Контрольная работа по геометрии

Контрольная работа по геометрии
для студентов группы 09ЗФПМ61
(разделы: топология, дифференциальная геометрия)
Студент выбирает вариант, номер которого совпадает с последней цифрой номера
зачетной книжки; на контрольной работе следует написать номер зачетной книжки.
№
варианта
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
I
3
7
8
9
2
7
8
9
3
10
II
11а
11б
11в
11г
11д
12а
12б
12в
12г
12д
Номера заданий
III
IV
13а
14а
13б
14б
13в
14в
13г
14г
13д
14д
13е
14е
13ж
14ж
13з
14з
13и
14и
13к
14к
V
15а
15б
15в
15г
15д
15е
15ж
15з
15и
15
Задания.
1. Пусть X - евклидова плоскость. Открытыми в X назовем пустое множество, всю
плоскость, а также всевозможные круги с центром в фиксированной точке О. Докажите,
что так определенные открытые множества образуют топологию.
2. Пусть X - евклидова плоскость. Открытыми в X назовем пустое множество, всю
плоскость, а также всевозможные внешние области кругов с центром в фиксированной
точке О. Докажите, что так определенные открытые множества образуют топологию.
3. Пусть X - плоскость, точка О принадлежит плоскости. Открытыми в X назовем пустое
множество, всю плоскость, а также всевозможные подмножества плоскости, содержащие
точку О. Докажите, что так определенные открытые множества образуют топологию.
4. Пусть X - евклидово пространство,  - плоскость в X. Открытыми в X назовем пустое
множество, все пространство, а также всевозможные подмножества пространства,
содержащие плоскость  . Докажите, что так определенные открытые множества
образуют топологию.
5. Пусть X - евклидово пространство. Открытыми в X назовем пустое множество, все
пространство, а также всевозможные внешние области шаров с центром в фиксированной
точке О. Докажите, что так определенные открытые множества образуют топологию.
6. Пусть X – числовая прямая. Открытыми в X назовем пустое множество, всю прямую, а
также всевозможные лучи ( , a ) , где a  R . Докажите, что так определенные открытые
множества образуют топологию.
7. Пусть X – числовая прямая. Открытыми в X назовем пустое множество, всю прямую, а
также всевозможные лучи ( a, ) , где a  R . Докажите, что так определенные открытые
множества образуют топологию.
8. Пусть X – числовая плоскость. Открытыми в X назовем пустое множество, всю
плоскость, а также всевозможные множества точек Ga  {( x, y) | x  a} , где a  R .
Докажите, что так определенные открытые множества образуют топологию.
9. Пусть X – числовая плоскость. Открытыми в X назовем пустое множество, всю
плоскость, а также всевозможные множества точек Ga  {( x, y) | x  a} , где a  R .
Докажите, что так определенные открытые множества образуют топологию.
10. Пусть X – евклидова плоскость, M – точка на плоскости. Открытыми назовем пустое
множество, всю плоскость, а также подмножества, симметричные относительно точки M.
Докажите, что так определенное семейство подмножеств образует топологию на X.
11. Найдите эйлерову характеристику:
а) замкнутого круга
б) прямоугольника с тремя дырками
в) поверхности четырехугольной пирамиды
г) поверхности куба
д) сферы.
12. Выясните, являются ли следующие множества на числовой плоскости открытыми,
замкнутыми, не открытыми и не замкнутыми. Сделайте рисунок.
а) {M ( x, y ) |1  x  4, 2  y  6},
б) {M ( x, y ) | 1  x  4, 2  y  6},
в) {M ( x, y ) | 2  x  4, 2  y  6},
г) {M ( x, y ) | x 2  y 2  5},
д) {M ( x, y ) | ( x  1)2  ( y  2)2  5}.
13. В каждой из нижеследующих задач дана кривая  и точка M o на ней.
- Найдите координаты векторов репера Френе кривой в точке M o .
- Напишите уравнения координатных прямых и координатных плоскостей репера Френе в точке
Mo .
- Вычислить кривизну и кручение кривой в этой точке.
2
а) r ( , ln t , t 2 ), M o (t  1) .
t
б) r (et , e  t , t 2), M o (t  0) .
в) r (3cos t ,3sin t , 4t ), M o (t  0) .
г) r (t 2 ,1  t , t 3 ), M o (t  1) .
2 3 2
t , t  2t , t 2  2t ), M o (t  0) .
3
1
е) r (t , 2 ln t , ), M o (t  1) .
t
2
ж) r (2t , ln t , t ), M o (t  1) .
д) r (
з) r (3t  t 3 ,3t 2 ,3t  t 3 ), M o (t  1) .
и) r (sin t , cos t , tgt ), M o (t  0) .
1
1
к) r (2 ln t , t  , t  ), M o (t  1) .
t
t
14. В каждой из нижеследующих задач дана поверхность Ф и точка M o на ней.
- Напишите уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности в точке M o .
- Найдите первую квадратичную форму поверхности.
а) r (u1  cos u 2 , u1  sin u 2 , u1 ), M o (u1  1, u 2 

2
1
2
1
2
1
2
1 2
б) r (u cos u , u sin u ,(u ) ), M o (u  1, u  0)
).
в) r ((u1 )2  (u 2 )2 , (u1 )2  (u 2 ) 2 , u1u 2 ), M o (u1  1, u 2  1) .
г) r (u1 cos u 2 , u1 sin u 2 , u1 ), M o (u1  1, u 2  0) .
д) r (u1 cos u 2 , u1 sin u 2 ,(cos u 2 )2 ), M o (u1  1, u 2  0) .
е) r (u1 , u 2 , (u1 )2  (u 2 )2 ), M o (u1  1, u 2  1) .
ж) r (u1 cos u 2 , u1 sin u 2 , u1  u 2 ), M o (u1  1, u 2  0) .
(u1 )2
(u 2 )2 1 2
 u 2 , u1 
, u u ), M o (u1  1, u 2  0) .
2
2
и) r ( R cos u 2 , R sin u 2 , u1 ), M o (u1  1, u 2  0) , R  const .
з) r (
к) r (u1 cos u 2 , u1 sin u 2 , u 2 ), M o (u1  1, u 2  0) .