ОПД.Ф.2 Матем. методы и модели исследования

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ
федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Мурманский государственный гуманитарный университет»
(ФГБОУ ВПО «МГГУ»)
УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС
ДИСЦИПЛИНЫ
ОПД.Ф.02
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ И МОДЕЛИ ИССЛЕДОВАНИЯ ОПЕРАЦИЙ
Основная образовательная программа подготовки специалиста по специальности
080116 «Математические методы в экономике»
Утверждено на заседании кафедры
математики и математических методов
в экономике факультета
физико-математического образования,
информатики и программирования
(протокол № 6 от 27 февраля 2013 г.)
Зав. кафедрой _______________О.М. Мартынов
Раздел I
Программа учебной дисциплины
1.1. Автор программы
старший преподаватель кафедры Кумаров В. Г.
1.2. Рецензенты
доктор ф.-м. наук, профессор кафедры АГ и ПМ Маренич Е. Е.
доцент кафедры АГ и ПМ Маренич А. С.
1.3. Пояснительная записка
Приведенная программа составлена на основе государственного образовательного стандарта, утвержденного 14.04.2000.
Целями изучения дисциплины являются: обеспечение требований
стандарта; формирование профессиональных навыков по изучению, анализу
и оптимизации экономических процессов и систем, сводящихся к задачам исследования операций.
Основными задачами изучения данной дисциплины являются: формирование целостной системы знаний о задачах, моделях и методах исследования операций; развитие способности творчески подходить к решению профессиональных задач.
В результате изучения курса студенты
должны знать: графический и симплекс-метод решения задач линейного, параметрического и нелинейного программирования; метод множителей Лагранжа и градиентные методы решения задач нелинейного программирования; метод потенциалов решения транспортных задач линейного
программирования; метод Гомори и метод ветвей и границ решения задач
целочисленного линейного программирования; метод динамического программирования; основы вывода формул для расчета характеристик систем
массового обслуживания и задач управления запасами.
должны уметь: строить математические модели задач исследования
операций, приводить их к нужному виду, определять к какому разделу исследования операций они относятся, выбирать и реализовывать наиболее рациональный метод решения; использовать пакеты прикладных программ для
решения задач исследования операций с помощью компьютера.
1.4. Выписка из ГОС ВПО по содержанию дисциплины
Экономические приложения (примеры типовых задач). Теория линейного программирования. Теория двойственности и экономические приложения. Численные методы решения задач линейного программирования. Задачи
целочисленного программирования, их экономические приложения и методы
решения, общая теория математического программирования. Теория множителей Лагранжа, теорема Куна-Таккера. Задачи управления запасами, сетевые
2
модели, системы массового обслуживания. Метод динамического программирования.
1.5. Объем дисциплины и виды учебной работы:
Виды учебной работы в часах
Курс
Семестр
2
3
3
ВСЕГО
3
5
6
Трудоемкость
88
79
128
295
Всего
аудит.
ЛК
ПР/
СМ
ЛБ
Сам.
Работа
60
40
60
160
30
20
30
80
30
20
30
80
–
–
–
–
28
39
68
135
Вид итогового
контроля (форма
отчетности)
экзамен
зачет
экзамен
1.6. Содержание дисциплины
1.6.1. Разделы дисциплины и виды занятий (в часах). Примерное распределение учебного времени
№
п/п
Количество часов
Наименование раздела, темы
Линейное программирование
Теория двойственности в анализе оптимальных
2
решений задач линейного программирования
3
Целочисленное линейное программирование
4
Параметрическое линейное программирование
5
Дробно-линейное программирование
6
Нелинейное программирование
7
Динамическое программирование
8
Сетевое планирование
9
Системы массового обслуживания
10 Задачи управления запасами
11 Решение задач с помощью компьютера
Контрольные суммы
1
Всего
аудит.
52
ЛК
ПР
26
26
Сам.
раб.
20
8
4
4
8
8
12
8
14
10
8
12
12
18
160
4
6
4
8
6
4
8
6
4
80
4
6
4
6
4
4
4
4
14
80
6
12
6
15
15
12
9
12
20
135
1.6.2. Содержание разделов дисциплины
Линейное программирование. Следствия систем линейных неравенств. Теорема Минковского. Критерий несовместности систем линейных
неравенств. Неотрицательные решения систем линейных уравнений и систем
линейных неравенств. Классификация задач линейного программирования.
Взаимная двойственность задач С и С*, К и К*. Допустимые и оптимальные
решения задач линейного программирования. Критерий оптимальности векторов. Теорема двойственности. Теорема равновесия для стандартных и канонических задач линейного программирования.
Векторно-параметрическое уравнение отрезка. Теоремы о выпуклых
множествах. Геометрическая интерпретация задач линейного программирования и графический метод решения.
3
Решение задач линейного программирования методом исключения неизвестных.
Симплекс-метод решения задач линейного программирования.
Транспортная задача линейного программирования на минимум. Основные теоремы. Методы построения опорного решения транспортной задачи на минимум. Метод потенциалов решения транспортной задачи линейного
программирования на минимум и его обоснование. Решение транспортных
задач на минимум с ограничениями пропускной способности. Критерий оптимальности решения транспортной задачи на максимум. Задачи транспортного типа.
Теория двойственности в анализе оптимальных решений задач линейного программирования. Свойства взаимно двойственных задач линейного программирования. Экономическая интерпретация взаимно двойственных задач на примере задачи об использовании ресурсов и задачи о
диете. Оценка устойчивости параметров относительно двойственных оценок.
Интервалы устойчивости.
Целочисленное линейное программирование. Графический метод
решения задач целочисленного линейного программирования. Решение задач
целочисленного линейного программирования методом отсечений Гомори и
методом ветвей и границ.
Параметрическое линейное программирование. Алгоритм решения
задач параметрического линейного программирования в общем виде. Графический метод решения задач параметрического линейного программирования
в случае, когда от параметра зависят лишь коэффициенты целевой функции.
Симплекс-метод решения задач параметрического линейного программирования. Решение транспортных задач параметрического линейного программирования на минимум и на максимум.
Дробно-линейное программирование. Графический метод решения
задач дробно-линейного программирования (в частности, когда целевая
функция не является однородной). Решение задач дробно-линейного программирования симплекс-методом.
Нелинейное программирование. Задача нелинейного программирования и некоторые методы ее решения. Свойства выпуклых и вогнутых
функций. Задача выпуклого программирования. Теорема Куна-Таккера. Метод множителей Лагранжа. Задачи квадратичного программирования и их
решение симплекс-методом. Градиентные методы решения задач нелинейного программирования.
Динамическое программирование. Задача динамического программирования в общем виде. Принцип оптимальности Беллмана. Алгоритм решения задач динамического программирования. Рекуррентные соотношения
для решения задач динамического программирования с аддитивным показателем эффективности.
Примеры задач динамического программирования: задача об использовании ресурсов; задача «о рюкзаке»; классическая, мультипликативная и минимаксная задачи о назначениях; задача о замене оборудования; задача поис4
ке маршрута максимального или минимального веса в ориентированной сети;
задача об управлении запасами; задача оптимального упорядочивания (двумерная задача теории расписания).
Сетевое планирование. Постановка задачи сетевого планирования.
Основные понятия. Характеристики сетевой модели и методы их расчета.
Оптимизация сетевых моделей.
Системы массового обслуживания. Задачи теории массового обслуживания. Классификация систем массового обслуживания. Уравнения Колмогорова вероятностей состояний. Финальные вероятности состояний. Схема
гибели и размножения. Формула Литтла. Расчет характеристик одноканальных и многоканальных систем массового обслуживания с отказами, с ограниченной и неограниченной очередью.
Задачи управления запасами. Постановка задачи управления запасами в общем виде. Классификация задач управления запасами.
Решение однопродуктовой детерминированной задачи управления запасами. Чувствительность решения к исходным данным. Решение задачи
управления запасами с учетом убытков из-за неудовлетворенного спроса.
Решение задачи управления запасами с учетом темпа пополнения запасов.
Решение задачи управления запасами со случайным спросом.
Решение задач с помощью компьютера. Решение задач исследования операций в электронных таблицах Microsoft Excel. Написание программ
на языке С++ для решения некоторых видов задач исследования операций.
1.6.3. Темы для самостоятельного изучения.
№
п/п
Наименование раздела дисциплины, темы
Форма самостоятельной работы
1
Линейное программирование
Решение задач
2
3
4
5
6
7
8
Теория двойственности в анализе оптимальных решений
задач линейного программирования
Целочисленное линейное программирование
Параметрическое линейное
программирование
Дробно-линейное программирование
Нелинейное программирование
Динамическое программирование
Сетевое планирование
Решение задач
Решение задач
Решение задач
Решение задач
Решение задач
Решение задач
Решение задач /
Вопросы для самостоятельного
изучения
Форма контроля
выполнения саКоличество
мостоятельной
часов
работы
Непосредственная
20
проверка
Самопроверка по
образцу
Самопроверка по
образцу
Непосредственная
проверка
Самопроверка по
образцу
Самопроверка по
образцу
Непосредственная
проверка
Непосредственная
проверка решения
задач / Коллоквиум
8
6
12
6
15
15
12
5
9
Системы массового обслуживания
Решение задач
10
Задачи управления запасами
Решение задач
11
Решение задач с помощью
компьютера
Решение задач,
написание программ
Самопроверка по
образцу
Самопроверка по
образцу
Непосредственная
проверка
9
12
20
1.7. Методические рекомендации по организации изучения дисциплины.
1.7.1. Тематика и планы практических занятий по изученному материалу
Практические занятия по теме «Линейное программирование» (20 ч)
Составление математических моделей задач линейного программирования (4 ч). Рассматриваются следующие задачи: об использовании сырья, об
использовании оборудования, общая задача об использовании ресурсов, задача о диете, задача о раскройке материалов, задача о закреплении транспорта за авиалиниями, задача о посеве культур, о распределении работ между
исполнителями. Задачи даются не в общем виде, а с конкретными числовыми
данными, что способствует большему пониманию условия задач, позволяет
упростить процесс их обсуждения. С целью развития способностей самостоятельно составлять математические модели от студентов требуется четко
придерживаться следующих этапов:
анализ условия задачи (он может сопровождаться схемами, рисунками,
таблицами);
выделения параметров, которые требуется найти и введение соответствующих переменных;
выявление условий, которые носят характер ограничений и составление соответствующих линейных ограничений;
выявление условия, которое носит критериальный характер и запись
целевой функции;
математическая формулировка задачи.
В качестве домашнего задания каждому студенту требуется составить
математическую модель своей (по номеру из задачника) задачи линейного
программирования; сформулировать ее в общем виде и привести соответствующую математическую модель.
Графический способ решения задач линейного программирования (4 ч).
Здесь рассматриваются три типа задач линейного программирования, которые можно решить графическим способом:
задачи с двумя переменными (здесь рассматриваются все типы, которые могут встретиться: когда несовместна система ограничений и, следовательно, задача не имеет решения ни на минимум, ни на максимум; множество
допустимых решений ограничено, т.е. существуют и минимум и максимум
целевой функции, когда множество допустимых решений неограниченно в
6
направлении убывания или возрастания целевой функции, т.е. либо существует только один из экстремумов, либо не существует ни один из них);
задачи с произвольным числом переменных и двумя ограничениями
(решаются путем составления двойственной задачи, которая будет содержать
две переменные, и применения теоремы равновесия);
задачи с произвольным числом переменных и ограничений, но для которых выполняется следующее условие: общее число переменных – ранг основной матрицы подсистемы, составленной из ограничений типа уравнений,
 2 (в этом случае задача сводится к задаче с двумя переменными методом
исключения неизвестных).
В качестве домашнего задания требуется решить графическим способом по одной задаче каждого типа.
Решение задач линейного программирования методом исключения неизвестных (2 ч). Главное, что должны усвоить студенты это преимущество и
недостатки данного метода. Преимущества: данным методом можно решить
любую задачу линейного программирования; для данного метода все равно,
какой вид экстремума ищется – минимум или максимум – он позволяет одновременно решить обе задачи. Недостаток один – громоздкость при большой размерности задачи.
Домашнее задание: решить методом исключения неизвестных задачу
линейного программирования с двумя переменными на минимум и нм максимум.
Симплекс-метод решения задач линейного программирования
(4 ч). Первой решается задача, которую можно решить графическим методом, чтобы можно было иллюстрировать процесс ее решения симплексметодом. Далее решаются задачи на минимум и на максимум, которые нельзя
решить графическим методом. Среди них рассматриваются задачи, одна из
которых не имеет решений ввиду несовместности системы ограничений, другая – ввиду неограниченности множества допустимых решений в направлении искомого экстремума.
Домашнее задание: решить симплекс-методом задачу линейного программирования с конкретным экономическим содержанием и найти оптимальное решение двойственной к ней задачи.
Транспортная задача линейного программирования (6 ч). Решение
транспортных сбалансированных и несбалансированных задач линейного
программирования на минимум и на максимум; транспортных задач с ограничениями пропускной способности; задач транспортного типа (распределительные и классическая задача о назначениях). При построении опорного
решения первых трех задач используются различные методы построения
опорного решения. Далее метод построения опорного решения предлагается
выбирать студентами самостоятельно (рекомендуется использовать метод
аппроксимаций Фогеля).
Домашнее задание: решить три задачи – несбалансированную транспортную задачу на минимум с ограничениями пропускной способности че7
тырех типов (  0 ,  a ;  b ;  c ); несбалансированную задачу транспортного
типа на максимум; задачу управления запасами транспортного типа.
Вопросы для коллективного обсуждения – соответствующие вопросы
из примерных зачетных тестовых заданий (см. пункт 1.10).
Литература
Кузнецов А. В. и др. Руководство к решению задач по математическому программированию. – Минск: Высшэйшая школа, 2001
Вентцель Е. С. Исследование операций: Учеб. пособие для вузов. - М.: Дрофа, 2004
Афанасьев, М. Ю. Прикладные задачи исследования операций: учеб. пособие
для студ. вузов, обуч. по направл. 080100 «Экономика»/М. Ю. Афанасьев, К.
А. Багринский, В. М. Матюшок; Рос. ун-т дружбы народов.- М. : ИНФРА-М,
2006. гриф.
Шапкин, А. С. Математические методы и модели исследования операций:
учебник для вузов/ А. С. Шапкин, Н. П. Мазаева.- М.: Дашков и К, 2005.гриф.
Сборник задач по высшей математике для экономистов. – М.: ИНФРА-М,
2002.
Практические занятия по теме «Теория двойственности в анализе оптимальных решений задач линейного программирования» (8 ч)
Сначала рассматривается задача об использовании ресурсов (4 ч).
Находится оптимальное решение данной и двойственной к ней задачи. Производится анализ решения на основе свойств взаимно двойственных задач,
оценка устойчивости параметров относительно двойственных оценок.
Аналогичным образом рассматривается задача об использовании сырья (4 ч).
Домашнее задание: найти решение задачи линейного программирования (для одной половины студентов это задача об использовании ресурсов,
для другой – задача о диете) и произвести его анализ на основе двойственных
оценок.
Вопросы для коллективного обсуждения – соответствующие вопросы
из примерных зачетных тестовых заданий (см. пункт 1.10).
Литература
1. Акулич И. Л. Математическое программирование в примерах и задачах. – М.: Высшая школа, 1987.
2. Банди Б. Основы линейного программирования: Пер. с англ. – М.:
Радио и связь, 1989.
3. Кузнецов А. В. и др. Руководство к решению задач по математическому программированию. – Минск: Высшэйшая школа, 2001
Практические занятия по теме «Целочисленное линейное программирование» (6 ч)
Решение задач целочисленного линейного программирования графическим методом (1 ч), симплекс-методом с использованием метода отсечений
8
Гомори (3 ч) и методом ветвей и границ (2 ч). Там где это возможно, процесс
решения задачи методом отсечений Гомори иллюстрируется на чертеже.
Домашнее задание: решить методом отсечений Гомори задачу целочисленного линейного программирования с двумя переменными (или, сводящуюся к задаче с двумя переменными) и проиллюстрировать процесс решения задачи на чертеже.
Вопросы для коллективного обсуждения – соответствующие вопросы
из примерных зачетных тестовых заданий (см. пункт 1.10).
Литература
1. Акулич И. Л. Математическое программирование в примерах и задачах. – М.: Высшая школа, 1987.
2. Калихман И. Л. Сборник задач по линейной алгебре и программированию. – Минск: Высшэйшая школа, 1969.
3. Кузнецов А. В. и др. Руководство к решению задач по математическому программированию. – Минск: Высшэйшая школа, 2001
4. Полунин И.Ф. Курс математического программирования. – Минск:
«Высшэйшая школа», 1969
Практические занятия по теме «Параметрическое линейное программирование» (12 ч)
Решение задач параметрического линейного программирования, в которых от параметра зависят лишь коэффициенты целевой функции, графическим методом (4 ч). Симплекс-метод решения задач параметрического линейного программирования двух типов: когда от параметра зависят лишь
свободные члены системы ограничений и когда от параметра зависят лишь
коэффициенты целевой функции (4 ч). Решение транспортных задач параметрического линейного программирования на минимум и на максимум в
случае, когда от параметра зависят лишь коэффициенты целевой функции
(4 ч).
Домашнее задание: решить задачу параметрического линейного программирования с двумя переменными (или, сводящуюся к задаче с двумя переменными) графически и симплекс-методом; решить транспортную задачу
параметрического линейного программирования.
Вопросы для коллективного обсуждения – соответствующие вопросы
из примерных зачетных тестовых заданий (см. пункт 1.10).
Литература
1. Акулич И. Л. Математическое программирование в примерах и задачах. – М.: Высшая школа, 1987.
2. Калихман И. Л. Сборник задач по линейной алгебре и программированию. – Минск: Высшэйшая школа, 1969.
3. Кузнецов А. В. и др. Руководство к решению задач по математическому программированию. – Минск: Высшэйшая школа, 2001.
4. Полунин И.Ф. Курс математического программирования. – Минск:
«Высшэйшая школа», 1969.
9
Практические занятия по теме «Дробно-линейное программирование»
(6 ч)
Решение задач дробно-линейного программирования графически (2 ч)
и симплекс-методом (4 ч). Рассматриваются задачи дробно-линейного различного содержания: на себестоимость, производительность, рентабельность.
Домашнее задание: решить задачу дробно-линейного программирования с двумя переменными (или, сводящуюся к задаче с двумя переменными)
графически и симплекс-методом.
Вопросы для коллективного обсуждения – соответствующие вопросы
из примерных зачетных тестовых заданий (см. пункт 1.10).
Литература
1. Акулич И. Л. Математическое программирование в примерах и задачах. – М.: Высшая школа, 1987.
2. Калихман И. Л. Сборник задач по линейной алгебре и программированию. – Минск: Высшэйшая школа, 1969.
3. Кузнецов А. В. и др. Руководство к решению задач по математическому программированию. – Минск: Высшэйшая школа, 2001
4. Полунин И.Ф. Курс математического программирования. – Минск:
«Высшэйшая школа», 1969
Практические занятия по теме «Нелинейное программирование» (15 ч)
Решение задач нелинейного программирования графическим методом
(3 ч). Решение задач выпуклого программирования методом множителей Лагранжа. Решение задач квадратичного программирования симплекс-методом
(4 ч). Решение задач нелинейного программирования градиентными методами (8 ч).
Домашнее задание: решить задачу нелинейного программирования с
двумя переменными (или, сводящуюся к задаче с двумя переменными)
Вопросы для коллективного обсуждения – соответствующие вопросы
из примерных зачетных тестовых заданий (см. пункт 1.10).
Литература
1. Акулич И. Л. Математическое программирование в примерах и задачах. – М.: Высшая школа, 1987.
2. Кузнецов А. В. и др. Руководство к решению задач по математическому программированию. – Минск: Высшэйшая школа, 2001.
3. Полунин И.Ф. Курс математического программирования. – Минск:
«Высшэйшая школа», 1969.
Практические занятия по теме «Динамическое программирование»
(15 ч)
Составление рекуррентных соотношений для решения задач исследования операций методом динамического программирования (5 ч). Решение
этих задач динамического программирования с конкретными числовыми
данными (10 ч).
10
Домашнее задание: решить задачу динамического программирования с
конкретными числовыми данными. Группа делится на количество подгрупп,
соответствующих количеству типов задач, рассмотренных в лекциях и на
практических занятиях. Каждой подгруппе достается своя задача одного из
этих типов.
Вопросы для коллективного обсуждения – соответствующие вопросы
из примерных зачетных тестовых заданий (см. пункт 1.10).
Литература
1. Арис Р. Дискретное динамическое программирование. – М.: Наука,
1981.
2. Беллман Р. Динамическое программирование и современная теория
управления. М.: Наука, 1969.
3. Вентцель Е. С. Исследование операций: задачи, принципы, методология. – М.: Наука, 1988.
4. Габасов Р. Ф., Кириллова Ф. М. Основы динамического программирования. – Минск: Изд-во БГУ, 1975.
5. Калихман И. Л., Войтенко М. А. Динамическое программирование в
примерах и задачах. М.: Высшая школа, 1979.
Практические занятия по теме «Сетевое планирование» (12 ч)
Построение сетевых моделей проектов. Расчет их характеристик.
Домашнее задание: построение сетевой модели конкретного комплекса
взаимосвязанных работ и рассчитать ее характеристики; самостоятельно изучить вопрос об оптимизации сетевых моделей.
Вопросы для коллективного обсуждения – соответствующие вопросы
из примерных зачетных тестовых заданий (см. пункт 1.10).
Литература
1. Афанасьев М. Ю, Багриновский К. А., Матюшок В. М. Прикладные
задачи исследования операций: Учеб. пособие. – М.: ИНФРА-М, 2006.
2. Кузнецов А. В., Холод Н. И. Математическое программирование. –
Минск: «Высшэйшая школа», 2001.
3. Кремер Н. Ш., Тришин И. М., Фридман М. Н. Исследование операций в экономике: Учеб. пособие для вузов.– М.: Банки и биржи, ЮНИТИ,
1997.
Практические занятия по теме «Системы массового обслуживания» (9 ч)
Составление графов состояний физических систем, уравнений Колмогорова вероятностей состояний. Составлений уравнений для поиска финальных вероятностей состояний. Вычисление финальных вероятностей состояний и интенсивностей потоков событий. Расчет характеристик
одноканальных и многоканальных систем массового обслуживания с отказами, с ограниченной и неограниченной очередью.
Домашнее задание: расчет характеристик системы массового обслуживания одного из типов.
11
Вопросы для коллективного обсуждения – соответствующие вопросы
из примерных зачетных тестовых заданий (см. пункт 1.10).
Литература
1. Бочаров П. П., Печинкин А. В Теория массового обслуживания. –
М.: Изд-во РУДН, 1995.
2. Ивченко Г. И., Каштанов В. А., Коваленко И. Н. Теория массового
обслуживания. – М.: Высшая школа, 1982.
3. Клейнрок Л. Теория массового обслуживания. – М.: Машиностроение, 1979.
4. Кремер Н. Ш., Тришин И. М., Фридман М. Н. Исследование операций в экономике: Учеб. пособие для вузов.– М.: Банки и биржи, ЮНИТИ,
1997.
5. Красс М. С., Чупрынов Б. М. Математические методы и модели для
магистрантов экономики: Учебное пособие. – СПб.: Питер, 2006.
Практические занятия по теме «Задачи управления запасами» (12 ч)
Решение следующих задач управления запасами: однопродуктовой детерминированной задачи управления запасами, задачи управления запасами с
учетом убытков из-за неудовлетворенного спроса, решение задачи управления запасами с учетом темпа пополнения запасов, задачи управления запасами со случайным спросом. Оценка чувствительности решения по отношению
к исходным данным.
Домашнее задание: решение задачи управления запасами одного из типов.
Вопросы для коллективного обсуждения – соответствующие вопросы
из примерных зачетных тестовых заданий (см. пункт 1.10).
Литература
1. Афанасьев М. Ю, Багриновский К. А., Матюшок В. М. Прикладные
задачи исследования операций: Учеб. пособие. – М.: ИНФРА-М, 2006.
2. Рыжиков Ю. И. Теория очередей и управление запасами. – СПб: Питер, 2001.
3. Черчмен У., Акоф Р., Арноф Л. Введение в исследование операций /
Перевод с английского. – М.: Наука, 1967.
4. Кремер Н. Ш., Тришин И. М., Фридман М. Н. Исследование операций в экономике: Учеб. пособие для вузов.– М.: Банки и биржи, ЮНИТИ,
1997.
5. Новиков О. А., Петухов С. И. Прикладные вопросы теории массового обслуживания. – М.: Советское радио, 1969.
Практические занятия по теме «Решение задач с помощью компьютера»
(20 ч)
Решение задач исследования операций в электронных таблицах Microsoft Excel; подробный анализ полученного решения с использованием
двойственных оценок.
12
Написание программ на языке С++ реализующих алгоритм: симплексметода решения задач линейного программирования; метода потенциалов
решения сбалансированных транспортных задач линейного программирования без ограничений на пропускную способность. А также написание одной
из следующих программ в группе (студенты разбиваются на 9 групп):
а) программа, реализующая алгоритм метода динамического программирования решения задачи о распределении ресурсов;
б) программа, реализующая алгоритм метода динамического программирования решения задачи о рюкзаке;
в) программа, реализующая алгоритм метода динамического программирования решения классической задачи о назначениях;
г) программа, реализующая алгоритм метода динамического программирования решения мультипликативной задачи о назначениях;
д) программа, реализующая алгоритм метода динамического программирования решения минимаксной задачи о назначениях;
е) программа расчета характеристик сетевых моделей;
ж) программа расчета характеристик систем массового обслуживания
рассмотренных типов;
з) программа для решения задач управления запасами рассмотренных
типов;
и) программа для решения задачи поиска оптимальной последовательности обработки деталей на двух станках.
Литература
1. Долженков В. А., Коретников Ю. В. Microsoft Excel 2002. – CПб.:
БХВ-Петербург, 2002.
2. Орлова И. В. Экономико-математическое моделирование: практическое пособие по решению задач. – М.: Вузовский учебник, 2007.
3. Сдвижков О. А. Математика в Excel 2002. – М.: СОЛОН-Пресс,
2004.
4. Шилд Г. С++: базовый курс / Пер. с англ. – М.: Издательский дом
«Вильямс», 2005.
1.8. Учебно-методическое обеспечение дисциплины
1.8.1. Рекомендуемая литература
Основная литература
1. Акулич И. Л. Математическое программирование в примерах и задачах. – М.: Высшая школа, 1987.
2. Арис Р. Дискретное динамическое программирование. – М.: Наука,
1981.
3. Афанасьев М. Ю, Багриновский К. А., Матюшок В. М. Прикладные
задачи исследования операций: Учеб. пособие. – М.: ИНФРА-М, 2006.
4. Банди Б. Основы линейного программирования: Пер. с англ. – М.:
Радио и связь, 1989.
13
5. Беллман Р. Динамическое программирование и современная теория
управления. М.: Наука, 1969.
6. Бочаров П. П., Печинкин А. В Теория массового обслуживания. –
М.: Изд-во РУДН, 1995.
7. Вентцель Е. С. Исследование операций: задачи, принципы, методология. – М.: Наука, 1988.
8. Габасов Р. Ф., Кириллова Ф. М. Основы динамического программирования. – Минск: Изд-во БГУ, 1975.
9. Долженков В. А., Коретников Ю. В. Microsoft Excel 2002. – CПб.:
БХВ-Петербург, 2002.
10. Ивченко Г. И., Каштанов В. А., Коваленко И. Н. Теория массового
обслуживания. – М.: Высшая школа, 1982.
11. Калихман И. Л. Сборник задач по линейной алгебре и программированию. – Минск: Высшэйшая школа, 1969.
12. Клейнрок Л. Теория массового обслуживания. – М.: Машиностроение, 1979.
13. Красс М. С., Чупрынов Б. М. Математические методы и модели для
магистрантов экономики: Учебное пособие. – СПб.: Питер, 2006.
14. Кремер Н. Ш., Тришин И. М., Фридман М. Н. Исследование операций в экономике: Учеб. пособие для вузов.– М.: Банки и биржи, ЮНИТИ,
1997.
15. Кузнецов А. В. и др. Руководство к решению задач по математическому программированию. – Минск: Высшэйшая школа, 2001
16. Кузнецов А. В., Холод Н. И. Математическое программирование. –
Минск: «Высшэйшая школа», 2001.
17. Куликов Л. Я. Алгебра и теория чисел. – М.: Высшая школа, 1979.
18. Нестеров Е. П. Транспортная задача линейного программирования.
М.: Транспорт, 1971.
19. Новиков О. А., Петухов С. И. Прикладные вопросы теории массового обслуживания. – М.: Советское радио, 1969.
20. Орлова И. В. Экономико-математическое моделирование: практическое пособие по решению задач. – М.: Вузовский учебник, 2007.
21. Полунин И. Ф. Курс математического программирования. – Минск:
«Высшэйшая школа», 1969
22. Рыжиков Ю. И. Теория очередей и управление запасами. – СПб:
Питер, 2001.
23. Сборник задач по высшей математике для экономистов. – М.: ИНФРА-М, 2002.
24. Сдвижков О. А. Математика в Excel 2002. – М.: СОЛОН-Пресс,
2004.
25. Черчмен У., Акоф Р., Арноф Л. Введение в исследование операций / Перевод с английского. – М.: Наука, 1967.
26. Шилд Г. С++: базовый курс / Пер. с англ. – М.: Издательский дом
«Вильямс», 2005.
Дополнительная литература
14
1. Абчук В. А. Экономико-математические методы. – СПб: Союз, 1999.
2. Анисимов В. В., Закусило О. К., Донченко В. С. Элементы теории
массового обслуживания и асимптотического анализа систем. – К.: Высшая
школа, 1987.
3. Ашманов С. А. Линейное программирование. – М.: 1981.
4. Боровков А. А. Вероятностные процессы в теории массового обслуживания. – М.: Наука, 1972
5. Волков И. К., Загоруйко Е. А. Исследование операций. – М.: МГТУ
им. Баумана, 2002.
6. Гермейер Ю. Б. Введение в теорию исследования операций. – М.:
Наука, 1971.
7. Данциг Дж. Б. Линейное программирование, его применения и
обобщения. – М.: «Прогресс», 1966.
8. Ермолаев Ю. М., Ляшко И. И., Михалевич В. С., Тюптя В. И. Математические методы исследования операций. – М.: Киев, «Вища Школа»,
1979.
9. Матвеев В. Ф., Ушаков В. Г. Системы массового обслуживания. –
М.: Изд-во МГУ, 1984
10. Морозов В. В., Сухарев А. Г., Федоров В. В. Исследование операций в задачах и упражнениях. – М.: 1986.
11. Ху Т. Целочисленное программирование и потоки в сетях. – М.:
Мир, 1974.
12. Шуенкин В. А., Донченко В. С., Константинов С.Н., Шапировский
В.Ю. Математические модели управления запасами. – Киев, 1997.
13. Шуенкин В. А., Донченко В. С. Прикладные модели теории массового обслуживания. – К.: НМК ПО Украины, 1992.
14. Экономико-математические методы и прикладные модели. – М.:
ЮНИТИ, 2001.
1.9. Материально-техническое обеспечение дисциплины
1.9.1. Перечень используемых технических средств
Компьютеры на базе процессора
– Intel Pentium 4 2.8 Гц, 512 МВ ОЗУ;
– Intel Core 2 Duo 1.8 Гц, 1024 МВ ОЗУ.
1.9.2. Перечень используемых пособий
1. Акулич И. Л. Математическое программирование в примерах и задачах. – М.: Высшая школа, 1987.
2. Афанасьев М. Ю, Багриновский К. А., Матюшок В. М. Прикладные
задачи исследования операций. – М.: ИНФРА-М, 2006.
3. Вентцель Е. С. Исследование операций: задачи, принципы, методология. – М.: Наука, 1988.
4. Волков И. К., Загоруйко Е. А. Исследование операций. – М.: МГТУ
им. Баумана, 2002.
15
5. Габасов Р. Ф., Кириллова Ф. М. Основы динамического программирования. – Минск: Изд-во БГУ, 1975.
6. Гермейер Ю. Б. Введение в теорию исследования операций. – М.:
Наука, 1971.
7. Данциг Дж. Б. Линейное программирование, его применения и
обобщения. – М.: «Прогресс», 1966.
8. Долженков В. А., Коретников Ю. В. Microsoft Excel 2002. – CПб.:
БХВ-Петербург, 2002.
9. Калихман И. Л. Сборник задач по линейной алгебре и программированию. – Минск: Высшэйшая школа, 1969.
10. Красс М. С., Чупрынов Б. М. Математические методы и модели для
магистрантов экономики. – СПб.: Питер, 2006.
11. Кремер Н. Ш., Тришин И. М., Фридман М. Н. Исследование операций в экономике.– М.: Банки и биржи, ЮНИТИ, 1997.
12. Кузнецов А. В. и др. Руководство к решению задач по математическому программированию. – Минск: Высшэйшая школа, 2001
13. Морозов В. В., Сухарев А. Г., Федоров В. В. Исследование операций в задачах и упражнениях. – М.: 1986.
14. Орлова И. В. Экономико-математическое моделирование: практическое пособие по решению задач. – М.: Вузовский учебник, 2007.
15. Полунин И. Ф. Курс математического программирования. – Минск:
«Высшэйшая школа», 1969
16. Рыжиков Ю. И. Теория очередей и управление запасами. – СПб:
Питер, 2001.
17. Сборник задач по высшей математике для экономистов. – М.: ИНФРА-М, 2002.
18. Сдвижков О. А. Математика в Excel 2002. – М.: СОЛОН-Пресс,
2004.
19. Шилд Г. С++: базовый курс / Пер. с англ. – М.: Издательский дом
«Вильямс», 2005.
20. Шуенкин В. А., Донченко В. С., Константинов С.Н., Шапировский
В.Ю. Математические модели управления запасами. – Киев, 1997.
21. Экономико-математические методы и прикладные модели. – М.:
ЮНИТИ, 2001.
1.9.3. Перечень видео- и аудиоматериалов, программного обеспечения:
– руководство по выполнению заданий в электронной форме;
– электронные таблицы Microsoft Excel;
– Visual Studio С++ 6.0;
– тест в AST оболочке.
1.10. Примерные зачетные тестовые задания
ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ
16
1. Допустимым решением задачи исследования операций называется
А. решение, доставляющее целевой функции искомое экстремальное значение
B. решение, удовлетворяющее хотя бы одному ограничению
C. решение, удовлетворяющее системе ограничений
D. решение, удовлетворяющее системе ограничений и доставляющее целевой
функции искомое экстремальное значение
2. Вектор x  (1,0, 1) является допустимым решением задачи
A
B
5 x1  x2  9 x3  1

 x1  12 x2  2 x3  10
z  x1  x2  5 x3  min
C
3x1  x2  2 x3  5

3x1  x2  2 x3  18
 x1  2 x2  3x3  6

 x1  x2  x3  3
z  x1  x2  5 x3  min
 x1  10 x2  x3  12

13x1  x2  2 x3  0
z  x1  x2  5 x3  min
D
z  x1  x2  5 x3  min
3. Какой из приведенных векторов является допустимым решением задачи
линейного программирования
5 x1  x2  2 x3  9

 x1  6 x2  x3  5
A. x  (2,1, 1)
z  x1  x2  5 x3  min ?
B. x  (2, 1,1)
C. x  (1,2, 1)
D. x  (1,2,1)
4. Оптимальным решением задачи исследования операций называется
A. решение, доставляющее целевой функции искомое экстремальное значение
B. решение, удовлетворяющее хотя бы одному ограничению
C. решение, удовлетворяющее системе ограничений
D. решение, удовлетворяющее системе ограничений и доставляющее целевой
функции искомое экстремальное значение
5. Двойственной к задаче линейного программирования
17
 5 x1  x2  2 x3  9
 x  6 x  x  5
 1
2
3

 3 x1  x2  x3  4
 x1, x2 , x3  0
z  2 x1  x2  7 x3  max
является задача
A
B
 5 x1  x2  2 x3  9
 x  6 x  x  5
 1
2
3

 3 x1  x2  x3  4
 x1, x2 , x3  0
z  2 x1  x2  7 x3  min
C
 5 y1  y2  3 y3  9
 y  6y  y  5

1
2
3

2 y1  y2  y3  4
 y1, y2 , y3  0
z  2 y1  y2  7 y3  max
D
 5 y1  y2  3 y3  2
 y  6 y  y  1

1
2
3

2 y1  y2  y3  7
 y1, y2 , y3  0
z  9 y1  5 y2  4 y3  max
 5 y1  y2  3 y3  2
 y  6 y  y  1

1
2
3

2 y1  y2  y3  7
 y1, y2 , y3  0
z  9 y1  5 y2  4 y3  min
6. Каким неравенством задается изображенная на рисунке полуплоскость
x2
A. 2 x2  6  x1
4
B. x1  8  2 x2
C. 2 x2  6  x1
1
O 1
8
x1
D. x1  8  2 x2
7. На рисунке изображены множество допустимых решений задачи линейного программирования G и опорная прямая z  0 , где z  2 x1  3x2 . Выберите
верное утверждение
18
x2
A
A.
B.
C.
D.
B
E
D
C
O
max z  z ( D) , min z  z ( E )
min z  z ( D) , max z  z ( B)
min z  z ( D) , max z  z ( E )
max z  z ( D) , min z  z ( B)
x1
z 0
8. Симплекс-таблица содержит оптимальное решение, если она
A. допустима либо по строкам, либо по столбцам
B. допустима по столбцам, но недопустима по строкам
C. допустима по строкам, но недопустима по столбцам
D. допустима по строкам и по столбцам
9. Транспортная задача линейного программирования с вектором запасов
a  (a1, , am ) и вектором запросов b  (b1, , bn ) называется сбалансированной, если
A. a1   am  b1   bn
C. a1   am  b1   bn
B. a1 
 am  b1 
 bn
D. a1 
 am  b1 
 bn
10. Какая из таблиц содержит оптимальное решение транспортной задачи на
минимум?
B
A
3
2
1
 20
5
 10
3
4
5
0
6
10
7
9
12
20 30
‰ ‰ ‰
20 30 30
C
3
2
10
 50
1
0
4
0
17
6
10
9
12
2
20 30
‰ ‰ ‰
20 30 30
 10
9
1
 50
20 30
‰ ‰ ‰
20 30 30
D
 20
4
 10
3
 50
8
10
1
 20
9
 10
2
 50
2
20
20
3
 20
20
20
3
7
5
0
10
7
19
20 30
‰ ‰ ‰
20 30 30
ЦЕЛОЧИСЛЕННОЕ ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ
19
10. На рисунке изображены множество допустимых решений задачи исследования операций G и прямая z  0 , где z   x1  3x2 . На переменную задачи
наложили дополнительное ограничение: x1, x2  Z . Какое утверждение имеет
место для вновь полученной задачи?
x2
B
4
G
3
2
B. min z  z (4;1) ,
max z  z (4,5; 5)
D
C. max z  z (4;1) ,
min z  z (5; 4)
A
1
O
A. min z  z (4;1) ,
max z  z (5; 4,5)
C
5
D. max z  z (4;1) ,
min z  z (2; 4)
E
1
2
3
4
5
6
7 x1
z 0
11. В процессе решения задачи целочисленного линейного программирования симплекс-методом получили следующую таблицу, содержащую решение
задачи с ослабленными ограничениями
x2
x5
x3
1
7/3
7/3
2 / 3 20 / 3   x4
17 / 3 1/ 3 1/ 3
40 / 3   x1
2/3
1/ 3
1/ 3
4 / 3
4
0
1
4
  x6
u
Решено ввести дополнительное ограничение по второй строке. Каким оно
должно быть?
2
2
1
1
2
2
1
1
A.  s   x2  x5  x3 
C.  s  x2  x5  x3 
3
3
3
3
3
3
3
3
2
1
1
1
2
1
1
1
B.  s   x2  x5  x3 
D.  s   x2  x5  x3 
3
3
3
3
3
3
3
3
ПАРАМЕТРИЧЕСКОЕ ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ
12. Целевая функция задачи параметрического линейного программирования
имеет вид zt  (1  2t ) x1  (5  2t ) x2 . В какую сторону будет вращаться прямая zt  0 при увеличении параметра t ?
A. По часовой стрелке
B. Против часовой стрелки
20
С. Сначала по часовой стрелке, затем против часовой стрелки
D. Сначала против часовой стрелки, затем по часовой стрелке
E. Какого-либо определенного направления вращения прямой zt  0 определить нельзя
13. Рассматривается задача параметрического линейного программирования
на минимум с коэффициентами целевой функции z , зависящими от параметра t . Представленная ниже таблица содержит оптимальное решение этой задачи при t  1: минимум z1 достигается в вершине (0; 0; 7; 5; 0;15; 0) . При каких значениях параметра t минимум zt достигается в той же вершине?
x1
x5
x2
x7
1
15
0
7
3
7  x3
А. при t [4/ 7; 5]
B. при t [1; 3]
0
6
3,5
13
5  x4
C. при t  (;  )
0
4
0
1
15  x6
D. при t [4/ 7;1)
4
4
0
11
1  z0
E. ни при каких t
5  t 6  2t t  1 7t  4
t  z
t
14. Представленная ниже таблица содержит оптимальное решение транспортной задачи параметрического линейного программирования на минимум
с зависящими от параметра t коэффициентами целевой функции при t  0 :
5 0 4
минимум z0 достигается в вершине, определяемой матрицей 
.
0
6
1


При каких значениях параметра t минимум zt достигается в той же вершине?
2t  1
7
5
3t  2
4
5t
‰
5
t 4
6
‰
6
9
4t  3
1
‰
5
7
А.
B.
C.
D.
E.
при t [2;  )
при t [5; 7]
при t  (;  2]
при t  (; 0)
ни при каких t
ДРОБНО-ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ
15. Целевой функцией задачи дробно-линейного программирования является
3x  4 x2
функция z  1
. В каком направлении будет вращаться прямая
x1  x2
3 z
x2 
x1 в системе координат x1Ox2 при увеличении z ?
4 z
A. По часовой стрелке
B. Против часовой стрелки
21
С. Сначала по часовой стрелке, затем против часовой стрелки
D. Сначала против часовой стрелки, затем по часовой стрелке
E. Какого-либо определенного направления вращения прямой zt  0 определить нельзя
16. На рисунке изображено множество допустимых решений задачи дробно3x  4 x2
линейного программирования с целевой функцией z  1
. Выберите
x1  x2
верное утверждение
x2
C
A.
B.
C.
D.
D
E
B
A
F
O
max z  z ( B) , min z  z ( F )
min z  z ( A) , max z  z (C )
min z  z ( B) , max z  z ( E )
max z  z ( D) , min z  z ( A)
x1
17. Содержит ли следующая симплекс-таблица оптимальное решение задачи
дробно-линейного программирования на минимум
x1
x4
1
22   x3
4   x2
7
1
1
1
9
3
1
3
27   x5
12  P
0
1
4 Q
A. да
B. нет
C. нельзя определить
НЕЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ
18. На каком рисунке правильно изображено множество решений системы
( x1  3) 2  ( x2  6) 2  16,

 x2  12  (8  x1) 2 ,

3 x1  8 x2  57,
x , x  0
 1 2
22
A
B
x2
x2
O
O
x1
C
x1
D
x2
x2
O
O
x1
x1
19. На рисунке изображено множество допустимых решений задачи нелинейного программирования
 x  y  12
 2
 x  14 x  y  48
 x, y  0

f ( x, y )  3x  y  5  extr
Выберите верное утверждение/
y
А. min f  f (6; 0) , max f  f (9; 3)
В. min f  f (4; 8) , max f  f (9; 3)
С. min f  f (5,5;1,25) ,
max f  f (9; 3)
D. min f  f (4,5; 5) , max f  f (4; 8)
8
3
O
4
6
8
x
23
20. Имеется два типа ресурсов. Цена единицы первого типа ресурсов равна
2 д.е., второго – 3 д.е. Производственная функция имеет вид f ( x, y)  xy ,
где x и y – количество ресурсов первого и второго типа соответственно. Какое количество единиц ресурсов каждого типа может обеспечить максимум
этой производственной функции, если стоимость ресурсов не может превосходить 6 д.е.?
А. x  1 , y  1,5
В. x  1,5 , y  1
C. x  1 , y  1,25
D. x  1,25 , y  1
ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ
21. Постановка задачи динамического программирования об оптимальной
стратегии инвестиционной деятельности выглядит следующим образом:
В распоряжении компании имеется запас средств (ресурсов) K , который должен быть распределен между m предприятиями P1 ,..., Pm . Каждое из
предприятий Pi при вложении в него каких-то средств ui приносит доход
i (ui ) . Все функции i (ui ) заданы. Необходимо таким образом распределить
средства K между предприятиями, чтобы в сумме получить максимальный
доход.
Если обозначить через wi ( S ) условный оптимальный выигрыш на i-ом
шаге, то оптимизацию следует производить на основе рекуррентных соотношений …
A. wm ( S )  S , wi ( S )  max i (ui )  S  ui  для всех i  1,..., m  1.
ui  S
B. wm ( S )  m (m) , wi ( S )  max i (ui )  wi 1( S  ui ) для всех i  1,..., m  1.
ui  S
C. wm ( S )  S , wi ( S )  max i (ui )  ( S  ui ) для всех i  1,..., m  1.
ui  S
D. wm ( S )  m (m) , wi ( S )  max i (ui )  wi 1( S  ui ) для всех i  1,..., m  1.
ui  S
22. Рассматривается задача о рюкзаке:
Имеется некоторый вид транспорта грузоподъемностью Q у.е. и некоторые товары T1,..., Tm с весами q1,...., qm и стоимостями c1,..., cm соответственно. Количество товаров каждого вида не ограничено. Необходимо таким образом загрузить данный вид транспорта, чтобы общая стоимость
оказавшихся в нем товаров оказалась наибольшей.
Если обозначить через wi ( S ) условный оптимальный выигрыш, а через
ui – условное оптимальное управление на i-ом шаге, то оптимизацию следует производить на основе рекуррентных соотношений …
24
A. wm ( S ) 
wi ( S ) 
max
ui N 0 : ui qi  S ,
B. wm ( S ) 
wi ( S ) 
max
max
D. wm ( S ) 
wi ( S ) 
max
max
qmui  ,
ciui  wi 1(S  ui qi ) для всех i  1,..., m  1.
max
max
для всех i  1,..., m  1.
cmui  ,
ui N 0 : ui qm  S ,
ui N 0 : ui qi  S ,
для всех i  1,..., m  1.
qiui  wi 1(S  uici )
ui N 0 : ui qm  S ,
ui N 0 : ui qi  S ,
cmui  ,
ciui  wi 1(S  ui qi )
ui N 0 : ui qm  S ,
ui N 0 : ui qi  S ,
C. wm ( S ) 
wi ( S ) 
max
ui N 0 : ui qm  S ,
qmui  ,
qiui  wi 1(S  uici ) для всех i  1,..., m  1.
23. На каком из графиков верно изображен сетевой график проекта, заданного следующим комплексом взаимосвязанных работ
Работа
A
B
C
D
E
F
G
H
I
Непосредственно
Предшествующая ей ра- — — — A A,B A,B С,E В,F,G C,E
бота
Продолжительность
3
6
4
5
1
9
6
8
5
работы (нед.)
A
B
D
D
A
A
F
F
H
G
E
G
E
C
I
C
I
C
C
D
D
D
D
A
F
B
H
A
F
B
G
E
C
H
B
B
I
H
G
E
C
I
24. За какой наименьший срок можно выполнить все работы проекта, заданного сетевым графиком (продолжительность выполнения работы приведена в
днях)
25
1
A
5
6
2
E
C
1
4
D
3
4
5
4
F
G
14
B
3
A. 20 дней
B. 26 дней
H
12
C. 21 день
7
2
I
6
D. 23 дня
26
25. Какая из систем содержит правильно составленные уравнения Колмогорова для нахождения финальных вероятностей состояний системы, заданной
графом состояний:
13
S1
23
S3
13 p3  12 p2  0
 p  (   ) p
 23 3
12
32
2
A. 
32 p2  (13  23 ) p3
 p1  p2  p3  1
13 p3  12 p2  0
 p   p   p
 23 3
12 1
32 2
С. 
32 p3  13 p1  23 p2
 p1  p2  p3  1
32
12
S2
13 p3  12 p2  0
 p   p   p
 23 2
12 1
32 3
В. 
32 p3  13 p1  23 p2
 p1  p2  p3  1
 13  12  p1  0

 p  12 p1  32 p3
D.  23 2
32 p3  13 p1  23 p2
 p  p  p 1
2
3
 1
26. В зубоврачебном кабинете три кресла, а в коридоре три стула для ожидания приёма. Поток клиентов – простейший с интенсивностью 12 клиентов в
час. Среднее время обслуживания – 20 мин. Если все стулья в коридоре заняты, то клиент не становится в очередь. Чему равны характеристики данной
системы обслуживания:
A. Кабинет обслуживает 82% обратившихся или 4,94 чел/час; в среднем в
очереди находится 1,08 чел, на лечении 1,64 чел, всего 2,72 чел. В очереди
приходится ожидать 0,18 часа, всего на посещение врача уходит 0,45 часа.
Отказ получают 18% обратившихся.
B. Кабинет обслуживает 72% обратившихся или 4,04 чел/час; в среднем в
очереди находится 2 чел, на лечении 1 чел, всего 3 чел. В очереди приходится ожидать 0,3 часа, всего на посещение врача уходит 0,6 часа. Отказ
получают 28% обратившихся.
C. Кабинет обслуживает 60% обратившихся или 4,94 чел/час; в среднем в
очереди находится 1,3 чел, на лечении 1,4 чел, всего 2,7 чел. В очереди
приходится ожидать 0,8 часа, всего на посещение врача уходит 0,4 часа.
Отказ получают 40% обратившихся.
D. Кабинет обслуживает 65% обратившихся или 5 чел/час; в среднем в очереди
находится 3 чел, на лечении 2 чел, всего 5 чел. В очереди приходится
2
ожидать 0,6 часа, всего на посещение врача уходит 0,8 часа. Отказ получают 35% обратившихся.
1.11. Примерный перечень вопросов к зачету (экзамену)
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
3 семестр (экзамен)
Следствия систем линейных неравенств. Леммы 1 и 2.
Теорема Минковского.
Критерий несовместности систем линейных неравенств. Теорема 1.
Критерий несовместности систем линейных неравенств. Теоремы 2 и 3.
Неотрицательные решения систем линейных уравнений и систем линейных неравенств.
Классификация задач линейного программирования. Взаимная двойственность задач С и С*, К и К*.
Допустимые и оптимальные решения задач линейного программирования. Критерий оптимальности векторов.
Теорема двойственности.
Теорема равновесия для стандартных и канонических задач линейного
программирования.
Векторно-параметрическое уравнение отрезка. Теоремы о выпуклых
множествах.
Графический метод решения задач линейного программирования. Теоремы 1 и 2.
Симплекс-метод решения задач линейного программирования. Леммы 1
и 3.
Симплекс-метод решения задач линейного программирования. Леммы 2
и 4.
Симплекс-метод решения задач линейного программирования. Лемма 5.
Алгоритм симплекс-метода
Транспортная задача линейного программирования на минимум. Основные теоремы.
Методы построения опорного решения транспортной задачи на минимум.
Метод потенциалов решения транспортной задачи линейного программирования на минимум и его обоснование.
Решение транспортных задач на минимум с ограничениями пропускной
способности.
Пример задачи транспортного типа на максимум. Критерий оптимальности решения транспортной задачи на максимум.
Примеры задач транспортного типа. Модель производства с запасами.
Свойства взаимно двойственных задач линейного программирования.
Экономическая интерпретация взаимно двойственных задач на примере
задачи об использовании ресурсов.
3
22. Свойства взаимно двойственных задач линейного программирования.
Экономическая интерпретация взаимно двойственных задач на примере
задачи о диете.
23. Оценка устойчивости параметров относительно двойственных оценок.
Интервалы устойчивости.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
5 семестр (зачет)
Графический метод решения задач целочисленного линейного программирования. Решение задач целочисленного линейного программирования методом отсечений Гомори.
Алгоритм решения задач параметрического линейного программирования в общем виде. Графический метод решения задач параметрического
линейного программирования в случае, когда от параметра зависят лишь
коэффициенты целевой функции.
Алгоритм решения задач параметрического линейного программирования в общем виде. Симплекс-метод решения задач параметрического линейного программирования.
Алгоритм решения задач параметрического линейного программирования в общем виде. Решение транспортных задач параметрического линейного программирования на минимум и на максимум.
Задача дробно-линейного программирования в общем виде. Теорема о
монотонности изменения дробно-линейной целевой функции на любом
прямолинейном отрезке многогранника допустимых решений.
Теорема о достижении дробно-линейным функционалом оптимального
значения в вершине многогранника допустимых решений
Графический метод решения задач дробно-линейного программирования
(в частности, когда целевая функция не является однородной).
Решение задач дробно-линейного программирования симплекс-методом.
Постановка задачи нелинейного программирования. Графический метод
решения задач нелинейного программирования.
Свойства выпуклых и вогнутых функций. Задача выпуклого программирования. Теорема Куна-Таккера. Метод множителей Лагранжа.
Задачи квадратичного программирования и их решение симплексметодом.
Градиентные методы решения задач нелинейного программирования.
6 семестр (экзамен)
1. Задача динамического программирования в общем виде. Принцип оптимальности Беллмана. Алгоритм решения задач динамического программирования. Рекуррентные соотношения для решения задач динамического программирования с аддитивным показателем эффективности.
2. Решение задачи об использовании ресурсов методом динамического
программирования – вывод рекуррентных соотношений.
3. Решение задачи «о рюкзаке» методом динамического программирования
– вывод рекуррентных соотношений.
4
4. Решение классической, мультипликативной и минимаксной задач о
назначениях методом динамического программирования – вывод рекуррентных соотношений.
5. Решение задача и замене оборудования методом динамического программирования – вывод рекуррентных соотношений.
6. Решение задачи о поиске маршрута максимального или минимального
веса в ориентированной сети методом динамического программирования
– вывод рекуррентных соотношений.
7. Решение задачи об управлении запасами методом динамического программирования – вывод рекуррентных соотношений.
8. Решение задачи оптимального упорядочивания (двумерная задача теории расписания) методом динамического программирования.
9. Постановка задачи сетевого планирования. Построение сетевой модели.
Вычисление ранних сроков начала, поздних сроков свершения и резервов времени событий.
10. Ранний и поздний сроки начала и окончания работ, полный и свободный
резервы времени и их вычисление.
11. Оптимизация сетевых моделей.
12. Задачи теории массового обслуживания. Классификация систем массового обслуживания.
13. Уравнения Колмогорова вероятностей состояний. Финальные вероятности состояний.
14. Схема гибели и размножения.
15. Формула Литтла.
16. Расчет характеристик одноканальных систем массового обслуживания с
отказами, ограниченной и неограниченной очередью.
17. Расчет характеристик многоканальных систем массового обслуживания
с отказами.
18. Расчет характеристик многоканальных систем массового обслуживания
с ограниченной очередью.
19. Расчет характеристик многоканальных систем массового обслуживания
с неограниченной очередью.
20. Постановка задачи управления запасами в общем виде. Классификация
задач управления запасами.
21. Решение однопродуктовой детерминированной задачи управления запасами. Чувствительность решения к исходным данным.
22. Решение задачи управления запасами с учетом убытков из-за неудовлетворенного спроса.
23. Решение задачи управления запасами с учетом темпа пополнения запасов.
24. Решение задачи управления запасами со случайным спросом.
25. Постановка задачи теории расписаний в общем виде. Решение задачи о
поиске оптимальной последовательности обработки деталей на двух
станках.
5
26. Задача составления университетских расписаний и ее сведение к задаче
целочисленного линейного программирования.
1.12. Комплект экзаменационных билетов
–
1.13. Примерная тематика рефератов
Задачи линейного программирования в экономике
Задачи транспортного типа в экономике
Задачи целочисленного линейного программирования в экономике
Задачи параметрического линейного программирования в экономике
Задачи дробно-линейного программирования в экономике
Задачи нелинейного программирования в экономике
Задачи динамического программирования в экономике
Применение теории систем массового обслуживания
Задачи управления запасами в экономике
Теория расписаний в оптимизации экономических процессов
1.14. Примерная тематика курсовых работ
Метод динамического программирования и его применения.
Параметрическое программирование.
Системы массового обслуживания.
1.15. Примерная тематика квалификационных (дипломных) работ
Транспортные задачи дробно-линейного программирования.
Нахождение всего множества оптимальных решений задач линейного,
параметрического линейного и дробно-линейного.
Нахождение всего множества решений транспортных задач линейного
и параметрического линейного программирования.
Приветствуются работы по применению теории исследования операций к анализу деятельности и оптимизации работы конкретных предприятий,
учреждений и организаций Мурманской области.
1.16. Бально-рейтинговая система
Оценка «отлично» выставляется при условии
– усвоения студентом 95-100% дидактических единиц;
– 95-100% правильно выполненных тестовых заданий;
– написания контрольных работ на «хорошо» или «отлично»
или
– усвоения студентом 90-94% дидактических единиц;
– 90-94% правильно выполненных тестовых заданий;
– написания контрольных работ на «отлично».
Оценка «хорошо» выставляется при условии
6
– усвоения студентом 80-89% дидактических единиц;
– 80-89% правильно выполненных тестовых заданий;
– написания контрольных работ на «хорошо» или «отлично»
или
– усвоения студентом 70-79% дидактических единиц;
– 70-79% правильно выполненных тестовых заданий;
– написания контрольных работ на «отлично».
Оценка «удовлетворительно» выставляется при условии
– усвоения студентом 60-69% дидактических единиц;
– 60-69% правильно выполненных тестовых заданий;
– написания контрольных работ на «удовлетворительно»
«хорошо»
или
– усвоения студентом 50-59% дидактических единиц;
– 50-59% правильно выполненных тестовых заданий;
– написания контрольных работ на «хорошо».
или
7
Раздел II
Содержательный компонент теоретического материала
Лекция №1
Глава I. Линейное программирование
§1. Системы линейных неравенств
1.1. Основные понятия
множество m  n матриц над полем действительных чисел;
n-мерных векторов-строк и m-мерных векторов-столбцов как частных
случаев матриц;
матрица транспонированная к данной, i-й вектор-строка и j-й векторстолбец матрицы;
частичный порядок  на множестве m  n над полем действительных
чисел, и его свойства;
блочные матрицы и их свойств (транспонирование и умножение блочных матриц);
линейная и неотрицательная линейная комбинации системы векторов;
системы линейных неравенств над полем действительных чисел;
векторная и матричная формы записи систем линейных неравенств;
однородные системы линейных неравенств;
совместность систем линейных неравенств;
следствия систем линейных неравенств;
неотрицательная линейная комбинация систем линейных неравенств;
замечание о том, что любая неотрицательная комбинация системы линейных неравенств является следствием этой системы.
Литература
1. Куликов Л. Я. Алгебра и теория чисел. – М.: Высшая школа, 1979.
2. Солодовников А. С. и др. Математика в экономике. – М.: Финансы и
статистика, 2004.
Лекция №2
1.2. Следствия систем линейных неравенств
Лемма 1. Если c x  0 – следствие системы a1 x  0 , …, am x  0 , то
c  L(a1 , , am ) .
Лемма 2. Пусть c x  0 – следствие системы a1 x  0 , …, am x  0 ,
c  1a1   m1am 1  m am , где 1 , , m 1  0 , m  0 . Тогда c x  0 –
следствие системы a1 x  0 , …, am1 x  0 .
1.3. Теорема Минковского
Теорема. Если c x  0 – следствие системы a1 x  0 , …, am x  0 , то
c  L (a1,
, am ) .
Литература
1. Куликов Л. Я. Алгебра и теория чисел. – М.: Высшая школа, 1979.
8
2. Солодовников А. С. и др. Математика в экономике. – М.: Финансы и
статистика, 2004.
Лекция №3
1.4. Критерий несовместности систем линейных неравенств
Теорема 1. Система A1 x  b1 , …, Am x  bm несовместна тогда и только
тогда, когда существуют действительные числа 1 , , m , удовлетворяющие
условиям 1 A1   m Am  0 , 1b1   mbm  0 , 1 , , m  0 .
Теорема 2. Неравенство cx  0 является следствием системы Ax  0
тогда и только тогда, когда совместна система At y  ct , y  0 .
Теорема 3. Система линейных уравнений Ax  b  0 , x  0 совместна
тогда и только тогда, когда неравенство bt y  0 является следствием системы
At y  0 .
1.5. Неотрицательные решения систем линейных уравнений и систем линейных неравенств
Теорема 1. Система Ax  b  0 , x  0 совместна тогда и только
тогда, когда несовместна система At y  0 , bt y  0 .
Теорема 2. Система Ax  b  0 , x  0 совместна тогда и только тогда,
когда несовместна система At y  0 , bt y  0 , y  0 .
Литература
1. Куликов Л. Я. Алгебра и теория чисел. – М.: Высшая школа, 1979.
2. Солодовников А. С. и др. Математика в экономике. – М.: Финансы и
статистика, 2004.
Лекция №4
§1. Системы линейных неравенств
1.1. Стандартные и канонические задачи линейного программирования
Классификация задач линейного программирования:
Задачи линейного программирования
Стандартного вида
Канонического вида
*
Прямая (С)
Двойственная (С )
Прямая (К)
Двойственная (К*)

 At y  ct  0
 Ax  b  0
 Ax  b  0
At y  ct  0




x  0
x  0
y  0
v  bt y  max
t
u  c x  min
u  c x  min
v  b y  max
2.2. Взаимная двойственность задач линейного программирования
Определение взаимной двойственности задач линейного программирования.
Доказательство того, что задачи С и С*, К и К* являются взаимно двойственными.
2.3. Допустимые и оптимальные решения
9
Определение допустимых и оптимальных решений задач линейного
программирования.
Лемма 1. Пусть x и y – допустимые решения взаимно двойственных
задач на минимум и на максимум соответственно. Тогда c x  bt y  0 .
Теорема 1 (Критерий оптимальности векторов). Пусть x и y – допустимые решения взаимно двойственных задач на минимум и на максимум
соответственно. Если c x  bt y , то x и y являются оптимальными решениями соответствующих задач.
Литература
1. Куликов Л. Я. Алгебра и теория чисел. – М.: Высшая школа, 1979.
2. Солодовников А. С. и др. Математика в экономике. – М.: Финансы и
статистика, 2004.
Лекция №5
2.4. Теорема двойственности
Формулировка и доказательство теоремы двойственности.
2.5. Теорема равновесия
Формулировка и доказательство теорем равновесия для стандартных и
для канонических задач линейного программирования.
Литература
1. Куликов Л. Я. Алгебра и теория чисел. – М.: Высшая школа, 1979.
2. Солодовников А. С. и др. Математика в экономике. – М.: Финансы и
статистика, 2004.
Лекция №6
§ 3. Графический метод решения задач линейного программирования
3.1. Некоторые сведенья из аналитической геометрии
Векторно-параметрическое уравнение отрезка
Расстояние и взвешенное расстояние от точки до плоскости
Выпуклые множества.
Теорема 1. Полупространство является выпуклым множеством.
Теорема 2. Пересечение выпуклых множеств есть выпуклое множество.
Определение выпуклой линейной комбинации и выпуклой линейной
оболочки множества точек.
Теорема 3. Выпуклая оболочка любого множества точек есть выпуклое множество.
3.2. Графический метод решения задач линейного программирования
Геометрическая интерпретация задач линейного программирования.
Графический метод решения задач линейного программирования в общем виде.
10
Литература
1. Акулич И. Л. Математическое программирование в примерах и задачах. – М.: Высшая школа, 1987.
2. Полунин И. Ф. Курс математического программирования. – Минск:
«Высшэйшая школа», 1969
3. Солодовников А. С. и др. Математика в экономике. – М.: Финансы и
статистика, 2004.
Лекция №7
Примеры решения задач линейного программирования графическим
способом. Здесь рассматриваются все типы задач, которые можно решить
графическим способом: задача с двумя переменными; задача с произвольным
числом переменных и двумя ограничениями; задача с произвольным числом
переменных и ограничений, но для которой выполняется следующее условие:
общее число переменных – ранг основной матрицы подсистемы, составленной из ограничений типа уравнений,  2.
Литература
1. Акулич И. Л. Математическое программирование в примерах и задачах. – М.: Высшая школа, 1987.
2. Кузнецов А.В., Холод Н.И. Математическое программирование. –
Минск: «Высшэйшая школа», 2001.
Лекция №8
3.3. Решение задач линейного программирования методом исключения неизвестных
Изложение метода на примере решения конкретной задачи линейного
программирования.
Достоинства и недостатки данного метода.
Случаи, которые могут встретиться при решении задачи линейного
программирования данным методом.
Литература
1. Банди Б. Основы линейного программирования: Пер. с англ. – М.:
Радио и связь, 1989.
2. Солодовников А. С. И др. Математика в экономике. – М.: Финансы
и статистика, 2004.
Лекция №9
§ 5. Симплекс-метод решения задач линейного программирования
5.1. Симплекс-таблицы. Осевые преобразования симплекс-таблиц
Симплекс таблицы.
Осевые преобразования симплекс-таблиц.
Допустимость симплекс таблиц по строкам и по столбцам.
Доказательство лемм, являющихся обоснованиями этапов симплексметода.
11
Формулировка основной теоремы, содержащей алгоритм симплексметода решения задач линейного программирования. Обоснование алгоритма.
Пример решения взаимно двойственных задач линейного программирования симплекс-методом.
Литература
1. Куликов Л. Я. Алгебра и теория чисел. – М.: Высшая школа, 1979.
2. Полунин И. Ф. Курс математического программирования. – Минск:
«Высшэйшая школа», 1969.
3. Солодовников А. С. и др. Математика в экономике. – М.: Финансы и
статистика, 2004.
Лекция №10
§ 6. Транспортная задача линейного программирования
6.1. Постановка задачи. Основные теоремы
Постановка классической задачи линейного программирования
Транспортные таблицы
Теорема 1. Транспортная задача имеет решение тогда и только тогда,
когда сумма запасов равна сумме запросов.
Сбалансированные и несбалансированные транспортные задачи линейного программирования. Сведение несбалансированных задач к сбалансированным.
Теорема 2. Пусть X – допустимое решение m  n транспортной задачи на минимум с матрицей тарифов С. Если существует система чисел
u1 ,..., um , v1 ,..., vn  R , удовлетворяющая условиям
ui  v j  cij ,
для всех i  1,..., m , j  1,..., n ;
ui  v j  cij ,
для всех xij  0 , i  1,..., m , j  1,..., n ,
то решение X является оптимальным.
Литература
1. Полунин И. Ф. Курс математического программирования. – Минск:
«Высшэйшая школа», 1969
2. Кузнецов А.В., Холод Н.И. Математическое программирование. –
Минск: «Высшэйшая школа», 2001.
3. Нестеров Е. П. Транспортная задача линейного программирования.
М.: Транспорт, 1971.
Лекция №11
6.2. Опорные решения
Опорные решения.
Метод северо-западного угла.
Метод минимального элемента.
Метод аппроксимаций Фогеля.
6.3. Циклы и ацикличные решения
Цепи и циклы. Ацикличные решения. Примеры.
12
Теорема о возможности построения цикла в таблице, содержащей более m  n  1 заполненных клеток.
Литература
1. Полунин И. Ф. Курс математического программирования. – Минск:
«Высшэйшая школа», 1969
2. Кузнецов А.В., Холод Н.И. Математическое программирование. –
Минск: «Высшэйшая школа», 2001.
3. Нестеров Е. П. Транспортная задача линейного программирования.
М.: Транспорт, 1971.
Лекция №12
6.4. Алгоритм метода потенциалов
Алгоритм метода потенциалов и его обоснование. Пример решения
транспортной задачи линейного программирования методом потенциалов.
6.5. Транспортные задачи с ограничениями пропускной способности
Транспортные задачи на минимум с ограничениями типа xrk  0 ,
xrk  a , xrk  b , xrk  c и методы их решения. Примеры.
Литература
1. Кузнецов А.В., Холод Н.И. Математическое программирование. –
Минск: «Высшэйшая школа», 2001.
2. Нестеров Е. П. Транспортная задача линейного программирования.
М.: Транспорт, 1971.
Лекция №13
6.6. Транспортные задачи на максимум
Математическая модель транспортной задачи на максимум
Методы решения (сведение к задаче на минимум и непосредственное).
6.7. Задачи транспортного типа
Понятие задач транспортного типа.
Примеры задач транспортного типа (постановки задач в общем виде):
Задача об оптимальном размещении производства, классическая задача о
назначениях, задача о посеве культур, модель производства с запасами.
Литература
1. Банди Б. Основы линейного программирования: Пер. с англ. – М.:
Радио и связь, 1989.
2. Кузнецов А.В., Холод Н.И. Математическое программирование. –
Минск: «Высшэйшая школа», 2001.
3. Нестеров Е. П. Транспортная задача линейного программирования.
М.: Транспорт, 1971.
4. Полунин И. Ф. Курс математического программирования. – Минск:
«Высшэйшая школа», 1969
5. Волков И.К., Загоруйко Е.А. Исследование операций. – М.: МГТУ
им. Баумана, 2002.
13
Лекция №14
§7. Теория двойственности в анализе оптимальных решений
задач линейного программирования
7.1. Свойства взаимно двойственных задач линейного программирования
Здесь приводятся свойства, которые понадобятся в пункте 7.2.
7.2. Экономическая интерпретация взаимно двойственных задач
на примере задачи об использовании ресурсов и задачи о диете
Литература
1. Акулич И. Л. Математическое программирование в примерах и задачах. – М.: Высшая школа, 1987.
2. Банди Б. Основы линейного программирования: Пер. с англ. – М.:
Радио и связь, 1989.
3. Кузнецов А. В., Холод Н. И. Математическое программирование. –
Минск: «Высшэйшая школа», 2001.
Лекция №15
7.3. Оценка устойчивости параметров относительно двойственных
оценок. Интервалы устойчивости
Метод оценки устойчивости параметров и нахождения интервалов
устойчивости.
Пример использования двойственных оценок для анализа задачи линейного программирования.
Литература
1. Акулич И. Л. Математическое программирование в примерах и задачах. – М.: Высшая школа, 1987.
2. Банди Б. Основы линейного программирования: Пер. с англ. – М.:
Радио и связь, 1989.
3. Кузнецов А. В., Холод Н. И. Математическое программирование. –
Минск: «Высшэйшая школа», 2001.
Лекция №16
§8. Целочисленное линейное программирование
8.1. Постановка задачи
Задача целочисленного линейного программирования в общем виде.
Пример задачи целочисленного линейного программирования с двумя
переменными.
8.2. Графический метод решения
Графический метод решение задач целочисленного линейного программирования.
Пример решения задач целочисленного линейного программирования
из пункта 7.1.
14
8.3. Метод Гомори
Метод Гомори на примере решения задач линейного программирования симплекс-методом. Геометрическая интерпретация процесса решения.
Пример решения задачи целочисленного линейного программирования
из пункта 7.1 методом Гомори. Графическая иллюстрация процесса решения.
Литература
1. Волков И.К., Загоруйко Е.А. Исследование операций. – М.: МГТУ
им. Баумана, 2002.
2. Полунин И.Ф. Курс математического программирования. – Минск:
«Высшэйшая школа», 1969
3. Кузнецов А.В., Холод Н.И. Математическое программирование. –
Минск: «Высшэйшая школа», 2001.
4. Ху Т. Целочисленное программирование и потоки в сетях. М.:
«Мир», 1974.
Лекция №17
8.4. Метод ветвей и границ
Метод ветвей и границ в общем виде.
Пример решения данным методом задачи из пункта 7.1.
Литература
1. Волков И.К., Загоруйко Е.А. Исследование операций. – М.: МГТУ
им. Баумана, 2002.
2. Кузнецов А.В., Холод Н.И. Математическое программирование. –
Минск: «Высшэйшая школа», 2001.
Лекция №18
§9. Параметрическое линейное программирование
9.1. Постановка задачи
Задача параметрического линейного программирования.
Алгоритм решения задачи параметрического линейного программирования в общем виде.
9.2. Пример решения задачи параметрического линейного программирования графическим методом
Реализация алгоритма из пункта 8.1 на примере решения задачи параметрического линейного программирования с конкретным экономическим
содержанием графическим методом. Анализ полученного решения.
Литература
1. Кузнецов А.В., Холод Н.И. Математическое программирование. –
Минск: «Высшэйшая школа», 2001.
2. Полунин И. Ф. Курс математического программирования. – Минск:
«Высшэйшая школа», 1969.
Лекция №19
9.3. Примеры решения задачи параметрического линейного программирования симплекс-методом
15
Реализация алгоритма из пункта 8.1 на примере решения задачи параметрического линейного программирования из пункта 8.2 (задача, в которой
от параметра зависят лишь коэффициенты целевой функции) симплексметодом.
Пример решения задачи параметрического линейного программирования, в которой от параметра зависят свободные члены системы ограничений.
Литература
1. Кузнецов А. В., Холод Н. И. Математическое программирование. –
Минск: «Высшэйшая школа», 2001.
2. Полунин И. Ф. Курс математического программирования. – Минск:
«Высшэйшая школа», 1969.
Лекция №20
9.4. Примеры решения транспортной задачи параметрического
линейного программирования
Реализация алгоритма из пункта 8.1 на примере решения транспортных
задач линейного параметрического программирования на минимум и на максимум методом потенциалов.
Литература
1. Кузнецов А.В., Холод Н.И. Математическое программирование. –
Минск: «Высшэйшая школа», 2001.
2. Полунин И. Ф. Курс математического программирования. – Минск:
«Высшэйшая школа», 1969.
Лекция №21
Глава II. Дробно-линейное программирование
2.1. Постановка задачи дробно-линейного программирования.
Пример экономического применения
2.2. Основные теоремы
Теорема 1. На любом прямолинейном отрезке, принадлежащем многограннику допустимых решений, целевая функция изменяется монотонно.
Теорема 2. Если целевая функция имеет экстремум, то он достигается
в крайней точке (вершине) многогранника допустимых решений. Если экстремум достигается в нескольких крайних точках, то он достигается и в любой точке их выпуклой линейной оболочки.
2.3. Графический метод решения задач дробно-линейного программирования
Графический метод решения задач дробно-линейного программирования в общем виде. Пример решения задачи дробно-линейного программирования.
Литература
1. Кузнецов А.В., Холод Н.И. Математическое программирование. –
Минск: «Высшэйшая школа», 2001.
2. Полунин И. Ф. Курс математического программирования. – Минск:
«Высшэйшая школа», 1969.
16
Лекция №22
2.4. Симплекс-метод решения задач дробно-линейного программирования
Симплекс-таблица для задачи дробно-линейного программирования.
Критерий оптимальности.
Решение задачи из пункта 2.3 симплекс-методом.
2.5. Сведение задачи дробно-линейного программирования к задаче линейного программирования
Метод сведения задачи дробно-линейного программирования к задаче
линейного программирования.
Решение задачи из пункта 2.3 путем сведения к задаче линейного программирования.
Литература
1. Кузнецов А.В., Холод Н.И. Математическое программирование. –
Минск: «Высшэйшая школа», 2001.
2. Полунин И. Ф. Курс математического программирования. – Минск:
«Высшэйшая школа», 1969.
Лекция №23
Глава III. Нелинейное программирование
3.1. Задача нелинейного программирования и некоторые методы
ее решения
Задача нелинейного программирования в общем виде.
Локальный и глобальный экстремумы.
Геометрическая интерпретация задачи нелинейного программирования. Графический метод решения.
Метод множителей Лагранжа. Экономический смысл Множителей Лагранжа.
Литература
1. Кузнецов А.В., Холод Н.И. Математическое программирование. –
Минск: «Высшэйшая школа», 2001.
2. Полунин И.Ф. Курс математического программирования. – Минск:
«Высшэйшая школа», 1969
3. Солодовников А. С. и др. Математика в экономике. – М.: Финансы и
статистика, 2004.
Лекция №24
3.2. Выпуклые и вогнутые функции и их свойства
Выпуклые и вогнутые функции. Градиент функции и его свойства
(направление градиента – направление наискорейшего возрастания функции;
градиент функции z  f ( x ) в каждой точке M 0 ( x1; ; xn ) направлен по нормали к линии уровня поверхности z  f ( x ) , проходящей через эту точку).
Антиградиент.
17
Свойства выпуклых функций (аналогичные свойства вогнутых функций студентам предлагается сформулировать и доказать самостоятельно):
1. Функция f ( x ) будет выпуклой, если ее вторые частные производные образуют матрицу, в которой все ее главные миноры неотрицательны.
2. Любая неотрицательная линейная комбинация выпуклых функций
является выпуклой функцией.
3. Если f ( x ) – выпуклая функция при всех x  0 , то будет выпуклым
и множество решений системы f ( x )  b , x  0 .
4. Выпуклая функция f ( x ) , определенная на выпуклом множестве,
непрерывна в любой точке этого множества.
5. Если выпуклая функция f ( x ) дифференцируема во внутренних
точках множества G , то для любых x1 , x2  G имеет место неравенство
f ( x1 )  f ( x2 )  f ( x1 )( x1  x2 ) .
6. Выпуклая функция f ( x ) , определенная на выпуклом множестве G ,
достигает своего глобального минимума в каждой точке x  G , в которой
f ( x)  0 .
7. Локальный минимум выпуклой функции f ( x ) , определенной на
выпуклом множестве, совпадает с ее глобальным минимумом на этом множестве.
3.3. Задача выпуклого программирования. Теорема Куна-Таккера
(теорема о седловой точке).
Литература
1. Кузнецов А.В., Холод Н.И. Математическое программирование. –
Минск: «Высшэйшая школа», 2001.
2. Полунин И.Ф. Курс математического программирования. – Минск:
«Высшэйшая школа», 1969
3. Солодовников А. С. и др. Математика в экономике. – М.: Финансы и
статистика, 2004.
Лекция №25
3.4. Задача квадратичного программирования
Квадратичная форма. Матрица и ранг квадратичной формы. Невырожденная, положительно, неотрицательно и отрицательно определенная квадратичная форма.
Свойства квадратичных форм:
1. Квадратичная форма положительно определена тогда и только тогда, когда ее главные миноры положительны.
2. Если знаки миноров квадратичной формы чередуются, то она отрицательно определена.
3. Если ранг r матрицы квадратичной формы меньше порядка n этой
матрицы, то квадратичная форма будет неотрицательно определенной, если
первые r главных миноров положительны, а остальные n  r равны нулю.
18
4. Неотрицательно определенная квадратичная форма является выпуклой функцией на всем множестве R n ; положительно определенная – строго
выпуклой; неположительно определенная квадратичная форма является вогнутой функцией, а отрицательно определенная – строго вогнутой.
Основная задача квадратичного программирования.
3.5. Решение задачи квадратичного программирования
Применение теоремы Куна-Таккера для сведения задачи квадратичного
программирования к решению системы линейных алгебраических уравнений
(с дополнительным комбинаторным условием).
Решение задач квадратичного программирования с помощью осевых
преобразований.
Пример решения задачи квадратичного программирования.
Литература
1. Кузнецов А.В., Холод Н.И. Математическое программирование. –
Минск: «Высшэйшая школа», 2001.
2. Полунин И.Ф. Курс математического программирования. – Минск:
«Высшэйшая школа», 1969
3. Солодовников А. С. и др. Математика в экономике. – М.: Финансы и
статистика, 2004.
Лекция №26
3.6. Градиентные методы решения задач нелинейного программирования
Суть градиентного решения задачи нелинейного программирования.
Метод наискорейшего спуска и метод наискорейшего подъема.
Метод Франка-Вулфа.
Метод штрафных функций.
Метод Эрроу-Гурвица.
Пример решения задачи нелинейного программирования градиентным
методом.
3.7. Понятие о методе кусочно-линейной аппроксимации.
Литература
1. Кузнецов А.В., Холод Н.И. Математическое программирование. –
Минск: «Высшэйшая школа», 2001.
2. Полунин И.Ф. Курс математического программирования. – Минск:
«Высшэйшая школа», 1969
3. Солодовников А. С. и др. Математика в экономике. – М.: Финансы и
статистика, 2004.
Лекция №27
Глава IV. Динамическое программирование
4.1. Задача динамического программирования в общем виде.
Принцип оптимальности Беллмана. Алгоритм решения задач динамического программирования.
19
4.2. Рекуррентные соотношения для решения задач динамического
программирования с аддитивным показателем эффективности.
Литература
1. Арис Р. Дискретное динамическое программирование. – М.: Наука,
1981.
2. Беллман Р. Динамическое программирование и современная теория
управления. М.: Наука, 1969.
3. Вентцель Е. С. Исследование операций: задачи, принципы, методология. – М.: Наука, 1988.
4. Габасов Р. Ф., Кириллова Ф. М. Основы динамического программирования. – Минск: Изд-во БГУ, 1975.
5. Калихман И. Л., Войтенко М. А. Динамическое программирование в
примерах и задачах. М.: Высшая школа, 1979.
Лекция №28
4.3. Примеры задач динамического программирования
Задача об использовании ресурсов (вывод рекуррентных соотношений,
численный пример).
Задача «о рюкзаке» (вывод рекуррентных соотношений).
Классическая, мультипликативная и минимаксная задачи о назначениях (вывод рекуррентных соотношений, численные примеры).
Литература
1. Арис Р. Дискретное динамическое программирование. – М.: Наука,
1981.
2. Беллман Р. Динамическое программирование и современная теория
управления. М.: Наука, 1969.
3. Вентцель Е. С. Исследование операций: задачи, принципы, методология. – М.: Наука, 1988.
4. Габасов Р. Ф., Кириллова Ф. М. Основы динамического программирования. – Минск: Изд-во БГУ, 1975.
5. Калихман И. Л., Войтенко М. А. Динамическое программирование в
примерах и задачах. М.: Высшая школа, 1979.
Лекция №29
Задача о замене оборудования (вывод рекуррентных соотношений,
численный пример).
Задача поиске маршрута максимального или минимального веса в ориентированной сети (численный пример).
Задача об управлении запасами (вывод рекуррентных соотношений).
Задача оптимального упорядочивания (вывод рекуррентных соотношений, численный пример).
Литература
1. Арис Р. Дискретное динамическое программирование. – М.: Наука,
1981.
20
2. Беллман Р. Динамическое программирование и современная теория
управления. М.: Наука, 1969.
3. Вентцель Е. С. Исследование операций: задачи, принципы, методология. – М.: Наука, 1988.
4. Габасов Р. Ф., Кириллова Ф. М. Основы динамического программирования. – Минск: Изд-во БГУ, 1975.
5. Калихман И. Л., Войтенко М. А. Динамическое программирование в
примерах и задачах. М.: Высшая школа, 1979.
Лекция №30
Глава V. Сетевое планирование
5.1. Постановка задачи сетевого планирования. Сетевая модель.
Сетевая модель.
Работы и события.
Графическое представление сетевой модели.
Требования к построению сетевых моделей.
Ранний строк свершения события. Критический срок. Вычисление ранних сроков свершения событий методом динамического программирования.
Поздний срок свершения события. Вычисление поздних сроков свершения событий методом динамического программирования.
Резерв времени события и его вычисление.
Литература
1. Афанасьев М. Ю, Багриновский К. А., Матюшок В. М. Прикладные
задачи исследования операций: Учеб. пособие. – М.: ИНФРА-М, 2006.
2. Кузнецов А. В., Холод Н. И. Математическое программирование. –
Минск: «Высшэйшая школа», 2001.
3. Кремер Н. Ш., Тришин И. М., Фридман М. Н. Исследование операций в экономике: Учеб. пособие для вузов.– М.: Банки и биржи, ЮНИТИ,
1997.
Лекция №31
5.2. Характеристики работ и их вычисление
Ранний и поздний сроки начала работы и их вычисление.
Полный и свободный резервы времени работы. Формулы вычисления
этих резервов времени
Литература
1. Афанасьев М. Ю, Багриновский К. А., Матюшок В. М. Прикладные
задачи исследования операций: Учеб. пособие. – М.: ИНФРА-М, 2006.
2. Кузнецов А. В., Холод Н. И. Математическое программирование. –
Минск: «Высшэйшая школа», 2001.
3. Кремер Н. Ш., Тришин И. М., Фридман М. Н. Исследование операций в экономике: Учеб. пособие для вузов.– М.: Банки и биржи, ЮНИТИ,
1997.
21
Лекция №32
Глава VI. Системы массового обслуживания
6.1. Задачи теории массового обслуживания
Задачи теории массового обслуживания.
Классификация систем массового обслуживания.
6.2. Уравнения Колмогорова вероятностей состояний. Финальные
вероятности состояний
6.3. Схема гибели и размножения
Постановка задачи. Граф состояний. Система уравнений для нахождения финальных вероятностей состояний. Решение этой системы в общем виде.
Литература
1. Бочаров П. П., Печинкин А. В Теория массового обслуживания. –
М.: Изд-во РУДН, 1995.
2. Ивченко Г. И., Каштанов В. А., Коваленко И. Н. Теория массового
обслуживания. – М.: Высшая школа, 1982.
3. Клейнрок Л. Теория массового обслуживания. – М.: Машиностроение, 1979.
4. Кремер Н. Ш., Тришин И. М., Фридман М. Н. Исследование операций в экономике: Учеб. пособие для вузов.– М.: Банки и биржи, ЮНИТИ,
1997.
5. Красс М. С., Чупрынов Б. М. Математические методы и модели для
магистрантов экономики: Учебное пособие. – СПб.: Питер, 2006.
Лекция №33
6.4. Формула Литтла
Теорема. Для любой системы массового обслуживания, при любом
характере потока заявок, при любом распределении времени обслуживания,
при любой дисциплине обслуживания среднее время пребывания заявки в
системе равно среднему числу заявок в системе, деленному на интенсивность
потока заявок.
6.5. Одноканальные системы массового обслуживания с отказами
Постановка задачи. Граф состояний. Система уравнений для нахождения финальных вероятностей состояний. Формулы для расчета характеристик рассматриваемой системы массового обслуживания. Численный пример.
6.6. Многоканальные системы массового обслуживания с отказами
Постановка задачи. Граф состояний. Система уравнений для нахождения финальных вероятностей состояний. Формулы для расчета характеристик рассматриваемой системы массового обслуживания. Численный пример.
Литература
1. Бочаров П. П., Печинкин А. В Теория массового обслуживания. –
М.: Изд-во РУДН, 1995.
2. Ивченко Г. И., Каштанов В. А., Коваленко И. Н. Теория массового
обслуживания. – М.: Высшая школа, 1982.
22
3. Клейнрок Л. Теория массового обслуживания. – М.: Машиностроение, 1979.
4. Кремер Н. Ш., Тришин И. М., Фридман М. Н. Исследование операций в экономике: Учеб. пособие для вузов.– М.: Банки и биржи, ЮНИТИ,
1997.
5. Красс М. С., Чупрынов Б. М. Математические методы и модели для
магистрантов экономики: Учебное пособие. – СПб.: Питер, 2006.
Лекция №34
6.7. Одноканальные системы массового обслуживания с ограниченной очередью
Постановка задачи. Граф состояний. Система уравнений для нахождения финальных вероятностей состояний. Формулы для расчета характеристик рассматриваемой системы массового обслуживания. Численный пример.
6.8. Многоканальные системы массового обслуживания с ограниченной очередью
Постановка задачи. Граф состояний. Система уравнений для нахождения финальных вероятностей состояний. Формулы для расчета характеристик рассматриваемой системы массового обслуживания. Численный пример.
Литература
1. Бочаров П. П., Печинкин А. В Теория массового обслуживания. –
М.: Изд-во РУДН, 1995.
2. Ивченко Г. И., Каштанов В. А., Коваленко И. Н. Теория массового
обслуживания. – М.: Высшая школа, 1982.
3. Клейнрок Л. Теория массового обслуживания. – М.: Машиностроение, 1979.
4. Кремер Н. Ш., Тришин И. М., Фридман М. Н. Исследование операций в экономике: Учеб. пособие для вузов.– М.: Банки и биржи, ЮНИТИ,
1997.
5. Красс М. С., Чупрынов Б. М. Математические методы и модели для
магистрантов экономики: Учебное пособие. – СПб.: Питер, 2006.
Лекция №35
6.9. Одноканальные системы массового обслуживания с неограниченной очередью
Постановка задачи. Граф состояний. Система уравнений для нахождения финальных вероятностей состояний. Формулы для расчета характеристик рассматриваемой системы массового обслуживания. Численный пример.
6.9. Многоканальные системы массового обслуживания с неограниченной очередью
Постановка задачи. Граф состояний. Система уравнений для нахождения финальных вероятностей состояний. Формулы для расчета характеристик рассматриваемой системы массового обслуживания. Численный пример.
Литература
23
1. Бочаров П. П., Печинкин А. В Теория массового обслуживания. –
М.: Изд-во РУДН, 1995.
2. Ивченко Г. И., Каштанов В. А., Коваленко И. Н. Теория массового
обслуживания. – М.: Высшая школа, 1982.
3. Клейнрок Л. Теория массового обслуживания. – М.: Машиностроение, 1979.
4. Кремер Н. Ш., Тришин И. М., Фридман М. Н. Исследование операций в экономике: Учеб. пособие для вузов.– М.: Банки и биржи, ЮНИТИ,
1997.
5. Красс М. С., Чупрынов Б. М. Математические методы и модели для
магистрантов экономики: Учебное пособие. – СПб.: Питер, 2006.
Лекция №36
Глава VII. Задачи управления запасами
7.1. Задачи управления запасами
Постановка задачи управления запасами в общем виде.
Классификация задач управления запасами.
7.2. Однопродуктовая детерминированная задача управления запасами
Постановка задачи, ее формализация и решение. Численный пример.
Чувствительность решения к исходным данным.
Литература
1. Афанасьев М. Ю, Багриновский К. А., Матюшок В. М. Прикладные
задачи исследования операций: Учеб. пособие. – М.: ИНФРА-М, 2006.
2. Рыжиков Ю. И. Теория очередей и управление запасами. – СПб: Питер, 2001.
3. Черчмен У., Акоф Р., Арноф Л. Введение в исследование операций /
Перевод с английского. – М.: Наука, 1967.
4. Кремер Н. Ш., Тришин И. М., Фридман М. Н. Исследование операций в экономике: Учеб. пособие для вузов.– М.: Банки и биржи, ЮНИТИ,
1997.
5. Новиков О. А., Петухов С. И. Прикладные вопросы теории массового обслуживания. – М.: Советское радио, 1969.
Лекция №37
7.3. Задача управления запасами с учетом убытков из-за неудовлетворенного спроса
Постановка задачи, ее формализация и решение. Численный пример.
7.4. Задача управления запасами с учетом темпа пополнения запасов
Постановка задачи, ее формализация и решение. Численный пример.
Литература
1. Афанасьев М. Ю, Багриновский К. А., Матюшок В. М. Прикладные
задачи исследования операций: Учеб. пособие. – М.: ИНФРА-М, 2006.
24
2. Рыжиков Ю. И. Теория очередей и управление запасами. – СПб: Питер, 2001.
3. Черчмен У., Акоф Р., Арноф Л. Введение в исследование операций /
Перевод с английского. – М.: Наука, 1967.
4. Кремер Н. Ш., Тришин И. М., Фридман М. Н. Исследование операций в экономике: Учеб. пособие для вузов.– М.: Банки и биржи, ЮНИТИ,
1997.
5. Новиков О. А., Петухов С. И. Прикладные вопросы теории массового обслуживания. – М.: Советское радио, 1969.
Лекция №38
7.5. Задача управления запасами со случайным спросом
Постановка задачи, ее формализация и решение. Численный пример.
Литература
1. Афанасьев М. Ю, Багриновский К. А., Матюшок В. М. Прикладные
задачи исследования операций: Учеб. пособие. – М.: ИНФРА-М, 2006.
2. Рыжиков Ю. И. Теория очередей и управление запасами. – СПб: Питер, 2001.
3. Черчмен У., Акоф Р., Арноф Л. Введение в исследование операций /
Перевод с английского. – М.: Наука, 1967.
4. Кремер Н. Ш., Тришин И. М., Фридман М. Н. Исследование операций в экономике: Учеб. пособие для вузов.– М.: Банки и биржи, ЮНИТИ,
1997.
5. Новиков О. А., Петухов С. И. Прикладные вопросы теории массового обслуживания. – М.: Советское радио, 1969.
Лекция №39
Глава IX. Решение задач с помощью компьютера
9.1. Решение задач исследования операций в электронных таблицах Microsoft Excel
Организация вычислений в электронных таблицах. Задание ограничений и запись целевой функции. Работа надстройки Поиск решения.
9.2. Написание программ для решения задач исследования операций
Псевдокод программы, реализующей алгоритм симплекс-метода
решения задач линейного программирования.
Литература
1. Долженков В. А., Коретников Ю. В. Microsoft Excel 2002. – CПб.:
БХВ-Петербург, 2002.
2. Орлова И. В. Экономико-математическое моделирование: практическое пособие по решению задач. – М.: Вузовский учебник, 2007.
3. Сдвижков О. А. Математика в Excel 2002. – М.: СОЛОН-Пресс,
2004.
4. Шилд Г. С++: базовый курс / Пер. с англ. – М.: Издательский дом
«Вильямс», 2005.
25
Лекция №40
Псевдокод программы, реализующей алгоритм метода потенциалов
решения сбалансированных транспортных задач линейного программирования без ограничений на пропускную способность.
Псевдокод программы, реализующей алгоритм решения двумерной задачи оптимального упорядочивания.
Литература
1. Долженков В. А., Коретников Ю. В. Microsoft Excel 2002. – CПб.:
БХВ-Петербург, 2002.
2. Орлова И. В. Экономико-математическое моделирование: практическое пособие по решению задач. – М.: Вузовский учебник, 2007.
3. Сдвижков О. А. Математика в Excel 2002. – М.: СОЛОН-Пресс,
2004.
4. Шилд Г. С++: базовый курс / Пер. с англ. – М.: Издательский дом
«Вильямс», 2005.
26
Раздел III
Словарь терминов (глоссарий)
ЗАДАЧИ ИССЛЕДОВАНИЯ ОПЕРАЦИЙ,
ЛИНЕЙНОЕ, ДРОБНО-ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ
m-мерный вектор-столбец – матрица размера m1 (элемент множества R m1 )
n-мерный вектор-строка – матрица размера 1 n (элемент множества R1n )
Ацикличное решение – решение X, транспортной задачи, для которого нельзя построить цикл в транспортной таблице с вершинами в клетках, в которых xij  0 .
Блочная матрица [ A B ] – матрица, которая получается из матрицы A приписыванием столбцов матрицы B (определена, если матрицы А и В имеют одинаковое число
столбцов)
 A
Блочная матрица   – матрица, полученная матрицы A , приписыванием строк
B
матрицы B , т.е. матрица
a1n 
 a11




 am1
amn 


b1n 
 b11




brn 
 br1
(естественно, такая матрица определена только, если матрицы А и В имеют одинаковое
число строк).
Векторная форма записи системы линейных неравенств – это запись системы в
виде A1 x  b1 , …, Am x  bm .
Векторно-параметрическое уравнение отрезка – уравнение X   A  (1   ) B ,
где А и В – концы отрезка,   [0; 1] .
Взаимная двойственность задач исследования операций. Пусть P задача исследования операций, P – задача, двойственная к P . Задачи P и P называются взаимно
двойственными, если P  P .
Взвешенное отклонение точки Y от плоскости a x  c – число, определяемое
равенством a y  c  a1 y1   an yn  c .
Взвешенное расстояние от точки Y до плоскости a x  c – абсолютная величина
взвешенного отклонения от точки Y до плоскости a x  c .
Выпуклая линейная оболочка точек X1, , X k есть множество точек
X  1 X1   k X k , где 1, , k  0 , 1   k  1 .
Выпуклое множество – множество, которое вместе со своими двумя любыми точками P и Q содержит также все точки отрезка [ PQ ] .
Граница полуплоскости – ограничивающая ее плоскость.
Двойственная оценка параметра – соответствующая ограничению по данному
параметру переменная двойственной задачи.
Допустимая задача линейного программирования – задача линейного программирования с совместной системой линейных ограничений.
Допустимое решение – решение, удовлетворяющее системе ограничений.
27
Задача дробно-линейного программирования – задача поиска вектора, удовлетворяющего системе линейных ограничений и доставляющего дробно-линейной функции
некоторое экстремальное значение.
Задача линейного программирования – задача поиска вектора, доставляющего
экстремум линейной функции и удовлетворяющего системе линейных уравнений или неравенств.
Задача о диете. При откорме животных каждое животное ежедневно должно получить не менее b1 единиц питательного вещества первого вида, …, не менее bm единиц
питательного вещества m-го вида. Потребности животных можно удовлетворить за счет
закупки кормов n видов. Стоимость единицы j-го корма равна c j ден. ед. Содержание
единицы питательного вещества i-го вида в единице корма j-го корма известно и равно
aij . Необходимо составить оптимальный рацион (оптимальную диету) животных, при котором их суточная потребность полностью удовлетворяется и который, а общая стоимость
приобретения зерна является минимальной.
Задача о назначениях (классическая). Имеется n различных видов работ и n
исполнителей. Каждый из исполнителей может выполнить только одну из видов работ, и
каждая работа может выполняться только одним исполнителем. Стоимость выполнения
i -ой работы j -ым исполнителем известна и равна cij . Требуется составить такой план
распределения исполнителей по видам работ, который минимизирует общую стоимость
их выполнения (сумму стоимостей выполнения работ исполнителями).
Задача об использовании ресурсов. Предприятие для производства n видов продукции использует m видов ресурсов. Запасы и нормы расхода каждого вида ресурсов на
производство единицы каждого вида продукции известны. Известны также стоимости
единицы каждого вида продукции. Необходимо составить план производства, руководствуясь которым предприятие сможет получить от реализации продукции максимально
возможную при данных условиях общую прибыль.
Задача параметрического линейного программирования – задача линейного
программирования, в которой коэффициенты при переменных, свободные члены и коэффициенты целевой функции – линейные функции параметра t .
Задача с ослабленными ограничениями – задача линейного программирования,
полученная из некоторой задачи целочисленного линейного программирования исключением условия целочисленности переменных.
Задача транспортного типа – задача, математическая модель которой подобна
математической модели транспортной задачи, хотя в ней нет ни слова о перевозках.
Задача целочисленного линейного программирования – задача линейного программирования с дополнительным условием целочисленности переменных.
Задача, двойственная к прямой задаче канонического вида ( Ax  b  0 , x  0 ,
u  c x  min ) – задача поиска решения системы At y  ct  0 , доставляющего минимум
линейной функции v  bt y .
Задача, двойственная к прямой задаче стандартного вида ( Ax  b  0 , x  0 ,
u  c x  min ) – задача поиска решения системы At y  ct  0 , y  0 , доставляющего минимум линейной функции v  bt y .
Интервал устойчивости двойственной оценки – интервал изменения двойственной оценки при возможных изменениях соответствующего ей параметра двойственной
задачи.
Критерий оптимальности векторов. Если для допустимых решений x и y взаимно двойственных задач линейного программирования выполняется равенство c x  bt y ,
то x и y являются оптимальными решениями соответствующих задач.
28
Линейная комбинация векторов a1, ..., ak с коэффициентами 1, ..., k  , называется вектор 1a1  ...  k ak
Линейная оболочка векторов a1, ..., ak – множество их всевозможных линейных
комбинаций, т.е. множество {1a1  ...  k ak | 1, ..., k  }
Математическая модель задачи – задача, условие которой записано с помощью
математических символов и соотношений.
Матрица над полем действительных чисел – прямоугольная таблица действительных чисел.
Матричная форма записи системы линейных неравенств – это запись системы
в виде Ax  b .
Метод аппроксимаций Фогеля – метод построения опорного решения транспортной задачи.
Метод ветвей и границ – метод (конечный) решения задач целочисленного линейного программирования, каждый шаг которого заключается в определенном разбиении
рассматриваемой на данный момент части множества допустимых решений на две части и
исследовании каждой из них в отдельности.
Метод Гомори – метод (конечный) решения задач целочисленного линейного программирования, заключающийся в последовательном введении дополнительных ограничений, каждое из которых отсекает от области допустимых решений задачи с ослабленными ограничениями область, не содержащую точек с целыми координатами.
Метод минимального элемента – метод построения опорного решения транспортной задачи.
Метод потенциалов (в исследовании операций) – один из методов решения транспортной задачи.
Метод северо-западного угла – метод построения опорного решения транспортной задачи.
Неотрицательная линейная комбинация неравенств системы A1 x  b1 , …,
Am x  bm – всякое неравенство вида (1 A1   m Am ) x  1b1   mbm , где 1, , m –
произвольные неотрицательные действительные числа
Неотрицательная линейная оболочка векторов a1, ..., ak – множество их всевозможных линейных комбинаций с неотрицательными коэффициентами, т.е. множество
{1a1  ...  k ak | 1, ..., k  R; 1, ..., k  0} .
Неотрицательный вектор – вектор с неотрицательными компонентами.
Однородная система – система, свободные члены которой равны нулю.
Опорное решение – допустимое решение, с которого начинается поиск оптимального решения
Оптимальное решение – допустимое решение задачи, доставляющее целевой
функции искомое экстремальное значение.
Осевым преобразованием симплекс-таблицы
x1
xs
xn
1
y1
a11
a1s
a1n
b1
  x1
yr
ar1
ars
arn
br
  xr
ym am1
ams
amn

bm   xm
cs
cn
1
c1

y1

ys

yn
c0
u

v
29
с ведущим элементом ars – преобразование ее в таблицу
x1
xr
xn
1
y1

a11
a1s
a1n
b1
  x1
ys
ar 1

ars

arn
br
  xs
1
ym am
1
c1

ams
cs

amn
cn
   xm

bm
c0  u




y1
yr
yn
v
в которой переменные yr и ys , xs и xr меняются местами. Это преобразование заключается
в
следующем.
1. Ведущий элемент заменяется обратной величиной:
1
 
ars
;
ars
2. Элементы строки, содержащей ведущий элемент, за исключением самого ведущего
элемента, делятся на ведущий элемент:
a
b
  rj для всех j  s ; br  r .
arj
ars
ars
3. Элементы столбца, содержащего ведущий элемент, за исключением самого ведущего
элемента, делятся на ведущий элемент и меняют знаки:
a
c
ais   is для всех i  r ; cs  s .
ars
ars
4. Прочие
элементы
вычисляются
по
правилу
прямоугольника:
arj  ais
для всех i  r , j  s ;
aij  aij 
ars
arj  cs
b a
i  r ; cj  c j 
bi  bi  r is для всех
для всех j  s ;
ars
ars
b c
c0  c0  r s для всех j  s .
ars
Отклонение точки Y ( y1,
, yn )  R n от плоскости a x  c – число, определяемое
равенством (a y  c) / | a |  ( a1 y1   an yn  c) / a12   an2 .
Полупространство – множество точек, лежащих по одну сторону от некоторой
плоскости (вместе с точками этой плоскости). Так, каждая плоскость  : ax  с разбивает
содержащее ее пространство на два полупространства   : ax  с и   : ax  с .
Потенциалы (в теории линейного программирования) – переменные двойственной
задачи.
Произведение матриц A Rmk и B Rkn – матрица C  R mn , такая, что
k
cij   air brj .
r 1
Произведение матрицы на число  A есть матрица B , такая, что bij  aij
30
Прямая задача канонического вида – задача поиска решения системы Ax  b  0 ,
x  0 , доставляющего минимум линейной функции u  c x
Прямая задача стандартного вида – задача поиска решения системы Ax  b  0 ,
x  0 , доставляющего минимум линейной функции u  c x
Радиус-вектор точки – вектор, проведенный из начала координат в эту точку.
Расстояние от точки Y до плоскости a x  c – абсолютная величина отклонения
от точки Y до плоскости a x  c .
Решение задачи линейного программирования – вектор, отвечающий требованиям этой задачи.
Решение системы линейных уравнений (неравенств) – вектор, подстановка
компонент которого вместо соответствующих неизвестных превращает ее в систему верных неравенств (равенств).
Сбалансированная транспортная задача линейного программирования – задача, для которой a1  ...  am  b1  ...  bn , где a1, ..., am и b1, ..., bn – соответственно строчечные и столбцовые суммы матрицы X (см. транспортная задача линейного программирования)
Симплекс-метод – метод решения задачи с помощью осевых преобразований симплекс-таблиц.
Симплекс-таблица – таблица, которая применяется для решения задач линейного программирования симплекс-методом. Симплекс-таблица представляет прямую задачу
Ax  b  0 , x  0 , u  c x  min канонического вида по строкам и задачу At y  ct  0 ,
v  bt y  max по столбцам:
x1
a11
xn
a1n
1
b1
ym am1
amn
bm  0
y1
1
c1
cn


0
0
u

z1
zn
v
Здесь z1, , zn – левые части ограничений двойственной задачи.
Симплекс-таблица допустимая по i-й строке – симплекс-таблица, свободный
член i-й строки которой (последний элемент i-й строки) неположителен.
Симплекс-таблица допустимая по j-му столбцу – симплекс-таблица, свободный
член j-го столбца которой неотрицателен.
Система линейных неравенств относительно неизвестных x1, , xn – система
вида
 a11x1   a1n xn  b1


a x   a x  b
mn n
m
 m1 1
Система ограничений задачи линейного программирования – система линейных уравнений или неравенств, которой должно удовлетворять ее решение.
Следствие системы неравенств – неравенство, множество решений которого содержит в себе множество решений системы.
Совместная система – система, которая имеет хотя бы одно решение.
Сумма матриц А и B одинаковой размерности – матрица С той же размерности,
такая, что cij  aij  bij .
31
Теорема двойственности. Если взаимно двойственные задачи допустимы, то они
имеют решения и экстремальные значения целевых функций этих задач совпадают. Если
хотя бы одна из задач недопустима, то ни одна из задач не имеет решения.
Теорема Минковского. Если c x  0 – следствие системы a1 x  0 , …, am x  0 , то
c  L (a1, , am ) .
Теорема равновесия. Пусть x и y – допустимые решения взаимно двойственных
задач линейного программирования, z1, , zn и t1, , tm – значений левых частей линейных ограничений этих задач на векторах x и y . Векторы x и y являются оптимальными
решениями
соответствующих
задач
тогда
и
только
тогда,
когда
z1x1   zn xn  t1 y1   tm ym  0 .
Транспонированная матрица к A – матрица B, такая, что bij  a ji для всех i, j .
Транспортная задача линейного программирования – задача поиска неотрицательной матрицы X с данными строчечными и столбцовыми суммами, которая минимизирует или максимизирует сумму произведений соответствующих элементов этой матрицы
и некоторой фиксированной матрицы С.
Транспортная таблица – прямоугольная таблица, с элементами xij , в правом
верхнем углу каждой ячейки которой записываются соответствующие элементы матрицы
С (см. транспортная задача линейного программирования) рядом со строками подписаны
суммы соответствующих строк, под столбцами – сумма соответствующих столбов матрицы X.
Цепь – последовательный набор клеток транспортной таблицы, каждые две из которых расположены в одном ряду и никакие три клетки в одном ряду не расположены.
Цикл – цепь, начальная и конечная клетки которой расположены в одном ряду.
НЕЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ
Вогнутая функция – функция f ( x) , определенная на некотором выпуклом множестве G , для любых точек x  и x которого и любого   [0; 1] справедливо неравенство f ( x  (1   ) x)   f ( x)  (1   ) f ( x) .
Выпуклая функция – функция f ( x) , определенная на некотором выпуклом множестве G , для любых точек x  и x которого и любого   [0; 1] справедливо неравенство f ( x  (1   ) x)   f ( x)  (1   ) f ( x) .
Градиент функции f ( x ) , x  R n , в точке x0 – n-мерный вектор, компонентами
которого являются соответствующие частные производные функции f ( x ) , вычисленные
в точке x0 , т.е. вектор f ( x0 ) / x  (f ( x0 ) / x1; ; f ( x0 ) / xn ) .
Градиент функции в точке – вектор, противоположный градиенту этой функции в
данной точке.
Градиентный метод – один из методов решения задачи нелинейного программирования. Суть градиентного метода – берется произвольная точка x0 множества допустимых решений и с помощью градиента f ( x0 ) , вычисленного в этой точке, определяется
направление, в котором f ( x ) возрастает с наибольшей скоростью, а затем, сделав небольшой шаг в нужном направлении, переходят в новую точку x1 . Аналогично, вычислив
f ( x1 ) , переходят в точку x2 и т.д. Таким образом строится последовательность точек
x0 , x1, x2 , , которая сходится к точке экстремума.
Задача нелинейного программирования (в общем виде) – задача поиска вектора,
удовлетворяющего системе ограничений и доставляющий экстремум некоторой функции,
в которой система ограничений или целевая функция не являются линейными.
32
n
n
Квадратичная форма – функция n неизвестных вида Q    dij xi x j
i 1 j 1
n
n
n
Квадратичная функция – функция вида f ( x)   c j x j   dij xi x j .
j 1
n
i 1 j 1
n
Матрица квадратичной формы Q    dij xi x j – матрица D с элементами dij .
i 1 j 1
Метод кусочно линейной аппроксимации – методов решения задачи нелинейного программирования с сепарабельными функциями системы ограничений и сепарабельной целевой функцией, который заключается в сведении этой задачи к задаче линейного
программирования путем замены каждой из сепарабельных функций кусочно-линейной.
Метод множителей Лагранжа – метод решения задачи нелинейного программирования с помощью функции Лагранжа.
Метод Франка-Вулфа – один из градиентных методов решения задачи нелинейного программирования с линейной системой ограничений. Решение задачи сводится к последовательному решению задач линейного программирования.
Метод штрафных функций – один из градиентных методов решения задачи нелинейного программирования. Подробное описание данного метода можно найти в книге
[Акулич И. Л. Математическое программирование в примерах и задачах. – М.: Высшая
школа, 1987.].
Метод Эрроу-Гурвица – один из градиентных методов решения задачи нелинейного программирования. Подробное описание данного метода можно найти в книге [Акулич И. Л. Математическое программирование в примерах и задачах. – М.: Высшая школа,
1987.].
Множители Лагранжа – коэффициенты i функции Лагранжа.
Невырожденная квадратичная форма – квадратичная форма, матрица которой
является невырожденной.
Невырожденная матрица – матрица, определитель которой не равен нулю.
Неотрицательно определенная квадратичная форма – квадратичная форма Q ,
такая, что Q( x )  0 для всех x .
Отрицательно определенная квадратичная форма – квадратичная форма Q , такая, что Q( x )  0 для всех x .
Положительно определенная квадратичная форма – квадратичная форма, которая получает положительное значение при любых значениях переменных, хотя бы одно из
которых отлично от нуля.
Строго вогнутая функция – функция f ( x) , определенная на некотором выпуклом
множестве G , для любых точек x  и x которого и любого   [0; 1] справедливо неравенство f ( x  (1   ) x)   f ( x)  (1   ) f ( x) .
Строго выпуклая функция – функция f ( x) , определенная на некотором выпуклом множестве G , для любых точек x  и x которого и любого   [0; 1] справедливо неравенство f ( x  (1   ) x)   f ( x)  (1   ) f ( x) .
Теорема Куна-Таккера (рассматривается задача линейного программирования
1( x)  0 , …, m ( x)  0 , x  0 , z  f ( x )  min , в которой i ( x ) , f ( x ) – выпуклые
функции). Пусть существует вектор x , такой, что i ( x )  0 для всех i  1, ..., m . Тогда необходимым и достаточным условием оптимальности вектора x , принадлежащего обла-
33
сти допустимых решений, является существование такого вектора   , что для всех x  0
и   0 имеет место неравенство L( x ,  )  L( x ,   )  L( x,   ) .
Точка глобального максимума (минимума) – точка x множества G допустимых решений, такая, что f ( x )  f ( x) ( f ( x )  f ( x)) для всех x  G .
Точка локального максимума (минимума) – точка x множества G допустимых решений, такая, что f ( x )  f ( x) ( f ( x )  f ( x)) для всех x   ( x ) , где  ( x ) некоторая окрестность точки x .
Функция Лагранжа задачи нелинейного программирования 1( x )  0 , …,
m
m ( x)  0 , x  0 , z  f ( x )  extr – функция L( x,  )  f ( x )   ii ( x ) .
i 1
ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ
Аддитивный критерий оптимальности – показатель эффективности управления
всей операции, который равен сумме показателей эффективности управлений на отдельных шагах: W (u1, , um )  w1( S1, u1)   wm (Sm , um ) , где wi ( Si , ui ) – показатель эффективности управления на i-м шаге, Si – состояние системы на начало i-го шага.
Безусловная оптимизация – второй этап решения задач динамического программирования, на котором, пользуясь результатами условной оптимизации, находят оптимальные решения.
Двумерная задача оптимального упорядочивания. На двух станках А и В следует произвести n видов деталей. Каждая деталь должна сначала пройти обработку на
станке А, затем – на станке В, детали на станок В подаются в той же последовательности,
что и на станок А. Время обработки детали i-го вида на станке А равно ai , на станке В –
bi . Необходимо найти последовательность подачи деталей на станок А, минимизирующую общее время изготовления деталей.
Задача динамического программирования (в общем виде). Рассматривается операция управления некоторой физической системой. Эта операция распадается на m шагов.
Известны: 1) возможные состояния управляемой системы на начало каждого шага;
2) состояние системы на начало первого шага; 3) варианты управлений ui , которые принимаются вначале каждого i-го шага; 4) функции i , которые позволяют определить состояние системы на начало i-го шага и которые зависят лишь от состояния Si 1 , в котором
система находилась вначале предыдущего ( i  1)-го шага и от принятого на этом шаге
управления ui 1 , 1  S1 ; 5) показатель эффективности управления операцией W , зависящий от управлений u1, , um принятых соответственно на шагах 1, , m . Необходимо
найти такое управление u  (u1, , um ) всей операцией, которое доставляет показателю
эффективности W некоторое экстремальное значение (максимум или минимум).
Задача о замене оборудования. В процессе работы оборудование дает ежегодно
прибыль, требует эксплуатационных затрат и имеет остаточную стоимость. Все эти характеристики зависят от возраста оборудования. В любом году оборудование можно либо сохранить, либо продать по остаточной цене и приобрести новое. В случае сохранения оборудования возрастают эксплуатационные расходы и снижается производительность. При
замене нужны значительные капитальные вложения. Задача состоит в определении оптимальной стратегии замен в плановом периоде, с тем, чтобы суммарная прибыль за этот
период была максимальной.
34
Задача о распределении ресурсов. В распоряжении компании имеется запас ресурсов K , который должен быть распределен между m предприятиями P1 , …, Pm . Каждое из предприятий Pi при вложении в него ui единиц ресурсов приносит доход fi (ui ) .
Все функции fi заданы. Необходимо таким образом распределить ресурсы K между
предприятиями, чтобы в сумме получить максимальный доход.
Задача о рюкзаке. Имеется некоторый вид транспорта грузоподъемностью Q у.е.
и некоторые товары T1 , …, Tm с весами q1 , …, qm и стоимостями c1 , …, cm соответственно. Необходимо таким образом загрузить данный вид транспорта, чтобы общая стоимость оказавшихся в нем грузов оказалась наибольшей.
Минимаксная задача о назначениях. Имеется n различных видов работ и n исполнителей. Каждый из исполнителей может выполнить только одну из видов работ, и
каждая работа может выполняться только одним исполнителем. Время выполнения i -ой
работы j -ым исполнителем известно и равно cij . Работы не зависят друг от друга (могут
выполняться параллельно), и выполнять их исполнители начинают одновременно. Требуется составить такой план распределения исполнителей по видам работ, который минимизирует время выполнения всех работ (максимум времен выполнения работ исполнителями).
Мультипликативная задача о назначениях. Имеется n различных видов работ и
n исполнителей. Каждый из исполнителей может выполнить только одну из видов работ,
и каждая работа может выполняться только одним исполнителем. Вероятность выполнения i -ой работы j -ым исполнителем известна и равна pij . Требуется составить такой
план распределения исполнителей по видам работ, который максимизирует вероятность
выполнения всего комплекса работ (произведение вероятностей выполнения работ исполнителями).
Мультипликативный критерий оптимальности – показатель эффективности
управления всей операции, который равен произведению показателей эффективности
управлений на отдельных шагах: W (u1, , um )  w1( S1, u1)   wm ( Sm , um ) , где wi ( Si , ui )
– показатель эффективности управления на i-м шаге, Si – состояние системы на начало iго шага.
Принцип оптимальности Беллмана – принцип, согласно которому, планируя
многошаговую операцию, надо выбирать управление на каждом шаге с учетом всех его
последствий на еще предстоящих шагах. Управление на каждом шаге выбирается не так,
чтобы выигрыш именно на данном шаге был максимальным, а так, чтобы была максимальной сумма выигрышей на всех оставшихся до конца шагах плюс данный.
Рекуррентные
соотношения
для
решения
задач
динамического
программирования – рекуррентные уравнения, на основе которых производится оптимизация на каждом из шагов задачи.
Условная оптимизация – первый этап решения задач динамического программирования, который заключается в поиске условных оптимальных выигрышей на каждом
шаге.
Условное оптимальное управление на некотором шаге – управление, которое
следует принять на этом шаге согласно с принципом оптимальности Беллмана, при условии, что на начало шага система находится в данном состоянии.
Условный оптимальный выигрыш на некотором шаге – максимальный выигрыш, который можно получить в сумме за данный и все последующие шаги, при условии,
что на начало шага система находится в данном состоянии.
35
СЕТЕВОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ
Критический срок – ранний срок свершения последнего события проекта, заключающегося в выполнении всего комплекса работ проекта; минимальное время, за которое
могут быть выполнены все работы проекта.
Поздний срок свершения события – самый поздний момент времени, после которого остается ровно столько времени, сколько необходимо для завершения всех работ,
следующих за этим событием, в критический срок.
Полный резерв времени работы – максимальное временя, на которое можно задержать начало работы или увеличить ее продолжительность, не нарушая поздних сроков
начала следующих за ней работ.
Работа – любое действие, трудовой процесс, сопровождающийся затратами ресурсов или времени и приводящий к определенным результатам.
Ранний срок свершения события – самый ранний момент времени, к которому
завершаются все работы, предшествующие этому событию.
Резерв времени события – разность между поздним и ранним сроками свершения
этого события; величина, которая показывает, на какой предельно допустимый срок можно задержать наступление этого события, не вызывая при этом увеличения срока выполнения всего комплекса работ (критического срока).
Свободный резерв времени работы – запас времени, на который можно задержать начало работы или увеличить ее продолжительность, не нарушая ранних сроков
начала следующих за ней работ.
Сетевая модель – экономико-математическая модель, отражающая комплекс работ
(операций) и событий, связанных с реализацией некоторого проекта (научноисследовательского, производственного и др.), в их логической последовательности и связи.
Сетевой график – графическое представление сетевой модели – связный орграф
без петель и контуров, вершинами которого являются события, а дугами – работы.
Событие – результат завершения одной или несколько работ.
СИСТЕМЫ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ
Абсолютная пропускная способность системы массового обслуживания – число
заявок, обслуживаемых этой системой в единицу времени.
Граф состояний системы массового обслуживания – ориентированны граф, вершинами которого являются возможные состояния системы, а дугами – возможные переходы из одного состояния в другое.
Задача Эрланга – задача вычисления характеристик n-канальной системы массового обслуживания с отказами.
Интенсивность потока событий – среднее число событий, приходящихся на единицу времени.
Канал обслуживания – обслуживающая единица системы массового обслуживания. Например, линия связи на телефонной станции, рабочий в ремонтной мастерской,
кассир в магазине.
Марковский процесс – случайный процесс, протекающий в системе, вероятностные характеристики которого для любого момента времени t0 в будущем зависят только
от его состояния в данный момент t0 и не зависят от того, когда и как система пришла в
это состояние.
Ординарный поток событий – поток, события в котором появляются по одному, а
не группами по нескольку сразу.
Относительная пропускная способность системы массового обслуживания –
средняя доля заявок, обслуживаемых этой системой или вероятность того, что заявка будет обслужена.
36
Поток без последействия – поток, обладающий следующим свойством: для любых
двух непересекающихся участков времени 1 и  2 число событий, попадающих на один
из них, не зависит от того, сколько событий попало на другой.
Поток событий – последовательность однородных событий, следующих друг за
другом в какие-то случайные моменты времени. Например, поток вызовов на телефонной
станции.
Простейший (стационарный, пуассоновский) поток событий – поток, обладающий свойствами стационарности, однородности и не имеющий последействия.
Процесс с дискретными состояниями – процесс, возможные состояния которого
можно заранее перечислить (перенумеровать), и переход системы из одного состояния в
другое происходит «скачком», практически мгновенно .
Процесс с непрерывным временем – процесс со случайными моментами возможных переходов из состояния в состояние.
Регулярный поток – поток, в котором события следуют через определенные, равные промежутки времени.
Система массового обслуживания – физическая система, предназначенная для
обслуживания какого-то потока заявок, поступающих в случайные моменты времени.
Например, телефонная станция, ремонтная мастерская, магазин.
Система массового обслуживания с отказами – система массового обслуживания, в которой заявка, пришедшая в момент времени, когда все каналы заняты, получает
отказ, покидает систему массового обслуживания и в дальнейшем процессе обслуживания
не участвует.
Система массового обслуживания с очередью – система массового обслуживания, в которой заявка, пришедшая в момент времени, когда все каналы заняты, становится
в очередь.
Стационарный поток – поток, вероятностные характеристики которого не зависят
от времени.
Схема гибели и размножения – система массового обслуживания с определенным
графом состояний. Данный термин ведет начало от биологических задач, где подобным
графом описывается изменение численности популяций.
Уравнения Колмогорова вероятностей состояний – определенного вида дифференциальные уравнения, связывающие производные вероятности состояний с интенсивностями потоков событий, переводящими систему из одного состояния в другое, и вероятностями этих переходов. В левой части каждого из этих уравнений стоит производная
вероятности некоторого состояния, в правой части – сумма произведений вероятностей
всех состояний, из которых ведут стрелки в данное состояние, на интенсивности соответствующих потоков событий минус суммарная интенсивность всех потоков, выводящих
систему из данного состояния, умноженная на вероятность этого состояния.
Финальная вероятность состояния – предел вероятности этого состояния, зависящего от времени t , при t   , если он существует.
Формула Литтла – формула, согласно которой для любой системы массового обслуживания, при любом характере потока заявок, при любом распределении времени обслуживания, при любой дисциплине обслуживания среднее время пребывания заявки в
системе равно среднему числу заявок в системе, деленному на интенсивность потока заявок.
Характеристики системы массового обслуживания – показатели эффективности
системы массового обслуживания, описывающие ее способность справляться с потоком
заявок.
Элемент вероятности – вероятность попадания на произвольно расположенный
элементарный участок времени хотя бы одного события потока.
37
ЗАДАЧИ УПРАВЛЕНИЯ ЗАПАСАМИ
Вероятностная задача управления запасами – задача управления запасами, в которой спрос с момента поступления запаса до момента его пополнения невозможно точно
предсказать.
Детерминированная задача управления запасами – задача управления запасами,
с известным спросом с момента поступления запаса до момента его пополнения.
Задача управления запасами с пропорциональными затратами – задача управления запасами, в которой издержки пополнения на единицу продукции постоянны и весь
спрос в конечном счете удовлетворяется.
Задача управления запасами. Имеются некоторые запасы, затраты на хранение
которых являются функцией (необязательно линейной) их величины. Известны также затраты на пополнение (доставку, приобретение или производство) этих запасов и спрос на
них. Необходимо определить оптимальный размер, частоту и сроки пополнения запасов,
которые позволяют минимизировать суммарные издержки. Критерием оптимизации чаще
всего является сумма издержек на хранение и пополнение запасов. Иногда в этой сумме
появляется еще одно слагаемое – штраф за неудовлетворенный спрос.
Многопродуктовая задача управления запасами – задача управления запасами с
несколькими типами пополняемых запасов.
Непрерывная система пополнения запасов – система пополнения запасов при
уменьшении запасов до определенного уровня.
Однопродуктовая задача управления запасами – задача управления запасами с
одним типом пополняемых запасов.
ПРИНЯТЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
 – отношение теоретико-множественного включения
 – отношение принадлежности элемента множеству
X1, , X k – выпуклая линейная оболочка точек X1, , X k .
L (a1, , ak ) – неотрицательная линейная оболочка векторов a1, ..., ak
L(a1, , ak ) – линейная оболочка векторов a1, ..., ak
At – матрица, транспонированная к A .
 – естественный частичный порядок на множестве действительных чисел или на множестве Rmn ( A  B тогда и только тогда, когда aij  bij для всех i, j )
R – множество действительных чисел
m n матрица – матрица, состоящая из m строк и n столбцов.
Rmn – множество всех m n матриц над полем действительных чисел
aij , bij , cij , … – элементы матриц А, В, С, …, расположенные в i-й строке и j-м столбце
Ai – i -я вектор-строка матрицы A ( Ai  (ai1,
, ain ) )
A j – j -й вектор-столбец матрицы A ( A j  (a1 j ,
, amj )t ).
f ( x0 ) – градиент функции f ( x ) , x  R n , в точке x0
t p (i ) – ранний срок свершения события i .
t (i, j ) – продолжительность выполнения работы (i, j ) .
tп (i) – поздний срок свершения события i .
R (i ) – резерв времени события i .
t р.н. (i, j ) – ранний срок начала работы (i, j ) .
38
t р.о. (i, j ) – ранний срок окончания работы (i, j ) .
tп.о. (i, j ) – поздний срок окончания работы (i, j ) .
tп.н. (i, j ) – поздний срок начала работы (i, j ) .
Rполн. (i, j ) – полный резерв времени работы (i, j ) .
Rсвоб. (i, j ) – свободный резерв времени работы (i, j ) .
Раздел IV
Практикум по решению задач
1. Линейное программирование
Пример 1. Решить графическим способом
 x1  x3  5
2 x  x  1
 1
3

 x1  x3  1
 x1, x3  0
z  3x1  x3  1  max
Множество допустимых решений этой задачи и опорная прямая изображены
на рис. 1. max z  z(2; 3)  8 .
x3
G
O
A
1
z 1  0
x1
Рис.1
Пример 2. Решить следующую задачу линейного программирования
симплекс-методом
2 x1  x2  x3  1

  x1  2 x2  x3  1
x , x , x  0
 1 2 3
u  2 x1  2 x2  5 x3  min
Решение.
39
x1
x2
x3
y1 2
1
1
1
0
1  0
z4
y2 1
2
1
0
1
1  0
2
2
5
0
0
0 u





z1
z2
z3
1
x4 x5
1
x1
x2
x3
0
x5
1
2
1
1
1
0
1   x4
y2 1
2
1
0
1
1  0
2
2
5
0
0
0 u







z4 z1
v
z1
z2
z3
y1
z1
v
1
x1
x2
x3
0
0
1
2
1
1
1
0
1   x4
z5 1
2
1
0
1
1   x5
2
2
5
0
0
0 u






z1
z2
z3
z4
1
x1
y1 y2
y1   z4 , y2  z5 .
v
x2
x3
2
1
1
1   x4
z5 1
2
1
1   x5
z5
2
5
0 u
1
z4
1
2



z1
z2
z3
1

v
x1
x4
z2 1
1/ 2
1/ 3
2 / 3  x2
z3 1
2 / 3
1/ 3
1/ 3  x3
1
x5
x1
x4
x3
z2 2
1
1
1  x2
3
2
3
1  x5
6
2
3
2 u



z1
z4
z3
1

v
1
12
4
1
3




z1
z4
z5
v
u
min u  u(0; 2/ 3;1/ 3)  3 , max v  v(4;1)  3 .
Пример 3. Решить транспортную задачу на минимум.
bj
22 45 20 18 30
ai
60
4
1
3
4
4
35
2
3
2
2
3
40
3
5
2
4
4
Решение.
40
v1  4
u1  0 
v2  1 v3  0
v4  0 v5  0
4
 1
38
3
u2  2
2
3
2
u3  4
3
22
 7
20
5
2



22
45
20
v1  4
v2  1
v3  5
1
3
4
15
4
2
3
4
4
8

u1  0

4

10
30

2
u3  1
3
3

18
2
20
5
v4  5 v5  5
4
4

2
3
2
4
4
 3
30



22
45
20
v1  4
v2  1
v3  3
1
3
4
3
2
2
3
4
4
u1  0 
4
15

2
18
u3  1 
7
3
17
5

22
45
20
 40
30

4
18
 30
3

 35
v4  3 v5  5
2

 60

45
u2  1
 40
30
15

7
 35

45
u2  3
 60


18
30
 60
 35
 40
41
v1  3
v2  1
v3  2
4
1
3
u1  0
u2  0
v4  2 v5  4
4
45

u3  0 
2
15
3

2
17
3
5
2



22
45
20
2
3
4
4
18
 3
22
4
15

18
 60
 35
 40

30
min z  45 1  15  4  17  2  18  2  5  3  20  2  15  4  290 .
Пример 4. Найти решение задачи целочисленного линейного программирования методом отсечений Гомори
3x1  2 x2  6 , x1  2 x2  12 , x1, x2  0 ,
z  x1  x2  max
42
Решение.
x1
x2
3
2
 6   x3
1
2
12   x4
1
1
0  z
x3
1
x4
1
x3
x1
x4
1
4
1
18   x3
1
2
 12
1
2
1
2
 6   x2
1
4
 18
1
8
 6  z
s
  x1
x4
1
0
4   x1
  x2
 12
1
2
4   x2
 s
4
1
 z
 33
4
1
2
1
2
2   x3
8   z

1
4
 18
1
4
3
8
9
2
 15
4
 14
 14
1
2
1
8
5
8
x4
1
4
3
8
5
8
1

9
2
 15
4
 33
4
  x1
  x2
 z
1
max z  z(4; 4)  8 .
Пример 5. Решить графическим способом следующую задачу параметрического линейного программирования.
4 x1  x2  16
2 x  2 x  22
 1
2
zt  (2  t ) x1  (13  t ) x2  max , t  0,10 .

6
x

3
x

36
2
 1
 x1, x2  0
Решение.
2t
.
k (t ) 
t  13
dk
15

0,
lim k (t )  1 ,
dt
t 
(t  13) 2
2t
 1,
t  5,5 .
t  13
2t
t 8.
 2 ,
t  13
2t
t  10 .
 4 ,
t  13
Ответ:
при 0  t  5,5 max zt  zt (0;11)  143  11t ;
при t  5,5 max zt достигается на [ AB] и равен
82,5;
при 5,5  t  8 max zt  zt (1;10)  132  9t ;
при t  8 max zt достигается на [ BC] и равен 60;
при 8  t  10 max zt  zt (2;8)  108  6t .
x2
A (2)
B
(3)
C
x2  x1
(1)
D
O
z 0
x1
43
Пример 6. Решить задачу из примера 1 симплекс-методом.
Решение.
11  2t  0 , 13  t  0  [0;5,5]
 при 0  t  5,5 max zt  zt (0;11)  143  11t .
x1
x2
1
x1
x4
1
4
1
16   x3
3
1
 5   x3
1
1
11   x2
1
1
11   x4
2
1
2
13
2  t
13  t
12   x5
1
1
0
  z0
11
13
0
  zt
11  2t
13  t
x5
x4
1
3
2
2
1
2
1
1
11  2t
24  3t
1
  x5
143   z0
11   zt
x5
x3
1
  x3
3/ 2
1/ 2
1
  x3
10
  x2
2
1
8
  x2
1
  x1
1/ 2
1/ 2
2
  x5
25  5/ 2t
12  3/ 2t
22  2t   z
108  6t   z
11  2t  0 , 24  3t  0 ,  max zt  zt (1;10) при 5,5  t  8 .
25  2,5t  0 , 12  1,5t  0  max zt  zt (2; 8) при 8  t  10 .
Пример 7. Решить методом потенциалов следующую задачу параметрического программирования.
2t
2t  1
t 3 9
2  5t
8
4t  7  7

5


6
5
Решение. t  0
1
0
0
0
3
1
3
9
8
2
7
5
2t  1
2t
6
2
2
9
7
0
2  7t

2t
3
11t  9
2t  1

t3
9
6
2  5t
8
4t  7
 5
 2






5
6
5
5
6
5
7
44
12  8t
2t
0
2t  1

t3
2t  1
t3

6
2  5t
3t  10
3
8


2t  1
9
7
t3
2t  1
2t
4t  7
 2

5
 7  3t
0
t3
4
9  2t

2  5t
4t  7
8
5
7
2


5
6
5
5
6
(2  7t )  (2t  1)  8 , 0  (11t  9)  t  3  t  [1, 4;1, 2] .
12  8t  2t , 5t  11  8  t  [1, 2; 3,8] .
7  3t  2t , t  12  4t  7  t  [3,8;  ) .
5
2t  1
2t
0
2  7t

2t
3
 2t  1
6
t3
8
4t  7
2  5t
 2



2t  1
2t
2t
9
5


11t  9
7
0
9  2t
9
5
5
6t  16
2t  1
t3
9
4
2  5t
8
2
4t  7
5



5
6
5
7
5
6
5
6t  16  t  3 , 9  2  5t  t  (;  1, 4] .
Ответ:
 5 4 0
при t  (;  1, 4) min zt  zt 
  38t  23 ;
0
2
5


при t  1,4 min zt  76, 2 , множество оптимальных решений – множество
  5 4 0
  3  2 6  2 0 

 3 6 0


(1


)
|


[0;1]

|


[0;1]
 
 
;

 2 0 5

0
2
5
2

2

2

5







 

 3 6 0
при t  (1, 4;1, 2) min zt  zt 
  28t  37 ;
 2 0 5
при t  1, 2 min zt  3, 4 , множество оптимальных решений – множество
  3 6 0
  3
6 3  3 

 0 6 3

(1


)
|


[0;1]

|


[0;1]
 


;

 5 0 2
 5  3 0 2  3 
2
0
5







 

 0 6 3
при t  (1, 2; 3,8) min zt  zt 
  2t  1;
 5 0 2
при t  3,8 min zt  8,6 , множество оптимальных решений – множество
  0 6 3
  0 4  2 5  2 

 0 4 5
 (1   ) 
|   [0;1]  
|   [0;1] ;
 



2 
 5 2 0
  5 0 2
  5 2  2

 0 4 5
при t  (3,8;  ) min zt  zt 
  12t  37 .
5
2
0


45
Задачи для самостоятельного решения
1. Решить графическим методом
1,5 x1  3 x2  x3  x4  18
 5x
 2 x3  4 x4  24
1

 x  0, j  1,...,4
 j
z  5 x1  6 x2  x3  x4  min
2. Решить симплекс-методом.
3
5 x1  3x2

 x1  2 x2  4 x3  4
 x ,x ,x 0
 1 2 3
x1  3x2  x3  max
3. Решить транспортную задачу на минимум.
aj
7
9
5
8
bi
5
1
3
4
2
6
1
2
4
1
4
3
4
5
9
12
6
3
7
6
4. Решить следующие задачи целочисленного линейного программирования
 x1  3 x2  6
3 x  2 x  36
 1
2

x2  13

 x1, x2  N 0
z  3x1  3x2  max
5. Решить задачу параметрического линейного программирования
графически и симплекс-методом.
 x1  2 x2  12
2 x  x  10
 1
2

 3 x1  2 x2  24
 x1, , x5  0
zt  (3  2t ) x1  (7  2t ) x2  (40  10t )  max , t  (; )
6. Решить методом потенциалов транспортную задачу параметрического линейного программирования на максимум с таблицей
46
2t
2t  1
2  5t
8

t 3
9
4t  7  7


5
6
5
2. Дробно-линейное программирование
Пример. Решить графически и симплекс-методом следующую задачу
дробно-линейного программирования.
 2 x1  8 x2  26
 x  x  4
2 x  3x2
 1
2
z 1
 min

12
x

3
x

39
x

x
2
1
2
 1
 x1, x2  0
Решение.
2 z
x2 
x1,
z 3
2 z
.
k ( z) 
z 3
dk ( z  3)  (2  z )
1


 0.
dz
( z  3)2
( z  3)2
min z  z (3;1)  2,25 .
x1
x2
x4
7
1
1
1
22   x3
 4   x2
9
3
1
0
3
1
27   x5
12  P
26   x3
1
1
12
3
2
1
3
1
4   x4
39   x5
0 P
0 Q
12
 4  0 ,  2 
0
4
min z  z (3;1)  2,25 .
A
3
12
1
4
1
4 Q
B
C
3
O
x1
1
1
3
1
8
1 
x2
x1
x5
x4
1
 79
 43
1
 19
 43
1   x2
1
9
1
9
1
3
10
3
0
1
  x3
3   x1
P
9
Q
4
 0.
Задачи для самостоятельного решения
Решить графически и симплекс-методом.
47
 2 x1  4 x2  16
 4 x  2 x  8
 1
2

 x1  3 x2  9
 x1, x2  0
z
3x1  2 x2
 max
x1  2 x2
3. Нелинейное программирование
Пример 1. Рассмотрим следующую задачу нелинейного программирования.
2 x1  3x2  24
 x  2 x  15
2
 1
 3 x1  2 x2  24

x2  4

 x1, x2  0
f  x2  x12  6 x1  max
Решение.

 x2  x12  6 x1  13

x2  4


max f  f (3; 4)  13 .
Пример 2. Решить следующую задачу нелинейного программирования
методом множителей Лагранжа.
 x1  x2  80

 x1, x2  0
f  4 x1  x12  8x2  x22  max
Решение.
48
L( x1, x2 ,  )  4 x1  x12  8x2  x22   (80  x1  x2 ) .
L
L
L
 180  x1  x2  0 .
 4  2 x1    0 ,
 8  2 x2    0 ,

x1
x2
x  (91; 89) .
Пример 3. Найти решение следующей задачи квадратичного программирования с помощью осевых преобразований.
2 x1  3x2  13

2 x1  x2  10
 x ,x 0
 1 2
f  2 x1  0,2 x12  3x2  0,2 x22  min
Решение.
0  t  2 2
 2 3
1/ 5
 1 0
 13 
 2 
A
D

A

E

b

c

,
,
,
,
,

 0
 3 1
0
 10 
 3  ,
1/ 5 
1
 2 1




 
 
z  ( x1; x1; y1; y2 ; v1; v2 ; 1; 2 ) , z  (v1; v2 ; 1; 2 ; x1; x1; y1; y2 )t .
0
0
 A E
b

z



 c  , z  0 , T  z  z  0 .
0 E
At 
 2 D
 
3 1 0
0
0 0 0
 2
13 
 2
10 
1 0
1
0
0 0 0 

 z   , z  0,
2/5
2
0 0 0 1
0 2 2


 
0 1 3 1 
 0 2/5 0 0
3
T  z  z  0
 13
 2 x1  3x2  y1
 2x 
x2
 y2
 10
1

v1
21  22  2
2 / 5 x1 

2 / 5 x2
v2 31  2  3

 x1, x1, y1, y2 , v1, v2 , 1, 2  0
T  z  z  0 .
x1
x2
1
2
1
2
3
0
0
2
1
0
0
2 / 5
0
2
2
0
2 / 5
3
1
13   y1
10   y2
2
 v1
3
 v2
49
x1
x2
1
2
3
0
v2
0
2
1
0
0
2 / 5
4/5
4
2
 4
0
2/5
3
1
 3  2
1
13   y1
10   y2
 v1
z  (0; 0;13;10; 4; 0; 0; 3) , z  (4; 0; 0; 3; 0; 0;13;10) t ; z  z  60  0 .
x1
x2
2
1
v2
2
3
0
0 13   y1
2
1
0
0 10   y2
2 / 5
4 /15 4 / 3 2 / 3
0  v1
0
2 /15
1/ 3 1/ 3  1  1
z  (0; 0;13;10; 0; 0;1; 0) , z  (0; 0;1; 0; 0; 0;13;10) t ; z  z  26  0 .
x2
2
1
v1
v2
5
13 / 3
20 / 3 10 / 3 13   y1
5
7/3
4 / 3 10 / 3 10   y2
5 / 2
2 / 3
10 / 3
5/3
0   x1
0
2 /15
1/ 3
1/ 3  1  1
z  (0; 0;13;10; 0; 0;1; 0) , z  (0; 0;1; 0; 0; 0;13;10) t ; z  z  26  0 .
2
1
v1
y1
v2
15 /13
3/13 20 /13 10 /13
3   x2
30 /13
7 /13 40 /13 20 /13
3   y2
  x1
45 / 26
2 /13
30 /13
15 /13
2
2 /13 2 / 65
7 /13
3/13 3/ 5  1
z  (2; 3; 0; 3; 0; 0; 3/ 5; 0) , z  (0; 0; 3/ 5; 0; 2; 3; 0; 3) t , z  z  0 .
min f  f (2; 3)  10, 4 .
Пример 4. Найти решение следующей задачи нелинейного программирования методом Франка–Вулфа
 x1  2 x2  8

2 x1  x2  12
 x ,x 0
 1 1
f  2 x1  4 x2  x12  2 x22  max
(1)
50
Решение.
 f f 
f  
;
  (2  2 x1; 4  4 x2 )

x

x
 1
2
X (0)  (0; 0)
| f ( X (k 1) )  ( X (k ) ) |   , где   0,01 .
I итерация. f ( X (0) )  (2; 4) .
 x1  2 x2  8

f1  2 x1  4 x2  max
2 x1  x2  12
 x ,x 0
 1 1
Z (0)  (0; 4) .
X (1)  X (0)  1(Z (0)  X (0) ) , 1  [0;1] .
 x (1)  0    0
1
 1
 (1)
 x2  0  1  4
f (1 )  161  3212 .
f (1 )  16  641  0 . 1  1/ 4  0, 25 .
X (1)  (0; 0)  14 (0; 4)  (0;1) , f ( X (1) )  2 , | f ( X (1) )  f ( X (0) ) |  2    0,01 .
II итерация. f ( X (1) )  (2; 0) .
x1  2 x2  8 , 2 x1  x2  12 , x1 , x1  0 , f 2  2 x1  max
Z (1)  (6, 4; 0,8) .
X (2)  X (1)  2 (Z (1)  X (1) ) , 2  [0;1] ;
x1(2)  6, 42 , x2(2)  1  0, 22 .
f (2 )  2  12,82  41,7622 .
f (2 )  0 , 2  0,15 .
X (2)  (0,96; 0,97) , f ( X (2) )  2,9966 , | f ( X (2) )  f ( X (1) ) |  0,9966    0,01 .
III итерация. f ( X (2) )  (0,08; 0,12) .
x1  2 x2  8 , 2 x1  x2  12 , x1 , x1  0 , f 2  0,08 x1  0,12 x2  max
Z (2)  (6; 0) .
X (3)  X (2)  3 (Z (2)  X (2) ) , 3  [0; 1] ;
x1(3)  0,96  5, 043 , x2(3)  0,97  0,97 3 .
f (3 )  0, 4032  54,68323 .
f (3 )  0 , 2  0, 007 .
X (3)  (0,99528; 0,96321) , f ( X (3) )  2,99957 ,
51
| f ( X (3) )  f ( X (2) ) |  0,00297    0,01 .
X (3)  (0,99528; 0,96321) является искомым решением исходной задачи.
Задачи для самостоятельного решения
1. Решить графическим способом.
 6 x1  4 x2  12
 2 x  3 x  24
 1
2
f  x1x2  max


3
x

4
x

12
1
2

 x1, x2  0
2. Решить методом множителей Лагранжа.
 x1  x2  x3  4
f  x12  x22  x3

2 x1  3 x2  12
3. Решить с помощью осевых преобразований.
 x1  2 x2  8

f  2 x1  4 x2  x12  2 x22  max
2 x1  x2  12
 x ,x 0
 1 2
4. Решить следующие задачи нелинейного программирования методом
Франка-Вулфа, взяв X (0)  (2; 2) .
 x1  2 x2  8

f  2 x1  4 x2  x12  2 x22  max
2 x1  x2  12
 x ,x 0
 1 1
5. Динамическое программирование
Пример 1. Решить задачу оптимального распределения ресурсов в количестве 3 единиц с дискретностью в одну единицу между тремя предприятиями при следующих функциях дохода
x
f1( x)
f 2 ( x)
f3 ( x)
0
0
0
0
1
2
2
2
2
5
4
6
3
7
8
7
Решение.
52
S
1
2
3
S
3
S
u3 ( S )
W3 ( S )
u2 ( S )
W2 ( S )
0
0
0
0
0
1
1
2
0;1
2
2
2
6
0
6
3
3
7
1; 3
8
u4 ( S )
W4 ( S )
0;1
9
u2
S  u2
f 2 (u2 )
W3 ( S  u2 )
f 2 (u2 )  W3 ( S  u2 )
0
1
0
2
2
1
0
2
0
2
0
2
0
6
6
1
1
2
2
4
2
0
4
0
4
0
3
0
7
7
1
2
2
6
8
2
1
4
2
6
3
0
8
0
8
u1
S  u1
f1(u1)
W2 ( S  u1)
f1(u1)  W2 ( S  u1)
0
3
0
8
8
1
2
2
6
8
2
1
5
2
7
3
0
7
0
7
u1
u2
1
0
S 3
S 2
u3  1
S 2
S 3
u2
3
S 0
u3  3
S 2
u1  1
S 2
u2  0
S 2
u3  2
S 2
Максимальная прибыль – 8 д.е.
53
Пример 2. Решить методом динамического программирования задачу
о загрузке транспорта грузоподъемностью 10 ед. тремя видами груза с весами
2, 3, 4 ед. и стоимостями 5, 9, 11 ед. соответственно.
Решение.
S
u3 ( S ) W3 ( S ) u2 ( S ) W2 ( S ) u1( S ) W1( S )
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
2
0
0
0
0
3
0
0
1
9
4
1
11
0
11
5
1
11
0
11
6
1
11
2
18
7
1
11
1
20
8
2
22
0
22
9
2
22
3
27
10
2
22
2
28
0; 2
28
54
S
3
4
5
6
7
8
9
10
S
10
u2
S  q2u2
c2u2
W3 ( S  q2u2 )
c2u2  W3 (S  q2u2 )
0
3
0
0
0
1
0
9
0
9
0
4
0
11
11
1
1
9
0
9
0
5
0
11
11
1
2
9
0
9
0
6
0
11
11
1
3
9
0
9
2
0
18
0
18
0
7
0
11
11
1
4
9
11
20
2
1
18
0
18
0
8
0
22
22
1
5
9
11
20
2
2
18
0
18
0
9
0
22
22
1
6
9
11
20
2
3
18
0
18
3
0
27
0
27
0
10
0
22
22
1
7
9
11
20
2
4
18
11
28
3
1
27
0
27
u1
S  q1u1
c1u1
W2 ( S  q1u1)
c1u1  W2 (S  q1u1 )
0
10
0
28
28
1
8
5
22
27
2
6
10
18
28
3
4
15
11
27
4
2
20
0
20
5
0
25
0
25
55
u1  0
S  10
u1  2
S  10
u2  2
S 6
u2  2
S 4
S 0
u3  1
u3  0
S 0
S 0
Задачи для самостоятельного решения
а) Найти решение задачи об оптимальном распределении ресурсов в
количестве 6 д.е. между четырьмя предприятиями при следующих функциях
дохода
x 1 ( x) 2 ( x) 3 ( x) 4 ( x)
1
5
1
6
3
2
10
5
11
6
3
14
12
12
13
4
20
18
14
14
5
25
25
16
15
6
28
29
17
15
б) Найти методом динамического программирования решение классической, минимаксной и мультипликативной задач о назначениях с матрицей
3 7 2
C   6 5 4  .
1 2 3


6. Сетевое планирование
Пример.
Работа
Непосредственно
Предшествующая ей работа
Продолжительность
Работы (нед.)
A
B
C
D
E
F
G
H
I
—
—
—
A
A,B
A,B
С,E
D,F,G
C,E
3
6
4
5
1
9
6
8
5
56
2
3
6
D
3
A
5
15 15
0
5
0
F
0
0
6
6
0
4
9
3
B
1
6
6
23 23
0
G
0
6
E
C
H
8
3
I
1
5
4
7
9
2
Работа
t р.н.
t р.о.
tп.о.
tп.н.
Rполн.
Rсвоб.
А
В
С
D
E
F
G
H
I
0
0
0
3
6
6
7
15
7
3
6
4
8
7
15
13
23
12
6
6
9
15
9
15
15
23
23
3
0
5
10
8
6
9
15
18
3
0
5
7
2
0
2
0
11
0
0
3
7
0
0
2
0
11
Задачи для самостоятельного решения
Построить сетевую модель проекта, заключающегося в выполнении
комплекса работ A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, K. Взаимосвязь между этими работами и их продолжительность приведены в таблице. Найти характеристики
построенной работ и сформулировать рекомендации по реализации данного
проекта в кратчайший срок.
Работа
Непосредственно
предшествующая ей
работа
Продолжительность
Работы (нед.)
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
—
—
—
B
A,B
C
D,E
A,F
A,F
G,H
I
1
6
2
3
6
1
8
4
5
8
2
6. Системы массового обслуживания
Пример 1. Составить граф состояний следующей системы, состоящей
из двух автоматов по продаже газированной воды, каждый из которых в случайный момент времени может быть либо занятым, либо свободным.
Решение.
57
S1
S2
S3
S4
Пример 2. Составить уравнения Колмогорова для состояния S3 системы из примера 1.
dp3
Решение.
 13 p1 (t )  43 p4 (t )  (31  34 ) p3 (t ) .
dt
Пример 3. Выписать уравнения, связывающие финальные вероятности
состояний и интенсивности потоков событий, для системы со следующим
графом состояний.
S1
13
12
23
S3
S2
32
Решение.
(13  12 ) p1  0 , 23 p2  12 p1  32 p3 , 32 p3  13 p1  23 p2 ,
p1  p2  p3  1 .
Пример 4. Одноканальная система массового обслуживания с отказами – телефонная линия. Интенсивность потока вызовов – 90 вызовов в час.
Средняя продолжительность разговора 2 мин. Определить показатели эффективности работы системы.
Решение.
  90 (1/ч), tоб.  2 мин.
  1/ tоб.  1/ 2  0,5 (1/ мин)  30 (1/ ч) .
Q   /(   )  30 /(90  30)  0, 25 .
Pотк.  0,75 .
A    Q  90  0, 25  22,5 вызовов в час.
Задачи для самостоятельного решения
1. Найти предельные вероятности систем, заданных графом состояний.
58
2
S1
1
4
S0
3
3
2
3
2
S2
S0
S1
5
S2
4
S3
2. Одноканальная система массового обслуживания с отказами – телефонная линия. Интенсивность потока вызовов – 0,7 вызовов в минуту. Средняя продолжительность разговора 1,4 мин. Определить показатели эффективности работы системы.
3. Многоканальная система массового обслуживания с отказами – телефонная линия с тремя линиями связи. Вызовы поступают каждые 15 сек.,
средняя продолжительность разговора 1,5 мин. Определить показатели эффективности работы системы.
4. Одноканальная система массового обслуживания с ограниченной
очередью – автозаправочная станция, площадка при которой допускает очередь не более 3 машин. В среднем на заправку прибывает 0,6 машины в минуту. Процесс заправки длится 2 минуты. Определить показатели эффективности работы системы.
5. Многоканальная система массового обслуживания с ограниченной
очередью – стоматологическое отделение поликлиники, состоящее из зубоврачебного кабинета с двумя креслами и коридора для ожидания приема с
тремя стульями. Поток клиентов – простейший с интенсивностью 6 клиентов
в час, среднее время обслуживания 20 мин. Если все стулья в коридоре заняты, клиент не становится в очередь. Определить показатели эффективности
работы системы.
6. Многоканальная система массового обслуживания с неограниченной очередью – автозаправочная станция с двумя колонками, которая обслуживает поток машин с интенсивностью 0,8 машин в минуту. Среднее время
обслуживания одной машины 2 мин. Определить показатели эффективности
работы системы.
7. Задачи управления запасами
Пример 1. Ежедневный спрос на некоторый товар составляет 100 ед.
Затраты на пополнение товара не зависят от его объема и равны 100 д.е. Ежедневные затраты на хранение единицы товара составляют 0,02 д.е. Определить оптимальный размер партии при сроке выполнения заказа, равном 12
дням.
Решение.
2cп N
2  100  1200
x 

 1000 (ед.)
cхT
0,02  12
59
Пример 2. Магазин закупает духи на одной из парфюмерных фабрик.
Годовой спрос на этот продукт составляет 600 флаконов. Издержки заказа
равны 850 руб., издержки хранения – 510 руб. за одну упаковку (20 флаконов) в год. Магазин заключил договор на поставку с фиксированным интервалом времени. Количество рабочих дней в году – 300. Время поставки товара – 6 дней.
Вопросы:
1) Чему равен оптимальный объем пополнения запаса?
2) Чему равно оптимальное число заказов в течении года?
3) Чему равна точка восстановления запаса?
4) Каковы минимальные совокупные издержки?
Решение.
N  600 флаконов, T  300 дней, cп  850 руб., L = 6 дней,
cх  510 (руб. за упаковку в год)  510 / 20 (руб. за флакон в год) 
 25,5/ 300 (руб. за флакон в день)  0,085 (руб. за флакон в день).
2cп N
2  850  600

 200 флаконов, т.е. 10 упаковок.
cхT
0,0085  300
N 600
k   
 3 раза.
200
x
N
600
R  L  6
 12 флаконов.
T
300
c N
z ( x )  п  0,5 xcхT  5100 руб.
x
x 
Пример 3. Предположим, что дополнительно к данным задачи из
предыдущего примера упущенная прибыль, связанная с отсутствием товара и
утратой доверия клиентов, составляет 20 руб. в год за один флакон духов.
Необходимо определить оптимальный размер заказа при плановом дефиците
и решить вопрос о необходимости введения системы с плановым дефицитом.
Решение.
2 Ncпcу
cу
2 Ncп
20 / 300
x 


 200 
 200  0,66  132
Tcx (cx  cу )
Tcx
cx  cу
0,085  20 / 300
флакона,
2 Ncп (cx  cу )
cx  cу
2 Ncп
v 


 200  1,5  300 флаконов.
Tcx cу
Tcx
cу


z( x , v ) 
N
( x )2  cx
(v  x )2  cy
 cп  0,5 
 T  0,5 
T 
v
v
v
=1700  740,5  940,8  3381,3 руб.
Целесообразно ввести систему с плановым дефицитом.
60
Пример 4. На первом станке производятся детали в количестве 12 000
ед. в месяц. Эти детали используются для производства продукции на втором
станке производительностью 3 600 ед. в месяц. Оставшиеся детали образуют
запас. Издержки хранения составляют 0,5 руб. за одну деталь в месяц. Стоимость производственного цикла на первом станке равна 800 руб. Требуется
определить оптимальный размер партии на первом станке, если период планирования равен четырем месяцам.
Решение.
2 Ncп
2  3600  800  4
x 

 8113 шт.,
(1  n / u )cx
(1  3600 /12000)  0,5
N 4  3600
T
k   
 2,     2 .
8113
x
k
Пример 5. Решим задачу управления запасами при случайном спросе
со следующими данными: c1  50 д.е., c2  1000 д.е.
0
1
2
3
4
5
n
6
P ( n)
0,900
0,050
0,020
0,010
0,010
0,010
0
c2
 0,952 ;
c1  c2
s  0 : P(0)  0,900  0,952 ;
s  1 : P(0)  P(1)  0,950  0,952 ;
s  2 : P(0)  P(1)  P(3)  0,970  0,952 .
s  2 ,
2

n 0
n 3
min z  z ( s)  50  (2  n) P(n)  1000  ( n  2) P( n) 
 50  2  0,900  1  0,050   1000 1  0,010  2  0,010  3  0,010   152,5.
Задачи для самостоятельного решения
1. Магазин "Медвежонок" продает игрушечные гоночные машинки.
Эта фирма имеет таблицу скидок на машинки в случае покупок их в определенном количестве (табл. 6.1). Издержки заказа составляют 49 тыс. руб. Годовой спрос на машинки равен 5000. годовые издержки хранения в отношении к цене составляют 20%, или 0,2. Необходимо найти размер заказа,
минимизирующий общие издержки.
2. Менеджер приобретает в течение года 1500 телевизоров для розничной продажи в свое магазине. Издержки хранения каждого телевизора
равны 45 тыс. руб. в год. Издержки заказа – 150 тыс. руб. Количество рабочих дней в году равно 300, время выполнения заказа – 6 дней. Необходим
найти:
а) оптимальный запас заказа;
б) годовые издержки заказа;
61
в) точку восстановления запаса.
3. Менеджер продает 400 водяных кроватей в год, причем издержки
хранения равны 1 тыс. руб. за кровать в день и издержки заказа – 40 тс. Руб.
Количество рабочих дней равно 250 и время выполнения заказа – 6 дней.
а) Каков оптимальный размер заказа?
б) Чему равна точка восстановления запаса?
в) Каков оптимальный размер заказа, если издержка хранения равны
1,5 тыс. руб.?
4. Компания закупает у завода-изготовителя лобовые стекла грузовых
автомобилей для розничной продажи. В год, за 200 рабочих дней, реализуется около 10 000 стекол. Издержки заказа для компании составляют 400 тыс.
руб., ежедневные издержки хранения одного стекла – 6 тыс. руб.
а) Чему равен оптимальный размер заказа?
б) Каковы минимальные годовые совокупные издержки?
5. Годовой заказ на тостер равен 3 000 единиц, или 10 в день. Издержки заказа равны 25 тыс. руб., издержки хранения – 0,4 тыс. руб. в день. Так
как тостер является очень популярным среди покупателей, то в случае отсутствия товара покупатели обычно согласны подождать. Пока не подойдет следующий заказ. Однако издержки, связанные с дефицитом, равны 0,75 тыс.
руб. за тостер в день.
а) Сколько тостеров будет заказывать менеджер.
б) Каков минимальный дефицит?
в) Чему равны совокупные издержки?
6. Магазин пользуется популярностью у покупателей благодаря широкому ассортименту экологически чистых продуктов. Большинство покупателей не отказываются от услуг магазина даже том случае, когда интересующий их товар отсутствует в продаже. Они оставляют заказ на товар и ждут,
когда поступит новая партия.
Сыр – не самый популярный из всего набора товаров, но администратор магазина регулярно заказывает этот продукт. Годовой спрос на сыр составляет 500 головок. Издержки заказа – 40 тыс. руб. за заказ. Издержки хранения – 5 тыс. руб. в год Упущенная прибыль вследствие дефицита
составляет 100 тыс. руб. в год на одну головку сыра.
а) Сколько головок сыра следует заказывать, чтобы не допускать дефицита и иметь при этом минимальные общие издержки?
б) Сколько сыра следует заказывать, если допустить возможность дефицита?
в) Чету равна точка восстановления запаса, если время выполнения заказа 10 дней и число рабочих дней в году 250?
г) Чему равен максимальный размер дефицита?
7. Компания предлагает следующие скидки для линолеума размером
2×3 м.
Размер заказа
Цена 1 куска
9 кусков или менее
18 тыс. руб.
10-50 кусков
17,5 тыс. руб.
50 кусков и более
17,25 тыс. руб.
62
Магазин заказывает у компании линолеум. Издержки заказа равны 45 тыс.
руб. Годовые издержки хранения равны 50% от цены. Годовой спрос на линолеум в магазине составляет 100 кусков. Какое количество необходимо
приобрести?
8. Мебельный салон продает в год около 1000 спальных гарнитуров по
цене 50 тыс. руб. Размещение одного заказа на поставку гарнитуров обходится в 40 тыс. руб. Годовая стоимость хранения гарнитура составляет 25% его
цены. Салон может получать 3%-ную скидку у поставщика, если размер заказа составит не менее 200 гарнитуров. Следует ли салону заказывать 200 или
более гарнитуров и пользоваться скидкой?
63
Раздел V
Изменения в рабочей программе,
которые произошли после утверждения программы
Характер изменений в
программе
Номер и дата протокола заседания кафедры, на котором
было принято данное решение
Подпись заведующего
кафедрой, утверждающего внесенное изменение
Подпись декана факультета (проректора по
учебной работе), утверждающего данное изменение
64
Раздел VI
Учебные занятия по дисциплине ведут:
Ф.И.О., ученое звание и
степень преподавателя
Кумаров В. Г.
Учебный Факультет
год
2007-2008
ПМПЭ
Специальность
Пышкина Т.В.
2010-2011
ФМОИП
Математические методы в экономике
Пышкина Т.В.
2011-2012
ФМОИП
Математические методы в экономике
Математические методы в экономике
65