Конференция Хуа Шиянx

ПРИНЦИП ДИРИХЛЕ И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ
Хуа Шиян
Национальный исследовательский Томский политехнический университет, г.Томск
Научный руководитель – Белов Виктор Михайлович, к.ф.-м.н., доцент ТПУ
Принцип Дирихле широко применяется при решении задач из различных
областей математики. Принцип назван в честь немецкого математика П. Г. Л. Дирихле
(1805—1859). На языке теории множеств принцип Дирихле формулируется следующим
образом. Если множество из N элементов разбито на n непересекающихся частей, не
имеющих общих элементов, где N > n, то, по крайней мере, в одной части будет более
одного элемента.
Наиболее просто этот принцип можно сформулировать на примере
«кроликов и клеток».
Принцип Дирихле:
Если в N клетках сидит N+1 или больше кроликов, то найдется клетка, в которой
сидят, по крайней мере, два кролика.
Доказательство:
Докажем принцип Дирихле методом «от противного». Пусть после того, как мы
рассадили всех кроликов по клеткам, в каждой из них сидит не более одного кролика.
Тогда во всех N клетках не может сидеть более чем N кроликов. Но по условию,
рассаженных кроликов не меньше, чем N+1. Возникает противоречие. Следовательно,
хотя бы в одной клетке имеется не меньше двух кроликов.
Этот простой и очевидный принцип позволяет эффективно решать многие
арифметические, алгебраические, геометрические и логические задачи. Рассмотрим
некоторые из этих задач.
Задача 1
Доказать, что из любых 2014 целых чисел найдутся два, разность которых делится
на 2013.
Решение:
Рассмотрим остатки от деления чисел на 2013 - это числа от 0 до 2012, то есть
всего 2013 вариантов «(клеток»), а чисел («кроликов») дано 2014. Тогда, по крайней
мере, два числа имеют одинаковые остатки (принцип Дирихле): пусть это a=2013n+r и
b=2013m+r, и их разность a-b=2013(n-m) делится на 2013.
Задача 2
Доказать, что при обращении обыкновенной дроби p/q, p < q, q > 0 в десятичную
получается или конечная, или бесконечная периодическая десятичная дробь, причем
длина периода не превосходит q - 1.
Решение:
Остаток от деления на q любого числа, большего q, может быть равен 0, 1, …, q-1.
Возможные остатки назовем «кроликами», их будет q. Варианты ненулевых различных
остатков назовем «клетками», их будет q-1. Будем делить p на q «уголком» и следить
за остатками. Если на каком-то шаге остаток будет нулевым, то процесс деления
закончится, и получится конечная дробь. Пока остатки будут ненулевыми
и
различными, они будут равны одному из чисел 1, 2, …, q-1 (В каждой клетке сидит не
более одного кролика). Число различных остатков (а, следовательно, и число значащих
цифр в частном при условии различия остатков) не может превосходить q-1, иначе
варианты остатков начнут повторяться (в одной из клеток появится второй
«ненулевой» кролик), а после этого будут повторяться и цифры в частном, что и
означает периодичность с количеством цифр в периоде, меньшим либо равным q-1.
Задача 3
Внутри равностороннего треугольника со стороной 1 расположено 5 точек.
Доказать, что расстояние между некоторыми двумя из них меньше 0,5 (считая
известной лемму: длина отрезка, расположенного внутри треугольника, меньше длины
его наибольшей стороны.)
Решение:
Средние линии правильного треугольника со стороной 1
разбивают его на четыре правильных треугольничка со стороной 0,5.
Назовём их "клетками", а точки будем считать "зайцами". По
принципу Дирихле из пяти точек хотя бы две окажутся в одном из
четырёх треугольничков (См. рисунок). Расстояние между этими
точками меньше 0,5, поскольку точки не лежат в вершинах
треугольничков.
Рис.1
Если в ситуации, описанной принципом Дирихле, изменить соотношение числа
кроликов и клеток на противоположное, то следующее утверждение будет очевидным:
Если в N клетках сидит N-1 или меньше кроликов, то найдется хотя бы одна
пустая клетка. Применим это утверждение к решению следующей задачи.
Задача 4
В ковре размером 4 х 4 метра моль проела 15 дырок. Всегда ли можно вырезать
коврик размером 1х1, не содержащий внутри дырок? (Дырки считаются точечными).
Решение:
Разобьем ковер на 16 квадратов («клеток») размером 1х1. Так как дырок
(«кроликов») 15, то обязательно, по крайней мере, один квадрат 1х1 не будет иметь
дырок внутри.
Принцип Дирихле может быть обобщен следующим образом.
Обобщенный принцип Дирихле:
Если в N клетках сидят не менее kN + 1 кроликов, то в какой-то из клеток сидит
по крайней мере k + 1 кролик.
Задача 5
В классе 40 учеников. Найдётся ли такой месяц в году, в котором отмечают свой
день
рождения
не
меньше
чем
4
ученика
этого
класса?
Решение:
Пусть месяцы будут «клетками», а ученики – «кроликами». Всего имеется 3∙12+4
(не менее 3∙12+1) учеников («кроликов»). Тогда найдётся хотя бы один месяц в году
(«клетка»), в котором отмечают свой день рождения не меньше чем 4 (3+1) ученика
этого класса.
Заметим, во всех этих задачах не всегда легко догадаться, чтo считать
«кроликом», а чтo — «клеткой». С помощью принципа Дирихле обычно доказывается
существование некоторого объекта, но не указывается алгоритм его построения. Мы не
можем сказать, в какой именно клетке сидят два кролика, а знаем только, что такая
клетка имеется. Такое доказательство называется неконструктивным.
Список литературы:
1. Андреев А.А., Горелов Г.Н., Люлев А.И., Савин А.И. "Принцип Дирихле",
Самара "Пифагор", 1997.
2. Д. X. Муштари. Подготовка к математическим олимпиадам: задачи, темы,
методы. Казанский ун-т, 1990.
3. В. Г. Болтянский. Шесть зайцев в пяти клетках. // Ж-л «КВАНТ», 1977,No2.
4. А. А. Леман. Сборник задач московских математических олимпиад. Под ред.
В.Г. Болтянского. М.: Просвещение, 1965.
5. Ю. Ф. Фоминых. Принцип Дирихле. // Ж-л «Математика в школе», 1996, No3.