании экспериментальных данных. Особых успехов в этом направлении
достигла французская школа, представленная Анри Пито (1695-1771), изобретателя трубки для измерения локальных скоростей потока, Антуаном Шези
(1718-1798), который исследовал безнапорное течение жидкости, Жаном Борда
(1733-1799), изучавшим истечение жидкостей из отверстий и потери напора на
местных сопротивлениях.
В Италии исследованием насадок и вихревого движения активно занимался Джованни Вентури (1746-1822), в честь которого назван изобретенный
американцем Гершелем струйный расходомер жидкости.
Глубокий след в истории технической механики жидкости оставил великий русский ученый М.В. Ломоносов (1711-1765). В работе “Первые основы
металлургии или рудных дел” (1754) изложены закономерности и рассмотрены
оригинальные инженерные приложения гидравлики, в т.ч. применительно к
расчету гидравлических лотков.
Девятнадцатый век отмечен быстрым прогрессом в дальнейшем накоплении, систематизации и обобщении экспериментальных данных и разработке
наиболее сложных теоретических проблем гидравлики.
Готтхильф Хаген (1797-1884), немецкий инженер-гидротехник, первым
обнаружил существование ламинарного и турбулентного режимов движения
жидкости и опубликовал результаты качественного исследования их взаимных
переходов. Эти работы были продолжены английским физиком, членом
Лондонского Королевского общества Осборном Рейнольдсом (1842-1912),
который установил критическое значение названного его именем критерия
подобия, соответствующего указанным переходам, завершил разработку модели турбулентного движения, начатую французским профессором Жозефом
Буссинеском (1842-1929), и впервые продемонстрировал и объяснил явление
кавитации.
Жан Пуазейль (1799-1869), французский врач, изучая движение крови в
венах, в 1840 г экспериментально нашел носящую его имя зависимость для
потерь напора при ламинарном движении жидкости в каналах (теоретически
она выведена почти на двадцать лет позже независимо Нейманом и Гогенбахом).
Французский инженер Анри Дарси (1805-1858) выполнил обширное
исследование движения воды в гладких и шероховатых трубах и получил
расчетное соотношение для потерь напора в первых из них (в физических
8
переменных). Современную форму этому выражению придал саксонец Юлиус
Вейсбах (1806-1871).
Профессор механики Парижской Политехнической школы Луи Навье
(1785-1836) распространил уравнение Эйлера на случай движения вязкой
жидкости. Джордж Стокс (1819-1903), профессор Кембриджского университета, председатель Лондонского Королевского Общества, в честь которого была
названа единица кинематической вязкости, представил это уравнение в
современном виде.
Крупные достижения принадлежат российской гидравлической школе,
возникшей в 30-х годах XIX столетия в стенах Петербургского института
инженеров путей сообщения и длительное время возглавлявшейся почетным
членом Петербургской Академии наук, проф. Мельниковым П.П. (1804-1880),
автором первого в России труда “Основания практической гидравлики” (1836).
Известный ученый и инженер Петров Н. П. (1836-1920) обосновал гипотезу
Ньютона о пропорциональности напряжения трения в жидкости первой степени
градиента скорости и впервые сформулировал законы трения в механизмах при
наличии смазки. Ряд основополагающих работ по механике жидкости
выполнил проф. Жуковский Н.Е. (1847-1921), член-корреспондент Петербургской Академии наук. Среди них теория гидравлического удара в трубах,
теоремы о подъемной силе и тяговом усилии, действующем на цилиндр в поле
безвихревого течения. Крупный гидротехник Громека И.С. (1851-1889) за свою
короткую жизнь успел создать теорию капиллярных процессов, дал общее
доказательство теоремы о плавании твердых тел на границе двух жидкостей,
предложил основы теории винтовых потоков и потоков с поперечной
циркуляцией, внес существенный вклад в исследование неустановившегося
движения жидкости.
Двадцатый век характеризуется резким увеличением объема исследований в области механики жидкости и появлением целого ряда самостоятельных
направлений в гидравлике, связанных с ирригацией, гидромашиностроением,
гидротехническим строительством, судостроением и т.д. Из большой группы
выдающихся ученых назовем лишь Людвига Прандтля (1875-1953), профессора
Гетингенского университета, создавшего полуэмпирическую теорию
турбулентности и теорию пограничного слоя, Пауля Блазиуса, решившего
аналитически задачу о распределении скоростей в ламинарном пограничном
слое и установившего, что для гладких труб коэффициент сопротивления
зависит только от числа Рейнольдса, академика М.В. Кирпичева (1879-1955),
активно работавшего в области моделирования гидравлических явлений, членакорреспондента АН СССР М.А. Великанова (1879-1964), крупнейшего
специалиста по насосам и русловым деформациям, Б.А. Бахметева (1880-1951),
профессора ЛПИ, решившего в общем виде задачу неравномерного движения
жидкости в призматических руслах, академика Н.Н.Павловского (1886-1937),
создателя теории фильтрации воды в грунтах и метода электрического
моделирования гидравлических процессов (ЭГДА), автора первого в стране
справочника по гидравлике.
Таким образом, трудами блестящих физиков, математиков и инженеров к
9
настоящему времени в основном завершено формирование важнейшей науки –
технической механики жидкости. Особо нужно отметить, что значительный
вклад в ее развитие внесла отечественная школа ученых-гидравликов.
Физические свойства и модели жидкостей
Объектом исследования в гидравлике является так называемая капельная
жидкость, которую, имея в виду молекулярную структуру и физические
свойства, обычно определяют как состояние вещества, промежуточное между
твёрдым телом и газом. Для жидкости характерна достаточно плотная упаковка
молекул и наличие динамического “ближнего порядка” в их расположении, что
роднит её с твёрдым телом. В то же время квазиупорядоченные группы
молекул относительно подвижны, что придаёт жидкости сходство с газом и
внешне проявляется в таком свойстве как текучесть. На это сходство обратили
внимание ещё Эндрюс и Ван-дер-Ваальс, авторы идеи о непрерывности
перехода вещества из газообразного состояния в жидкое.
Поведение жидкостей в тех или иных условиях, описываемое закономерностями и зависимостями гидравлики, определяется их физическими
свойствами и внешними воздействиями. К числу наиболее существенных
свойств относят плотность, барическую и термическую сжимаемости, поверхностное натяжение, вязкость.
Плотность жидкости определяют как отношение ее массы к занимаемому
объему
M
.

V
Для воды при обычных условиях  =1000 кг/м3.Обратную величину
плотности называют удельным объемом v.
Сжимаемость жидкости под действием внешних сил (барическая сжимаемость) характеризуется коэффициентом объемного сжатия
1  v 
β V     ,
v  p  T
где p – давление, Па;
Т – температура. Для воды β V  0,48  109 1/Па.
Влияние температуры на объем жидкости (термическая сжимаемость)
характеризуется температурным коэффициентом объемного расширения или
сжатия
1  v 
βT    ,
v  T  p
который для воды равен β T  1,5 10 5 1/К.
Силы межмолекулярного взаимодействия в поверхностном слое жидкости
характеризуют коэффициентом поверхностного натяжения, численно равным
силе, возникающей между двумя смежными площадками на свободной
поверхности, если разделяющая их линия имеет единичную длину. Для воды
*
10
этот коэффициент равен 7,3  10 4 Н/м.
Вызываемое этим натяжением искривление свободной поверхности в
месте контакта жидкости с твердой поверхностью изменяет молекулярное
давление на внутренние слои жидкости, что приводит к появлению
капиллярных эффектов. Высота поднятия (смачиваемая поверхность) или
снижения (несмачиваемая поверхность) уровня жидкости в капилляре помимо
коэффициента поверхностного натяжения зависит от радиуса капилляра. В
тонких полимерных структурах (глинистые грунты) вода может подниматься
на несколько метров.
Способность слоев жидкости сопротивляться смещению называется вязкостью. В движущейся жидкости возникают касательные напряжения, величина которых зависит от прочности межмолекулярных связей и для нормальных жидкостей выражается законом внутреннего трения Ньютона
du
T
du
T  μω ;
τ μ ,
dn
ω
dn
где ω – площадь смежных слоёв жидкости;
du
– градиент скорости;
dn
Т – сила трения.
Коэффициент динамической вязкости μ численно равен напряжению на
поверхности раздела смежных слоев жидкости при единичном градиенте
скорости. Единицей динамической вязкости в системе СИ является Па∙с или
пуазейль. Величину в десять раз меньшую называют пуазом. Для воды
μ  0,001 Па·с.
В расчётах часто используют коэффициент кинематической вязкости
μ
υ ,
ρ
2
имеющий размерность м /с. Внесистемная единица 1 см2/с носит название
стокс. С повышением температуры вязкость жидкостей уменьшается. Давление
на значение μ практически не влияет.
Помимо нормальных или капельных жидкостей, существуют так называемые неньютоновские жидкости с аномальными вязкостными свойствами.
Некоторые из них (бетон, асфальт, глина, тесто) оказывают сопротивление
растягивающим усилиям, проявляют текучесть только под воздействием
заметных сдвигающих сил и характеризуются наличием касательных
напряжений даже в состоянии покоя. В других неньютоновских жидкостях
нарушается линейная зависимость касательных напряжений от градиента
скорости (эмульсии, суспензии, аэрированные жидкости).
В гидравлике для упрощения анализа широко применяют различные
модели жидкостей, наделяемые лишь теми свойствами, которые существенны
для рассматриваемых явлений. Как правило, жидкость считают сплошной
несжимаемой средой с непрерывно изменяющимися характеристиками, что
позволяет исследовать ее поведение с помощью дифференциальных уравнений.
Учет сжимаемости необходим, когда природа явления связана с упругими
11
деформациями среды (ударные волны в трубопроводах). В ряде случаев
характер гидравлических явлений слабо зависит от вязкости. Их анализ удобно
проводить с использованием модели идеальной жидкости, в которой полностью
отсутствуют силы внутреннего трения и эффекты, обусловленные
сжимаемостью. При необходимости теоретические результаты корректируют
на основе экспериментальных данных.
В каждой конкретной ситуации выбранная модель жидкости должна
обеспечивать получение максимально простыми средствами всей необходимой
информации с достаточной для инженерных приложений точностью.
Силы, действующие на жидкость
Внешние силовые воздействия на жидкость можно разделить на две
категории: массовые и поверхностные. Примерами массовых сил, действующих на все элементы рассматриваемого объема жидкости и пропорциональных его массе, являются силы тяжести и инерции. Поверхностные силы
приложены к границам раздела выделенного объема и остальной части
жидкости или других тел. К ним относят силы давления, в частности,
создаваемого поршнем или газом, реакция стенок сосуда, силы поверхностного натяжения и трения.
Для характеристики интенсивности массовых сил F используют понятие
плотности их распределения
 F 
f  lim   ,
V0  ρV 
имеющей смысл силы в данной точке жидкости, приходящейся на единицу
массы.
Поверхностные силы P характеризуются напряжением
P
σ  lim   ,
ω0  ω 
под которым понимают силу в данной точке поверхности жидкости,
приходящуюся на единицу площади.
Напряжение в общем случае можно разложить на нормальную и касательную составляющие. Для ньютоновской неподвижной жидкости τ  0 и,
следовательно, σ n  σ .
12
Гидростатическое давление и его свойства
Гидростатическое давление совпадает с нормальным напряжением в
покоящейся жидкости p  σ n . Оно обладает следующими свойствами:
1) действует нормально к площадке, имеющей центром рассматриваемую точку (по определению), и является сжимающим;
2) не зависит от ориентации этой площадки в пространстве (рис. 1).
A
Рис. 1
Исторически сложились две системы отсчёта давления: от нуля и атмосферного давления. В первой системе оно называется абсолютным и обозначается p, а во второй в зависимости от величины – избыточным р изб  p  B или
вакуумметрическим рвак  B  p , где B – атмосферное давление. Для измерения
атмосферного давления в 1643 г Торичелли первым использовал ртутный
барометр.
При проведении прочностных расчётов сосудов и устройств под
давлением удобно пользоваться второй системой отсчёта, так как в таких
задачах принимается во внимание только неуравновешенная часть давления.
Давление измеряют в н/м2, Па, кПа, МПа, барах, технических и
физических атмосферах, мм рт.ст. Связь между единицами измерения давления такова: 1н/м2 = 1Па; 1 кПа = 100Па; 1 МПа = 106 Па; 1бар = 105 Па;
1 ат = 0,9808 бар; 1 атм = 1,0133 бар; 1 мм рт. ст. = 133,3 Па.
Дифференциальные уравнения равновесия жидкости
(уравнения Эйлера в гидростатике)
Гидростатическое давление в жидкости, подверженной действию внешних сил, в общем случае зависит от их величины и координат рассматриваемой
точки. Для установления этой зависимости выделим в покоящейся жидкости
элементарный параллелепипед со сторонами dx, dy, dz (рис. 2).
z
δPx΄
dz
δPx΄΄
dx
dy
y
x
Рис.2
13
К граням параллелепипеда приложим нормальные сжимающие поверхностные силы δP , замещающие воздействие окружающей среды, и учтем
наличие некоторой массовой силы δF .
Условием равновесия параллелепипеда является равенство нулю алгебраической суммы проекций всех сил на каждую ось. Применительно к оси x
δFx  δPx 'δPx ' '  0
Выражая массовую силу через плотность ее распределения
δFx  f x ρdV  f x ρdxdydz ,
а поверхностные силы через давление в центре параллелепипеда
1 p 

δPx '   p 
dx dydz
2 x 

,
1 p 

δPx ' '   p 
dx dydz
2 x 

после подстановки, приведения подобных членов и деления на массу
параллелепипеда получим
1 p
(1)
fx 
0
ρ x
Условия равновесия в проекциях на оси y и z аналогичны
1 p
(2)
fy 
0
ρ y
1 p
(3)
fz 
0
ρ z
Уравнения (1) – (3) в частных производных получены Эйлером в 1755 г. и
носят его имя. Они характеризуют влияние массовых сил и плотности жидкости
на изменение гидростатического давления.
При отсутствии массовых сил, например в невесомости, давление во всех
точках покоящейся жидкости одинаково и равно давлению, приложенному на
свободной поверхности.
После умножения уравнений (1) – (3) соответственно на dx, dy, dz и сложения получим
1  p
p
p 
f x dx  f y dy  f z dz   dx  dy  dz 
ρ  x
y
z 
Выражение в скобках представляет собой полный дифференциал давления.
С учетом этого условие равновесия жидкости можно записать в виде
(4)
dp  ρf x dx  f y dy  f z dz
Отсюда вытекает следующее уравнение поверхностей равного давления,
вдоль которых dp  0
(5)
f x dx  f y dy  f z dz  0
Одной из них является свободная поверхность жидкости, все точки
которой находятся под одинаковым внешним давлением.
14
Основное уравнение гидростатики и закон Паскаля
В большинстве прикладных задач равновесие жидкости рассматривают в
поле одной массовой силы, а именно, силы тяжести. В этом случае проекции f x
и f y равны нулю, а проекция f z при указанной на рис.2 ориентации осей
координат отрицательна и численно равна ускорению свободного падения. При
этих условиях уравнения Эйлера приобретают вид
p
p
p
 0,
 ρg
 0,
y
z
x
Первые два из них показывают, что в горизонтальных направлениях
давление не меняется, т.е. все горизонтальные сечения жидкости являются
поверхностями равного давления. Третье уравнение характеризует изменение
гидростатического давления в вертикальном направлении. Для несжимаемой
жидкости ρ  const интегрированием получаем
p
z   const
ρg
или с использованием условий на свободной поверхности z  z 0 , p  p 0 
p
p
(6)
z
 z0  0
ρg
ρg
Соотношение (6) носит название основного уравнения гидростатики. Оно
имеет следующий геометрический смысл: гидростатический напор H ст ,
представляющий собой сумму геометрической z и пьезометрической p/g
высот, во всех точках покоящейся жидкости одинаков.
Наглядное представление об указанном свойстве гидростатического
напора можно получить в опыте с откачанными стеклянными трубками
(пьезометрами), присоединёнными открытыми концами к точкам 1 и 2
резервуара с жидкостью (рис. 3).
P
P
p1
g
p0
1
2
p2
g
p0
g
z2
z0
z1
0
0
Рис.3
Так как высота подъёма жидкости в пьезометре над уровнем жидкости в
резервуаре определяется давлением p 0 на её свободную поверхность, то
15
уровни в обоих пьезометрах установятся на одинаковом расстоянии p0 / g от
этой поверхности и, следовательно, от плоскости сравнения 0-0.
Последнее расстояние, как легко видеть, совпадает с величиной
гидростатического напора. Горизонтальная плоскость, проходящая через
уровни жидкости в пьезометрах, называется пьезометрической, а её
пересечение с плоскостью чертежа – пьезометрической линией Р-Р.
После умножения всех членов на ускорение свободного падения уравнение (6) приобретает смысл закона сохранения энергии в гидростатике – полная
удельная потенциальная энергия покоящейся жидкости, равная сумме энергии
положения и энергии давления, есть величина постоянная
p
H ст g  zg   const
ρ
Основное уравнение гидростатики можно преобразовать к виду
p  p 0  ρgh ,
(7)
где h  z 0  z – заглубление рассматриваемой точки относительно
cвободной поверхности жидкости.
Из соотношения (7) следует, что давление в данной точке покоящейся
жидкости равно сумме внешнего давления p 0 , действующего на свободную
поверхность, и “весового” давления ρgh , создаваемого столбом жидкости,
расположенной над этой точкой.
Уравнение (7) отражает также так называемое свойство идеальной
“проводимости” жидкости, составляющее содержание закона Паскаля:
давление, приложенное к внешней поверхности, передается во все точки
жидкости без изменения.
На законе Паскаля основано действие многих гидравлических машин:
прессов, подъемников, тормозов, мультипликаторов и др. Принципиальная
схема гидравлического пресса показана на рис. 4.
P1
П1
П2
h
P2
Рис.4
К поршню П 1 приложена внешняя сила P1 , создающая в жидкости
избыточное гидростатическое давление
p изб 
P1
S1
,
16
где S1 – площадь поперечного сечения первого поршня.
Это давление вместе с дополнительным “весовым” давлением столба
жидкости высотой h действует на второй поршень П 2 с площадью поперечного
сечения S 2 , создавая сжимающее усилие
P2  p изб  ρgh S 2  P1 S 2  ρghS2 .
S1
Таким образом, гидравлический пресс позволяет увеличить силу на выходе
примерно в S 2
S1
раз.
Сила гидростатического давления на плоскую поверхность
и точка ее приложения
Для проведения прочностных расчетов резервуаров, сосудов под давлением и разнообразных гидротехнических устройств необходимо знать равнодействующую силу гидростатического давления жидкости на стенку и точку ее
приложения. Эти данные можно получить с использованием известных
положений теоретической механики.
Рассмотрим плоскую поверхность произвольной формы (рис.5), подвергающуюся одностороннему давлению жидкости.
p0
l
ld
lc
h
dω
C
hc
hd
H
D
α
Рис.5
Поверхность наклонена под углом α к горизонту и перпендикулярна плоскости чертежа. В соответствии с уравнением (7) эпюра распределения давления на поверхность имеет вид трапеции с основаниями, соответствующими
внешнему давлению p 0 и суммарному давлению на глубине H, дополнительно
включающему “весовое” давление ρgH . На элементарную площадку dω,
расположенную на глубине h, действует сила
δP  p 0  ρgh dω
Интегрирование по всей поверхности дает значение искомой силы
давления
17
P  p 0 ω  ρg  hdω  p 0 ω  ρgsinα  ldω
ω
ω
Интеграл  ldω представляет собой статический момент рассматриваемой
ω
поверхности относительно линии пересечения плоскости, в которой она расположена, с уровнем жидкости. Как известно, этот момент равен произведению площади поверхности на расстояние l c до центра тяжести C. После
подстановки получим
P  p 0  ρgl c sinα ω  p 0  ρgh c ω
Таким образом, равнодействующая сила гидростатического давления на
плоскую поверхность направлена по нормали к этой поверхности и равна
произведению давления в ее центре тяжести на площадь.
Расстояние до точки приложения силы давления, называемой центром
давления D, можно найти из условия, что момент равнодействующей силы
относительно указанной выше оси равен сумме моментов составляющих
PlD   ldP
ω
Отсюда
lD 
1
1
1

ldP   lpdω   p 0  ldω  ρgsinα  l 2 dω 

Pω
Pω
P ω
ω

Смысл и способ вычисления первого интеграла уже известны. Второй
интеграл  l 2 dω представляет собой момент инерции рассматриваемой поверхω
ности. В теоретической механике показывается, что он равен сумме центрального момента инерции, т.е. момента относительно оси, проходящей через
центр тяжести параллельно выбранной, и произведения квадрата расстояния до
центра тяжести на площадь поверхности
I ω  I cω  l c2 ω
После подстановки получим
ρgI cω sinα
lD  lc 
p 0  ρglcsinα ω
Глубина погружения центра давления, равна
ρgI cω sin 2 α
h D  l D sinα  h c 
p 0  ρgh c ω  h c  e
Как видно, центр давления расположен ниже центра тяжести на величину
e, называемую эксцентриситетом. Физически это объясняется возрастанием
гидростатического давления с глубиной погружения. При заданных форме и
размерах фигуры эксцентриситет зависит от угла α, заглубления центра
тяжести и давления на свободной поверхности. Максимальное смещение
наблюдается при касании кромкой фигуры поверхности жидкости и
p 0  0, α  90 . Для горизонтальных плоских фигур   0 центры тяжести и
давления совпадают. Моменты инерции некоторых фигур, необходимые для
проведения инженерных расчетов, приведены на рис.6.
18
h
hb³/12
h
hb³/32
b
b
 d 4 / 64
Рис.6
Сила гидростатического давления на цилиндрическую
поверхность и точка ее приложения
Расчетная схема для определения силы давления на произвольную
цилиндрическую поверхность, образованную параллельным перемещением в
пространстве отрезка прямой линии, приведена на рис.7.
p0
hd
dω
hc
δPг
α
δPв δP
C
D
P
б)
a)
Рис.7
Силу давления δP на элементарную площадку dω, отстоящую от уровня
жидкости на расстоянии h, разложим на горизонтальную и вертикальную
составляющие
δPг  p 0  ρgh cosα dω  p 0  ρgh dω в
(8)
δPв  p 0  ρgh sinα dω  p 0  ρgh dω г ,
(9)
где dωв , dωг – соответственно вертикальная и горизонтальная проекции
площадки dω.
Интегрирование уравнения (8), процедура которого описана в предыдущем
разделе, даёт
Pг  p 0  ρgh c ωв ,
т.е. горизонтальная составляющая силы гидростатического давления на
цилиндрическую поверхность не зависит от формы последней и равна произведению давления в центре тяжести вертикальной проекции этой поверхности на площадь проекции.
Интегрированием выражения (9) получаем
(10)
Pв  p 0 ωг  ρg  hdωг  p 0 ωг  ρgVт.д.
ω
В этом соотношении величина Vт.д. представляет собой объем так называемого тела давления, ограниченного рассматриваемой поверхностью, верти-
19
кальными поверхностями, проходящими через ее контур, и свободной поверхностью жидкости или ее продолжением.
На рис.7,а изображено заполненное жидкостью действительное тело
давления, а на рис.7,б – полое фиктивное тело.
Из уравнения (10) следует, что вертикальная составляющая равнодействуствующей силы давления на цилиндрическую поверхность зависит от
формы последней и равна сумме силы внешнего давления на горизонтальную
проекцию рассматриваемой поверхности и силы тяжести жидкости в объеме
тела давления. На рис.7,а она направлена вниз (действительное тело давления),
а на рис.7,б вверх (фиктивное тело давления).
Величину и направление равнодействующей силы давления получают
геометрическим сложением составляющих


0,5
P  Pг2  Pв2
Положение центра давления обычно находят графоаналитическим
методом. Для этого на чертеже наносят линию действия горизонтальной
составляющей силы давления на глубине
в
hD  hc 

ρgI ω

 p 0  ρgh с ω в


Из центра тяжести тела давления опускают вертикаль. Через точку пересечения линий действия горизонтальной и вертикальной составляющих силы
давления под углом к горизонту
P

β  arctg в
P
 г





проводят прямую, точка пересечения которой с рассматриваемой
поверхностью и определяет заглубление центра давления h D .
Сила гидростатического давления на погруженное
в жидкость тело. Закон Архимеда
Погруженное в жидкость тело (рис.8) разделим на части экваториальной
АВСЕ и меридиональной МBNE плоскостями. Любая пара горизонтальных
составляющих силы давления на тело Pг ' , и Pг " уравновешивается, так как эти
составляющие, определяемые по давлению в центре тяжести и площади
соответствующего меридионального сечения, равны по величине и противоположны по направлению.
Вертикальную равнодействующую сил давления определяют как разность
сил тяжести жидкости в объемах тел давления, опирающихся на поверхность
ABСЕN (фиктивное тело давления) и поверхность ABCEM (действительное
тело давления). Очевидно, что эта составляющая, называемая также подъемной силой, направлена вверх и равна по величине силе тяжести жидкости,
вытесненной рассматриваемым телом
Pв  ρgV .
20
p0
M
Pг'
E
A
C
B
Рг''
N
Рис.8
Приведенное положение известно как закон Архимеда. Подъемная сила не
зависит от глубины погружения тела и давления на свободной поверхности
жидкости. Центр давления D совпадает с центром тяжести жидкости, условно
заполняющей тело, и может быть смещен относительно центра тяжести самого
тела C.
Между подъемной силой и силой тяжести возможны следующие соотношения:
1) Pв  G , результирующая направлена вниз, тело тонет;
2) Pв  G , результирующая равна нулю, тело находится в равновесии на
любой глубине. Если при этом центр давления расположен выше центра
тяжести (рис.9,а), то равновесие называется устойчивым, так как при выходе из
него вследствие какого либо возмущения возникает момент сил,
возвращающий тело в исходное состояние. Рис.9,б иллюстрирует случай
неустойчивого равновесия тела.
D
D
C
а)
C
б)
Рис.9
3) Pв  G , результирующая сила направлена вверх, тело всплывает на
поверхность жидкости. Объем остающейся погруженной части тела
определяется равенством
G  ρgVпогр
Закон Архимеда и следствия из него широко применяют в практике
проектирования систем гидротранспорта, гравитационных гидросепараторов и
других устройств пищевой и зерноперерабатывающей промышленности.
21
Относительный покой жидкости
Значительный практический интерес представляет анализ равновесия
жидкости в сосудах, совершающих ускоренное поступательное или вращательное движение. В пищевой промышленности к ним относятся транспортные цистерны, центрифуги, центробежные сепараторы и тому подобное
оборудование.
Равновесие такого типа получило название относительного покоя жидкости. На его характер, помимо сил тяжести, существенное влияние оказывают
силы инерции.
Прямолинейное равноускоренное движение
Рассмотрим наиболее общий случай прямолинейного равноускоренного
движения – перемещение сосуда с жидкостью призматической формы по
наклонной плоскости (рис.10).
z
ΔH
a
H


g
L

x
Рис.10
Поведение жидкости будем исследовать в системе координат, скрепленной
с сосудом. Плотность распределения силы тяжести, как и ранее, равна по
значению g, а силы инерции – ускорению движения a (на рисунке сосуд
движется вниз). Проекции равнодействующей плотностей на оси координат
составляют
f X  gsinα  a
fY  0
.
f Z  gcosα
Подстановка в уравнение поверхности равного давления (5) и
интегрирование дают
gsinα  a x  gcosα z  const .
Отсюда видно, что поверхности равного давления представляют собой
плоcкости, параллельные оси y и наклоненные к оси x под углом
gSin  - a
.
β  arctg
gCos
22
Угол наклона этих поверхностей к горизонту составляет
γ  α β.
Положение свободной поверхности жидкости определяется координатой
z  H  ΔH .
Как видно из рис. 10,
1
1 gSin  - a
,
ΔH  Ltgβ  L
2
2 gCos
где L – длина сосуда.
Расстояние H соответствует положению центра тяжести свободной поверхности жидкости в неподвижном сосуде, расположенном на наклонной плоскости (показана штриховой линией). Оно совпадает с отметкой уровня жидкости над дном сосуда, перенесенного на горизонтальную плоскость.
Уравнение для расчета давления в жидкости получим с использованием
уравнения (4), которое после подстановки и интегрирования дает
p  ρ gsin α  a x  gcos α z  const .
Константу интегрирования найдем из граничного условия:
p  p0 .
x  0;
z  H  ΔH;
Окончательно получим
p  p 0  ρgH  ΔH  z cosα  gsin α  a x 
В частности, для задней стенки сосуда x  0:
p  p 0  ρg H  ΔH  z cosα ,
передней стенки x  L
p  p 0  ρgH  ΔH  z cosα  gsin α  a L,
дна z  0
p  p 0  ρgH  ΔH cosα  gsin α  a x .
Силы давления на стенки сосуда, как известно, равны произведению
давления в центре тяжести смоченной поверхности на ее площадь. Координаты центров давления, рассчитанные по описанной в разделе 7 методике, для
задней и передней стенок сосуда составляют
ρgI сω cosα
zD  zc 
p 0  ρgz csinαω ,

где z c 
1
2
H  ΔH 


– координата центра тяжести смоченной поверхности
задней стенки;
zc 
1
2
H  ΔH  – то же для передней стенки.
Частными случаями равноускоренного движения сосуда с жидкостью
являются перемещения в вертикальном и горизонтальном направлениях.
Расчетные соотношения легко получаются подстановкой в приведенные выше
выражения соответственно  = 90º и α  0 º. Особо отметим, что при падении
сосуда с ускорением, равным ускорению свободного падения, "весовое"
23
давление компенсируется “инерционным”, и жидкость ведет себя, как в
невесомости, т.е. давление во всех ее точках равно внешнему давлению.
Вращательное движение с постоянной угловой скоростью
Рассмотрим цилиндрический сосуд с жидкостью (рис.11), равномерно
вращающийся вокруг оси с угловой скоростью  . На элементарный объем
жидкости с центром в точке А действует центробежная сила
δFц 
v
где v – линейная скорость;
r – расстояние от оси вращения.
2
dm   2 rdm,
r
1
h
h
H
2
A
z
x
y
A
fцх
fцу
fц
Рис.11
Плотность распределения этой силы составляет
f ц   2r
а ее проекции на оси координат равны
f цx   2 rcosx  r    2 x
f   2 rcosy  r    2 y
цx
Уравнение поверхностей равного давления получим интегрированием
выражения (5)
y2
x2
2
2
 gz  c1
2
2
Учитывая, что
x 2  y2  r 2 ,
запишем
1 2 2
(11)
 r  gz  c1 ,
2
24
т.е. поверхности равного давления, включая свободную поверхность
жидкости, представляют собой параболоиды вращения.
Для нахождения константы интегрирования c1 применим уравнение (11) к
точкам 1 и 2, лежащим на свободной поверхности жидкости и имеющим
координаты
z1  H  h
z 2  H  h,
где Н – отметка уровня жидкости над дном неподвижного сосуда.
В приведенных выражениях учтено, что объем параболоида вращения
равен половине объема цилиндра с такими же основанием и высотой. С учетом
изложенного получим
1 2 2
 R  gH  h   c1
.
2
 gH  h   c1
Решение системы уравнений дает
1  2R 2
1
;
h
c1   2 R 2  gH .
4 g
4
Уравнение свободной поверхности жидкости окончательно приобретает
вид
2 2
zHh
 r
2
 
H 
2
R  2r ).
4g 
2
2g
Распределение давления в жидкости описывается соотношением, получаемым интегрированием выражения (4)
 2 2

 r

p  ρ
 gz   c 2 .
 2



Определяя константу интегрирования c 2 из условий
p  p0 ,
r  0;
z  Hh ;
находим
ρ 2 r 2
p  p0 
 ρgH  h  z .
2
Эпюры давления описываются уравнениями:
– на боковую стенку r  R 
p  p 0  ρg H  h  z ;


– на дно сосуда z  0
ρ 2 r 2
p  p0 
 ρgH  h  .
2
При наличии центробежных сил давление на боковую стенку также
меняется по линейному закону, но возрастает на величину ρgh по сравнению с
неподвижным сосудом.
25
Распределение давления на дно вращающегося сосуда вдоль радиуса носит
параболический характер. На периферии давление совпадает с максимальным
давлением на боковую стенку, а в центре ниже его на величину gh.
Необходимая для проведения прочностного расчета сосуда составляющая
силы давления на боковую поверхность равна, как и ранее, произведению
давления в центре тяжести смоченной части поверхности на площадь ее
вертикальной проекции
1


P расч   p0  2 g H  h  2R H  h


Суммарные силы давления жидкости на дно вращающегося и
неподвижного сосуда равны.
Интересно отметить, что особенности равновесия жидкости во вращающемся сосуде были использованы Р.Энджелом из американского университета
в штате Аризона для изготовления зеркальных телескопов. До него в течение
длительного времени шлифовалась плоская стеклянная заготовка до получения
нужной формы. Основная идея Энджела – вращать с определенной скоростью
печь, где отливается заготовка для зеркала, чтобы за счет действия
центробежных сил стекло приобрело вогнутую поверхность. Таким образом
был изготовлен телескоп диаметром 6,5 м.

 

Вопросы для проверки усвоения материала
1. Какие модели жидкости используют в гидростатике ?
2. Какие из поверхностных сил существенны в гидростатике?
3. Что называют гидростатическим давлением и какими свойствами оно
обладает?
4. Какова связь между абсолютным, избыточным (манометрическим) и
вакуумметрическим давлением?
5. Какая высота подъема воды в полностью откачанном пьезометре соответствует абсолютному вакууму?
6. Почему гидростатическое давление в жидкости зависит от глубины
погружения и в каком случае эта связь нарушается?
7. Какую форму имеет свободная поверхность жидкости, если на нее
действует только сила тяжести ?
8. Какой физический смысл имеет основное уравнение гидростатики?
9. Чем отличается гидростатический напор от давления ?
10. Чему равно максимальное гидростатическое давление в мировом
океане на глубине 12 км ?
11. В чем заключается принцип действия гидравлического пресса и как он
устроен?
12. Что представляют собой пьезометрическая плоскость и пьезолиния в
гидростатике?
13. Чему равны горизонтальная и вертикальная составляющие силы
давления на плоскую поверхность?
26
14. Как влияют внешнее давление и угол наклона плоской поверхности к
горизонту на эксцентриситет центра давления?
15. При каких условиях центр давления совпадает с центром тяжести
плоской поверхности?
16. От чего зависит горизонтальная составляющая силы давления на
цилиндрическую поверхность?
17. Как вычисляется вертикальная составляющая силы давления на цилиндрическую поверхность?
18. Как найти положение центра давления жидкости на цилиндрическую
поверхность ?
19. Каковы правила построения действительного и фиктивного тела давления?
20. Оказывают ли влияние горизонтальные составляющие сил давления на
погруженное в жидкость тело на величину подъемной силы?
21. От каких параметров зависит подъемная сила, действующая на погруженное в жидкость тело ?
22. Каковы условия устойчивого, неустойчивого и безразличного
равновесия погруженных в жидкость тел ?
23. В какую сторону смещен центр давления жидкости на дно сосуда, если
он совершает прямолинейное равноускоренное движение по горизонтальной
плоскости ?
24. В каких случаях гидростатическое давление жидкости на стенки этого
сосуда совпадает с внешним давлением ?
25. Какую форму имеет свободная поверхность жидкости в равномерно
вращающемся сосуде?
26. Какой вид имеют эпюры давления жидкости на дно и боковую поверхность вращающегося сосуда?
Задачи и примеры их решения
1. Какова предельно допустимая степень заполнения герметичной тары,
выдерживающей давление p доп  0,15 МПа, виноградным соком при температуре T1  293 К и давлении p1  0,1 МПа, если в процессе пастеризации температура повышается до T2  353 К? Коэффициент температурного расширения
сока принять равным β T  3,5  10 4 1/К.
Решение
Пусть искомая степень заполнения тары составляет x1 , а соответствующий относительный свободный объем
f1  1  x1.
Степень заполнения тары при температуре пастеризации
x 2  x1 1  β T ΔT  .
Соответствующий относительный свободный объём
27
f 2  1  x 2  1  x1 1  β T ΔT  .
Используя уравнение Менделеева-Клапейрона для воздуха в свободном
объеме тары, найдем
p доп f 2 T2
.

p1f1
T1
С учетом этого
p
0,1 353
1 1  T 2
1

pдоп T 1
0,15 293

 0,9 .
x1 
0,1 353
p1 T 2
4
1  3,5  10 353  293  

1  T T 2  T 1 

0,15 293
pдоп T 1
2. Определить избыточное давление воды в трубопроводе, если показание
манометра рм =0,025 МПа. Соединительная трубка заполнена водой и воздухом,
как показано на рис.12, причем H1  0,5 м, H 2  3 м, H 3  5 м. Как изменится
показание манометра, если весь воздух выпустить через кран К ?
pм
К
б
б
H2
H1
H3
pк
a
a
Рис.12
Решение
Обозначим избыточное давление в воздушном колене через рк и составим
балансы сил, отнесенных к единице поперечного сечения трубки, на уровнях аа и б-б
p к  ρgH 2  p и
p к  ρgH1  p м
где ри – искомое избыточное давление в трубопроводе.
Решение системы уравнений дает
p и  p M  ρg H 2  H1  = 0,025+1000·9,81· (3 – 0,5)·10 = 0,05 МПа.
После выпуска воздуха показание манометра составит
p M  p и  ρgH 3  0,05  1000  9,81  5  10 6  0 .
6
28
3. Определить давление в гидросистеме, изображенной на рис.13, и массу
груза, лежащего на поршне 2, если для его удержания к поршню 1 приложена
сила F = 1 кн. Диаметры поршней D = 300 мм, d = 80 мм. Разность высот
h = 1000 мм, плотность жидкости ρ = 980 кг/м .
M
2
h
d
D
F
1
Рис.13
Решение
Избыточное давление в гидросистеме, создаваемое поршнем 1
F
1  10 3
=
 0,08 2  1,99  10 5 Па.
p1 
2
0,785
0,785d
Избыточное давление жидкости на поршень 2
p 2  p1  ρgh = 1,99  105 – 980  9,81  1 = 1,89·105 Па.
Масса груза лежащего на поршне:
2
M
0,785 D p 2
g
 0,785  0,32  1,89  10 5 /9,81  1361 кг.
4. Определить силу, действующую на болты, которыми прикреплена
плоская крышка к баку с водой (рис.14), если показание манометра
pм = 0,2 МПа, а угол наклона крышки α  4 5 . Бак в сечении имеет форму
квадрата со стороной a = 1,5м.
p
ман
pм

a
Рис.14
29
Решение
Избыточное давление в центре тяжести крышки составляет
ρga
pc  pм 
 0,2 + 1/2· 1000· 9,81· 1,5· 10-6 = 0,207 МПа.
2
Сила, действующая на болты
pca 2
= 0,207  1,52 / sin 45 = 0,656 МН.
P
sinα
5. Щит перекрывает канал под углом α = 45˚ и прикреплен шарнирно к
опоре над водой на расстоянии Н3 = 1 м (рис.15). Определить усилие, которое
нужно приложить к тросу для открывания щита, если его ширина b = 2 м,
глубина воды перед щитом Н1= 2,5 м, а после него Н2 = 1,5 м.
Т
P1
H3
H1
l1
H2
l2
P2
Рис.15
Решение
Давление в центре тяжести смоченной поверхности щита:
– cлева
g H 1
 12,26кПа .
p1 
2
– справа
p2 
g H 2
2
 7,36кПа .
Силы избыточного давления, действующие на щит
H 1  b  86,7кН
P1  p11  p1 Sin

H 2  b  31,2кН
P 2  p 2 2  p 2 Sin

Заглубление центра давления вертикальной проекции щита
c
H 2b 3 2
h D  hC  I   2  H 2  3 H .
12b H
hC
Расстояние от шарнира до центра давления
– слева
H 3 2 H1

 3,77 м .
l1 
Sin 3 Sin
30
– справа
H 3  H1  H 2 2 H 2

 4,24 м .
Sin
3 Sin
Баланс моментов сил относительно шарнира
 P1l1  P2 l 2  T H1  H 3  0 .
Отсюда
P l  P2 l 2
T 11
 55,6кН .
H1  H 3
6. Рассчитать силы, разрывающие заполненную водой цистерну диаметром D = 2,4 м и длиной L = 10 м, по сечениям 1-1, 2-2 и 3-3 (рис.16).
Полость цистерны сообщается с атмосферой.
l2 
Решение
Силы, разрывающие цистерну по сечениям 1-1 и 2-2, вычисляются по
соотношению
P  pcω
2
1
c
b
a
3ф
d
3
3
ф
a
1
2
Рис.16
Сила, разрывающая цистерну по сечению 1-1
P  p c  0,785D 2 = 11,8  0,785  2,4 = 53,4 кН.
1
Сила, разрывающая цистерну по сечению 2-2
P2  p c DL = 11,8  2,4  10 = 283,2 кН.
Сила, разрывающая цистерну по сечению 3-3
P3  ρgV т.д. = 1000  9,81  6,2 = 60,8 кН,
где объем тела давления abcd (на рисунке заштриховано) равен
D 2  0,785D 2
3
Vт.д. 
L = 0,108  2,42· 10 = 6,2 м .
2
7. Найти ускорение, при котором свободная поверхность молока, заполняющего на 70 % призматическую цистерну с размерами 1,5 1,5  3 м, коснется
верхней стенки (рис.17).
Свободный объем цистерны составляет
Vc  0,3h 2 L .
31

b
h
L
Рис.17
Решение
С другой стороны он равен
1
Vc  bLh .
2
При равноускоренном движении по горизонтальной плоскости угол
наклона свободной поверхности жидкости связан с ускорением a
соотношением
a
α  arctg  .
g
С учетом этого
b
 0,6h 
α  arctg   arctg
.
L
 L 
Приравнивая два последних выражения, найдем
hg
a  0,6 = 0,6·1,5· 9,81 / 3 = 2,9 м/с2
L
8. Ротор центрифуги диаметром D = 500 мм насажен на вертикальный вал
диаметром d = 75 мм. Определить минимальную угловую скорость
Решение
Уравнение свободной поверхности жидкости во вращающемся сосуде
имеет вид
 2 D 2  2d 2
.
zH
16g
Минимальную угловую скорость определяем условием
z 0.
d  dв ;
С учетом этого



gH
 4 2
2
 α  2d в






0,5
= 4· [9,81· 0,3 / (0,5 - 2· 0,0752 )] = 14,1 1/с.
9. Определить разность давлений в центрах заполненных водой
резервуаров (рис.18), если разность уровней ртути в U-образном дифференциальном манометре составляет h = 100 мм.
32
Ответ: 12,4 кПа.
h
Рис.18
10. Определить силу давления воды на крышку люка диаметром D = 1 м
(рис19), если:
1) показание манометра: pм = 0,08 МПа, H0 = 1,5 м;
2) показание ртутного вакуумметра: h = 73,5 мм, a = 1 м, H0 = 1,5 м.
Ответ: 1) 78 кН, 2) 0.
pм
P
k

a
0
a
h
H0
D
Рис.19
11. Найти силу, действующую на каждую стенку сосуда, имеющего форму
куба со стороной a = 1 м (рис.20), если показание манометра pм = 0,1МПа,
H = 1 м плотность жидкости 800 кг/м3 .
Ответ: верхняя стенка – 107,85 кН; боковые стенки – 111,77 кН; нижняя
стенка – 115,70 кН.
H
a
Рис.20
33
d
12. Для опрессовки водой (проверки герметичности) технологического
трубопровода диаметром 100 мм и длиной 500 м применяется ручной поршневой насос (рис.21). Определить объем воды, который требуется докачать в
трубопровод для повышения избыточного давления в нем от 0 до 1 МПа.
Чему равно усилие на рукоятке насоса в последний момент опрессовки,
если диаметр поршня d = 40 мм, а соотношение плеч рычага a/b = 5? Модуль
объемной упругости воды принять равным 2000 МПа, трубопровод считать
абсолютно жестким.
b
a
Ответ: 19,6 л, 251Н.
L
Рис.21
13. Определить максимальную высоту, на которую можно подсасывать
воду поршневым насосом (рис.22), если давление ее насыщенных паров
составляет 150 мм. рт.ст., барометрическое давление 700 мм. рт.ст., плотность
воды 983 кг/м3. Чему равна при этом сила F, направленная вдоль штока, если
H = 1 м, D=50 мм?
Ответ: 7,6 м, 163 Н.
D
Н
F
B
Рис.22
14. Определить давление воды p1, необходимое для преодоления усилия
вдоль штока гидроцилиндра F = 1 кН (рис.23). Диаметр цилиндра D = 50 мм,
штока d = 25 мм, высота H = 5 м, избыточное давление в бачке pи = 50 кПа.
Ответ: 584 кПа.
34
H
Pизб
d
F
D
p1
Рис.23
15. Определить показание мановакуумметра, если к штоку поршня (рис.24)
приложена сила F = 0,1кН, его диаметр d = 100 мм, высота H = 1 м, плотность
жидкости 950 кг/м3.
Ответ: 3,4кПа.
H
F1
d
Рис.24
16. Определить силу F на штоке золотника (рис.25), если показание
вакуумметра pвак=60 кПа, избыточное давление p1=1 МПа, d=15 мм, D = 20мм,
H = 3 м, плотность жидкости 1000 кг/ м³.
pвак
H
Ответ: 132 Н.
D
p1
d
F
Рис. 25
35
17. В системе дистанционного гидроуправления необходимо обеспечить
ходы поршней В и А равными l1  l 2 = 32 мм (рис. 26). При этом поршень В
диаметром d = 20 мм должен воздействовать на рычаг С с силой F2 = 8 кН.
Цилиндры и трубопровод заполнены маслом с модулем объемной упругости
1400 МПа. Объем масла, залитого при атмосферном давлении составляет
700 см3. Определить диаметр поршня А и приложенную к нему силу F1.
Упругостью элементов системы гидроуправления и силами трения пренебречь.
Ответ: 30 мм, 18 кН.
l1
D
l2
F2
d
F1
A
B
Рис. 26
18. Определить степень погружения в воду тела, имеющего плотность
700 кг/м3.
Ответ: 70 %.
19. Топливный бак автомобиля имеет длину 0,6 м и ширину 0,5 м.
Бензопровод установлен в центре бака так, что его срез находится на
расстоянии 10 мм от дна. Определить минимальное количество топлива в баке,
обеспечивающее нормальную работу двигателя, если автомобиль движется с
ускорением 3 м/с2.
Ответ: 8,5 л.
20. На автомобиле установлен призматический бак длиной 2,5 м и высотой
0,8 м, заполненный водой на 80 %. Определить наименьший путь торможения
от скорости 50 км/ч до полной остановки автомобиля из условия, чтобы вода не
выплеснулась из бака.
Ответ: 76,8 м.
22. В вертикальный сосуд диаметром 100 мм и высотой 300 мм залита вода
до уровня 200 мм. При какой угловой скорости вращения вода начнет
выливаться из сосуда?
Ответ: 39,6 1/с.
Виды движения и кинематические характеристики жидкости
Движение жидкости может быть установившимся (стационарным) и
неустановившимся (нестационарным). В первом случае все кинематические
характеристики не зависят от времени. В частности, это относится к направлению и скорости движения частиц жидкости. Если, кроме того, скорости
36
одинаковы во всех сходственных точках потока, как в каналах с постоянной
формой, то движение называют равномерным, а в противном случае –
неравномерным.
В зависимости от причин, вызывающих движение, различают напорное и
безнапорное течение жидкости. Последнее отличается наличием свободной
поверхности.
Установившийся поток жидкости состоит из элементарных струек, боковая
поверхность которых образована траекториями движения периферийных
частиц. Струйки сохраняют постоянную форму, т.е. играют роль своеобразных
микроканалов. Различают параллельноструйное (равномерное), плавно и резко
изменяющееся (неравномерное) струйное течение жидкости.
Живым сечением потока называют поверхность, нормальную к траекториям движения частиц. При параллельноструйном течении она является
плоской.
Средняя скорость потока v cвязана с локальными скоростями движения
частиц жидкости u соотношением
 ud
,
v

а объемный расход жидкости составляет
Q  v .
Уравнение неразрывности
Рассмотрим размещенный в потоке жидкости элементарный параллелепипед (рис.27).
z
A
x
y
Рис. 27
Пусть проекции скорости движения жидкости в точке А на координатные
оси составляют ux, uy, uz, а ее плотность . На гранях параллелепипеда эти
параметры равны:
– левая грань
1 ux
1 
dx

dx .
ux 
2 x
2 x
37
– правая грань
ux 
1  ux
2 x

dx
1 
2 x
dx .
Разность массовых расходов жидкости через эти грани равна
1  
1  ux 
1  
1  ux 


d M x   
dx  u x 
dx dydz    
dx  u x 
dx dydz 
2 x
2 x
2 x
2 x






  u x 
 
 u
   x  u x dxdydz 
dxdydz
x 
x
 x
Аналогичный вид имеют соотношения для остальных граней. Очевидно,
что алгебраическая сумма масс жидкости, пронизывающих все грани
параллелепипеда за время d, равна убыли массы жидкости в его объеме
(d M x  d M y  d M z )d  ddxdydz .
После подстановок и сокращения получаем уравнение неразрывности для
неустановившегося движения сжимаемой жидкости в окрестности точки А
  u x  ( u y )  u z 



 0.

x
y
z
Для установившегося движения сжимаемой жидкости
 u x    u y  u z 


 0.
x
y
z
Для движения несжимаемой жидкости ( = Сonst)
 ux  u y  uz


 0.
x
y
z
Для элементарной струйки сжимаемой жидкости
1 u1d 1 2 u 2 d 2
 
,
а несжимаемой
u1 d1  u2 d 2 .
При движении несжимаемой жидкости в каналах без источников и стоков
v  Q  Const .
Диффференциальные уравнения движения идеальной жидкости
(уравнения Эйлера в гидродинамике)
Уравнения движения могут быть получены из уравнений Эйлера для
покоящейся жидкости (1-3), если, пользуясь принципом Даламбера, ввести в
них плотность распределения силы инерции, численно равную ускорению
u
1 p
 ax  ux x ,
f x
 x
x
uy
1p

 ay  uy
,
fy
 y
y
38
fz
u
1 p
 az  uz z ,
 z
z
так как
 ux
x
  .
,

ux
Поскольку при интегрировании уравнений Эйлера появляются константы,
для нахождения последних необходимо знать начальные и граничные условия,
которые характеризуют распределение искомых параметров в начальный
момент времени и их значения на границах потока в любой момент времени.
Умножив уравнения Эйлера соответственно на dx, dy, dz и учитывая, что
ax 
1
 
2
a x dx  u x d u x  d u x ,
2
1
 
 d u 
2
a y dy  u y d u y  d u 2y
a z dz  u z d u z
2
1
2
z
после сложения получим
 u2 
1  p
p
p  1
f x dx  f y dy  f z dz   dx  dy  dz   d u 2x  u 2y  u 2z  d   . (12)
  x
y
z  2
 2


Интегрирование уравнений Эйлера. Уравнение Бернулли
Когда массовыми силами являются только силы тяжести, то
f x  0;
f z  g
f y  0;
и уравнение (12) сводится к
 2
1
 gdz  dp  d  u   0 .

 2
Интегрирование дает
p u2
(13)

 Const,
g 2 g
где z – отметка центра живого сечения струйки над плоскостью сравнения
0-0 (геометрическая высота);
р/g – пьезометрическая высота, соответствующая гидродинамическому
давлению в этой точке;
u²/2g – высота скоростного напора.
Уравнение (13) для элементарной струйки идеальной жидкости было
получено Даниилом Бернулли в 1738 г. и носит его имя. Через год такой же
результат опубликовал отец Бернулли. Вопрос о приоритете так и не был решен
между ними.
Геометрический смысл уравнения Бернулли иллюстрируется рис.28. В
отличие от гидростатики пьезометрическая линия Р-Р не является горизонz
39
тальной прямой. Напорная линия Е-Е, получаемая суммированием перечисленных высот, параллельна плоскости сравнения.
Энергетическая форма уравнения Бернулли имеет вид
2
p
gz   u  Const ,
 2
где gz – удельная потенциальная энергия положения;
p/ – удельная потенциальная энергия давления;
u²/2 – удельная кинетическая энергия струйки.
E
u1/2g
E
P
u2/2g
p1/ρg
P
p2/ρg
z1
z2
0
0
Рис.28
Таким образом, уравнение Бернулли является частным случаем закона
сохранения энергии применительно к установившемуся движению элементарной струйки идеальной жидкости. Оно распространяется и на поток
идеальной жидкости в каналах конечных размеров, так как все элементарные
струйки имеют одинаковую скорость и, следовательно, v=u
p v2
z

 Const .
g 2 g
Уравнение Бернулли для установившегося потока
реальной жидкости
Поток реальной жидкости отличается от потока идеальной жидкости тем,
что вследствие действия сил трения часть механической энергии переходит в
теплоту, а скорость струек в поперечном сечении потока распределяется
неравномерно, в частности, у стенки она равна нулю. В связи с этим уравнение
Бернулли для элементарной струйки реальной жидкости приобретает вид
p1 u12
p2 u 22




z1 g 2 g z 2 g  2 g  hпот,
где hпот – потери напора на преодоление сил трения.
40
Интегрирование уравнения Бернулли по поперечному сечению потока дает
p 1v2
p 2 v2
z1  g1  2 g1  z 2  g2  2 g 2  H пот,
где  – так называемый коэффициент Кориолиса, учитывающий
неравномерность распределения кинетической энергии элементарных струек по
поперечному сечению потока.
В отличие от потока идеальной жидкости напорная линия для потока
реальной жидкости имеет вид нисходящей кривой, уклон которой зависит от
величины гидравлических потерь (штриховая линия на рис.28).
Устройства, принцип действия которых основан
на уравненииБернулли
К числу таких устройств относятся трубка Пито, предназначенная для
измерения скорости жидкости или газа, расходомер Вентури, водоструйный
насос.
В трубке Пито (рис.29) разность давлений в центральном и коаксиальном
каналах, измеряемая дифференциальным манометром любого типа, без учета
потерь составляет
2
p  p  v
1
2
2
Отсюда скорость набегающего потока равна
v  2p

h
Рис.29
В применении к расходомеру Вентури (рис.30) уравнение Бернулли для
идеальной жидкости имеет вид
p1 v12 p2 v22



.
g 2 g g 2 g
Отсюда разность пьезометрических высот составляет.
2
2
v2  v1
.
h
2g


41
Учитывая, что
2
,
1
v1  v2
получим
v2 
2 gh
1  

.
1
Таким образом, объемный расход жидкости равен
Q  v2 2  c h ,
где с – постоянная расходомера.
2
2
h
Рис.30
Для струйного насоса (рис.31) уравнение Бернулли записывается следующим образом
p1 pатм v22  v12
.


g
g
2g


1
2
pатм
1
2
pатм
↓ ↓
↓ ↓
Рис.31
Так как v2  v1, то давление в сечении 1-1 меньше атмосферного, и
жидкость из открытого резервуара поступает в трубопровод.
Потери напора на местных сопротивлениях
Местные сопротивления сосредоточены на коротких участках каналов. В
них происходит дросселирование жидкости с уменьшением механической
энергии, т.е. гидродинамического напора.
42
Удельные потери напора на местном сопротивлении определяют по
формуле Борда-Вейсбаха
2
v
(14)
Hм   ,
2g
где  – коэффициент местного сопротивления, находимый в большинстве
случаев экспериментально.
Значения  для некоторых местных сопротивлений приведены ниже:
– внезапное расширение потока
  
 11 1 


 2
2
v1 ;
H м 1
2g
v2 , 2
v1 , 1
2
– внезапное сужение потока
2
v2
H м   2 2g ;

 2  0,51 

 2 
1 
v2 ,  2
v1 , 1
– вход с острыми кромками из резервуара в трубу
  0,5
v,
– выход из трубы в резервуар
 1
– резкий поворот трубопровода круглого поперечного сечения

   90 1  Cos  
d, мм 20 25 35 40 50
 90
1,7 1,3 1,1
1,0 0,83
43
– плавный поворот трубопровода

.
90
Значения коэффициента сопротивления при повороте на 90º в зависимости
от отношения радиуса поворота к диаметру трубы приведены ниже:
1
2
4
6
гладкие трубы
0,22
0,14
0,11 0,08
шероховатые трубы
0,52
0,28
0,23 0,18
Для запорной арматуры в зависимости от конструкции при полном
открытии коэффициенты сопротивления составляют:
- задвижки
0,05-0,75;
- вентили
0,4-5
- пробковые краны
0,05
- обратные клапаны
2-18
В других случаях следует обращаться к справочной литературе.
  90, a  Sin;
  90 a ;
  90, a  0,7  0,35
Потери напора по длине
Эти потери обусловлены наличием сил трения в потоке реальной жидкости и, как было установлено еще Галилеем, зависят от скорости движения и
плотности среды. Позже было установлено, что на них также влияет
коэффициент динамической вязкости жидкости.
Указанные параметры вместе с определяющим размером канала образуют
безразмерный комплекс, называемый числом или критерием Рейнольдса,
значение которого определяет режим движения жидкости.
vl vl
Re 
 ,


Существование принципиально различных режимов движения – ламинарного и турбулентного – было обнаружено в опытах Хагена, Менделеева и
самого Рейнольдса. Для первого из них характерна организованная структура
потока, состоящего из неперемешивающихся струек. Во втором случае движение частиц жидкости носит хаотический характер, вызывающий перемешивание потока.
Переход турбулентного режима в ламинарный происходит при
определенной скорости, называемой критической. Ей соответствует число
Рейнольдса Re= 2320. Переход же ламинарного режима в турбулентный
происходит постепенно. Началу установившегося турбулентного режима
течения соответствует значение Re= 13000.
Ламинарный режим
В установившемся параллельноструйном потоке выделим центральную
элементарную струйку с радиусом r (рис.32) и c использованием закона
Ньютона для силы внутреннего трения составим баланс сил, действующих на
нее в горизонтальном направлении
44
 p1  p2 r 2  2rl du .
dr
Отсюда
du  


1 p1  p2
1 g
1 g
rdr  
Irdr,
hпот rdr  
2
l
2 l
2 
где I=hпот/l – пьезометрический уклон.
R
r
L
Рис.32
Если пренебречь изменением давления по высоте канала, то I=Const, и
интегрирование даст
1 g
u
I r2  C .
4 
Константу интегрирования находим из граничного условия r=R, u=0.
Окончательно имеем
gI 2 2
u
R r ,
4
т.е. эпюра локальных скоростей потока представляет собой параболоид
вращения.
Максимальная скорость достигается в центре трубы
gI 2
u макс 
R ,
4
а средняя скорость потока равна
 ud
gI 2
v

(15)
R ,

8
т.е. она в два раза меньше максимальной.
Из выражения (15) пьезометрический уклон составляет
8
H
I  пот 
v
l
g R2
и потери напора по длине равны
8l
v.
H пот 
g R 2
Как видно, они пропорциональны скорости движения жидкости. Эта
закономерность была обнаружена Пуазейлем еще в 1840 г. опытным путем.
Несложные преобразования последнего выражения дают соотношение,
называемое формулой Дарси-Вейсбаха


45
l v2
,
H пот  
d 2g
где  = 64/Re – так называемый коэффициент сопротивления по длине.
Можно показать, что в ламинарном режиме движения жидкости
коэффициент Кориолиса равен α = 2.
Турбулентный режим
В неупорядоченном турбулентном потоке жидкости скорость в каждой
точке непрерывно меняется по направлению и величине. Экспериментально,
однако, установлено, что осредненная местная скорость, за исключением
пристенного слоя, вследствие интенсивного перемешивания масс жидкости
распределяется по поперечному сечению более равномерно, чем в ламинарном
режиме (рис.33).
Рис.33
Потери напора в турбулентном режиме по-прежнему определяют по
формуле Дарси-Вейсбаха, но коэффициент сопротивления по длине в общем
случае зависит не только от числа Рейнольдса, но и от шероховатости стенок
труб. На шероховатость в свою очередь влияют материал, способ обработки
поверхности, форма и количество выступов, загрязнение, коррозия и др.
факторы.
Обширные исследования потерь напора в турбулентном режиме выполнены в 1933 г. Никурадзе на гладких латунных трубах и трубах с регулярной
искусственной шероховатостью из кварцевого песка. Им обнаружено
существование трех областей движения, отличающихся характером влияния на
коэффициент сопротивления числа Рейнольдса и шероховатости:
I – течение в гидравлически гладких трубах, при котором  зависит только
от числа Рейнольдса;
II – течение в переходной области, где на  влияют и число Рейнольдса, и
шероховатость;
III – течение в так называемых вполне шероховатых трубах, при котором 
зависит только от шероховатости.
В области I, которой соответствуют малые числа Рейнольдса, движение
жидкости в тонком пристенном слое является ламинарным и свойства
поверхности не оказывают влияния на сопротивление. С увеличением скорости движения, т.е. числа Рейнольдса, начинает турбулизироваться пристенный слой жидкости, образуются вихри при обтекании выступов шероховатости, которые являются причиной дополнительных потерь (область II).
Наконец, при очень больших числах Рейнольдса основной вклад в сопротивление вносит вихреобразование в пристенном слое (область III).
46
В опытах других авторов на технических трубах с нерегулярной шероховатостью в основном подтверждены результаты, полученные Никурадзе.
Отличия состояли лишь в характере зависимости f(Re) в области II.
На основе экспериментальных данных построены зависимости,
представленные на рис.34.
Рис.34
47
Прямая 1 соответствует ламинарному движению жидкости. Коэффициент
сопротивления по длине в этом режиме определяется по формуле Пуазейля
64
.

Re
Прямая 2 соотетствует турбулентному движению жидкости в
гидравлически гладких трубах. В этом случае используется формула Блазиуса

0,3164
Re
0, 25
.
Коэффициент сопротивления вполне шероховатых труб определяется по
формуле Шифринсона
0, 25
k 
  0,11 э 
d
.
В переходной области используется формула Альтшуля
0, 25
 k 68 
  0,11 э  
 d Re 
.
Средние значения абсолютной эквивалентной
некоторых новых технических труб приведены ниже:
шероховатости
для
k э , мм
цельнотянутые из цветных металлов
0,001
стальные бесшовные
0,014
стальные сварные
0,06
железные оцинкованные
0,15
чугунные без покрытия
0,3
Коэффициент Кориолиса для турбулентного режима движения жидкости
находится в пределах α = 1,05-1,1.
Гидравлический расчет трубопроводов
Трубопрововоды подразделяются на простые и сложные. Простые трубопроводы представляют собой последовательно соединенные участки с
неизменным объемным расходом жидкости. К сложным относятся трубопроводы с параллельно соединенными участками, с отбором жидкости по
тракту, кольцевые трубопроводы, разветвленные сети.
Типичными задачами при расчете простых трубопроводов являются:
– определение
перепада
давления,
обеспечивающего
заданную
пропускную способность трубопровода, если известны длины и диаметры
отдельных участков и тип местных сопротивлений;
– определение пропускной способности трубопровода при заданном
перепаде давлений;
– определение диаметра трубопровода или отдельного участка, если
известны перепад давления или пропускная способность.
Во всех случаях основным расчетным соотношением является
48

 vi2
d
i
.
p  g   i   i 
2
g
li


При решении первой задачи по объемному расходу Q и диаметру di определяют скорость жидкости
Q
,
vi 
0,785 d i2
число Рейнольдса
vi d i

Rei 

и коэффициент сопротивления по длине i, соответствующий этому числу
Рейнольдса и относительной шероховатости участка (рис.34). Коэффициенты
местных сопротивлений выбирают по справочным данным.
Остальные задачи решают методом последовательных приближений с
уточнением на каждом шаге значений скорости и коэффициентов
сопротивления по длине. Первое приближение можно подобрать графоаналитически (рис.35).
Δр
Q
Δp
Δp2
Δpз
Q2
Qз
Δp1
Δpз
Δp1
Q1
Δp2
Q1
d=Const
Q2
d1
d2
Δp=Const
d1
d2
Q=Const
Рис.35
Когда задан диаметр трубопровода, для нескольких значений пропускной
способности рассчитывают потери давления по соотношению
l
2
p  0,8114
,
Q
5
d
принимая значение коэффициента сопротивления по длине равным λ=0,03,
по полученным данным в кординатах Δр-Q проводят параболу через начало
координат и снимают значение пропускной способности как показано стрелками.
Это же уравнение используется для нахождения диаметра трубопровода по
перепаду давления или пропускной способности.
Задачей расчета сложного трубопровода с параллельно включенными
линиями (рис.36) является определение расходов жидкости в каждой линии и
потерь напора по известному общему расходу.
49
Рис.36
Одинаковые во всех линиях потери напора равны
2
 l
 
ln
vn
2
H  ( n    )
 0,0649 Qn  n n     B n  n Q 2n .
2
 d3
2g
dn
d n 
n

Так как система, состоящая из n уравнений, содержит n+1 неизвестное, то
ее необходимо дополнить балансовым уравнением
Q   Qn .
В связи с тем, что коэффициенты сопротивления по длине в линиях
зависят от расхода, эту задачу, как и две предыдущих, приходится решать
методом последовательных приближений.
Пример расчета разветвленной сети
На рис.37 приведена схема водоснабжения пищевого предприятия, состоящего из блока технологических цехов 1, компрессорной станции 2, холодильной камеры 3, котельной 4, градирни 5, административного корпуса 6,
насосной 7. Требуется подобрать насос, обеспечивающий водоснабжение
предприятия. Результаты расчетов приведены в таблице.
3
1
2
4
a
e
c
g 7
d
f
5
6
b
Рис.37
Требуемый напор по пути a-c-d
20+5,54+3,34=28,88 м.
Требуемый напор по пути e-d
40+0,47=40,47 м.
Требуемый напор насоса
40,47+0,40=40,87 м.
Для водоснабжения можно использовать насос типа
обеспечивающий подачу 0,008 - 0,02 м³/c при напоре до 60 м вод.ст.
4КМ6,
50
а-с
b-c
c-d
d-e
d-f
Длина трубопровода, м
80
50
150
10
50
Расход воды, м³/c
0,0011 0,0015 0,0026 0,0030
0,0005
Напор у потребителей, м
20
12
40
30
Диаметр трубопровода, мм
35
45
60
60
25
Скорость воды, м/c
1,14
0,94
0,92
1,06
1,02
Число Рейнольдса
39900
42300
55200
63600
25500
Коэффициент сопротивления
0,035
0,033
0,031
0,031
0,038
по длине*
Сумма коэффициентов мест3,7
3,0
3,0
3,0
ных сопротивлений
Общее сопротивление, м
5,54
1,79
3,34
0,47
4,19
* Абсолютная эквивалентная шероховатость принята равной 0,3мм
d-g
20
0,0061
90
0,96
86400
0,028
2,2
0,40
Гидравлический удар в трубах
Гидравлический удар в трубопроводах происходит при резком закрытии
запорного органа. Он сопровождается шумовыми эффектами, сотрясением, а
иногда и разрывом труб.
Теория гидравлического удара разработана Н.Е. Жуковским. Она принесла
ему мировую известность еще до публикации работ по подъемной силе крыла.
В соответствии с этой теорией в заторможенном слое жидкости,
непосредственно примыкающем к запорному органу, под действием набегающего потока происходит повышение давления на величину р (рис.38,a),
сопровождающееся сжатием жидкости и деформированием стенок трубопровода. Этот процесс, называемый прямой ударной волной, со скоростью с,
достигающей сотен метров в секунду, распространяется на остальные слои
жидкости вплоть до входа в трубопровод (рис.38,б). Так как давление в
трубопроводе становится выше постоянного давления в резервуаре, то жидкость в примыкающем к резервуару слое расширяется и некоторое ее количество выталкивается в резервуар, что приводит к уменьшению давления в этом
слое до первоначального значения p. Процесс понижения давления в виде
отраженной волны распространяется вплоть до запорного органа, а вся
жидкость в трубопроводе приходит в движение в сторону резервуара (рис.38,в).
Если она и стенки трубопровода являются абсолютно упругими, то запасенная
на первом этапе потенциальная энергия полностью превращается в
кинетическую и скорость жидкости приобретает исходное значение (рис.38,г).
Когда примыкающий к запорному органу слой жидкости расширяется и
стремится от него оторваться, падает давление на величину Δр, равную
повышению давления при прямом ударе, и возникает направленная к резервуару отрицательная волна, за фронтом которой происходит расширение
жидкости и сжатие стенок трубопровода (рис.38,д). После ее прохождения
давление в трубопроводе становится меньше давления в резервуаре, жидкость
вновь устремляется в трубопровод и все процессы повторяются. При
отсутствии потерь они продолжаются бесконечно долго. В реальных условиях
часть энергии жидкости расходуется на неупругую деформацию стенок
51
трубопровода и в виде тепла трения рассеивается в окружающей среде.
Повторные гидравлические удары поэтому постепенно затухают.
+Δp
a)
v
v=0
c
+Δp;
б)
v=0
+Δp
в)
v
v=0
c
г)
v
д)
-Δp
v
v0
Рис.38
При торможении потока в ходе прямого удара его кинетическая энергия
расходуется на работу сжатия жидкости и работу деформации стенок трубопровода
M v2
 L1  L2 .
2
Можно показать, что
 r3 l
 r2 l
2
2


;

р  ,

p 
L2
L1
 Е ст
2E
где r – радиус трубопровода;
Е – модуль упругости жидкости, для воды равный 2080 МПа;
δ – толщина стенки трубопровода;
Ест – модуль упругости материала трубопровода, для стали равный
196 ГПа.
Учитывая, что масса жидкости составляет
M   r 2 l ,
52
получим
p  vc,
1
где c 
 скоростьраспространения ударной волны.
1

2r

 

 E  Е ст 
Если трубопровод абсолютно жесткий, т.е. Ест =∞, то
p  va,
где a  1 - скоростьзвука в жидкости, для воды равная 1425 м/c.

E
Повышение давления при прямом ударе в металлических трубопроводах
достигает 1,5 МПа на каждый 1 м/c гашения скорости.
Если время закрытия τз превышает длительность фазы ударной волны τф,
под которой понимают общее время пробега прямой и отраженной волны, то
повышение давления составит
ф
p  vc .
з
Как видно, для уменьшения последствий ударной волны следует
увеличивать время закрытия запорного органа.
Истечение жидкости из отверстий и насадок
В пищевой и перерабатывающей промышленности процессы истечения
имеют место при опорожнении емкостей для транспортировки и хранения
жидкостей, мойке тары, дозировании жидких сред и т.п.
Рассмотрим достаточно типичный случай истечения жидкости из сосуда
через отверстие в тонкой стенке (рис.39), исследованный Торричелли еще в
1644 г. Под действием частиц, движущихся по криволинейным траекториям,
струя резко сжимается. За сечением С-С, расположенном на расстоянии
l0 = 0,5d, сжатие вследствие увеличения скорости продолжается, но относительно слабо.
Применим к сечениям 1-1 и С-С уравнение Бернулли, считая движение
струи турбулентным
2
p
р
v
H  0  атм  c  h м .
g
g
2g
По формуле Борда-Вейсбаха (14) потери напора равны
2
vc
hм  
2g
С учетом этого
 1 
 2 g H пр   2 g H пр ,
vc  

1




53
где
H пр  H 
p0  pатм
g
.
p0
H
1
C
ратм
1
C
z0
l0
l
Рис.39
Объемный расход жидкости равен
Q  vc c   2 g H пр   2 g H пр ,
где  – коэффициент сжатия струи;
 – площадь отверстия;
= – коэффициент расхода.
Когда отверстие достаточно далеко удалено от стенок, сжатие струи
можно считать совершенным. Коэффициент местного сопротивления в этом
случае составляет =0,06, а скоростной коэффициент =0,97. Коэффициент
сжатия струи равен =0,63-0,64, среднее значение коэффициента расхода =0,62.
Дальнобойность струи определяется по известному соотношению
2 z0
.
L  vc
g
Важной практической задачей является определение времени опорожнения резервуара. Она сводится к анализу истечения с переменным напором.
Объем жидкости, вытекающей через отверстие за время d, можно представить
в виде
dV   2 gh  d  Sdh,
где h – текущий уровень жидкости над осью отверстия;
S – площадь поперечного сечения резервуара.
Интегрируя это уравнение от H до 0, найдем
SH
V


,
0,5 2 gH 0,5 2 gH
где V – исходный объем жидкости в резервуаре.
Как видно, это время в два раза больше времени истечения из резервуара
такого же количества жидкости с постоянным напором.
54
Истечение из насадок, типы которых приведены на рис.40, имеет свои
особенности.
1
2
3
4
Рис.40
(1 - насадок Борда; 2- насадок Вентури; 3- конический насадок;
4-коноидальный насадок)
Основное отличие истечения жидкости из насадка Вентури состоит в
появлении вихревого движения жидкости и вакуума в зоне максимального
сжатия струи (рис.41). Вихреобразование и резкое расширение потока после
этой зоны приводят к появлению значительных потерь напора.
1
С
В
1
С
В
Рис. 41
Применив уравнение Бернулли к сечениям 1-1 и B-B, получим
v B   2 g H пр ,
Q   2 g H пр
Коэффициент местного сопротивления в этом случае равен =0,5, а скоростной коэффициент =0,82. По сравнению с истечением из отверстия скорость
струи уменьшается на 15 %, а расход возрастает на 32 %. В этом и состоит
смысл применения насадок.
Значение разряжения в сечении С-С находится из уравнения Бернулли,
записанного по отношению к сечениям С-С и B-B. Если принять коэффициент
сжатия струи =0,63, а коэффициент сопротивления на участке С-B =0,35, то
hвак  0,77 H пр .
Предельному вакууму соответствует приведенный напор 8 м. При
превышении этого значения струя отрывается от стенок насадка, воздух
проникает в узкое сечение, вакуум срывается и истечение происходит так, как
из отверстия в стенке резервуара.
Из приведенных на рис.40 типов насадок наиболее эффективным является
коноидальный.
Основы моделирования гидравлических явлений
Адекватное математическое описание гидравлических явлений и объектов
с получением аналитического или численного решения во многих случаях не
представляется возможным. Поэтому важную роль в гидравлике играют
55
экспериментальные исследования. В частности, вся информация по
сопротивлению при турбулентном движении жидкости получена именно таким
путем.
С целью экономии средств или при невозможности проведения экспериментов на реальных объектах, как например при проектировании крупных
гидротехнических сооружений, исследуют модели таких объектов, выполняемые в уменьшенном масштабе. При этом моделирование должно осуществляться так, чтобы полученные результаты, выводы и рекомендации можно
было перенести на натуру. Достигается это обязательным соблюдением требований теории подобия, в соответствии с которой геометрические, кинематические и динамические характеристики макета и оригинала должны
находиться в определенных соотношениях.
Геометрическое подобие выполняется, если отношение всех сходственных размеров одинаково
lм
м
Vм
 kl ,
 k l2 ,
 k 3l .
l ор
ор
V ор
Для кинематического подобия необходимо, чтобы траектории движения
сходственных частиц жидкости были геометрически подобны и одинаково
ориентированы, а отношения скоростей и ускорений в сходственных точках
макета и оригинала одинаковыми
uм
ам
 ku ,
 kа .
u ор
аор
В геометрически и кинематически подобных объектах масштаб времени
определяется выражением
м
k
 k  l .
 ор
ku
Динамическое подобие соблюдается, если в любой паре сходственных
точек макета и оригинала действуют одноименные и одинаково ориентированные силы, а отношение всех сил одинаково
Fм 
kF
F ор
Так, например, отношение сил инерции в макете и оригинале должно быть
равно отношению равнодействующей всех сил
F a м R м

.
F a ор Rор
В соответствии со вторым законом Ньютона
F a м  Vaм   l 3l / 2м   l 2 v 2м
F a ор Vaор  l 3l / 2ор  l 2 v 2ор
С учетом этого
56
Rм

Rор
l 2v2м l 2v2ор
.
Безразмерный комплекс
R
 Ne .
 l 2 v2
получил название числа Ньютона. В механически подобных системах эти
числа должны быть одинаковыми.
Во многих случаях рядом несущественных сил можно пренебречь и вместо
равнодействующей использовать определяющую силу. Если такой силой
является сила трения, то в соответствии с законом Ньютона для внутренного
трения
du
2 l /
F    dn   l l  vl ,
число Ньютона равно
Ne 

vl ,
а обратная ему величина, называемая критерием Рейнольдса, составляет
vl
vl
Re 

/ 
По смыслу этот критерий характеризует отношение сил инерции к силам
трения.
Если преимущественное значение имеют силы тяжести, как при истечении жидкости из отверстий и насадок,
3
F g  mg   l g ,
то определяющим является критерий Фруда
2
Fr  v ,
gl
который характеризует отношение сил инерции к силам тяжести.
При движении жидкости в трубопроводах на нее действуют торцовые
силы давления, равнодействующая которых равна
F p  p  p l
Подстановка в число Ньютона дает безразмерный комплекс, называемый
критерием Эйлера
p
Eu 
,
 v2
который характеризует отношение сил давления к силам инерции.
При одновременном действии нескольких сил условием подобия макета и
образца является равенство всех частных критериев подобия. На практике,
однако, это требование часто удовлетворить не удается и приходится оперировать критериями, соответствующими превалирующим силам.
2
57
В качестве примера найдем по результатам исследования модели потери
давления в проектируемом магистральном водоводе диаметром D = 1,2 м и
длиной L= 5000 м при расходе воды Q = 0,5 м³/с.
Скорость движения воды в оригинале
Q
v
 0,44 м / c
0,785 D2
.
Критерий Рейнольдса
Re 
vD

0,44  1,2
6
5
 5,3  10 .

10
Для получения такого же числа Рейнольдса в модели водовода диаметром
d=50 мм скорость движения воды должна составлять
Re 
 10,6 м / c .
vм 
d
Измеренные в опыте потери давления в модельном трубопроводе длиной
l=1 м оказались равными 129 кПа. Этому соответствует число Эйлера
Eu 
 pм
 v2м
 1,15
В геометрически подобном участке водовода длиной D/d=24 м с таким же
значением критерия Эйлера потери давления составят
p   v2 Eu  0,223кПа
Общие потери давления в водоводе равны 5000/240,223= 46,5 кПа.
Вопросы для проверки усвоения материала
1. Чем отличаются уравнения Эйлера в гидростатике и гидродинамике?
2. Какие условия однозначности привлекаются для решения дифференциальных уравнений движения жидкости?
3. От чего зависит положение пьезометрической линии при движении
жидкости?
4. Какой вид имеют уравнения сохранения энергии придвижении идеальной и реальной жидкости?
5. Чем отличаются напорные линии при движении идеальной и реальной
жидкости?
6. От чего зависят потери напора при ламинарном и турбулентном
движении жидкости?
7. Возможен ли гидравлический удар при резком торможении потока
несжимаемой жидкости в абсолютно жестком трубопроводе?
8. С какой целью применяют насадки при опорожнении емкостей с
жидкостью.
9. Когда использование цилиндрических насадок становится неэффективным?
58
Задачи и примеры их решения
1. Определить расход воды в техническом трубопроводе диаметром
160 мм и длиной 100 м, если потери давления равны 10 кПа. Температура воды
20˚С, эквивалентная абсолютная шероховатость трубопровода kэ = 0,02 мм.
Плотность и коэффициент кинематической вязкости воды принять равными
ρ=1000 кг/м³, υ = 0,013 cтокс.
Решение
Потери напора по длине равны
p  
L 
2

 

d 2 0,785 2 

d 
2
Lv
d 2
Q
Коэффициент сопротивления по длине технического трубопровода
0,25
 k 68 
  0,11 э  
 d Re 
0, 25
68
k

 0,11 э 

 d Q / 0,785 d 2 
Решение уравнения для потерь напора методом последовательных
приближений дает
Q=0,028 м³/с
Число Рейнольдса
Q
Re 
 17761 .
0,785d
Режим течения турбулентный. Формула для расчета коэффициента сопротивления по длине выбрана правильно.
2. Определить диаметры параллельно включенных участков трубопровода длиной 1000 м каждый, если расходы воды составляют Q1=0,02 м³/с,
Q2=0,08 м³/c при потерях давления Δр=50 кПа. Эквивалентная абсолютная
шероховатость kэ =0,05мм, коэффициенты местных сопротивлений ξ1=40,
ξ2=15.
Решение
Потери напора на участке
Q
 L

p       
 d
 2 0,785

2


2
d 
Решение методом последовательных приближений относительно диаметра
с использованием приведенного выше выражения для коэффициента сопротивления по длине дает
d 1  0,176 м,
d 2  0,181м
Re1=11135,
Re2=43311
Числа Рейнольса
59
Движение жидкости близкое к турбулентному и турбулентное. Формула
для определения λ выбрана правильно.
3. Из напорного бака вода течет по трубе диаметром d1 =20 мм и вытекает
в атмосферу через насадок диаметром d2 =10 мм (рис.42). Избыточное давление
воздуха в баке pизб = 0,18 МПа, высота H =1,6 м. Определить скорость воды в
трубе v1 и в насадке v2, пренебрегая потерями напора.
Решение
Скорость истечения из насадка
v1  2 g H пр  19,8 м / с,
где приведенный напор равен
pизб
H пр  H  g  19,95м вод.ст.
ризб
H
d1
d2
Рис.42
Скорость воды в трубе
 d2

 d1 
v2  
2
v1  4,95 м / c
4. Для измерения расхода воды, которая подается по трубе в бак,
установлен расходомер Вентури (рис.43). Определить максимальный расход,
который можно пропускать через расходомер без возникновения кавитации.
Температура воды 60 С, давление насыщения при этой температуре
рs=20,2 кПа, атмосферное давление 101,3 кПа, уровень воды в баке H =1,5 м,
отметка и размеры расходомера h = 0,5 м, d1 =20 мм, d2 = 50 мм, коэффициент
сопротивления диффузора  =0,2.
a
b
d1
d2
H
h
a
b
Рис. 43
60
Решение
Уравнение Бернулли для сечений a-a и b-b
p s v12
p 2 v22



 hпот .
g 2g g 2g
Пьезометрический напор в cечении b-b
p 2 pатм

H h
g g
Потери напора в диффузоре
2
v1
hпот   2 g
Cкорость в сечении b-b
 d1 

 d2
v 2  
2
v1
С учетом этого

v1 
2 g  H  h 

p атм  p s 

g
1    d 1 / d 2 4

 15,37 м / c
Максимально допустимый расход составляет
Q  0,785 d 22 v1  4,83л / c
5. Определить направление истечения воды через отверстие диаметром
d0=5 мм и расход, если разность уровней составляет H=2 м, показание вакуумметра рвак=19,6 кПА, показание манометра рм=250 кПА, коэффициент расхода
=0,62 (рис.44).
рвак
рм
H
Рис.44
61
Решение
Разность напоров в правом и левом сосуде на уровне отверстия
p м  pвак

 H  25,48 мвод.ст.
H пр
g
Расход воды из правого сосуда в левый
Q  0,785 d 02  2 g H пр  0,27 л / c
6. Определить силу, с которой жидкость действует на заслонку, если:
1) заслонка плотно прижата к соплу;
2) расстояние между соплом и заслонкой достаточно велико.
Избыточное давление перед соплом р0= 3 МПа, диаметр сопла d = 2 мм,
скоростной коэффициент  =0,85.
Решение
В первом случае сила давления жидкости на заслонку равна
2
F1  0,785 d p0  9,42н
Во втором случае скорость истечения из сопла равна
v 
2 p0

 65,84 м / c
Массовый расход воды
M  0,785 d 2 v  0,207 кг / c
Изменение количества движения жидкости
Mv   13,62кг  м / c
2
Cила давления на заслонку
F 2  Mv   13,62н
7. Вода поступает из бака А (рис.45) в количестве 3,2 л/c по трубе 1 к
разветвлению М, от которого по двум трубам 2 и 3 подается в резервуары Б и В.
Определить расход воды в резервуар Б и давление в баке, если длины и
диаметры всех труб одинаковы и соответственно равны 6 м и 30 мм; высоты
Н1 =7,4 м, Н2=4 м, Н3=3 м; коэффициент сопротивления по длине λ=0,03;
коэффициенты местных сопротивлений: вход в трубу из бака – 0,5; вентиль –
3,5; плавный поворот на 90˚ - 0,3. Сопротивлением тройника пренебречь.
Решение
Запишем уравнение Бернулли для линий 2 и 3
2
p
p
h  М  v2  H 2  атм  Н пот2
g 2 g
g
h
p
pМ
  H 3  атм  Н пот3
g
g
62
После вычитания второго уравнения из первого
2
v2 



2 g H 2 H 3 Н пот2 Н пот3
Гидравлические потери в линиях равны
2
v2
Н пот2  k 2,3 2 g ;
2
v3
Н пот3  k 2,3 2 g ,
2
1
М
H1
A
Б
Н2
h
3
Рис.45
Подстановка дает
H3
В
1  к v22  к v32  2 g H 2  H 3 .
Выражая скорость через расход воды и площадь поперечного сечения
трубы, получим
1  к Q22  к Q32  2 g 2 H 2  H 3
или
1  к Q22  к Q1Q22  2 g 2 H 2  H 3 .
Имея в виду, что
k 2, 3  
l
6
   м 0,03
 3,5  2  0,3  10,1;
d
0,03
  0,785 d 2  0,785  0,032  0,707  10 3 м2 ,
из этого уравнения найдем
Q2 =0,543 л/c
Используя совместно уравнение Бернулли для линии 1
p1
p М v12


h


 Н пот1
H1
g
g 2 g
63
и линии 3, получим выражение для расчета избыточного давления в баке
2


v
p1  р атм  g   H 1  H 3  1  Н пот1  Н пот3  .
2g


Скорости воды в линиях 1 и 3 составляют
Q1
v1    4,53 л / c;
Q3
v3    3,76 л / c
Потери напора в линиях 1 и 3 равны
2
2
6
4,53
v1
H пот1  k1 2 g  (0,03 0,03  0,5  3,5)  19,62  10,46 м;
2
v3
H пот3  k 2,3 2 g  7,28 м
Подстановка и вычисления дают
р1-pатм = 82,27 кПа.
8. Определить скорость воды на оси трубопровода (рис.46), если показание ртутного дифференциального манометра, измеряющего разность полного и пьезометрического напоров, равна h=1,5 cм.
Ответ: 1,93 м/c
h
Рис.46
9. На оси водовода установлена трубка Пито с дифференциальным ртутным манометром. Найти скорость воды, если показание манометра 18 мм.
Ответ: 2,1 м/с
10. Определить показание пьезометра h, если уровень воды в баке (рис.47)
поддерживается равным H=3 м, а скорость истечения воды составляет 1,5 м/c.
Ответ: 2,89 м
64
H
h
Рис.47
11. Определить расход воды в трубопроводе диаметром d1=100 мм, если
показание расходомера Вентури (рис.48) с диаметром узкого участка d2=56 мм
составляет h =100 мм рт.ст. Гидравлическими потерями пренебречь.
Ответ: 0,0129 м³/c
h
Рис.48
12. Вода выливается из сосуда через патрубок с размерами d1=100 мм,
d2=150 мм (рис.49). Определить напор H, при котором вакуум в сечении 1-1
составит 50 кПа. Гидравлические потери не учитывать.
Ответ: 1,25 м
H
1
1
Рис.49
13. Определить расход керосина, вытекающего из бака по трубопроводу
диаметром 50 мм (рис.50), если избыточное давление воздуха в баке равно
16 кПа, уровень керосина H0=1 м, высота подъема керосина в пьезометре
H=1,75 м, плотность керосина 800 кг/м3. Гидравлическими сопротивлениями
пренебречь.
Ответ: 7,87 кг/c
65
H
H0
Рис.50
14. Вода вытекает из открытого резервуара в атмосферу через трубу,
имеющую плавное сужение до диаметра d1, а затем постепенное расширение до
d2 (рис.51). Истечение происходит под действием напора H=3 м. Пренебрегая
потерями энергии, определить давление в узком сечении трубы 1-1, если
соотношение диаметров d2/d1= 2 . Атмосферное давление равно 750 мм рт.ст.
Найти напор, при котором давление в этом сечении теоретически становится
равным нулю.
Ответ: 0,117 бар; 3,4 м
H
1
2
1
2
Рис.51
15. Определить диаметр трубопровода длиной 1000 м, расход воды в
котором должен составлять 0,05 м³/с при сопротивлении 0,2 МПа. Эквивалентная абсолютная шероховатость К Э =0,1 мм.
Ответ: 0,18 м
16. На какую высоту поднимется вода в трубке, один конец которой
подсоединен к узкому участку трубопровода, а второй опущен в сосуд с водой
(рис.52), если расход в трубопроводе составляет 0,025 м³/c, избыточное
давление перед сужением р1 = 49 кПа, диаметры: трубопровода 100 мм,
сужения 50 мм.
Ответ: 2,7 м
h1
h
Рис. 52
66
17. Резервуар разделен перегородкой с отверстием диаметром 0,1 м
(рис.53). В левую камеру поступает вода в установившемся режиме, а из правой
она вытекает в басссейн через отверстие диаметром 0,05 м. Определить расход
воды и уровни в камерах, если общий перепад уровней составляет H = 5 м, а
коэффициент расхода через отверстие μ=0,6.
Ответ: 0,0112 м3/c; 0,29 и 4,71 м
h1
h2
H
Рис.53
18. Найти вакуум во всасывающем патрубке центробежного насоса,
расположенного на высоте 4,5 м над уровнем воды. Диаметр патрубка 100 мм,
подача насоса 18 м³/час.
Ответ: 44,4 кПа
19. Поршневой насос всасывает воду из бака, уровень в котором на 3 м
ниже положения поршня, перемещающегося со скоростью 0,1 м/c. Определить
абсолютное давление под поршнем. Барометрическое давление 100 кПа.
Гидравлическими потерями пренебречь.
Ответ: 70,6 кПа
20. Определить напор, который необходимо создать в сечении 0-0 для
подачи в бак воды (рис.54), если длина трубопровода l=80 м, диаметр d=50 мм,
расход жидкости Q=15 л/с, высота H=30 м, давление в баке 0,2 МПа.
Коэффициент сопротивления крана – 5, колена – 0,8, шероховатость стенок
трубы 0,04 мм.
Ответ: 169,6 м
H
0
0
Рис.54
21. Определить потери напора на параллельно включенных участках
трубопровода длиной 30 м и диаметрами 50 и 30 мм, если расход перед
разветвлением составляет 5 л/c. Участки считать технически гладкими.
Ответ: 2,26 м
67
Динамика газовых потоков
В отличие от жидкости газ является сжимаемой средой, плотность которой зависит от давления и температуры. По этой причине, приведенные выше
фундаментальные уравнения равновесия и движения, полученные в
предположении, что плотность среды постоянна, нуждаются в коррекции.
Течение газов без трения
Газодинамический анализ движения газов в каналах осуществляется с
использованием уравнения Эйлера, которое при одномерном течении без
трения, если пренебречь удельной силой тяжести, имеет вид
1
 dp  vdv .

При изотермическом течении идеального газа из уравнения МенделееваКлапейрона следует
p
.

RT
После подстановки
 RT
Интегрирование
Бернулли для газа
дает
dp
 vdv .
p
соотношение,
RT ln p1 
2
v1
2
которое
 RT ln p2 
называют
уравнением
2
v2
2
.
Возвращаясь к уравнению движения и используя уравнение неразрывности
в логарифмических дифференциалах
dp dv d


 0,
p v

где ω – площадь поперечного сечения канала,
найдем
dv d vdv
.


v
 RT
Имея в виду, что скорость звука в идеальном газе равна
a  kRT ,
а отношение скорости потока к скорости зука называется числом Маха
v
M  .
a
после преобразований получим формулу Гюгонио
dv d
.
k M 2 1

v

Отсюда следует, что если на входе число Маха меньше √1/k (для двухатомных газов М < 0,845), то в суживающемся канале происходит ускорение


68
потока и снижение давления, а в расширяющемся – торможение потока и
повышение давления.
Скорость на выходе находят решением уравнения

0,5 v22  RT ln v2  0,5 v12  RT ln v1  RT ln 2 .
1
Изотермичность потока в каналах с переменной площадью поперечного
сечения обеспечивается, как следует из уравнения сохранения энергии,
подводом или отводом тепла в количестве
2
q
2
v2  v1
2
.
В каналах с постоянным поперечным сечением скорость потока и давление
не меняются, а теплообмен с внешней средой отсутствует.
При адиабатном течении газа без трения давление и температура газа
связаны соотношением
dp
k dT
.

p k 1 T
Подстановкой
в
дифференциальное
уравнение
движения
и
интегрированием получаем уравнение Бернулли в форме
kR T 1 v12 kR T 2 v22


 .
k 1 2
k 1 2
В этом случае формула Гюгонио имеет вид
dv d
2
.

M 1
v

В суживающихся каналах скорость газа возрастает, если на входе М<1.
В расширяющихся каналах она падает.
Учитывая, что в адиабатном процессе параметры газа связаны соотношением


k 1
T 2   p2  k ,
T 1  p1 
найдем скорость на выходе и массовый расход
v2 
G  2
k 1 

 p  k 
2k
R T 1 1   2    v12 .
 
k 1
  p1  


k 1 

2/k
 p2  k  2  p 2  2 / k
 p 2 
2k
.
       v1  p 
k  1 R T 1  p1 
p


1
 1 


2
p1
69
Максимально возможная пропускная способность суживающихся каналов
достигается при истечении со скоростью звука. Для двухатомных газов, в том
числе и для воздуха, такой режим устанавливается, если отношение давлений
равно р2/р1 = 0,528. Этому соответствует расход
2
p1
 0,857 v12 .
R T1
G макс  0,685 2
Течение газов с трением
В реальных условиях течение газов в каналах сопровождается
диссипацией энергии вследствие трения, обусловленного вязкостью среды и
шероховатостью стенок канала (в турбулентном режиме движения). Поэтому в
уравнение Эйлера необходимо ввести член, учитывающий удельные силы
трения
1 dp  v2
dv


v .
 dx D 2
dx
После преобразований с использованием уравнения МенделееваКлапейрона получим
2
2
dp
 v
dv

dx  v
p
2 D RT
RT v
Имея в виду, что
2
2
2
v  k v  k v  k 2,
M
2
RT kRT
a
dv dM 1 dT


,
v
M 2 T
и привлекая уравнение сплошности в логарифмических дифференциалах,
которое для каналов с постоянной площадью поперечного сечения имеет вид
dp dT dv

 ,
p
T
v
найдем
dT
2
  k 2  1  k 2 dM  .

M
M

M 
T
1  k M 2  2D
Но из уравнения энергетического баланса при адиабатном течении газа

2
v
c p T   Const
следует
2

dT
k  1 M 2 dM

,
k 1 2 M
T
1
M
2
С учетом этого

70
1  M 2 dM


k M 2 dx .
k 1 2 M
2D
1
M
2
Интегрирование дает
2D k  1
k
4
1
ln
M2
k 1
M
2
M
2
1

2
 L.
2M
2
M1
Критическая длина, на которой достигается скорость звука, равна
2 D 1  M 12 k  1 2  k  1 M 12 

ln
Lкр 

.
k  2 M 12
4
k  1 M 12 
Температуру и давление на выходе трубопровода определяют по
формулам
k 1 2
1
M1
T2
M
2

;
.
p 2  p1 1 
T 2 T1
k 1 2
T
M
1
2
1
M2
2
В качестве примера определим потери давления при адиабатном течении
воздуха в пневмолинии диаметром D =0,01м и длиной L=20м, если расход
составляет G =0,189 кг/c, температура и давление на входе T1 =300K,
р1 = 0,6 МПа. Эквивалентную шероховатость трубопровода примем равной
=0,01 мм.
На входе плотность и скорость воздуха, скорость звука, число Маха и
число Рейнольдса равны
p
G
 34,8 м / c;
1  1  6,92кг / м3 ; v1 
a1  kR T1  348,4 м / с;
R T1
1  0,785 D2
v1 D 1
v1
 2,18  105 .
 0,1;
Re 1 
1
a1
Коэффициент сопротивления по длине по условиям на входе по формуле
Альтшуля
M1 
0, 25
  68 

1  0,11 

 D Re1 
 0,028 .
Число Маха на выходе, определенное методом последовательных приближений
M 2  0,225 .
Остальные параметры на выходе
Т2 = 297,6 К; а2 = 347 м/с; v2 = 78,1 м/с; Re2 = 4,88104; 2 = 0,024.
71
Уточненные результаты расчетов по среднему значению коэффициента
сопротивления по длине ср=0,026:
Т2 = 298,3 К; а2 = 347,4 м/с; v2 = 68,8 м/с.
Сопротивление пневмолинии
р = 0,298 МПа.
Часто встречающейся задачей является определение пропускной способности трубопровода заданных размеров при наполнении и опорожнении
емкостей по заданным значения давления на концах и температуры на входе.
Решается она в следующей последовательности:
– по температуре, давлению и начальной оценке числа Маха на входе
находят скорость звука, скорость потока и по уравнению состояния плотность
газа;
– по уравнению неразрывности рассчитывают расход газа по условиям на
входе;
– по приведенным выше соотношениям определяют число Маха, температура, скорость звука и скорость потока на выходе;
– по полученной температуре и заданному давлению находят по уравнению состояния плотность газа на выходе;
– рассчитывают расход газа по условиям на выходе;
– подгонкой числа Маха на входе выравнивают значения расходов на
концах трубопровода.
При изотермическом движении газа число Маха на выходе определяют
решением уравнения
M2
2D 1

 L.
ln M
 2M 2
M1
Давление равно
M
p 2  p1 1 .
M2
С исходными данными, использованными в рассмотренном выше примере,
результаты расчетов практически совпадают.
При адиабатном течении газов с трением в каналах с переменной
площадью поперечного сечения также действует приведенное выше уравнение
движения, но с учетом того, что уравнение неразрывности имеет вид
dp dT dv d

 
,
p
T
v

изменение числа Маха по длине канала описывают дифференциальным
уравнением
1  M 2 dM

d

k M 2 dx 
,
k 1 2 M
2D

1
M
2
дополнительно содержащим функцию ω(x), которая характеризует форму
канала и может иметь самый разный вид, в том числе не позволяющий
72
провести непосредственное интегрирование. В такой ситуации, а также при
необходимости учета изменения коэффициента сопротивления по длине,
приходится прибегать к конечно-разностным методам расчета течения.
После выбора шага разбиения канала на участки х параметры на выходе
каждого из них определяют по соотношениям

2 i  k  1 2 
1 
i

1 
k M i2  xi 
M i 1  M i 1 
M i ;
2


2
1





D
D
M
i

1
i
i

1
i


i

1
T i 1  T i
1
k 1
2
k 1
2
2
Mi
;
2
ai 1  kR T i 1;



v i  1  M i  1 ai  1 ;
M i 1
2


 M i 1 M i 
i
M i 1  M i
1 
M i 1  M i  / 
k
  xi  k
 Di 1  Di 
2
2

.
pi 1  pi 
2
  k 1 M M  

i 1
i 
 / 1 




 

2 
2


 

В качестве примера определим длину сопла с экспоненциальным профилем, диаметр на выходе, скорость и противодавление, соответствующие
критическому режиму истечения воздуха, если на входе диаметр равен
D1=30 мм, давление р1=0,6 МПа, температура T1=300K, скорость v1=35 м/c.
Коэффициент трения по длине постоянен и равнен =0,025.
Пусть профиль сопла описывают уравнением
D  D1 exp 0,061x ,
где х – расстояние от входа в сопло.
Относительное изменение площади поперечного сечения сопла
2  i
exp 0.122x   1
2
exp 0,122x   1
 i  1  i
Скорость звука на входе
a1 kR T1  347,2 м / c
Число Маха на входе
v1  0,1008
a1
В связи с тем, что интенсивность изменения параметров потока нарастает в
направлении выходного сечения сопла, шаг Δхi для получения приемлемой
точности необходимо уменьшать, например, таким образом
При проведении расчетов начальный шаг принят равным Δхн =3 мм, а параметр, регулирующий темп дробления шага, ε =0,155.
 x i   xн exp(x),
M1 
73
Полученные данные представлены на рис. 55. Критический режим
истечения устанавливается в сопле длиной 15,8 мм с диаметром на выходе
11,4 мм при противодавлении 0,313 МПа. Cкорость истечения составляет 317,3 м/c.
v, м / c
T, K
p, МПа
320
1
300
2
280
260
3
300
0,7
225
0,6
150
0,5
0, 4
75
0
240
220
0
2
4
6
8
10
12
14
0,3
16
длина сопла, мм
Рис.55. Изменение параметров потока по длине сопла
(1 – температура; 2 – давление; 3 – скорость)