Математическая модель

Содержание
Введение………………………………………………………………
Общие сведения об экономико-математическом моделировании..
Классификация экономико-математических моделей…………….
Основные этапы моделирования……………………………………
Постановка задачи и обоснование критерия оптимальности
Подготовка входной информации………………………………...
Построение математической модели задачи…………………..
Решение задачи на ЭВМ……………………………………………...
Анализ полученного решения…………………………………….…..
Математическая формализация экономических процессов в
сельском хозяйстве…………………………………………………..
Примеры
построения
развернутой
экономико-
математической модели………………………….…………………
Задачи для самостоятельного выполнения…..………………….
Решение задач линейного программирования с помощью табличного процессора Microsoft Excel на примере оптимизации
параметров производственной деятельности личных подсобных
хозяйств Кромского района Орловской области…………………..
Список литературы…………………………………………………..
Введение
Основная цель при изучении спец. курса «Математические
методы в экономике» заключается в том, чтобы дать студентам теоретические знания, практические умения и навыки по рациональным
приемам и методам хозяйственных вычислений, использованию современных средств вычислительной техники для решения этих проблем.
Своевременно собрать, обработать и использовать все увеличивающийся объем информации, необходимый для управления
разнообразными процессами и явлениями в сельском хозяйстве без
современной вычислительной техники и экономико-математических
методов просто не возможно. Эти средства позволяют повысить качество и сократить сроки составления сводок, отчетов, планов, значительно облегчить труд работников сельскохозяйственного производства.
Знание этой дисциплины имеет большое значение для студентов – будущих высококвалифицированных специалистов сельского хозяйства, предъявляет новые требования к руководящим кадрам, обязывает их овладевать современными методами управления
производством.
В результате изучения курса студент должен понять и усвоить назначение экономико-математического моделирования, основные экономико-математические модели, основные этапы моделирования, порядок построения модели задачи линейного программирования и решения таких задач в среде табличного процессора Microsoft Excel, методы, используемые для внутрихозяйственного анализа, планирования и управления.
Общие сведения об экономико-математическом моделировании.
Моделирование основывается на принципе аналогии (подобия, сходства) между двумя объектами или явлениями, имеющими
часто совершенно разную природу.
В этом случае один из объектов рассматривается как оригинал, а второй как его модель-копия.
Наиболее существенным сходством оригинала и его модели
является сходство их поведения при определенных условиях.
При изучении методом аналогии непосредственному исследованию подвергается одна система, а вывод делается для другой.
Таким образом:
Модель - представляет собой отображение каким-либо способом наиболее существенных характеристик, процессов и взаимосвязей в реальных системах.
Моделирование- воспроизведение или имитирование какойлибо существующей системы на специально построенном аналоге
или модели.
Моделирование - это способ исследования, изучения сложных систем и явлений.
Исследование систем на моделях имеет ряд преимуществ
перед исследованием их методом эксперимента:
1) в модели явление можно представить в “чистом” виде,
не искаженном посторонними влияниями и ненужными деталями;
2) с помощью модели возможен опыт там, где он невозможен из-за недоступности реального объекта или его дороговизны;
3) модель дает возможность многократного повторения
опыта до получения всесторонне обоснованных выводов, до познания сущности явления;
4) моделирование позволяет экспериментировать с системой, меняя ее характеристики и исследуя поведение, что не всегда
возможно при изучении реальных систем, например, в экономике,
сельском хозяйстве;
5) изучение процесса на моделях обходится, как правило,
значительно дешевле и требует значительно меньше затрат времени,
что очень важно для бурного развития прогресса.
В качестве моделей могут использоваться различные подобия систем:
- физические;
- геометрические;
- биологические;
- математические:
- игровые и др.
В физических моделях воспроизводится реальный объект с
сохранением геометрического сходства и физической природы. Такие объекты отличаются от реальных объектов размерами (модели
самолетов, кораблей, зданий, плотин и т.д. и т.п.).
При исследовании больших экономических задач часто используются геометрические модели, которые представляют собой
схемы размещения производства, путей сообщения и т.п. Это
наиболее простые способы моделирования.
Для наиболее глубокого исследования и изучения сложных
систем используется математическое моделирование, при котором
наиболее важные функциональные взаимосвязи и зависимости, существующие в реальной действительности, представляются в виде
математических формул.
Математическая модель - это система математических выражений, описывающих характеристики объекта моделирования и
взаимосвязи между ними. В состав математической модели входят
соотношения, отражающие условия, которым должно удовлетворять
решение (план) данной задачи (так называемая система ограничений), а также функция, в математической форме выражающая поставленную цель с точки зрения выбранного критерия оптимальности (так называемая целевая функция). Поиск оптимального плана с
математической точки зрения представляет собой определение такого набора числовых значений неизвестных, удовлетворяющих ограничительным условиям задачи, при котором целевая функция достигает экстремальной величины (максимума и минимума).
Если неизвестные входят в модель только в первой степени,
то задача относится к линейному программированию (ЛП), в противном случае - к нелинейному программированию. Большинство
практически важных задач планирования производства может быть
описано с помощью линейных математических моделей.
Особенно широкое распространение математическое моделирование получило в исследовании экономических систем. Это
обусловлено тем, что экономические системы характеризуются
сложными количественными взаимосвязями, которые можно выразить как взаимосвязи между множеством переменных и которые
хорошо поддаются математическому описанию в виде уравнений и
неравенств.
Объединение математического моделирования и ЭВМ дает
широкие возможности для экспериментов не на «живую», а в модели да еще с множеством вариантов. За короткое время можно выявить поведение систем при разных условиях без малейшего вмешательства в ход реального процесса, так как в ЭВМ закладывается не
реальный процесс, а его копия, модель представленная в математической форме.
Экономико-математическая модель - описание количественных взаимосвязей и взаимозависимостей экономических систем или процессов в математической форме.
Классификация экономико-математических моделей
Теория и практика планирования доказывают, что нельзя
построить одну-единую сверхсложную модель сельскохозяйственного производства, которая была бы достаточно адекватна такому
экономическому объекту, как отрасль сельского хозяйства. Решить
задачу оптимизации сельскохозяйственного производства возможно
с помощью комплекса взаимосвязанных моделей.
Для разработки системы моделей для планирования сельского хозяйства используют уже опробованные на практике частные
модели различных процессов и сторон сельскохозяйственного производства.
При классификации моделей необходимо использовать признаки, характеризующие как содержание, так и форму модели.
Содержание модели – это сущность и характер моделируемых процессов, характер экономических объектов, целевое назначение модели. Она отражает закономерности процессов производства
сельскохозяйственных продуктов и экономических отношений, при
которых эти процессы протекают.
Форма модели – это используемый математический аппарат,
структура моделируемых построений, информационное исполнение
модели. Формой экономико-математической модели служат количественные соотношения между элементами моделируемых процессов, различные способы выражения зависимостей факторов и результатов производства.
Взаимосвязи одних систем можно описать на основе линейных уравнений и неравенств, другие на основе уравнений и нера-
венств более высокого порядка, третьих - на основе корреляционного анализа, четвертых-с использованием теории вероятности и т. д.
Простейшая
классификация
делит
экономикоматематические модели на статистические, балансовые и оптимизационные.
Экономико-статистические модели представляют собой
корреляционно-регрессионные уравнения связей зависимого и нескольких независимых факторов, определяющих количественное
значение зависимого фактора.
Балансовые модели отображают систему различного рода
балансов по производству и распределению продукции. Они используются для взаимоувязки различных отраслей хозяйства при анализе
и планировании.
Оптимизационные модели основываются на математическом программировании, т.е. разделе математики, связанном с изучением и разработкой методов решения экстремальных задач, отыскиванием экстремальных значений функций, т. е. выбором оптимальных вариантов.
Оптимизационные модели характеризуются системой математических уравнений или неравенств экономической задачи, объединенных какой-либо целевой функцией, при которой определяется наилучшее (оптимальное) решение.
При решении экономических задач ставится определенная
цель, которую необходимо достичь. Однако в большинстве случаев
мы располагаем ограниченным количеством средств и ресурсов для
достижения этой цели.
В практике сельскохозяйственного производства ресурсы,
как правило, могут быть распределены множеством способов, и
один вариант отличается от другого степенью эффективности. Возникает необходимость выбора из множества вариантов решения задачи того, который обеспечивает наилучшее и наиболее эффективное распределение ресурсов. Выбор оптимального варианта определяется каким-либо показателем, который называется показателем
качества решения задачи или критерием оптимальности.
Оптимальное решение означает, что найдено минимальное
или максимальное значение критерия оптимальности, например,
максимум валовой, товарной продукции, прибыли, минимума затрат
и т. п. В математике подобные задачи называются экстремальными.
Основополагающим классификационным признаком является сущность моделируемых экономических процессов. Совокупность всех экономических, производственных, технологических
процессов составляет единый объект системного моделирования.
Для развития сельского хозяйства наиболее существенными являются: процесс специализации, концентрации и размещения производства; процесс производства и распределения сельскохозяйственной
продукции, включая реализацию; процесс механизации и автоматизации сельскохозяйственного производства; химизация производства; мелиорация земель; производственные процессы выращивания
и переработки определенных видов растениеводческой и животноводческой продукции; распределение производственных ресурсов;
ценообразование; распределение доходов и другие процессы.
Эти процессы составляют основу для построения групп моделей, однородных по своей сущности. К таким моделям относятся:
Моделирование оптимизации структуры посевных площадей.
Постановка задачи.
Набор, выращиваемых в хозяйстве культур и объёмы их
производства определяются наличием пригодных для возделывания
земель, трудовых ресурсов, материально-технической базы, планом
продажи продукции по видам культур и их экономической эффективностью. Требуется определить оптимальную структуру посевных
площадей культур, которая при выполнении плана продажи продукции и имеющихся производственных ресурсов обеспечила бы максимальный экономический эффект.
Математическая модель.
Для построения ЭММ необходима следующая информация:
 возможные площади земли, отводимые под посев;
 наличие трудовых ресурсов для производства в течение всего
периода, в том числе в напряжённый период;
 затраты труда- всего и в напряжённый период на 1 га по каждой
культуре;
 план продажи государству продукции по видам;
 урожайность;
 затраты материально-денежных средств на 1 га возделывания;
 цены реализации.
За неизвестные принимаются площади посева под культуры.
Критерий оптимальности - или максимум производства валовой и товарной продукции в денежном выражении; или максимум
чистого дохода и др.
Моделирование оптимизации распределения удобрений.
Постановка задачи.
Эффективность применения удобрений выражается в прибавке урожая, которую можно измерить в натуральном и стоимостном выражении. Причём прибавку в стоимостном выражении можно
соизмерить с затратами, связанными с её получением, то есть затратами на приобретение, перевозку, хранение и внесение удобрений.
На основе этих показателей исчисляется чистый доход с 1 га посева
от внесения удобрений.
Определить такой план распределения минеральных удобрений, который обеспечил бы максимум валовой прибавки урожая
сельскохозяйственных культур.
Математическая модель.
Для построения ЭММ необходима следующая информация:
 наличие минеральных удобрений по видам;
 размеры полей севооборота, различаемые по культурам, предшественникам, качеству почвы и т. п.;
 вынос питательных веществ на 1 центнер получаемой продукции;
 содержание действующих веществ на 1 центнер удобрений и
коэффициенты использования действующего вещества;
 максимально возможные прибавки урожая от внесения удобрений;
 максимально возможные дозы внесения удобрений;
 затраты на приобретение и внесение удобрений;
 стоимость дополнительной продукции, получаемой от внесения
удобрений и затраты на её уборку.
Экономико-математическая модель оптимизации состава и использования машинотракторного парка.
Постановка задачи
Определить такой состав машинотракторного парка, который обеспечит выполнение всех работ в лучшие агротехнические
сроки при минимальных затратах.
Для составления модели по определению оптимального
машинотракторного парка и его использования необходимо: разрабатывать технологию возделывания сельскохозяйственных культур,
определить объём работ, обосновать агротехнические сроки их вы-
полнения и установить приведенные затраты. Всю эту информацию
можно получить на основе технологических карт.
Все сельскохозяйственные работы выполняются в определенной последовательности, поэтому весь годовой комплекс работ
можно разделить на 5 агротехнических периодов:
1) Осенне-зимний (16.10-1.04)
2) Весенний (2.01-20.05)
3) Междурядная обработка пропашных культур и сенокошение (21.05-20.06)
4) Уборка поздних культур, сев озимых, зяблевая вспашка
(26.08-15.10)
5)
Для всех периодов определён объём механизированных работ и Уборка зерновых культур, очистка полей, лущение
стерни, ранняя вспашка (21.06-25.08)
сроки их выполнения по каждой сельскохозяйственной
культуре.
При подготовке входной информации важное значение имеет обоснование выбора сельскохозяйственных машин и тракторов,
их агрегатирование, коэффициентов сменности, производительности
агрегатов.
В связи с тем, что тракторы агрегатируются с различными
машинами и орудиями, необходимо определять количество возможных дней, которое они могут работать в каждом агротехническом
периоде.
Математическая модель
Неизвестными в данной задаче является количество агрегатов, состоящих из сельскохозяйственных машин и тракторов по
маркам.
Ограничения в задаче можно объединить в три группы:
1) Ограничения по объёму работ. Предопределяют такой
состав агрегатов и их количество, которые обеспечат выполнение
необходимого объёма работ, обусловленного агротехникой возделывания сельскохозяйственных культур. Коэффициенты при неизвестных в этой группе ограничений выражают производительность
каждого агрегата за агротехнический период. В правой части записывается общий объём работ по видам, который необходимо выполнить в течение года. Количество неравенств равно числу работ, выполняемых в отдельные агротехнические периоды. Работы, повторяющиеся в нескольких периодах, выполняются одними и теми же
агрегатами.
2) Ограничения по срокам выполнения работ. Обеспечивают такое решение, при котором весь объём работ осуществляется
машинотракторным парком в оптимальные агротехнические сроки.
Коэффициенты при неизвестных выражают оптимальные агротехнические сроки работ.
3) Ограничения, которые гарантируют, что количество машин и орудий каждой марки не превысит количество тракторов, с
которыми они агрегатируются.
В качестве коэффициентов целевой функции берутся затраты на содержание и эксплуатацию единицы машинотракторного
парка.
Моделирование структуры и оборота стада.
Постановка задачи.
Стадо скота разбито на ряд половозрастных и хозяйственных групп. Заданы все факторы, влияющие на его структуру: темп
роста поголовья, выход приплода, коэффициенты отхода скота по
группам, нормы выбраковки скота и минимальные нормы выбраковки молодняка (зоотехнический брак). Известны биологические
закономерности перехода скота из одной группы в другую. Необходимо определить такую структуру стада, при которой можно будет
получить максимум чистого дохода, или максимум производства
молока или мяса, или максимум стоимости валовой продукции.
Математическая модель.
При построении математической модели необходимо
учитывать:
 Поголовье различных половозрастных групп в стаде.
 Выход приплода.
 Вероятный процент падежа животных по каждой половозрастной группе.
 Предельный процент (верхняя и нижняя границы) выбраковки скота по каждой половозрастной группе.
 Соотношение отдельных половозрастных групп в стаде.
 Живая масса одного животного по каждой половозрастной
группе.
 Для стада КРС - надои на среднегодовую корову.
Следует определить удельный вес каждой группы скота в
стаде, чтобы получить максимум стоимости валовой продукции.
Моделирование кормовых рационов
Постановка задачи.
Из имеющихся в хозяйстве кормов необходимо составить
рацион для заданной группы скота с известной продуктивностью.
Рацион должен быть сбалансирован по ряду зоотехнических требований к кормлению, содержать некоторые группы, подгруппы и виды кормов в заданных пределах. Количество отдельных видов кормов внутри групп может быть ограничено.
В качестве зоотехнических оценок рациона могут выступать
содержание в нем кормовых единиц, сырого и переваримого протеина, минеральных веществ, отдельных аминокислот или их групп,
масса рациона, содержание в нем сухого вещества и т. п.
Критерием оптимальности рациона является его себестоимость.
В связи с различным назначением рационов кормления (для
проведения опытов, для кормления племенных животных, для составления рационов диетического питания и т. п.) возможны и такие
критерии оптимальности, как масса рациона, наиболее благоприятное соотношение кормовых единиц и переваримого протеина, содержание в рационе энергетических кормовых единиц и другие показатели.
Выбор критерия оптимальности определяется целями решения задачи.
Математическая модель
При построении математической модели должны соблюдаться следующие условия:
 Рацион должен быть сбалансирован по питательным веществам.
 Содержание кормов каждой группы в рационе должно быть
ограничено.
 В отдельных группах кормов содержание некоторых видов
кормов может быть ограничено.
 Вспомогательное ограничение по суммарному количеству
кормовых единиц в рационе.
Определить в рационе количество кормов каждого вида,
при котором достигается минимальная себестоимость рациона.
За основные неизвестные в задаче принимаются количества
видов кормов, включаемых в рацион, за дополнительные - суммарное количество кормовых единиц в рационе.
Все ограничения можно разделить на следующие группы:
1)по сбалансированности рациона.
Для их записи необходимо рассчитать суточную потребность в кормовых единицах, переваримом протеине и каротине. Эти
величины являются свободными членами соответствующих неравенств числовой модели.
Расчет производится путем подстановки в производственные функции конкретных значений живой массы, суточного удоя,
жирности молока, взятых из условий задачи.
Ограничения по сбалансированности рациона записывается
на основе выполненных расчетов и справочно-нормативной информации, в которой даны сведения о содержании отдельных элементов
питания в кормах.
2) по содержанию отдельных групп, подгрупп и видов кормов в рационе.
При этом предварительно рассчитывают коэффициенты при
вспомогательной переменной, показывающей удельный вес групп,
подгрупп и видов кормов в рационе в долях единицы.
Расчет коэффициентов производится на основе производственных функций.
В качестве коэффициентов при переменных в ограничениях
будут выступать содержание кормовых единиц в килограмме соответствующих кормов.
3) по содержанию некоторых видов кормов в отдельных группах
кормов.
4) по суммарному количеству кормовых единиц в рационе
Коэффициентами при переменных в целевой функции являются стоимости 1 кг соответствующего корма.
Экономико-математическая модель оптимизации производства и использования кормов.
Постановка задачи.
Для выращивания каждого вида скота требуется определенное соотношение кормов. В то же время состав и уровень производства кормов по видам определяется структурой посевных площадей,
причём хозяйство заинтересовано не только производить корма,
удовлетворяющие биологические потребности животных, но и получать при этом наибольшее количество животноводческой продукции при наименьшей её себестоимости. Поэтому рационы животных
необходимо тесно увязать с выбором сельскохозяйственных культур
для производства кормов и, следовательно, со структурой посевных
площадей.
Постановку задачи можно сформулировать так: определить
оптимальную структуру посевных площадей, размеры животноводческих отраслей, обеспечивающих выполнение плана продажи государству всех видов продукции и получение максимальной суммы
чистого дохода.
Математическая модель.
За основные неизвестные принимают площади посева по
культурам и поголовье скота по видам;
За вспомогательные неизвестные принимают корма, связанные с определением рационов кормления животных, а также неизвестные, связанные с определением потребности в рабочей силе,
затрат на корма и общей суммы материально-денежных затрат.
Условия задачи представляются основными, дополнительными и вспомогательными ограничениями.
Основные ограничения характеризуют использование пашни, потребность в рабочей силе по хозяйству в целом и в том числе
механизаторов, общую сумму производственных затрат и затраты на
корма, полные нормы кормления в кормовых единицах и переваримом протеине, минимально необходимые пределы скармливания
кормов по видам.
Дополнительные ограничения обеспечивают набор кормов
сверх минимального уровня, но не больше максимального.
Вспомогательные ограничения связаны с агрономическими
требованиями и гарантированными объёмами производства ряда
продуктов.
Коэффициентами целевой функции являются выход валовой продукции в денежном выражении с 1 га. посева или от одной
головы скота (со знаком плюс) и материально-денежные затраты (со
знаком минус).
Экономико-математическая модель оптимизации сочетания отраслей в сельскохозяйственном предприятии.
Постановка задачи.
Сочетание отраслей в хозяйстве происходит с учётом следующих факторов:
1. хозяйство должно развиваться с учётом имеющихся земельных,
трудовых и прочих ресурсов;
2. животноводство может использовать побочную продукцию основных отраслей (солома, зерноотходы и т. п.);
3. размеры отраслей могут быть ограничены (например, в растениеводстве требованиями севооборотов, в животноводстве - наличием
капитальных помещений, возможностями воспроизводства поголовья, структурой стада);
4. объём производства важнейших видов продукции должен гарантировать выполнение плана продажи государству и удовлетворение
внутрихозяйственных потребностей;
5. размер животноводческих отраслей должен быть увязан с объёмом кормопроизводства, а структура производства кормов должна
удовлетворять требованиям животноводства.
Критериями оптимальности в задаче могут быть: стоимость
валовой или товарной продукции, валовой доход, чистый доход,
прибыль, рентабельность.
Математическая модель.
За основные неизвестные в задаче берут посевные площади
товарных культур, посевные площади фуражных культур, количество кормов, поголовье скота.
За вспомогательные неизвестные берут те, которые учитывают использование части ресурсов хозяйства для содержания лошадей, обеспечение кормами личного скота работников хозяйства, а
также площадь пара.
Основные ограничения задачи описывают земельные и трудовые ресурсы, денежно-материальные затраты, корма и обеспечивают использование производственных ресурсов в объёме, не превышающем их наличие.
Дополнительные ограничения выражают агротехнические,
зоотехнические и организационно-экономические требования задачи (например, размещение культур по предшественникам, выполнение плана, неизменность поголовья скота и птицы).
Целевая функция описывает максимум выхода продукции в
количественном или денежном выражении.
Основные этапы моделирования.
Процесс экономико-математического моделирования можно
разделить на следующие этапы:
1.
постановка экономико-математической задачи и
обоснование критерия оптимальности;
2.
подготовка входной информации;
3.
построение математической модели задачи;
4.
решение задачи на ЭВМ;
5.
анализ полученного решения и, если нужно, корректировка его.
I Постановка задачи и обоснование критерия оптимальности.
На этом этапе требуется четкая формулировка задач, раскрывающая известные и неизвестные параметры и цель задачи. Для
этого надо хорошо знать объект моделирования. Критерий оптимальности должен соответствовать цели экономической задачи.
Правильная постановка задачи не возможна без предварительного
глубокого количественного и качественного анализа моделируемой
системы. Такой анализ позволяет точнее выявить те условия, в которых функционирует система, и определить степень влияния одного
или нескольких существенных факторов на экономические результаты. Анализировать экономические явления и процессы не просто,
а в данном случае ставится задача довести до численных характеристик анализируемые явления и процессы. Только при соблюдении
этих условий возможно правильно поставить задачу и получить
практические результаты.
II Подготовка входной информации.
Она включает определение объема и структуры информации, ее получение, обработку и оценку. Это наиболее сложный и
трудоемкий процесс. Получаемый результат в значительной степени
зависит от качества исходной информации.
Характер входной информации определяется содержанием
экономической задачи. Для большинства задач сельскохозяйственного производства к входной информации относятся данные о сельскохозяйственных культурах и отраслях, технологических способах
производства, объемах производственных ресурсов, затратах этих
ресурсов на единицу продукции, площади посева, голову животных
и т.д., коэффициенты соотношения различных способов деятельности, определяемых биологическими, техническими, технологиче-
скими и организационно-экономическими требованиями, коэффициенты эффективности использования ресурсов каждым видом производственной деятельности и т.д.
III Построение математической модели задачи.
На этом этапе происходит формализация экономической задачи. Цель задачи, экономические, технические, технологические и
другие условия и требования выражаются в алгебраической форме,
в виде уравнений или неравенств, которые характеризуют строгие
количественные зависимости. Это называется математической интерпретацией экономической задачи. Математическая модель емко,
но в сжатой форме, отражает характер поставленной задачи и условия, включенные в нее.
Математические модели можно разделить на линейные, когда цель и условия задачи описываются линейными уравнениями и
неравенствами, и нелинейные, когда условия задачи описываются
нелинейными зависимостями.
Наиболее широкой применение в экономике получили методы линейного программирования, которые используются в экономике как средство решения экономических задач с целью нахождения путей наиболее эффективного использования ограниченных
производственных ресурсов.
При построении математической модели задачи вначале целесообразно выбрать для выражения критерия оптимальности целевую функцию, затем обосновать виды и способы производственной
деятельности, установить ограничения данной экономической задачи и представить их в математической форме.
Цели функционирования системы выражаются с помощью
определенных показателей, которые являются критерием оптимальности. Количественное выражение конечного результата формируется в виде целевой функции и является математическим выражением критерия оптимальности в экономико-математических задачах.
Критерий оптимальности выступает показателем качества решения
задачи.
При моделировании экономических процессов необходимо
проанализировать все возможные виды и способы производственной деятельности и принять каждый из них в качестве переменной
величины, количественной значение которых необходимо определить затем при решении экономико-математической задачи.
Наиболее характерными видами и способами производственной деятельности в сельском хозяйстве являются площади по-
сева сельскохозяйственных культур, виды животных, виды сельскохозяйственной продукции, виды удобрений, виды кормов в рационе,
марки тракторов и сельскохозяйственных машин, производственные
фонды, затраты и т.д. Обозначаются они через переменные (Х) и
имеют натуральные единицы измерения – гектары, центнеры, головы и т.п.
При определении переменных учитываются как технологические особенности, так и так и различное хозяйственное и производственное использование полученной продукции. Это относится
прежде всего к тем сельскохозяйственным культурам, которые могут иметь различное производственное назначение.
Например, посевы многолетних трав могут быть использованы по некоторым направлениям: для производства зеленой массы
на корм скоту, для производства сена, для производства силоса, для
производства семян. Каждый из этих видов использования представляет собой самостоятельную производственную деятельность и
может быть выражен отдельной переменной. Поэтому площади посева сельскохозяйственных культур, имеющих различное производственное назначение, обозначаются несколькими переменными.
В связи с тем, что в животноводстве скот представлен разными половозрастными группами, в экономико-математических
моделях в качестве переменных, обозначающих виды производственной деятельности, принимаются маточные структурные головы, которые выражают количество маточного поголовья со шлейфом при определенной структуре стада. При этом вся исходная информация готовится в расчете на структурную голову.
При определении оптимальных планов развития сельскохозяйственного производства возникает необходимость определения
потребности в основных средствах производства и их структуры, в
оборотных средствах, в некоторых ресурсах и т.д., которые необходимы для реализации оптимального плана. В этом случае их тоже
обозначают отдельными переменными.
Все переменные по их роли в экономико-математических
задачах условно можно разделить на основные, дополнительные,
вспомогательные и искусственные.
Основные переменные выражают искомые виды и способы
производственной деятельности: площади посева сельскохозяйственных культур, поголовье животных, количество тракторов по
маркам и т.д.
Дополнительные неизвестные связаны с математическим
аппаратом решения экономико-математических задач. Дополни-
тельные переменные используются для приведения задач линейного
программирования к каноническому виду, т.е. для перевода неравенств в равенство. Они показывают излишек или недостаток правой части неравенства: возможное недоиспользование ресурсов,
перевыполнение плана продажи продукции государству и т.д.
Ведение сельскохозяйственного производства всегда осуществляется при наличии ряда ограничивающих условий, которые
называются ограничениями данной экономико-математической задачи. В них отражаются все требования задачи, поэтому от обоснованности ограничений в решающей степени зависит выбор оптимального плана. Записываются они в виде линейных уравнений и
неравенств.
Все ограничения по своему экономическому значению делятся на основные, дополнительные и вспомогательные.
Основные ограничения выражают наиболее важные условия
задачи и накладываются на все или большинство неизвестных. К
ним относятся ограничения по земле, трудовым ресурсам, кормам,
технике и т.д.
Дополнительные ограничения накладываются на отдельные
неизвестные или небольшие их группы. Обычно к ним относятся
условия, ограничивающие снизу или сверху объемы производства
отдельных видов продукции, потребление животными отдельных
видов кормов или групп кормов, агротехнические, технические, зооветеринарные и организационно-экономические требования, связанные с пределами размеров посевных площадей отдельных сельскохозяйственных культур, с уровнем концентрации животных в сельскохозяйственных предприятиях и их подразделениях и т.п.
Дополнительные ограничения используют также для связи
блоков (отдельных задач) в единую общую задачу экономикоматематических моделях.
Обосновав всю необходимую информацию и сформулировав математически все условия и требования задачи, можно представить экономико-математическую модель в виде системы уравнений и неравенств, объединенных целевой функцией или в специальных таблицах (в матричном виде). Такую запись экономикоматематической модели называют развернутой.
В общем виде такая задача может быть сформулирована
следующим образом. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными:
а11х1  а12 х2  ...  а1п хп  b1
..........................................

(1)
аi1 х1  аi 2 х2  ...  аiп хп  bi
..........................................

аm1 х1  аm 2 х2  ...  аmп хп  bm
и некоторая линейная форма этих неизвестных:
Z  c1 x1  c2 x2  ...  cn xn
(2)
Требуется найти такое неотрицательное решение системы,
т. е. такие значения переменных x1  0, x2  0, ..., xn  0, которое
обращало бы линейную форму в максимум (минимум). Такая форма
записи задачи линейного программирования называется канонической.
Система (1) называется системой ограничений, а линейная
форма (2) - целевой функцией данной задачи. Таким образом, в математической модели задачи линейного программирования выделяются три составные части: целевая функция, система ограничений и
условие неотрицательности неизвестных.
Условие неотрицательности в задаче линейного программирования вводится потому, что любой план использования ресурсов
не может включать какие-либо отрасли в отрицательном количестве.
Например, поголовье скота в колхозе либо имеется, следовательно,
его количество больше нуля, либо нет совсем, т. е. равно нулю. Отрицательное значение поголовья скота не имело бы экономического
смысла. Поэтому все неизвестные, входящие в модель задачи, должны быть неотрицательными. Всякое неотрицательное решение системы (1) называется допустимым, а допустимое решение, обращающее линейную форму (2) в максимум (минимум) - оптимальным
решением.
В экономических задачах ограничения, наложенные на неизвестные, задаются не только в виде уравнений, но и в виде системы неравенств. Например:
а11х1  а12 х2  ...  а1п хп  b1
..........................................

(3)
аi1 х1  аi 2 х2  ...  аiп хп  bi
..........................................

аm1 х1  аm 2 х2  ...  аmп хп  bm
Подобные задачи линейного программирования можно
привести к основной задаче, т. е. к её каноническому виду. Для этого к левой части первого неравенства добавляется некоторая неотрицательная неизвестная xn 1 , ко второму - xn  2 и т. д. и к последнему неравенству -
xn  m . В результате будет получена система
уравнений, эквивалентная системе неравенств:
а11х1  а12 х2  ...  а1п хп  xn 1  b1
..........................................

(4)
аi1 х1  аi 2 х2  ...  аiп хп  xn  i  bi
..........................................

аm1 х1  аm 2 х2  ...  аmп хп  xn  m  bm
В случае, когда ограничения заданы неравенствами типа :
а11х1  а12 х2  ...  а1п хп  b1
..........................................

(5)
аi1 х1  аi 2 х2  ...  аiп хп  bi
..........................................

аm1 х1  аm 2 х2  ...  аmп хп  bm
к уравнениям переходят путём вычитания из левых частей неравенств неотрицательных неизвестных и тоже приводят к системе
уравнений, эквивалентной системе неравенств:
а11х1  а12 х2  ...  а1п хп  xn 1  b1
..........................................

(6)
аi1 х1  аi 2 х2  ...  аiп хп  xn  i  bi
..........................................

аm1 х1  аm 2 х2  ...  аmп хп  xn  m  bm
Чаще всего ограничения задаются в виде смешанной системы, включающей и равенства, и неравенства. Однако все такие системы ограничений легко сводятся к системе уравнений, т. е. к ограничениям основной задачи линейного программирования. Размер
модели определяется числом неизвестных величин n и количеством
ограничений m. Модель задачи можно записать в более сжатой форме (структурной). Например:
Найти максимум (минимум) линейной функции
n
Z max(min)   c j x j
j 1
при условиях:

n
a x
j 1
ij
j
bi

(i  1,2,..., m)
( j  1,2,..., n)
xj  0
где
n - общее количество переменных величин;
j – порядковый номер переменной;
m – общее количество ограничений;
i – порядковый номер ограничения;
xj – переменная, обозначающая j-тый вид деятельности;
cj – оценка целевой функции в расчете на единицу j-того вида деятельности;
aij – норма затрат i-того вида ресурса на единицу j-того вида
деятельности;
bi – объем производственного ресурса i-того вида.
Приведенная математическая модель является базовой, так
как лежит в основе большинства линейных моделей. В каждом отдельном случае эта модель может усложняться за счет введения
ограничений, описывающих всевозможные условия конкретных
задач.
Коэффициенты при неизвестных величинах aij производственных ресурсов или норму выхода продукции в расчете на единицу измерения переменной величины. Они характеризуют технологические зависимости, поэтому их называют техникоэкономическими коэффициентами. Это нормы затрат на единицу
продукции, на один гектар посева сельскохозяйственных культур, на
одну голову животных, нормы кормления, нормы выработки, урожайность с гектара, продуктивность животных и т.п.
Наряду с технико-экономическими коэффициентами в экономико-математических моделях используют коэффициенты пропорциональности и коэффициенты связи.
Коэффициенты пропорциональности служат для выражения
количественной зависимости развития одной отрасли от уровня другой, пропорциональности содержания отдельных видов кормов в
данной группе и т.п.
Коэффициенты связи устанавливают связь между получаемым значением величины переменной и объемом ограничений. Такие коэффициенты чаще всего равны единице.
Объем правой части ограничений bi называют свободными
членами или константами. Они зависят от условий и постановки
самой задачи. Чаще всего они характеризуют объемы производственных ресурсов (земли, труда, техники, удобрений, производственных помещений, капитальных вложений и т.п.), гарантированные объемы производства, фиксированные размеры посевных площадей сельскохозяйственных культур, поголовья скота и т.д.
Размерность переменных (xj), технико-экономических коэффициентов (aij) и свободных членов (bi) должна быть полностью
взаимоувязана. Размерность каждого ограничения определяется
единицами измерения его правой части bi. Размерность всех технико-экономических коэффициентов aij должна соответствовать размерности, принятой для данного ограничения bi, деленной на размерность соответствующей переменной xj.
Например, если за xj принять площадь посева сельскохозяйственных культур в гектарах, а за bi – ресурсы минеральных удобрений в центнерах, то для технико-экономических коэффициентов aij
размерностью будет количество центнеров удобрений, вносимых на
гектар посева каждой культуры. Общее же количество используемых удобрений не превысит их наличие.
Важную роль в экономико-математической модели играют
коэффициенты целевой функции cj, так как нахождение решения
задачи линейного программирования сводится к подбору таких неотрицательных значений переменных величин, которые при умножении на коэффициенты линейной формы дают максимум или минимум целевой функции. Коэффициенты целевой функции непосредственно связаны с соответствующим критерием оптимальности
решения задачи. Чаще всего они характеризуют доход с единицы
измерения переменной в натуральном и стоимостном выражении.
IV Решение задачи на ЭВМ.
Задача решается на ЭВМ после ввода матрицы задачи с помощью специального программного обеспечения. Причем матрица
задачи заносится в машину согласно требованиям и правилам этого
программного обеспечения.
Матрица задачи представляет собой табличную форму, в
которой условия задачи отражаются в виде линейных соотношений.
Матрица состоит из столбцов и строк. По столбцам располагаются
переменные величины, по строкам – условия задачи, которые называются ограничениями. Технико-экономические коэффициенты
матрицы могут означать либо норму затрат, либо норму выхода
продукции в расчете на единицу измерения переменной величины.
Каждая матрица содержит особый столбец, в котором отражаются
тип и объем ограничений, и особую строку, в которой располагается
целевая функция задачи.
V Анализ полученного решения.
Цель экономико-математического анализа оптимальных
решений следующая:

дать общую оценку полученному решению и выявить переменные, вошедшие и не вошедшие в план и значение целевой
функции;

определить эффект оптимизации плана;

выявит возможности и резервы развития моделируемого объекта для выработки управленческого решения;

определить общие экономические показатели развития объекта в панируемом периоде;

установить пределы возможностей ля корректировки оптимального решения и получения новых вариантов решений при
изменении первоначальных параметров задачи.
Результаты решения выдаются в виде значений переменных. Анализ решения проводит постановщик задачи, который обладает навыками и приемами анализа. Анализ определяет реальность
полученного решения, возможность практического использования
его в хозяйстве, возможно, если необходимо, поменять какие-либо
условия в задачи, но при этом надо будет повторить процесс решения задачи на ЭВМ.
При анализе результатов решения следует исходить из того,
что оптимальный вариант получается для заданных условий задачи.
С изменением этих условий изменяется и оптимальный вариант.
Поэтому получение на основе экономико-математических методов
оптимального варианта для заданных условий задачи с определенными ограничениями не отрицает, а предполагает возможность
нахождения нескольких вариантов оптимальных решений из множества. Эти варианты могут быть получены при изменении объемов
производственных ресурсов, коэффициентов расхода этих ресурсов
на разные виды деятельности, при замене критерия оптимальности и
т.д.
Экономический анализ поведения данной системы при разных условиях позволяет выбрать наиболее приемлемый оптимальный вариант ее развития для данных конкретных условий производства.
Математическая формализация экономических процессов в
сельском хозяйстве.
Для представления экономической задачи в формульном
виде необходимо следующее:
1. чётко сформулировать условие задачи;
2. ввести обозначения переменных величин и установить их единицы измерения (они должны быть одинаковыми);
3. записать название каждого из ограничений и записать систему
ограничений,
если
необходимо
пересчитать
техникоэкономические коэффициенты и свободные члены;
4. записать строку целевой функции, рассчитав её коэффициенты.
Примеры построения развернутой экономико-математической
модели.
Пример1.
Площадь пашни, отводимая под зерновые культуры, составляет 2000 га, резерв минеральных удобрений – 1600 ц д.в. и
имеется 14600 чел.-дней затрат живого труда.
Построить развернутую экономико-математическую модель
для определения такого сочетания посевов озимой пшеницы, роса и
гречихи, чтобы прибыль была максимальной, т.е. чтобы можно было
найти оптимальный вариант структуры посевов трех данных культур по критерию – максимальная масса прибыли.
Исходная информация представлена таблицей.
Показатели
Наименование культур
озимая пшеница
просо
гречиха
Урожайность,
24
14
12
ц/га
Затраты труда,
0,4
0,5
0,6
чел.-ч/ц
Затраты удоб0,6
0,4
0,8
рений, ц д.в./га
Прибыль, руб/ц
2,0
3,0
4,0
Введем систему обозначений:
Х1 – искомая площадь посева озимой пшеницы (га);
Х2 – искомая площадь посева проса (га);
Х3 – искомая площадь посева гречихи (га).
Ограничения:
1. Общая площадь посева культур (га)
Х1+Х2+Х32000
2. Затраты труда (чел.-дни)
Если за единицу измерения неизвестных принят 1 га, то соответственно необходимо рассчитать все нормативы на эту единицу.
Затраты труда даны по условию задачи в расчете на 1 ц продукции ,
но, зная урожайность , легко пересчитать нормативы затрат труда в
расчете на 1 га посева. Таким образом ограничение запишется так:
9,6Х1+7Х2+7,2Х314600
3. Расход минеральных удобрений (ц д.в.)
0,6Х1+0,4Х2+0,8Х31600
Целевая функция:
Поскольку в качестве критерия оптимальности выступает
максимум прибыли, то необходимо рассчитать соответствующие
коэффициенты данной целевой функции. В расчете на 1 га прибыль
составит соответственно: 48, 42,48 рублей.
Целевая функция задач при этом будет выглядеть так:
Z=48Х1+42Х2+48Х3max
Таким образом математическая модель задачи выглядит так:
Х1+Х2+Х32000
9,6Х1+7Х2+7,2Х314600
0,6Х1+0,4Х2+0,8Х31600
Z=48Х1+42Х2+48Х3max
Пример 2
Построить развернутую экономико-математическую модель
для расчета оптимального рациона для дойной коровы живой массой 450 кг, среднесуточным удоем 8,0 кг, жирностью молока 3,95%.
В хозяйстве имеются горох, овес, ячмень сено естественных
и многолетних трав, травяная мука многолетних трав. Солома, сенаж однолетних трав, силос кукурузный, кормовая свекла.
Характеристика кормов (содержание питательных веществ
и их себестоимость) заданы таблицей.
Оптимальный рацион коровы должен быть сбалансирован
по кормовым единицам, переваримому протеину и каротину.
Суточная потребность коровы в кормовых единицах – 8,61
кг корм. единиц, единиц, переваримом протеине – 929,31 г, каротине
– 358,3 мг.
Вид корма
Горох
Овес
Ячмень
Сено естественных трав
Сено многолетних трав
Травяная мука
Солома
Сенаж однолетних трав
Силос кукурузный
Кормовая свекла
Кормовые
единицы,
кг
1,14
1,00
1,09
0,37
Переваримый
протеин, г
Каротин,
мг
Себестоимость,
ден.ед.
159
83
89
37
1
1
16
8,9
7,9
7,8
2,9
0,46
83
45
2,86
0,65
0,10
0,3
118
10
42
128
3
34
9,2
0,7
2,17
0,16
12
10
1,53
0,11
8
-
2,3
В рационе коровы должно быть не менее 16,3% и не более
22,1% концентратов и травяной муки; не менее 15,3% и не более
25,2% сена; не мнее 26,1% и не более 32,1% силоса; не менее 16,2%
и не более 18,9% сенажа.
Критерий оптимальности – минимум себестоимости суточного рациона для коровы.
Введем систему обозначений:
Х1 – масса гороха в рационе (кг);
Х2 – масса овса в рационе (кг);
Х3 – масса ячменя в рационе (кг);
Х4 – масса травяной муки в рационе (кг);
Х5 – масса сена естественных сенокосов в рационе (кг);
Х6 – масса сена многолетних трав в рационе (кг);
Х7 – масса соломы в рационе (кг);
Х8 – масса сенажа однолетних трав в рационе (кг);
Х9 – масса силоса кукурузного в рационе (кг);
Х10 – масса кормовой свеклы в рационе (кг);
Х11 – суммарное количество кормовых единиц в рационе (кг).
Ограничения:
I. Ограничения по сбалансированности рациона.
1) Кормовые единицы (кг)
1,14Х1+1Х2+1,09Х3+0,65Х4+0,37Х5+0,46Х6+0,1Х7+0,3Х8+0,16Х9+
+0,11Х108,61
2) Переваримый протеин (г)
159Х1+83Х2+89Х3+118Х4+37Х5+83Х6+10Х7+42Х8+12Х9+
+8Х10929,3
3) Каротин (мг)
1Х1+1Х3+128Х4+16Х5+45Х6+3Х7+34Х8+10Х9358,3
II.Ограничения по содержанию отдельных групп кормов.
Концентраты и травяная мука
Min
4) 1,14Х1+1Х2+1,09Х3+0,65Х40,163Х11
Max
5) 1,14Х1+1Х2+1,09Х3+0,65Х40,221Х11
Сено
Min
6) 0,37Х5+0,46Х60,153Х11
Max
7) 0,37Х5+0,46Х60,252Х11
Силос
Min
8) 0,16Х90,261Х11
Max
9) 0,16Х90,315Х11
Сенаж
Min
Max
10) 0,3Х80,162
11) 0,3Х80,189
III. Ограничения по сбалансированности рациона.
12) Суммарное количество кормовых единиц в рационе
1,14Х1+1Х2+1,09Х3+0,65Х4+0,37Х5+0,46Х6+0,2Х7+0,3Х8+0,16Х9+
+0,11Х10=Х11
Целевая функция – минимум себестоимости рациона (ден. ед.)
Z=8,9Х1+7,9Х2+7,8Х3+9,2Х4+2,9Х5+2,86Х6+0,7Х7+2,17Х8+1,53Х9+
+2,3Х10min
Задачи для самостоятельного выполнения.
Задача 1
Построить
развернутую
развернутую
экономикоматематическую модель следующей задачи.
Наиболее эффективным для хозяйства является выращивание трех культур: озимой пшеницы, проса, гречихи. Ожидаемый
уровень урожайности этих культур, себестоимость центнера продукции, нормы внесен6ия удобрений и затраты труда в расчете на
единицу продукции, приведенные в соответствии с ожидаемым
уровнем урожайности, заданы таблицей. Известны и наиболее вероятные цены фактической реализации центнера продукции.
Показатели
Урожайность,
ц/га
Затраты труда,
чел.-ч/га
Затраты удобрений, ц д.в./га
Себестоимость,
руб/ц
Цена реализации, руб/ц
Наименование культур
озимая пшеница
просо
30,0
18,0
гречиха
15,0
40
50
45
0,8
0,6
1,0
6,0
7,0
11,0
11,6
8,0
30,0
Критерий оптимальности – максимум прибыли от реализации данных видов продукции.
Задача 2
Построить
развернутую
развернутую
экономикоматематическую модель следующей задачи.
В хозяйстве наиболее эффективным является выращивание
трех озимых зерновых культур: озимой пшеницы, ржи и ячменя.
Для их производства выделено 1200 га пашни, 2000 ц д.в. удобрений
и 102000 чел.-ч трудовых ресурсов. Вся исходная информация представлена в таблице.
Найти оптимальное распределение ресурсов под культуры
для достижения максимального объема их валового производства.
Причем ячменя должно быть произведено не менее 1000 ц.
Показатели
Урожайность,
ц/га
Затраты труда,
чел.-ч/га
Затраты удобрений, ц д.в./га
Цена реализации, руб/ц
Наименование культур
пшеница
рожь
30,0
20,0
ячмень
20,0
40
50
50
1,0
1,0
1,0
11,6
13,0
11,6
Задача3
Построить
развернутую
развернутую
экономикоматематическую модель следующей задачи.
В результате проведения комплекса мелиоративных мероприятий хозяйству удалось увеличить площадь пашни на 2 тыс. га.
Хозяйство располагает резервом минеральных удобрений в объеме
1,3 тыс.ц в пересчете на действующее вещество и 42 тыс. чел.-ч трудовых ресурсов. Наиболее эффективным для хозяйства является
выращивание озимой пшеницы, проса, и гречихи. Ожидаемый уровень урожайности этих культур, себестоимость 1 ц продукции, нормы внесения удобрений и затраты труда в расчете на единицу продукции, приведенные в соответствии с ожидаемым уровнем урожайности, заданы таблицей. Также заданы вероятные цены реализации 1 ц продукции.
Определить оптимальное сочетание посевов этих культур
исходя из наличия имеющихся ресурсов и плановых нормативов с
таким расчетом, чтобы общая прибыль в хозяйстве от их реализации
была максимальной.
Показатели
Урожайность,
ц/га
Затраты
труда,
чел.-ч/га
Затраты удобрений, ц д.в./га
Себестоимость,
руб/ц
Цена реализации,
руб/ц
Наименование культур
озимая пшеница
просо
20,0
12,0
гречиха
10,0
55
70
60
0,8
0,6
1,0
9,0
7,5
12,0
11,6
8,1
30,0
Задача 4
Построить
развернутую
развернутую
экономикоматематическую модель следующей задачи.
В результате осушения болот и освоения залежных земель
хозяйству удалось увеличить посевную площадь на 1.1 тыс. га. Хозяйство располагает ресурсами в количестве 42 тыс. чел-ч и может
дополнительно приобрести 900 ц минеральных удобрений в пересчете на действующее вещество. Наиболее эффективными культурами в хозяйстве являются рожь, просо, ячмень. Прогнозируемый
уровень урожайности этих культур, себестоимость в расчете на 1ц
зерна, трудоемкость и нормы внесения удобрений, рассчитанные в
соответствии с ожидаемой урожайностью, заданы таблицей. Известны и плановые цены реализации зерновых культур.
Определить наилучший вариант структуры посевов этих
культур исходя из имеющихся ресурсов, нормативов затрат труда и
удобрений, себестоимости и цены реализации продукции, чтобы
общая прибыль от их реализации была максимальной.
Показатели
Урожайность,
ц/га
Затраты
труда,
чел.-ч/га
Затраты удобрений, ц д.в./га
рожь
28,0
Наименование культур
просо
21,0
ячмень
15,0
45
60,1
55
1,0
1,0
0,9
Себестоимость,
руб/ц
Цена реализации,
руб/ц
9,0
8,4
7,0
13,6
8,1
11,5
Задача 5
Построить развернутую экономико-математическую модель
следующей задачи.
В результате проведения комплекса мелиоративных мероприятий площадь посева сельскохозяйственных культур в хозяйстве
увеличилась на 1.3 тыс. га. В хозяйстве имеются недоиспользованные трудовые ресурсы в количестве 210 тыс. чел.-ч и резерв органических удобрений в 6000 т. Наиболее эффективным для хозяйства
является выращивание озимой пшеницы, картофеля. сахарной свеклы. Ожидаемый уровень урожайности этих культур , себестоимость
1 ц продукции, нормы внесения удобрений и трудоемкость заданы
таблицей. Известны и закупочные цены. Причем картофеля должно
быть произведено не менее 20000 ц.
Требуется определить такой вариант сочетания посевов
этих культур. Чтобы прибыль от их производства для хозяйства была максимальной.
Показатели
Урожайность,
ц/га
Затраты труда,
чел.-ч/га
Затраты удобрений, ц д.в./га
Себестоимость,
руб/ц
Цена реализации, руб/ц
Наименование культур
озимая пшеница
картофель
30,0
120
сахарная
свекла
200
40
300
400
20
30
35
8,5
7,0
2,5
11,0
8,2
4,4
Задача 6
Построить
развернутую
развернутую
математическую модель следующей задачи.
экономико-
Хозяйство занимается выращиванием картофеля ранних,
средних и поздних сортов. Под запланированный урожай выделено:
1000 га пашни, 60900 ц д.в. минеральных удобрений и 210 тыс. чел.ч трудовых ресурсов. Вся исходная информация представлена в таблице. Причем площадь под ранним картофелем должна составлять
не более 200 га.
Требуется определить. На каком сорте картофеля выгоднее
специализироваться хозяйству, чтобы общая прибыль при этом была
максимальной.
Показатели
Урожайность,
ц/га
Затраты труда,
чел.-ч/га
Внесение удобрений, ц д.в./га
Себестоимость,
руб/ц
Цена реализации, руб/ц
ранний
150
Сорта картофеля
средний
180
поздний
200
300
320
360
4
6
6
8
6
5
22,0
10,0
8,2
Задача 7
Построить
развернутую
развернутую
экономикоматематическую модель следующей задачи.
Племенной завод располагает тремя видами кормов: концентрированные , грубые (сено многолетних трав и солома зерновых) и сочные. Известно, что на 100 кг живого веса при кормлении
племенных быков живым весом 1000 кг в зимнее время в сутки следует расходовать не менее (кг): сена – 0,8, силоса – 0.8, концентратов – 0.5.
Среднее содержание питательных веществ в единице корма
с учетом вида и структуры кормов и их потребное количество заданы. Известна и себестоимость единицы корма.
Корма, ц
Наименование
концентрипоказателей
сено
солома
силос
рованные
Кормовые еди1,0
0,4
0,22
0,18
ницы, ц
Протеин, кг
9,0
4,0
0,5
1,8
Кальций, кг
0,4
0,6
0,8
0,2
Себестоимость,
6,2
1,6
0,6
0,8
руб/ц
Причем установлено, что в суточном рационе быков должно
содержаться не менее: кормовых единиц – 12,0 кг, протеина – 1,5 кг,
кальция – 80 г.
Задача 8
Построить
развернутую
развернутую
экономикоматематическую модель следующей задачи.
Требуется определить оптимальный вариант суточного рациона кормления молочных коров в стойловый период. Средний
живой вес коровы 450 кг, среднесуточный удой 16 кг. Жирность
молока 3.8%. Хозяйство располагает следующими кормами: концентрированные, грубые (сено многолетних трав и солома зерновых) и
силосные. Минимально допустимая потребность в питательных веществах, рассчитанная с учетом массы коровы и ее продуктивности,
задана. Среднее содержание питательных веществ в единице корма
известна, известна себестоимость единицы корма.
солома
силос
Кормовые
единицы, кг
Протеин, кг
Себестоимость, руб/ц
сено
Наименование показателя
Потребность в
сутки на
одну корову
(не менее)
концентрированные
Корма, ц
100
50
20
16
12,3
10,0
4,5
0,8
1,5
1,380
6,0
2,0
0,4
0,6
В рационе коров необходимо иметь не менее 4 кг сена, 30 кг
силоса и 2 кг концентрированных кормов. Критерием оптимальности рациона является минимальная его себестоимость.
Задача 9
Построить
развернутую
развернутую
экономикоматематическую модель следующей задачи.
Определить оптимальный вариант суточного рациона кормления племенных быков в зимний неслучный период. Средний живой вес быков 1000 кг. Племенной завод располагает тремя видами
кормов : концентрированные, грубые (сено многолетних трав и солома зерновых) и сочные. Известно, что на 100 кг живого веса быков в сутки следует расходовать не менее (кг): сена – 0.8, силоса – 1,
концентратов – 0.5.
Среднее содержание питательных веществ в единице корма
с учетом вида и структуры кормов и их потребное количество заданы. Известна и себестоимость единицы корма. В качестве критерия
оптимальности рациона принят показатель – минимальная его себестоимость.
солома
силос
Кормовые
единицы, кг
Протеин, кг
Кальций, кг
Себестоимость, руб/ц
сено
Наименование показателя
Потребность в
сутки на
одну
корову
(не менее)
концентрированные
Корма, ц
1
0,38
0,2
0,2
0,12
9,0
0,4
4,0
0,6
1,0
0,2
2,0
0,2
1,5
0,08
8,0
1,2
0,8
0,8
Задача 10
Построить
развернутую
развернутую
экономикоматематическую модель следующей задачи.
Определить оптимальный вариант суточного рациона кормления стельных коров молочного направления в сухостойный период. Средний живой вес коров 500 кг. Хозяйство располагает тремя
видами кормов: грубые (сено многолетних трав и солома зерновых),
концентрированные и силосные. Минимально допустимая потребность в питательных веществах задана. Известны среднее содержание основных питательных веществ в единице корма и себестоимость кормов. При этом поставлено условие, что в суточном раци-
оне количество сена должно быть не менее 10 кг. В качестве критерия оптимальности рациона принята его минимальная себестоимость.
сено
солома
Кормовые
единицы, кг
Протеин, кг
Кальций, кг
Себестоимость, руб/ц
Потребность в
сутки на
одну
корову
(не менее)
концентрированные
Наименование
показателя
силос (викоовес)
Корма, ц
1,2
0,5
0,3
0,18
8,0
150
2
60
30
17
4
24
15
960
400
6,0
2,0
0,6
1,2
Задача 11
Построить
развернутую
развернутую
экономикоматематическую модель следующей задачи.
Определить оптимальный вариант суточного рациона кормления телок молочных пород в стойловый период. Средний живой
вес телок 260 кг.
Хозяйство располагает тремя видами кормов: грубые (сено
многолетних трав и солома зерновых), концентрированные и силосные. Суточная потребность в кормовых единицах определена не
менее 1,8 кг на 100 кг живого веса, общая суточная потребность в
переваримом протеине составляет не менее 480 г. Концентрированные корма в рационе должны составлять не менее 2 кг, силосные –
не менее 10 кг.
Содержание питательных веществ в единице корма с учетом их качества, вида и структуры, а также себестоимость единицы
корма заданы таблицей.
Критерием оптимальности рациона является его минимальная себестоимость.
Наименование показателя
Корма, ц
0,5
5,2
2,0
силос
1
12,0
4,0
солома
концентрированные
сено
Кормовые единицы, ц
Протеин, кг
Себестоимость, руб/ц
0,2
0,6
0,8
0,2
1,8
1,2
Задача 12
Построить развернутую экономико-математическую модель
следующей задачи.
Определить оптимальный вариант суточного рациона кормления племенных бычков весом 450 кг.
Хозяйство располагает тремя видами кормов: грубые (сено
многолетних трав и солома зерновых),силосные и концентрированные. Содержание питательных веществ в единице корма с учетом
их видов, структуры и качества известны. Известна суточная потребность бычков в питательных веществах и себестоимость единицы кормов (таблица).Причем содержание концентрированных кормов в рационе должно быть не менее 4 кг, сена – не менее 5 кг.
В качестве критерия оптимальности рационов принят показатель – минимальная его себестоимость.
1
8,0
8,0
0,5
5,1
1,3
силос
Кормовые единицы, ц
Протеин, кг
Себестоимость, руб/ц
солома
Наименование показателя
концентрированные
сено
Корма, ц
0,2
1,0
0,6
0,2
1,7
0,8
Потребность
в сутки на
одного бычка (не менее)
0,08
0,80
Решение задач линейного программирования с помощью табличного процессора Microsoft Excel
Рассмотрим решение задачи линейного программирования с
применением средств табличного процессора Excel на примере оп-
тимизации параметров производственной деятельности личных подсобных хозяйств Кромского района Орловской области.
1. Постановка экономико-математической задачи
Основной целью задачи является получение максимального
дохода от реализации дополнительной продукции с учетом самообеспечения жителей Кромского района Орловской области необходимыми продуктами питания, с учетом обеспечения животных, принадлежащих ЛПХ, кормами. При решении данной экономической
задачи необходимо:
1. определить размер и структуру производства в ЛПХ по
району с учетом их возможностей и потребностей;
2. рассчитать количество дополнительной (товарной) продукции, которая может быть получена в ЛПХ;
3. определить соответствие оптимального решения задачи и
Комплексной программы развития личных подсобных хозяйств
населения на 1995–2000 годы, утвержденной Постановлением Главы
администрации Орловской области 11 мая 1995 года № 174, с имеющимися там ресурсами.
2. Подготовка входной информации.
Экономико-математическая модель данной задачи строилась с учетом объективной информации. Источником для такой информации послужили материалы Орловского областного комитета
государственной статистики:
– статистические сборники "О личных подсобных хозяйствах населения Орловской области", "Поголовье скота в хозяйствах
Орловской области", "Сельское хозяйство Орловской области",
"Численность скота и птицы в Орловской области";
– статистические бюллетени "Посевные площади сельскохозяйственных культур под урожай 2000 года", "Посевные площади,
валовые сборы и урожайность сельскохозяйственных культур по
категориям хозяйств".
Для построения экономико-математической модели готовилась следующая информация:
1. Показатели по посевным площадям для основных сельскохозяйственных культур за 2000 год и поголовья скота в ЛПХ согласно
выполнению Комплексной программы развития ЛПХ за 1995–2000
гг.
Наименование культуры
Посевная площадь, га
Общая посевная площадь
3300
Картофель
2573
Овощи
Травы на сено
169,5
37
2. Поголовье скота согласно Комплексной программы 1995–2000 гг.
Виды животных
Количество, голов
КРС
5400
Свиньи
8000
Овцы
2100
3. Были рассчитаны объемы потребления сельскими жителями
Кромского района основных продуктов питания. Количество жителей, ведущих ЛПХ в этом районе, составляет 1802 человека.
Потребление сельскохозяйственной продукции населением за год
Наименование проНа душу населения
Всего по району
дукции
Картофель
205 кг
3694 ц
Овощи
86,4 кг
1557 ц
Мясо
69 кг
1243 ц
Молоко
225 кг
4055 ц
Яйца
246,4 шт.
444013 шт.
4. Учтены потребности основной продукции растениеводства, используемые на корм скоту с учетом поголовья основных видов животных.
Поголовье скота и птицы в Кромском районе в 2000 г.
Виды животных
Количество, голов
КРС
2510
Свиньи
6847
Овцы
1072
Птица
19000
5. Расход основных кормов по видам животных на одну условную
голову ( ц)
Вид корма
КРС
Свиньи
Овцы
Птица
Картофель
9,6
9,9
0,48
0,45
Овощи и корне2,5
0,9
0,24
0,15
плоды
Сено
10
–
1
–
6. Средняя урожайность основных сельскохозяйственных культур
ЛПХ в 2000 гг.( ц/га)
Наименование культуры
Урожайность
Картофель
152
Овощи
194
Кормовые корнеплоды
464
7. Средняя продуктивность основных видов сельскохозяйственных
животных в ЛПХ за 1998–2000 гг.
Наименование животных
Продуктивность
КРС
2,9 ц
Свиньи
2,2 ц
Овцы
0,49 ц
Коровы
33,2 ц
Птица
221 шт.
8. Цены реализации сельскохозяйственной продукции в 2000 г.
Наименование продукции
Цена реализации
Картофель, руб./ц
301,60
Овощи, руб./ц
577,20
Мясо и мясопродукты, руб./ц
1128,63
Молоко и молочные продук315,30
ты, руб./ц
Яйца, руб./шт
0,80
Шерсть, руб./кг
57,20
3. Построение экономико-математической модели
Структурная форма экономико-математической модели
данной задачи выглядит следующим образом.
Необходимо получить максимум дохода от реализации дополнительной продукции
Fmax   cs xs   ch xh
sS
hH
при условиях:
1)
ограниченности общих посевных площадей. В распоряжении
ЛПХ имеется ограниченное количество земли
x
i
iI
2)
K ;
использования определенных размеров площадей под сельскохозяйственные культуры для обеспечения объемов их
производства
xi  Ki
3)
ограниченности возможности содержания определенного общего поголовья сельскохозяйственных животных
x
j J
4)
;
j
M
обеспечения выполнения планов Комплексной программы
развития ЛПХ населения на 1995–2000 годы
xj  M j
5)
;
;
производства конечной продукции не менее заданного объема
а) в растениеводстве
v x
i I
i i
 Vi
;
б) в животноводстве
w x
j
j J
6)
j
 Wj
;
выхода товарной продукции с учетом потребностей населения в этих продуктах и потребности в кормах для животных:
а) продукция растениеводства
v x  V  t
iI
i i
i
r
;
б) продукция животноводства
w x
j J
j
j
 W j  tg
.
Для записи были приняты следующие обозначения:
cs – доход от реализации единицы продукции s-культуры (sS);
S – множество видов товарной продукции сельскохозяйственных
культур;
ch – доход от реализации единицы h-вида продукции животноводства (hH);
H – множество видов продукции животноводства;
xi – возможные посевные площади i-видов культур;
I – количество основных сельскохозяйственных культур;
K – общий ресурс посевных площадей;
Ki – минимальная возможная посевная площадь i-той культуры;
x j – возможное поголовье j-того вида животных;
J – количество основных групп животных;
M – общее поголовье всего скота в ЛПХ;
M j – поголовье j-того вида скота, согласно Комплексной програм-
vi
мы развития ЛПХ;
– урожайность i-той культуры;
Vi – гарантированный сбор i-той культуры;
w j – продуктивность j-того вида животных;
W j – гарантированный объем производства j-того вида продукции
животноводства;
tr – объем товарной продукции r-вида растениеводства;
t g – объем товарной продукции животноводства g-вида.
Развернутая форма экономико-математической модели
задачи:
Система обозначений для неизвестных развернутой формы
экономико-математической модели задачи:
Х1 – возможная посевная площадь картофеля, га;
Х2 – возможная посевная площадь овощей, га;
Х3 – возможная посевная площадь кормовых корнеплодов, га;
Х4 – возможная посевная площадь трав на сено, га;
Х5 – среднегодовое количество коров, голов;
Х6 – среднегодовое количество свиней, голов;
Х7 – среднегодовое количество овец, голов;
Х8 – среднегодовое количество птицы, голов;
Х9 – количество товарного картофеля, ц;
Х10 – количество товарных овощей и корнеплодов, ц;
Х11 – количество товарного мяса, ц;
Х12 – количество товарного молока, ц;
Х13 – количество товарных яиц, штук;
Х14 – количество товарной шерсти, ц.
Система ограничений:
I. Ограничения по посевным площадям культур:
1)
общая посевная площадь, га
2)
Х1+Х2+Х3+Х4 3300
площадь посева картофеля, га
3)
Х1 2573
площадь посева овощей, га
4)
Х2 169,5
площадь посева однолетних и многолетних трав на сено, га
Х4 37
II. Ограничения по поголовью скота:
5)
общее поголовье скота в личных хозяйствах, голов
6)
Х5+Х6+Х7+Х8 48500
поголовье коров, голов
7)
Х5 5400
поголовье свиней, голов
8)
поголовье овец, голов
Х6 8000
Х7 2100
III. Ограничения на производство продукции:
9)
производство картофеля, ц
10)
152Х1 396000
производство овощей и корнеплодов, ц
11)
194Х2+464Х3 257140
производство мяса, ц
12)
2,9Х5+2,2Х6+0,49Х7 28570
производство молока, ц
13)
33,2Х5 70000
производство яиц, штук
221Х8 8000000
IV. Ограничения по производству товарной продукции:
14) производство товарного картофеля, ц
15)
152Х1–Х9=104640
производство товарных овощей и корнеплодов, ц
16)
194Х2+464Х3–Х10=17102
производство товарного мяса, ц
17)
2,9Х5+2,2Х6+0,49Х7–Х11=1243,38
производство товарного молока, ц
18)
33,2Х5–Х12=4054,5
производство товарных яиц, штук
19)
221Х8–Х13=444013
производство товарной шерсти, ц
1,9Х7–Х14=0
Целевая функция – максимум дохода от реализации дополнительной
продукции, руб.
F=301,6Х9+577,2Х10+1128,63Х11+315,3Х12+0,8Х13+57,2Х14 max
После
записи
развернутой
формы
экономикоматематической за
Матричная форма экономико-математической модели задачи представлена в таблице на листе рабочей книги Excel.
4. Поиск решения
Выбрать в меню команду Сервис – Поиск решения. Появится окно диалога.
В окне диалога «Поиск решения»:
1) установить целевую ячейку $P$7 ;
2) установить флажок «Равной максимальному значению»;
3) задать: «Изменяя ячейки» $B$6 : $O$6
Рис1. Окно диалога Поиск решения
В окне диалога « Поиск решения» в поле Ограничения задать ограничения в задаче
$P$9<=$R$9
$P$10>=$R$10
$P$11>=$R$11
$P$12>=$R$12
$P$14<=$R$14
$P$15<=$R$15
$P$16<=$R$16
$P$17<=$R$17
$P$19>=$R$19
$P$20>=$R$20
$P$21>=$R$21
$P$22>=$R$22
$P$23>=$R$23
$P$25=$R$25
$P$26=$R$26
$P$27=$R$27
$P$28=$R$28
$P$29=$R$29
$P$30=$R$30
$P$10>=$R$10
$P$10>=$R$10
Для ввода каждого ограничения нажимать кнопку Добавить. В появляющемся окне набирать соответствующее ограничение. После ввода последнего ограничения нажать кнопку ОК.
Рис2. Диалог Добавление ограничения
В окне диалога «Поиск решения» нажать кнопку Параметры. Получим окно диалога «Параметры поиска решения». Установить флажок «Линейная модель» и флажок «Неотрицательные значения».
Рис3. Окно диалога Параметры поиска решения
Нажать кнопку ОК.
В окне диалога «Поиск решения» нажать кнопку Выполнить.
На экране получим окно «Результаты поиска решения».
Выберем в окне функцию «Сохранить найденное решение».
Отметить в поле Тип отчета виды отчетов
Результаты
Пределы
Устойчивость.
Нажать кнопку ОК.
Отчеты будут содержать следующую информацию:
Отчет по результатам
Состоит из трех таблиц:
1) Сведения о Целевой функции;
2) Значения переменных;
3) Результаты оптимального решения для ограничений.
Отчет по устойчивости.
Состоит из двух таблиц:
1) Результат решения задачи для переменных;
2) Результат решения задачи для ограничений.
Отчет по пределам.
Показывает в каких пределах могут изменяться переменные
при сохранении оптимального решения.
Вывод результатов решения (матрицы задачи - лист рабочей
книги, отчетов) осуществляется обычным образом с использованием
средств Excel.
Например: для вывода матрицы задачи необходимо щелкнуть на вкладе рабочего листа 1, выбрать функцию Файл в меню,
затем команду Печать. В окне диалога установить необходимые
параметры печати. Нажать OK.
5.
Анализ полученного решения.
Расчеты показали, что на примере Кромского района Орловской области дальнейшее развитие ЛПХ приведет к значительному росту благосостояния населения.
Показатели сельскохозяйственного производства в ЛПХ
Кромского района
Показатели по
Наименование покаПоказатели
В%к
оптимальному
зателя
2000 года
2000 году
плану
Производство
картофеля, ц
овощей и кормовых
корнеплодов, ц
мясо и мясопродукты, ц
молока, ц
шерсти, ц
яиц, шт
КРС, гол.
свиней, гол.
овец, гол.
птицы, гол.
3960000
3960000
100
257140
259425
100,9
28570
30842
108
179280
0
8000000
256
0
100
5400
6901
0
36199
215
101
0
191
70000
10
8000000
Поголовье
2510
6847
1072
19000
В связи с тем, что в 2000 г. урожайность картофеля, овощей
и кормовых корнеплодов значительно возросла по сравнению с
предыдущими тремя годами, показатели производства сельскохозяйственной продукции в 2000 г. максимально приближены к показателям по оптимальному плану.
Анализируя данные оптимального плана, есть возможность
и ресурсы для увеличения производства молока на 156%, мяса и
мясопродуктов на 8%, расширения стада: КРС – на 115%, птицы –
на 91%. Исходя из расчетов, нерентабельным является содержание
овец.
Увеличение валового производства продукции дает возможность расширить производственную базу и автоматически приводит к увеличению объемов товарной продукции.
Показатели производства товарной продукции в ЛПХ Кромского
хозяйства (тыс. руб.)
Показатель по
В%к
Наименование тоПоказатель
оптимальному
2000 говарной продукции
2000 года
плану
ду
Картофель
87874,2
87874,2
100
Овощи
138549,9
139868,8
101
Мясо и мясопро30841,6
33405,9
108,3
дукты
Молоко
20792,6
55248,6
265,7
Яйца
6044,8
6044,8
100
Шерсть
0,6
0
0
Работники ЛПХ получат возможность увеличить поставки
на рынок молока и молочной продукции на 165,7%, мяса и мясных
продуктов – на 8,3% В целом по Кромскому району Орловской области при таком планировании ведения ЛПХ возможно получение
дополнительного дохода в размере 38338,6 тысяч рублей.
Модель может использоваться для оптимизации производства сельскохозяйственной продукции в личных хозяйствах любого
района области.
Данные, полученные в экономико-математической модели,
свидетельствуют о том, что ресурсы, имеющиеся в ЛПХ Кромского
района, позволяют выполнение намеченных программ полностью.
По оптимальному плану поголовье КРС может составить 5,4 тыс.
голов, поголовье свиней – 6,9 тыс. голов, птицы – 36,2 тыс. голов.
Контрольное задание, намеченное Комплексной программой 1995–
2000 гг. превысило реальные возможности ЛПХ и составило: по поголовью КРС на 3,6%, по поголовью свиней – 40%. Скорректированная вторая программа по своим показателям максимально приближается к рассчитанному нами оптимальному плану.
По данным Комитета государственной статистики Орловской области в Кромском районе в 2000 гг. поголовье крупного рогатого скота составило 65,8% по сравнению с 1991 г. и 73,5% с 1995
г. и 46,3% от рассчитанного в оптимальном плане. Для поголовья
свиней эти данные соответственно 138% и 115% и 100%; для поголовья овец и коз – 73,3% и 57,9% и 0%.. В 2000 гг. поголовье КРС
составило 2,5 тыс. голов, поголовье свиней – 6,69тыс. голов и поголовье овец – 1,1 тыс. голов.
Анализ оптимального решения экономико-математической
задачи позволяет сделать следующие выводы:
– перспективным направлением развития района является
производство картофеля, мяса и мясо продуктов, молока, яиц, овощей, нерентабельным является содержание овец и производство
шерсти;
– экономико-математическая модель позволяет судить о
том, что ресурсы района используются не полностью: поголовье
КРС может составить 5,4 тыс. голов, свиней – 6,9 тыс. голов, птицы
– 36,2 тыс. голов. Работники ЛПХ могут увеличить поставки на рынок и молочных продуктов на 165,7%, мяса и мясных продуктов на
8,3%. Дополнительный доход составит 38338,6 тыс. руб.;
– контрольное задание, намеченное Комплексной программой 1995–2000 гг. превысило реальные возможности ЛПХ: по поголовью КРС на 3,6%, по поголовью свиней – 40%, скорректированная
программа 2000–2005 гг. по своим показателям максимально приближается к рассчитанному оптимальному плану.
Список литературы
1. Практикум по математическому моделированию экономических
процессов в сельском хозяйстве./ Под ред. А.Ф. Карпенко - М.:
Агропромиздат, 1985.
2. Тунеев М. М., Сухоруков В. Ф. Экономико-математические методы в организации и планировании сельскохозяйственного производства: - М.: Финансы и статистика, 1986.
3. Акулич И. Л. Математическое программирование в примерах и
задачах. - М.: Высшая школа, 1986.
4. Скобара В.В., Скобара А.В. возможности Excel 7.0 для аудитора
и бухгалтера. – 1998.