Контрольная работа N 1x

Контрольная работа N 1.
Задание 1. Даны вершины 𝑨(−𝟑, −𝟑), 𝑩(−𝟏, 𝟐), 𝑪(𝟐, −𝟑) треугольника
АВС. Найти:
1) длину стороны ВС;
2) величину внутреннего угла А в радианах с точностью до 0.01;
3) уравнение стороны ВС;
4) уравнение медианы проведенной из вершины А;
5) уравнение высоты проведенной через вершину А;
6) длину высоты проведенной через вершину А;
7) точку пересечения высот треугольника;
8)
систему
неравенств, определяющих внутреннюю область
треугольника.
9) Сделать чертеж.
Решение:
Задание 2. Сколько кг краски каждого из двух видов следует производить,
чтобы получить наибольшую прибыль при следующих ограничениях:
1.В наличии имеется 3 тыс. кг реагента А и 5 тыс. кг реагента В
2. Общее время работы оборудования составляет 3 тыс. часов
3. На 1 кг краски 1-го вида расходуется 0.2 кг реагента А, 0.2 кг реагента
В и 0.2 час. работы оборудования; на 1 кг краски второго вида расходуется
0.2 кг реагента А, 0.2 кг реагента В и 0.2 час. работы оборудования.
4. Чистая прибыль от продажи 1 кг краски первого вида составляет 2
рублей; чистая прибыль от продажи 1 кг краски второго вида составляет 2
рублей. (см. М.Х. Мескон, М. Альберт, Ф. Хедоури, Основы менеджмента, стр
232)
Решение.
Задание 3. (дифференциальное и интегральное исчисление)
(a=Ф, b=И, a1 =О)
1).Найти пределы
𝟐𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 + 𝟐
а) 𝐥𝐢𝐦 𝟐
=
𝒙→𝟐 𝟐𝒙 + 𝟐𝒙 + 𝟐
𝟐𝒙𝟐 + 𝟐𝒙𝟐 + 𝟑
𝒃) 𝐥𝐢𝐦
=
𝒙→∞ 𝟐𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 + 𝟏
𝐬𝐢𝐧(𝟐𝒙)
𝒄) 𝐥𝐢𝐦
=
𝒙→𝟎 𝐬𝐢𝐧(𝟒𝒙)
2).Найти производные
𝒂) 𝒚 = (𝟐𝒙𝟐 + 𝟐𝒙𝟐 + 𝟐)𝟐 = (𝟒𝒙𝟐 + 𝟐)𝟐
𝑦 ′ = ((4𝑥 2 + 2)2 )′ =
𝟐𝒙 + 𝟑
𝒃) 𝒚 = √
𝟐𝒙 − 𝟐
𝒄) 𝒚 = 𝒂𝐬𝐢𝐧(𝟐𝒙) + 𝐥𝐧(𝟐𝒙𝟐 )
3) Исследовать средствами дифференциального исчисления и построить
график функции
𝟐𝒙𝟐 − 𝟒
𝒚= 𝟐
𝒙 +𝟐
Решение.
4) Найти полный дифференциал функции
𝒛 = 𝟐𝒙𝟐 + 𝟐𝒚𝒙𝟎 + 𝟓𝒚 − 𝟐
𝒛 = 𝟐𝒙𝟐 + 𝟕𝒚 − 𝟐
Решение.
5)
Найти
неопределенные
дифференцированием.
интегралы.
Результат
проверить
𝒂) ∫(𝟐𝒙𝟑 + 𝟐𝒙−𝟐 + 𝟓)𝒅𝒙
𝒃) ∫ 𝐬𝐢 𝐧(𝟐𝒙) 𝒅𝒙 =
𝟐𝒙𝒅𝒙
(𝟐𝒙 − 𝟏)𝟐
6) Вычислить определенные интегралы
𝒄) ∫
𝟑
𝒂) ∫(𝟐𝒙𝟑 + 𝟒𝒙 + 𝟐)𝒅𝒙
𝟏
𝟓
𝒃) ∫(𝒆−𝟐𝒙 + 𝟐𝒙 + 𝟐)𝒅𝒙 =
𝟏
𝟑
𝒄) ∫
𝒅𝒙
√𝒙 − 𝟐
7) Население некоторого города N в 1999 году составляло 2 млн. человек, а
годовой прирост равнялся 20 тыс. человек. Найдите ожидаемое число
жителей города в 2002 году, считая, что скорость прироста пропорциональна
числу жителей в данный момент.
Решение.
𝟐
Теория вероятности
Задание 1.
1) В первой коробке содержится 7 шаров, из них 2 белых; во второй коробке
содержится 6 шара, из них 3 белых. Из каждой коробки случайным
образом извлекли по одному шару, а затем из этих двух шаров наудачу взят
один шар. Найти вероятность того, что взятый белый шар.
Решение.
2) Наудачу взяты два положительных числа x и y, каждое из которых меньше
7 и x<y. Найти вероятность того, что разность этих чисел больше 2 и меньше
3.
Решение.
3) При обследовании 200 человек было установлено, что 80 из них страдает
болезнью легких, 120 курит и 14 не курит и не страдает болезнью легких.
а) Найти вероятность того, что человек старше 50 лет курит и страдает
болезнью легких;
б) Человек старше 50 лет курит. Найти вероятность того, что он страдает
болезнью легких.
Решение:
4) Вероятность появления события A в одном испытании равна 0,3.
Найти вероятность того, что:
a) при 6 испытаниях событие A появится 2 раза;
b) при 200 испытаниях событие A появится не более 180 раз и не менее 40 раз.
Решение.
5) Случайная величина задана функцией распределения
𝟎, если 𝒙 ≤ 𝟐
𝟑
𝑭(𝒙) = {𝒄(𝒙 − 𝟖), если 𝟐 < 𝑥 ≤ 8
𝟏, если 𝒙 > 8
a) найти с;
b) математическое ожидание M(X) и среднее квадратичное отклонение (X);
с) вероятность попадания случайной величины X в интервал (3,7).
Решение.
6) Случайная величина распределена нормально с математическим
ожиданием M(X)=4 и средним квадратичным отклонением (X)=1. Найти
вероятность попадания случайной величины в интервал (2, 6).
Решение.
7) Профсоюзный комитет по выборке из 6 предприятий отрасли подсчитал,
что в среднем 2% рабочего времени оплачивается по листам
нетрудоспособности со среднеквадратическим отклонением в 0.5% . Найти
доверительный интервал для среднего процента рабочего времени,
оплачиваемого по листам нетрудоспособности с надежностью 0.95; 0.98.
Решение.
8) Время, необходимое специалисту отдела N для обработки поступившего
документа дано в таблице: (a=3, b= 6, a1=5, b1=7)
Время 5
6 7
8
9
10
11
12
13
(дней)
Кол-во 3
5 6
12 18 14
10
5
3
док.
С надежностью 95% проверить гипотезу о том, что распределение
времени обработки документов подчинено нормальному закону.
Решение.
Задание 2. (линейная алгебра)
1.Решить систему
а) Методом Жордана - Гауcса
b) Матричным методом
2𝑥1 + 0𝑥2 + 0𝑥3 = 4
{−1𝑥1 + 4𝑥2 − 1𝑥3 = 6
−1𝑥1 + 2𝑥2 + 1𝑥3 = 2
a) методом Жордана – Гауcса
b) Матричный метод
2. Найти собственные числа и собственные векторы матрицы
𝟐 𝟎 𝟎
(−𝟏 𝟒 −𝟏)
𝟏 𝟐 𝟏
Решение.
3. Найти базисные решения системы
𝟐𝒙𝟏 + 𝟎𝒙𝟐 + 𝟎𝒙𝟑 + 𝟒𝒙𝟒 = 𝟒,
{ −𝒙𝟏 + 𝟒𝒙𝟐 − 𝒙𝟑 + 𝟗𝒙𝟒 = 𝟔,
−𝒙𝟏 + 𝟐𝒙𝟐 + 𝒙𝟑 + 𝟒𝒙𝟒 = 𝟐
Решение.
4. Исследовать на экстремум функцию
𝒛 = 𝟐𝒙𝟐 + 𝟎𝒙𝒚 + 𝟒𝒚𝟐 − 𝒙 + 𝟐𝒚 + 𝟏 при условии 𝟒𝒙 + 𝟗𝒚 = 𝟎
𝒛 = 𝟐𝒙𝟐 + 𝟒𝒚𝟐 − 𝒙 + 𝟐𝒚 + 𝟏
Решение.
Решить задачу симплекс-методом; найти решение двойственной задачи:
Сколько единиц продукции каждого из трех видов следует
производить, чтобы получить максимальную прибыль при следующих
ограничениях:
1) на единицу продукции первого типа затрачивается |𝟐| единиц ресурса
А, |−𝟏| единиц ресурса В, |−𝟏| единиц ресурса С; на единицу продукции
второго типа затрачивается |𝟎| единиц ресурса А, |𝟒| единиц ресурса В, |𝟐|
единиц ресурса С; на единицу продукции третьего типа затрачивается |𝟎|
единиц ресурса А,|−𝟏| единиц ресурса В, |𝟏| единиц ресурса С;
2) имеется в наличии всего |𝟒| единиц ресурса А, |𝟔| единиц ресурса В и
|𝟐| единиц ресурса С
3) чистая прибыль от продажи продукции первого типа составляет |𝟒|
денежных единиц, второго типа |𝟗| денежных единиц, и третьего типа |𝟒|
денежных единиц.
Вертикальные черточки в условии задачи означают значения по модулю.
Решение: