РОССИЙСКАЯ ФЕДЕРАЦИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

РОССИЙСКАЯ ФЕДЕРАЦИЯ
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Филиал в г.Ишиме
УТВЕРЖДАЮ
Директор филиала
______________ /Шилов С.П./
20.11.2014
СПЕЦСЕМИНАР: ГЕОМЕТРИЯ
Учебно-методический комплекс. Рабочая программа
для студентов специальности
050201.65 Математика с дополнительной специальностью Физика
очной формы обучения
1
ЛИСТ СОГЛАСОВАНИЯ
от 20.11.2014
Содержание: УМК по дисциплине Спецсеминар: геометрия
Учебно-методический комплекс. Рабочая программа для специалистов направления подготовки
050201.65 Математика с дополнительной специальностью Физика очной формы обучения
Автор(-ы): Мамонтова Т.С.
Должность
ФИО
Дата
согласования
Заведующий
кафедрой
Мамонтова
Т.С.
16.10.2014
Председатель УМС
филиала ТюмГУ в
г.Ишиме
Поливаев
А.Г.
11.11.2014
Согласовано
Начальник ОИБО
Гудилова
Л.Б.
20.11.2014
Согласовано
2
Результат
согласования
Рекомендовано
к электронному
изданию
Примечание
Протокол заседания
кафедры от 16.10.2015
№2
Протокол заседания
УМС от 11.11.2015
№3
РОССИЙСКАЯ ФЕДЕРАЦИЯ
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Филиал в г. Ишиме
Кафедра физико-математических дисциплин и профессионально-технологического образования
Мамонтова Татьяна Сергеевна
СПЕЦСЕМИНАР: ГЕОМЕТРИЯ
Учебно-методический комплекс. Рабочая программа
для студентов специальности
050201.65 Математика с дополнительной специальностью Физика
очной формы обучения
Тюменский государственный университет
2014
Рабочая программа дисциплины «Спецсеминар: геометрия»
Мамонтова Т.С. УМК по дисциплине Спецсеминар: геометрия.
Учебно-методический комплекс. Рабочая программа для специалистов направления подготовки
050201.65 Математика с дополнительной специальностью Физика очной формы обучения.
Тюмень, 2014.
Рабочая программа составлена в соответствии с требованиями ГОС ВПО с учетом
рекомендаций и ПрОП ВО по направлению подготовки.
Рабочая программа дисциплины (модуля) опубликована на сайте ТюмГУ: Спецсеминар:
геометрия [электронный ресурс] / Режим доступа: http://www.utmn.ru, раздел «Образовательная
деятельность», свободный.
Рекомендовано к изданию кафедрой физико-математических дисциплин и
профессионально-технологического образования.
Утверждено директором филиала ТюмГУ в г. Ишиме.
ОТВЕТСТВЕННЫЙ РЕДАКТОР Мамонтова Т.С., к.п.н., доцент
Ф.И.О., ученая степень, звание заведующего кафедрой
© Тюменский государственный университет, филиал в г. Ишиме, 2014.
© Мамонтова Т.С., 2014.
4 стр. из 14 стр.
Рабочая программа дисциплины «Спецсеминар: геометрия»
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
"Ишимский государственный педагогический институт им. П.П. Ершова"
УТВЕРЖДАЮ
Ректор ФГБОУ ВПО «ИГПИ
им. П.П. Ершова»
_______________ С.П. Шилов
«___» ______________ 2011 г.
РАБОЧАЯ ПРОГРАММА
СПЕЦСЕМИНАР: ГЕОМЕТРИЯ
050201.65 – Математика с дополнительной специальностью Физика
Ишим 2011
5 стр. из 14 стр.
Рабочая программа дисциплины «Спецсеминар: геометрия»
УТВЕРЖДЕНО
На заседании кафедры
математики, информатики и МП
Протокол № 2 от «20» октября 2011 г.
Зав. кафедрой
_______________
роспись
Т.С. Мамонтова
И.О.Ф. зав. кафедрой
УТВЕРЖДЕНО
На заседании УМК факультета
Протокол № 2 от «22» октября 2011 г.
Председатель Совета
_______________ ____Е.В. Ермакова__
роспись
И.О.Ф. председателя
СОГЛАСОВАНО
«23» октября 2011 г.
Зав. библиотекой
_______________ ___Л.Б. Гудилова___
роспись
И.О.Ф. начальника ОИБО
ВВЕДЕНА В ДЕЙСТВИЕ с «1» ноября 2011 г.
РАЗРАБОТАНА __к.п.н., доцент Т.С. Мамонтова_________
(наименование структурного подразделения (ий), разработавшего (их) документ или руководитель рабочей
группы и ее члены)
РЕЦЕНЗЕНТЫ
_______к.п.н., ст. преподаватель М.В. Шустова______________
(Ф.И.О., ученая степень, ученое звание, должность)
_______к.п.н., доцент И.Ф. Кашлач_________________________
(Ф.И.О., ученая степень, ученое звание, должность)
Периодичность ПЕРЕСМОТРА – 1 раз в год
Программа составлена на основе ГОС ВПО «31» января 2005
Номер государственной регистрации729 пед/маг (новый)
6 стр. из 14 стр.
Рабочая программа дисциплины «Спецсеминар: геометрия»
Содержание
I. Программа дисциплины ……………………………………………………………………
1. Выписка из Учебного плана ………………………………………………………
2. Введение……………………………………………….................................................
2.1. Цели и задачи преподавания и изучения дисциплины………....................
2.2. Требования к уровню освоения дисциплины ……………………………..
2.3. Требования к организации дисциплины…………………………………...
2.4. Объем дисциплины и виды учебной работы ……………………………...
II. Содержание дисциплины …………………………………………………………….........
1. Разделы дисциплины, виды и объем занятий……………………………………
2. Материально-техническое оснащение дисциплины ……………………………
III. Организация аудиторной и самостоятельной работы студентов……………………
1. Организация аудиторной работы студентов ………………………………….....
1.1. Краткий курс лекций………………………………………………………..
1.2. Планы практических занятий и методические рекомендации к ним…….
2. Организация самостоятельной работы студентов ……………………………...
3. Учебно-методическое обеспечение дисциплины………………………..……….
3.1. Основная литература………………………………………………………..
3.2. Дополнительная литература………………………………………………..
3.3. Электронные ресурсы ………………………………………………………
4. Методические рекомендации для преподавателя ………………………………
5. Методические рекомендации для студента ………………………………………
IV. Материалы входного, текущего и итогового контроля ………………………………
1. Варианты контрольных работ ……………………………………………………..
2. Вопросы к зачету………………………….………………………………………….
V. Терминологический минимум …………………………………………………………….
1. Основные термины и понятия курса ……………………………………………..
Лист регистрации изменений и дополнений ……………………………………………….
4
4
4
4
4
5
5
6
6
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
8
8
9
9
10
13
13
14
7 стр. из 14 стр.
Рабочая программа дисциплины «Спецсеминар: геометрия»
I. Программа дисциплины
1. Выписка из Учебного плана
Спецсеминар по геометрии в соответствии с Учебным планом подготовки по
специальности 050201 «Математика с дополнительной специальностью Информатика»
относится к дисциплинам по выбору.
2. Введение
Рабочая программа (РП) спецсеминара по геометрии разрабатывалась на основе
требований ГОС ВПО в соответствии с нормативно-правовыми актами, учредительными и
нормативными документами ФГБОУ ВПО ИГПИ.
РП спецсеминара по геометрии предназначена для студентов физико-математического
факультета педагогического института. РП включает планы практических занятий и
методические рекомендации к ним; вопросы (тесты) для самоконтроля; организацию СРС и ее
методическое обеспечение; материалы входного и итогового контроля; темы курсовых работ;
терминологический минимум (терминологический словарь).
Спецсеминар по геометрии призвана решить задачу подготовки студентов физикоматематического факультета по специальности «Математика» к преподаванию математики в
средней общеобразовательной школе с учетом уровневой и профильной дифференциаций
математического образования.
2.1. Цели и задачи преподавания и изучения дисциплины
Целью освоения спецсеминара по геометрии является использование возможностей
образовательной среды для обеспечения качества образования, в том числе с применением
информационных технологий; выработка навыков работы с геометрическими структурами;
формирование знаний по геометрии и топологии многообразий; развитие логического
мышления и математической культуры.
Задачи преподавания и изучения дисциплины:
- ознакомление с историей развития и становления науки геометрии;
- формирование умений оперировать геометрическими определениями, теоремами,
суждениями;
- выработка навыков применения теоретических знаний, используя геометрические
методы;
- формирование логического, пространственного, геометрического мышления;
- формирование графической культуры.
2.2. Требования к уровню освоения дисциплины.
После изучения спецсеминара по геометрии студент
знает:
- теоретическую базу геометрии и топологии многообразий;
- основные понятия римановой геометрии;
- базовые понятия дифференциальной топологии.
- элементы теории гомологий гладких многообразий;
умеет:
- формулировать и доказывать теоремы, самостоятельно решать классические задачи
математики;
- применять геометрический подход при решении задач;
- планировать решение геометрической задачи и реализовывать сформулированный
план;
владеет:
- навыками практического использования математических методов при анализе задач
дифференциальной геометрии и топологии многообразий;
- навыками теории дифференцируемых структур, линейных связностей, римановыми
метриками, другими геометрическими методиками.
8 стр. из 14 стр.
Рабочая программа дисциплины «Спецсеминар: геометрия»
2.3. Требования к организации дисциплины
Спецсеминар по геометрии предусматривает проведение лекций и практических
занятий. Он реализуется через систему индивидуальных заданий, самостоятельных и
контрольных работ.
Основное содержание лекций - изложение теоретических основ геометрии, а также их
иллюстрация примерами. Практические занятия посвящаются, главным образом, решению
задач по изученным темам. Самостоятельная работа студентов по геометрии осуществляется
при подготовке к практическим занятиям и при выполнении домашнего задания.
Контроль над самостоятельной работой студентов и проверка их знаний проводится в
виде домашних самостоятельных работ, аудиторных входных и итоговых контрольных работ,
зачетов и экзамена.
2.4. Объем дисциплины и виды учебной работы
Таблица 1
Вид учебной деятельности
Общая трудоемкость дисциплины
Аудиторные занятия
Лекции (ЛК)
Практические занятия (ПЗ)
Самостоятельная работа
Курсовые, выпускные квалификационные
работы (КР, ВКР)
Вид итогового контроля
Всего
часов
56
28
4
24
28
Распределение по
семестрам в часах
Семестр 6
56
28
4
24
28
Зачет
Зачет
9 стр. из 14 стр.
Рабочая программа дисциплины «Спецсеминар: геометрия»
II. Содержание дисциплины
1. Разделы дисциплины, виды и объем занятий
Таблица 2
№
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Содержание темы
Элементы
топологии.
Топологические
пространства. Свойства. Отображения.
Топологические свойства поверхностей.
Топологические вопросы в школьном курсе
геометрии. Понятия гладкой линии и гладкой
поверхности.
Элементы
дифференциальной
геометрии.
Пространственные кривые. Кривизна и кручение
кривой. Формулы Френе.
Начальные понятия теории поверхностей. Первая и
вторая квадратичные формы поверхности.
Внешняя геометрия поверхности.
Внутренняя геометрия поверхности.
Поверхности постоянной гаусовой кривизны.
Геометрия на сфере мнимого радиуса в
псевдоевклидовом пространстве.
Контрольная работа
Всего
4
Виды занятий
ЛК
ПР
1
2
СРС
2
1
2
2
1
2
2
1
4
4
1
2
2
1
1
1
4
4
2
2
4
4
2
2
4
1. Элементы топологии. Топологические пространства. Аксиоматика топологического
пространства. Примеры топологических пространств. Топология, индуцированная метрикой.
Замкнутые множества. Свойства топологических пространств. Внутренние, внешние,
граничные точки. Замыкание. Базис. Подпространство. Связность. Отделимость. Компактность.
Отображения топологических пространств. Непрерывные отображения. Гомеоморфизм.
Вложение и погружение. Линейная связность.
2. Топологические свойства поверхностей. Понятие n-мерного многообразия.
Поверхности и поверхности с краем. Операция «склеивания». Лист Мебиуса и «ручка».
Клеточное разбиение поверхности с краем. Эйлерова характеристика поверхности.
Ориентируемые и неориентируемые поверхности. Топологическая классификация
поверхностей.
3. Топологические вопросы в школьном курсе геометрии. Геометрические тела.
Многоугольники и многогранники. Многогранная поверхность и развертка. Классификация
правильных многогранников. Понятия гладкой линии и гладкой поверхности.
4. Элементы дифференциальной геометрии. Пространственные кривые. Понятие кривой.
Операции с вектор функциями одной переменной. Касательная прямая. Длина дуги кривой.
Естественная параметризация. Трехгранник Френе. Кривизна и кручение кривой. Кривизна
кривой. Первая формула Френе. Абсолютное кручение. Кручение. Формулы Френе.
Натуральные уравнения. Винтовые линии.
5. Начальные понятия теории поверхностей в евклидовом пространстве. Поверхности в
3
Е и их аналитическое задание. Координатные линии. Кривые на поверхности. Касательная
плоскость. Первая квадратичная форма поверхности. Длина дуги кривой на поверхности. Угол
между кривыми на поверхности. Площадь области на поверхности. Об определении площади
поверхности.
6. Внешняя геометрия поверхностей. Вторая квадратичная форма. Кривизна кривой на
поверхности. Соприкасающийся параболоид поверхности. Главные направления и главные
нормальные кривизны. Тип точки на поверхности. Теорема Эйлера. Экстремальные свойства
10 стр. из 14 стр.
Рабочая программа дисциплины «Спецсеминар: геометрия»
главных направлений. Отыскание главных направлений и главных нормальных кривизн.
Деривационные формулы. Основные уравнения теории поверхностей.
7. Внутренняя геометрия поверхностей. Изотермические поверхности. Понятие о
внутренней геометрии поверхности. Геодезическая кривизна кривой на поверхности.
Геодезические линии. Полугеодезическая система координат. Кратчайшие. Теорема Гаусса Бонне.
8. Поверхности постоянной гаусовой кривизны. Локальная изотермичность
поверхностей постоянной гаусовой кривизны. Поверхности постоянной отрицательный
кривизны. Внутренняя геометрия сферы. Геометрия на сфере мнимого радиуса в
псевдоевклидовом пространстве.
9. Геометрия на сфере мнимого радиуса в псевдоевклидовом пространстве.
2. Материально-техническое обеспечение дисциплины
Для обеспечения дисциплины имеются: технические и аудио- средства обучения.
III. Организация аудиторной и самостоятельной работы студентов
1. Организация аудиторной работы студентов
1.1. Краткий курс лекций
В библиотеке института и на кафедре математики, информатики и МП имеется
необходимое количество учебной литературы по данной дисциплине. Тематика лекций
соответствует содержанию разделов дисциплины (раздел II).
1.2. Планы практических занятий и методические рекомендации к ним
3. Учебно-методическое обеспечение дисциплины
3.1. Основная литература
1. Вернер, А.Л. Геометрия / А.Л. Вернер, Б.Е. Кантор, С.А. Франгулов. Ч.1,2. Учебное
пособие для физико-математических факультетов педагогических институтов. - СПб.:
Спец.литер., 1997. - 352 с. – 199 экз.
2. Кузютин, В.Ф. Геометрия [Текст]: учеб.для вузов / В.Ф. Кузютин, Н.А. Зенкевич, В.В.
Еремеев. – СПб.: Лань, 2003. – 416 с. (Н) – 2 экз.
3. Сборник задач по геометрии: Учеб. пособие для студентов мат. и физ.- мат. спец. пед.
вузов, обучающихся по спец. 032100 “Математика” /С.А. Франгулов, П.И. Совертков,
А.А. Фадеева, Т.Г. Ходот. – М.: Просвещение, 2002. – 238 с. – 50 экз.
4. Цубербиллер, О.Н. Задачи и упражнения по аналитической геометрии. - 32-е изд., стер.
- СПб.: Лань, 2005. – 336 с. – 30 экз.
3.2. Дополнительная литература
1. Веселов, А.П. Лекции по аналитической геометрии: учеб. пособие / А.П. Веселов,
Е.В. Троицкий. - СПб.: Лань, 2003. – 160 с. – 2 экз.
2. Мусхелишвили, Н.И. Курс аналитической геометрии: учеб. / Н.И. Мусхелишвили. – 5-е
изд., стер. - СПб.: Лань, 2002. – 656 с. – 2 экз.
3.3. Электронные ресурсы:
1. Электронно-библиотечная система elibrary: http://elibrary.ru
2. Универсальная справочно-информационная полнотекстовая база данных “East View”
ООО «ИВИС»: http://www.eastview.com/
3. Электронный справочник «Информио»: http://www.informio.ru/
4. Электронно-библиотечная система "Университетская библиотека онлайн":
http://www.biblioclub.ru
11 стр. из 14 стр.
Рабочая программа дисциплины «Спецсеминар: геометрия»
4. Методические рекомендации для преподавателя
Для освоения дисциплины
«Геометрия и топология многообразий» студенты
используют знания, умения и виды используют знания, умения, сформированные в ходе
изучения дисциплины «Геометрия» в общеобразовательной школе и в вузе.
Дисциплина служит общим теоретическим и методологическим основанием для ряда
математических дисциплин и дисциплин математического блока, входящих в
профессиональный цикл.
5. Методические рекомендации для студентов
Студенту следует помнить, что спецкурс по геометрии предусматривает обязательное
посещение студентом лекций и практических занятий. Она реализуется через систему
аудиторных и домашних работ, контрольных работ. Самостоятельная работа студентов
заключается в выполнении домашних заданий с целью подготовки к практическим занятиям,
выполнение вариантов контрольных работ. Контроль над самостоятельной работой студентов и
проверка их знаний проводится в виде контрольных работ, зачета.
12 стр. из 14 стр.
Рабочая программа дисциплины «Спецсеминар: геометрия»
IV. Материалы входного, текущего и итогового контроля
1. Варианты контрольных работ
Контрольная работа
«Элементы дифференциальной геометрии»
1 вариант
«Кривизна, кручение, касательная прямая и нормальная плоскость к кривой»
1. Восстановите формулы
к=

r
;
r r  
1, 2
2. Представить словесную запись предложенных предложений символической :
a) Кривая задана векторной функцией от переменных х и у.
b) Кручение определяется через вектор векторного произведения и его длину.
4. Найдите кривизну кривой

r  2t , ln t , t 2 
5. Установите истинны или ложны следующие утверждения:
a) Регулярная кривая, кручение которой везде равно нулю плоская.
b) Кривизна может принимать любые значения.
c) Кривизна регулярной кривой равна модулю второй производной от векторной функции
этой кривой.
6. Составьте уравнение нормальной плоскости к кривой x=1+t, y=-t2, z=1+t3
1 t2
x
1  t 2 , t – любое.
7. Какая линия на плоскости задается системой уравнения
2t
y
1 t2
2 вариант
«Трехгранник Френе»
1) Установите истинны или ложны следующие утверждения:
a) Первая формула Френе устанавливает зависимость вектором касательной и вектором
главной нормали.
b) Вторая формула Френе определяет вектор главной нормали через кривизну и вектор
бинормали.
c) Для нормальной плоскости в трехграннике в качестве координат перпендикулярного
вектора рассматриваются координаты вектора главной нормали.
2) Составить уравнение главной нормали кривой x=t, y= sin t, z = - cos t
3) Из ниже предложенных, выберите особенность в расположении соприкасающейся
плоскости линии x=a cos t, y= a sin t, z =b t относительно плоскости ХОУ:
a) Образует постоянный угол.
b) Параллельна ХОУ
c) Содержит ХОУ
d) произвольно.
4) Составьте уравнение бинормали кривой x = cost + t sint, y=sint – t cost, z= e –t / 2.
6) В каких точках кривая имеет касательную, параллельную плоскости 3x + y + z – 1 =0
3 вариант
«Поверхности. Уравнение касательной плоскости и нормали»
x  b cos v
1.Определите, какую поверхность задает система уравнения y  b sin v .

zv
2. Определите координаты нормального вектора к касательной плоскости к поверхности
13 стр. из 14 стр.
Рабочая программа дисциплины «Спецсеминар: геометрия»
x=u cosv, y=u sin v, z= av
3. Из ниже приведенных, выберите уравнение касательной плоскости к поверхности x y2 +
z3 =12 в точке М0 (1,2,3):
a) y + 3z - 1=0,
b) x + y + 3z - 9=0,
c) x + 3z - 9=0,
d) x + y + 3z=0.
4. Показать, что сумма квадратов отрезков, отсекаемых на осях координат касательной
плоскостью поверхности
x = u3 sin 3 v,
y = u3 cos3 v,
z = (a 2 – u 2) 3 / 2.
5. Установите, истинны или ложны следующие утверждения:
a) Координаты x,y,z являются внутренними, а координаты u,v являются внешними.
b) Касательная плоскость к гладкой поверхности в данной точке – это плоскость, которая
содержит все касательные прямые к кривым, лежащим на поверхности и проходящим через
данную точку.
c) Геометрическим смыслом частных производных является векторы касательные к
любым прямым, лежащим в данной поверхности.
4 вариант
«Первая и вторая квадратичные формы»
1. Установите, истинны или ложны следующие утверждения :
a) Первой квадратичной формой регулярной поверхности называется первый
дифференциал.
b) Геометрическим смыслом первой квадратичной формы является квадрат дифференциала
длина кривой на поверхности.
c) Отношение первой квадратичной формы ко второй называется нормальной кривизной
поверхности.
d) Угол между кривыми на поверхности зависит от направляющих векторов данных
кривых.
2. Из ниже предложенных, выберите верную формулу для первой квадратичной формы:
a) I=E d 2u + F dudv + G d2v,
b) I=E d2u + 2F dudv + G d2v,
c) I=E d2u - F dudv + G d2v,
d) I=E d2v + F dudv + G d2u.
3. Найти первую квадратичную форму для поверхности
x= sin u + 2 v
y= cos u + 3 v
z= 12 v
4. Найти угол между линиями
u = ½ a v 2,
u=-½av2,
если известна
I= d2u + (u2 + a2)d 2v, при а= const.
5. Найдите вторую квадратичную форму поверхности z = x2 + y2 .
2. Вопросы к зачету
Тестовый контроль к зачету
1. Из ниже перечисленных, выберите то уравнение, которое определяет уравнение
касательной прямой к кривой
X  x(t ) Y  y (t ) Z  z (t )
X  x(t ) Y  y(t ) Z  z(t )




a)
;
b)
;
x(t )
y (t )
z (t )
x(t )
y (t )
z (t )
14 стр. из 14 стр.
Рабочая программа дисциплины «Спецсеминар: геометрия»
X  x(t ) Y  y (t ) Z  z (t )
X  x(t ) Y  y (t )



; c)
.
x(t )
y(t )
z(t )
x(t )
y(t )
2. Найдите кривизну кривой

r  2t , ln t , t 2 
2
 2
2
2t 2  1 ;
a)
;
b) 2 t
2
t
2t  1
c) 0;
d) 2t 2  1 .
3. Выберите истинное утверждение:
a)
Регулярная кривая, кручение которой везде равно нулю плоская.
b)
Кривизна может принимать любые значения.
c)
Кривизна регулярной кривой равна модулю второй производной от векторной
функции этой кривой.
d)
Кручение плоской кривой всегда отлична от нуля.
1 t2
x
1  t 2 , t – любое.
4. Какая линия на плоскости задается системой уравнения
2t
y
1 t2
a)
Прямая;
b)
Окружность
c)
Ветвь гиперболы;
d)
Точка.
5. Определите, какое утверждение ложно:
a)
Первая формула Френе устанавливает зависимость вектором касательной и
вектором главной нормали.
b)
Вторая формула Френе определяет вектор главной нормали через кривизну и
вектор бинормали.
c)
Для нормальной плоскости в трехграннике в качестве координат
перпендикулярного вектора рассматриваются координаты вектора главной нормали.
d)
Вектор главной нормали является векторным произведением векторов
касательной и бинормали.
6. Из ниже перечисленных троек чисел выберите те, которые соответствуют числу
векторов, прямых, плоскостей в трехграннике Френе:
а) (1,2,4)
б) (3,2,3)
с) (3,3,3,)
д) (2,3,3)
7. Из ниже предложенных, выберите особенность в расположении соприкасающейся
плоскости линии x=a cos t, y= a sin t, z =b t относительно плоскости ХОУ:
a) Образует постоянный угол.
b) Параллельна ХОУ
c) Содержит ХОУ
d) произвольно.
8. В каких точках кривая x=3t-t2, y=t2, z=3t+t2 имеет касательную, параллельную
плоскости 3x + y + z – 1 =0:
a)
(12,-5, 6)
b)
(1, 2, 4)
c)
(-18,36,54)
d)
(21, 26, 61).
x  b cos v
c)

9. Определите, какую поверхность задает система уравнения y  b sin v .
zv
15 стр. из 14 стр.
Рабочая программа дисциплины «Спецсеминар: геометрия»
a)
Сфера;
b)
Цилиндрическая поверхность
c)
Гиперболоид;
d)
Точка.
10. Из ниже приведенных , выберите координаты нормального вектора к касательной
плоскости к поверхности x=u cosv, y=u sin v, z= av
a)
{a sin v, a cos v, 0},
b)
{- a cos v, a cos v, u sin u},
c)
{ a sin v,- a cos v, u},
d)
{ u sin v,- u cos v, a}
11. Из ниже приведенных, выберите уравнение касательной плоскости к поверхности
x y2 + z3 =12 в точке М0 (1,2,3):
a)
y + 3z - 1=0,
b)
x + y + 3z - 9=0,
c)
x + 3z - 9=0,
d)
x + y + 3z=0.
12. Установите, какие из предложенных утверждений истинны:
a)Для произвольной поверхности r¯(t) координаты x,y,z являются внутренними, а
координаты u,v являются внешними.
b)
Касательная плоскость к гладкой поверхности в данной точке – это плоскость,
которая содержит все касательные прямые к кривым, лежащим на поверхности и проходящим
через данную точку.
c)Геометрическим смыслом частных производных является векторы касательные к
любым прямым, лежащим в данной поверхности.
13. Установите, какие утверждения ложны:
a)
Первой квадратичной формой регулярной поверхности называется первый
дифференциал.
b)
Геометрическим смыслом первой квадратичной формы является квадрат
дифференциала длина кривой на поверхности.
c)
Отношение первой квадратичной формы ко второй называется нормальной
кривизной поверхности.
d)
Угол между кривыми на поверхности зависит от направляющих векторов данных
кривых.
14. Найти первую квадратичную форму для поверхности
x= sin u + 2 v
y= cos u + 3 v
z= 12 v
I=cos2u d 2u + 36 v2 d2v,
b) I= d2u + (1+6v) dudv + 12 d2v,
2
2
c) I=u d u – d v,
d) Свой вариант
15. Из ниже приведенных, выберите коэффициенты второй квадратичной формы:
a)
F, N, G
b) L, M, N
c) E, F, G
d ) I, B, C
16. Какой угол образуют линии u = ½ a v 2, u = - ½ a v 2,
если известна I= d2u + (u2 + a2)d 2v, при а= const
a)
90º;
b)
30º;
c)
45º;
d)
свой вариант.
a)
16 стр. из 14 стр.
Рабочая программа дисциплины «Спецсеминар: геометрия»
V. Терминологический минимум
1. Основные термины и понятия курса
Эллипсом называется множество точек плоскости, для каждой из которых сумма
расстояний до двух данных точек плоскости, называемых фокусами, есть данное постоянное
число 2а большее, чем расстояние между фокусами 2с.
Гиперболой называется множество точек плоскости, для каждой из которой абсолютная
величина разности расстояний до двух данных точек есть величина постоянная, меньшая, чем
расстояние между фокусами.
Параболой называется множество точек плоскости, каждая из которых равно отстоит от
данной точки, называемой фокусом, до данной прямой, называемой директрисой.
Поверхность, образованная вращением данной линии вокруг оси называется
поверхностью вращения.
17 стр. из 14 стр.
Рабочая программа дисциплины «Спецсеминар: геометрия»
Лист регистрации изменений и дополнений
№ раздела, подраздела,
пункта, подпункта, к
которому относится
изменение
Дата
введения
изменения
Основание (№,
дата приказа)
Дата внесения
изменения
Подпись лица,
внесшего
изменение
18 стр. из 14 стр.